Косинус 3 корень из 2: Решите уравнение cos(x)=sqrt(3)/2 (косинус от (х) равно квадратный корень из (3) делить на 2)

Решение: Твоя задача всегда — изгнать кратные 360 или 2π, чтобы вы оставались с положительным углом от 0 до 360 (от 0 до 2π).

−868 = −1080 + 212. И 212 находится между 180 и 270, так что −868 встречается в Q III.

42 радиана составляет около 13,37π, или 12π + 1,37π. 1,37π, очевидно, находится между π и 3π / 2 (1.5π), поэтому 42 (радианы) находится в III квартале.

В Q III значения x и y отрицательны. Следовательно В Q III синус и косинус отрицательны, а тангенс положительна.

Решение: (a) 700 = 360 + 340, поэтому грех 700 = грех 340. 340 в Q IV, где y отрицательно; следовательно, синус отрицательный. Базовый угол равен 20, поэтому грех 700 = −sin 20.

(б) 780 = 720 + 60, поэтому загар 780 = загар 60.

(в) −390,5 ≈ −124,3π, или −126π + 1,7π; следовательно cos (-390,5) ≈ cos 1,7π. Угол 1,7π радиан находится между 1,5π и 2π, поэтому в Q IV, где x положительно и, следовательно, косинус равен положительный.Базовый угол составляет около 2π — 1,7π ≈ 0,3π или 0,94, поэтому cos (-390,5) ≈ cos 0,94.

Решение: (a) 720 делится на 360, поэтому cos (720- A ) = cos (- A ). Но cos (- A ) = cos A , и поэтому cos (720- A ) = cos A .

(б) sin (43π + A ) = грех (42π + π + A ) = sin (π + A ).sin (π + A ) = −sin A , поэтому sin (43π + A ) = −sin A .

Решения для части 6: Квадратные идентичности

Решение :

sin² A + cos² A = 1

cos² A = 1 — sin² A = 1 — (3/4) = 1 — 9/16

cos² A = 7/16

cos А = √7 / 16 ⇒ cos A = √7 / 4 или −√7 / 4

Вы помните знак? Как только x = 9 имеет два решения, 3 и −3, поэтому любое уравнение в cos² A имеет два решения.

Это имеет смысл с точки зрения функций. Есть два углы в интервале [0, 2π) или [0, 360) где sin A = 3/4, один острый и один тупой. В острый имеет положительный косинус, а тупой — отрицательный. косинус.

Решение : Поскольку эта глава посвящена в квадрате личности, вы можете быть уверены, что она существует который соединяет tan x и sec x .Но предположим, вы встретили это проблема в другом контексте?

Ну, вы знаете два тождества с касательной функцией. Определение tan B = (sin B ) / cos B не соответствует много ли вам добра, потому что в нем смешаны синус и косинус вместе. У вас смутные воспоминания о квадратной идентичности (если вы как и я, он тусклый), но вы также знаете, что можете воссоздать его легко, с одного личность в квадрате, которую невозможно забыть:

sin² B + cos² B = 1

У вас есть sin² B , который станет tan² B , если вы разделите обе стороны на cos² B .

(sin² B ) / cos² B + (cos² B ) / cos² B = 1 / cos² B

tan² B + 1 = sec² B

Успех! У вас есть личность, которая связывает касательную и секущие функции. Теперь можно переходить к решению проблемы.

(−2√2) + 1 = сек² B

сек² B = (4 × 2) + 1 = 9

сек B = 3

Знак вам нужен, потому что оба ( x ) и (- x ) — x .Но делает это имеет смысл с точки зрения триггера? Да, потому что касательная отрицательна в Q II и Q IV, а секущая, имеющая то же знак как косинус, 1 по косинусу положителен в Q IV, но отрицательный в Q II.

Решение : Подождите, что? У тебя нет тождество, соединяющее тангенс и косинус. Но у вас есть соединяя касательную и секанс, и вы знаете, что секанс на 1 больше косинус, так что вы тоже можете сделать это.

Начните с квадрата идентичности из предыдущей задачи:

tan² C + 1 = sec² C

(√15) + 1 = 15 + 1 = 16 ⇒ сек² C = 16

сек C = 4 ⇒ cos C = 1/4

Решение : Хорошо, в предыдущей задаче вы получили касательная к косинусу. Но вы уже знаете, как перейти от косинуса к синус, так что у вас просто еще одно звено в цепочке.

tan² D + 1 = sec² D

сек² D = (√15) + 1 = 16

сек D = 4 ⇒ cos D = 1/4

sin² D + cos² D = 1

sin² D = 1 — cos² D = 1 — (1/4) = 1 — 1/16 = 15/16

sin D = √15 / 4

Доказательство :

желто-коричневый x = коричневый x

загар x cos x = загар x cos x

sin x = tan x / сек x

sin² x = tan² x / сек² x

Но tan² x + 1 = sec² x , поэтому замена у вас

sin² x = tan² x / (tan² x + 1) QED

Возможны многие другие доказательства.Например, вы можете заменить tan² x с sin² x / cos² x в личность вас попросили доказать, а затем упростить дробь. Пока каждый шаг в вашем доказательстве действителен как в обратном, так и в обратном направлении. вперед, ваше доказательство в порядке.

Если ваше доказательство начинается с очевидной идентичности, а затем работает вперед к личности, которую мы попросили доказать, как и вышеприведенное доказательство, тогда имеет значение только то, что все шаги действительны в этом форварде направление.

