Касательная производная: Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной

Уравнение касательной

В этой статье мы разберем все типы задач на нахождение уравнения касательной.

Вспомним геометрический смысл производной: если к графику функции y=f(x) в точке x_0 проведена касательная, то коэффициент наклона касательной (равный тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ) равен производной функции в точке x_0

$k=tg{alpha}=f^{prime}(x_0)$

Возьмем на касательной произвольную точку с координатами ( x;y) :

И рассмотрим прямоугольный треугольник ABC :

В этом треугольнике $tg{alpha}={BC}/{AB}={y-f(x_0)}/{x-x_0}=f{prime}(x_0)$

Отсюда ${y-f(x_0)}= f{prime}(x_0)(x-x_0)$

Или

$y=f(x_0)+ f{prime}(x_0)(x-x_0)$

Это и есть уравнение касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в точке x_0 .

Чтобы написать уравнение касательной, нам достаточно знать уравнение функции и точку, в которой проведена касательная. Тогда мы сможем найти f(x_0)

и $f{prime}(x_0)$ .

Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.

1. Дана точка касания x_0

2. Дан коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции y=f(x)

в точке

3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.

Рассмотрим каждый тип задач.

1. Написать уравнение касательной к графику функции

в точке x_0=1

а) Найдем значение функции в точке x_0=1 .

б) Найдем значение производной в точке x_0=1 . Сначала найдем производную функции y=f(x)

$f{prime}(x)=3x^2-4x$

$f{prime}(1)=3*1^2-4*1=-1$

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим: y=-x+3

Ответ: y=-x+3 .

2. Найти абсциссы точек, в которых касательные к графику функции $y={1/4}x^4-{8/3}x^3 +{{15}/2}x^2$ параллельны оси абсцисс.

Если касательная параллельна оси абсцисс, следовательно угол между касательной и положительным направлением оси равен нулю, следовательно тангенс угла наклона касательной равен нулю. Значит, значение производной функции $y={1/4}x^4-{8/3}x^3 +{{15}/2}x^2$ в точках касания равно нулю.

а) Найдем производную функции $y={1/4}x^4-{8/3}x^3 +{{15}/2}x^2$ .

$y{prime}=x^3-8x^2+15x$

б) Приравняем производную к нулю и найдем значения , в которых касательная параллельна оси :

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

Ответ: 0;3;5

3. Написать уравнения касательных к графику функции , параллельных прямой y=-x+3 .

Касательная параллельна прямой y=-x+3 . Коэффициент наклона этой прямой равен -1. Так как касательная параллельна этой прямой, следовательно, коэффициент наклона касательной тоже равен -1. То есть мы знаем коэффициент наклона касательной, а, тем самым, значение производной в точке касания.

Это второй тип задач на нахождение уравнения касательной.

Итак, у нас дана функция и значение производной в точке касания.

а) Найдем точки, в которых производная функции равна -1.

Сначала найдем уравнение производной.

Нам нужно найти производную дроби.

$({u/v})^{prime}={u{prime}v-v{prime}u}/{v^2}$

$y{prime}={(3x-4){prime}(2x-3)-(2x-3){prime}(3x-4)}/{(2x-3)^2}={3(2x-3)-2(3x-4)}/{(2x-3)^2}={-1}/{(2x-3)^2}$

Приравняем производную к числу -1.

${-1}/{(2x-3)^2}=-1$

2x-3=1 или 2x-3=-1

x_0=2 или x_0=1

б) Найдем уравнение касательной к графику функции в точке x_0=2 .

Найдем значение функции в точке x_0=2 .

(по условию)

Подставим эти значения в уравнение касательной:

б) Найдем уравнение касательной к графику функции в точке x_0=1 .

Найдем значение функции в точке x_0=1 .

(по условию).

Подставим эти значения в уравнение касательной:

Ответ:

4. Написать уравнение касательной к кривой $y=sqrt{8-x^2}$ , проходящей через точку A(3,1)

Сначала проверим, не является ли точка A(3,1) точкой касания. Если точка является точкой касания, то она принадлежит графику функции, и её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты точки A(3,1) в уравнение функции.

