Логарифмы примеры решения задач, формулы и онлайн калькуляторы
Содержание:
- Логарифм произведения, сумма логарифмов
- Логарифм частного, разность логарифмов
- Логарифм степени
- Логарифм корня
- Разложение в ряд Маклорена натурального логарифма
- Решение логарифмических уравнений
- Решение логарифмических неравенств
Логарифмы (Логарифмирование) активно используются в решении задач, так как значительно упрощают обычные алгебраические операции. Использование логарифмов позволяет заменить умножение на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня заменяются соответственно на умножение и деление на показатель степени числа.
Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по логарифмам, прочитать определения и все свойства логарифмов.
Логарифм произведения, сумма логарифмов
Теоретический материал по теме — логарифм произведения.
Пример
Задание. Представить $\log _{5} 6$ в виде суммы логарифмов.
Решение. $\log _{5} 6=\log _{5}(2 \cdot 3)=\log _{5} 2+\log _{5} 3$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Упростить $\log _{5} 4+\log _{5} 3$
Решение. $\log _{5} 4+\log _{5} 3=\log _{5}(4 \cdot 3)=\log _{5} 12$
Логарифм частного, разность логарифмов
Теоретический материал по теме — логарифм частного.
Пример
Задание. Известно, что $\log _{5} 2=a$, а $\log _{5} 3=b$. Выразить $\log _{5} \frac{2}{3}$ через $a$ и $b$.
Решение. $\log _{5} \frac{2}{3}=\log _{5} 2-\log _{5} 3=a-b$
Пример
Задание. Вычислить значение выражения $\log _{5} 10-\log _{5} 2$
Решение. {2}-x-2=0 \Rightarrow x_{1}=2, x_{2}=-1$$
Второй корень не принадлежит ОДЗ, а значит решение $x=2$
Ответ. $x=2$
Пример
Задание. Решить уравнение $\ln (x+1)=\ln (2 x-3)$
Решение. Находим ОДЗ:
$$\left\{\begin{array}{l} x+1>0 \\ 2 x-3>0 \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} x>-1 \\ 2 x>3 \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} x>-1 \\ x>\frac{3}{2} \end{array} \Rightarrow\left(\frac{3}{2} ;+\infty\right)\right.\right.\right.$$
Решаем уравнение $x+1=2 x-3: x=4 \in$ ОДЗ.
Итак, решением исходного логарифмического уравнения также является это значение.
Ответ. $x=4$
Решение логарифмических неравенств
Теоретический материал по теме — логарифмические неравенства.
Пример
Задание. Решить неравенство $\log _{0,5}(x-1)>-1$
Решение.
В пересечении с ОДЗ получаем, что $x \in(1 ; 3)$
Ответ. $x \in(1 ; 3)$
Пример
Задание. Решить неравенство $\log _{5} 5>\log _{5} x$
Решение. Данное неравенство равносильно системе:
$$\left\{\begin{array}{l} 5>x, \\ x>0 \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} x0 \end{array} \Rightarrow x \in(0 ; 5)\right.\right.$$
Ответ. $x \in(0 ; 5)$
Читать первую тему — формулы и свойства логарифмов, раздела логарифмы.
Логарифмы — формулы, свойства, примеры, как решать?
Поможем понять и полюбить математику
Начать учиться
191.3K
Вы знаете, какая тема в математике объединяет рога горных козлов, многие галактики и возможность получить 4 первичных балла на ЕГЭ по профильной математике? Это логарифм и его свойства! Но обо всем по порядку.
Что такое логарифм?
Нагляднее всего понять это с помощью графического решения уравнений. Начертим график и с его помощью решим уравнения:
x = 1 | x = 2 |
Отлично! А теперь решим уравнение .
И в этом случае невозможно назвать точное значение, то есть мы понимаем, что корень больше одного и меньше двух, но более точных данных нет.
Вот такой корень и задается с помощью логарифма, а именно (читается как «логарифм пяти по основанию три» или «логарифм по основанию три от пяти»).
Мы определили смысл — теперь перейдем к общему определению логарифма.
Логарифмом числа b по основанию a называют показатель степени с основанием a, равной b. То есть, попросту говоря, логарифм — это степень, в которую нужно возвести a для получения
Реши домашку по математике на 5.
Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.
Как решать примеры с логарифмами?
Рассмотрим пример, как решить логарифм:
Задаем вопрос: в какую степень нужно возвести 7, чтобы получить 49?
Ответ: во вторую степень. Значит, .
Какие бывают виды логарифмов?
Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом
Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом и обозначается как . Пример натурального логарифма: .
Свойства и формулы логарифмов
Эта формула называется основным логарифмическим тождеством.
Пример: .
Пример: .
Пример: .
Логарифм степени находится по формуле: .
Видно, что показатель степени выносим перед логарифмом.
Пример: .
Показатель степени основания также выносим перед логарифмом, но в виде обратного числа, то есть, например, вместо 5 будет .
Пример: .
Если нужно перейти к другому основанию, то можно сделать это по формуле: . Свойство называется формулой перехода к новому основанию.
А частным случаем предыдущей формулы является формула, которая позволяет менять местами основание и аргумент логарифма: .
Конечно, это не все свойства логарифмов, а только самые главные. Комбинируя свойства выше, можно получать все новые и новые формулы для логарифмов. Например, соединив 4-ю и 5-ю формулы, получим . Но запоминать ее нет смысла, важно знать лишь базовые свойства логарифмов.
Применение логарифмических свойств в примерах
Пример 1
Найдите значение выражения , если .
Если видите частное в показателе логарифма, то распишите по 3-й формуле: .
Решение
У каждого логарифма в показателе стоит степень, значит, поможет 4-я формула:
.
Первый логарифм можно вычислить по определению. И обратите внимание на второй логарифм: у него в основании стоит а, а в условии задачи дан логарифм с основанием b, значит, нужно а как-то заменить на b. Возможно ли это? Конечно, 7-я формула в помощь!
.
Подставьте числовое значение из условия, и все готово:
.
Отличный пример! Мы использовали практически все свойства логарифмов. А теперь попрактикуйтесь еще, но помните, что задача с подвохом!
Пример 2
Вычислите: .
Получился ответ 27? Если да, то поздравляю: вы попались на удочку самых популярных ошибок! Какое бы задание вам ни встретилось, действия с логарифмами нужно производить только по определениям и правилам. В примере вы видите деление двух логарифмов. А есть ли какая-то формула, в которой записано деление двух логарифмов?
.
И получается ответ 4, а не 27.
Практическое применение логарифмов
Помните, выше мы говорили, что логарифм объединяет задания на ЕГЭ, галактики и рога горных козлов? И если с баллами на ЕГЭ все понятно, то про галактики и рога — интереснее.
Как видите, логарифмы имеют большое значение для нашей жизни — не только баллы на ЕГЭ!
Вопросы для самопроверки
Чтобы информация точно усвоилась, вспомните:
Что такое логарифм?
Какие ограничения есть у логарифма?
Какие логарифмические свойства вы знаете?
Какие бывают способы преобразования выражений с логарифмом?
В чем практическое применение логарифмов?
На курсах по математике в онлайн-школе Skysmart мы всегда показываем, зачем нужны математические правила и формулы в реальной жизни — ведь так учиться гораздо интереснее! И подтянуть знания перед ЕГЭ тоже поможем: приходите на бесплатный вводный урок и все увидите сами.
