Конус вписан в шар. Радиус основания …

В данной статье рассмотрим четыре задачи по стереометрии. Дана комбинация тел – конус и шар. Во всех заданиях речь идёт о конусе, который вписан в шар. Отмечу, что в условии взаимное расположение данных тел озвучено может быть по разному, например: «Конус вписан в шар» или  «Около конуса описана сфера».

Суть одна – если сказать простым (нематематическим) языком, то конус находится «внутри» сферы, она содержит окружность его основания и вершину. Посмотрите на эскиз:

При решении необходимо знать формулы объёмов шара и конуса.

Объём шара:

Объём конуса:

*Эти формулы необходимо знать!

Площадь основания конуса является кругом, она равна:

Рассмотрим частный случай! Если высота конуса будет равна радиусу его основания, то формула объёма конуса будет иметь вид:

Эскиз:

Понятно, что центральным сечением такого конуса будет являться прямоугольный равнобедренный треугольник, причём высота проведённая из прямого угла разбивает его также на два прямоугольных равнобедренных треугольника:

Вспомним понятие образующей, оно часто используется в задачах с конусами, будет и в заданиях ниже.

Образующая конуса  – это отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой его основания. На предыдущем эскизе она обозначена буквой  l.

Напрашивается простой вывод: образующих у конуса имеется бесконечное количество и все они равны.

На блоге, кстати, уже есть пара статей с шарами, можете посмотреть их «Задачи с шарами. Это просто!» и «Цилиндр описан около шара. Три задачи».

Теперь рассмотрим задачи:

245351. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса.

Так как сказано, что радиус основания конуса равен радиусу шара, то становится понятно, что основание конуса совпадает с плоскостью центрального сечения шара.

Построим эскиз данной комбинации для наглядности (это осевое сечение):

Сказано, что высота конуса равна радиусу его основания (и, разумеется, радиусу шара). Запишем формулы объёмов шара и конуса:

Так как объём шара известен (он равен 28), можем вычислить радиус. Вернее, нам понадобится не сам радиус, а его куб:

Таким образом, объём конуса будет равен:

*Можно было обойтись без вычислений. Посмотрите, если сопоставить две формулы:

то видно, что объём шара в 4 раза больше объёма конуса.

Значит объём конуса будет равен 28/4 = 7.

То есть,  задача решается практически устно.

Ответ: 7

245352. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.

Задача обратная предыдущей, рисунок тот же.

Формулы:

Из формул понятно, что объём шара в 4 раза больше объёма конуса:

Таким образом, искомый объём равен 24.

Ответ: 24

316555. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна  . Найдите радиус сферы.

Здесь условие звучит по-другому, но тела расположены относительно друг друга абсолютно также, как и в предыдущих задачах – конус вписан в сферу, основание конуса совпадает с центральным сечением сферы.

Эскиз тот же, отметим радиус, высоту равную радиусу и образующую:

Задача сводится к использованию одной формулы. Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен жёлтым). По теореме Пифагора:

Радиус сферы равен семи.

Ответ: 7

316556.  Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен  . Найдите образующую конуса.

Эта задача обратная предыдущей, эскиз:

Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен жёлтым), х – это образующая. По теореме Пифагора:

Образующая конуса равна 56.

Ответ: 56

На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Конус, вписанный в шар

Решение задач на конус, вписанный в шар (конус, вписанный в сферу) сводится к рассмотрению одного или нескольких треугольников.

 

Конус вписан в шар, если его вершина и окружность основания лежат на поверхности шара, то есть на сфере. Центр шара лежит на оси конуса.

 

 

 

При решении задач на конус, вписанный в шар, удобно рассматривать сечение комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара. Сечение представляет собой большой круг шара (то есть круг, радиус которого равен радиусу шара)  с вписанным в него равнобедренным треугольником — осевым сечением конуса. Боковые стороны этого треугольника — образующие конуса, основание — диаметр конуса.

 

  

 

 

 

 

Если угол между образующими острый, центр описанного круга лежит внутри треугольника (соответственно, центр описанного около конуса шара — внутри конуса).

           

 

 

 

 

Если угол между образующими прямой, центр круга лежит на середине основания треугольника (центр шара совпадает с центром основания конуса).

  

 

 

 

 

Если угол между образующими тупой, центр круга лежит вне треугольника (центр описанного шара — вне конуса).

Если в условии задачи не сказано, где именно лежит центр описанного шара, желательно рассмотреть, как могут повлиять на решение различные варианты его расположения.

Рассмотрим конуса и описанного около него шара плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара. Здесь SO=H — высота конуса, SB=l — образующая конуса,SO1=O1B=R — радиус шара, OB=r — радиус основания конуса, ∠OSB=α — угол между высотой и образующей конуса.

Треугольник SO1B — равнобедренный с основанием SB (так как SO1=O1B=R). Значит, у него углы при основании равны: ∠OSB=∠O1BS=α, и O1F — медиана, высота и биссектриса. Отсюда SF=l/2.

При решении задач на конус, вписанный в шар, можно рассмотреть прямоугольные треугольники SFO1 и SOB. Они подобны (по острому углу S). Из подобия треугольников

   

   

В прямоугольном треугольнике SOB  ∠OBS=90º — ∠OSB=90º-α. По теореме Пифагора 

   

В прямоугольном треугольнике O1OB ∠OBO1=90º — ∠O1BS=90º — α — α=90º — 2α.

   

   

   

Если продлить SO до пересечения с окружностью, получим прямоугольный треугольник SBM (∠SBM=90º как вписанный угол, опирающийся на диаметр SM). В нем BO- высота, проведенная к гипотенузе. По свойствам прямоугольного треугольника

   

и уже полученное соотношение

   

Комбинация тел, объёмы

%PDF-1.4 % 129 0 obj >>>]/ON[133 0 R]/Order[]/RBGroups[]>>/OCGs[133 0 R]>>/OpenAction[1 0 R/XYZ null null 0]/Outlines 127 0 R/Pages 99 0 R/Type/Catalog/ViewerPreferences>>> endobj 131 0 obj >/Font>>>/Fields 137 0 R>> endobj 132 0 obj >stream application/pdf

  • User
  • Комбинация тел, объёмы
    • 2018-01-08T14:14:09+01:00Writer2018-01-08T16:16:37+03:002018-01-08T16:16:37+03:00LibreOffice 4.2uuid:b5fcb6d1-3a0e-4d8a-acf8-d23d82c091e2uuid:19443eb0-624e-4886-b5fd-99b18e129e33 endstream endobj 127 0 obj > endobj 99 0 obj > endobj 126 0 obj >>> endobj 125 0 obj > endobj 10 0 obj >stream x͔Q C2yԎA[ˉ*d%»R8

    Конус вписан в шар объем 38.

    Рассмотрим некоторые соотношения, которые полезны при решении задач на шар, вписанный в конус.

    В любой конус можно вписать шар. Вписанный в конус шар (или сфера, вписанная в конус) касается основания конуса в его центре, а боковой поверхности — по окружности. Центр шара (сферы) лежит на оси конуса.

    При решении задач на шар, вписанный в конус, удобнее всего рассмотреть сечение комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара.

    Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого — образующие конуса, а основание — диаметр конуса. Вписанный в этот треугольник круг — большой круг шара (то есть круг, радиус которого равен радиусу шара).

    Для данного рисунка образующие SA=SB=l, высота конуса SO=H, радиус вписанного шара OO1=O1F=R. Так как центр вписанного круга — точка пересечения биссектрис треугольника, то ∠OBO1=∠FBO1, OB=r — радиус конуса.

    Рассмотрим прямоугольный треугольник SOB. По свойству биссектрисы треугольника:

    По теореме Пифагора

    Рассмотрим прямоугольный треугольник OO1B.

  • Варіант 2
  • 23. В шар радиуса r вписана правильная треугольная пирамида, боковые грани которой наклонены под углом к основанию. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
  • 24. В конус вписана правильная четырехугольная пирамида, высота которой равна см, а плоский угол при вершине. Найдите объем конуса.
  • Варіант 3
  • Варіант 4
  • 24. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна d. Боковое ребро образует с высотой угол. Найдите объем описанного шара.
  • 25. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен. Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного в нее шара равенr.
  • Варіант 5.
  • 25. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен. Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного шара равенr.
  • 22. В шар радиуса r вписана правильная четырехугольная пирамида, боковые грани которой образуют угол, равный с основанием. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
  • Варіант 7.
  • 22. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна b. Угол наклона бокового ребра к основанию равен. Найдите объем вписанного шара.
  • 25. В основании конуса проведена хорда длиной а, которую видно из центра основания под углом. Образующая конуса наклонена к основанию под углом. Найдите объем описанного шара.
  • Варіант 9
  • 24. Угол между образующей конуса и его высотой равен. Расстояние от центра описанного около конуса шара до основания высоты равноl. Вычислите полную поверхность конуса.
  • 26. Треугольник со сторонами 12 см, 17 см и 15 см вращается вокруг меньшей стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения. Варіант 10
  • 25. В шар, площадь поверхности которого s, вписан конус. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен. Определите площадь полной поверхности конуса.
  • Варіант 11
  • 22. В основании конуса проведена хорда длиной b, которую видно из центра основания под углом. Угол при вершине осевого сечения конуса равен. Найдите объем описанного шара.
  • 24. Основание пирамиды прямоугольная трапеция с основаниями а и b; двугранные углы при основании. Найдите объем вписанного шара.
  • 25. Полная поверхность конуса равна s. Образующая его наклонена к плоскости основания под углом. Вычислите объем правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в этот конус.
  • Варіант 12
  • 20. В правильной треугольной пирамиде боковая грань наклонена к плоскости основания под углом. Найдите полную поверхность пирамиды, если радиус шара, вписанного в нее, равенr.
  • 21. Апофема правильной треугольной пирамиды равна h. Боковое ребро образует с высотой угол. Найдите объем описанного шара.
  • 24. В конус вписан шар радиуса r. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под утлом. Найдите объем конуса.
  • Варіант 13
  • 21. В основании конуса проведена хорда длиной b, которую видно из вершины под углом. Угол при вершине осевого сечения равен. Найдите площадь поверхности вписанной в конус сферы.
  • 23. В шар радиуса 6 см вписана правильная четырехугольная пирамида. Какова должна быть величина высоты пирамиды, чтобы ее объем был наибольшим?
  • 24. В правильную треугольную пирамиду вписан конус. Найдите объем конуса, если ребро пирамиды равно l и плоский угол при вершине пирамиды равен.
  • Варіант 14
  • 22. В конус, объем которого равен V, вписана правильная пятиугольная пирамида. Найти объем пирамиды.
  • 23. В цилиндр, вписанный в шар, вписан шар. Найдите отношение площадей поверхностей и объемов этих шаров.
  • Варіант 15
  • Варіант 16
  • 21. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен. Найдите полную поверхность пирамиды, если радиус шара, вписанного в нее, равенR.
  • 20. В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна l, а плоский угол при вершине. Найдите объем конуса, описанного около пирамиды.
  • 22. Около шара описан усеченный конус, площадь осевого сечения которого s, острый угол сечения. Найдите объем шара.
  • 26. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а. Боковое ребро наклонено к основанию под углом. Найдите объем вписанного шара. Варіант 18
  • 22. Вокруг шара радиуса 6 см описан усеченный конус, радиусы оснований которого относятся как 4:9. Найдите боковую поверхность усеченного конуса.
  • 23. В шар радиуса r вписана правильная четырехугольная пирамида, с плоским углом при вершине, равным. Найдите объем пирамиды.
  • Варіант 19
  • 21. В шар вписана правильная треугольная пирамида. Какова должна быть длина высоты пирамиды, чтобы объем пирамиды был наибольшим, если радиус шара равен 3 см?
  • 23. В конус вписан шар. Отношение объемов конуса и шара равно 2. Найдите отношение площадей полных поверхностей конуса и шара.
  • Варіант 20.
  • 22. В прямой круговой конус вписан шар, радиус которого равен 1 м. Найдите угол между образующей конуса и его основанием, при котором объем этого конуса наименьший.
  • 23. Найдите объем правильной четырехугольной призмы, если радиус описанного около нее шара равен r. Этот радиус, проведенный в вершину призмы, образует угол с боковой гранью, содержащей эту вершину.

    • 23. В цилиндр, вписанный в шар, вписан шар. Найдите отношение площадей поверхностей и объемов этих шаров.

    24. В треугольнике известна сторона а и прилежащие к ней два острых угла, которые равны и. Этот треугольник вращается вокруг прямой, которая лежит в плоскости треугольника и проходит через вершину третьего угла перпендикулярно к его биссектрисе. Определите объем тела вращения.

    25. В треугольнике известны сторона с и два прилежащих острых угла, которые равны и. Этот треугольник вращается около прямой, которая проходит через вершину третьего угла параллельно известной стороне. Определите объем тела вращения.

    26. В конус вписана правильная шестиугольная пирамида с высотой 4 см и плоским углом при вершине . Найдите полную поверхность конуса.

    Варіант 15

    Описати методику розв’язання задачі. Для виділених задач побудувати зображення комбінацій тіл.

    1. Из точки к плоскости проведены две наклонные, разность между которыми равна 5 см. Проекции этих наклонных на плоскость соответственно равны 18 см и 7 см. Вычислите расстояние от данной точки до плоскости.

    2. Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, которое равно 16 см. Расстояние между вершинами этих треугольников равно 13 см. Боковая сторона одного треугольника равна 17 см. Другой треугольник — прямоугольный. Вычислите угол между плоскостями этих треугольников.

    3. В прямоугольном треугольнике с катетом 15 см и гипотенузой 25 см из вершины прямого угла восставлен перпендикуляр к плоскости треугольника длиной 5 см. Найдите расстояние от концов этого перпендикуляра до прямой, содержащей гипотенузу.

    4. Из точки А проведена наклонная АВ к плоскости под углом 45°. В плоскостипроведена прямая ВС, которая образует угол 45° с проекцией наклонной АВ на плоскость. Основаниеперпендикуляра, опущенного из точки А на плоскость удалено от прямой ВС на 6 см. Найдитедлину наклонной АВ и угол между прямыми АВ и ВС.

    5. Равные равнобедренные треугольникиАВС и BCD имеют общее основание ВС, а их плоскости образуют угол 120°. Найдите боковые стороны, треугольников ABC и BCD, если их основания равны по 3 см, а расстояние между точками А и D равно см.

    6. В одной из граней двугранного угла, равного 45°, проведена прямая, образующая с другой гранью угол 30°. Найдите величину угла, который образует прямая с ребром двугранного угла.

    7. Постройте сечение прямой четырехугольной призмы , плоскостью, проходящей через точки М, N и К, которые лежат соответственно на ребрах АА, DD и CC.

    8. На оси абсцисс найти точку, равноудаленную от точек А (1; 2; 2) и В (-2; 1; 4).

