Тренировочные задания на решение квадратных уравнений 8 класс

Квадратные  уравнения 8 класс  алгебра

 

Учитель: Федулкина Т.А.

 

  • Что такое квадратные уравнения. Виды уравнений.

Формула квадратного уравнения: ax2+bx+c=0,где a≠0, где x — переменная,  a,b,c — числовые коэффициенты.

 

Пример полного квадратного уравнения:

3x2-3x+2=0
x2-16x+64=0

Решение полных квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:

Формула дискриминантаD=b2-4aс

Если D>0, то уравнение имеет два корня и находим эти корни по формуле:

Если D=0, уравнение имеет один корень 

Если D<0, уравнение не имеет вещественных корней.

№1  x2-x-6=0

Записываем сначала, чему равны числовые коэффициенты a, b и c.

Коэффициент a всегда стоит перед x2, коэффициент b  всегда перед переменной x, а коэффициент  

c – это свободный член.
a=1,b=-1,c=-6
D=b2-4ac=(-1)2-4∙1∙(-6)=1+24=25

Дискриминант больше нуля, следовательно, у нас два корня, найдем их:

 Ответ: x1=3; x2=-2

№2  x2+2x+1=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=1,b=2,c=1
D=b2-4ac=(2)2-4∙1∙1=4-4=0
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень:
x=-b/2a=-2/(2∙1)=-1

Ответ: x=-1

№3 7x2-x+2=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=7,b=-1,c=2
D=b2-4ac=(-1)2-4∙7∙2=1-56=-55
Дискриминант меньше нуля, следовательно, корней нет.

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax2+bx=0, где числовой коэффициент c=0.

Пример как выглядят такие уравнения: x

2-8x=0, 5x2+4x=0.

Чтобы решить такое уравнение необходимо переменную x вынести за скобки. А потом каждый множитель приравнять к нулю и решить уже простые уравнения.
ax2+bx=0  x(ax+b)=0  x1=0 x2=-b/a

№1  3x2+6x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(3x+6)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x1=0      3x+6=0   3x=-6     x2=-2

Ответ: x1=0; x2=-2

№2  x2-x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(x-1)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x1=0
x2=1

Ответ: x1=0; x2=1

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax2+c=0, где числовой коэффициент b=0

.

Чтобы решить это уравнение, нужно записать так:
x2=c/a , если число c/a будет отрицательным числом, то уравнение не имеет решения.
А если c/a положительное число, то решение выглядит таким образом: корень квадратного уравнения

№1  x2+5=0
x2=-5, видно, что -5<0, значит нет решения.
Ответ: нет решения

№2 3x2-12=0
3x2=12
x2=12/3
x2=4
x1=2

x2=-2

Ответ: x1=2; x2=-2

 

2) Тренировочные задания на решение квадратных уравнений 8 класс  алгебра.

 

Задания для  устного решения:

 

  1. Решите неполное квадратное уравнение:

 

1)  

6)  

11) 

16) 

2)  

7)  

12) 

17) 

3)  

8)  

13) 

18) 

4)  

9)  

14) 

19) 

5)  

10)

15) 

20) 

 

  1. Решите квадратное уравнение, используя теорему Виета:

1)  

6)  

11) 

16) 

2)  

7)  

12) 

17) 

3)  

8)  

13) 

18) 

4)  

9)  

14) 

19) 

5)  

10)

15) 

20) 

 

  1. Решите квадратное уравнение, используя формулу :

1)  

6)  

11) 

16) 

2)  

7)  

12) 

17) 

3)  

8)  

13) 

18) 

4)  

9)  

14) 

19) 

5)  

10)

15) 

20) 

 

  1. Найдите дискриминант квадратного уравнения по формуле D= :

1)  

6)  

11) 

16) 

2)  

7)  

12) 

17) 

3)  

8)  

13) 

18) 

4)  

9)  

14) 

19) 

5)  

10)

15) 

20) 

 

  1. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D= равно:

1)     

6)    

11)   

16)    

2)     

7)    

12)   

17)    

3)     

8)    

13)     

18)    

4)  

9)    

14)     

19)     

5)  

10)    

15)   

20)     

3)Решить  квадратные  уравнения:

 

  1. Решите квадратное уравнение:

1)  

6)  

11) 

16) 

2)  

7)  

12) 

17) 

3)  

8)  

13) 

18) 

4)  

9)  

14) 

19) 

5)  

10)

15) 

20) 

 скачать файл

nbschool.edumsko.ru

Карточки по теме КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

28 вариантов карточек по теме «Квадратное уравнение» для учащихся 8 класса с ответами

Карточка №1

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) 1,5x2 — 31,5x + 120 = 0;

2) x2 + 5x + 20 = 0;

3) — x2 + 15x — 102 = 0;

4) 1x2 — 10x + 15 = 0;

5) — x2 — 8x — 68 = 0;

6) 0,5x2 — 0,5x — 1 = 0;

7) 2x2 — x + 5 = 0;

8) 4,5x2 + 45x + 94,5 = 0.

Карточка №2

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) x2 — x — 18 = 0;

2) 4x2 — 28x + 40 = 0;

3) 1,5x2 — 51x + 433,5 = 0;

4) — 3x2 + 15x + 108 = 0;

5) — 0,5x2 — 14x — 96 = 0;

6) 1x2 — x + 1 = 0;

7) 0,125x2 + x + 2 = 0;

8) — x2 + 16x — 112 = 0.

 

Карточка №3

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) 2x2 + 56x + 392 = 0;

2) 5x2 — 30x + 40 = 0;

3) — x2 — 9x — 60 = 0;

4) 0,5x

2 — x — 24 = 0;

5) — 4x2 — 0,25x — 0,75 = 0;

6) 4x2 — 92x + 240 = 0;

7) 0,5x2 — 6x + 18 = 0;

8) — x2 + 4x + 10 = 0.

 

Карточка №4

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) 4x2 + 80x + 144 = 0;

2) x2 — 8x + 35 = 0;

3) 6,5x2 + 8x + 3,5 = 0;

4) — x2 — 8x — 24 = 0;

5) 7x2 — 4,5x + 1 = 0;

6) 5x2 + 35x — 990 = 0;

7) — 5x2 + 190x — 1805 = 0;

8) 1x2 + 5x + 3 = 0.

Карточка №5

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) x2 + 8x + 72 = 0;

2) — 1x2 + 20x — 45 = 0;

3) 1x2 — 30x + 202 = 0;

4) 1,4x

2 — 14x + 35 = 0;

5) — x2 — 7x — 30 = 0;

6) — 10x2 + 8x — 5,5 = 0;

7) 2x2 — 2x — 28 = 0;

8) 0,4x2 — 6x — 30,4 = 0.

