Коробка для инструмента
Полезная модель относится к коробкам для инструмента. Целью предлагаемой полезной модели является повышение удобства пользования коробкой для инструментов, снижение зрительной нагрузки, повышение производительности труда при работе с мелким инструментом. Работает устройство следующим образом. Коробка исходно находится в собранном состоянии. Крышка 1, выполненная прозрачной, присоединена к корпусу 2 с помощью узлов крепления 13 и взаимно зафиксирована с корпусом 2 в закрытом положении замком-защелкой 15. Углубление 6 крышки 1 и углубление 19 корпуса 2 образуют внутреннее замкнутое пространство 25 коробки. На внутренней поверхности 3 крышки 1 имеются сферические выступы 8, располагающиеся в закрытом состоянии крышки 1, по крайней мере, частично напротив мест 42 для размещения инструмента. Коробка открывается путем разжатия замка-защелки 15. В местах 42 для размещения инструментов между разделителями 21 упорядочение помещаются различные инструменты так, чтобы их части, которые необходимо точно видеть, были расположены под сферическими выступами 8 при закрытой крышке 1.
После заполнения коробка закрывается, фиксация крышки 1 с корпусом 2 производится защелкиванием замка-защелки 15 на выступе 24. Для детального рассмотрения мелких частей помещенных в коробку инструментов и их безошибочного распознавания можно воспользоваться сферическими выступами 8 в качестве увеличивающих линз.
Область техники
Полезная модель относится к коробкам для инструмента.
Уровень техники
Известны коробки для инструментов, состоящие из подвижно соединенных различными способами крышки и корпуса (Каталог розничной продажи. Первое полугодие 2005 года. Ручной и садовый инструмент, поливочные системы. — М.: Корпорация «МАСТЕРНЭТ», 2005 г., стр.34, поз.18, 19). Крышка в таких коробках фиксируется в закрытом положении с помощью защелки или замка. На внутренней поверхности корпуса, а иногда и на внутренней поверхности крышки, расположены различные приспособления для удержания инструментов в фиксированном упорядоченном положении (держатели, разделители, гнезда и т.
п.). Материал, из которого изготовлены коробки, может быть различным (металл, дерево, картон), но чаще всего используется различный пластик, в том числе и прозрачный, особенно для изготовления крышки.
Наиболее близким техническим решением является коробка (мини-бокс) для реверсивной отвертки, выполненная из пластика. (Каталог розничной продажи. Первое полугодие 2005 года. Ручной и садовый инструмент, поливочные системы. — М.: Корпорация «МАСТЕРНЭТ», 2005 г., стр.34, поз.16). Коробка (мини-бокс) имеет вид прямоугольного параллелепипеда со скругленными углами и состоит из корпуса и подвижно соединенной с ним прозрачной крышки. Крышка фиксируется в закрытом положении с помощью защелки, для которой на корпусе сделано ответное углубление. Со стороны внутренней поверхности корпуса, на его дне, выполнены разделители в виде полос с выступами, между которыми помещаются инструменты. Крышка выполнена из прозрачного пластика, что позволяет видеть все инструменты, находящиеся во внутреннем пространстве мини-бокса.
Однако представляется затруднительным рассмотреть мелкие части инструментов подробно, поэтому можно ошибиться при выборе инструмента, и для точного его определения будет необходимо лишний раз открывать коробку (мини-бокс), что не всегда удобно при работе в труднодоступных местах. Лишние манипуляции с коробкой (мини-боксом) ведут к замедлению работ, а, возможно, к рассыпанию и потере мелкого инструмента.
Недостатком известных технических решений является неудобство пользования коробкой для инструментов, большая зрительная нагрузка и низкая производительность труда при работе с мелким инструментом.
Целью предлагаемой полезной модели является повышение удобства пользования коробкой для инструментов, снижение зрительной нагрузки, повышение производительности труда при работе с мелким инструментом.
Поставленная цель достигается за счет того, что в коробке для инструмента, содержащей корпус и крышку, соединенную с указанным корпусом с образованием, в закрытом положении, внутреннего замкнутого пространства для размещения инструмента и с возможностью ее открытия, а также взаимной фиксации указанного корпуса и указанной крышки в закрытом состоянии замком-защелкой, причем указанная крышка выполнена прозрачной, а указанный корпус снабжен местами для размещения инструмента, на внутренней поверхности указанной крышки выполнены сферические выступы, расположенные, в закрытом состоянии указанной крышки, по крайней мере частично напротив указанных мест для размещения инструмента.