$1<>sqrt{8-3^2}$ $1<>sqrt{8-3^2}$ . Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка A(3,1) не принадлежит графику функции и не является точкой касания.

Это последний тип задач на нахождение уравнения касательной. Первым делом нам нужно найти абсциссу точки касания.

Найдем значение x_0 .

Пусть x_0 — точка касания. Точка A(3,1) принадлежит касательной к графику функции $y=sqrt{8-x^2}$ . Если мы подставим координаты этой точки в уравнение касательной, то получим верное равенство:

$1=f(x_0)+ f{prime}(x_0)(3-x_0)$ .

Значение функции $y=sqrt{8-x^2}$ в точке x_0 равно $f(x_0)= sqrt{8-{x_0}^2}$ .

Найдем значение производной функции $y=sqrt{8-x^2}$ в точке x_0 .

Сначала найдем производную функции $y=sqrt{8-x^2}$ . Это сложная функция.

$f{prime}(x)={1/{2sqrt{8-x^2}}}*(8-x^2){prime}={{-2x}/{2sqrt{8-x^2}}}$

Производная в точке x_0 равна $f{prime}(x_0)={-2{x_0}}/{2sqrt{8-{x_0}^2}}$ .

Подставим выражения для f(x_0) и $f{prime}(x_0)$ в уравнение касательной. Получим уравнение относительно x_0 :

$1=sqrt{8-{x_0}^2}+{-2{x_0}}/{2sqrt{8-{x_0}^2}}(3-x_0)$ $1<>sqrt{8-3^2}$

Решим это уравнение.

Сократим числитель и знаменатель дроби на 2:

$1=sqrt{8-{x_0}^2}+{-{x_0}}/{sqrt{8-{x_0}^2}}(3-x_0)$ $1<>sqrt{8-3^2}$

Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю. Получим:

$1={8-{x_0}^2-{x_0}(3-x_0)}/{sqrt{8-{x_0}^2}}$

Упростим числитель дроби и умножим обе части на ${sqrt{8-{x_0}^2}}$ — это выражение строго больше нуля.

Получим уравнение

${8-3x_0}={sqrt{8-{x_0}^2}}$

Это иррациональное уравнение.

Решим его. Для этого возведем обе части в квадрат и перейдем к системе.

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{64-48{x_0}+9{x_0}^2=8-{x_0}^2} {8-3x_0>=0} }}{ }$ $1<>sqrt{8-3^2}$

Решим первое уравнение.

$10{x_0}^2-48x_0+56=0$

$5{x_0}^2-24x_0+28=0$

Решим квадратное уравнение, получим

x_0=2 или x_0=2,8

Второй корень не удовлетворяет условию $1<>sqrt{8-3^2}$ , следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .

Напишем уравнение касательной к кривой $y=sqrt{8-x^2}$ в точке x_0=2 . Для этого подставим значение x_0=2 в уравнение $y=sqrt{8-{x_0}^2}+{-2{x_0}}/{2sqrt{8-{x_0}^2}}(x-x_0)$ $1<>sqrt{8-3^2}$ — мы его уже записывали.

Получим:

$y=sqrt{8-{2}^2}-{2*{2}}/{2sqrt{8-{(2)}^2}}(x-2)$ $1<>sqrt{8-3^2}$

Ответ: y=-x+4
И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Производная. Таблица производных. Связь функции с производной. Касательная. Первообразная

Факт 1.
Таблица производных: \[\begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{1} & c & 0\\&&\\ \textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\ \textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\ \textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\ \textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf{8} & \cos x & -\sin x\\ \hline \end{array} \quad \quad \quad \quad \begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline &&\\ \textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\ \textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\ \textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\ \textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\[4ex] \hline \end{array}\]