Решения для части 7: формулы суммы и разности

Решение: Начать с −15 = 30-45

грех (-15) = грех (30−45)

грех (-15) = грех 30 соз 45 — cos 30 sin 45

грех (-15) = (1/2) (√2 / 2) — (√3 / 2) (√2 / 2) = √2 / 4 — √6 / 4

грех (-15) = (√2 — √6) / 4

Альтернативное решение: Вы также можете сделать это с помощью 45-60:

грех (-15) = грех (45-60)

грех (-15) = грех 45 cos 60 — соз 45 грех 60

грех (-15) = (√2 / 2) (1/2) — (√2 / 2) (√3 / 2) = √2 / 4 — √6 / 4 = (√2 — √6) / 4

Решение: 105 = 60 + 45

загар 105 = загар (60 + 45)

загар 105 = (загар 60 + загар 45) / (1 — загар 60 загар 45)

загар 105 = (√3 + 1) / (1 — (√3) (1)) = (√3 + 1) / (1 — √3)

Умножить верхнюю и нижнюю на 1 + √3, чтобы получить рационализировать знаменатель:

загар 105 = (√3 + 1) / ((1 — √3) (1 + √3))

загар 105 = (3 + 2√3 + 1) / (1-3) = (4 + 2√3) / (- 2) = −2 — √3

Проба:

cos 2 А = cos ( A + A )

cos 2 А = cos A cos A — sin A sin A

cos 2 А = cos² A — sin² A

Но sin² A = 1 — cos² A

cos 2 А = cos² A — (1 — cos² A ) = cos² A — 1 + cos² A

cos 2 А = 2 cos² A — 1 QED

(а) cos (- A ) = cos A (Я сделал за вас первый шаг.)

cos (- А ) = cos (0 — А )

cos (- А ) = cos 0 cos A + sin 0 sin A

cos (- А ) = 1 cos A + 0 sin A

cos (- А ) = cos A QED

(б) tan (π + A ) = tan A

загар (π + A ) = (tan π + tan A ) / (1 — tan π tan A )

загар (π + A ) = (0 + загар A ) / (1-0 загар A )

загар (π + A ) = (загар A ) / 1

загар (π + A ) = желто-коричневый A QED

(c) sin (π — A ) = sin A

sin (π — A ) = sin π cos A — cos π sin A

sin (π — A ) = 0 cos A — (−1) sin A

sin (π — A ) = грех A QED

Решения для Части 8: Формулы двойного и половинного угла

Решение: : 90 — половина 180. Синус и косинус равны положительный или ноль на 90, поэтому знаки в формулах можно рассматривать как положительный.

грех (180/2) = √ (1 — cos 180) / 2 = √ (1 — (−1)) / 2 = √2 / 2

грех 90 = 1

cos (180/2) = √ (1 + cos 180) / 2 = √ (1 + (−1)) / 2 = √0 / 2

cos 90 = 0

Почему я не просил вас сделать то же самое для загар 90?

Решение: 120 — это двойное 60. sin 60 = √3 / 2, cos 60 = 1/2 и загар 60 = √3.

грех (260) = 2 sin 60 cos 60 = 2 (√3 / 2) (1/2)

грех 120 = (√3) / 2

cos (260) = 2 cos² 60 — 1 = 2 × (1/2) — 1 = (1/2) — 1

cos 120 = -1/2

загар (260) = 2 загар 60 / (1 — загар² 60) = 2 √3 / (1 — (√3)) = 2 √3 / (1-3) = 2 √3 / (−2)

загар 120 = −√3

Альтернативное решение: Вы также можете разделить:

загар 120 = грех 120 / соз 120 = (√3 / 2) / (-1/2) = −√3

(На самом деле это сделано, позже раздел, используя другой метод.)

Решение: Сначала синус:

sin (2 A + A ) = sin 2 A cos A + cos 2 A sin A

sin 3 A = (2 sin A cos A ) cos A + (1-2 sin² A ) sin A

sin 3 A = 2 sin A cos² A + sin A — 2 sin³ A

sin 3 A = 2 sin A (1 — sin² A ) + sin A — 2 sin³ A

sin 3 A = 2 sin A — 2 sin³ A + sin A — 2 sin³ A

sin 3 A = 3 sin A — 4 sin³ A , или (3 — 4 sin² A ) sin A

Теперь косинус:

cos (2 A + A ) = cos 2 A cos A — sin 2 A sin A

cos 3 А = (2 cos² A — 1) cos A — (2 sin A cos A ) sin A

cos 3 А = 2 cos³ A — cos A — 2 sin² A cos A

cos 3 А = 2 cos³ A — cos A — 2 (1 — cos² A ) cos A

cos 3 А = 2 cos³ A — cos A — 2 cos A + 2 cos³ A

cos 3 А = 4 cos³ A — 3 cos A , или (4 cos² A — 3) cos A

Решение:

загар 3 A = sin 3 A / cos 3 A

загар 3 A = ((3 — 4 sin² A ) sin A ) / ((4 cos² A — 3) cos A )

загар 3 A = (sin A / cos A ) (3-4 sin² A ) / (4 cos² A — 3)

загар 3 A = tan A (3 — 4 sin² A ) / (4 cos² A — 3)

Разделите верх и низ на cos² A .Это, по крайней мере, избавляет sin² A и cos² A , хотя он вводит секущие функции. (Вы помните, что 1 / cos A = сек А , верно?)

загар 3 A = tan A (3 сек² A — 4 tan² A ) / (4–3 сек² A )

Это может выглядеть не лучше, но раньше вам пришлось избавиться от двух нежелательных функций; теперь у вас есть только один нежелательный функция, даже если это происходит дважды.И его sec² A . Разве нет какого-то Пифагорейская идентичность с участием sec² A ? Да, есть! sin² A + cos² A = 1 ⇒ tan² A +1 = сек² А .

загар 3 A = tan A (3 (tan² A + 1) — 4 tan² A ) / (4 — 3 (tan² A + 1))

загар 3 A = tan A (3 tan² A + 3 — 4 tan² A ) / (4–3 tan² A — 3)

загар 3 A = желто-коричневый A (3 — tan² A ) / (1 — 3 tan² A )

Чек:

желто-коричневый (2 A + A ) = (загар 2 A + загар A ) / (1 — загар 2 A загар A )

Из уравнения 60, tan 2 A = 2 желтовато-коричневый A / (1 — коричневый² A ).