Краткое описание чертежей
Полезная модель поясняется чертежами (фиг.1-3), где изображена коробка для инструмента. На фиг.1 показан общий вид коробки для инструмента со стороны крышки в открытом положении, на фиг.2 показан общий вид коробки для инструмента в закрытом положении, на фиг.3 показана закрытая коробка для инструмента в разрезе и вложенные в нее инструменты.
Раскрытие полезной модели
Полезная модель реализуется следующим образом. Конкретный пример реализации коробки для инструмента (в дальнейшем для краткости-коробки) изображен на фиг.1-3, где показаны: крышка 1, корпус 2, внутренняя поверхность 3 крышки 1, внешняя поверхность 4 крышки 1, бортик 5 крышки 1, углубление 6 крышки 1, дно 7 углубления 6 крышки 1, сферические выступы 8, ряд 9 сферических выступов 8, ось 10 сферического выступа 8, перегородка 11, вырез 12 перегородки 11, узел крепления 13, ребра жесткости 14, замок-защелка 15, подвес 16, внутренняя поверхность 17 корпуса 2, бортик 18 корпуса 2, углубление 19 корпуса 2, дно 20 углубления 19 корпуса 2, разделители 21, шпеньки 22, держатели 23, выступ 24, внутреннее замкнутое пространство 25 коробки, первый предмет 26, наконечник 27 первого предмета 26, второй предмет 28, обозначение 29 на втором предмете 28, внешняя поверхность 30 корпуса 2, передняя сторона 31 бортика 18 корпуса 2, боковые стороны 32 бортика 18 корпуса 2, задняя сторона 33 бортика 18 корпуса 2, передняя сторона 34 бортика 5
крышки 1, боковые стороны 35 бортика 5 крышки 1, задняя сторона 36 бортика 5 крышки 1, вспомогательные выступы 37, дополнительные углубления 38, расширения 39, отверстия 40, край 41 задней стороны 36 бортика 5 крышки 1, места 42 для размещения инструмента.
Коробка состоит из крышки 1 и корпуса 2, соединенных между собой подвижно с возможностью фиксации в закрытом положении. В конкретном примере реализации, являющимся частным случаем реализации полезной модели, коробка изготовлена из пластмассы и имеет форму прямоугольного параллелепипеда со скругленными углами (углы скруглены как вследствие технологии изготовления, так и в целях удобства пользования коробкой). Крышка 1 и корпус 2 имеют сходную форму в виде прямоугольного дна с выполненными слитно с ним бортиками, соответственно бортиком 5 крышки 1, бортиком 18 корпуса 2 (в других случаях бортик 5 крышки 1 или бортик 18 корпуса 2 может отсутствовать). Со стороны внутренней поверхности 17 корпуса 2 выполнено углубление 19 корпуса 2, имеющее дно 20 (в частности, в виде плоскости) углубления 19 корпуса 2. На дне 20 углубления 19 корпуса 2, перпендикулярно плоскости дна 20 расположены разделители 21, предназначенные для упорядоченного размещения инструментов (например, сменных бит-насадок для отвертки, сверл, торцевых головок и т.
п.) внутри коробки. Разделители 21 имеют, в частности, вид цилиндров с конусообразными верхушками. Разделители 21 в совокупности с участками дна 20 между ними образуют места 42 для размещения инструмента. Также на дне 20 углубления 19 корпуса 2 встык с задней стороной 33 бортика 18 корпуса 2 и перпендикулярно ей расположены держатели 23, имеющие в частности, С-образную форму. Держатели 23 предназначены для фиксации в них инструмента цилиндрической формы (например, магнитный адаптер-удлинитель). Со стороны внешней поверхности 30 корпуса 2, в середине передней стороны 31 бортика 18 корпуса 2, расположен выступ 24 в форме невысокого цилиндра, а по обе стороны от него, в направлении, параллельном дну 20 углубления 19 корпуса 2, на расстоянии друг от друга, равном ширине замка-защелки 15, размещены два идентичных вспомогательных выступа 37 по одному с каждой стороны. Вспомогательные выступы 37 имеют, в частности, форму трехгранной призмы, одной гранью выполненной слитно с передней стороной 31 бортика 18 корпуса 2.
