Логарифмы решение примеров: Логарифмы примеры решения задач, формулы и онлайн калькуляторы

В пересечении с ОДЗ получаем, что $x \in(1 ; 3)$

Ответ. $x \in(1 ; 3)$

Пример

Задание. Решить неравенство $\log _{5} 5>\log _{5} x$

Решение. Данное неравенство равносильно системе:

$$\left\{\begin{array}{l} 5>x, \\ x>0 \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} x0 \end{array} \Rightarrow x \in(0 ; 5)\right.\right.$$

Ответ. $x \in(0 ; 5)$

Читать первую тему — формулы и свойства логарифмов, раздела логарифмы.

Логарифмы — формулы, свойства, примеры, как решать?

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

191.3K

Вы знаете, какая тема в математике объединяет рога горных козлов, многие галактики и возможность получить 4 первичных балла на ЕГЭ по профильной математике? Это логарифм и его свойства! Но обо всем по порядку.

Что такое логарифм?

Нагляднее всего понять это с помощью графического решения уравнений. Начертим график и с его помощью решим уравнения:

Отлично! А теперь решим уравнение .

И в этом случае невозможно назвать точное значение, то есть мы понимаем, что корень больше одного и меньше двух, но более точных данных нет.

Вот такой корень и задается с помощью логарифма, а именно (читается как «логарифм пяти по основанию три» или «логарифм по основанию три от пяти»).

Мы определили смысл — теперь перейдем к общему определению логарифма.

Логарифмом числа b по основанию a называют показатель степени с основанием a, равной b. То есть, попросту говоря, логарифм — это степень, в которую нужно возвести a для получения

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Как решать примеры с логарифмами?

Рассмотрим пример, как решить логарифм:

Задаем вопрос: в какую степень нужно возвести 7, чтобы получить 49?

Ответ: во вторую степень. Значит, .

Какие бывают виды логарифмов?

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом

Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом и обозначается как . Пример натурального логарифма: .

Свойства и формулы логарифмов

1. Эта формула называется основным логарифмическим тождеством.

   Пример: .

2. Пример: .

3. Пример: .

4. Логарифм степени находится по формуле: .

   Видно, что показатель степени выносим перед логарифмом.

   Пример: .

5. Показатель степени основания также выносим перед логарифмом, но в виде обратного числа, то есть, например, вместо 5 будет .

   Пример: .

6. Если нужно перейти к другому основанию, то можно сделать это по формуле: . Свойство называется формулой перехода к новому основанию.

7. А частным случаем предыдущей формулы является формула, которая позволяет менять местами основание и аргумент логарифма: .

Конечно, это не все свойства логарифмов, а только самые главные. Комбинируя свойства выше, можно получать все новые и новые формулы для логарифмов. Например, соединив 4-ю и 5-ю формулы, получим . Но запоминать ее нет смысла, важно знать лишь базовые свойства логарифмов.

Применение логарифмических свойств в примерах

Пример 1

Найдите значение выражения , если .

Если видите частное в показателе логарифма, то распишите по 3-й формуле: .

Решение

У каждого логарифма в показателе стоит степень, значит, поможет 4-я формула:

.

Первый логарифм можно вычислить по определению. И обратите внимание на второй логарифм: у него в основании стоит а, а в условии задачи дан логарифм с основанием b, значит, нужно а как-то заменить на b. Возможно ли это? Конечно, 7-я формула в помощь!

.

Подставьте числовое значение из условия, и все готово:

.

Отличный пример! Мы использовали практически все свойства логарифмов. А теперь попрактикуйтесь еще, но помните, что задача с подвохом!

Пример 2

Вычислите: .

Получился ответ 27? Если да, то поздравляю: вы попались на удочку самых популярных ошибок! Какое бы задание вам ни встретилось, действия с логарифмами нужно производить только по определениям и правилам. В примере вы видите деление двух логарифмов. А есть ли какая-то формула, в которой записано деление двух логарифмов?

.

И получается ответ 4, а не 27.

Практическое применение логарифмов

Помните, выше мы говорили, что логарифм объединяет задания на ЕГЭ, галактики и рога горных козлов? И если с баллами на ЕГЭ все понятно, то про галактики и рога — интереснее.