Факт 2.
Пусть $f=f(x), g=g(x)$ – функции.
$\bullet$ Если $c$ – число, то: \[(c\cdot f)’=c\cdot f’\] $\bullet$ Производная суммы/разности двух функций: \[(f\pm g)’=f’\pm g’\] $\bullet$ Производная произведения двух функций: \[(f\cdot g)’=f’\cdot g+f\cdot g’\] $\bullet$ Производная частного двух функций: \[\left(\dfrac fg\right)’=\dfrac{f’\cdot g-f\cdot g’}{g^2}\] $\bullet$ Производная сложной функции: \[\big(h(f(x))\big)’=h’_f(f)\cdot f’_x(x)\]

Факт 3.
$\bullet$ Если $y=f(x)$ – некоторая функция, то касательная к ней в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: \[y=f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)\] $\bullet$ Следовательно, $k=f'(x_0)=\mathrm{tg}\,\alpha$ – тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси $Ox$, он же угловой коэффициент касательной, если ее уравнение записать как $y=kx+b$.

Факт 4.
$\bullet$ Если $f'(x)>0$ на $(a;b)$, то $f(x)$ возрастает на $(a;b)$.
$\bullet$ Если $f'(x)<0$ на $(a;b)$, то $f(x)$ убывает на $(a;b)$.
$\bullet$ Если $f'(x_0)=0$ и в точке $x_0$ производная меняет свой знак, то $x_0$ — функции $f(x)$:
— если производная меняет знак с “$-$” на “$+$” (считая слева направо), то $x_0$ — ;
— если производная меняет знак с “$+$” на “$-$” (считая слева направо), то $x_0$ — .

Факт 5.
$\bullet$ $F(x)$ – первообразная для $f(x)$, если $F'(x)=f(x)$.
$\bullet$ Обозначение: \[\int f(x)\,dx=F(x)+c\] где $c\in\mathbb{R}$ – некоторая константа.
$\bullet$ Формула Ньютона-Лейбница: \[\int \limits_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\] $\bullet$ Тогда $F(b)-F(a)$ равно площади закрашенной фигуры $ABCD$, называемой криволинейной трапецией:

ПЗ. Производная: механический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной в общем виде.

ПЗ. Производная: механический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной в общем виде.

Задание:

1)Опорный конспект.

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x ( t ) времени t. В течение интервала времени от t₀ до t₀ + точка перемещается на расстояние: x ( t₀ + ) — x ( t₀ ) = , а её средняя скорость равна: v_a = / .

При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v ( t₀ ) материальной точки в момент времени t₀ .

Но по определению производной мы имеем:

отсюда, v (t₀) = x ^/ (t₀), т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v ^/ ( t ).

Пример. Точка движется прямолинейно по закону S (t)= 2t³ – 0,5t² + 3t (S – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t=1с.

Решение: v( t ) = s ^/ ( t ) = 6t²– t + 3, v(1) = 6 – 1 + 3 = 8.

Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох:

Уравнение касательной. y = f ( x₀ ) + f ^/( x₀ ) · ( x – x₀

) .

2)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с

абсциссой х₀: а) y(x) = x³, x₀ = 1, б) y(x) = ln x, x₀ = 1, в) y(x) = 3x² 4x, x₀ = 2,

г) y(x) = х³ + 7x²

5x+3, x₀ = 3, д) y(x) = е^х, x₀ = ln 7, e) y(x) = 7sinx, x₀ = 0,ж) y(x) = е^3х, x₀ = ln 4.

Решение: угловой коэффициент k равен производной от функции в точке, т.е. k = y  (x₀) ,

найдем производные и вычислим их в точке x₀

a) б)

в)

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/12/211.jpg

г)

д)

е ^ln⁷= …,е)

7cos x,

cos 0 = 7

1 = …,

ж) е³ ^ln⁴= 34³ = 3

64 = … Ответ: a)3, б)1, в)8,г) 64,д) 7,е)7,ж) 192.

Пример 2. а) Найти угловой коэффициент k, если α = arctg 6, α = — arctg 8.

б) Найти α,если y(x) = 1/3

х³, x₀ = 2.

Решение: а) k = tgα = tg k = tgα = tg k = tgα = tg

k = tgα = tg б)

Ответ: а)1,

,6,- 8, б) arctg 4.