Карточка №6

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) — 0,2x2 — 3x — 11,2 = 0;

2) x2 — 2x + 9 = 0;

3) 2,25x2 + 81x + 729 = 0;

4) x2 — 3x — 4 = 0;

5) x2 — 6x + 39 = 0;

6) — 0,1x2 — 2x — 10 = 0;

7) — 1,25x2 + 15x — 40 = 0;

8) 2x2 + x + 2 = 0.

Карточка №7

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) — 4x2 + 80x — 400 = 0;

2) 6x2 + 9,5x + 6 = 0;

3) 0,25x2 + 2x + 1,75 = 0;

4) 0,5x2 — 0,5x — 1 = 0;

5) — x2 + x + 15 = 0;

6) x2 + 4x + 14 = 0;

7) 2x2 — 42x + 136 = 0;

8) x2 + 8x + 55 = 0.

 

Карточка №8

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) 0,6x2 — 3x — 21,6 = 0;

2) — 3x2 + 57x — 270 = 0;

3) — 2x2 + 0,75x — 4,25 = 0;

4) x2 + 10x + 39 = 0;

5) 0,25x2 — 0,25x — 39 = 0;

6) — 2,5x2 + 17,5x — 25 = 0;

7) x2 + 10x + 55 = 0;

8) 2x2 — 12x + 18 = 0.

 

Карточка №9

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) x2 + 2x + 8 = 0;

2) — 0,6x2 + 3x — 3,6 = 0;

3) 2,8x2 — x + 0,6 = 0;

4) — 2,5x2

 + 50x — 250 = 0;

5) — 0,4x2 — 4x — 10 = 0;

6) 1,5x2 — 7,5x — 75 = 0;

7) x2 — 6x + 20 = 0;

8) 0,5x2 — 10x + 50 = 0.

 

Карточка №10

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) — 2x2 + 22x + 52 = 0;

2) 1x2 — 1x — 260 = 0;

3) — 2x2 — 9x — 7 = 0;

4) 2x2 + 80x + 800 = 0;

5) 5x2 — 45x + 40 = 0;

6) 1x2 + x + 2 = 0;

7) 3x2 — 12x + 12 = 0;

8) x2 + 2x + 8 = 0.

 

Карточка №11

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) 1x2 — 2x + 2,5 = 0;

2) — x2 + x + 4 = 0;

3) 0,2x2 — 5x + 31,2 = 0;

4) x2 + 7x + 31,5 = 0;

5) — x2 + 6x — 18 = 0;

6) x2 — 6x + 42 = 0;

7) — 2x2 — x — 1 = 0;

8) 0,8x2 + 8,8x + 8 = 0.

Карточка №12

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) — 0,4x2 + 10x — 40 = 0;

2) 3x2 + 51x + 210 = 0;

3) 0,4x2 + 4x + 9,6 = 0;

4) x2 + 2x — 2 = 0;

5) x2 — 14x + 98 = 0;

6) — 1,5x2 + 3x — 1,5 = 0;

7) — x2 — 10x — 65 = 0;

8) 6,5x2 — 6,5x + 7 = 0.

 

Карточка №13

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) — 3x2 — 6x — 4 = 0;

2) 0,2x2 — 4x + 20 = 0;

3) 0,875x2 — 7x — 7,875 = 0;

4) 2,5x2 + 10x + 10 = 0;

5) 1,8x2 — 10,8x + 9 = 0;

6) 1,5x2 + 18x + 54 = 0;

7) x2 — x — 24 = 0;

8) — x2 — 15x — 96 = 0.

 

Карточка №14

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) — 2x2 — 42x — 160 = 0;

2) 2,5x2 — 32,5x + 100 = 0;

3) — 1,75x2 + 1,75x + 231 = 0;

4) x2 + x +  = 0;

5) 1,5x2 — 27x + 120 = 0;

6) 2,5x2 — 55x + 302,5 = 0;

7) 0,2x2 + 1,4x + 2 = 0;

8) — 1,5x2 — 18x — 54 = 0.

 

Карточка №15

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) 4,25x2 — 3x + 4 = 0;

2) 2x2 + 8x + 6 = 0;

3) — 2x2 + 8x — 8 = 0;

4) x2 — 5x + 18 = 0;

5) 0,25x2 + 7x + 49 = 0;

6) — 0,25x2 — 0,25x + 33 = 0;

7) x2 + 5x + 16 = 0;

8) — 0,75x2 + 6x — 5,25 = 0.

 

Карточка №16

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) 1,6x2 + 48x + 360 = 0;

2) 1x2 — 9x — 77 = 0;

3) x2 + x — 1 = 0;

4) 2x2 — 32x + 128 = 0;

5) — x2 + 7x — 40 = 0;

6) — 3x2 + 1x —  = 0;

7) 3x2 — 12x + 12 = 0;

8) 0,25x2 + 4,25x + 18 = 0.

 

Карточка №17

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) 0,75x2 — 3x + 2,25 = 0;

2) 1,5x2 — 3x — 94,5 = 0;

3) — x2 — 10x — 25 = 0;

4) 5x2 + 2x + 1 = 0;

5) x2 + 5x + 34 = 0;

6) — 0,4x2 — 8x — 40 = 0;

7) x2 — 6x + 17 = 0;

8) — 1,75x2 + 21x — 63 = 0.

Карточка №18

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) — 3x2 + x — 0,6 = 0;

2) x2 + 10x + 67 = 0;

3) x2 + x + 1 = 0;

4) 0,3x2 + 12x + 120 = 0;

5) 0,5x2 — 7x + 24,5 = 0;

6) — 1,8x2 — 1,8x + 162 = 0;

7) — 1x2 — 15x — 30 = 0;

8) 0,6x2 — 12x + 30,6 = 0.

 

Карточка №19

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) — 0,6x2 + 11,4x — 54 = 0;

2) — x2 + x + 1 = 0;

3) 1,4x2 — 7x + 8,4 = 0;

4) 0,4x2 + 9,6x + 38 = 0;

5) 2x2 — 20x + 50 = 0;

6) 0,6x2 — x + 3,4 = 0;

7) x2 — 1x — 88 = 0;

8) x2 + 20x + 150 = 0.

 

Карточка №20

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) — 0,4x2 + 4x — 10 = 0;

2) x2 — 6x + 14 = 0;

3) — 3,5x2 — 59,5x — 245 = 0;

4) 3x2 + 2,75x + 1 = 0;

5) 0,4x2 + 2,4x + 2 = 0;

6) — x2 — 5x — 32 = 0;

7) x2 — 9x — 62 = 0;

8) 2x2 + 72x + 648 = 0.

 

Карточка №21

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) 1x2 + 48x + 432 = 0;

2) — 1,8x2 — 9x — 7,2 = 0;

3) x2 — 7x — 40 = 0;

4) 0,5x2 — 5,5x + 14 = 0;

5) 0,5x2 + 0,5x — 66 = 0;

6) — x2 — 4x — 13 = 0;

7) 0,5x2 — 2x + 2 = 0;

8) — 5x2 — 2x — 4,75 = 0.