Как видите, логарифмы имеют большое значение для нашей жизни — не только баллы на ЕГЭ!

Вопросы для самопроверки

Чтобы информация точно усвоилась, вспомните:

1. Что такое логарифм?

2. Какие ограничения есть у логарифма?

3. Какие логарифмические свойства вы знаете?

4. Какие бывают способы преобразования выражений с логарифмом?

5. В чем практическое применение логарифмов?

На курсах по математике в онлайн-школе Skysmart мы всегда показываем, зачем нужны математические правила и формулы в реальной жизни — ведь так учиться гораздо интереснее! И подтянуть знания перед ЕГЭ тоже поможем: приходите на бесплатный вводный урок и все увидите сами.

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Кристина Тоскина

К предыдущей статье

Все формулы приведения

К следующей статье

Координаты середины отрезка

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

логарифмических уравнений

	ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ УРАВНЕНИЯ
Определение	Любой уравнение с переменной x, содержащее логарифм, называется логарифмическим уравнение.
	Отзыв определение логарифма. Это определение будет важно для понять, чтобы иметь возможность решать логарифмические уравнения.
Примеры	ПРИМЕРЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
		Пример 1			Пример 2
	Журнал 2 х = -5			5 + пер 2х = 4
		Пример 3			Пример 4
	лн х + пер (х — 2) = 1			журнал 6 х + журнал 6 (х + 1) = 1
Решение	ШАГОВ ДО РЕШИТЬ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
	Ваш цель состоит в том, чтобы иметь возможность использовать определение логарифма. Чтобы использовать это, изолируйте логарифмическое выражение с одной стороны уравнение. Все константы должны быть объединены в другую сторону. Использовать свойства логарифмов, при необходимости объединять логарифмы в один логарифмический член. Применять определение — переход к экспоненциальной форме. Упростите результат. Это это!
Образец Проблемы	Образец Проблема 1
	Журнал 2 х = -5 2 -5 = х Ответ: 1     = х 32			Это уравнение содержит одну логарифмическое выражение с одной стороны и константа с другой стороны. Просто примените определение логарифма. (т.е. перейти к экспоненциальному форма.)
Образец Проблемы	Образец Задача 2
	5 + пер 2х = 4 -5 -5 пер. 2х = -1 и -1 = 2x х = е -1 /2 Ответ: Икс 0,1839			Изолировать термин журнала. Применить определение логарифм. (перейти к экспоненциальной форме) Напомним, «ln» — это логарифм, основанием которого является число е.           Ответ может быть приблизительно с помощью научного калькулятора.
Образец Проблемы	Образец Задача 3
	лн х + пер (х — 2) = 0 пер х(х — 2) = 0 е 0 = х(х — 2) 1 = х 2 — 2х х 2 — 2х — 1 =0   ОТКЛОНЯТЬ ПРИЕМЛЕМЫЙ Ответ: 2,41			Объедините два логарифма в один логарифм. Напомним:   Переход к экспоненциальной форме с использованием определения логарифма. Решите полученное уравнение. Здесь мы имеем квадратное уравнение. Поскольку оно неразложимо, будем решать по квадратичной формуле.   Так как мы не можем логарифмировать ноль или отрицательные числа. Отклоняйте любые ответы, которые приведут к одному из них в оригинал.
Образец Проблемы	Образец Задача 4
	журнал 6 х + журнал 6 (х + 1) = 1 журнал 6 х(х + 1) = 1 6 1 = х(х + 1) х 2 + х = 6 х 2 + х — 6 = 0 (х + 3)(х — 2) = 0 х = -3   ИЛИ   x = 2     ОТКЛОНИТЬ ПРИЕМЛЕМЫЙ Ответ: Х = 2			Объедините два логарифма в один логарифм. Отзыв: Перейти к экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Решите полученное уравнение. Здесь мы имеем квадратное уравнение. Поскольку оно факторизуемо, будем решать с помощью факторинга. Так как мы не можем логарифмировать ноль или отрицательные числа. Отклоняйте любые ответы, которые приведут к одному из них в оригинал.

Логарифмические уравнения – примеры задач с решениями

• Логарифмические экспоненциальные уравнения
• Логарифмические уравнения – другие основания
• Квадратные логарифмические уравнения
• Наборы логарифмических уравнений