Уравнение касательной

В этой статье мы разберем все типы задач на нахождение уравнения касательной.

Вспомним геометрический смысл производной: если к графику функции y=f(x) в точке x_0  проведена касательная, то коэффициент наклона касательной (равный тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси OX) равен производной функции в точке x_0 .

уравнения касательной

k=tg{alpha}=f^{prime}(x_0)

Возьмем на касательной произвольную точку  с координатами ( x;y):

уравнения касательной

И рассмотрим прямоугольный треугольник ABC:

уравнения касательной

В этом треугольнике tg{alpha}={BC}/{AB}={y-f(x_0)}/{x-x_0}=f{prime}(x_0)

Отсюда {y-f(x_0)}= f{prime}(x_0)(x-x_0)

Или

y=f(x_0)+ f{prime}(x_0)(x-x_0)

Это и есть уравнение касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в точке x_0.

Чтобы написать уравнение касательной, нам достаточно знать уравнение функции и точку, в которой проведена касательная. Тогда мы сможем найти f(x_0)

и f{prime}(x_0).

Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.

1. Дана точка касания  x_0

2. Дан коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции y=f(x) в точке x_0.

3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.

Рассмотрим каждый тип задач.

1. Написать уравнение касательной к графику функции f(x)=x^3-2x^2+3  в точке x_0=1.

а) Найдем значение функции в точке x_0=1.

f(1)=1^3-2*1^2+3=2.

б) Найдем значение производной в точке x_0=1. Сначала найдем производную функции y=f(x)

f{prime}(x)=3x^2-4x

f{prime}(1)=3*1^2-4*1=-1

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

y=2+(-1)(x-1)

Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим: y=-x+3

Ответ: y=-x+3.

 

2. Найти абсциссы точек, в которых касательные к графику функции y={1/4}x^4-{8/3}x^3 +{{15}/2}x^2 параллельны оси абсцисс.

Если касательная параллельна оси абсцисс, следовательно угол между касательной и положительным направлением оси OX равен нулю, следовательно тангенс угла наклона касательной равен нулю. Значит, значение производной функции y={1/4}x^4-{8/3}x^3 +{{15}/2}x^2 в точках касания равно нулю.

а) Найдем производную функции y={1/4}x^4-{8/3}x^3 +{{15}/2}x^2.

y{prime}=x^3-8x^2+15x

б) Приравняем производную к нулю и найдем значения x, в которых касательная параллельна оси OX:

x^3-8x^2+15x=0

x(x^2-8x+15)=0

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

x_1=0;~~x_2=3;~~x_3=5

Ответ: 0;3;5

 

3. Написать уравнения касательных к графику функции y={3x-4}/{2x-3}, параллельных  прямой y=-x+3.

Касательная параллельна прямой y=-x+3. Коэффициент наклона этой прямой равен -1. Так как касательная параллельна этой прямой, следовательно, коэффициент наклона касательной тоже равен -1. То есть мы знаем коэффициент наклона касательной, а, тем самым, значение производной в точке касания.

Это второй тип задач на нахождение уравнения касательной.

Итак, у нас дана функция y={3x-4}/{2x-3} и значение производной в точке касания.

а) Найдем точки, в которых производная функции y={3x-4}/{2x-3} равна -1.

Сначала найдем уравнение производной.

Нам нужно найти производную дроби.

({u/v})^{prime}={u{prime}v-v{prime}u}/{v^2}

y{prime}={(3x-4){prime}(2x-3)-(2x-3){prime}(3x-4)}/{(2x-3)^2}={3(2x-3)-2(3x-4)}/{(2x-3)^2}={-1}/{(2x-3)^2}

Приравняем производную к числу -1.

{-1}/{(2x-3)^2}=-1

(2x-3)^2=1

2x-3=1 или 2x-3=-1

x_0=2 или x_0=1

б) Найдем уравнение касательной к графику функции y={3x-4}/{2x-3} в точке x_0=2.

Найдем значение функции в точке x_0=2.

y(2)={3*2-4}/{2*2-3}=2

y{prime}(2)=-1 (по условию)

Подставим эти значения в уравнение касательной:

y=2+(-1)(x-2)=-x+4.

б) Найдем уравнение касательной к графику функции y={3x-4}/{2x-3} в точке x_0=1.

Найдем значение функции в точке x_0=1.

y(1)={3*1-4}/{2*1-3}=1

y{prime}=-1 (по условию).

Подставим эти значения в уравнение касательной:

y=1+(-1)(x-1)=-x+2.

Ответ: y=-x+4;~~y=-x+2

 

4. Написать уравнение касательной к кривой y=sqrt{8-x^2}, проходящей через точку A(3,1)

Сначала проверим, не является ли точка A(3,1) точкой касания. Если точка является точкой касания, то она принадлежит графику функции, и её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты  точки A(3,1)  в уравнение функции.

1<>sqrt{8-3^2}1<>sqrt{8-3^2}. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка A(3,1) не принадлежит графику функции и не является точкой касания.

Это последний тип задач на нахождение уравнения касательной. Первым делом нам нужно найти абсциссу точки касания.

Найдем значение x_0.

Пусть x_0 — точка касания. Точка A(3,1) принадлежит касательной к графику функции y=sqrt{8-x^2}. Если мы подставим координаты этой точки в уравнение касательной, то получим верное равенство:

1=f(x_0)+ f{prime}(x_0)(3-x_0).