загар 3 A = (2 желтовато-коричневый A / (1 — коричневый² A ) + коричневый A ) / (1 — (2 желтовато-коричневый A / (1 — коричневый² A )) коричневый A )

Ну вот и бардак! Очистите это, умножив вершину и снизу по (1 — tan² A ).

загар 3 A = (2 желтовато-коричневый A + (1 — желтовато-коричневый² A ) коричневый A ) / ((1 — желтовато-коричневый² A ) — 2 желтовато-коричневый A желто-коричневый A )

загар 3 A = (3 желтовато-коричневый A — желтовато-коричневый³ A ) / (1 — 3 tan² A )

Вынести за скобки tan A из верхней части фракции, и это то же самое, что и при первом методе:

загар 3 A = желто-коричневый A (3 — tan² A ) / (1 — 3 tan² A )

Решение: π / 8 (22) составляет половину от π / 4 (45), поэтому вам нужны формулы половинного угла. И π / 8 находится в квадранте I, поэтому все значения функции будут положительными.

грех π / 8 = √ (1 — cos π / 4) / 2

грех π / 8 = √ (1 — √2 / 2) / 2 = √ (2 — √2) / 4 = () √2 — √2

Это выражение содержит вложенных радикалов . Хотя некоторые вложенные радикалы могут быть денестированы, следуя техника в Denesting Radicals (или Unnesting Radicals), эта к сожалению не может.

cos π / 8 = √ (1 + cos π / 4) / 2

cos π / 8 = √ (1 + √2 / 2) / 2 = √ (2 + √2) / 4 = () √2 + √2

Теперь перейдем к касательной.Вы можете использовать формула полуугла, или просто разделите синус на косинус.

тангенса π / 8 = (грех π / 8) / (соз π / 8)

тангенса π / 8 = √2 — √2 / √2 + √2

Этот можно денестировать , если умножить вершину и снизу на √2 — √2. Ты обычно делаешь это так или иначе, чтобы рационализировать знаменатель, но это приятный бонус в том, что это происходит, чтобы очистить числитель.

тангенса π / 8 = √ (2 — √2) (2 — √2) / √ (2 + √2) (2 — √2)

тангенса π / 8 = (2 — √2) / √ (4-2) = (2 — √2) / √2 = √2 — 1

Решения для части 9: Обратные функции

Решение : Arctan x — это угол, тангенс которого равен x , поэтому возможные значения Arctan x — это углы в Q IV и Q I, касательные к которым можно брать. Но tan −π / 2 и tan π / 2 не существует, поэтому они не являются возможными значениями Арктан x .

Решение : Если угол A равен Arcsin x , то мы можем сделайте x противоположную сторону и 1 гипотенузу. Посредством теорема Пифагора, которая делает смежную сторону √1 — х . sec A поэтому сек (Arcsin x ) = 1 / √1 — x .

В ответе нет нечетных степеней x , поэтому мы не нужно беспокоиться о знаке x .

Давайте проверим это с помощью х = -0.7: Arcsin −0,7 ≈ −44,43, а с -44,3 = 1 / cos −44,3 ≈ 1,40. 1 / √ (1 — 0,7) ≈ 1,40 также, так что формула верна, по крайней мере, для этого теста.

Решение : Если угол A равен Arccos 1/ x , мы можем установить гипотенузу на x , а прилегающую сторону на 1, поэтому что cos A = 1/ x по мере необходимости.Третья сторона √ x — 1.

Что грешит А ? Это должно быть √ x — 1/ x . Но это выражение имеет нечетную степень x , поэтому нам нужно проверьте знаки. Если x отрицательно, то Arccos x будет во втором квартале. Синусоидальная функция имеет все положительные значения в Q II, значит, у нас должен быть положительный ответ. Но как написано, дробь отрицательна, если x отрицательна, поэтому требуется знак абсолютного значения, как в примере 3.Наш окончательный ответ —

sin (Arccos 1/ x ) = √ ( x — 1) / | x |

Давайте проверим это с помощью х = -1,3: Arccos (1 / −1,3) ≈ 140,28, дюйм Q II, как ожидалось, и sin 140,28 ≈ 0,64, положительное число, например синусы всех углов в Q II. √ ((- 1,3) — 1) / | −1,3 | ≈ 0,64 тоже. Итак, формула верна, по крайней мере, для этого тестового примера даже с отрицательным x, положив угол в Q II, формула при необходимости возвращает положительное число.

Решения для части 10: развлечения с комплексными числами

Решения : (а) 62 (cos (240) + i sin (240)) ≈ −31−53,69i

(b) очевидно в радианах, так как градусы отсутствуют. отметка. 100 (cos (1,17) + i sin (1,17)) ≈ 39.02 + 92.08i

Решения : (а) r = √ (-42) + 17 ≈ 45,31. θ = 2 Arctan (17 / (- 42 + 45,31)) ≈ 2,76; умножьте на 180 / π, чтобы преобразовать в 157,96. Ответы: 45,31 цис 157.96 или 45,31 цис 2,76. Конечно, вы могли бы использовать любые другие формы, показанные в главе.

(b) и (c) — это пустяки, так как у вас нет для вычисления радиуса или угла.
(б) 100i = 100∠90 или 100e ^{iπ / 2}
(в) −14,7 = 14,7∠180 или 14,7 e ^iπ

Решение : Сначала положите −i в полярную форму, что достаточно просто, поскольку −i на отрицательной оси y : −i = 1 цис 3π / 2.Затем примените формулу, уравнение 83:

(1 цис 3π / 2) ^1/3 = 1 ^1/3 цис (π / 2 + 2π k /3) для k = 0, 1, 2

Три угла равны π / 2, π / 2 + 2π / 3 = 7π / 6 и π / 2 + 4π / 3 = 11π / 6 = 3π / 2.