    9. Дан тетраэдр ABCD, ,=,,=, К — внутренняя точка ребра СВ. Выразите вектор, через векторы.

    10. Векторы (n; -2; 1) и (n; 1; -n) перпендикулярны. Найдите n.

    11. Перпендикулярен ли вектор , где А(- 1; 5; — 2), В(0; 3; 4) и плоскость 2х – 4y + 12z — 1 = 0? Почему?

    12. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с углом . Диагональ боковой грани, что содержит гипотенузу данного треугольника, образует с его плоскостью угол. Диагональ боковой грани, что содержит прилежащий к углукатет, равнаl. Определить объем призмы.

    13. Площади диагональных сечений наклонного параллелепипеда 105 сми 135 см, площади боковых граней относятся как 4:7. Найти площадь боковой поверхности.

    14. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 8м и 5м, а высота 3 м. Проведите сечение через сторону нижнего основания и противоположную ей вершину верхнего основания. Определить площадь сечения.

    15. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна h и образует с апофемой угол . Найдите полную поверхность пирамиды.

    16. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно b, а двугранный угол при основании равен . Найдите полную поверхность пирамиды.

    17. В правильной четырехугольной пирамиде боковая грань наклонена к плоскости основания под углом . Через сторону основания проведена плоскость, перпендикулярная к противо­лежащей боковой грани. Найдите площадь сечения, если радиус вписанного шара равенr.

    18. Площадь боковой поверхности конуса относится к площади его основания, как m:n, высота конуса равна h. Найдите площадь осевого сечения конуса.

    19. В усеченном конусе образующая равна 10 см, а радиусы оснований 1 см и 7 см. Найдите радиус цилиндра такой же высоты, полная поверхность которого равновелика полной поверхности усеченного конуса.

    20. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите поверхность пирамиды, если радиус шара, вписанного в нее, равен r .

    21. В основании прямой призмы лежит ромб с тупым углом . Сечение, проведенное через большую диагональ нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания наклонено к плоскости основания под углом. Площадь сечения равна Q. Найдите объем цилиндра, вписанного в данную призму.

    22. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с углом . Через противолежащий углукатет нижнего основания и вершину углаверхнего основания проведено сечение. Перпендикуляр, проведенный из вершины угланижнего основания к этому сечению равенb и образует с плоскостью основания угол . Найдите боковую поверхность цилиндра, описанного около призмы.

    23. Найдите объем правильной треугольной призмы, если радиус описанной около нее сферы равен R. Этот радиус, проведенный в вершину призмы, образует угол с боковой гранью, содержащей эту вершину.

    24. В шар радиуса R вписан прямоугольный параллелепипед, основанием которого является квадрат со стороной а. Найдите объем параллелепипеда

    45. Через вершину конуса проведено сечение под углом 30° к высоте конуса. Вычислить площадь сечения, если высота конуса равна а радиус основания равен 5 см. (24 см 2).

    46. Через образующую цилиндра проведено два сечения, из которых одно осевое. Площадь меньшего из сечений равна Q. Угол между плоскостями сечений равен 60°. Найти площадь осевого сечения.

    47. Найти радиус шара, объем которого равен объему тела, образованного вращением равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы, длина которой равна 2а.

    Длины окружностей оснований усеченного конуса равны 4p и 10p. Высота конуса равна 4. Найти площадь поверхности усеченного конуса. (64p).

    49. Известно, что две взаимно перпендикулярные образующие конуса делят окружность его основания на дуги 120° и 240°. Найти объем конуса, если его высота равна Н.

    50. В конус вписан шар. Найти объем шара, если образующая конуса равна ℓ и наклонена к основанию под углом a.

    51. Равнобедренный треугольник, у которого основание равно а угол при вершине 120°, вращается вокруг прямой, содержащей основание. Найти площадь поверхности тела вращения. (16p).

    52. Объем конуса равен V. Высота его разделена на три равные части, и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Найти объем средней отсеченной части.

    53. В конус, осевое сечение которого есть равносторонний треугольник, вписан шар радиуса r = 2 см. Найти объем конуса. (24p см 3).

    54. В конус с радиусом основания 2 см вписан шар радиуса 1 см. Найти объем конуса.

    Найти полную поверхность цилиндра, в осевом сечении которого квадрат, если его боковая поверхность равна 80. (120).

    56. Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен 120°. Площадь боковой поверхности конуса равна 12p. Найти площадь осевого сечения конуса. .

    57. Образующая усеченного конуса равна ℓ и составляет с плоскостью основания угол a. Диагональ его осевого сечения перпендикулярна образующей. Найти площадь боковой поверхности конуса. .

    Диагонали ромба равны 6 и 8. Этот ромб вращается вокруг прямой, содержащей одну из его сторон. Найти площадь поверхности полученного тела. (96p).

    Сечения шара двумя параллельными плоскостями, между которыми лежит центр шара, имеют площади 144p и 25p. Найти площадь поверхности шара, если расстояние между параллельными плоскостями равно 17. (676p).

    Сечения сферы двумя параллельными плоскостями имеют длины 10p и 24p. Найти площадь сферы, если расстояние между плоскостями равно 7 и центры сечений лежат на одном радиусе. (676p).

    61. Высота усеченного конуса равна 5, а диагональ осевого сечения — 13. Радиусы оснований относятся как 1:2. Найти объем конуса.

    62. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС = 10, АС = 12. Треугольник вращается вокруг оси, проходящей через вершину С и перпендикулярной АС. Найти объем тела вращения. (576p).

    63. Угол в развертке боковой поверхности конуса равен 120°. Площадь боковой поверхности конуса равна 3p. Найти объем конуса.

    64. Сечение цилиндра, параллельное его оси, отсекает от окружности основания дугу 120°. Радиус основания цилиндра равен R, а угол между диагональю сечения и осью цилиндра равен 30°. Найти объем цилиндра.

    65. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отстоит от нее на расстояние, равное 15. Диагональ получившегося сечения равна 20, а радиус основания цилиндра равен 17. Найти объем цилиндра.

    66. Радиус основания конуса равен 4, а его высота — 10. В этот конус вписан цилиндр так, что его верхнее основание касается боковой поверхности конуса, а нижнее лежит в плоскости его основания. Осевое сечение цилиндра — квадрат. Найти объем цилиндра.

    67. Через точку, не лежащую на сфере, проведены две плоскости, касающиеся сферы. Найти расстояние от центра сферы до линии пересечения плоскостей, если угол между плоскостями равен 60°, а площадь сферы 32p.

    68. Через точку на поверхности шара проведены две плоскости, пересекающие его. Обе плоскости удалены от центра сферы на расстояние угол между ними равен 60°. Найти площади получившихся сечений.

    69. Два цилиндра, радиусы которых относятся как 2:3, имеют равные объемы. Найти отношение площадей боковых поверхностей данных цилиндров.

    70. Из круга вырезан сектор, представляющий собой четверть круга. Из этого сектора и из оставшейся части круга изготовлены боковые поверхности двух конусов. Найти отношение высот этих конусов.

    На гранях двугранного угла взяты две точки, удаленные от ребра двугранного угла на 6 см и 10 см. Известно, что одна из этих точек удалена от второй грани на 7,5 см. Найти расстояние от второй точки до противоположной грани двугранного угла. (4,5 см).

    72. Через сторону ромба ABCD проведена плоскость a. Сторона АВ составляет с этой плоскостью угол 30°. Найти угол между плоскостью ромба и плоскостью a, если острый угол ромба равен 45°. (45°).

    73. Из точки М к плоскости a проведены две наклонные, которые образуют со своими проекциями на плоскость a углы 30°. Угол между наклонными равен 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных, если расстояние от точки М до плоскости a равен (4 см).

    74. Плоскости a и b параллельны. Из точки М (плоскости a и b расположены по одну сторону от точки М) проведены две прямые. Первая прямая пересекает плоскости a и b соответственно в точках А и В, а вторая прямая — в точках С и D, причем AM = CD, MC = 16, AB = 25.АВС. Точка Р удалена на расстояние, равное m, от прямой ВС. Найти расстояние от точки Р до плоскости АВС.

    Точка М удалена от каждой стороны равнобедренной трапеции на расстояние, равное 12 см. Основания трапеции равны 18 см и 32 см. Найти расстояние от точки М до плоскости трапеции. (0).

    80. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 6. Острый угол трапеции равен 30°. Точка М удалена от плоскости трапеции на расстояние, равное и находится на равном расстоянии от ее сторон. Найти расстояние от точки М до сторон трапеции. (0).

    81. Через середину отрезка с концами в точках Р(-1; 2; 5) и Q(3; -4; 1) проведена плоскость, перпендикулярная прямой, проходящей через точки А (0; -2; -1) и В (3; 2; -1). Составить уравнение плоскости. (3x + 4y +1 = 0).

    82. Высота АА 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 вдвое больше каждой из сторон основания. Найти угол между прямыми BD 1 и АМ, где М — точка пересечения диагоналей грани DСC 1 D 1 .

    83. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ; точка К — середина ребра AA 1 , L — центр грани CC 1 D 1 D. Найти угол между плоскостями BKL и АD 1 С.

    84. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , в котором АВ = 4, AD = 6, AA 1 = 2. Точки F и K расположены на ребрах AD и B 1 C 1 соответственно, причем AF:FD = C 1 K:KB 1 = 1:2, P — точка пересечения диагоналей грани ABCD. Найти угол между прямыми PK и B 1 F.

    85. Дан тетраэдр ABCD. Все плоские углы при вершине D — прямые; DA = 1, DB = 2, DC = 3. Найти медиану тетраэдра, проведенную из вершины D.

    86. Даны точки А (1; 0; 1), В (-2; 2; 1), С (2; 0; 3) и D (0; 4; -2). Найти уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС. (2x + 3y — z — 14 = 0).

    87. Найти площадь сечения куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью, проходящей через вершину А и середины ребер B 1 C 1 и C 1 D 1 , если ребро куба равно а.

    88. Дан равнобедренный треугольник АВС (АС = СВ). А (1; -2; 1), В (3; 2; -3). Вершина С лежит на оси ординат. Найти площадь треугольника АВС. (9).

    89. В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 сторона основания равна 2, а боковое ребро — 4. Е — середина CD и K — середина C 1 С. DK пересекает D 1 C в точке Р. Найти расстояние между серединой М отрезка B 1 Е и точкой Р.

    90. Точки А (1; 1; 5), В (4; 7; 5), С (8; 5; 5), D (5; -1; 5) являются вершинами прямоугольника АВСD. Найти больший угол между диагоналями прямоугольника.

    91. (Л4, № 14.76.50). В параллелограмме АВСD известны координаты трех вершин А (3; 1; 2), В (0; -1; -1), С (-1; 1; 0). Найти длину диагонали BD.

    CV 92. (Л4, № 14.76.51). Доказать, что точки А (1; -1; 1), В (1; 3; 1), С (4; 3; 1), D (4; -1; 1) являются вершинами прямоугольника. Вычислить длины его диагоналей и координаты точки их пересечения.

    93. Вершинами треугольника являются точки А(2; -3; 0), В(2; -1; 1), С(0; 1; 4). Найти величину угла, образуемого медианой ВD и основанием АС. (45°)

    94. Треугольная пирамида задана вершинами А(3; 0; 1), В(-1; 4; 1), С(5; 2; 3), D(0; -5; 4). Вычислить длину вектора , если G — точка пересечения медиан грани BCD.

    95. Объем прямой треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 равен 3. Определить координаты вершины A 1 , если координаты вершин одного из оснований призмы известны: А (1; 0; 1), В (2; 0; 0), С (0; 1; 0).

    При обозначениях рис. объем шара равен 4 / 3 π R 3 , а объем конуса AСВ равен 1 / 3 πr 2 СО 1 = 1 / 3 πr 2 H.

    По условию

    1 / 3 πr 2 H = 1 / 4 4 / 3 π R 3

    т. е. r 2 H = R 3 . Еще одну зависимость между r и R мы получим из прямоугольного треугольника CAD; именно, АО 1 2 =CO 1 DO 1 т. е. r 2 = H (2R — Н). Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получим R 3 — 2H 2 R + H 3 = 0. Хотя это уравнение третьей степени относительно неизвестного R, но одно его решение R = H сразу усматривается (его можно было угадать и непосредственно по условию, так как конус, у которого радиус основания и высота равны радиусу шара, составляет по объему 1 / 4 шара). Следовательно (по теореме Безу), левую часть можно разложить на множители, один из которых равен R — H. Для этого достаточно разделить R 3 — 2H 2 R + H 3 на R — H или применить такое преобразование:

    R 3 — 2H 2 R + H 3 = (R 3 — H 2 R) — (H 2 R — H 3) = R (R- Н) (R + H) — H 2 (R — H) =
    =(R — H) (R 2 + RH — H 2)=0.

    Уравнение R 2 + RH — H 2 = 0 имеет один положительный корень

    (отрицательный корень не годится).

    Геометрически это означает, что радиус шара равен большей части высоты конуса, разделенной в крайнем и среднем отношении.

    Ответ: Задача имеет два решения: V = 4 / 3 π H 3 и V = 4 / 3 π (√5 — 2) H 3 .

    Решение задач на конус, вписанный в шар (конус, вписанный в сферу) сводится к рассмотрению одного или нескольких треугольников.

    Конус вписан в шар, если его вершина и окружность основания лежат на поверхности шара, то есть на сфере. Центр шара лежит на оси конуса.

    При решении задач на конус, вписанный в шар, удобно рассматривать сечение комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара. Сечение представляет собой большой круг шара (то есть круг, радиус которого равен радиусу шара) с вписанным в него равнобедренным треугольником — осевым сечением конуса. Боковые стороны этого треугольника — образующие конуса, основание — диаметр конуса.

    Если угол между образующими острый, центр описанного круга лежит внутри треугольника (соответственно, центр описанного около конуса шара — внутри конуса).

    Если угол между образующими прямой, центр круга лежит на середине основания треугольника (центр шара совпадает с центром основания конуса).

    Если угол между образующими тупой, центр круга лежит вне треугольника (центр описанного шара — вне конуса).

    Если в условии задачи не сказано, где именно лежит центр описанного шара, желательно рассмотреть, как могут повлиять на решение различные варианты его расположения.

    Рассмотрим конуса и описанного около него шара плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара. Здесь SO=H — высота конуса, SB=l — образующая конуса,SO1=O1B=R — радиус шара, OB=r — радиус основания конуса, ∠OSB=α — угол между высотой и образующей конуса.

    Треугольник SO1B — равнобедренный с основанием SB (так как SO1=O1B=R). Значит, у него углы при основании равны: ∠OSB=∠O1BS=α, и O1F — медиана, высота и биссектриса. Отсюда SF=l/2.

    При решении задач на конус, вписанный в шар, можно рассмотреть прямоугольные треугольники SFO1 и SOB. Они подобны (по острому углу S). Из подобия треугольников

    В прямоугольном треугольнике SOB ∠OBS=90º — ∠OSB=90º-α. По теореме Пифагора

    В прямоугольном треугольнике O1OB ∠OBO1=90º — ∠O1BS=90º — α — α=90º — 2α.