 

Карточка №22

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) 4x2 + 32x + 48 = 0;

2) 0,75x2 — 9x + 27 = 0;

3) 3,5x2 — 59,5x + 147 = 0;

4) 3x2 — 6x — 240 = 0;

5) — x2 — 8x — 48 = 0;

6) — 4x2 + 4x + 80 = 0;

7) x2 — 18x + 120 = 0;

8) 7x2 — x + 2 = 0.

 

Карточка №23

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) 5x2 — 0,75x + 1 = 0;

2) x2 — 3x — 15 = 0;

3) — 0,5x2 + 2x — 2 = 0;

4) — x2 — 7x — 18 = 0;

5) — 0,3x2 + 2,1x — 3 = 0;

6) 0,4x2 + 12x + 90 = 0;

7) 3x2 — 54x + 243 = 0;

8) x2 + 14x + 99 = 0.

 

Карточка №24

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) 5x2 — 110x + 605 = 0;

2) — 2x2 — 2,5x — 8,5 = 0;

3) 2x2 — 4x — 126 = 0;

4) — 3x2 + 27x — 60 = 0;

5) x2 — 2x — 8 = 0;

6) x2 + 24x + 167 = 0;

7) — 1,8x2 — 37,8x — 36 = 0;

8) 2,25x2 + 9x + 9 = 0.

 

Карточка №25

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) x2 — x + 1 = 0;

2) — 0,5x2 — 14x — 98 = 0;

3) 2x2 — 40x + 149 = 0;

4) — 1,4x2 + 14x — 35 = 0;

5) 3x2 + x + 1,2 = 0;

6) 1,5x2 — 22,5x + 75 = 0;

7) 2x2 + 8x + 6 = 0;

8) 1,5x2 — 3x — 214,5 = 0.

 

Карточка №26

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) — x2 + 2x — 17 = 0;

2) x2 + 6x + 25 = 0;

3) — 2x2 + 24x + 90 = 0;

4) 3x2 + 42x + 120 = 0;

5) x2 + 6x + 27 = 0;

6) 0,5x2 — 11x + 60,5 = 0;

7) — 3x2 + 2x — 6 = 0;

8) 2x2 + 6x — 8 = 0.

 

Карточка №27

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) — 0,25x2 + 6x — 35,75 = 0;

2) 0,5x2 — 18x + 162 = 0;

3) 5x2 + 6x + 4 = 0;

4) — x2 — 2x — 3 = 0;

5) — x2 + 7x + 16 = 0;

6) x2 + x — 1 = 0;

7) 5x2 + 95x + 450 = 0;

8) 2x2 + 28x + 98 = 0.

 

Карточка №28

Тема: Квадратные уравнения

1)Решите уравнения

1) 5x2 + 4,25x + 4 = 0;

2) — 0,12x2 — 3x — 18,72 = 0;

3) 2x2 + 24x + 64 = 0;

4) 0,8x2 — 4x + 3,2 = 0;

5) 1x2 + 24x + 108 = 0;

6) 2x2 — 2x — 240 = 0;

7) x2 — 6x + 6 = 0;

8) — x2 + 16x — 104 = 0.

 

 

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

гимназия г. Гурьевска (пос. Орловка)

Калининградской области

Зачёт по алгебре

в 8 классе

«Квадратные уравнения»

Подготовила

учитель математики

Носова Лариса Владимировна

2014

Пояснительная записка

Зачёт

Вид проверочного испытания (в учебных заведениях,

в спорте), а также отметка, удостоверяющая, что такие

испытания выдержаны.

С.И.Ожегов, Н.Ю.Шведова.

Толковый словарь русского языка.

Одной из главных причин, обусловивших успешное использование данной формы

обучения, является ее ориентация на подбор обучающихся сельской школы. Он, как и

раньше, является весьма разным и по отношению к учёбе, и социальному составу.

Типичной причиной отставания в учебе является дидактическая запущенность,

сопровождаемая падением мотивации к учебной деятельности. Зачёт не только форма

проверки знаний и умений – это часть учебного процесса, одна из форм обучения. Он

способствует совершенствованию учебно — воспитательного процесса, более серьёзной

подготовки обучающихся, обобщению знаний по теме зачётного раздела, оказывает

воспитательное воздействие на обучающихся благодаря индивидуальной работе.

Эффективность проведения зачёта во многом зависит от правильной его организации.

Деление курса учебного материала на зачётные разделы систематизирует учебный

материал, помогает учителю и обучающимся обобщать изученное, подводить итоги,

оценивать знания по каждой теме. Требования к знаниям и умениям обучающихся,

сформулированные в рабочих программах, помогают учителю определить круг

теоретических вопросов, выносимых на зачёт, а также типы задач и упражнений, которые

должны выполнить ученики по каждой теме. Наиболее распространённой формой зачёта

является устно – письменный зачёт. Большое значение имеет подготовительная работа.

В начале изучения темы обучающимся сообщаются сведения о предстоящем

зачёте: тема, срок сдачи, основная литература, требования к знаниям и умениям

обучающихся по данному разделу, материалы по повторению, вопросы для самопроверки,

рекомендации по работе с учебником, справочниками. К зачёту учитель готовит

разнообразный дидактический материал: карточки с заданиями, проверяющие знание

теории, самостоятельные письменные работы.

Урок-зачёт выполняет не только контролирующую функцию, его основное

назначение – систематизировать и обобщить материал по теме.

Предлагаю материал к зачёту по теме «Квадратные уравнения».

Если вы работаете по учебнику А.Г. Мордковича, то в теоретической части

необходимо добавить вопросы о биквадратном уравнении, о решении иррациональных

уравнений. А если по учебнику Ю.Н. Макарычева, то из практической части исключить

задания № 8; 10; 11. После сдачи теории, у учащихся остаётся полноценный конспект по

теме «Квадратные уравнения», что важно при подготовке к ОГЭ.

Квадратные уравнения

№п/п

Вопрос теории

Ответ (учебник

Ю.Н. Макарычева)

1

Какое уравнение называют квадратным

уравнением?

Стр. 118

2

Какое уравнение называют приведённым

квадратным уравнением?

Стр. 118

3

Какое уравнение называют неполным квадратным

уравнением?

Стр. 118

4

Какие способы решения неполных квадратных

уравнений ты знаешь?

Стр. 119

5

Что называют дискриминантом квадратного

уравнения? Формула дискриминанта.

Стр. 124

6

Формула корней квадратного уравнения.

Стр. 124 — 125

7

Формула корней квадратного уравнения, в

котором второй коэффициент является чётным

числом.