(1 цис 3π / 2) ^1/3 = 1 цис π / 2, 1 цис 7π / 6, 1 цис 11π / 6.

Вы знаете точные синусы и косинусы для любого числа, кратного π / 6, так что вам не нужен калькулятор, чтобы конвертировать обратно в a + b i форма:

Кубические корни из −i: я, — (√3 / 2) — (1/2) я, (√3 / 2) — (1/2) я.

Между прочим, я не только кубический корень из −i, но −i — кубический корень из я. Я позволю тебе найти два других кубических корня я себя.

Решение : Во-первых, представьте это число в полярной форме: r = √1,04 + 0,10 ≈ 1.044796631. Затем найти θ = 2 Арктан (-0,10 / (1,04 + 1,044796631)) ≈ −0,09585

(1.04−0.10i) ≈ 1,04796631 цис -0,09585

И поэтому

(1.04−0.10i) ¹⁶ ≈ 1,04796631 ¹⁶ цис (-16; 0,09585

≈ 2,016082111 цис (-1,533746354)

≈ 0,0746787−2,01469853i

Что нового

• 6 ноября 2020 г. : преобразованная страница из HTML 4.01 в HTML5 и улучшено форматирование радикалов.
• 20 декабря 2016 г. : в проблеме, которая создает вложенные радикалы, добавлена ​​ссылка на методику на этом сайте за их разрушение.
• 11 декабря 2016 : Добавлены решения практических задач для Часть 5; добавлены три новых доказательства в части 7.
• 29 ноября 2016 г. : добавлены три новые задачи в части 3.
• 26/27 ноя 2016 : Добавлены решения для проблем Части 7 и Части 8.
• 19/20 ноября 2017 г. : Добавлены решения для Части 1, Части 3 и Часть 6 проблемы.
• 13 ноя 2016 : Добавлены решения для проблем Части 5. (Часть 5 была изменена нумерация на Часть 4 29 ноября 2016 г.(-1) (x) `или` y = acos (x) `или` y = arccos (x) `- такая функция, что` cos (y) = x`.

  Область обратного косинуса — «[-1,1]», диапазон — «[0, pi]». (3x) `.3 (х).

• Из приведенной ниже таблицы вы можете заметить, что sech не поддерживается, но вы все равно можете ввести его, используя идентификатор `sech (x) = 1 / cosh (x)`.
• Если вы получили сообщение об ошибке, дважды проверьте свое выражение, добавьте круглые скобки и знаки умножения там, где это необходимо, и обратитесь к таблице ниже.
• Все предложения и улучшения приветствуются. Пожалуйста, оставьте их в комментариях.

В следующей таблице перечислены поддерживаемые операции и функции:

Если калькулятор что-то не вычислил или вы определили ошибку, запишите ее в комментарии ниже.

Все предложения пишите в комментариях ниже.

Единичный круг: функции синуса и косинуса

Чтобы определить наши тригонометрические функции, мы начнем с рисования единичного круга, круга с центром в начале координат и радиусом 1, как показано на рисунке 2. Угол (в радианах), который пересекает [latex] t [/ latex], образует дугу. длины [латекс] с [/ латекс]. Используя формулу [latex] s = rt [/ latex] и зная, что [latex] r = 1 [/ latex], мы видим, что для единичной окружности [latex] s = t [/ latex].

Напомним, что оси x- и y- делят координатную плоскость на четыре четверти, называемых квадрантами. Мы помечаем эти квадранты, чтобы имитировать направление, в котором развернется положительный угол. Четыре квадранта обозначены I, II, III и IV.

Для любого угла [латекс] t [/ латекс] мы можем пометить пересечение конечной стороны и единичного круга его координатами, [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex]. Координаты [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] будут выходами тригонометрических функций [latex] f \ left (t \ right) = \ cos t [/ latex] и [latex] f \ left (t \ right) = \ sin t [/ latex] соответственно.Это означает [латекс] x = \ cos t [/ latex] и [латекс] y = \ sin t [/ latex].

Рис. 2. Единичная окружность с центральным углом [латекс] t [/ латекс] радиан

A Общее примечание: Unit Circle

Единичная окружность имеет центр [латекс] \ влево (0,0 \ вправо) [/ латекс] и радиус [латекс] 1 [/ латекс]. В единичном круге длина перехваченной дуги равна радианам центрального угла [латекс] 1 [/ латекс].

Пусть [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] будет конечной точкой единичной окружности дуги длиной [латекс] s [/ latex].Координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] этой точки могут быть описаны как функции угла.

Определение функций синуса и косинуса

Теперь, когда у нас помечен единичный круг, мы можем узнать, как координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] связаны с длиной дуги и углом . Синусоидальная функция , связывает действительное число [латекс] t [/ латекс] с координатой y точки, где соответствующий угол пересекает единичную окружность.Точнее, синус угла [латекс] t [/ латекс] равен значению y конечной точки на единичной окружности дуги длиной [латекс] t [/ латекс]. На рисунке 2 синус равен [latex] y [/ latex]. Как и все функции, синусоидальная функция имеет вход и выход. Его вход — мера угла; его выход — координата y соответствующей точки на единичной окружности.

Функция косинуса угла [латекс] t [/ latex] равна значению x конечной точки на единичной окружности дуги длиной [латекс] t [/ латекс].{2} [/ латекс]. Имейте в виду, что многие калькуляторы и компьютеры не распознают сокращенную запись. В случае сомнений используйте дополнительные скобки при вводе вычислений в калькулятор или компьютер.

Общее примечание: функции синуса и косинуса

Если [latex] t [/ latex] является действительным числом, а точка [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] на единичном круге соответствует углу [latex] t [/ latex] , затем

[латекс] \ cos t = x [/ латекс]

[латекс] \ sin t = y [/ латекс]

Как сделать: по точке

1. Синус [latex] t [/ latex] равен y -координате точки [latex] P: \ sin t = y [/ latex].
2. Косинус [latex] t [/ latex] равен x -координате точки [latex] P: \ text {cos} t = x [/ latex].