    Тест по геометрии «Объёмы геометрических тел» » 4ЕГЭ

    Задания рассматривают весь базовый материал темы.

    15 заданий. Ответы прилагаются.

    geo-ob.pdf

    Вопрос №1

    Объем конуса равен 288П. Найдите радиус основания конуса, если его высота равна 6.

    A) 18
    B) 12
    C) 6
    D) 6П

    Вопрос №2

    Высота конуса равна радиусу основания. Найдите радиус основания конуса, если объем конуса равен 9П.

    A) 3
    B) 6
    C) 3П
    D) 2

    Вопрос №3

    Площадь основания куба равна 49. Найдите его объем.

    A) 2401
    B) 824
    C) 294
    D) 343

    Вопрос №4

    Основание пирамиды равнобедренный треугольник со сторонами 6, 6 и 8. Боковые ребра равны между собой и каждое по 9. Найдите объем пирамиды.

    Вопрос №5

    Основание пирамиды прямоугольник со сторонами 3 и 4. Боковая грань, проведенная к меньшей стороне, образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Найдите объем пирамиды.

    Вопрос №6

    Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в 4 раза?

    Вопрос №7

    Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 24. Найдите объем шара.

    Вопрос №8

    Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиуса шара. Найдите объем конуса, если радиус шара 24.

    Вопрос №9

    Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Найдите объем цилиндра, если объем конуса равен 84.

    Вопрос №10

    Цилиндр описан около шара. Найдите объем шара, если объем цилиндра 78.

    Вопрос №11

    Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 84.

    Вопрос №12

    Цилиндр описан около шара. Найдите объем цилиндра, если объем шара равен 78.

    Вопрос №13

    В основании прямой треугольной призмы прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3. Найдите объем призмы, если боковое ребро равно 6.

    Вопрос №14

    В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 2, а боковое ребро равно 7. Найдите ее объем.

    Вопрос №15

    От треугольной призмы, объем которой равен 9, отсечена треугольная пирамида плоскостью, плоскостью проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.

    Ответы

    Вопрос №1 — B
    Вопрос №2 — A
    Вопрос №3 — D
    Вопрос №4 — 48
    Вопрос №5 — 8
    Вопрос №6 — 64
    Вопрос №7 — 96
    Вопрос №8 — 6
    Вопрос №9 — 252
    Вопрос №10 — 52
    Вопрос №11 — 28
    Вопрос №12 — 117
    Вопрос №13 — 18
    Вопрос №14 — 60
    Вопрос №15 — 6

    Автор: Воробьева Елена Александровна.

    Задачи в13. Конус. Площадь поверхности конуса. Объем конуса

    Cмотрите также 1 (куб, параллелепипед), 2 (призма, призма II), 3 (пирамида, пирамида II), 4 (составные многогранники, составные многогранники II), 5 (цилиндр+конус), 6 (цилиндр), 8 (шар).

    Разбираем стереометрические задачи части В, которые могут встретится на ЕГЭ по математике. 

    Сегодня в задачах – конус. Находим объем конуса, площадь поверхности.


    Задача 1. 

    Высота конуса равна 12, образующая равна 14. Найдите его объем, деленный на .

    Решение: + показать

    Объем конуса вычисляется по формуле .

    Находим радиус основания по т. Пифагора:

    Тогда

    Откуда

    Ответ: 208.  

    Задача 2.

    Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника  вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на .

    Решение:   + показать

    В качестве высоты конуса выступает катет треугольника, равный 6. В качестве радиуса основания конуса – второй катет треугольника, равны также 6.

    Поэтому

    Тогда

    Ответ: 72.  

    Задача 3. 

    Длина окружности основания конуса равна 5, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

    Решение:  + показать

    Задача 4. 

    Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 9 раз?

    Решение:  + показать

    Площадь боковой поверхности конуса зависит от двух величин – от и , так как ( – радиус, образующая конуса).

    Радиус не изменяется, а образующая увеличивается в 9 раз. Значит и площадь боковой поверхности конуса увеличится в 9 раз.

    Ответ: 9.  

    Задача 5. 

    Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

    Решение:  + показать

    Согласно условию ( – радиус основания конуса, образующая конуса). Откуда 

    Прямоугольный треугольник, образованный высотой, образующей и радиусом основания таков, что катет вдвое меньше гипотенузы, значит угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°.

    Ответ: 60.  

    Задача 6. 

    Площадь полной поверхности конуса равна 148. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

    Решение:  + показать

    Вообще говоря, достаточно сказать, что малый конус подобен исходному с коэффициентом подобия 1:2. Поэтому площади поверхностей будут находится в отношении 1:4.

    Значит, площадь полной поверхности отсеченного конуса есть

    Можно и так:

    Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле

     Пусть – радиус основания и образующая исходного конуса.

    Тогда

    Проведем образующую . Образовавшиеся прямоугольные треугольники и – подобны. Коэффициент подобия  – 2. То есть

    Наконец,  площадь поверхности отсеченного конуса есть

     

    Ответ: 37.  

    Задача 7.

    Найдите объем конуса, образующая которого равна 11 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. В ответе укажите .

    Решение:  + показать

    Задача 8.

    Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 6 раз?

    Решение:  + показать

    – объем конуса.

    Если высоту уменьшаем в 6 раз, то и объем уменьшается в 6 раз.

    Ответ: 6.  

    Задача 9.

    Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 4,5 раза?

    Решение:  + показать

    – объем конуса.

    Если увеличить радиус в 4,5 раза, то  объем увеличивается в раз.

    Ответ: 20,25.  

    Задача 10.

    Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 45.

    Решение:  + показать

    Объем цилиндра равен , а объем конуса с тем же радиусом основания и той же высотой равен .

    Если объем цилиндра равен 45, то объем конуса равен 15.

    Ответ: 15.  

    Задача 11.

    Диаметр основания конуса равен 66, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на .

    Решение:  + показать

    Задача 12.

    Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 3 и высотой 5. Найдите его объем, деленный на .

    Решение:  + показать

    Задача 13.

    Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

    Решение:  + показать

    Задача 14.

    Найдите объем  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

    Решение:  + показать

    Часть конуса, изображенная на рисунке – это часть конуса с радиусом основания 9 и высотой 13.

    Поэтому

    Откуда

    Ответ: 87,75.  

    Задача 15.

    Найдите объем  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

    Решение:  + показать

    Часть конуса, изображенная на рисунке – это часть конуса с радиусом основания 18 и высотой 39.

    Поэтому

    Откуда

    Ответ: 3510.  

    Задача 16.

    Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 156. Найдите объем конуса.

    Решение:  + показать

    Задача 17.

    В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает  высоты. Объём жидкости равен 54 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

    Решение:  + показать

    Рассмотрено много задач. Пора и передохнуть… А потом – за тест!

    –>+ показать

     

    Вы можете пройти тест по Задачам №8, конус.

    Высота конуса равна радиусу основания через вершину. Высота конуса равна радиусу основания

    В данной статье рассмотрим четыре задачи по стереометрии. Дана комбинация тел – конус и шар. Во всех заданиях речь идёт о конусе, который . Отмечу, что в условии взаимное расположение данных тел озвучено может быть по разному, например: «Конус вписан в шар» или «Около конуса описана сфера».

    Суть одна – если сказать простым (нематематическим) языком, то конус находится «внутри» сферы, она содержит окружность его основания и вершину. Посмотрите на эскиз:

    Конус представляет собой двухмерную геометрическую форму с круглым основанием. Стороны конуса наклонены внутрь, когда конус растет по высоте до одной точки, называемой ее вершиной или вершиной. Вы можете рассчитать высоту конуса из его объема, изменив это уравнение.

    Квадратный радиус, а затем разделите радиус квадрата на трехмерную громкость. Для этого примера радиус равен Квадрат 2 равен 4, а 300, деленный на 4, равен. У него есть неофициальный рекорд для самых студентов в Техасском университете в Остине. Каждая точка на круговой основе соединена с вершиной набором отрезков линии. Конус можно рассматривать как стек неконгруэнтных круговых дисков, которые расположены один над другим, так что отношение диаметра соседних дисков остается постоянным. Объем конуса — это его емкость или объем пространства, занимаемого конусом.

    При решении необходимо знать формулы объёмов шара и конуса.

    Объём шара:

    Объём конуса:

    Его можно математически выразить следующим образом. Вот что нужно для вычисления объема конуса. Возьмите коническую колбу и цилиндрический контейнер с одинаковым радиусом основания и той же высотой. Продолжайте добавлять воду в колбу до тех пор, пока она не будет заполнена до краев. Теперь добавьте эту воду в цилиндр, вы заметите, что в контейнере еще есть свободное место. Выполните этот эксперимент еще раз. На этот раз вы заметите, что цилиндрический контейнер полностью заполнен.

    • Начните заливку этой воды в цилиндрический контейнер.
    • Вы заметите, что он полностью не заполняет цилиндр.
    • Снова заполните коническую колбу водой до краев.
    Из этого эксперимента можно сделать вывод, что объем цилиндра в три раза превышает объем конуса с одинаковой высотой и радиусом основания.

    *Эти формулы необходимо знать!

    Площадь основания конуса является кругом, она равна:

    Рассмотрим частный случай! Если высота конуса будет равна радиусу его основания, то формула объёма конуса будет иметь вид:

    Эскиз:

    Это означает, что объем конуса равен одной трети объема цилиндра с одинаковой высотой и радиусом основания. Теперь вы знаете, что объем цилиндра =. В нашей повседневной жизни мы сталкиваемся с различными типами конусов. Объем формулы конуса можно использовать при изготовлении и расчете емкости или объема дорожных конусов, конусов мороженого, воронки и даже обычных цилиндров. Вы можете легко узнать объем конуса, если у вас есть измерения его высоты и радиуса.

    Наблюдение за изменениями площади поверхности конусов

    Используя объем конусной формулы. После завершения этого урока вы сможете выполнить следующее.

    Все, что вы накрыли
    Конус представляет собой трехмерную геометрическую фигуру. Конус — это форма, основание которой представляет собой круг и чьи стороны сужаются до точки.

    Понятно, что центральным сечением такого конуса будет являться прямоугольный равнобедренный треугольник, причём высота проведённая из прямого угла разбивает его также на два прямоугольных равнобедренных треугольника:

    Вспомним понятие образующей, оно часто используется в задачах с конусами, будет и в заданиях ниже.

    Заштрихованная область представляет собой сектор. Площадь поверхности конуса может быть найдена с использованием формулы. Площадь поверхности конуса равна сумме площади основания и боковой области. Чтобы найти площадь поверхности конуса, сначала нам нужно вычислить площадь основания. Площадь основания равна.

    Затем мы видим боковую область, которая представляет собой сумму всех ее граней, исключая базу. Боковая область равна площади сектора, которая была бы. В то же время длина дуги равна.

    Например, студенты смогут изменять высоту и радиус конуса, а затем наблюдать за результатами этих изменений. Когда изменяется только высота — площадь поверхности увеличивается, когда ее высота увеличивается, и уменьшается при уменьшении высоты. Площадь основания конуса пропорциональна квадрату его радиуса.

    Образующая конуса – это отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой его основания. На предыдущем эскизе она обозначена буквой l .

    Напрашивается простой вывод: образующих у конуса имеется бесконечное количество и все они равны.

    На блоге, кстати, уже есть пара статей с шарами, можете посмотреть их « » и « » .

    Площадь основания равна площади основания конуса, так как радиус увеличивается и уменьшается по мере того, как радиус делает то же самое. Боковая область конуса изменяется, когда изменяется его радиус или высота. Боковая область увеличивается при увеличении радиуса или высоты. Аналогично, боковая область уменьшается при уменьшении радиуса или высоты.

    Конус — это геометрическое тело, образованное путем соединения всех точек плоскости в плоскости с точкой вне плоскости. Поверхностная часть называется базой, предельная линия — ведущей кривой, а точка — вершиной или вершиной конуса. Расстояние наконечника от основания называется высотой конуса. Соединительные линии вершины с направляющей кривой называются линиями, а их объединение образует коническую мантию или поверхность мантии.

    Теперь рассмотрим задачи:

    245351. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса.

    Так как сказано, что радиус основания конуса равен радиусу шара, то становится понятно, что основание конуса совпадает с плоскостью центрального сечения шара.

    Построим эскиз данной комбинации для наглядности (это осевое сечение):

    Прямые и косые конусы Когда конус упоминается в геометрии, часто используется специальный случай прямого кругового конуса. Круговой конус представляет собой тело, определяемое окружностью и точкой вне плоскости круга. Плоскость, в которой расположен базовый круг, называется базовой плоскостью. Прямая линия через центр основания и кончик называется осью конуса. Если ось перпендикулярна базовой плоскости, то имеется прямой круговой конус или поворотный конус. В противном случае говорят о наклонном круговом конусе или эллипсовом конусе.

    Каждый эллиптический конус имеет два направления, в которых его пересечение с плоскостью является окружностью; стереографическая проекция использует это как круглый консенсус. Обозначение «роторный конус» означает, что это вращающееся тело. Он образован поворотом прямоугольного треугольника вокруг одного из двух его катетеров. Угол открытия в два раза больше угла между линиями маневра и осью поворотного конуса. Угол между линиями маневра и осью составляет половину угла открытия.

    Сказано, что высота конуса равна радиусу его основания (и, разумеется, радиусу шара). Запишем формулы объёмов шара и конуса:

    Так как объём шара известен (он равен 28), можем вычислить радиус. Вернее, нам понадобится не сам радиус, а его куб:

    Конус слова также используется для вращающегося конуса, особенно в технике. Соответствующее слово свойства коническое обозначает объекты с формой вращающегося конуса или усеченного конуса. Часто слово «конус» также используется в смысле двойных конусов.

    Сравните данный круговой конус с пирамидой того же основания и высоты. Для параллельных плоскостей к основанию на любом расстоянии из законов подобия или центрического растяжения следует, что соответствующие пересечения имеют одинаковое поверхностное содержание.

    Поэтому два органа должны согласиться по объему. Поэтому могут быть перенесены в конус. Вместе с формулой для круговой поверхности получается. Другое доказательство использует интегральное исчисление в качестве помощи. Декартова система координат используется с наконечником конуса в начале координат и центральной точкой базового круга в точке.

    Таким образом, объём конуса будет равен:

    *Можно было обойтись без вычислений. Посмотрите, если сопоставить две формулы:

    то видно, что объём шара в 4 раза больше объёма конуса.

    Радиус бесконечно малого цилиндра: объем бесконечно малого цилиндра. Весь объем вращающегося конуса соответствует совокупности всех этих бесконечно малых цилиндров. Это приводит к известной формуле. Прямые конусы с нарушенной внешней поверхностью. Внешняя поверхность прямых круговых конусов изогнута, но может быть размотана в круговой сектор. Радиус этого сектора совпадает с длиной линии манекена конуса. Центральный угол α кругового сектора может быть определен уравнением отношения.