Значение функции y=sqrt{8-x^2} в точке x_0 равно f(x_0)= sqrt{8-{x_0}^2}.

Найдем значение производной функции y=sqrt{8-x^2} в точке x_0.

Сначала найдем производную функции y=sqrt{8-x^2}. Это сложная функция.

f{prime}(x)={1/{2sqrt{8-x^2}}}*(8-x^2){prime}={{-2x}/{2sqrt{8-x^2}}}

Производная в точке x_0 равна f{prime}(x_0)={-2{x_0}}/{2sqrt{8-{x_0}^2}}.

Подставим выражения для f(x_0) и f{prime}(x_0) в уравнение касательной. Получим уравнение относительно x_0:

1=sqrt{8-{x_0}^2}+{-2{x_0}}/{2sqrt{8-{x_0}^2}}(3-x_0)1<>sqrt{8-3^2}

Решим это уравнение.

Сократим числитель и знаменатель дроби на 2:

1=sqrt{8-{x_0}^2}+{-{x_0}}/{sqrt{8-{x_0}^2}}(3-x_0)1<>sqrt{8-3^2}

Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю. Получим:

1={8-{x_0}^2-{x_0}(3-x_0)}/{sqrt{8-{x_0}^2}}

Упростим числитель дроби и умножим обе части на {sqrt{8-{x_0}^2}} — это выражение строго больше нуля.

Получим уравнение

{8-3x_0}={sqrt{8-{x_0}^2}}

Это иррациональное уравнение.

Решим его. Для этого возведем обе части в квадрат и перейдем к системе.

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{64-48{x_0}+9{x_0}^2=8-{x_0}^2} {8-3x_0>=0} }}{ }1<>sqrt{8-3^2}

Решим первое уравнение.

10{x_0}^2-48x_0+56=0

5{x_0}^2-24x_0+28=0

Решим квадратное уравнение, получим

x_0=2 или x_0=2,8

Второй корень не удовлетворяет условию 8-3x_0>=01<>sqrt{8-3^2}, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна 2.

Напишем уравнение касательной к кривой y=sqrt{8-x^2} в точке x_0=2. Для этого подставим значение x_0=2 в уравнение y=sqrt{8-{x_0}^2}+{-2{x_0}}/{2sqrt{8-{x_0}^2}}(x-x_0)1<>sqrt{8-3^2}  — мы его уже записывали.

Получим:

y=sqrt{8-{2}^2}-{2*{2}}/{2sqrt{8-{(2)}^2}}(x-2)1<>sqrt{8-3^2}

y=2-(x-2)=-x+4

Ответ: y=-x+4
И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Производная. Таблица производных. Связь функции с производной. Касательная. Первообразная

Факт 1.
Таблица производных: \[\begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{1} & c & 0\\&&\\ \textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\ \textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\ \textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\ \textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf{8} & \cos x & -\sin x\\ \hline \end{array} \quad \quad \quad \quad \begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline &&\\ \textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\ \textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\ \textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\ \textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\[4ex] \hline \end{array}\]

 

Факт 2.
Пусть \(f=f(x), g=g(x)\) – функции.
\(\bullet\) Если \(c\) – число, то: \[(c\cdot f)’=c\cdot f’\] \(\bullet\) Производная суммы/разности двух функций: \[(f\pm g)’=f’\pm g’\] \(\bullet\) Производная произведения двух функций: \[(f\cdot g)’=f’\cdot g+f\cdot g’\] \(\bullet\) Производная частного двух функций: \[\left(\dfrac fg\right)’=\dfrac{f’\cdot g-f\cdot g’}{g^2}\] \(\bullet\) Производная сложной функции: \[\big(h(f(x))\big)’=h’_f(f)\cdot f’_x(x)\]

 

Факт 3.
\(\bullet\) Если \(y=f(x)\) – некоторая функция, то касательная к ней в точке с абсциссой \(x_0\) имеет вид: \[y=f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)\] \(\bullet\) Следовательно, \(k=f'(x_0)=\mathrm{tg}\,\alpha\) – тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси \(Ox\), он же угловой коэффициент касательной, если ее уравнение записать как \(y=kx+b\).


 

Факт 4.
\(\bullet\) Если \(f'(x)>0\) на \((a;b)\), то \(f(x)\) возрастает на \((a;b)\).
\(\bullet\) Если \(f'(x)<0\) на \((a;b)\), то \(f(x)\) убывает на \((a;b)\).
\(\bullet\) Если \(f'(x_0)=0\) и в точке \(x_0\) производная меняет свой знак, то \(x_0\) — функции \(f(x)\):
— если производная меняет знак с “\(-\)” на “\(+\)” (считая слева направо), то \(x_0\) — ;
— если производная меняет знак с “\(+\)” на “\(-\)” (считая слева направо), то \(x_0\) — .  

Факт 5.
\(\bullet\) \(F(x)\) – первообразная для \(f(x)\), если \(F'(x)=f(x)\).
\(\bullet\) Обозначение: \[\int f(x)\,dx=F(x)+c\] где \(c\in\mathbb{R}\) – некоторая константа.
\(\bullet\) Формула Ньютона-Лейбница: \[\int \limits_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\] \(\bullet\) Тогда \(F(b)-F(a)\) равно площади закрашенной фигуры \(ABCD\), называемой криволинейной трапецией:


 

ПЗ. Производная: механический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной в общем виде.