Пример 1: Поиск значений функции для синуса и косинуса

Точка [латекс] P [/ латекс] — это точка на единичной окружности, соответствующая углу [латекс] t [/ латекс], как показано на рисунке 4. Найдите [латекс] \ cos \ left (t \ right) \\ [/ latex] и [latex] \ text {sin} \ left (t \ right) \\ [/ latex].

Рисунок 4

Решение

Мы знаем, что [latex] \ cos t [/ latex] — это координата x соответствующей точки на единичном круге, а [latex] \ sin t [/ latex] — это координата y соответствующей точка на единичной окружности. Итак:

[латекс] \ begin {массив} {l} \ begin {array} {l} \\ x = \ cos t = \ frac {1} {2} \ end {array} \ hfill \\ y = \ sin t = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

Попробуй 1

Определенный угол [латекс] t [/ латекс] соответствует точке на единичной окружности в [латекс] \ left (- \ frac {\ sqrt {2}} {2}, \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ right) \\ [/ latex], как показано на рисунке 5. {2} t = 1 [/ латекс]

Как: по синусу некоторого угла [latex] t [/ latex] и его расположению в квадранте, найдите косинус [latex] t [/ latex].

1. Подставьте известное значение [latex] \ sin \ left (t \ right) [/ latex] в тождество Пифагора.
2. Решите относительно [латекс] \ cos \ left (t \ right) [/ latex].
3. Выберите решение с соответствующим знаком для значений x в квадранте, где находится [латекс] t [/ латекс].

Пример 3: Нахождение косинуса из синуса или синуса из косинуса

Если [латекс] \ sin \ left (t \ right) = \ frac {3} {7} \\ [/ latex] и [latex] t [/ latex] находится во втором квадранте, найдите [latex] \ cos \ left (t \ right) \\ [/ латекс].{2} \ left (t \ right) = \ frac {40} {49} \ hfill \\ \ text {cos} \ left (t \ right) = \ pm \ sqrt {\ frac {40} {49}} = \ pm \ frac {\ sqrt {40}} {7} = \ pm \ frac {2 \ sqrt {10}} {7} \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

Поскольку угол находится во втором квадранте, мы знаем, что значение x- является отрицательным действительным числом, поэтому косинус также отрицательный. Итак,
[латекс] \ text {cos} \ left (t \ right) = — \ frac {2 \ sqrt {10}} {7} \\ [/ latex]

Попробуй 3

Если [латекс] \ cos \ left (t \ right) = \ frac {24} {25} \\ [/ latex] и [latex] t [/ latex] находится в четвертом квадранте, найдите [latex] \ text {грех} \ влево (т \ вправо) \\ [/ латекс].Треугольник \ circ [/ latex] — это равнобедренный треугольник, поэтому координаты x- и y соответствующей точки на окружности совпадают. Поскольку значения x- и y одинаковы, значения синуса и косинуса также будут равны.

Рисунок 9

При [latex] t = \ frac {\ pi} {4} [/ latex], что составляет 45 градусов, радиус единичной окружности делит пополам угол первого квадранта . Это означает, что радиус лежит вдоль линии [латекс] y = x [/ latex].{2} = \ frac {1} {2} \\ \ text {} x = \ pm \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ end {array} \\ [/ latex]

В квадранте I [латекс] x = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \\ [/ latex]. \ circ [/ latex] — это [латекс] \ left (\ frac {\ sqrt {2}} {2}, \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ right) \\ [/ latex].\ circ [/ latex], как показано на рисунке 12.

Рисунок 11

Рисунок 12

Поскольку все углы равны, стороны также равны. Вертикальная линия имеет длину [латекс] 2y [/ latex], и, поскольку все стороны равны, мы также можем сделать вывод, что [latex] r = 2y [/ latex] или [latex] y = \ frac {1} {2 } г [/ латекс]. Поскольку [латекс] \ sin t = y [/ latex],

[латекс] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {1} {2} r \\ [/ latex]

А так как [latex] r = 1 [/ latex] в нашем единичном круге ,

[латекс] \ begin {array} {l} \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {1} {2} \ left (1 \ right) \ hfill \\ \ текст {} = \ frac {1} {2} \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

Используя тождество Пифагора, мы можем найти значение косинуса.\ circ [/ латекс]. Теперь у нас есть равносторонний треугольник. Поскольку каждая сторона равностороннего треугольника [латекс] ABC [/ латекс] имеет одинаковую длину, и мы знаем, что одна сторона является радиусом единичного круга, все стороны должны иметь длину 1.

Каковы диапазоны функций синуса и косинуса? Каковы наименьшие и наибольшие возможные значения их производительности? Мы можем увидеть ответы, исследуя единичный круг , как показано на рисунке 15. Границы координаты x составляют [латекс] \ лево [-1,1 \ право] [/ латекс]. Границы координаты y также являются [latex] \ left [-1,1 \ right] [/ latex].Следовательно, диапазон функций синуса и косинуса равен [latex] \ left [-1,1 \ right] [/ latex].

Рисунок 15

Мы обсудили нахождение синуса и косинуса для углов в первом квадранте, но что, если наш угол находится в другом квадранте? Для любого заданного угла в первом квадранте существует угол во втором квадранте с тем же значением синуса. Поскольку значение синуса — это координата y на единичной окружности, другой угол с таким же синусом будет иметь то же значение y , но противоположное значение x .Следовательно, его значение косинуса будет противоположным значению косинуса первого угла.

Аналогично, в четвертом квадранте будет угол с таким же косинусом, что и исходный угол. Угол с тем же косинусом будет иметь то же значение x , но будет иметь противоположное значение y . Следовательно, его значение синуса будет противоположным значению синуса исходного угла.