Стр. 126

8

Особые случаи решения квадратного

уравнения. Метод коэффициентов:

1. a + b + c = 0;

2. a + c = b

№ 675

стр.154;

конспект

9

Теорема Виета и обратная ей.

Стр. 134 — 136

10

Решение квадратных уравнений методом

«переброски» старшего коэффициента.

№ 554 (а)

стр. 129;

конспект

Зачёт по теме «Квадратные уравнения» (теория)

Ф.И._________________________

 Квадратным уравнением называют уравнение вида _____________________________,

где a, b, c любые действительные числа, причём ________.

a — ______________________, b — ________________________, c — ___________________.

 Квадратное уравнение называют приведённым, если _________________________

________________________________.

Основные формулы корней квадратного уравнения ax

2

+ … + … = 0

Дискриминант _______________________,

Два корня, если D_______ , x

1

= ___________; x

2

= ___________

Один или два одинаковых корня, если D_______ , x

1,2

= _________

Нет корней, если D_______.

Особые случаи решения квадратных уравнений

 Если _________________________, то __________________________________

 Если_________________________, то __________________________________

Формулы для решения квадратного уравнения, если b чётный коэффициент

a = … , _k =______ , c = …

D

1

= ________________

x

1

= ______________ , x

2

= _______________

Теорема, обратная теореме Виета ____________________

____________________

Разложение квадратного трёхчлена на множители _______________________________________,

где x

1 ,

x

2

_____________________________________________________.

1 вариант (практика)

Найдите корни квадратного уравнения

рационально

№1 3x

2

– x = 0

№2 2x

2

– 6 = 0

№3 10x

2

– 3x – 0,4 = 0

№4 2x

2

+ 10x +12 = 0

№5 y

2

+7y – 8 = 0

№6 Запишите квадратное уравнение,

корни которого равны -2 и 5.

№7 Один из корней данного квадратного

уравнения равен -2. Найдите коэффициент k

и второй корень уравнения x

2

+ kx – 16 = 0

№8 4x

4

– 17x

2

+4 = 0

№9



+



= 5

№10 Сократите дробь





№11 Решите уравнение

   =

  

2 вариант (практика)

Найдите корни квадратного уравнения

рационально

№1 4x

2

+ 9x = 0

№2 9x

2

– 4 = 0

№3 -5x

2

+ 23x +10 = 0

№4 6x

2

– 18x – 60 = 0

№5 y

2

– 6y + 5 = 0

№6 Запишите квадратное уравнение,

корни которого равны 3 и 1.

№7 Один из корней данного квадратного

уравнения равен -3. Найдите коэффициент k

и второй корень уравнения x

2

+ kx + 18 = 0

№8 9x

4

– 32x

2

– 16 = 0

№9



+



= 4

№10 Сократите дробь





№11 Решите уравнение

   =

  

3 вариант (практика)

Найдите корни квадратного уравнения

рационально

№1 6x

2

+ x = 0

№2 18

– 9x

2

= 0

№3 7y

2

+ 5y – 2 = 0

№4 5x

2

+ 8x – 4 = 0

№5 z

2

+ 5z + 6 = 0

№6 Запишите квадратное уравнение,

корни которого равны 7 и -2.

№7 Один из корней данного квадратного

уравнения равен -2. Найдите коэффициент k

и второй корень уравнения 3x

2

+ kx + 10 = 0

№8 9x

4

– 37x

2

+ 4 = 0

№9



=



№10 Сократите дробь





№11 Решите уравнение

   —

   = 0

Ответы

1 вариант

2 вариант

3 вариант

№1. 0;

№1. 0;  2,25

№1. 0;

№2. 

;

№2. 

;

№2. 

;

№3.  0,1; 0,4

№3.  0,4; 5

№3.  1;

№4. 3; 2

№4. 2; 5

№4. 2; 0,4

№5.  8; 1

№5. 5; 1

№5.  2; 3

№6. 2x

2

6x – 20 = 0

№6. t

2

4t + 3 = 0

№6. x

2

5x – 14 = 0

№7. x

2

= 8; k =  6

№7. x

2

= 6; k = 9

№7. x

2

=

; k = 11

№8.  2; 2; 0,5; 0,5

№8.  2; 2

№8.  2; 2;

;

№9. 2;  0,6

№9. 1;  1,5

№9. 2;  0,6

№10.





№10.





№10.





№11. 4

№11.  1

multiurok.ru

Тренажёр по алгебре (8 класс) на тему: Неполные квадратные уравнения | скачать бесплатно

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 1

Решить уравнения:

  1. 3×2-12=0
  2. 2х2+6х=0
  3. 1,8х2=0
  4. х2+25=0
  5. х2-=0
  6. х2=3х
  7. х2+2х-3=2х+6
  8. х2=3,6

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 2

Решить уравнения:

1. 2х2-18=0

2. 3х2-12х=0

3. 2,7х2=0

4. х2+16=0

5. х2-=0

6. х2=7х

7. х2-3х-5=11-3х

8. х2=2,5

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 3

Решить уравнения:

  1. 3×2-1=0
  2. 2х2-6х=0
  3. 8х2=0
  4. х2+81=0
  5. х2-=0
  6. х2=5х
  7. х2+х-3=х+6
  8. х2=8,1

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 4

Решить уравнения:

1. 2х2-32=0

2. 3х2-15х=0

3. 2,4х2=0

4. х2+49=0

5. х2-=0

6. х2=х

7. х2-7х-5=11-7х

8. х2=4,9

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 1

Решить уравнения:

  1. 3×2-12=0
  2. 2х2+6х=0
  3. 1,8х2=0
  4. х2+25=0
  5. х2-=0
  6. х2=3х
  7. х2+2х-3=2х+6
  8. х2=3,6

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 2

Решить уравнения:

1. 2х2-18=0

2. 3х2-12х=0

3. 2,7х2=0

4. х2+16=0

5. х2-=0

6. х2=7х

7. х2-3х-5=11-3х

8. х2=2,5

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 3

Решить уравнения:

  1. 3×2-1=0
  2. 2х2-6х=0
  3. 8х2=0
  4. х2+81=0
  5. х2-=0
  6. х2=5х
  7. х2+х-3=х+6
  8. х2=8,1

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 4

Решить уравнения:

1. 2х2-32=0

2. 3х2-15х=0

3. 2,4х2=0

4. х2+49=0

5. х2-=0

6. х2=х

7. х2-7х-5=11-7х

8. х2=4,9

1

2

3

4

1

2;-2

1

3,-3

1

√1/3;-√1/3

1

4,-4

2

0;-3

2

0;4

2

0;3

2

0;5

3

0

3

0

3

0

3

0

4

Нет корней

4

Нет корней

4

Нет корней

4

Нет корней

5

√6;-√6

5

√5;-√5

5

√3;-√3

5

√5;-√5

6

0;3

6

0;7

6

0;5

6

0;1

7

√3;-√3

7

4;-4

7

3;-3

7

4;-4

8

0,6;-0,6

8

0,5;-0,5

8

0,9;-0,9

8

0,7;-0,7

nsportal.ru

Неполные квадратные уравнения задания для тренировки. Примеры решения. Квадратные уравнения. коротко о главном

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III

§ 50 Квадратные уравнения

Уравнения вида

ax 2 + bx + c = 0, (1)

где х — неизвестная величина, а, b, с — данные числа (а =/= 0), называются квадратными.