    Требуемая площадь поверхности поверхности теперь получается из формулы для площади кругового сектора. Двойной конус представляет собой поверхность вращения прямой линии вокруг оси, которая не пересекается под прямым углом. Два вращающихся конуса создаются с одинаковым углом открытия и общей осью, которая касается кончика. Если разрезать такой бесконечный двойной конус с плоскостью, развиваются так называемые конические сечения: круг, эллипс, парабола, гипербола.

    Значит объём конуса будет равен 28/4 = 7.

    То есть, задача решается практически устно.

    Ответ: 7

    245352. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.

    Задача обратная предыдущей, рисунок тот же.

    Формулы:

    Обобщение Общее свойство конуса, состоящее из лучей с общей начальной точкой, обобщается на конические величины, к которым, например, Например, бесконечно высокая пирамида. Особый интерес представляют выпуклые конусы, которые играют определенную роль в линейной оптимизации.

    Таким образом, такой полупорядок является обобщением арифметического полуупорядочения, на котором основан положительный ортант. Возможное определение такого конуса. Если четвертое условие опущено, получается возможное определение клина. В качестве дальнейшего обобщения конуса можно допускать произвольные наземные плоскости. Затем конус образуется как выпуклая оболочка основания и еще одна точка вне поверхности. В этом смысле пирамида является конусом над многоугольником.

    Из формул понятно, что объём шара в 4 раза больше объёма конуса:

    Таким образом, искомый объём равен 24.

    Ответ: 24

    316555. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна . Найдите радиус сферы.

    Вращающиеся колеса — задачи для учащихся средних школ

    Соответствующий «двойной конус» также упоминается как подвеска или подвеска. Окружность основания цилиндра составляет 20 см, а поперечное сечение цилиндра — 30º. Поверните осевой ролик — прямоугольник, диагональ которого наклонена к основанию под углом α. Вычислите общую площадь поверхности этого цилиндра.

    Цилиндрическое поперечное сечение представляет собой прямоугольник, длина окружности которого составляет 28 см, а диаметр основания составляет 75% от высоты цилиндра. Сколько стоит бочка без крышки в виде цилиндра с радиусом 30 см и высотой 90 см из листового металла весом 1 кг 2 кг?

    Здесь условие звучит по-другому, но тела расположены относительно друг друга абсолютно также, как и в предыдущих задачах – конус вписан в сферу, основание конуса совпадает с центральным сечением сферы.

    Эскиз тот же, отметим радиус, высоту равную радиусу и образующую:

    В рулоне площадь боковой поверхности равна сумме базовых пластин. Вычислите наклон поперечного сечения диагональной оси к плоскости. Боковое расширение цилиндра представляет собой прямоугольник, диагональ которого создает α = 30 ° от основания прямоугольника.

    Вычислите диаметр его основания, зная, что высота цилиндра составляет 8 см, а затем вычислите общую площадь. Прямоугольник, в котором диагонали пересекаются под углом α, вращается вокруг длинной стороны. Вычислите площадь и объем этого цилиндра. Поверните осевой валик — это квадрат со стороной.

    «Конус геометрия» — Вершина. Конус. Образующие. Основание. С конусом люди знакомы с глубокой древности. H-высота. Применение конуса и усеченного конуса в повседневной жизни. R-радиус основания. Центр основания. Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». L-образующая.

    Конус длиной 10 см наклонен к основанию основания под углом 30 °. Песок извлекается из реки и выливается в конус высотой 2 м и в 20 футах от основания. Вычислить объем и боковую область конуса длиной 10 см, наклонен к плоскости основания при 60º. Вычислите осевое сечение конуса. Рассчитайте объем результирующего вращающегося тела. Вычислите площадь всего конуса. Вычислите высоту конуса, его объем и общую площадь поверхности, если боковая поверхность конуса 200 футов, а радиус основания — тот же диаметр, что и конус.

    Какой угол содержится между формовочной и плоской базой. Треугольный прямоугольник, стороны которого имеют такую ​​же длину, что и следующее натуральное число, вращается вокруг гипотенузы. Куб длиной 10 см длиной 9, 8 см экструдировали из куба по краю.

    «Атмосферное давление и высота» — Слон использует атмосферное давление всякий раз, когда хочет пить. 5. Ливер – предназначен для взятия проб различных жидкостей. Изучение новой темы. Организационный момент: приветствие, постановка цели и мотивация урока. Опускаем шприц в жидкое лекарственное средство. То же самое наблюдается и в природе – в водоеме.

    Вычислите диаметр этого контейнера. Завод был заказан для двух консервированных консервов. Насколько высоки эти банки? Какой тип банки может вызвать больший расход листового металла? Правое перо и правый квадрант имеют общую вершину, а основание конуса — круг, вписанный в основание пирамиды.

    Сколько листов вам нужно, чтобы сделать 100 таких банок? Какую мощность в литрах можно использовать? Сколько грузовиков вам нужно для транспортировки этого песка, если один автомобиль может взять 9 м3 песка? Площадь поверхности сферы составляет 100 см2.

    «Конус 11 класс» — Площадь полной поверхности конуса. Площадь боковой поверхности усечённого конуса. Конус. Площадь боковой поверхности конуса. V = 1/3sосн.h. Объём усечённого конуса. Sбок= п(r+r1)l. Геометрия 11 класс. Объём конуса. Усечённый конус. Конус- тело ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L.

    «Медиана биссектриса и высота треугольника» — На каком рисунке изображена высота? отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны Биссектриса треугольника Медиана треугольника Высота треугольника. Медиана, биссектриса и высота треугольника. отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны Медиана треугольника Высота треугольника Биссектриса треугольника.

    «Цилиндр конус шар» — Сечения цилиндра. Объёмы и поверхности тел вращения. Найти объём и площадь поверхности шара. Определение цилиндра. Оглавление. Объёмы тел вращения. Тела вращения. Объём шарового сегмента. Задача № 3. Площади поверхностей тел вращения. Определение шара. Виды тел вращения. Сечение конуса. — Шаровые сегменты.

    «Громкость и высота звука» — Что такое звук? Механические колебания каких частот называются звуковыми? Громкость и высота звука. Контрольный тест. Кто в полёте чаще машет крыльями: муха или комар? Назовите физические характеристики звука. Балалайка. Уровень звукового давления, дБ. Назовите причины возникновения звука. Звук. Саксофон.

    9.6 Решение геометрических приложений: объем и площадь поверхности — Prealgebra 2e

    Цели обучения

    К концу этого раздела вы сможете:

    • Найти объем и площадь поверхности прямоугольных тел
    • Найти объем и площадь поверхности сфер
    • Найти объем и площадь цилиндров
    • Найдите объем конусов

    Будьте готовы 9.16

    Перед тем, как начать, пройдите тест на готовность.

    Вычислить x3x3, когда x = 5.х = 5.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 2.15.

    Будьте готовы 9.17

    Вычислить 2x2x, когда x = 5.x = 5.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 2.16.

    Будьте готовы 9.18

    Найдите площадь круга радиусом 72,72.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 5.39.

    В этом разделе мы закончим изучение геометрических приложений. Находим объем и площадь поверхности некоторых трехмерных фигур.Поскольку мы будем решать приложения, мы еще раз продемонстрируем нашу стратегию решения проблем для геометрических приложений.

    Стратегия решения проблем для геометрических приложений

    1. Шаг 1. Прочтите задачу и убедитесь, что вы понимаете все слова и идеи. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.
    2. Шаг 2. Определите , что вы ищете.
    3. Шаг 3. Назовите то, что вы ищете. Выберите переменную для представления этого количества.
    4. Шаг 4. Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу или модель для ситуации. Подставьте в данную информацию.
    5. Шаг 5. Решите уравнение, используя хорошие методы алгебры.
    6. Шаг 6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
    7. Шаг 7. Ответьте на вопрос полным предложением.

    Найдите объем и площадь поверхности прямоугольных тел

    Тренер по черлидингу приказывает команде красить деревянные ящики школьными цветами, чтобы на них стоять на играх.(См. Рисунок 9.28). Количество краски, необходимое для покрытия внешней стороны каждой коробки, — это площадь поверхности, квадратная мера общей площади всех сторон. Количество места внутри обрешетки — это объем, кубическая мера.

    Рис. 9.28 Этот деревянный ящик имеет форму прямоугольного твердого тела.

    Каждый ящик имеет форму прямоугольного твердого тела. Его размеры — длина, ширина и высота. Прямоугольное тело, показанное на рис. 9.29, имеет длину 44 единицы, ширину 22 единицы и высоту 33 единицы.Вы можете сказать, сколько всего кубических единиц? Давайте посмотрим слой за слоем.

    Рис. 9.29. Разделение прямоугольного твердого тела на слои упрощает визуализацию количества содержащихся в нем кубических единиц. Это прямоугольное тело размером 44 на 22 на 33 имеет 2424 кубических единицы.

    Всего 2424 куб. Обратите внимание, что 2424 — это длина × ширина × высота. Длина × ширина × высота.

    Объем V, V любого прямоугольного твердого тела равен произведению длины, ширины и высоты.

    Мы также можем написать формулу объема прямоугольного твердого тела через площадь основания.Площадь основания B, B равна длине × ширине, длине × ширине.

    Мы можем заменить BB на L · WL · W в формуле объема, чтобы получить другую форму формулы объема.

    Теперь у нас есть другая версия формулы объема для прямоугольных тел. Давайте посмотрим, как это работает с прямоугольным телом 4 × 2 × 34 × 2 × 3, с которого мы начали. См. Рисунок 9.29.

    Рисунок 9.30

    Чтобы найти площадь поверхности прямоугольного твердого тела, подумайте о том, чтобы найти площадь каждой из его граней.Сколько граней у прямоугольного тела наверху? Вы можете увидеть три из них.

    Спереди = L × WAside = L × WAtop = L × WAfront = 4 · 3Aside = 2 · 3Atop = 4 · 2Afront = 12Aside = 6Atop = 8Afront = L × WAside = L × WAtop = L × WAfront = 4 · 3Aside = 2 · 3Вверху = 4 · 2Перед = 12Вверху = 6Вверху = 8

    Обратите внимание, что для каждого из трех лиц, которые вы видите, есть идентичные противоположные лица, которые не отображаются.

    S = (передняя + задняя) + (левая + правая) + (верхняя + нижняя) S = (2 · передняя) + (2 · левая) + (2 · верхняя) S = 2 · 12 + 2 · 6 + 2 · 8S = 24 + 12 + 16S = 52кв. единицы S = (перед + зад) + (левая сторона + правая сторона) + (верх + низ) S = (2 · передняя сторона) + (2 · левая сторона) + (2 · верхняя сторона) S = 2 · 12 + 2 · 6 + 2 · 8S = 24 + 12 + 16S = 52кв.единицы

    Площадь поверхности SS прямоугольного твердого тела, показанного на рис. 9.30, составляет 5252 квадратных единицы.

    В общем, чтобы найти площадь поверхности прямоугольного твердого тела, помните, что каждая грань представляет собой прямоугольник, поэтому его площадь является произведением его длины и ширины (см. Рисунок 9.31). Найдите площадь каждого лица, которое вы видите, а затем умножьте каждую площадь на два, чтобы учесть лицо на противоположной стороне.

    S = 2LH + 2LW + 2WHS = 2LH + 2LW + 2WH Рис. 9.31 Для каждой грани прямоугольного твердого тела, обращенного к вам, есть еще одна грань на противоположной стороне.Всего 66 лиц.

    Объем и площадь прямоугольного твердого тела

    Для прямоугольного твердого тела длиной L, L, шириной W, W и высотой H: H:

    Манипулятивная математика

    Выполнение упражнения по манипулятивной математике «Раскрашенный куб» поможет вам лучше понять объем и площадь поверхности.

    Пример 9.47

    Для прямоугольного твердого тела длиной 1414 см, высотой 1717 см и шириной 99 см найдите ⓐ объем и площадь поверхности.

    Решение

    Шаг 1 одинаков как для ⓐ, так и для ⓑ, поэтому мы покажем его только один раз.

    Шаг 1. Прочтите о проблеме. Нарисуйте фигуру и пометьте ее
    с указанной информацией.
    ⓐ
    Шаг 2. Определите , что вы ищете. объем прямоугольный сплошной
    Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. Пусть VV = объем
    Шаг 4. Translate.
    Напишите соответствующую формулу.
    Запасной.
    V = LWHV = LWH
    V = 14⋅9⋅17V = 14⋅9⋅17
    Шаг 5. Решите уравнение. В = 2 142 В = 2 142
    Шаг 6. Проверка
    Мы предоставляем вам проверить ваши расчеты.
    Шаг 7. Ответьте на вопрос. Объем 2 1422 142 кубических сантиметра.
    ⓑ
    Шаг 2. Определите , что вы ищете. площадь твердого тела
    Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. Пусть SS = площадь поверхности
    Шаг 4. Translate.
    Напишите соответствующую формулу.
    Запасной.
    S = 2LH + 2LW + 2WHS = 2LH + 2LW + 2WH
    S = 2 (14⋅17) +2 (14⋅9) +2 (9⋅17) S = 2 (14⋅17) +2 (14 ⋅9) +2 (9⋅17)
    Шаг 5. Решите уравнение. S = 1,034 S = 1,034
    Шаг 6. Проверка: Перепроверьте с помощью калькулятора.
    Шаг 7. Ответьте на вопрос. Площадь 1 034 квадратных сантиметра.

    Попробуй 9.93

    Найдите объем ⓐ и площадь поверхности прямоугольного твердого тела: длина 88 футов, ширина 99 футов и высота 1111 ноги.

    Попробуйте 9.94

    Найдите объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ прямоугольного твердого тела с помощью: длина 1515 футов, ширина 1212 футов и высота 88 футов.

    Пример 9.48

    Прямоугольный ящик имеет длину 3030 дюймов, ширину 2525 дюймов и высоту 2020 дюймов. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

    Решение

    Шаг 1 одинаков как для ⓐ, так и для ⓑ, поэтому мы покажем его только один раз.

    Шаг 1. Прочтите о проблеме. Нарисуйте фигуру и пометьте ее
    с указанной информацией.
    ⓐ
    Шаг 2. Определите , что вы ищете. объем ящика
    Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. пусть ВВ = объем
    Шаг 4. Перевести.
    Напишите соответствующую формулу.
    Запасной.
    V = LWHV = LWH
    V = 30⋅25⋅20V = 30⋅25⋅20
    Шаг 5. Решите уравнение. В = 15000 В = 15000
    Шаг 6. Проверка: Еще раз проверьте свои математические данные.
    Шаг 7. Ответьте на вопрос. Объем 15 000 кубических дюймов.
    ⓑ
    Шаг 2. Определите то, что вы ищете. площадь ящика
    Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. пусть SS = площадь поверхности
    Шаг 4. Translate.
    Напишите соответствующую формулу.
    Запасной.
    S = 2LH + 2LW + 2WHS = 2LH + 2LW + 2WH
    S = 2 (30⋅20) +2 (30⋅25) +2 (25⋅20) S = 2 (30⋅20) +2 (30 ⋅25) +2 (25⋅20)
    Шаг 5. Решите уравнение. S = 3,700 S = 3,700
    Шаг 6. Проверка: Убедитесь сами!
    Шаг 7. Ответьте на вопрос. Площадь поверхности составляет 3700 квадратных дюймов.