Как показано на рисунке 16, угол [латекс] \ альфа [/ латекс] имеет то же значение синуса, что и угол [латекс] t [/ латекс]; значения косинуса противоположны.Угол [латекс] \ бета [/ латекс] имеет то же значение косинуса, что и угол [латекс] t [/ латекс]; значения синуса противоположны.

Рисунок 16

Напомним, что опорный угол угла — это острый угол [латекс] t [/ латекс], образованный конечной стороной угла [латекс] t [/ латекс] и горизонтальной осью. \ circ \ mathrm {-t} | [/ latex].\ circ [/ latex]

Попробуй 5

Найдите опорный угол [латекса] \ frac {5 \ pi} {3} [/ latex].

Решение

Использование опорных углов

А теперь давайте вернемся к колесу обозрения, представленному в начале этого раздела. Предположим, всадник делает снимок, остановившись на высоте двадцати футов над уровнем земли. Затем всадник совершает поворот на три четверти по кругу. Что такое новый рост райдера? Чтобы ответить на такие вопросы, как этот, нам нужно оценить функции синуса или косинуса при углах больше 90 градусов или при отрицательном угле .Базовые углы позволяют оценивать тригонометрические функции для углов вне первого квадранта. Их также можно использовать для поиска координат [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] для этих углов. Мы будем использовать опорный угол угла поворота в сочетании с квадрантом, в котором находится конечная сторона угла.

Использование опорных углов для оценки тригонометрических функций

Мы можем найти косинус и синус любого угла в любом квадранте, если мы знаем, косинус или синус его опорного угла.Абсолютные значения косинуса и синус угла являются такими же, как опорным углом. Знак зависит от квадранта исходного угла. Косинус будет положительным или отрицательным в зависимости от знака значений x в этом квадранте. Синус будет положительным или отрицательным в зависимости от знака значений y в этом квадранте.

Общее примечание: Использование опорных углов для определения косинуса и синуса

Углы имеют косинусы и синусы с тем же абсолютным значением, что и их опорные углы.Знак (положительный или отрицательный) можно определить по квадранту угла.

Как: для заданного угла в стандартном положении найдите опорный угол, а также косинус и синус исходного угла.

1. Измерьте угол между конечной стороной заданного угла и горизонтальной осью. Это опорный угол.
2. Определение значений косинуса и синуса заданного угла.
3. Придайте косинусу тот же знак, что и значения x в квадранте исходного угла.\ circ \ right) = \ frac {1} {2} [/ latex]

4. [латекс] \ frac {5 \ pi} {4} [/ latex] находится в третьем квадранте. Его опорный угол составляет [латекс] \ frac {5 \ pi} {4} — \ pi = \ frac {\ pi} {4} [/ latex]. Косинус и синус [latex] \ frac {\ pi} {4} [/ latex] оба равны [latex] \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ latex]. В третьем квадранте значения [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] отрицательны, поэтому:

   [латекс] \ cos \ frac {5 \ pi} {4} = — \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ text {и} \ sin \ frac {5 \ pi} {4} = — \ гидроразрыв {\ sqrt {2}} {2} [/ latex]

Попробуй 6

а.\ circ \ right) [/ латекс].

г. Используйте опорный угол [латекс] — \ frac {\ pi} {6} [/ latex], чтобы найти [латекс] \ cos \ left (- \ frac {\ pi} {6} \ right) [/ latex] и [латекс] \ sin \ left (- \ frac {\ pi} {6} \ right) [/ latex].

Использование опорных углов для поиска координат

Теперь, когда мы узнали, как находить значения косинуса и синуса для особых углов в первом квадранте, мы можем использовать симметрию и опорные углы, чтобы заполнить значения косинуса и синуса для остальных особых углов единичной окружности.Они показаны на рисунке 19. Найдите время, чтобы узнать координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] всех основных углов в первом квадранте.

В дополнение к изучению значений специальных углов, мы можем использовать опорные углы, чтобы найти координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] любой точки на единичной окружности, используя то, что мы знаем об опорных углах. вместе с идентификаторами

[латекс] \ begin {array} {l} x = \ cos t \ hfill \\ y = \ sin t \ hfill \ end {array} [/ latex]

Сначала мы находим опорный угол, соответствующий данному углу.Тогда мы возьмем синус и косинус значения опорного угла , и дать им знаки, соответствующие у — и х -значения квадранта.

Практическое руководство. Зная угол точки на окружности и радиус окружности, найдите координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] точки.

1. Найдите опорный угол, измерив наименьший угол к оси x .
2. Найти косинус и синус заданного угла.
3. Определите соответствующие знаки для [латекс] x [/ латекс] и [латекс] y [/ латекс]
   в данном квадранте.

Пример 6: Использование единичной окружности для поиска координат

Найдите координаты точки на единичной окружности под углом [латекс] \ frac {7 \ pi} {6} [/ latex].

Решение

Мы знаем, что угол [латекс] \ frac {7 \ pi} {6} [/ latex] находится в третьем квадранте.

Во-первых, давайте найдем опорный угол, измерив угол к оси x .Чтобы найти опорный угол угла, конечная сторона которого находится в квадранте III, мы находим разность угла и [латекс] \ pi [/ латекс].

[латекс] \ frac {7 \ pi} {6} — \ pi = \ frac {\ pi} {6} [/ latex]

Далее мы найдем косинус и синус заданного угла:

[латекс] \ cos \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right ) = \ frac {1} {2} [/ латекс]

Мы должны определить соответствующие знаки для x и y в данном квадранте.Поскольку наш исходный угол находится в третьем квадранте, где оба [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] отрицательны, косинус и синус отрицательны.

[латекс] \ begin {array} {l} \ cos \ left (\ frac {7 \ pi} {6} \ right) = — \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ hfill \\ \ sin \ left (\ frac {7 \ pi} {6} \ right) = — \ frac {1} {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Теперь мы можем вычислить координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex], используя тождества [latex] x = \ cos \ theta [/ latex] и [latex] y = \ sin \ theta [ /латекс].