ПЗ. Производная: механический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной в общем виде.

Задание:

1)Опорный конспект.

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан:  координата  x  движущейся точки – известная функция  x ( t ) времени  t. В течение интервала времени от  t0  до  t0 + http://www.bymath.net/studyguide/dltt.gif  точка перемещается на расстояние:  x ( t0 + http://www.bymath.net/studyguide/dltt.gif ) — x ( t0 ) = http://www.bymath.net/studyguide/dltx.gif, а её средняя скорость равна:  va = http://www.bymath.net/studyguide/dltx.gif / http://www.bymath.net/studyguide/dltt.gif . 

При  http://www.bymath.net/studyguide/dltt.gif http://www.bymath.net/studyguide/arrow_big.gif 0  значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью  v ( t0 )  материальной точки в момент времени  t0 .

Но по определению производной мы имеем:

http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana3f.gif

отсюда, v (t0) = x / (t0), т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v / t ).

Пример. Точка движется прямолинейно по закону S (t)= 2t3 – 0,5t2 + 3t  (S – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t=1с.

Решение: vt ) = s / t ) = 6t2 t + 3, v(1) = 6 – 1 + 3 = 8.

Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох:

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg

 Уравнение касательной. y =  f ( x0 ) +  f /x0 ) · ( x – x0  ) .

2)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с

абсциссой х₀:  а) y(x) = x³, x₀ = 1, б) y(x) = ln x, x₀ = 1, в) y(x) = 3x² http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg 4x, x₀ = 2,

г) y(x) = х

3 + 7x² http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg5x+3, x₀ = 3, д) y(x) = ех, x₀ = ln 7, e) y(x) = 7sinx, x₀ = 0,ж) y(x) = е, x₀ = ln 4.

Решение: угловой коэффициент k равен производной от функции в точке, т.е. k = y    (x0) ,

найдем производные и вычислим их в точке x0

a) http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg   б) http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg

в)  http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg

г) http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg

д) http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpgе ln 7= …,е) http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg 7cos x, http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg

7http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg cos 0 = 7http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg 1 = …, 

ж) http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg е3 ln 4  = 3http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg

43 = 3http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg64 =  …             Ответ: a)3, б)1, в)8,г) 64,д) 7,е)7,ж) 192.

Пример 2. а) Найти угловой коэффициент k, если  http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpghttp://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpgα = arctg 6, α = — arctg 8.

б) Найти α,если y(x) = 1/3 http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg

х3, x₀ = 2.

Решение: а) k  = tgα = tg http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg k  = tgα = tg http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg k  = tgα = tg http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg

k  = tgα = tg http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg

  б) http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg

Ответ: а)1, http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg,6,- 8,   б) arctg 4.

Пример 3. Дана функция y = x3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0 = 2.
Решение: Уравнение касательной: y = f 

/ (x0) · (x − x0) + f(x0). 

f (x0) = f (2) = 23 = …;   f  / (x) = (x3)   = 3x2;   f  / (x0) = f  / (2) = 3 · 22 = 3http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg4 = …;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.                       Ответ: y = 12x − 16. 
Пример 4. Составить уравнение касательной к графику функции f (x

) = 2sin x + 5 в точке x0 π/2.

Решение:  f (x0) = f (π/2) = 2sin (π/2) + 5 = 2 + 5 = …; f  / (x) = (2sin x + 5) /  = 2cos x;
f  / (x0) = f  / (π/2) = 2cos (π/2) = 0;  Уравнение касательной:   y = 0 · (x − π/2) + 7 ⇒ y = …  Ответ: y = 7.

Пример 5. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x2 – 4x + 2, проходящих http://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_04.gif

через точку M(– 3; 6).

Решение: Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3)http://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_04.gif ­ 6 (рис. ).

1. a – абсцисса точки касания.
2. f(a) = – a2 – 4a + 2.
3. f ‘(x) = – 2x – 4, f ‘(a) = – 2a – 4.
4. y = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной.

Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

6 = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),a2 + 6a + 8 = 0 , D = 62 http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg 4http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg1http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg 8 = 36 http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg 32  = …, 

а1= (http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg6 http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg 2) : 2 =http://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_04.gif 8 : 2  =  …,  а2 = (http://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_04.gif6 http://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_04.gif 2) : 2 = http://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_04.gif4 : 2 = …,

Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18.

Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6.                   Ответ: y = 4x + 18 или y = 6.

http://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_06.gifПример 6. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. ).

Решение:  Из условия f ‘(a) = tg 45°, http://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_06.gif найдем a:  a – 3 = 1 ,a = 3 + 1 = …

1. a = 4 – абсцисса точки касания.       2. f(4) = 8 – 12 + 1 = …
3. f ‘(4) = 4 – 3 = …     4. y = – 3 + 1(x – 4). y = x – 7 – уравнение касательной.  Ответ: y =  x – 7.

Пример 7. На параболе у = х2 взяты две точки с абсциссами 1 и 3. Через эти точки проведена прямая. В какой точке параболы касательная будет параллельна проведенной прямой?

Решение: у = х2 , (1;1), (3;9).  Найдем уравнение прямойhttp://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_06.gif . 4х – 4 = у – 1.  у = 4х – 3.

Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны.

http://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_06.gif— угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х0.

http://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_06.gif0 = 4.  х0 = …  ,  http://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_06.gifОтвет: в точке (2;4) касательная параллельна прямой.