    Попробуйте 9.95

    Прямоугольная коробка имеет длину 99 футов, ширину 44 фута и высоту 66 футов. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

    Попробуйте 9.96

    Прямоугольный чемодан имеет длину 2222 дюйма, ширину 1414 дюймов и высоту 99 дюймов.Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

    Объем и площадь куба

    Куб — это твердое тело прямоугольной формы, длина, ширина и высота которого равны. См. Раздел «Объем и площадь поверхности куба» ниже. Подставляя s для длины, ширины и высоты в формулы для объема и площади поверхности прямоугольного твердого тела, получаем:

    V = LWHS = 2LH + 2LW + 2WHV = s · s · sS = 2s · s + 2s · s + 2s · sV = s3S = 2s2 + 2s2 + 2s2S = 6s2V = LWHS = 2LH + 2LW + 2WHV = s · s · sS = 2s · s + 2s · s + 2s · sV = s3S = 2s2 + 2s2 + 2s2S = 6s2

    Итак, для куба формулы для объема и площади поверхности: V = s3V = s3 и S = ​​6s2.S = 6s2.

    Объем и площадь куба

    Для любого куба со сторонами длиной s, s,

    Пример 9.49

    У куба 2,52,5 дюйма с каждой стороны. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

    Решение

    Шаг 1 одинаков как для ⓐ, так и для ⓑ, поэтому мы покажем его только один раз.

    Шаг 1. Прочтите о проблеме. Нарисуйте фигуру и пометьте ее
    с указанной информацией.
    ⓐ
    Шаг 2. Определите то, что вы ищете. объем куба
    Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. пусть V = объем
    Шаг 4. Translate.
    Напишите соответствующую формулу.
    В = s3V = s3
    Шаг 5. Решить. Заменить и решить. В = (2,5) 3 В = (2,5) 3
    В = 15,625 В = 15,625
    Шаг 6. Проверить: Проверить свою работу.
    Шаг 7. Ответьте на вопрос. Объем 15,625 кубических дюймов.
    ⓑ
    Шаг 2. Определите , что вы ищете. площадь поверхности куба
    Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. пусть S = площадь поверхности
    Шаг 4. Перевести.
    Напишите соответствующую формулу.
    S = 6s2S = 6s2
    Шаг 5. Решить. Заменить и решить. S = 6⋅ (2,5) 2S = 6⋅ (2,5) 2
    S = 37,5S = 37,5
    Шаг 6. Чек: Чек предоставляется вам.
    Шаг 7. Ответьте на вопрос. Площадь поверхности составляет 37,5 квадратных дюймов.

    Попробуй 9.97

    Для куба со стороной 4,5 метра найдите объема и площади поверхности куба.

    Попробуйте 9.98

    Для куба со стороной 7,3 ярда найдите объема и ⓑ площади поверхности куба.

    Пример 9.50

    Кубик блокнота имеет размеры 22 дюйма с каждой стороны. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

    Решение

    Шаг 1. Прочтите о проблеме. Нарисуйте фигуру и пометьте ее
    с указанной информацией.
    ⓐ
    Шаг 2. Определите , что вы ищете. объем куба
    Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. пусть V = объем
    Шаг 4. Translate.
    Напишите соответствующую формулу.
    В = s3V = s3
    Шаг 5. Решите уравнение. В = 23 В = 23
    В = 8 В = 8
    Шаг 6. Проверка: Убедитесь, что вы правильно выполнили расчеты
    .
    Шаг 7. Ответьте на вопрос. Объем 8 куб. Дюймов.
    ⓑ
    Шаг 2. Определите , что вы ищете. площадь поверхности куба
    Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. пусть S = площадь поверхности
    Шаг 4. Translate.
    Напишите соответствующую формулу.
    S = 6s2S = 6s2
    Шаг 5. Решите уравнение. S = 6⋅22S = 6⋅22
    S = 24S = 24
    Шаг 6. Чек: Чек предоставляется вам.
    Шаг 7. Ответьте на вопрос. Площадь поверхности составляет 24 квадратных дюйма.

    Попробуйте 9,99

    Упаковочная коробка — это куб размером 44 фута с каждой стороны. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

    Попробуйте 9.100

    Стена сложена из кубовидного кирпича. У каждого куба 1616 дюймов с каждой стороны. Найдите объема и ⓑ площади поверхности каждого куба.

    Найдите объем и площадь поверхности сфер

    Сфера — это баскетбольный мяч, похожий на трехмерный круг.Как и в случае с кругом, размер сферы определяется ее радиусом, который представляет собой расстояние от центра сферы до любой точки на ее поверхности. Формулы для объема и площади поверхности сферы приведены ниже.

    Отображение происхождения этих формул, как мы это делали для прямоугольного твердого тела, выходит за рамки этого курса. Мы аппроксимируем ππ с помощью 3.14.3.14.

    Объем и площадь поверхности

    Для сферы радиусом r: r:

    Пример 9.51

    Сфера имеет радиус 66 дюймов. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

    Решение

    Шаг 1 одинаков как для ⓐ, так и для ⓑ, поэтому мы покажем его только один раз.

    Шаг 1. Прочтите о проблеме. Нарисуйте фигуру и подпишите ее
    с указанной информацией.
    ⓐ
    Шаг 2. Определите , что вы ищете. объем сферы
    Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. пусть V = объем
    Шаг 4. Translate.
    Напишите соответствующую формулу.
    V = 43πr3V = 43πr3
    Шаг 5. Решить. V≈43 (3,14) 63V≈43 (3,14) 63
    V≈904,32 кубических дюймов V≈904,32 кубических дюймов
    Шаг 6. Проверка: Еще раз проверьте свои математические данные на калькуляторе.
    Шаг 7. Ответьте на вопрос. Объем составляет примерно 904,32 кубических дюйма.
    ⓑ
    Шаг 2. Определите , что вы ищете. площадь поверхности куба
    Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. пусть S = площадь поверхности
    Шаг 4. Перевести.
    Напишите соответствующую формулу.
    S = 4πr2S = 4πr2
    Шаг 5. Решить. S≈4 (3,14) 62S≈4 (3,14) 62
    S≈452,16S≈452,16
    Шаг 6. Проверка: Еще раз проверьте свои вычисления на калькуляторе
    Шаг 7. Ответьте на вопрос. Площадь поверхности составляет приблизительно 452,16 квадратных дюйма.

    Попробуй 9.101

    Найдите объем ⓐ и площадь поверхности сферы радиусом 3 сантиметра.

    Попробуйте 9.102

    Найдите объем ⓐ и площадь поверхности каждой сферы радиусом 11 футов

    Пример 9.52

    Земной шар имеет форму шара радиусом 1414 сантиметров. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ. Округлите ответ до ближайшей сотой.

    Решение

    Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте фигуру с данными
    и обозначьте ее.
    Определите , что вы ищете.
    объем сферы
    Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. пусть V = объем
    Шаг 4. Translate.
    Напишите соответствующую формулу.
    Запасной. (Используйте 3,14 для ππ)
    V = 43πr3V = 43πr3
    V≈43 (3,14) 143V≈43 (3,14) 143
    Шаг 5. Решить. В≈11,488,21 В≈11,488,21
    Шаг 6. Проверка: Мы предоставляем вам возможность проверить ваши расчеты.
    Шаг 7. Ответьте на вопрос. Объем составляет приблизительно 11 488,21 кубических дюймов.
    ⓑ
    Шаг 2. Определите , что вы ищете. площадь поверхности сферы
    Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. пусть S = площадь поверхности
    Шаг 4. Translate.
    Напишите соответствующую формулу.
    Запасной. (Используйте 3,14 для ππ)
    S = 4πr2S = 4πr2
    S≈4 (3.14) 142S≈4 (3,14) 142
    Шаг 5. Решить. S ≈ 2461,76 S ≈ 2461,76
    Шаг 6. Проверка: Мы предоставляем вам возможность проверить ваши расчеты.
    Шаг 7. Ответьте на вопрос. Площадь поверхности составляет приблизительно 2461,76 квадратных дюймов.

    Попробуйте 9.103

    Пляжный мяч имеет форму шара радиусом 99 дюймов.Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

    Попробуйте 9.104

    Римская статуя изображает Атласа, держащего земной шар радиусом 1,51,5 фута. Найдите объема и ⓑ площади поверхности земного шара.

    Найдите объем и площадь цилиндра

    Если вы когда-нибудь видели банку газировки, вы знаете, как выглядит баллон. Цилиндр представляет собой сплошную фигуру с двумя параллельными кругами одинакового размера вверху и внизу. Верх и низ цилиндра называются основаниями.Высота hh цилиндра — это расстояние между двумя основаниями. Для всех цилиндров, с которыми мы будем работать здесь, стороны и высота hh будут перпендикулярны основанию.

    Рисунок 9.32 У цилиндра есть два круглых основания одинакового размера. Высота — это расстояние между основаниями.

    Прямоугольные тела и цилиндры в чем-то похожи, потому что оба имеют два основания и высоту. Формула объема прямоугольного твердого тела V = BhV = Bh также может использоваться для определения объема цилиндра.

    Для прямоугольного твердого тела площадь основания BB — это площадь прямоугольного основания, длина × ширина. Для цилиндра площадь основания B, B равна площади его круглого основания πr2.πr2. На рис. 9.33 сравнивается, как формула V = BhV = Bh используется для прямоугольных тел и цилиндров.

    Рис. 9.33. Наблюдение за тем, как цилиндр похож на прямоугольное твердое тело, может облегчить понимание формулы объема цилиндра.

    Чтобы понять формулу площади поверхности цилиндра, представьте банку с овощами.У него три поверхности: верхняя, нижняя и часть, образующая боковые стороны банки. Если аккуратно отрезать этикетку со стороны банки и развернуть ее, вы увидите, что это прямоугольник. См. Рисунок 9.34.

    Рис. 9.34. Разрезав и развернув этикетку банки с овощами, мы можем увидеть, что поверхность цилиндра представляет собой прямоугольник. Длина прямоугольника — это окружность основания цилиндра, а ширина — это высота цилиндра.

    Расстояние по краю банки — это длина окружности основания цилиндра, а также длина LL прямоугольной этикетки.Высота цилиндра равна ширине WW прямоугольной этикетки. Таким образом, площадь метки можно представить как

    .

    Чтобы найти общую площадь поверхности цилиндра, мы добавляем площади двух кругов к площади прямоугольника.

    Площадь цилиндра радиусом rr и высотой h, h составляет

    S = 2πr2 + 2πrhS = 2πr2 + 2πrh

    Объем и площадь цилиндра

    Для цилиндра с радиусом rr и высотой h: h:

    Пример 9.53

    Цилиндр имеет высоту 55 сантиметров и радиус 33 сантиметра.Найдите объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

    Решение

    Шаг 1. Прочтите о проблеме. Нарисуйте фигуру и подпишите ее
    с указанной информацией.
    ⓐ
    Шаг 2. Определите , что вы ищете. объем цилиндра
    Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. пусть V = объем
    Шаг 4. Translate.
    Напишите соответствующую формулу.
    Запасной. (Используйте 3,14 для ππ)
    V = πr2hV = πr2h
    V≈ (3,14) 32⋅5V≈ (3,14) 32⋅5
    Шаг 5. Решить. В ≈ 141,3 В ≈ 141,3
    Шаг 6. Проверка: Мы предоставляем вам возможность проверить ваши расчеты.
    Шаг 7. Ответьте на вопрос. Объем составляет примерно 141,3 кубических дюйма.
    ⓑ
    Шаг 2. Определите , что вы ищете. площадь поверхности цилиндра
    Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. пусть S = площадь поверхности
    Шаг 4. Translate.
    Напишите соответствующую формулу.
    Запасной. (Используйте 3,14 для ππ)
    S = 2πr2 + 2πrhS = 2πr2 + 2πrh
    S≈2 (3,14) 32 + 2 (3,14) (3) 5S≈2 (3,14) 32 + 2 (3,14) (3) 5
    Шаг 5. Решить. S≈150,72S≈150,72
    Шаг 6. Проверка: Мы предоставляем вам возможность проверить ваши расчеты.
    Шаг 7. Ответьте на вопрос. Площадь поверхности составляет приблизительно 150,72 квадратных дюйма.

    Попробуй 9.105

    Найдите объем ⓐ и площадь поверхности цилиндра радиусом 4 см и высотой 7 см.

    Попробуйте 9.106

    Найдите объем ⓐ и площадь поверхности цилиндра с заданным радиусом 2 фута и высотой 8 футов.

    Пример 9.54

    Найдите объема и ⓑ площади поверхности банки с газировкой. Радиус основания 44 сантиметра, высота 1313 сантиметров. Предположим, банка имеет форму цилиндра.

    Решение

    Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте фигуру и пометьте ее
    с указанной информацией.
    ⓐ
    Шаг 2. Определите , что вы ищете. объем цилиндра
    Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. пусть V = объем
    Шаг 4. Translate.
    Напишите соответствующую формулу.
    Запасной. (Используйте 3,14 для ππ)
    V = πr2hV = πr2h
    V≈ (3,14) 42⋅13V≈ (3,14) 42⋅13
    Шаг 5. Решить. В ≈ 653,12 В ≈ 653,12
    Шаг 6. Проверка: Мы предоставляем вам возможность проверить.
    Шаг 7. Ответьте на вопрос. Объем примерно 653,12 кубических сантиметра.
    ⓑ
    Шаг 2. Определите то, что вы ищете. площадь поверхности цилиндра
    Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. пусть S = площадь поверхности
    Шаг 4. Translate.
    Напишите соответствующую формулу.
    Запасной. (Используйте 3,14 для ππ)
    S = 2πr2 + 2πrhS = 2πr2 + 2πrh
    S≈2 (3,14) 42 + 2 (3,14) (4) 13S≈2 (3,14) 42 + 2 (3,14) (4) 13
    Шаг 5. Решить. S≈427,04S≈427,04
    Шаг 6. Проверка: Мы предоставляем вам возможность проверить ваши расчеты.
    Шаг 7. Ответьте на вопрос. Площадь поверхности составляет примерно 427,04 квадратных сантиметра.

    Попробуйте 9.107

    Найдите объем ⓐ и площадь поверхности банки с краской радиусом 8 см и высотой 19 см. Предположим, банка имеет форму цилиндра.

    Попробуйте 9.108

    Найдите объем ⓐ и площадь поверхности цилиндрического барабана радиусом 2,7 фута и высотой 4 фута. Предположим, барабан имеет форму цилиндра.