Координаты точки: [latex] \ left (- \ frac {\ sqrt {3}} {2}, — \ frac {1} {2} \ right) [/ latex] на единичной окружности.{2} t = 1 [/ латекс]

Ключевые понятия

• Нахождение значений функции для синуса и косинуса начинается с рисования единичной окружности с центром в начале координат и радиусом 1 единица.
• Используя единичную окружность, синус угла [латекс] t [/ latex] равен значению y конечной точки единичной окружности дуги длиной [латекс] t [/ латекс], тогда как косинус угол [latex] t [/ latex] равен x -значению конечной точки.
• Значения синуса и косинуса наиболее точно определяются, когда соответствующая точка единичной окружности попадает на ось.
• Когда синус или косинус известен, мы можем использовать пифагорову тождество, чтобы найти другое. Пифагорейская идентичность также полезна для определения синусов и косинусов особых углов.
• Калькуляторы и программное обеспечение для построения графиков полезны для поиска синусов и косинусов, если известна правильная процедура ввода информации.
• Все функции синуса и косинуса являются действительными числами.
• Диапазон функций синуса и косинуса: [latex] \ left [-1,1 \ right] [/ latex].
• синус и косинус угла имеют одинаковое абсолютное значение как синус и косинус его опорного угла.
• Знаки синуса и косинуса определяются из значений x и y в квадранте исходного угла.
• Базовый угол угла — это размерный угол [латекс] t [/ латекс],
  , образованный конечной стороной угла [латекс] t [/ латекс] и горизонтальной осью.
• Опорные углы можно использовать для определения синуса и косинуса исходного угла.
• Опорные углы также можно использовать для определения координат точки на окружности.

Глоссарий

функция косинуса

значение x точки на единичной окружности, соответствующее заданному углу

Пифагорейская идентичность

следствие теоремы Пифагора, утверждающее, что квадрат косинуса заданного угла плюс квадрат синуса этого угла равняется 1

синусоидальная функция

y -значение точки на единичной окружности, соответствующей заданному углу

единичный круг

круг с центром в [latex] \ left (0,0 \ right) [/ latex]
и радиусом

Упражнения по разделам

1.Опишите единичный круг.

2. Что обозначают координаты x- и y- точек на единичной окружности?

3. Обсудите разницу между котерминальным углом и опорным углом.

4. Объясните, как косинус угла во втором квадранте отличается от косинуса его опорного угла в единичной окружности.

5. Объясните, как синус угла во втором квадранте отличается от синуса угла его опорного в единичной окружности.

Для следующих упражнений используйте заданный знак функций синуса и косинуса, чтобы найти квадрант, в котором лежит конечная точка, определяемая [latex] t [/ latex].

6. [латекс] \ text {sin} \ left (t \ right) <0 [/ latex] и [latex] \ text {cos} \ left (t \ right) <0 [/ latex]

7. [латекс] \ text {sin} \ left (t \ right)> 0 [/ latex] и [latex] \ cos \ left (t \ right)> 0 [/ latex]

8. [латекс] \ sin \ left (t \ right)> 0 [/ latex] и [латекс] \ cos \ left (t \ right) <0 [/ latex]

9.[латекс] \ sin \ left (t \ right) <0 [/ latex] и [латекс] \ cos \ left (t \ right)> 0 [/ latex]

Для следующих упражнений найдите точное значение каждой тригонометрической функции.

10. [латекс] \ sin \ frac {\ pi} {2} [/ латекс]

11. [латекс] \ sin \ frac {\ pi} {3} [/ латекс]

12. [латекс] \ cos \ frac {\ pi} {2} [/ латекс]

13. [латекс] \ cos \ frac {\ pi} {3} [/ латекс]

14. [латекс] \ sin \ frac {\ pi} {4} [/ латекс]

15. [латекс] \ cos \ frac {\ pi} {4} [/ латекс]

16.\ circ [/ latex]

28. [латекс] \ frac {5 \ pi} {4} [/ латекс]

29. [латекс] \ frac {2 \ pi} {3} [/ латекс]

30. [латекс] \ frac {5 \ pi} {6} [/ латекс]

31. [латекс] \ frac {-11 \ pi} {3} [/ латекс]

32. [латекс] \ frac {-7 \ pi} {4} [/ латекс]

33. [латекс] \ frac {- \ pi} {8} [/ латекс]

Для следующих упражнений найдите опорный угол, квадрант конечной стороны, а также синус и косинус каждого угла. Если угол не является одним из углов единичной окружности, воспользуйтесь калькулятором и округлите до трех десятичных знаков.\ circ [/ latex]

42. [латекс] \ frac {5 \ pi} {4} [/ латекс]

43. [латекс] \ frac {7 \ pi} {6} [/ латекс]

44. [латекс] \ frac {5 \ pi} {3} [/ латекс]

45. [латекс] \ frac {3 \ pi} {4} [/ латекс]

46. [латекс] \ frac {4 \ pi} {3} [/ латекс]

47. [латекс] \ frac {2 \ pi} {3} [/ латекс]

48. [латекс] \ frac {5 \ pi} {6} [/ латекс]

49. [латекс] \ frac {7 \ pi} {4} [/ латекс]

Найдите требуемое значение для следующих упражнений.

50. Если [латекс] \ text {cos} \ left (t \ right) = \ frac {1} {7} [/ latex] и [latex] t [/ latex] находится в квадранте 4 ^th , найдите [латекс] \ text {sin} \ left (t \ right) [/ latex].

51. Если [латекс] \ text {cos} \ left (t \ right) = \ frac {2} {9} [/ latex] и [latex] t [/ latex] находится в квадранте 1 ^st , найдите [латекс] \ text {sin} \ left (t \ right) [/ latex].

52. Если [латекс] \ text {sin} \ left (t \ right) = \ frac {3} {8} [/ latex] и [latex] t [/ latex] находится в квадранте 2 ^и , найдите [латекс] \ text {cos} \ left (t \ right) [/ latex].