Пример 3. Дана функция y = x³. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x₀ = 2.
Решение: Уравнение касательной: y = f ^/ (x₀) · (x − x₀) + f(x₀).

f (x₀) = f (2) = 2³ = …; f ^/ (x) = (x³) ^ = 3x²; f ^/ (x₀) = f ^/ (2) = 3 · 2² = 34 = …;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16. Ответ: y = 12x − 16.
Пример 4. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 2sin x + 5 в точке x₀= π/2.

Решение: f (x₀) = f (π/2) = 2sin (π/2) + 5 = 2 + 5 = …; f ^/ (x) = (2sin x + 5) ^/ = 2cos x;
f ^/ (x₀) = f ^/ (π/2) = 2cos (π/2) = 0; Уравнение касательной: y = 0 · (x − π/2) + 7 ⇒ y = … Ответ: y = 7.

Пример 5. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x² – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).

Решение: Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3) 6 (рис. ).

1. a – абсцисса точки касания.
2. f(a) = – a² – 4a + 2.
3. f ‘(x) = – 2x – 4, f ‘(a) = – 2a – 4.
4. y = – a² – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной.

Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

6 = – a² – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),a² + 6a + 8 = 0 , D = 6² 41 8 = 36 32 = …,

а₁= (6 2) : 2 = 8 : 2 = …, а₂ = (6 2) : 2 = 4 : 2 = …,

Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18.

Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6. Ответ: y = 4x + 18 или y = 6.

Пример 6. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x² – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. ).

Решение: Из условия f ‘(a) = tg 45°, найдем a: a – 3 = 1 ,a = 3 + 1 = …

1. a = 4 – абсцисса точки касания. 2. f(4) = 8 – 12 + 1 = …
3. f ‘(4) = 4 – 3 = … 4. y = – 3 + 1(x – 4). y = x – 7 – уравнение касательной. Ответ: y = x – 7.

Пример 7. На параболе у = х² взяты две точки с абсциссами 1 и 3. Через эти точки проведена прямая. В какой точке параболы касательная будет параллельна проведенной прямой?

Решение: у = х² , (1;1), (3;9). Найдем уравнение прямой . 4х – 4 = у – 1. у = 4х – 3.

Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны.

— угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х₀.

2х₀ = 4. х₀ = … , Ответ: в точке (2;4) касательная параллельна прямой.

Пример 8. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику

функции y = x² + bx + c?

Решение: Пусть t – абсцисса точки касания прямой y = x с параболой y = x² + bx + c;

p – абсцисса точки касания прямой y = – 2x с параболой y = x² + bx + c.

Тогда уравнение касательной y = x примет вид y = (2t + b)x + c – t², а уравнение

касательной y = – 2x примет вид y = (2p + b)x + c – p². Составим и решим систему уравнений:

;

2t = 1,5; t = 0,75; p = – t = …, c = = = …, b = 1 – 2t = 1 – 2 0,75 = 1– 1,5 = …

Ответ: b = – 0,5; c = 0,562 5.

3)Решить задание ( по примерам):

Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с

абсциссой х₀: а) y(x) = x⁴, x₀ = 1, б) y(x) = ln x, x₀ = 2, в) y(x) = 3x² — 4x, x₀ = 4,

г) y(x) = х³ + 7x² — 5x+3, x₀ =5, д) y(x) = е^х, x₀ = ln 8, e) y(x) = 9sinx, x₀ = 0,ж) y(x) = е^3х, x₀ = ln 6.

а) Найти угловой коэффициент k, если α = arctg 9, α = — arctg 11.

б) Найти α,если y(x) = 1/3 х³, x₀ = 4.