Пример 8. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику

функции y = x2 + bx + c?

Решение: Пусть t – абсцисса точки касания прямой y = x с параболой y = x2 + bx + c;

p – абсцисса точки касания прямой y = – 2x с параболой y = x2 + bx + c.

Тогда уравнение касательной y = x примет вид  y = (2t + b)x + c – t2, а уравнение

 касательной y = – 2x примет вид y = (2p + b)x + c – p2.  Составим и решим систему уравнений:

http://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_06.gif  ;

2t = 1,5;  t  = 0,75;  p = – t = …,   c  = http://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_06.gif = http://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_06.gif = …,   b = 1 – 2t = 1 – 2 http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg 0,75 = 1– 1,5 = …

Ответ: b = – 0,5; c = 0,562 5.

3)Решить задание  ( по примерам):

  1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с

абсциссой х₀:  а) y(x) = x4, x₀ = 1, б) y(x) = ln x, x₀ = 2, в) y(x) = 3x² — 4x, x₀ = 4,

г) y(x) = х3 + 7x² — 5x+3, x₀ =5, д) y(x) = ех, x₀ = ln 8, e) y(x) = 9sinx, x₀ = 0,ж) y(x) = е, x₀ = ln 6.

  1. а) Найти угловой коэффициент k, если  http://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_06.gifhttp://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_06.gifα = arctg 9, α = — arctg 11.

б) Найти α,если y(x) = 1/3 http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpgх3, x₀ = 4.

  1. Дана функция y = x3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0 = 1.
  2. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 4sin x + 5 в точке x0 π/2.
  3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 9).
  4. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x2 – 5x + 1, проходящей
    под углом 45° к прямой y = 0 .
  5. На параболе у=х2 взяты две точки с абсциссами 1 и 2. Через эти точки проведена прямая.
    В какой точке параболы касательная будет параллельна проведенной прямой?
  6. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику
    функции y = x2 + 2bx + c?
  7. Точка движется прямолинейно по закону S (t)= t5 – t4 + 6 (S – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t=2с.
  8. Точка движется прямолинейно по закону S (t)= 2t3 – 0,5t2 + 3t        (S – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t= 2с.
  9. Какая из приведенных зависимостей  описывает равноускоренное движение:

а) x = 4 + 2t; б) v = 5; в) x = 8 — 2t — 4t2; г) x = 10 + 5t2.

  1. Точка движется вдоль оси х согласно закону х = 8 – 2t – 4t2 . Определите начальную скорость и ускорение . Запишите  уравнение для скорости.

4)Решить задание:

  1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x2 – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3.
  2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x2 – ax в точке графика с абсциссой x0 = 1, проходит через точку M(2; 3)?
  3. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x3 и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16).
  4. На кривой y = x2 – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна
    прямой y – 3x + 1 = 0.
  5. Найдите угол q между касательными к графику функции y = x3 – 4x2 + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1.
  6. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N.
  7. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx3 – 2x2 – 4 в точке с абсциссой x0 = 2, проходит через точку M(1; 8)?
  8. Найти угол между касательными к графику функцииhttp://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_06.gif , проведенными в точках с абсциссами 1 и 2.
  9. Является ли прямая у = х – 1 касательной к кривой у = х3 – 2х + 1?
  10. Найдите уравнение касательной к графику функции http://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_06.gif в точке с абсциссой http://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_06.gif.
  11. К графику функции у = 3(х + 2) проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х0  =  – 1. Найдите абсциссу точки, в которой
    другая касательная касается графика данной функции.
  12. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 – 4x + 5, если эта касательная проходит через точку (0; 4) и абсцисса точки касания положительна.
  13. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 + 3x + 5, если эта касательная проходит через точку (0; 1) и абсцисса точки касания отрицательна.
  14. Найдите уравнение параболы f(x) = ax2 + bx + 1 касающейся прямой у = 7х + 2
    в точке М (1; 5).
  15. К графику функции http://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_06.gifпровести касательную так, чтобы она была параллельна прямой у = 4х – 5.
  16. Из точки (0; 1) провести касательную к графику функцииhttp://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_06.gif.
  17. Составить уравнение касательной к графику функцииhttp://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_06.gif  в точке с абсциссойhttp://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_06.gif.
  18. Составить уравнение касательной к графику функцииhttp://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_06.gif  в точке с абсциссойhttp://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_06.gif 
  19. Составить уравнение касательной к графику функцииhttp://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_06.gif
      в точке с абсциссой http://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_06.gif .
  20. Составить уравнение касательной к графику функции http://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_06.gif > 0, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равнаhttp://distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2001/16/no16_06.gif .
  21. Задача. Пусть X = 2 + 4t2 sin2πt.  Найти: а) мгновенную скорость, б) ускорение, если t = 0,5 c.
  22. Задача. Высота снежка, брошенного вертикально вверх со скоростью U0 с начальной высоты h0, меняется по закону h =h0+U0t-gt2/2, где g =10м/c – ускорение силы тяжести. Покажите, что энергия камня Е= mv2/ 2 + mgh, где m масса снежка, не зависит от времени.
  23. Задача. Количество электричества, протекающее через проводник, задаѐтся формулой

q(t) = t+4/t. В какой момент времени ток в цепи равен нулю?

 

 

Уравнение касательной к графику функции

Пусть дана функция f, которая в некоторой точке x0 имеет конечную производную f (x0). Тогда прямая, проходящая через точку (x0; f (x0)), имеющая угловой коэффициент f ’(x0), называется касательной.