Выделяя в левой части квадратного уравнения полный квадрат (см. формулу (1) § 49), получаем:

Очевидно, что уравнение (2) эквивалентно уравнению (1) (см. § 2). Уравнение (2) может иметь действительные корни только тогда, когда или b 2 — 4ас > 0 (поскольку 4а 2 > 0).

Ввиду той особой роли, которую играет выражение D = b 2 — 4ас при решении уравнения (1), этому выражению дано специальное название — дискриминант квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 (или дискриминант квадратного трехчлена ax 2 + bx + c ). Итак, если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то уравнение не имеет действительных корней .

Если же D =b 2 — 4ас > 0, то из (2) получаем:

Если дискриминант квадратного уравнения неотрицателен, то это уравнение имеет действительные корни. Они записываются в виде дроби, в числителе которой стоит коэффициент уравнения при х , взятый с противоположным знаком, плюс-минус корень квадратный из дискриминанта, а в знаменателе — удвоенный коэффициент при х 2 .

Если дискриминант квадратного уравнения положителен, то уравнение имеет два различных действительных корня:

Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю, то уравнение имеет один действительный корень:

х = — b / 2 a

(В этом случае иногда говорят, что уравнение имеет два равных корня: x 1 = x 2 = — b / 2 a )

Примеры.

1) Для уравнения 2х 2 — х — 3 = 0 дискриминант D = (- 1) 2 — 4 2 (- 3) = 25 > 0. Уравнение имеет два различных корня:

2) Для уравнения 3х 2 — 6х + 3 = 0 D = (- 6) 2 — 4 3 3 = 0. Это уравнение имеет один действительный корень

3) Для уравнения 5х 2 + 4х + 7 = 0 D = 4 2 — 4 5 7 = — 124

4) Выяснить, при каких значениях а квадратное уравнение х 2 + ах + 1 = 0:

а) имеет один корень;

б) имеет два разных корня;

в) вообще не имеет корней,

Дискриминант данного квадратного уравнения равен

D = а 2 — 4.

Если | а | = 2, тo D = 0; в этом случае уравнение имеет один корень.

Если | а | > 2, то D > 0; в этом случае уравнение имеет два разных корня.

Наконец, если | а |

Упражнения

Решить уравнения (№ 364-369):

364. 6х 2 — х — 1 = 0. 367. — х 2 + 8х — 16 = 0.

365. 3х 2 — 5х + 1 = 0. 368. 2х 2 — 12х + 12 == 0.

366. х 2 — х + 1 = 0. 369. 2х х 2 — 6 = 0.

370. Можно ли число 15 представить в виде суммы двух чисел так, чтобы их произведение было равно 70?

371. При каких значениях а уравнение

х 2 — 2ах + а (1 + а ) = 0

а) имеет два различных корня;

б) имеет только один корень;

в) не имеет корней?

372. При каких значениях а уравнение

(1 — а ) х 2 — 4ах + 4 (1 — а ) = 0

а) не имеет корней;

б) имеет не более одного корня;

в) имеет не менее одного корня?

373. При каком значении а уравнение х 2 + ах + 1 = 0 имеет единственный корень? Чему он равен?

374. В каких пределах заключено число а , если известно, что уравнения

х 2 + х + а = 0 и х 2 + х — а = 0

375. Что вы можете сказать о величине а , если уравнения

4а (х 2 + х ) = а — 2,5 и х (х — 1) = 1,25 — а

имеют одинаковое число корней?

376. Поезд был задержан на станции на t мин. Чтобы наверстать потерянное время, машинист увеличил скорость на а км/ч и на следующем перегоне в b км ликвидировал опоздание. С какой скоростью поезд шел до задержки на станции?

377. Два подъемных крана, работая вместе, разгрузили баржу за t ч. За какое время может разгрузить баржу каждый кран в отдельности, если один из них тратит на это на а ч меньше другого?

378. Один из заводов выполняет некоторый заказ на 4 дня быстрее, чем другой. За какое время может выполнить заказ каждый завод, работая отдельно, если известно, что при совместной работе за 24 дня они выполнили заказ в 5 раз больший?

Решить уравнения (№ 379, 380).

(Обратите внимание на та, что в этих уравнениях неизвестное содержится в знаменателях дробей. Полученные корни необходимо будет проверить!)

381*. При каких значениях а уравнения

х 2 + ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0

имеют хотя бы один общий корень?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Виды квадратных уравнений

Что такое квадратное уравнение? Как оно выглядит? В термине квадратное уравнение ключевым словом является «квадратное». Оно означает, что в уравнении обязательно должен присутствовать икс в квадрате. Кроме него, в уравнении могут быть (а могут и не быть!) просто икс (в первой степени) и просто число (свободный член). И не должно быть иксов в степени, больше двойки.

Говоря математическим языком, квадратное уравнение — это уравнение вида:

Здесь a, b и с – какие-то числа. b и c – совсем любые, а а – любое, кроме нуля. Например:

Здесь а =1; b = 3; c = -4

Здесь а =2; b = -0,5; c = 2,2

Здесь а =-3; b = 6; c = -18

Ну, вы поняли…

В этих квадратных уравнениях слева присутствует полный набор членов. Икс в квадрате с коэффициентом а, икс в первой степени с коэффициентом b и свободный член с.

Такие квадратные уравнения называются полными.

А если b = 0, что у нас получится? У нас пропадёт икс в первой степени. От умножения на ноль такое случается.) Получается, например:

5х 2 -25 = 0,

2х 2 -6х=0,

-х 2 +4х=0

И т.п. А если уж оба коэффицента, b и c равны нулю, то всё ещё проще:

2х 2 =0,

-0,3х 2 =0

Такие уравнения, где чего-то не хватает, называются неполными квадратными уравнениями. Что вполне логично.) Прошу заметить, что икс в квадрате присутствует во всех уравнениях.

Кстати, почему а не может быть равно нулю? А вы подставьте вместо а нолик.) У нас исчезнет икс в квадрате! Уравнение станет линейным. И решается уже совсем иначе…

Вот и все главные виды квадратных уравнений. Полные и неполные.

Решение квадратных уравнений.

Решение полных квадратных уравнений.

Квадратные уравнения решаются просто. По формулам и чётким несложным правилам. На первом этапе надо заданное уравнение привести к стандартному виду, т.е. к виду:

Если уравнение вам дано уже в таком виде — первый этап делать не нужно.) Главное — правильно определить все коэффициенты, а , b и c .

Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

Выражение под знаком корня называется дискриминант . Но о нём — ниже. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с . Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с в эту формулу и считаем. Подставляем со своими знаками! Например, в уравнении:

1kingvape.ru

Урок по теме «Решение квадратных уравнений». 8-й класс

Разделы: Математика


Рассмотрим стандартные (изучаемые в школьном курсе математики) и нестандартные приёмы решения квадратных уравнений.

1. Разложение левой части квадратного уравнения на линейные множители.

Рассмотрим примеры:

3) х2 + 10х – 24 = 0.

6(х2 + х – х ) = 0 | : 6

х2 + х – х – = 0;

х(х – ) + (х – ) = 0;

х(х – ) (х + ) = 0;

= ; – .

Ответ: ; – .

Для самостоятельной работы:

Решите квадратные уравнения, применяя метод разложения левой части квадратного уравнения на линейные множители.

а) х2 – х = 0;

г) х2 – 81 = 0;

ж) х2 + 6х + 9 = 0;

б) х2 + 2х = 0;

д) 4х2 – = 0;

з) х2 + 4х + 3 = 0;

в) 3х2 – 3х = 0;

е) х2 – 4х + 4 = 0;

и) х2 + 2х – 3 = 0.

Ответы:

а) 0; 1

г) ± 9

ж) – 3

б) -2; 0

д)

з) -3; -1

в) 0; 1

е) 2

и) -3; -1

2. Метод выделения полного квадрата.

Рассмотрим примеры:

Для самостоятельной работы.

Решите квадратные уравнения, применяя метод выделения полного квадрата.

3. Решение квадратных уравнений по формуле.

ах2 + вх + с = 0, (а | · 4а

2х2 + 4ав + 4ас = 0;

2ах + 2ах·2в + в2 – в2 + 4ас = 0;

2 = в2 – 4ас;

= ± ;

2ах = -в ±;

х1,2 =.

Рассмотрим примеры.

Для самостоятельной работы.

Решите квадратные уравнения, применяя формулу х1,2 =.

4. Решение квадратных уравнений с использованием теоремы Виета (прямой и обратной)

x2 + px +q = 0 – приведённое квадратное уравнение

по теореме Виета.

Если то уравнение имеет два одинаковых корня по знаку и это зависит от коэффициента .

Если p, то .

Если p, то.

Например:

Если то уравнение имеет два различных по знаку корня, причём больший по модулю корень будет , если p и будет , если p.

Например:

Для самостоятельной работы.

Не решая квадратного уравнения, по обратной теореме Виета определите знаки его корней:

Ответы:

а, б, к, л – различные корни;

в, д, з – отрицательные;

г, е, ж, и, м – положительные;

5. Решение квадратных уравнений методом “переброски”.

Для самостоятельной работы.

Решите квадратные уравнения, применяя метод “переброски”.

6. Решение квадратных уравнений с применением свойств его коэффициентов.

I. ax2 + bx + c = 0, где a 0

1) Если а + b + с = 0, то х1 = 1; х2 =

Доказательство:

ax2 + bx + c = 0 |: а

х2 + х + = 0.

По теореме Виета

По условию а + b + с = 0, тогда b = -а – с. Далее получим

Из этого следует, что х1 =1; х2 = . Что и требовалось доказать.

2) Если а – b + с = 0 (или b = а +с ) , то х1 = – 1; х2 = –

Доказательство:

По теореме Виета

По условию а – b + с = 0 , т.е. b = а +с . Далее получим:

Поэтому х1 = – 1; х2 = – .

Рассмотрим примеры.

1) 345 х2 – 137 х – 208 = 0.

а + b + с = 345 – 137 – 208 = 0

х1 = 1; х2 = =

Ответ: 1;

2) 132 х2 – 247 х + 115 = 0.

а + b + с = 132 -247 -115 = 0.

х1 = 1; х2 = =

Ответ: 1;

Для самостоятельной работы.

Применяя свойства коэффициентов квадратного уравнения, решите уравнения

II. ax2 + bx + c = 0, где a 0

х1,2 = . Пусть b = 2k, т.е. чётное. Тогда получим

х1,2 = = = =

Рассмотрим пример:

2 – 14х + 16 = 0 .

D1 = (-7)2 – 3·16 = 49 – 48 = 1

х1,2 = ;

х1 = = 2; х2 =

Ответ: 2;

Для самостоятельной работы.

а) 4х2 – 36х + 77 = 0

б) 15х2 – 22х – 37 = 0

в) 4х2 + 20х + 25 = 0

г) 9х2 – 12х + 4 = 0

Ответы:

а) 3,5; 5,5

б) -1; 2

в) -2,5

г)

III. x2 + px + q = 0

х1,2 = – ± 2– q

Рассмотрим пример:

х2 – 14х – 15 = 0

х1,2 = 7 = 7

х1 = -1; х2 = 15.

Ответ: -1; 15.

Для самостоятельной работы.

а) х2 – 8х – 9 = 0

б) х2 + 6х – 40 = 0

в) х2 + 18х + 81 = 0

г) х2 – 56х + 64 = 0

Ответы:

а) -1; 9

б) -10; 4

в) –9

г) 28 18

7. Решение квадратного уравнения с помощью графиков.

Примеры.

а) х2 – 3х – 4 = 0

х2 = 3х + 4

Ответ: -1; 4

б) х2 – 2х + 1 = 0

х2 = 3х + 4

Ответ: 1

в) х2 – 2х + 5 = 0

х2 = 2х -5

Ответ: нет решений

Для самостоятельной работы.

Решить квадратные уравнения графически:

8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

ax2 + bx + c = 0,

х2 + х + = 0.

х1 и х2 – корни.

Пусть А(0; 1), С(0;

По теореме о секущих:

ОВ· ОД = ОА · ОС.

Поэтому имеем:

х1 · х2 = 1 · ОС;

ОС = х1 х2

К(; 0), где = —

F(0; ) = (0; ) = )

S(-; )

Итак:

1) Построим точку S(-; ) – центр окружности и точку А(0;1).

2) Проведём окружность с радиусом R = SA/

3) Абсциссы точек пересечения этой окружности с осью ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

Возможны 3 случая:

1) R > SK (или R > ).

Окружность пересекает ось ох в точке В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 – корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.

2) R = SK (или R = ).

Окружность касается оси ох в тоске В11; 0), где х1 – корень квадратного уравнения

ax2 + bx + c = 0.

3) R < SK (или R < ).

Окружность не имеет общих точек с осью ох, т.е. нет решений.

Примеры.

1) x2 – 2x – 3 = 0.

Центр S(-; ),т.е.

х0 = = – = 1,

у0 = = = – 1.

(1; – 1) – центр окружности.