Дана функция y = x³. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x₀ = 1.
Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 4sin x + 5 в точке x₀= π/2.
Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x² – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 9).
Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x² – 5x + 1, проходящей
под углом 45° к прямой y = 0 .
На параболе у=х² взяты две точки с абсциссами 1 и 2. Через эти точки проведена прямая.
В какой точке параболы касательная будет параллельна проведенной прямой?
При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику
функции y = x² + 2bx + c?
Точка движется прямолинейно по закону S (t)= t⁵ – t⁴ + 6 (S – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t=2с.
Точка движется прямолинейно по закону S (t)= 2t³ – 0,5t² + 3t (S – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t= 2с.
Какая из приведенных зависимостей описывает равноускоренное движение:

а) x = 4 + 2t; б) v = 5; в) x = 8 — 2t — 4t²; г) x = 10 + 5t².

Точка движется вдоль оси х согласно закону х = 8 – 2t – 4t² . Определите начальную скорость и ускорение . Запишите уравнение для скорости.

4)Решить задание:

Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x² – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3.
При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x² – ax в точке графика с абсциссой x₀ = 1, проходит через точку M(2; 3)?
Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x³ и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16).
На кривой y = x² – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна
прямой y – 3x + 1 = 0.
Найдите угол q между касательными к графику функции y = x³ – 4x² + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1.
Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x² – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N.
При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx³ – 2x² – 4 в точке с абсциссой x₀ = 2, проходит через точку M(1; 8)?
Найти угол между касательными к графику функции , проведенными в точках с абсциссами 1 и 2.
Является ли прямая у = х – 1 касательной к кривой у = х³– 2х + 1?
Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .
К графику функции у = 3(х + 2) проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х₀= – 1. Найдите абсциссу точки, в которой
другая касательная касается графика данной функции.
Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x² – 4x + 5, если эта касательная проходит через точку (0; 4) и абсцисса точки касания положительна.
Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x² + 3x + 5, если эта касательная проходит через точку (0; 1) и абсцисса точки касания отрицательна.
Найдите уравнение параболы f(x) = ax² + bx + 1 касающейся прямой у = 7х + 2
в точке М (1; 5).
К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой у = 4х – 5.
Из точки (0; 1) провести касательную к графику функции.
Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой.
Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
Составить уравнение касательной к графику функции
в точке с абсциссой .
Составить уравнение касательной к графику функции > 0, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна .
Задача. Пусть X = 2 + 4t² — sin2πt. Найти: а) мгновенную скорость, б) ускорение, если t = 0,5 c.
Задача. Высота снежка, брошенного вертикально вверх со скоростью U₀ с начальной высоты h_0, меняется по закону h =h₀+U₀t-gt²/2, где g =10м/c – ускорение силы тяжести. Покажите, что энергия камня Е= mv²/ 2 + mgh, где m – масса снежка, не зависит от времени.
Задача. Количество электричества, протекающее через проводник, задаѐтся формулой

q(t) = t+4/t. В какой момент времени ток в цепи равен нулю?

Уравнение касательной к графику функции

2 апреля 2011

Пусть дана функция f, которая в некоторой точке x₀ имеет конечную производную f (x₀). Тогда прямая, проходящая через точку (x₀; f (x₀)), имеющая угловой коэффициент f ’(x₀), называется касательной.

А что будет, если производная в точке x₀ не существует? Возможны два варианта:

Касательная к графику тоже не существует. Классический пример — функция y = |x| в точке (0; 0).
Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π/2).

Уравнение касательной

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b, где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x₀, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

Итак, пусть дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x₀ ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

y = f ’(x₀) · (x − x₀) + f (x₀)

Здесь f ’(x₀) — значение производной в точке x₀, а f (x₀) — значение самой функции.

Задача. Дана функция y = x³. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x₀ = 2.

Уравнение касательной: y = f ’(x₀) · (x − x₀) + f(x₀). Точка x₀ = 2 нам дана, а вот значения f (x₀) и f ’(x₀) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x₀) = f (2) = 2³ = 8;
Теперь найдем производную: f ’(x) = (x³)’ = 3x²;
Подставляем в производную x₀ = 2: f ’(x₀) = f ’(2) = 3 · 2² = 12;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Это и есть уравнение касательной.

Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 2sin x + 5 в точке x₀ = π/2.