Выступ 24 вместе со вспомогательными выступами 37 выполняют роль ответной части для замка-защелки 15 и предназначены для фиксации крышки 1 в закрытом состоянии коробки. Со стороны внешней поверхности 30 корпуса 2, на обеих боковых сторонах 32 бортика 18 корпуса 2 в местах их стыка с задней стороной 33 бортика 18 корпуса 2 выполнены два идентичных дополнительных углубления 38
прямоугольной формы, в серединах которых расположены шпеньки 22. Шпеньки 22 в частности, имеют форму цилиндра и предназначены для подвижного соединения крышки 1 с корпусом 2.
Крышка 1 выполнена из прозрачного материала, обладающего достаточной упругостью и ударостойкостью, например, из прозрачной пластмассы. Со стороны внутренней поверхности 3 крышки 1 выполнено углубление 6 крышки 1, на дне 7 которого (в частном случае, плоского) располагаются сферические выступы 8 так, что оси 10 сферических выступов 8 перпендикулярны плоскости дна 7 углубления 6 крышки 1. В конкретном примере реализации под сферическим понимается выступ с выпуклой поверхностью сферической формы.
Сферические выступы 8 размещены на дне 7 углубления 6 крышки 1 таким образом, чтобы при закрытой крышке 1 коробки они находились по крайней мере частично напротив мест 42 для размещения инструмента, и, соответственно, над теми частями инструментов, которые должны быть хорошо различимы при выборе инструмента. В описываемом примере реализации сферические выступы 8 расположены двумя рядами 9 (на фиг.2 для облегчения восприятия чертежа отмечен один ряд 9), параллельными передней стороне 34 бортика 5 крышки 1, что соответствует месторасположению инструментов на дне 20 углубления 19 корпуса 2. Число рядов 9, также как и месторасположение и количество сферических выступов 8, может варьироваться в зависимости от размеров и конфигурации коробки, вида инструмента, для которого предназначена коробка, и т.п. На дне 7 углубления 6 крышки 1 перпендикулярно плоскости дна 7 выполнена перегородка 11 с вырезом 12 на таком расстоянии от задней стороны 36 бортика 5 крышки 1, что она (перегородка 11) отделяет от внутреннего замкнутого пространства 25 коробки место, достаточное для размещения и удержания в держателях 23 инструмента.
В частном случае перегородка 11 и вырез 12 имеют прямоугольную форму. Вырез 12 предназначен для размещения в нем выступающих частей инструмента и/или для удобного доставания инструмента, который помещается в держатели 23.
Задняя сторона 36 бортика 5 крышки 1 выполнена закругленной, в частности, цилиндрической формы. Боковые стороны 35 бортика 5 крышки 1 в местах стыка с задней стороной 36 бортика 5 крышки 1 выполнены с расширениями 39 круглой формы, со стороны внутренней поверхности 3 крышки 1 в каждом расширении 39 имеется отверстие 40 для соединения крышки 1 с корпусом 2. Расширения 39 с отверстиями 40 образуют с каждой боковой стороны 35 бортика 5 крышки 1 узел крепления 13. На участке внутренней поверхности 3 крышки 1 между перегородкой 11 и краем 41 задней стороны 36 бортика 5 крышки 1 выполнены ребра жесткости 14. Посередине передней
стороны 34 бортика 5 крышки 1 выполнен замок-защелка 15 П-образной формы (примерно наполовину выступающий за переднюю сторону 34 бортика 5 крышки 1), переходящий в подвес 16 в виде кольца, причем плоскость, в которой находится подвес 16, перпендикулярна плоскости замка-защелки 15.
Подвес 16 предназначен для подвешивания коробки 9 (например, в торговом зале магазина, в мастерской и т.п.), и, кроме этого, может выполнять роль дополнительного приспособления для удобного открывания замка-защелки 15.