    Найдите объем рожков

    Первое изображение, которое у многих из нас возникает, когда мы слышим слово «рожок», — это рожок мороженого. Есть много других применений рожков (но большинство из них не так вкусно, как рожки мороженого). В этом разделе мы увидим, как найти объем конуса.

    В геометрии конус представляет собой твердую фигуру с одним круглым основанием и вершиной.Высота конуса — это расстояние между его основанием и вершиной. Конусы, на которые мы будем смотреть в этом разделе, всегда будут иметь высоту, перпендикулярную основанию. См. Рисунок 9.35.

    Рис. 9.35. Высота конуса — это расстояние между его основанием и вершиной.

    Ранее в этом разделе мы видели, что объем цилиндра равен V = πr2h.V = πr2h. Мы можем думать о конусе как о части цилиндра. На рис. 9.36 показан конус, помещенный внутри цилиндра той же высоты и того же основания.Если мы сравним объем конуса и цилиндра, то увидим, что объем конуса меньше, чем объем цилиндра.

    Рисунок 9.36 Объем конуса меньше объема цилиндра с таким же основанием и высотой.

    Фактически, объем конуса составляет ровно одну треть объема цилиндра с тем же основанием и высотой. Объем конуса

    Так как основание конуса — круг, мы можем заменить формулу площади круга πr2πr2 на BB , чтобы получить формулу объема конуса.

    В этой книге мы найдем только объем конуса, но не площадь его поверхности.

    Объем конуса

    Для конуса радиусом rr и высотой hh.

    Пример 9.55

    Найдите объем конуса высотой 66 дюймов и радиусом основания 22 дюйма.

    Решение

    Шаг 1. Прочтите о проблеме. Нарисуйте фигуру и пометьте ее
    с указанной информацией.
    Шаг 2. Определите то, что вы ищете. объем конуса
    Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. пусть V = объем
    Шаг 4. Translate.
    Напишите соответствующую формулу.
    Запасной. (Используйте 3,14 для ππ)
    V = 13πr2hV = 13πr2h
    V≈133,14 (2) 2 (6) V≈133,14 (2) 2 (6)
    Шаг 5. Решить. В ≈ 25.12В≈25,12
    Шаг 6. Проверка: Мы предоставляем вам проверить ваши расчеты
    .
    Шаг 7. Ответьте на вопрос. Объем составляет примерно 25,12 кубических дюйма.

    Попробуйте 9.109

    Найдите объем конуса высотой 77 дюймов и радиусом 33 дюйма

    Попробуйте 9.110

    Найдите объем конуса высотой 99 см и радиусом 55 см

    Пример 9.56

    В любимом гастропабе Марти подают картофель фри в бумажной упаковке в форме конуса. Каков объем конической обертки высотой 88 дюймов и диаметром 55 дюймов? Округлите ответ до ближайшей сотой.

    Решение

    Шаг 1. Прочтите о проблеме. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию. Обратите внимание, что основание — это круг на вершине конуса.
    Шаг 2. Определите то, что вы ищете. объем конуса
    Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. пусть V = объем
    Шаг 4. Translate. Напишите соответствующую формулу. Заменять. (Используйте 3,14 для ππ и обратите внимание, что нам дано расстояние по окружности, то есть его диаметр. Радиус равен 2,5 дюйма.)
    В = 13πr2hV = 13πr2h
    В≈133.14 (2,5) 2 (8) V≈133,14 (2,5) 2 (8)
    Шаг 5. Решить. В ≈ 52,33 В ≈ 52,33
    Шаг 6. Проверка: Мы предоставляем вам возможность проверить ваши расчеты.
    Шаг 7. Ответьте на вопрос. Объем упаковки составляет приблизительно 52,33 кубических дюйма.

    Попробуйте 9.111

    Сколько кубических дюймов конфет поместится в конусообразной пиньяте, длина которой составляет 1818 дюймов, а ширина основания — 1212 дюймов? Округлите ответ до ближайшей сотой.

    Попробуйте 9.112

    Каков объем шляпы для вечеринок в форме конуса, имеющей 1010 дюймов в высоту и 77 дюймов в ширину у основания? Округлите ответ до ближайшей сотой.

    Сводка геометрических формул

    На следующих диаграммах представлены все формулы, рассматриваемые в этой главе.

    Раздел 9.6 Упражнения

    Практика ведет к совершенству

    Найдите объем и площадь поверхности прямоугольных тел

    В следующих упражнениях найдите ⓐ объем и ⓑ площадь поверхности прямоугольного твердого тела с заданными размерами.

    263.

    длина 22 метра, ширина 1,51,5 метра, высота 33 метра

    264.

    длина 55 футов, ширина 88 футов, высота 2,52,5 футов

    265.

    длина 3,53,5 ярда, ширина 2,12,1 ярда, высота 2,42,4 ярда

    266.

    длина 8,88,8 см, ширина 6,56,5 см, высота 4,24,2 см

    В следующих упражнениях решите.

    267.

    Передвижной фургон Передвижной фургон прямоугольной формы имеет длину 1616 футов, ширину 88 футов и высоту 88 футов.Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

    268.

    Подарочная коробка Прямоугольная подарочная коробка имеет длину 2626 дюймов, ширину 1616 дюймов и высоту. 44 дюйма. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

    269.

    Картон Прямоугольный картон имеет длину 21,321,3 см, шириной 24,224,2 см и высотой 6,56,5 см. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

    270.

    Транспортный контейнер Прямоугольный транспортный контейнер имеет длину 22,822,8 фута, ширину 8,58.5 футов и высотой 8,28,2 фута. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

    В следующих упражнениях найдите ⓐ объем и ⓑ площадь поверхности куба с заданной длиной стороны.

    В следующих упражнениях решите.

    275.

    Научный центр Каждая сторона куба в Научном центре Discovery в Санта-Ане имеет длину 6464 фута. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

    276.

    Музей Музей в форме куба, длина сторон 4545 метров.Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

    277.

    Основание статуи Основание статуи представляет собой куб со сторонами 2,82,8 метра. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

    278.

    Коробка для салфеток Коробка для салфеток представляет собой куб со сторонами длиной 4,5 дюйма. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

    Найдите объем и площадь поверхности сфер

    В следующих упражнениях найдите ⓐ объем и ⓑ площадь поверхности сферы с заданным радиусом.Округлите ответы до сотых.

    В следующих упражнениях решите. Округлите ответы до сотых.

    283.

    Мяч для упражнений Мяч для упражнений имеет радиус 1515 дюймов. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

    284.

    Полет на воздушном шаре Большой воздушный шар в парке — это большая оранжевая сфера с радиусом 3636 футов. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

    285.

    Мяч для гольфа Мяч для гольфа имеет радиус 4.54,5 сантиметра. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

    286.

    Бейсбол Бейсбольный мяч имеет радиус 2,92,9 дюйма. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

    Найдите объем и площадь поверхности цилиндра

    В следующих упражнениях найдите ⓐ объем и ⓑ площадь поверхности цилиндра с заданными радиусом и высотой. Округлите ответы до сотых.

    287.

    радиус 33 фута, высота 99 футов

    288.

    радиус 55 см, высота 1515 см

    289.

    радиус 1,51,5 метра, высота 4,24,2 метра

    290.

    радиус 1,31,3 ярда, высота 2,82,8 ярда

    В следующих упражнениях решите. Округлите ответы до сотых.

    291.

    Банка для кофе Банка для кофе имеет радиус 55 см и высоту 1313 см. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

    292.

    Снэк-пакет Снек-пакет с печеньем имеет форму цилиндра радиусом 44 см и высотой 33 см. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

    293.

    Столб для парикмахерской Цилиндрический столб для парикмахерской имеет диаметр 66 дюймов и высоту 2424 дюйма. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

    294.

    Архитектура Цилиндрическая колонна имеет диаметр 88 футов и высоту 2828 футов. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

    Найдите объем конусов

    В следующих упражнениях найдите объем конуса с заданными размерами. Округлите ответы до сотых.

    295.

    высота 99 футов и радиус 22 фута

    296.

    высота 88 дюймов и радиус 66 дюймов

    297.

    высота 12,412,4 см и радиус 55 см

    298.

    высота 15 215,2 метра и радиус 44 метра

    В следующих упражнениях решите. Округлите ответы до сотых.

    299.

    Типи Каков объем конической палатки-типи 1010 футов в высоту и 1010 футов в ширину у основания?

    300.

    Чашка для попкорна Каков объем конической чашки для попкорна, имеющей высоту 88 дюймов и поперечник 66 дюймов у основания?

    301.

    Силос Каков объем силоса конической формы высотой 5050 футов и диаметром у основания 7070 футов?

    302.

    Куча песка Каков объем конической кучи песка высотой 1212 метров и шириной 3030 метров у основания?

    Повседневная математика
    303.

    Столб уличного фонаря Столб уличного фонаря имеет форму усеченного конуса, как показано на рисунке ниже. Это большой конус без верхнего конуса меньшего размера. Большой конус имеет высоту 3030 футов с радиусом основания 11 футов.Меньший конус имеет высоту 1010 футов с радиусом основания 0,50,5 фута. С точностью до десятых,

    1. ⓐ найти объем большого конуса.

    2. ⓑ найти объем маленького конуса.

    3. ⓒ найдите объем столба, вычтя объем малого конуса из объема большого конуса.

    304.

    Конусы для мороженого Обычный конус для мороженого имеет высоту 4 дюйма и диаметр 2,52 дюйма.5 дюймов. Вафельный рожок имеет высоту 77 дюймов и диаметр 3,253,25 дюйма. С точностью до сотых,

    1. ⓐ найти объем обычного рожка мороженого.

    2. ⓑ найти объем вафельного рожка.

    3. ⓒ Насколько больше мороженого умещается в вафельном рожке по сравнению с обычным рожком?

    Письменные упражнения
    305.

    Формулы для объема цилиндра и конуса аналогичны. Объясните, как можно запомнить, какая формула сочетается с какой формой.

    306.

    Что имеет больший объем: куб со сторонами 88 футов или сфера диаметром 88 футов? Объясните свои рассуждения.

    Самопроверка

    ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

    ⓑ Что вы сделаете, изучив этот контрольный список, чтобы стать уверенным в достижении всех целей?

    Объем сферы

    А сфера это набор точек в пространстве, которые находятся на заданном расстоянии р от центра.

    В объем из 3 -размерное твердое тело — это объем занимаемого пространства. Объем измеряется в кубических единицах ( в 3 , футов 3 , см 3 , м 3 и так далее). Перед вычислением объема убедитесь, что все измерения относятся к одной и той же единице.

    Громкость V сферы — четыре трети пи, умноженные на радиус в кубе.

    V знак равно 4 3 π р 3

    Объем полусферы составляет половину объема соответствующей сферы.

    Примечание : Объем шара равен 2 / 3 объема цилиндра того же радиуса и высоты, равной диаметру.

    Пример:

    Найдите объем сферы.Округлить до ближайшего кубического метра.

    Решение

    Формула объема шара:

    V знак равно 4 3 π р 3

    Из рисунка радиус сферы равен 8 м.

    Заменять 8 за р в формуле.

    V знак равно 4 3 π ( 8 ) 3

    Упрощать.

    V знак равно 4 3 π ( 512 )

    ≈ 2145

    Следовательно, объем шара составляет около 2145 м 3 .

    9.10: Решение геометрических приложений — объем и площадь поверхности (часть 2)

    Найдите объем и площадь поверхности сфер

    Сфера имеет форму баскетбольного мяча, похожего на трехмерный круг. Как и в случае с кругом, размер сферы определяется ее радиусом, который представляет собой расстояние от центра сферы до любой точки на ее поверхности. Формулы для объема и площади поверхности сферы приведены ниже.

    Отображение происхождения этих формул, как мы это делали для прямоугольного твердого тела, выходит за рамки этого курса.Мы аппроксимируем \ (\ pi \) с помощью 3.14.

    Определение: объем и площадь поверхности

    Для сферы радиусом r:

    Пример \ (\ PageIndex {5} \):

    Сфера имеет радиус 6 дюймов. Найдите его (а) объем и (б) площадь поверхности.

    Решение

    Шаг 1 одинаков для (a) и (b), поэтому мы покажем его только один раз.

    Шаг 1. Прочтите , в чем проблема. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.

    (а)

    Шаг 2. Определите , что вы ищете. объем сферы
    Шаг 3. Имя . Выберите переменную для ее представления. {3} \ tag {9.{3} \\ V & \ приблизительно 904,32 \; кубический \; дюймы \ end {split} $$
    Шаг 6. Проверить . Еще раз проверьте свои математические данные на калькуляторе.
    Шаг 7. Ответьте на вопрос. Объем составляет примерно 904,32 кубических дюйма.

    (б)

    Шаг 2. Определите , что вы ищете. площадь поверхности куба
    Шаг 3.{2} \\ S & \ приблизительно 452,16 \; кв. \; дюймы \ end {split} $$
    Шаг 6. Проверить . Еще раз проверьте свои математические данные на калькуляторе.
    Шаг 7. Ответьте на вопрос. Площадь поверхности составляет приблизительно 452,16 квадратных дюйма.

    Упражнение \ (\ PageIndex {9} \):

    Найдите объем (а) и площадь поверхности (б) сферы радиусом 3 сантиметра.

    Ответить

    113,04 куб. размеры в см

    Ответ b

    113,04 кв. См

    Упражнение \ (\ PageIndex {10} \):

    Найдите (а) объем и (б) площадь поверхности каждой сферы радиусом 1 фут

    Ответить

    4,19 куб. фут

    Ответ b

    12,56 кв. Футов

    Пример \ (\ PageIndex {6} \):

    Земной шар имеет форму шара радиусом 14 сантиметров.Найдите его (а) объем и (б) площадь поверхности. Округлите ответ до ближайшей сотой.

    Шаг 1. Прочтите , в чем проблема. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.

    (а)

    Шаг 2. Определите , что вы ищете. объем сферы
    Шаг 3. Имя . Выберите переменную для ее представления.{3} \ end {split} $$
    Шаг 5. Решите . $$ V \ приблизительно 11 488,21 \ tag {9.6.14} $$
    Шаг 6. Проверить . Мы предоставляем вам проверить свои расчеты.
    Шаг 7. Ответьте на вопрос. Объем составляет приблизительно 11 488,21 кубических дюймов.

    (б)

    Шаг 2.{2} \ end {split} $$
    Шаг 5. Решите . $$ S \ приблизительно 2461.76 \ tag {9.6.15} $$
    Шаг 6. Проверить . Мы предоставляем вам проверить свои расчеты.
    Шаг 7. Ответьте на вопрос. Площадь поверхности составляет приблизительно 2461,76 квадратных дюймов.

    Упражнение \ (\ PageIndex {11} \):

    Пляжный мяч имеет форму шара радиусом 9 дюймов.Найдите его (а) объем и (б) площадь поверхности.