А что будет, если производная в точке x0 не существует? Возможны два варианта:

  1. Касательная к графику тоже не существует. Классический пример — функция y = |x| в точке (0; 0).
  2. Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π/2).

Уравнение касательной

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b, где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x0, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

Итак, пусть дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x0 ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

y = f ’(x0) · (x − x0) + f (x0)

Здесь f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f (x0) — значение самой функции.

Задача. Дана функция y = x3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0 = 2.

Уравнение касательной: y = f ’(x0) · (x − x0) + f(x0). Точка x0 = 2 нам дана, а вот значения f (x0) и f ’(x0) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x0) = f (2) = 23 = 8;
Теперь найдем производную: f ’(x) = (x3)’ = 3x2;
Подставляем в производную x0 = 2: f ’(x0) = f ’(2) = 3 · 22 = 12;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Это и есть уравнение касательной.

Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 2sin x + 5 в точке x0 = π/2.

В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие — укажем лишь ключевые шаги. Имеем:

f (x0) = f (π/2) = 2sin (π/2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x0) = f ’(π/2) = 2cos (π/2) = 0;

Уравнение касательной:

y = 0 · (x − π/2) + 7 ⇒ y = 7

В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет — просто мы наткнулись на точку экстремума.

Смотрите также:

  1. Правила вычисления производных
  2. Вводный урок по вычислению производных степенной функции
  3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №6
  4. Площадь круга
  5. Иррациональные неравенства. Часть 1
  6. Задача B5: вычисление площади методом обводки

Производная функций,ее геометрический и физический смысл.Уравнение касательной .

Министерство образования и науки РД

МКОУ «Джибахнинская СОШ»

Открытый урок по математике для

6 класса

«Производная функций,ее геометрический и физический смысл.Уравнение касательной .»

Подготовила:

Магомедова П.М,

учитель математики

МКОУ «Джибахнинская СОШ»

2020

Тема: Производная функций, ее геометрический и физический смысл. Уравнение касательной

Задачи:

Обучающие: Обобщить и систематизировать свой знания умения и навыки нахождения производных функции ,ее геометрическом и физическом смысле и применить их к решению задач ЕНТ

Развивающие:Развитие познавательных интересов ,вычислительных навыков ,навыков устного счета , использование рациональных способов решения ,умения взаймопроверки и самооценки знаний

Воспитывающие: воспитание трудолюбия,чувства ответственности, рационального использование урочного времени

План урока.

I.Оганизационный момент

II.Проверка домашнего задания:

Работа в группах.

1.Проверить и оценить работу;

2. Разминка- знание формул 3 мин. нахождение соответствия « Найди пару».

III.Основной этап урока.

1. Повторение теоритического материала;

2.Выполнение задач ЕНТ, решаемых устно ;

3.Задание на соответствие;

4. Задание-2;

5. Тест

IV.Заверщающий этап

Домашнее задание.

Оценка знаний

Итог урока

Самооценочная карта

Фамилия и имя уч-ся

Баллы

Оценка

1

Домашнее задание ( )

2

Работа в парах «Найди пару»-(1балл)

3

Теория ( каждый правильный ответ по 1 баллу)

4

Устные задания (каждый правильный ответ по 1 баллу )

5

Задачи

6

Тест

9

Итоговые баллы( )

Ход урока.

1.Организационный момент-(3-4мин)

-приветствие

-Девиз урока :

Урок начнем с девиза «Никогда не беритесь за последующее ,не усвоив предыдущее»

И.П. Павлов

Так как нам предстоит изучение темы «Применение производной,которая важна,так же как сама производная при подготовке и сдаче ЕНТ-ы,поэтому необходимо обобщить и закрепить наши знания по теме производная функций

И так тема урока:Производная функций,ее геометрический и физический смысл. Уравнение касательной в заданиях ЕНТ

Задачи урока:

Обучающие: Обобщить и систематизировать свой знания умения и навыки нахождения производных функции ,ее геометрическом и физическом смысле и применить их к решению задач ЕНТ

Развивающие:Развитие познавательных интересов ,вычислительных навыков ,навыков устного счета , использование рациональных способов решения ,умения взаймопроверки и самооценки знаний

Воспитывающие: воспитание трудолюбия,чувства ответственности, рационального использование урочного времени

2.Проверка домашнего задания-на дом были заданы 10 тестовых заданий из сборников ЕНТ-ы 2015

-«Проверь себя”

Ответы домашнего задания (3мин.)

3.А теперь разминка.(5мин)

-раздаточный материал

Найдите соответствие между функцией и ее производным.Напишите ответ. Например: 1функция – ? производная.

Ответы на соответствие:

Ответы: 1-9; 6-3; 11-14;

16-19; 2-4; 7-18; 12-19;

17-13; 3-5; 8-17; 4-19;

5-19; 15-16; 10-20.