Осуществление полезной модели
Работает устройство следующим образом. Коробка исходно находится в собранном состоянии, т.е. крышка 1 соединена подвижно с корпусом 2, с возможностью поворотного движения относительно него. Крышка 1 присоединена к корпусу 2 с помощью узлов крепления 13, при этом шпеньки 22 вставлены в отверстия 40 расширений 39. Крышка 1 с корпусом 2 взаимно зафиксированы в закрытом положении замком-защелкой 15. Углубление 6 крышки 1 и углубление 19 корпуса 2 образуют внутреннее замкнутое пространство 25 коробки. Коробка открывается путем разжатия замка-защелки 15 и снятия его с выступа 24, при этом можно для облегчения усилия потянуть за подвес 16 и упереться пальцами во вспомогательные выступы 37. Крышка 1 коробки открывается поворотом на узлах крепления 13, например, на 90°.
При этом край 41 задней стороны 36 бортика 5 крышки 1 является ограничителем поворота крышки 1. В местах 42 для размещения инструментов между разделителями 21, упорядоченно помещаются различные инструменты — первый предмет 26 и второй предмет 28, так, чтобы их части, которые необходимо точно видеть, были расположены под сферическими выступами 8 при закрытом положении крышки 1. Так, первый предмет 26 размещается таким образом, чтобы наконечник 27 первого предмета 26 находился под одним из сферических выступов 8, а второй предмет 28 размещается таким образом, чтобы обозначение 29 на втором предмете 28 (например, буквенное, цифровое или смешанное) находилось под одним из сферических выступов 8. Кроме этого, дополнительно возможно размещение инструмента в форме стержня в держателях 23. После заполнения коробка закрывается, фиксация крышки 1 с корпусом 2 производится защелкиванием замка-защелки 15 на выступе защелки. При этом ребра жесткости 14, помимо своего основного назначения, обеспечивают дополнительную фиксацию инструмента, помещенного в держатели 23, со стороны крышки 1 и выполняют роль направляющих для крышки 1 при ее открывании и закрывании.
Поскольку крышка 1 выполнена из прозрачного материала, то возможно видеть все инструменты, размещенные в коробке, при этом для детального рассмотрения мелких частей
помещенных в коробку инструментов и их безошибочного распознавания можно воспользоваться сферическими выступами 8 в качестве увеличивающих линз. При рассматривании наконечника 27 первого предмета 27 через находящийся над ним сферический выступ 8 можно точно определить форму наконечника 27 первого предмета 26, а при рассматривании обозначения 29 на втором предмете 28 через находящийся над ним сферический выступ 8 можно точно прочесть буквы «RZ», составляющие обозначение 29 второго предмета 28. Таким образом, можно безошибочно найти необходимый инструмент, не открывая коробки, и только затем вынуть его из коробки, что является дополнительным удобством при работе с мелким инструментом, т.к. облегчает зрительную работу, ускоряет процесс нахождения нужного инструмента, уменьшает вероятность рассыпания и потери мелких инструментов при работе (особенно в неудобных местах), и, в конечном счете, увеличивает производительность труда.
Кроме этого, при продаже коробок, укомплектованных разными наборами инструмента, покупатель может легко рассмотреть инструмент, находящийся в коробке, и быстро выбрать необходимый комплект.
Выполнение коробки для инструмента описанной выше конфигурации, с корпусом 2, снабженным местами 42 для размещения инструмента, с прозрачной крышкой 1 и наличием на ее внутренней поверхности 3 сферических выступов 8, в закрытом состоянии крышки 1 расположенных, по крайней мере, частично напротив мест 42 для размещения инструмента, повышает удобство пользования коробкой для инструментов, снижает зрительную нагрузку, и обеспечивает повышение производительности труда при работе с мелким инструментом.
Коробка для инструмента, содержащая корпус и крышку, соединенную с указанным корпусом с образованием, в закрытом положении, внутреннего замкнутого пространства для размещения инструмента и с возможностью ее открытия, а также взаимной фиксации указанного корпуса и указанной крышки в закрытом состоянии замком-защелкой, причем указанная крышка выполнена прозрачной, а указанный корпус снабжен местами для размещения инструмента, отличающаяся тем, что на внутренней поверхности указанной крышки выполнены сферические выступы, расположенные в закрытом состоянии указанной крышки, по крайней мере частично напротив указанных мест для размещения инструмента.
404 Cтраница не найдена
Мы используем файлы cookies для улучшения работы сайта МГТУ и большего удобства его использования. Более подробную информацию об использовании файлов cookies можно найти здесь. Продолжая пользоваться сайтом, вы подтверждаете, что были проинформированы об использовании файлов cookies сайтом ФГБОУ ВО «МГТУ» и согласны с нашими правилами обработки персональных данных.