В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие — укажем лишь ключевые шаги. Имеем:

f (x₀) = f (π/2) = 2sin (π/2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x₀) = f ’(π/2) = 2cos (π/2) = 0;

Уравнение касательной:

y = 0 · (x − π/2) + 7 ⇒ y = 7

В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет — просто мы наткнулись на точку экстремума.

Смотрите также:

Правила вычисления производных
Вводный урок по вычислению производных степенной функции
Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №6
Площадь круга
Иррациональные неравенства. Часть 1
Задача B5: вычисление площади методом обводки

Производная функций,ее геометрический и физический смысл.Уравнение касательной .

Министерство образования и науки РД

МКОУ «Джибахнинская СОШ»

Открытый урок по математике для

6 класса

«Производная функций,ее геометрический и физический смысл.Уравнение касательной .»

Подготовила:

Магомедова П.М,

учитель математики

МКОУ «Джибахнинская СОШ»

2020

Тема: Производная функций, ее геометрический и физический смысл. Уравнение касательной

Задачи:

Обучающие: Обобщить и систематизировать свой знания умения и навыки нахождения производных функции ,ее геометрическом и физическом смысле и применить их к решению задач ЕНТ

Развивающие:Развитие познавательных интересов ,вычислительных навыков ,навыков устного счета , использование рациональных способов решения ,умения взаймопроверки и самооценки знаний

Воспитывающие: воспитание трудолюбия,чувства ответственности, рационального использование урочного времени

План урока.

I.Оганизационный момент

II.Проверка домашнего задания:

Работа в группах.

1.Проверить и оценить работу;

2. Разминка- знание формул 3 мин. нахождение соответствия « Найди пару».

III.Основной этап урока.

1. Повторение теоритического материала;

2.Выполнение задач ЕНТ, решаемых устно ;

3.Задание на соответствие;

4. Задание-2;

5. Тест

IV.Заверщающий этап

Домашнее задание.

Оценка знаний

Итог урока

Самооценочная карта

№	Фамилия и имя уч-ся	Баллы	Оценка
1	Домашнее задание ( )
2	Работа в парах «Найди пару»-(1балл)
3	Теория ( каждый правильный ответ по 1 баллу)
4	Устные задания (каждый правильный ответ по 1 баллу )
5	Задачи
6	Тест
9	Итоговые баллы( )

Ход урока.

1.Организационный момент-(3-4мин)

-приветствие

-Девиз урока :

Урок начнем с девиза «Никогда не беритесь за последующее ,не усвоив предыдущее»

И.П. Павлов

Так как нам предстоит изучение темы «Применение производной,которая важна,так же как сама производная при подготовке и сдаче ЕНТ-ы,поэтому необходимо обобщить и закрепить наши знания по теме производная функций

И так тема урока:Производная функций,ее геометрический и физический смысл. Уравнение касательной в заданиях ЕНТ

Задачи урока:

2.Проверка домашнего задания-на дом были заданы 10 тестовых заданий из сборников ЕНТ-ы 2015

-«Проверь себя”

Ответы домашнего задания (3мин.)

3.А теперь разминка.(5мин)

-раздаточный материал

Найдите соответствие между функцией и ее производным.Напишите ответ. Например: 1функция – ? производная.

Ответы на соответствие:

Ответы: 1-9; 6-3; 11-14;

16-19; 2-4; 7-18; 12-19;

17-13; 3-5; 8-17; 4-19;

5-19; 15-16; 10-20.

Вопросы теоретического материала(7мин)

1.Определение производной функций и алгоритм ее нахождения

2.Правила вычисления производных

3.Физический смысл производной

4.Геометрический смысл производной

5.Уравнение касательной к графику функций в точке с абциссой х

6.Как найти уравнение касательной ,проведенной к графику функций у= f(x) параллельно прямой y=кх+в

7.Нахождение координаты точек пересечения производной и касательной проведенной в точку касания

8.Как найти уравнение касательной, если она пересекает ось ординат и ось абцисс

9.Как найти угол наклона между касательной и графиком функций

10.Как найти угловой коэффициент

11.Как найти скорость ,ускорение, силу и кинетическую энергию с помощью производной функций