Вопросы теоретического материала(7мин)

1.Определение производной функций и алгоритм ее нахождения

2.Правила вычисления производных

3.Физический смысл производной

4.Геометрический смысл производной

5.Уравнение касательной к графику функций в точке с абциссой х

6.Как найти уравнение касательной ,проведенной к графику функций у= f(x) параллельно прямой y=кх+в

7.Нахождение координаты точек пересечения производной и касательной проведенной в точку касания

8.Как найти уравнение касательной, если она пересекает ось ординат и ось абцисс

9.Как найти угол наклона между касательной и графиком функций

10.Как найти угловой коэффициент

11.Как найти скорость ,ускорение, силу и кинетическую энергию с помощью производной функций

Устные задания (5мин)

Некоторые задания ЕНТ расчитаны на устные выполнения,что позволяет сэкономить время для решения более сложных заданий:

1.у=

2. у=(х2+1) (х2-1)

3. у=-

4.у=cos2x+sin2x

5 y=cos2x-sin2x

6.y=(x-2) (x2+2х+4)

7.y=

Ответы:

1.y´=4x3— 3x2 2.y´=4x3 3. у/= 4.=0 5.y´=-2sin2x

6.y´=3x2 7. у/=

Тест

1.Найдите производную функций: f(x)=sin(x3+2)

A)3cos(x3+2) B)3sin(x3+2) C)x2(x3+2) D)3x2(x3+2) E) 3x2cos(x3+2)

2.В каких точках касательная,проведенная к графику функций у=

cостовляет с осью абцисс угол 60 0

A) ( ; ) B) ( 😉 C) (1 ; 1 ) D) ( ) E) ( )

3. Найдите производную функций f(x)=(x5+2x3)95

A)95(x5+2x3)94 B)95(x5+2x3)94 C)95(5x4+6x2)(x5+2x3)94

D) (x5+2x3)95 E)96(x5+2x3)96

4. Найдите производную функций: f(x)= (-5x2)32

A) -160(-5x2)32 B)-160(-5x2)32 C)-320(-5x2)32 D)8(-5x2)32 E)32(-5x2)32

5.Дана функция: у=найдите у/(х)

A) B — C) — D) E)

6. Найдите производную функций: f(x)=

A) B) C) D) E) —

7. Найдите производную функций:f(x)=(5x+6)8

A)5(5x+6)7 B)-8(5x+6)7 C)40(5x+6)7 D)13(5x+6)7 E)8(5x+6)8

8.Если y(x)=sin3x cos5x-cos3x sin5x,то y/()равно:

A)-1 B)- C) D)1 E) —

9.Если f(x)=sin3 . f/()

A) B) C)1 D)2 E)

10. Тело движется прямолинейно по закону S(t)=4t-t2 найдите скорость движения тела в момент времени t=1.75сек.

A)2,5м/с B)1м/с C)0,5м/с D)2м/с E)1,5м/с

Коды ответов:

1

Е

2

А

3

С

4

С

5

В

6

В

7

С

8

Д

9

В

10

С

Задачи :

Домашнее задание:задачи ЕНТ-2015год

Итог:

Изучение свойств и способов вычисления производных и их применение играет большую роль в развитий науки и техники.Это основа предмета ВУЗа –дифференциальное исчисления,механика.Необходимо для решения задач ЕНТ по физике, геометрии.

Материал этого урока поможет вам успешно выполнить задания при подготовке к ЕНТ.а также успешному усвоению следующего раздела: «Применение производных функций».

Урок окончен,

Спасибо за внимание!

Сегодня на уроке я узнал…»

«Сегодня на уроке я научился…»

«Сегодня на уроке я познакомился…»

«Сегодня на уроке я повторил…»

«Сегодня на уроке я закрепил…»

Письменная работа 

Карточка №1 (уровень сложности А)

1 Найдите производную функции: 

у = 4х4 — х5 + х2 -3х 

у = (х + 4)3

 у = 


Карточка №2 (уровень сложности В)

1 Найдите производную функции: 

у = — 

у = sin(2х2 + 3) 

3. Решите уравнение: f ‘ (x) = 0, если f (x) = — 


Карточка №3 (уровень сложности С)

Найдите производную функции: 

у = 

у = 

у = arctg 2x 

Самооценочная карта

Фамилия и имя уч-ся

Баллы

Оценка

1

Домашнее задание ( )

2

Работа в парах «Найди пару»-(1балл)

3

Теория ( каждый правильный ответ по 1 баллу)

4

Устные задания (каждый правильный ответ по 1 баллу )

5

Задачи

6

Тест

9

Итоговые баллы( )

Самооценочная карта

Фамилия и имя уч-ся

Баллы

Оценка

1

Домашнее задание ( )

2

Работа в парах «Найди пару»-(1балл)

3

Теория ( каждый правильный ответ по 1 баллу)

4

Устные задания (каждый правильный ответ по 1 баллу )

5

Задачи

6

Тест

9

Итоговые баллы( )

Самооценочная карта

Фамилия и имя уч-ся

Баллы

Оценка

1

Домашнее задание ( )

2

Работа в парах «Найди пару»-(1балл)

3

Теория ( каждый правильный ответ по 1 баллу)

4

Устные задания (каждый правильный ответ по 1 баллу )

5

Задачи

6

Тест

9

Итоговые баллы( )


Карточка №1 (уровень сложности А)
1 Найдите производную функции: 

у = 4х4 — х5 + х2 -3х 

у = (х + 4)3

 у = 

——————————————————

Карточка №1 (уровень сложности А)
1 Найдите производную функции: 

у = 4х4 — х5 + х2 -3х 

у = (х + 4)3

 у = 

——————————-

Карточка №1 (уровень сложности А)
1 Найдите производную функции: 

у = 4х4 — х5 + х2 -3х 

у = (х + 4)3

 у = 

Карточка №1 (уровень сложности А)
1 Найдите производную функции: 

у = 4х4 — х5 + х2 -3х 

у = (х + 4)3

 у = 

——————————————

Карточка №1 (уровень сложности А)
1 Найдите производную функции: 

у = 4х4 — х5 + х2 -3х 

у = (х + 4)3

 у = 

10 класс. Алгебра. Производная. Применение производной к исследованию функции. — Уравнение касательной к графику функции.