    Ответить

    3052,08 куб. в

    Ответ b

    1017,36 кв. Дюйма

    Упражнение \ (\ PageIndex {12} \):

    Римская статуя изображает Атласа, держащего земной шар радиусом 1,5 фута. Найдите (а) объем и (б) площадь поверхности земного шара.

    Ответить

    14,13 куб. фут

    Ответ b

    28.26 кв. Футов

    Найдите объем и площадь цилиндра

    Если вы когда-нибудь видели банку газировки, вы знаете, как выглядит баллон. Цилиндр представляет собой сплошную фигуру с двумя параллельными кругами одинакового размера вверху и внизу. Верх и низ цилиндра называются основаниями. Высота h цилиндра — это расстояние между двумя основаниями. Для всех цилиндров, с которыми мы будем работать здесь, стороны и высота h будут перпендикулярны основанию.

    Рисунок \ (\ PageIndex {5} \) — Цилиндр имеет два круглых основания одинакового размера. Высота — это расстояние между основаниями.

    Прямоугольные тела и цилиндры в чем-то похожи, потому что оба имеют два основания и высоту. Формула объема прямоугольного твердого тела V = Bh также может использоваться для определения объема цилиндра.

    Для прямоугольного твердого тела площадь основания B — это площадь прямоугольного основания, длина × ширина. Для цилиндра площадь основания B равна площади его круглого основания \ (\ pi \) r 2 .На рисунке \ (\ PageIndex {6} \) сравнивается, как формула V = Bh используется для прямоугольных тел и цилиндров.

    Рисунок \ (\ PageIndex {6} \). Увидев, насколько цилиндр похож на прямоугольное твердое тело, можно легче понять формулу для объема цилиндра.

    Чтобы понять формулу площади поверхности цилиндра, представьте банку с овощами. У него три поверхности: верхняя, нижняя и часть, образующая боковые стороны банки. Если аккуратно отрезать этикетку со стороны банки и развернуть ее, вы увидите, что это прямоугольник.См. Рисунок \ (\ PageIndex {7} \).

    Рисунок \ (\ PageIndex {7} \). Разрезав и развернув этикетку банки с овощами, мы видим, что поверхность цилиндра представляет собой прямоугольник. Длина прямоугольника — это окружность основания цилиндра, а ширина — это высота цилиндра.

    Расстояние по краю банки — это длина окружности , основания цилиндра, а также длина L прямоугольной этикетки. Высота цилиндра равна ширине W прямоугольной метки.{2} + 2 \ pi rh \ tag {9.6.16} \]

    Определение: объем и площадь цилиндра

    Для цилиндра радиусом r и высотой h:

    Пример \ (\ PageIndex {7} \):

    Цилиндр имеет высоту 5 сантиметров и радиус 3 сантиметра. {2} h \\ V & \ приблизительно (3.{2} \ cdot 5 \ end {split} $$ Шаг 5. Решите . $$ V \ приблизительно 141.3 \ tag {9.6.17} $$ Шаг 6. Проверить . Мы предоставляем вам проверить свои расчеты. Шаг 7. Ответьте на вопрос. Объем составляет примерно 141,3 кубических дюйма.

    (б)

    Шаг 2.{2} + 2 (3.14) (3) 5 \ end {split} $$
    Шаг 5. Решите . $$ S \ приблизительно 150.72 \ tag {9.6.18} $$
    Шаг 6. Проверить . Мы предоставляем вам проверить свои расчеты.
    Шаг 7. Ответьте на вопрос. Площадь поверхности составляет приблизительно 150,72 квадратных дюйма.

    Упражнение \ (\ PageIndex {13} \):

    Найдите объем (а) и площадь поверхности (б) цилиндра радиусом 4 см и высотой 7 см.

    Ответить

    351,68 куб. размеры в см

    Ответ b

    276.32 кв. Футов

    Упражнение \ (\ PageIndex {14} \):

    Найдите (а) объем и (б) площадь поверхности цилиндра с заданным радиусом 2 фута и высотой 8 футов.

    Ответить

    100,48 куб. фут

    Ответ b

    125.6 кв. Футов

    Пример \ (\ PageIndex {8} \):

    Найдите (а) объем и (б) площадь поверхности банки с газировкой. Радиус основания 4 сантиметра, высота 13 сантиметров. Предположим, банка имеет форму цилиндра.

    Решение

    Шаг 1. Прочтите , в чем проблема. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.

    (а)

    Шаг 2.{2} \ cdot 13 \ end {split} $$
    Шаг 5. Решите . $$ V \ приблизительно 653.12 \ tag {9.6.19} $$
    Шаг 6. Проверить . Мы оставляем это на ваше усмотрение.
    Шаг 7. Ответьте на вопрос. Объем примерно 653,12 кубических сантиметра.

    (б)

    Шаг 2.{2} + 2 (3.14) (4) 13 \ end {split} $$
    Шаг 5. Решите . $$ S \ приблизительно 427.04 \ tag {9.6.20} $$
    Шаг 6. Проверить . Мы предоставляем вам проверить свои расчеты.
    Шаг 7. Ответьте на вопрос. Площадь поверхности составляет примерно 427,04 квадратных сантиметра.

    Упражнение \ (\ PageIndex {15} \):

    Найдите (а) объем и (б) площадь поверхности баллончика с краской радиусом 8 см и высотой 19 см.Предположим, банка имеет форму цилиндра.

    Ответить

    3818,24 куб. размеры в см

    Ответ b

    1356,48 кв. См

    Упражнение \ (\ PageIndex {16} \):

    Найдите (а) объем и (б) площадь поверхности цилиндрического барабана радиусом 2,7 фута и высотой 4 фута. Предположим, барабан имеет форму цилиндра.

    Ответить

    91.5624 куб. фут

    Ответ b

    113,6052 кв. Футов

    Найдите объем конусов

    Первое изображение, которое возникает у многих из нас, когда мы слышим слово «рожок», — это рожок мороженого. Есть много других применений рожков (но большинство из них не так вкусно, как рожки мороженого). В этом разделе мы увидим, как найти объем конуса.

    В геометрии конус представляет собой твердую фигуру с одним круглым основанием и вершиной.Высота конуса — это расстояние между его основанием и вершиной. Конусы, на которые мы будем смотреть в этом разделе, всегда будут иметь высоту, перпендикулярную основанию. См. Рисунок \ (\ PageIndex {8} \).

    Рисунок \ (\ PageIndex {8} \) — Высота конуса — это расстояние между его основанием и вершиной.

    Ранее в этом разделе мы видели, что объем цилиндра равен V = \ (\ pi \) r 2 ч. Мы можем думать о конусе как о части цилиндра. На рисунке \ (\ PageIndex {9} \) показан конус, помещенный внутри цилиндра той же высоты и того же основания.Если мы сравним объем конуса и цилиндра, то увидим, что объем конуса меньше, чем объем цилиндра.

    Рисунок \ (\ PageIndex {9} \) — Объем конуса меньше объема цилиндра с тем же основанием и высотой.

    Фактически, объем конуса составляет ровно одну треть объема цилиндра с тем же основанием и высотой. Объем конуса

    \ [V = \ dfrac {1} {3} \ textcolor {blue} {B} h \ tag {9.6.21} \]

    Поскольку основание конуса — круг, мы можем подставить формулу площади круга, \ (\ pi \) r 2 , вместо B, чтобы получить формулу для объема конуса.{2}} h \ tag {9.6.22} \]

    В этой книге мы найдем только объем конуса, но не площадь его поверхности.

    Определение: Объем конуса

    Для конуса радиусом r и высотой h.

    Пример \ (\ PageIndex {9} \):

    Найдите объем конуса высотой 6 дюймов и радиусом основания 2 дюйма.

    Решение

    Шаг 1. Прочтите , в чем проблема. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.
    Шаг 2. Определите , что вы ищете. объем конуса
    Шаг 3. {2} h \\ V & \ приблизительно \ dfrac {1} {3} (3.{2} (6) \ end {split} $$
    Шаг 5. Решите . $$ V \ приблизительно 25.12 \ tag {9.6.23} $$
    Шаг 6. Проверить . Мы предоставляем вам проверить свои расчеты.
    Шаг 7. Ответьте на вопрос. Объем составляет примерно 25,12 кубических дюйма.

    Упражнение \ (\ PageIndex {17} \):

    Найдите объем конуса высотой 7 дюймов и радиусом 3 дюйма

    Ответ

    65.94 куб. дюйм

    Упражнение \ (\ PageIndex {18} \):

    Найдите объем конуса высотой 9 см и радиусом 5 см

    Ответ

    235,5 куб. размеры в см

    Пример \ (\ PageIndex {10} \):

    В любимом гастропабе

    Марти подают картофель фри в бумажной упаковке в форме конуса. Каков объем конической обертки высотой 8 дюймов и диаметром 5 дюймов? Округлите ответ до ближайшей сотой.

    Решение

    Шаг 1. Прочтите , в чем проблема. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.
    Шаг 2. Определите , что вы ищете. объем конуса
    Шаг 3. Имя . Выберите переменную для ее представления. пусть V = объем
    Шаг 4.{2} (8) \ end {split} $$
    Шаг 5. Решите . $$ V \ приблизительно 52.33 \ tag {9.6.24} $$
    Шаг 6. Проверить . Мы предоставляем вам проверить свои расчеты.
    Шаг 7. Ответьте на вопрос. Объем упаковки составляет приблизительно 52,33 кубических дюйма.

    Упражнение \ (\ PageIndex {19} \):

    Сколько кубических дюймов конфет поместится в конусообразной пиньяте, длина которой составляет 18 дюймов, а ширина основания — 12 дюймов? Округлите ответ до ближайшей сотой.

    Ответ

    678,24 куб. дюйм

    Упражнение \ (\ PageIndex {20} \):

    Каков объем конической шляпы для вечеринок 10 дюймов в высоту и 7 дюймов в ширину у основания? Округлите ответ до ближайшей сотой.

    Ответ

    128,2 куб. дюйм

    Сводка геометрических формул

    В следующих таблицах представлены все формулы, рассматриваемые в этой главе.

    Практика ведет к совершенству

    Найдите объем и площадь поверхности прямоугольных тел

    В следующих упражнениях найдите (а) объем и (б) площадь поверхности прямоугольного твердого тела заданных размеров.

    1. длина 2 метра, ширина 1,5 метра, высота 3 метра
    2. длина 5 футов, ширина 8 футов, высота 2,5 фута
    3. длина 3,5 ярда, ширина 2,1 ярда, высота 2,4 ярда
    4. длина 8,8 см, ширина 6.5 см, высота 4,2 см

    В следующих упражнениях решите.

    1. Передвижной фургон Прямоугольный передвижной фургон имеет длину 16 футов, ширину 8 футов и высоту 8 футов. Найдите его (а) объем и (б) площадь поверхности.
    2. Подарочная коробка Прямоугольная подарочная коробка имеет длину 26 дюймов, ширину 16 дюймов и высоту 4 дюйма. Найдите его (а) объем и (б) площадь поверхности.
    3. Коробка Коробка прямоугольной формы имеет длину 21.3 см, шириной 24,2 см и высотой 6,5 см. Найдите его (а) объем и (б) площадь поверхности.
    4. Транспортный контейнер Прямоугольный транспортный контейнер имеет длину 22,8 фута, ширину 8,5 фута и высоту 8,2 фута. Найдите его (а) объем и (б) площадь поверхности.

    В следующих упражнениях найдите (а) объем и (б) площадь поверхности куба с заданной длиной стороны.

    1. 5 см
    2. 6 дюймов
    3. 10,4 футов
    4. 12.5 метров

    В следующих упражнениях решите.

    1. Научный центр Каждая сторона куба в научном центре Discovery в Санта-Ане имеет длину 64 фута. Найдите его (а) объем и (б) площадь поверхности.
    2. Музей Музей в форме куба, длина сторон 45 метров. Найдите его (а) объем и (б) площадь поверхности.
    3. Основание статуи Основание статуи представляет собой куб со сторонами 2,8 метра. Найдите его (а) объем и (б) площадь поверхности.
    4. Коробка для салфеток Коробка для салфеток представляет собой куб со сторонами длиной 4,5 дюйма. Найдите его (а) объем и (б) площадь поверхности.

    Найдите объем и площадь поверхности сфер

    В следующих упражнениях найдите (а) объем и (б) площадь поверхности сферы с заданным радиусом. Округлите ответы до сотых.

    1. 3 см
    2. 9 дюймов
    3. 7,5 футов
    4. 2,1 ярда

    В следующих упражнениях решите.Округлите ответы до сотых.

    1. Мяч для упражнений Мяч для упражнений имеет радиус 15 дюймов. Найдите его (а) объем и (б) площадь поверхности.
    2. Полет на воздушном шаре Большой воздушный шар в парке — это большая оранжевая сфера с радиусом 36 футов. Найдите его (а) объем и (б) площадь поверхности.
    3. Мяч для гольфа Мяч для гольфа имеет радиус 4,5 сантиметра. Найдите его (а) объем и (б) площадь поверхности.
    4. Бейсбол Бейсбольный мяч имеет радиус 2.9 дюймов. Найдите его (а) объем и (б) площадь поверхности.

    Найдите объем и площадь цилиндра

    В следующих упражнениях найдите (а) объем и (б) площадь поверхности цилиндра с заданными радиусом и высотой. Округлите ответы до сотых.

    1. радиус 3 фута, высота 9 футов
    2. радиус 5 см, высота 15 см
    3. радиус 1,5 метра, высота 4,2 метра
    4. радиус 1,3 ярда, высота 2.8 ярдов

    В следующих упражнениях решите. Округлите ответы до сотых.

    1. Банка для кофе Банка для кофе имеет радиус 5 см и высоту 13 см. Найдите его (а) объем и (б) площадь поверхности.
    2. Снековый пакет Снековый пакет с печеньем имеет форму цилиндра радиусом 4 см и высотой 3 см. Найдите его (а) объем и (б) площадь поверхности.
    3. Столб для парикмахерской Цилиндрический столб для парикмахерской имеет диаметр 6 дюймов и высоту 24 дюйма.Найдите его (а) объем и (б) площадь поверхности.
    4. Архитектура Цилиндрическая колонна имеет диаметр 8 футов и высоту 28 футов. Найдите его (а) объем и (б) площадь поверхности.

    Найдите объем конусов

    В следующих упражнениях найдите объем конуса с заданными размерами. Округлите ответы до сотых.

    1. высота 9 футов и радиус 2 фута
    2. высота 8 дюймов и радиус 6 дюймов
    3. высота 12.4 см и радиус 5 см
    4. высота 15,2 метра и радиус 4 метра

    В следующих упражнениях решите. Округлите ответы до сотых.