Размер:
AAA
Изображения Вкл. Выкл.
Обычная версия сайта
К сожалению запрашиваемая страница не найдена.
Но вы можете воспользоваться поиском или картой сайта ниже
|
|
Педагогический (научно-педагогический) составЗдесь каждая грань представляет собой прямоугольник.
Его также можно назвать кубоидом. Это трехмерная (3D) фигура. Для любых двухмерных или трехмерных фигур применяется понятие измерения. Измерение — это раздел геометрии, который занимается такими измерениями, как длина, высота, площадь, объем в 2D/3D-фигурах. Он включает в себя вычисление математических формул и алгебраических выражений.Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда
На прямоугольном параллелепипеде шесть прямоугольников. Чтобы определить площадь его поверхности, нам нужно найти площади шести прямоугольников (граней). Формула площади поверхности:
Площадь поверхности = 2(l×h) + 2(l×w) + 2(h×w)
S = 2[(l×h) + (l ×w) + (h×w)]
где
l, w, h — длина, ширина, высота соответственно.
Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда
Площадь боковой поверхности можно определить как произведение периметра основания и высоты. В прямоугольном параллелепипеде каждая грань представляет собой прямоугольник, поэтому периметр основания равен периметру прямоугольника.
Формула LSA (площадь боковой поверхности) определяется как
LSA = периметр основания × высота
Поскольку периметр основания равен 2 (длина + ширина)
= 2 (длина + ширина) × высота
LSA = 2lh + 2wh
где
l, w, h — длина, ширина и высота соответственно.
Из приведенной выше формулы можно также сказать, что
Площадь поверхности (общая) = Площадь боковой поверхности + 2lw как произведение площади основания и высоты. Поскольку каждая грань прямоугольного параллелепипеда является прямоугольником, основание также является прямоугольником, а площадь основания равна произведению длины на ширину. Формула объема дается выражением-
Длина диагонали фигуры Прямоугольного параллелепипеда h можно рассчитать по следующей формуле:Объем = площадь основания × высота
V = l × w × h
Давайте рассмотрим пару вопросов, основанных на прямоугольном параллелепипеде.
3см и высота 2см.
Решение:
Дано
длина (l) = 6 см
ширина (w) = 3 см ×w)+(h×w)]
= 2[(6×2)+(6×3)+(2×3)]
= 2[12+18+6]
= 2×36
= 72 кв.см
Итак, площадь поверхности данной фигуры равна 72 кв.см
Вопрос 2: Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с длиной, шириной и высотой 7см, 5см , 3 см соответственно.
Решение:
Дано
длина (l) = 7 см
ширина (w) = 5 см ×w)+(h×w)]
= 2[(7×3)+(7×5)+(3×5)]
= 2[21+35+15]
= 2×71
= 142 кв.см
Итак, площадь поверхности данной фигуры равна 142 кв.см
Вопрос 3: Какова площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда длиной 6см, шириной 3см и высотой 2см.
Решение:
Дано
длина (l) = 6 см
ширина (w) = 3 см
высота (h) = 2 см
Площадь боковой поверхности
= 2(6+3)×3
= 2(9)×3
= 18×3
= 54 кв.
Итак, площадь боковой поверхности для данной фигуры равна 54 кв.см
Вопрос 4: Каков объем фигур прямоугольного параллелепипеда, если такие измерения, как длина, ширина и высота равны 4 см, 3 см, 2 см соответственно.
Решение:
Дано,
длина (l) = 4 см
ширина (w) = 3 см
высота (h) = 2 см 4 × 3 × 2
= 24см 3
Объем данного прямоугольного параллелепипеда 24см 3 .
Вопрос 5: Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его длина 5см, ширина 4см и высота 4см.
Решение:
Дано,
длина (l) = 5 см
ширина (w) = 4 см
высота (h) = 4 см × 4
= 80см 3
Объем данного прямоугольного параллелепипеда 80см 3 .
Вопрос 6: Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его длина 5см, ширина 4см, высота 2см.
Решение:
Дано,
длина (l) = 5 см
ширина (w) = 4 см
высота (h) = 2 см
длина по диагонали =
9000
=
= 6,7 см
Длина диагонали данного прямоугольного параллелепипеда равна 6,7см.
Вопрос 7: Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его длина, ширина и высота равны 4 см, 2 см и 0,5 см соответственно.