Комментарии преподавателя

Урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции

На преды­ду­щих за­ня­ти­ях были рас­смот­ре­ны за­да­чи на тех­ни­ку диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния. Это очень важ­ные за­да­чи, и на­хож­де­ние про­из­вод­ных необ­хо­ди­мо в раз­ных за­да­чах, в том числе и в со­став­ле­нии урав­не­ния ка­са­тель­ной.

 По­стро­им кри­вую  (см. рис.1).

 

Рис. 1. Гра­фик функ­ции .

За­фик­си­ру­ем точку . Если , то зна­че­ние функ­ции равно . Зна­чит, имеем точку с ко­ор­ди­на­та­ми (.

За­да­ча: со­ста­вить урав­не­ние ка­са­тель­ной. Более стро­гая фор­му­ли­ров­ка – на­пи­сать урав­не­ние ка­са­тель­ной к функ­ции  в точке с абс­цис­сой , в ко­то­рой  — су­ще­ству­ет.

Урав­не­ние ка­са­тель­ной – это пря­мая,  ко­то­рая за­да­ет­ся фор­му­лой  

Любая пря­мая, в том числе и ка­са­тель­ная, опре­де­ля­ет­ся двумя чис­ла­ми: и . Ис­хо­дя из гео­мет­ри­че­ско­го смыс­ла про­из­вод­ной  (тан­генс угла на­кло­на ка­са­тель­ной) – это есть уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент .

Па­ра­метр  най­дем из усло­вия, что ка­са­тель­ная про­хо­дит через точку (, то есть  

 .

Стало быть  .

За­пи­шем урав­не­ние ка­са­тель­ной

.

Или, .

По­лу­чи­ли урав­не­ние ка­са­тель­ной к кри­вой  в точке с абс­цис­сой .

Смысл каж­до­го эле­мен­та, ко­то­рый вхо­дит в урав­не­ние ка­са­тель­ной.

1) ( – точка ка­са­ния ка­са­тель­ной и гра­фи­ка функ­ции.

2)  — уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции.

3)  – про­из­воль­ная точка на ка­са­тель­ной.

Очень много задач, когда за­да­на точка, ко­то­рая не лежит на гра­фи­ке функ­ции, и через нее надо про­ве­сти ка­са­тель­ную к дан­ной функ­ции. Надо четко по­ни­мать, что   – это про­из­воль­ная точка на ка­са­тель­ной.

Итак, по­лу­чи­ли урав­не­ние ка­са­тель­ной, про­ана­ли­зи­ро­ва­ли смысл каж­до­го эле­мен­та этой ка­са­тель­ной, и те­перь при­ве­дем при­мер, и на нем из­ло­жим ме­то­ди­ку по­стро­е­ния ка­са­тель­ной.

За­да­ча.

К кри­вой  в точке с абс­цис­сой  про­ве­сти ка­са­тель­ную. Про­ил­лю­стри­ру­ем поиск ка­са­тель­ной на ри­сун­ке (см. рис.2).

 

Рис. 2. Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции .

За­фик­си­ру­ем точку . Зна­че­ние функ­ции в этой точке  равно 1.

Ал­го­ритм со­став­ле­ния урав­не­ния ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции:

1)  Найти  и точку ка­са­ния. 

 — дано.Точка ка­са­ния: (;.

2) Найти про­из­вод­ную в любой точке .

.

3) Найти зна­че­ние про­из­вод­ной в точке с абс­цис­сой .

 .

4) Вы­пи­сать и про­ана­ли­зи­ро­вать урав­не­ние ка­са­тель­ной.

.

Упро­ща­ем и по­лу­ча­ем:  .

Ответ: .

За­да­ча 1.

Пусть дано урав­не­ние ка­са­тель­ной .

Най­ди­те точки пе­ре­се­че­ния ка­са­тель­ной с осями ко­ор­ди­нат.

Если , то  – это пер­вая точка.

Если , то   — вто­рая точка.

Итак, пер­вая точка – это точка  с ко­ор­ди­на­та­ми . Вто­рая точка – точка пе­ре­се­че­ния с осью  , точка  с ко­ор­ди­на­та­ми  (см. рис.3).

Рис.3. Точки пе­ре­се­че­ния ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции  с осями ко­ор­ди­нат. За­да­ча 2.

Найти длину от­рез­ка ка­са­тель­ной, ко­то­рая от­се­ка­ет­ся осями ко­ор­ди­нат, то есть надо найти длину от­рез­ка .

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник (Рис. 3). Длина ка­те­та  равна 1. Длина ка­те­та   . Длину от­рез­ка  из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

 

За­да­ча 3.

Найти пло­щадь тре­уголь­ни­ка, об­ра­зо­ван­но­го ка­са­тель­ной и осями ко­ор­ди­нат. Ясно, что это пло­щадь тре­уголь­ни­ка (Рис. 3) — пло­щадь тре­уголь­ни­ка, об­ра­зо­ван­но­го ка­са­тель­ной и осями ко­ор­ди­нат.