Шпаргалки для родителей по математике
Все формулы по математике под рукой
Кристина Тоскина
К предыдущей статье
Все формулы приведения
К следующей статье
Координаты середины отрезка
Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику
На вводном уроке с методистом
Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Расскажем, как проходят занятия
Подберём курс
логарифмических уравнений
логарифмических уравненийРешение уравнений Главное меню |
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ УРАВНЕНИЯ | ||||||
Определение | Любой уравнение с переменной x, содержащее логарифм, называется логарифмическим уравнение. | |||||
Отзыв определение логарифма. Это определение будет важно для понять, чтобы иметь возможность решать логарифмические уравнения. | ||||||
Примеры | ПРИМЕРЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ | |||||
| Пример 1 |
| Пример 2 |
| ||
Журнал 2 х = -5 | 5
+ пер 2х = 4 | |||||
| Пример 3 |
| Пример 4 |
| ||
лн х + пер (х — 2) = 1 | журнал 6 х + журнал 6 (х + 1) = 1 | |||||
Решение | ШАГОВ ДО РЕШИТЬ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ | |||||
Ваш цель состоит в том, чтобы иметь возможность использовать определение логарифма. Чтобы использовать это, изолируйте логарифмическое выражение с одной стороны уравнение. Все константы должны быть объединены в другую сторону. Использовать свойства логарифмов, при необходимости объединять логарифмы в один логарифмический член. Применять определение — переход к экспоненциальной форме. Упростите результат. Это это! | ||||||
Образец Проблемы | Образец Проблема 1 | |||||
2 -5 = х Ответ: | Это уравнение содержит одну логарифмическое выражение с одной стороны и константа с другой стороны. Просто примените определение логарифма. (т.е. перейти к экспоненциальному форма.) | |||||
Образец Проблемы | Образец Задача 2 | |||||
пер. 2х = -1 и -1 = 2x х = е -1 /2 Ответ: Икс 0,1839 |
| |||||
Образец Проблемы | Образец Задача 3 | |||||
лн
х + пер (х — 2) = 0 е 0 = х(х — 2) 1
= х 2 — 2х Ответ: 2,41 |
| |||||
Образец Проблемы | Образец Задача 4 | |||||
журнал 6 х + журнал 6 (х + 1) = 1 журнал 6 х(х + 1) = 1 6 1 = х(х + 1) х 2 + х = 6 х 2 + х — 6 = 0 (х + 3)(х — 2) = 0 х
= -3 ИЛИ x = 2 Ответ: Х = 2 |
| |||||
Логарифмические уравнения – примеры задач с решениями
- Логарифмические экспоненциальные уравнения
- Логарифмические уравнения – другие основания
- Квадратные логарифмические уравнения
- Наборы логарифмических уравнений
1. Решить:
х > 0
Решение:
3+log 7 x = 8 – 4log 7 x
5log 7 х = 5
журнал 7 х = 1
х = 7 1 = 7
К = {7}
2. Решить:
х > 0
Решение:
5+logx = 9-3logx
4logx = 4
logx = 1
х = 10 1 = 10
К = {10}
3. Решить:
х > 0
Решение:
К = {3 -0,5 }
4. Решить:
log 3 (5+4.log 2 (x-1)) = 2 x > 1
Решение:
log 3 (5+4.log 2 (x-1)) = 2
log 3 (5+4.log 2 (x-1)) = log 3 9
5+4.log 2 (x-1) = 9
4.log 2 (x-1) = 4
журнал 2 (x-1) = 1
х-1 = 2 1
х = 3
К = {3}
5. Решить:
log(x+5) — log(x-1) = 1-log2 x > 1
Решение:
К = {2,5}
6. Решить:
log(x+2) + log(x-7) = 2.log(x-4) x > 7
Решение:
лог(х+2) + лог(х-7) = 2.лог(х-4)
log (x+2)(x-7) = log(x-4) 2
(x+2)(x-7) = (x-4) 2
x 2 -5x- 14 = х 2 -8х +16
3x = 30
х = 10
К = {10}
7. Решить:
log5x +log (2x + 3) = 1 + 2.log(3-x) x < 3
Решение:
log5x + log (2x + 3) = 1 + 2.log(3-x)
log5x + log(2x + 3) = log10 + log(3-x) 2
log(5x.(2x +3)) = log (10.(3-x) 2 )
5х.(2х+3) = 10.(3-х) 2
10x 2 +15x = 10.(9-6x + x 2 )
10х 2 + 15х = 90-60х +10х 2
75х = 90
8. Решить:
log(1+x)–log(1-x) = log(x+3)-log(4-x) x < 1
Решение:
9. Решить:
2log3x 2 + 3log4x 3 = 4log2x 2 +4log6x x > 0
Решение:
2log3x 2 + 3log4x 3 = 4log2x 2 +4log6x
log9x 4 + log64x 9 = log16x 8 + log1296x 4
log(576x 13 ) = log(20736x 12 1
576x 13 = 20736x 12 /:576x 12
x = 36
К = {36}
10.
Решите в действительных числах:
Решение:
11.Решите в действительных числах:
Решение:
12.Решите в действительных числах:
Решение:
13.Решите в действительных числах:
Решение:
14.Решите в действительных числах:
Решение:
15.
Leave A Comment