Решение:
Дано,
длина (l) = 4 см
ширина (w) = 2 см
высота (h) = 0,5 см
=
=
= 4,5 см
Длина диагонали данного прямоугольного параллелепипеда равна 4,5 см.
Видео с вопросами: Использование множителей Лагранжа для нахождения максимального объема прямоугольного параллелепипеда, вписанного в эллипсоид
Стенограмма видео
Найдите объем наибольшего прямоугольного параллелепипеда, который можно вписать в эллипсоид 𝑥 в квадрате на 𝑎 в квадрате плюс 𝑦 в квадрате на 𝑏 в квадрате плюс 𝑧 в квадрате на 𝑐 в квадрате равно единице.
Самый простой способ найти объем прямоугольного параллелепипеда — взять одну вершину, затем взять произведение длин трех ее смежных ребер. Так вот, например, если эти три ребра имеют длину 𝛼, 𝛽 и 𝛾, то объем этой формы 𝑉 всего 𝛼 раз 𝛽 раз 𝛾. Это кажется достаточно простым. Но для максимизации этого значения для параллелепипеда, вписанного внутрь эллипсоида, не очевидно, как эта фигура будет ориентирована внутри эллипсоида. Таким образом, нам, по сути, нужно найти по крайней мере 12 переменных, 𝑥-, 𝑦- и 𝑧-координаты первой вершины и всех трех соседних вершин.
Однако вместо этого мы можем использовать то, что мы знаем об отношениях эллипсоида с более простой трехмерной формой, сферой. Эллипсоид — это просто сфера, масштабированная по трем перпендикулярным осям. В частности, эллипсоид с данным уравнением 𝑥 в квадрате на 𝑎 в квадрате плюс 𝑦 в квадрате на 𝑏 в квадрате плюс 𝑧 в квадрате на 𝑐 в квадрате равен единице, это просто единичная сфера, масштабированная по оси 𝑥 с коэффициентом 𝑎, вдоль 𝑦 по оси в 𝑏 раз, а по оси 𝑧 в 𝑐 раз.
Важным свойством преобразования масштабирования является то, что одно и то же масштабирование, применяемое к любой трехмерной фигуре, будет масштабировать ее объем с тем же коэффициентом масштабирования, что и любая другая трехмерная фигура. Это немного легче продемонстрировать в двух измерениях, поэтому давайте расчистим немного места. Рассмотрим, например, единичный квадрат. У него длина стороны равна единице, а площадь всего одна единица. Теперь представьте, что квадрат растягивается вдоль некоторой оси в 𝑆 раз. Легко видеть, что если мы растянем ось, параллельную одной из его сторон, его площадь увеличится в 𝑆 раз. Итак, новая область 𝑆. Но на самом деле это применимо независимо от того, в каком направлении мы тянемся.
Например, рассмотрим растяжение в 𝑆 раз вдоль оси, параллельной диагонали квадрата. Результатом является ромб с одной неизменной длиной диагонали корня два, а другой из 𝑆 корня два.
Результатом этого является то, что мы можем найти максимальный объем прямоугольного параллелепипеда, который можно вписать внутрь сферы, а затем просто масштабировать параллелепипед, используя то же преобразование, что и для преобразования сферы в эллипсоид. И это даст нам новый максимальный объем параллелепипеда, который можно вписать в эллипсоид. Мы можем быть уверены, что этот параллелепипед будет иметь максимальный объем, так как он был преобразован из параллелепипеда с максимальным объемом в сферу. И любой другой параллелепипед, вписанный в эллипсоид, должен был изменить объем во столько же раз, что и этот.
Это, как мы увидим, значительно упростит задачу. Итак, нам нужно найти максимальный объем параллелепипеда, который можно вписать внутрь единичной сферы. Интуиция может подсказать вам, что это куб, и это действительно так. Но мы собираемся доказать это с помощью множителей Лагранжа. Итак, рассмотрим единичную сферу с центром в начале координат. Его поверхность имеет уравнение 𝑥 в квадрате плюс 𝑦 в квадрате плюс 𝑧 в квадрате равно единице. Чтобы параллелепипед имел максимальный объем, хотя бы одна его вершина должна касаться поверхности сферы. В противном случае мы могли бы легко расширить параллелепипед по одной стороне и увеличить объем. Рассмотрим тогда без ограничения общности одну вершину параллелепипеда, касающуюся сферы в положительном октанте; т. е. имеет координаты 𝑥, 𝑦, 𝑧, где 𝑥, 𝑦 и 𝑧 все положительны.