Сле­ду­ю­щая за­да­ча для са­мо­сто­я­тель­но­го ре­ше­ния.

Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник . Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка .

Рас­смот­рим при­мер.

Дана функ­ция . На­пи­сать урав­не­ние ка­са­тель­ной к дан­ной кри­вой в точке с дан­ной абс­цис­сой.

Рас­смот­рим гра­фи­че­скую ил­лю­стра­цию (см. рис.4).

Рис. 4. Ка­са­тель­ная к  гра­фи­ку функ­ции .

На­хож­де­ние точки ка­са­ния.

1.   Точка ка­са­ния имеет ко­ор­ди­на­ты 

Производная tan (x) | Ресурсы Wyzant

Производное доказательство tan (x)

Мы можем доказать эту производную, используя производные sin и cos, а также правило частного.

Запишите тангенс через синус и косинус

Возьмите производную от обеих сторон

Использовать правило частного

Упростить

Используйте тождество Пифагора для синуса и косинуса

и упростить

Производные доказательства csc (x), sec (x) и cot (x)

Производная этих триггерных функций может быть легко получена из правило Qoutient, использующее обратные величины sin (x), cos (x) и tan (x).

Бесплатно зарегестрироваться для доступа к дополнительным ресурсам по исчислению, например. Ресурсы Wyzant содержат блоги, видео, уроки и многое другое по расчету и более чем 250 другим предметам. Прекратите бороться и начните учиться сегодня с тысячами бесплатных ресурсов! .

Производные триггерные функции

Доказательства: Производные Триггерные функции
(Математика | Исчисление | Деривативы | Стол Из | Триггерные функции)
грех (х) = cos (x)
cos (x) = -sin (x)
tan (x) = сек ^ 2 (x)
csc (x) = -csc (x) детская кроватка (x)
сек (х) = сек (х) загар (x)
кроватка (x) = -csc ^ 2 (x)

Доказательства производных триггерных функций

Доказательства sin (x) : алгебраический метод

Дано : lim (d-> 0) sin (d) / d = 1.
Решить :

грех (x) = lim (d-> 0) (sin (x + d) — sin (x)) / d
= lim (sin (x) cos (d) + cos (x) sin (d) — sin (x)) / d
= lim (sin (x) cos (d) — sin (x)) / d + lim cos (x) sin (d) / d
= sin (x) lim (cos (d) — 1) / d + cos (x) lim sin (d) / d
= sin (x) lim ((cos (d) -1) (cos (d) +1)) / (d (cos (d) +1)) + Cos (x) lim sin (d) / d
= sin (x) lim (cos ^ 2 (d) -1) / (d (cos (d) +1) + Cos (x) lim sin (d) / d
= sin (x) lim -sin ^ 2 (d) / (d (cos (d) + 1)). + Cos (x) lim sin (d) / d
= sin (x) lim (-sin (d)) * lim sin (d) / d * lim 1 / (cos (d) +1) + Cos (x) lim sin (d) / d
= sin (x) * 0 * 1 * 1/2 + cos (x) * 1 = cos (x) В.E.D.

Подтверждение cos (x) : от производной синуса

Это можно вывести так же, как sin (x) был получен или более легко из результата грех (х)

Дано : грех (х) = соз (х); Правило цепи.
Решить :

cos (x) = sin (x + PI / 2)
cos (x) = грех (x + PI / 2)
= грех (и) * (x + PI / 2) (Установить u = x + PI / 2)
= cos (u) * 1 = cos (x + PI / 2) = -sin (x) В.E.D.

Подтверждение tan (x) : от производных синуса и косинуса

Дано : грех (х) = соз (х); cos (x) = -sin (x); Частное Правило.
Решить :

tan (x) = sin (x) / cos (x)
желто-коричневый (x) = грех (х) / соз (х)
= (cos (x) грех (х) — грех (х) cos (x)) / cos ^ 2 (x)
= (cos (x) cos (x) + sin (x) sin (x)) / cos ^ 2 (x)
= 1 + загар ^ 2 (x) = сек ^ 2 (x) В.E.D.

Взаимные

Подтверждение csc (x), sec (x), детская кроватка (x) : от производные от их взаимных функций

Дано : грех (х) = соз (х); cos (x) = -sin (x); загар (х) = детская кроватка (х); Частное Правило.
Решить :

csc (x) = 1 / sin (x) = ( грех (х) (1) — 1 грех (х)) / грех ^ 2 (х) = -cos (x) / sin ^ 2 (x) = -csc (x) детская кроватка (x)
сек (x) = 1 / cos (x) = ( cos (x) (1) — 1 соз (х)) / соз ^ 2 (х) = sin (x) / cos ^ 2 (x) = sec (x) tan (x)
детская кроватка (x) = 1 / tan (x) = ( загар (х) (1) — 1 tan (x)) / tan ^ 2 (x) = -сек ^ 2 (x) / tan ^ 2 (x) = -csc ^ 2 (x) В.E.D.

.

Какая производная от tanh (x)?

Исчисление
Наука
  • Анатомия и физиология
  • Астрономия
  • Астрофизика
  • Биология
  • Химия
  • наука о планете Земля
  • Наука об окружающей среде
  • Органическая химия
  • Физика
Математика
  • Алгебра
  • Исчисление
  • Геометрия
  • Предалгебра
  • Precalculus
.