53. Если [латекс] \ text {sin} \ left (t \ right) = — \ frac {1} {4} [/ latex] и [latex] t [/ latex] находится в квадранте 3 ^rd найдите [латекс] \ text {cos} \ left (t \ right) [/ latex].\ circ [/ латекс].

56. Найдите координаты точки на окружности с радиусом 8, соответствующей углу [латекс] \ frac {7 \ pi} {4} [/ latex].

57. Найдите координаты точки на окружности с радиусом 16, соответствующей углу [латекс] \ frac {5 \ pi} {9} [/ latex].

58. Укажите область определения функций синуса и косинуса.

59. Укажите диапазон функций синуса и косинуса.

Для следующих упражнений используйте заданную точку на единичном круге, чтобы найти значение синуса и косинуса [latex] t [/ latex].

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

Для следующих упражнений используйте графический калькулятор для оценки.\ circ [/ latex]

90. [латекс] \ sin \ left (\ frac {11 \ pi} {3} \ right) \ cos \ left (\ frac {-5 \ pi} {6} \ right) [/ latex]

91. [латекс] \ sin \ left (\ frac {3 \ pi} {4} \ right) \ cos \ left (\ frac {5 \ pi} {3} \ right) [/ latex]

92. [латекс] \ sin \ left (- \ frac {4 \ pi} {3} \ right) \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} \ right) [/ latex]

93. [латекс] \ sin \ left (\ frac {-9 \ pi} {4} \ right) \ cos \ left (\ frac {- \ pi} {6} \ right) [/ latex]

94. [латекс] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \ cos \ left (\ frac {- \ pi} {3} \ right) [/ latex]

95.[латекс] \ sin \ left (\ frac {7 \ pi} {4} \ right) \ cos \ left (\ frac {-2 \ pi} {3} \ right) [/ latex]

96. [латекс] \ cos \ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right) \ cos \ left (\ frac {2 \ pi} {3} \ right) [/ latex]

97. [латекс] \ cos \ left (\ frac {- \ pi} {3} \ right) \ cos \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) [/ latex]

98. [латекс] \ sin \ left (\ frac {-5 \ pi} {4} \ right) \ sin \ left (\ frac {11 \ pi} {6} \ right) [/ latex]

99. [латекс] \ sin \ left (\ pi \ right) \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) [/ latex]

Для следующих упражнений используйте этот сценарий. Ребенок входит в карусель, которая совершает один оборот за одну минуту.Ребенок входит в точку [latex] \ left (0,1 \ right) [/ latex], то есть в правильном положении на север. Предположим, карусель вращается против часовой стрелки.

100. Какие координаты ребенка через 45 секунд?

101. Какие координаты ребенка через 90 секунд?

102. Какие координаты ребенка через 125 секунд?

103. Когда у ребенка будут координаты [latex] \ left (0.707, -0.707 \ right) [/ latex], если поездка длится 6 минут? (Есть несколько ответов.)

104. Когда у ребенка будут координаты [latex] \ left (-0,866, -0,5 \ right) [/ latex], если поездка продлится 6 минут?

Квадратный корень из шутки «Пи»

Перевести в новые единицы | Калькуляторы в KnowledgeDoor

Справочная информация

Запись «От»

Введите единицы измерения или математическое выражение с единицами измерения, которые нужно преобразовать. Это может быть как простое название единицы измерения, так и сложная формула, включающая сложение, вычитание, умножение, деление, степени, квадратные корни и научные функции (sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan, sinh, cosh, tanh , log, ln и exp).Запись выражения очень гибкая; попробуйте ввести выражение, как обычно.

Запись «Кому»

Выражение для записи «Кому» обычно включает только единицы, которые объединены с умножениями, делениями и степенями.Однако можно использовать более общие выражения, например, для записи «От». Рассмотрим эти специальные примеры:

Другие формы формулы двойного угла косинуса — Концепция

Формула двойного угла косинуса: cos (2theta) = cos2 (theta) — sin2 (theta). Комбинируя эту формулу с тождеством Пифагора, cos2 (theta) + sin2 (theta) = 1, появляются две другие формы: cos (2theta) = 2cos2 (theta) -1 и cos (2theta) = 1-2sin2 (theta). Их можно использовать для нахождения формул уменьшения мощности, которые уменьшают триггерную функцию второй степени или выше до первой степени.Эти формулы очень полезны в математическом анализе.

Я хочу поговорить о других формах тождеств двойного угла косинуса. Во-первых, давайте вспомним пифагорейскую идентичность и две другие ее формы. Косинус в квадрате плюс синус в квадрате, равный 1, также может быть записан как косинус в квадрате, тета равен 1 минус синус в квадрате, тета или синус в квадрате, тета равен 1 минус косинус в квадрате, тета. Теперь исходная формула двойного угла косинуса такова: косинус 2 тэта равен косинусу в квадрате тета минус синус в квадрате тета, но я могу использовать свои пифагоровы тождества, чтобы переписать это, так что другой формой будет косинус ой косинус 2 тета равен альфа-косинусу тета I ‘ Я заменю его на 1 минус синус в квадрате тета минус синус тета синус в квадрате тета, и это 1 минус 2 синус в квадрате тета, так что это вторая форма, косинус 2 тета равен 1 минус 2 синус в квадрате тета, но мы также можем сделать косинус 2 тета равным и начав отсюда я могу заменить синус в квадрате на 1 минус косинус, поэтому я получаю косинус в квадрате тета минус 1 минус синус в квадрате тета и минус распределяется, я получаю минус 1, извините, это должен быть косинус, поехали, наш минус 1 распределяет мы получаем минус 1 и минус минус плюс косинус в квадрате тета, поэтому косинус в квадрате тета минус 1 плюс косинус в квадрате тета равен 2, косинус в квадрате тета минус 1, они очень похожи.