Теперь рассмотрим ребра, к которым примыкает эта вершина.
Поскольку сфера симметрична относительно всех трех осей, а эти линии параллельны трем осям, вершины параллелепипеда на другом конце этих ребер должны находиться на одинаковом расстоянии вдоль соответствующих им параллельных осей, но в отрицательном направлении от исходная точка.
Это функция, которую нужно максимизировать. И наше ограничение состоит в том, что наша исходная выбранная точка в 𝑥, 𝑦, 𝑧 должна лежать на сфере, что означает, что значения 𝑥, 𝑦 и 𝑧 удовлетворяют уравнению сферы 𝑥 в квадрате плюс 𝑦 в квадрате плюс 𝑧 в квадрате равно единице. Если представить это в обычной форме функции ограничений, то 𝑔 равно 𝑥 в квадрате плюс 𝑦 в квадрате плюс 𝑧 в квадрате минус единица равно нулю. Напомним, что функция Лагранжа задается как 𝐿 из 𝐱, 𝜆 равно 𝑓 из 𝐱 плюс 𝜆𝑔 из 𝐱, где 𝑓 — максимизируемая функция, 𝑔 — функция ограничений, а 𝜆 — скаляр, известный как множитель Лагранжа.
Итак, в нашем случае 𝐿 из 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜆 равно восьми 𝑥𝑦𝑧 плюс 𝜆 умножить на 𝑥 в квадрате плюс 𝑦 в квадрате плюс 𝑧 в квадрате минус один. Чтобы найти максимум или минимум 𝑓 с учетом ограничения 𝑔, мы берем частные производные лагранжиана 𝐿 по 𝑥, 𝑦, 𝑧 и 𝜆; установите их равными нулю; затем решите полученную систему уравнений для 𝑥, 𝑦 и 𝑧. Нам не нужно явно решать для 𝜆. Давайте сначала освободим немного места и переместим нашу функцию сюда.
Теперь нам нужно взять частные производные от 𝐿 по 𝑥, 𝑦, 𝑧 и 𝜆. 𝜕𝐿 by 𝜕𝑥 равно восьми 𝑦𝑧 плюс два 𝜆𝑥, 𝜕𝐿 by 𝜕𝑦 равно восьми 𝑥𝑧 плюс два 𝜆𝑦, 𝜕𝐿 by 𝜕𝑧 равно восьми 𝑥𝑦 плюс два 𝜆𝜿 и 𝜕𝜆 равно 𝑥 в квадрате плюс 𝑦 в квадрате плюс 𝑧 квадрат минус один, который, как мы заметим, точно такой же, как функция ограничения 𝑔. Теперь мы приравняем их все к нулю и решим эту систему уравнений для 𝑥, 𝑦 и 𝑧.
Судя по симметрии этой системы уравнений, вы можете увидеть, к чему все идет, но давайте продолжим.
Перестановка и деление на 𝑥, что мы можем сделать, поскольку 𝑥, равное нулю, было бы тривиальным результатом с параллелепипедом нулевого объема, мы получаем 16𝑦 в квадрате равно 𝜆 в квадрате. 𝑦 также не равно нулю, поэтому 𝜆 не равно нулю. Следовательно, из нашего предыдущего уравнения мы должны иметь 𝑦 минус 𝑥 в квадрате над 𝑦 равно нулю.
Все это упрощается до трех 𝑥 в квадрате равно единице, что означает, что 𝑥 в квадрате равно 𝑦 в квадрате равно одной трети. Из нашего уравнения для 𝑧 мы можем получить 𝑧 в квадрате равно 𝜆 в квадрате 𝑥 в квадрате на 16𝑦 в квадрате, что упрощается до 𝑥 в квадрате, поэтому 𝑧 в квадрате также равно одной трети. Итак, мы решили эту систему уравнений для 𝑥, 𝑦 и 𝑧, и 𝑥 равно 𝑦 равно 𝑧 равно единице над корнем три. И это положительный корень три, потому что мы изначально заявили, что 𝑥, 𝑦 и 𝑧 все положительны. Помните, что каждая сторона параллелепипеда имеет длину два 𝑥, два 𝑦 и два 𝑧 соответственно. Итак, каждая сторона этого параллелепипеда имеет одинаковую длину, две над корнем три.