Проведём окружность (S; AS), где А(0; 1).

 

Ответ: х1 = – 1; х2 = 3.

2) x2 – 5x + 4 = 0.

х0 = = – = 2,5; у0 = = = 2,5.

 

Ответ: х1 = 1; х2 = 4.

3) x2 + 4x + 4 = 0.

х0 = = – = – 2,

у0 = = = 2,5

Ответ: х= -2.

4) x2 – 2x + 3 = 0.

х0 = = – = 1,

у0 = = = 2.

Ответ: нет решений.

Для самостоятельной работы.

Решить следующие квадратные уравнения с помощью циркуля и линейки:

9. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

Для решения используют Четырёхзначные математические таблицы В.М. Брадиса (таблица XXII, стр. 83).

Номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения x2 + px + q = 0, по его коэффициентам определить корни уравнения. Например:

5) z2 + 4z + 3 = 0.

Оба корня отрицательные. Поэтому сделаем замену: z1 = – t. Получим новое уравнение:

t2 – 4t + 3 = 0.

t1 = 1 ; t2 = 3

z1 = – 1 ; z2 = – 3.

Ответ: – 3; – 1

6) Если коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, то выполняют подстановку z = k · t и решают с помощью номограммы уравнение: z2+ pz + q = 0.

к2 t2 + p· kt + q = 0. |: к2

t2 + t + = 0.

к берут с расчётом, чтобы имели место неравенства:

Для самостоятельной работы.

С помощью таблицы Брадиса решить следующие квадратные уравнения:

10. Геометрический метод решения квадратных уравнений

Рассмотрим примеры, которые решаются с помощью геометрии.

Пример 1. (из “Алгебры” ал-Хорезми)

х2 + 10х = 39.

10 : 4 = 2 ; · 2 = 6 .

SABCD = х2 + 4Sпр. + 4Sкв. = х2 + 4·2х + 4 · 6 = х2 + 10х + 25.

Заменим х2 + 10х на 39.

SABCD = 39 + 25 = 64 = 82.

Значит сторона АВ = 8.

х= 8 – 2 – 2 =8 – 5 = 3.

х = 3

х1 + х2 = -10,

3 + х2 = -10,

х2 = -13.

Ответ: – 13

Пример 2. (решение уравнения древними греками)

у2 + 6у – 16 = 0.

у2 + 6у = 16, |+ 9

у2 + 6у + 9 = 16 + 9

(у + 3)2 = 25

у + 3 = ± 5,

у1 = 2, у2 = -8.

Ответ: -8; 2

Для самостоятельной работы.

Решите геометрически уравнение у2 – 6у – 16 = 0.

Ответ: – 2; 8.

14.04.2013

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Тренировочные задания по теме «Квадратные уравнения»

Коэффициенты квадратного уравнения.

Вариант 1. Выпишите коэффициенты квадратного уравнения.

Вариант 1. Выпишите коэффициенты квадратного уравнения.

Вариант 1. Выпишите коэффициенты квадратного уравнения.

5х2 + 7х + 2 = 0

a =

b =

c =

3х2 + 8х + 5 = 0

a =

b =

c =

10х2 + 9х + 4 = 0

a =

b =

c =

3х2 — 6х + 4 = 0

a =

b =

c =

2х2 — 7х + 4 = 0

а =

b =

c =

4х2 — 12х + 5 = 0

a =

b =

c =

6х2 + 2х — 1 = 0

a =

b =

c =

3х2 + 8х — 3 = 0

a =

b =

c =

5х2 + 7х — 2 = 0

a =

b =

c =

х2 + 9х — 22 = 0

a =

b =

c =

х2 — 7х + 10 = 0

a =

b =

c =

х2 + 4х — 6 = 0

a =

b =

c =

6+ 10х — 3х2 = 0

a =

b =

c =

4х — 6х2 + 3 = 0

a =

b =

c =

-9х + 7 — 5х2= 0

a =

b =

c =

5х2 — 2 = 0

a =

b =

c =

7х2 = 0

a =

b =

c =

-3х2 + 8х = 0

a =

b =

c =

х — 10х2 + 6 = 0

a =

b =

c =

9х — 15 — 13х2= 0

a =

b =

c =

24 — 4х2= 0

a =

b =

c =

Вариант 1. Выпишите коэффициенты квадратного уравнения.

Вариант 1. Выпишите коэффициенты квадратного уравнения.

Вариант 1. Выпишите коэффициенты квадратного уравнения.

8х2 + 5х + 3 = 0

a =

b =

c =

6х2 + 5х + 1 = 0

a =

b =

c =

12х2 + 7х + 5 = 0

a =

b =

c =

3х2 — 7х + 4 = 0

a =

b =

c =

2х2 — 7х + 5 = 0

а =

b =

c =

5х2 — 12х + 7 = 0

a =

b =

c =

4х2 + 2х — 1 = 0

a =

b =

c =

3х2 + 8х — 7 = 0

a =

b =

c =

11х2 + 7х — 18 = 0

a =

b =

c =

х2 + 6х — 16 = 0

a =

b =

c =

х2 — 11х + 30 = 0

a =

b =

c =

х2 + 5х — 6 = 0

a =

b =

c =

4+ 7х — 5х2 = 0

a =

b =

c =

9х — 6х2 + 1 = 0

a =

b =

c =

-8х + 3 — 4х2= 0

a =

b =

c =

9х2 — 16 = 0

a =

b =

c =

8х2 = 0

a =

b =

c =

-4х2 + 9х = 0

a =

b =

c =

8х — 11х2 + 5 = 0

a =

b =

c =

х — 5 — 13х2= 0

a =

b =

c =

28 — 4х2= 0

a =

b =

c =

infourok.ru

?квадратные уравнения примеры для тренировки

Упражнения. Квадратные уравнения.

Эти упражнения позволят проверить, как вы умеете решать квадратные уравнения.

Решение задач и упражнений лучший способ проверить свои знания и закрепить пройденный материал!

4 x 2 + 3 x — 4 = 0

здесь реклама 1

Для перехода к следующему заданию нажмите кнопку «Следующий пример».

Внимание. При переходе к новому заданию этот пример станет недоступным.

Правила. Квадратное уравнение и его решение

a x 2 + b x + c = 0,

где a не равно 0.

  • Если D > 0, то уравнение имеет два различных вещественных корня.
  • Если D = 0, то уравнение имеет один корень ( x 1 = x 2).
  • Если D 2 + px + q = 0

равна коэффициенту p , взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q :

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Копирование материалов запрещено.

здесь реклама 2

Добро пожаловать на OnlineMSchool.

Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Квадратные уравнения примеры для тренировки

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III

§ 50 Квадратные уравнения

где х — неизвестная величина, а, b, с — данные числа (а =/= 0), называются квадратными.