    1. Teepee Каков объем конической палатки типи 10 футов в высоту и 10 футов в ширину у основания?
    2. Чашка для попкорна Каков объем конической чашки для попкорна, имеющей 8 дюймов в высоту и 6 дюймов в диаметре у основания?
    3. Силос Каков объем силоса конической формы высотой 50 футов и диаметром у основания 70 футов?
    4. Куча песка Каков объем конической кучи песка высотой 12 метров и шириной 30 метров у основания?

    Повседневная математика

    1. Столб уличного фонаря Столб уличного фонаря имеет форму усеченного конуса, как показано на рисунке ниже.Это большой конус без верхнего конуса меньшего размера. Большой конус 30 футов высотой с радиусом основания 1 фут. Меньший конус имеет высоту 10 футов с радиусом основания 0,5 фута. С точностью до десятых (а) найдите объем большого конуса. (б) найти объем маленького конуса. (c) найдите объем столба, вычтя объем малого конуса из объема большого конуса.

    1. Конусы для мороженого Обычный конус для мороженого имеет высоту 4 дюйма и диаметр 2.5 дюймов. Вафельный рожок имеет высоту 7 дюймов и диаметр 3,25 дюйма. С точностью до сотой (а) найдите объем обычного рожка мороженого. (б) найти объем вафельного рожка. (c) насколько больше мороженого умещается в вафельном рожке по сравнению с обычным рожком?

    Письменные упражнения

    1. Формулы для объема цилиндра и конуса аналогичны. Объясните, как можно запомнить, какая формула сочетается с какой формой.
    2. Что имеет больший объем: куб со сторонами 8 футов или сфера диаметром 8 футов? Объясните свои рассуждения.

    Самопроверка

    (a) После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

    (b) Что вы сделаете, изучив этот контрольный список, чтобы стать уверенным в достижении всех целей?

    Авторы и авторство

    4.1 Связанные ставки — Объем расчетов 1

    Самолет летит над головой на постоянной высоте в футах. Мужчина наблюдает за самолетом с высоты фута от основания радиомачты.Самолет летит горизонтально от человека. Если самолет летит со скоростью фут / сек, с какой скоростью увеличивается расстояние между человеком и самолетом, когда самолет проходит над радиомачтой?

    Решение

    Шаг 1. Нарисуйте картинку, вводя переменные для представления различных задействованных величин.

    Самолет летит на постоянной высоте 4000 футов. Расстояние между человеком и самолетом и человеком и местом на земле непосредственно под самолетом меняется.Обозначим эти величины переменными и соответственно.

    Как показано, обозначает расстояние между человеком и положением на земле непосредственно под самолетом. Переменная обозначает расстояние между человеком и самолетом. Обратите внимание, что оба и являются функциями времени. Мы не вводим переменную для высоты плоскости, потому что она остается на постоянной высоте футов. Поскольку высота объекта над землей измеряется как кратчайшее расстояние между объектом и землей, отрезок линии длиной ft перпендикулярен к отрезку длиной футов, образуя прямоугольный треугольник.

    Шаг 2. Так как обозначает горизонтальное расстояние между человеком и точкой на земле под плоскостью, обозначает скорость самолета. Нам сказали, что скорость самолета составляет 600 футов / сек. Следовательно, фут / сек. Поскольку нас просят найти скорость изменения расстояния между человеком и самолетом, когда самолет находится непосредственно над радиомачтой, нам нужно найти, когда фут.

    Шаг 3. Из рисунка мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы написать уравнение, связывающее и:

    .

    Шаг 4. Дифференцируя это уравнение по времени и используя тот факт, что производная константы равна нулю, мы приходим к уравнению

    .

    Шаг 5. Найдите скорость увеличения расстояния между человеком и самолетом, когда самолет находится прямо над радиомачтой. То есть найти, когда футы. Поскольку скорость самолета составляет фут / сек, мы знаем, что фут / сек. Нам не дается явное значение для; однако, поскольку мы пытаемся найти, когда ft, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы определить расстояние, когда и высота равна ft.Решение уравнения

    для, у нас есть ft на интересующий момент. Используя эти значения, мы заключаем, что это решение уравнения

    .

    Следовательно,

    фут / сек.

    Примечание : При решении проблем связанных ставок важно не заменять значения переменных слишком рано. Например, на шаге 3 мы связали переменные величины и уравнением

    .

    Поскольку плоскость остается на постоянной высоте, нет необходимости вводить переменную для высоты, и нам разрешено использовать константу 4000 для обозначения этой величины. 2 h \) По оси конуса, в три раза дальше от вершины, чем от основания

    Предположим, что сфера радиусом r помещена внутри цилиндра, высота и радиус которого равны диаметру сферы.Также предположим, что конус с таким же радиусом и высотой также помещается внутри цилиндра, как показано ниже.

    Размещаем твердые тела на оси следующим образом:

    Для любой точки S на диаметре AC сферы, предположим, мы смотрим на поперечное сечение трех твердых тел, полученное путем разрезания трех твердых тел плоскостью, содержащей точку S и параллельной основанию цилиндра. .Все поперечные сечения представляют собой окружности с радиусами SR , SP и SN, соответственно. Архимед обнаружил, что если поперечные сечения конуса и сферы сдвинуть до H (где | HA | = | AC |), то они точно уравновесят поперечное сечение цилиндра, где HC — это линия баланса, а точка опоры находится на A .

    Это несложно показать.2 x \], что легко проверить.

    Быстрый примерный объем соединения в больших размерах с образцами линий (технический отчет)

    Митчелл, Скотт А., Авад, Мухаммад А., Эбейда, Мохамед С. и Свайлер, Лаура П. Быстрый приблизительный объём соединения в больших измерениях с образцами линий . США: Н. П., 2018. Интернет. DOI: 10,2172 / 1464880.

    Митчелл, Скотт А., Авад, Мухаммад А., Эбейда, Мохамед С. и Свайлер, Лаура П. Быстрый приблизительный объём соединения в больших измерениях с линейными образцами . Соединенные Штаты. https://doi.org/10.2172/1464880

    Митчелл, Скотт А., Авад, Мухаммад А., Эбейда, Мохамед С. и Свайлер, Лаура П. Ср. «Быстрый примерный объем соединения в больших размерах с линейными образцами». Соединенные Штаты.https://doi.org/10.2172/1464880. https://www.osti.gov/servlets/purl/1464880.

    @article {osti_1464880,
    title = {Быстрый приблизительный объем соединения в больших размерах с образцами линий},
    author = {Митчелл, Скотт А. и Авад, Мухаммад А. и Эбейда, Мохамед С. и Свайлер, Лаура П.},
    abstractNote = {Классическая задача вычисления объема объединения d-мерных шаров известна как "Объединенный объем."Мы представляем алгоритмы аппроксимации линейной выборки для Union Volume. Наши методы могут быть расширены на другие логические операции, такие как setminus; или на другие фигуры, такие как гипер-прямоугольники. Детерминированные точные подходы для Union Volume плохо масштабируются для большие размеры. Однако мы адаптируем некоторые из этих точных подходов к алгоритмам аппроксимации на основе выборки. Мы выполняем локальную выборку внутри каждого шара, используя линии. У нас есть несколько вариантов, в зависимости от того, как разделен перекрывающийся объем, и в зависимости от того, радиальная ли ось -aligned или другие шаблоны линий.Наши варианты относятся к семейству выборок Монте-Карло и, следовательно, имеют примерно одинаковую теоретическую скорость сходимости, 1 / $ \ sqrt {M} $, где M - количество выборок. В наших ограниченных экспериментах линейная выборка оказалась более точной на единицу работы, чем точечная выборка, потому что линейная выборка предоставляет больше информации, а аналитическое уравнение для сферы делает вычисления почти такими же быстрыми. Мы провели ограниченное эмпирическое исследование эффективности этих вариаций. Мы предлагаем более обширное исследование для будущей работы.Мы предполагаем, что различные конфигурации шариков, различающиеся распределением перекрытий по объему и степени, получат наибольшую выгоду от шаблонов линейных выборок, которые предпочтительно фиксируют эти перекрытия. Благодарность Мы благодарим Карла Брингмана за объяснение его алгоритма BF-ApproxUnion (ApproxUnion) [3]. Мы благодарим Джозию Мэнсона за то, что он указал на то, что дротики превосходят центр, и мы могли бы получить лучший ответ, используя единообразную выборку. Мы благодарим Виджая Натараджана за предложение случайной выборки аккордов.Авторы благодарны Брайану Адамсу, Киту Далби и Висенте Ромеро за полезные технические обсуждения. Эта работа спонсировалась программой лабораторных исследований и разработок (LDRD) в Sandia National Laboratories. Этот материал основан на работе, поддержанной Министерством энергетики США, Управлением науки, Управлением передовых научных компьютерных исследований (ASCR), Программой прикладной математики. Sandia National Laboratories - это многофункциональная лаборатория, управляемая и управляемая National Technology and Engineering Solutions of Sandia, LLC., дочерняя компания Honeywell International, Inc., находящаяся в полной собственности Управления национальной ядерной безопасности Министерства энергетики США по контракту DE-NA0003525.},
    doi = {10.2172 / 1464880},
    url = {https://www.osti.gov/biblio/1464880}, журнал = {},
    номер =,
    объем =,
    place = {United States},
    год = {2018},
    месяц = ​​{8}
    }

    Página não encontrada — Psicóloga Célia Silva

    Política de Privacidade

    Esta Política de Privacidade Esta Política de Privacidade Esta Política de Privacidade Esta Política de Privacidade Esta Política de Privacidade Esta Política de Privacidade Esta Política de Privacidade Esta Política de Privacidade Esta Política de Privacidade Esta Política de Privacidade Esta Política de Privacidade Esta Política de Privacidade Esta Política de Privacidade устанавливает или Компромиссо да CeSpsi com os seus clientes ou visitantes quanto à proteção de dados pessoais, informando o tratamento que realiza com os seus dados, assim como os direitos que lhes reconhece c enquanto title UE) 2016/679 (Regulamento Geral sobre a Proteção de Dados — RGPD) и законодательного акта о защите данных приложений.

    A Política de Privacidade aplica-se exclusivamente ao tratamento de dados pessoais efetuados pela CeSpsi no context das finalidades aqui previstas, nas quais se considera dado pessoal a informação relativa a uma de quepesso de pessoal a informação relativa a uma de quepesso de pesso de lión, supépéte de pesso de paris Permita Identificar Essa Pessoa.

    Использование сайта, подразумевающего получение статуса Política de Privacidade.

    1. Responsável pelo tratamento dos dados pessoais

    A CeSpsi — это целый комплекс услуг, связанных с посещением сайта.Para quaisquer questões relativas aos seus dados pessoais, pode contatar-nos pelos seguintes meios:

    Rua D. Nuno Alvares Pereira 40, 4780-439 Santo Tirso

    Электронная почта: [email protected]

    2. Forma de recolha dos dados pessoais

    Os seus dados pessoais são recolhidos através de formulários neste site, sejam de contato ou de marcação, cujo preenchimento é voluntário.

    3. Dados pessoais recolhidos

    CeSpsi pode recolher vários dados pessoais consoante a finalidade, tais como nome, email, telefone para a prestação de serviços, e o número de Identificação financial para a emissão de faturas.

    Этот сайт использует куки-файлы, их подробное описание.

    4. Finalidade dos dados pessoais

    Além das finalidades acima descritas, os dados recolhidos destinam-se, de uma forma geral, à adeação dos nossos serviços às suas needsidades e interesses.

    5. Segurança dos dados pessoais

    A CeSpsi compromete-se a tratar apenas os dados pessoais que sejam estritamente needários à execução das finalidades acima descritas, e envidará todos os esforços para garantir a segurança ea proteção dos drativas dados pessess , sua utilização indevida, ou sua divulgação não autorizada.

    6. Tempo de conservação dos dados pessoais

    Os seus dados pessoais serão conservados até que seja retirado o consentimento, dentro dos limites legais, ou durante o período needário para cumprir a finalidade para a qual tiverem sido recolhidos, após o qual os seus dados ellement.

    Poderão existir Requisitos legais ou fiscais que obriguem a conservar certos dados pessoais por algum período de tempo. Nesses casos, tratando-se de uma obrigação legal ou fiscal, a CeSpsi terá de respeitar esse período mínimo de conservação.

    Terminado o prazo máximo de conservação, CeSpsi compromete-se a excluar, destruir ou anonimizar os seus dados pessoais.

    7. Partilha dos dados pessoais

    Na CeSpsi, têm acesso aos seus dados pessoais os colaboradores que deles needitam para cumprir as diligências legais needárias.

    Caso os dados pessoais sejam tratados por outras entidades para Assegurar a prestação do serviço, CeSpsi exigirá a tais entidades o mesmo nível de privacidade e segurança quanto aos seus dados pessoais.

    Para o estrito cumprimento de obrigações legais ou fiscais, os seus dados pessoais poderão ser transferidos a outras entidades, por exemplo tribunais ou organos públicos.

    A CeSpsi não partilha, em caso algum, os seus dados pessoais com outras empresas ou marcas para outros fins comerciais.

    8. Consentimento dos dados pessoais

    Nos termos da lei, é garantido ao titular dos dados o direito de acesso, retificação, limitação ou oposição ao tratamento, portabilidade ou esquecimento dos seus dados pessoais.О упражнении destes direitos poderá estar sujeito a limitações previstas nos termos da lei.

    Para exercer qualquer um destes direitos, basta enviar-nos o seu pedido através do email: [email protected].

    CeSpsi analisará cuidadosamente o seu pedido, comprometendo-se a dar resposta em tempo oportuno.

    9. Специалист по авторизации

    Terá também semper o direito de apresentar reclamação junto da autoridade comptente:

    Comissão Nacional de Proteção de Dados — CNPD — http: // www.cnpd.pt.

    10. Файлы cookie

    Cookies são pequenos ficheiros ou pacotes de dados trocados entre o site e o seu browser (navegador). Este site pode usar vários tipos de cookies:

    Cookies deession: são cookies temporários, que não ficam guardados no computador após sair do site, e que servem para analisar padrões de tráfego, allowindo-nos melhorar o context и usabilidade do site.

    Анализ файлов cookie: são utilizados anonimamente para efeitos estatísticos, sendo tratados por nós ou por terceiros, com o objetivo de analisar padrões de navegação no site, e melhorar o fornecimento de produtos ou serviços.

    Cookies funcionais: предпочитаемые предохранители для использования относительного использования на сайте.

    Publicitários cookies: direccionam a publicidade em função dos interess do utilizador, ajudando a medir a sua eficácia, evitando a exibição de anúncios duplicados и т. Д.

    11. Gestão de cookies

    Os браузеров (navegadores) разрешают использовать aceitar, recusar или apagar cookies, чтобы их можно было определить avançadas. É geralmente posível geri-las no menu “Opções” or “Preferências”.Tenha em conta que ao desativar os cookies pode impedir que algumas páginas ou serviços do site funcionem corretamente.

    12. Atualização desta Política de Privacidade

    A presente Política de Privacidade pode ser revista e atualizada a qualquer altura, estando a última versão semper publicada no nosso site.