3см и высота 2см. 
см
Это (а) восемь 𝑎𝑏𝑐 на три корня три, (б) 𝑎𝑏𝑐 на три корня три, (в) восемь 𝑎𝑏𝑐 на корень три, (г) шесть 𝑎𝑏𝑐 на корень три или (д) восемь 𝑎𝑏𝑐?
Таким образом, эллипсоид является результатом трех масштабирований вдоль трех перпендикулярных осей.
Площадь ромба равна половине произведения двух диагоналей. Таким образом, у нас есть половинный корень, умноженный на два, умноженный на 𝑆, корень два, что как раз равно 𝑆, той же новой площади, что и у нас, когда мы растягивали вдоль оси, параллельной одной из сторон квадрата. С помощью матричных преобразований довольно просто доказать, что это увеличение площади одинаково вдоль любой оси и что это также обобщается на объем в трех измерениях.
Таким образом, параллелепипед максимального объема в сфере соответствует параллелепипеду максимального объема в эллипсоиде.
Мы только что нарисовали первую часть краев. Поскольку в вопросе указан прямоугольный параллелепипед, и мы будем масштабировать эту форму со сферой по трем перпендикулярным осям, эти ребра также должны быть под прямым углом друг к другу. Таким образом, они останутся под прямым углом друг к другу после преобразования масштабирования. Поскольку эта сфера симметрична по всем трем осям, мы снова можем считать без ограничения общности, что ребра параллельны каждой из координатных осей. Если мы теперь расширим эти ребра дальше, мы можем сделать вывод, что все три ребра будут иметь максимальную длину. И, следовательно, прямоугольный параллелепипед будет иметь максимальный объем, когда все три ребра касаются сферы в другой своей концевой вершине.
Значит, эта точка должна иметь отрицательные координаты 𝑥, 𝑦, 𝑧. Эта точка должна иметь координаты 𝑥, минус 𝑦, 𝑧. И эта точка должна иметь координаты 𝑥, 𝑦, минус 𝑧. Это, в свою очередь, означает, что эта сторона имеет длину два 𝑥, эта сторона имеет длину два 𝑦, а эта сторона имеет длину два 𝑧, а это значит, что объем полного прямоугольного параллелепипеда должен быть 𝑉 равен двум 𝑥, умноженным на два 𝑦, умноженным на два. два 𝑧 равно восьми 𝑥𝑦𝑧.
Вектор 𝐱 представляет собой набор переменных 𝑓, в данном случае 𝑥, 𝑦, 𝑧.
Мы можем решать эти уравнения в любом порядке. Давайте начнем с уравнения один, и нам понадобится немного больше места. Из уравнения один мы можем переставить, чтобы получить 𝑧 равно отрицательному 𝜆𝑥 по четырем 𝑦. Подставляя это выражение для 𝑧 во второе уравнение, мы получаем, что восемь 𝑥 умножить на отрицательное 𝜆𝑥 на четыре 𝑦 плюс два 𝜆𝑦 равно нулю. Разделив на два и приняв 𝜆 в качестве общего множителя перед упрощением, мы получим 𝜆, умноженное на 𝑦 минус 𝑥 в квадрате над 𝑦, равно нулю, что означает, что либо 𝜆 равно нулю, либо 𝑦 минус 𝑥 в квадрате над 𝑦 равно нулю. Если вместо этого мы подставим это выражение для 𝑧 в третье уравнение, мы получим восемь 𝑥𝑦 плюс два 𝜆, умноженных на отрицательное 𝜆𝑥 на четыре 𝑦, равно нулю.
Переставляя это уравнение, мы получаем 𝑥 в квадрате равно 𝑦 в квадрате, что также равно 𝜆 в квадрате на 16. Если теперь мы воспользуемся уравнением четыре и подставим 𝑦 в квадрате на 𝑥 в квадрате и 𝑧 в квадрате отрицательного 𝜆𝑥 на четыре 𝑦, мы получим 𝑥 в квадрате плюс 𝑥 в квадрате плюс минус 𝜆𝑥 из корней четырех 𝜆 в квадрате из 16 все в квадрате равно единице.
Leave A Comment