Выделяя в левой части квадратного уравнения полный квадрат (см. формулу (1) § 49), получаем:

Очевидно, что уравнение (2) эквивалентно уравнению (1) (см. § 2). Уравнение (2) может иметь действительные корни только тогда, когда или b 2 — 4ас > 0 (поскольку 4а 2 > 0).

Ввиду той особой роли, которую играет выражение D = b 2 — 4ас при решении уравнения (1), этому выражению дано специальное название — дискриминант квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 (или дискриминант квадратного трехчлена ax 2 + bx + c ). Итак, если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то уравнение не имеет действительных корней.

Если дискриминант квадратного уравнения неотрицателен, то это уравнение имеет действительные корни. Они записываются в виде дроби, в числителе которой стоит коэффициент уравнения при х, взятый с противоположным знаком, плюс-минус корень квадратный из дискриминанта, а в знаменателе — удвоенный коэффициент при х 2 .

Если дискриминант квадратного уравнения положителен, то уравнение имеет два различных действительных корня:

Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю, то уравнение имеет один действительный корень:

1) Для уравнения 2х 2 — х — 3 = 0 дискриминант D = (— 1) 2 — 4 • 2 • ( — 3) = 25 > 0. Уравнение имеет два различных корня:

2) Для уравнения 3х 2 — 6х + 3 = 0 D = (— 6) 2 — 4 • 3 • 3 = 0. Это уравнение имеет один действительный корень

3) Для уравнения 5х 2 + 4х + 7 = 0 D = 4 2 — 4 • 5 • 7 = — 124 < 0. Это уравнение не имеет действительных корней.

4) Выяснить, при каких значениях а квадратное уравнение х 2 + ах + 1 = 0:

а) имеет один корень;

б) имеет два разных корня;

в) вообще не имеет корней,

Дискриминант данного квадратного уравнения равен

Если | а | = 2, тo D = 0; в этом случае уравнение имеет один корень.

Если | а | > 2, то D > 0; в этом случае уравнение имеет два разных корня.

Наконец, если | а | < 2, то данное уравнение не имеет корней.

Решить уравнения (№ 364—369):

370. Можно ли число 15 представить в виде суммы двух чисел так, чтобы их произведение было равно 70?

371. При каких значениях а уравнение

а) имеет два различных корня;

б) имеет только один корень;

в) не имеет корней?

372. При каких значениях а уравнение

а) не имеет корней;

б) имеет не более одного корня;

в) имеет не менее одного корня?

373. При каком значении а уравнение х 2 + ах + 1 = 0 имеет единственный корень? Чему он равен?

374. В каких пределах заключено число а, если известно, что уравнения

имеют одинаковое число корней?

375. Что вы можете сказать о величине а, если уравнения

имеют одинаковое число корней?

376. Поезд был задержан на станции на t мин. Чтобы наверстать потерянное время, машинист увеличил скорость на а км/ч и на следующем перегоне в b км ликвидировал опоздание. С какой скоростью поезд шел до задержки на станции?

377. Два подъемных крана, работая вместе, разгрузили баржу за t ч. За какое время может разгрузить баржу каждый кран в отдельности, если один из них тратит на это на а ч меньше другого?

378. Один из заводов выполняет некоторый заказ на 4 дня быстрее, чем другой. За какое время может выполнить заказ каждый завод, работая отдельно, если известно, что при совместной работе за 24 дня они выполнили заказ в 5 раз больший?

Решить уравнения (№ 379, 380).

(Обратите внимание на та, что в этих уравнениях неизвестное содержится в знаменателях дробей. Полученные корни необходимо будет проверить!)

381*. При каких значениях а уравнения

8.2.2. Решение полных квадратных уравнений

I. ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение общего вида

Если D>0, то имеем два действительных корня:

Если D=0, то имеем единственный корень (или два равных корня) х=-b/(2a).

Если D<0, то действительных корней нет.

D=b 2 — 4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 действительных корня.

D=b 2 — 4ac=21 2 — 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 действительных корня.

II. ax 2 +bx+c=0 квадратное уравнение частного вида при четном втором

Первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус с, деленному на а:

Первый корень всегда равен единице, а второй корень равен с, деленному на а:

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

  1. Не имеют корней;
  2. Имеют ровно один корень;
  3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4 ac .

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

  1. Если D < 0, корней нет;
  2. Если D = 0, есть ровно один корень;
  3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:

a = 1, b = −8, c = 12;

D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:

D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:

D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Задача. Решить квадратные уравнения:

x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;

D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

15 − 2 x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;

D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

Наконец, третье уравнение:

x 2 + 12 x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;

D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением , если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид a x 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Решение неполного квадратного уравнения

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (− c / a ) ≥ 0. Вывод:

  1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (− c / a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
  2. Если же (− c / a ) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (− c / a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

5 x 2 + 30 = 0 ⇒ 5 x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4 x 2 − 9 = 0 ⇒ 4 x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Новобытовская средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов

Квадратные уравнения 8 класс алгебра

Учитель: Федулкина Т.А.

  • Что такое квадратные уравнения. Виды уравнений.

Формула квадратного уравнения: ax 2 +bx+c=0,где a≠0, где x — переменная, a,b,c — числовые коэффициенты.

Пример полного квадратного уравнения:

Решение полных квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:

Если D>0, то уравнение имеет два корня и находим эти корни по формуле:

Если D=0, уравнение имеет один корень

Если D<0, уравнение не имеет вещественных корней.

Записываем сначала, чему равны числовые коэффициенты a, b и c.

Коэффициент a всегда стоит перед x 2 , коэффициент b всегда перед переменной x, а коэффициент c – это свободный член.

Дискриминант больше нуля, следовательно, у нас два корня, найдем их:

Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.

D=b 2 -4ac=(2) 2 -4∙1∙1=4-4=0

Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень:

Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.

D=b 2 -4ac=(-1) 2 -4∙7∙2=1-56=-55

Дискриминант меньше нуля, следовательно, корней нет.

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:

Пример как выглядят такие уравнения: x 2 -8x=0, 5x 2 +4x=0.

Чтобы решить такое уравнение необходимо переменную x вынести за скобки. А потом каждый множитель приравнять к нулю и решить уже простые уравнения.

Выносим переменную x за скобку,

Приравниваем каждый множитель к нулю,

Выносим переменную x за скобку,

Приравниваем каждый множитель к нулю,

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:

Чтобы решить это уравнение, нужно записать так:

x 2 =c/a , если число c/a будет отрицательным числом, то уравнение не имеет решения.

А если c/a положительное число, то решение выглядит таким образом: корень квадратного уравнения

x 2 =-5, видно, что -5<0, значит нет решения.

Ответ: нет решения

2) Тренировочные задания на решение квадратных уравнений 8 класс алгебра.

  1. Решите неполное квадратное уравнение:

gladweb.ru