Устные задания (5мин)

Некоторые задания ЕНТ расчитаны на устные выполнения,что позволяет сэкономить время для решения более сложных заданий:

1.у=

2. у=(х²+1) (х²-1)

3. у=-

4.у=cos²x+sin²x

5 y=cos²x-sin²x

6.y=(x-2) (x²+2х+4)

7.y=

Ответы:

1.y´=4x³— 3x² 2.y´=4x³ 3. у^/= 4.y´=0 5.y´=-2sin2x

6.y´=3x² 7. у^/=

Тест

1.Найдите производную функций: f(x)=sin(x³+2)

A)3cos(x³+2) B)3sin(x³+2) C)x²(x³+2) D)3x²(x³+2) E) 3x²cos(x³+2)

2.В каких точках касательная,проведенная к графику функций у=

cостовляет с осью абцисс угол 60 ⁰

A) ( ; ) B) ( 😉 C) (1 ; 1 ) D) ( ) E) ( )

3. Найдите производную функций f(x)=(x⁵+2x³)⁹⁵

A)95(x⁵+2x³)⁹⁴ B)95(x⁵+2x³)⁹⁴ C)95(5x⁴+6x²)(x⁵+2x³)⁹⁴

D) (x⁵+2x³)⁹⁵ E)96(x⁵+2x³)⁹⁶

4. Найдите производную функций: f(x)= (-5x²)³²

A) -160(-5x²)³² B)-160(-5x²)³² C)-320(-5x²)³² D)8(-5x²)³² E)32(-5x²)³²

5.Дана функция: у=найдите у^/(х)

A) B — C) — D) E)

6. Найдите производную функций: f(x)=

A) B) C) D) E) —

7. Найдите производную функций:f(x)=(5x+6)⁸

A)5(5x+6)⁷ B)-8(5x+6)⁷ C)40(5x+6)⁷ D)13(5x+6)⁷ E)8(5x+6)⁸

8.Если y(x)=sin3x cos5x-cos3x sin5x,то y^/()равно:

A)-1 B)- C) D)1 E) —

9.Если f(x)=sin^{3 .} f^/()

A) B) C)1 D)2 E)

10. Тело движется прямолинейно по закону S(t)=4t-t² найдите скорость движения тела в момент времени t=1.75сек.

A)2,5м/с B)1м/с C)0,5м/с D)2м/с E)1,5м/с

Коды ответов:

1	Е
2	А
3	С
4	С
5	В
6	В
7	С
8	Д
9	В
10	С

Задачи :

Домашнее задание:задачи ЕНТ-2015год

Итог:

Изучение свойств и способов вычисления производных и их применение играет большую роль в развитий науки и техники.Это основа предмета ВУЗа –дифференциальное исчисления,механика.Необходимо для решения задач ЕНТ по физике, геометрии.

Материал этого урока поможет вам успешно выполнить задания при подготовке к ЕНТ.а также успешному усвоению следующего раздела: «Применение производных функций».

Урок окончен,

Спасибо за внимание!

Сегодня на уроке я узнал…»

«Сегодня на уроке я научился…»

«Сегодня на уроке я познакомился…»

«Сегодня на уроке я повторил…»

«Сегодня на уроке я закрепил…»

Письменная работа

Карточка №1 (уровень сложности А)

1 Найдите производную функции:

у = 4х⁴ — х⁵ + х² -3х

у = (х + 4)³

у =

Карточка №2 (уровень сложности В)

1 Найдите производную функции:

у = —

у = sin(2х² + 3)

3. Решите уравнение: f ‘ (x) = 0, если f (x) = —

Карточка №3 (уровень сложности С)

Найдите производную функции:

у =

у = arctg 2x

Самооценочная карта

№	Фамилия и имя уч-ся	Баллы	Оценка
1	Домашнее задание ( )
2	Работа в парах «Найди пару»-(1балл)
3	Теория ( каждый правильный ответ по 1 баллу)
4	Устные задания (каждый правильный ответ по 1 баллу )
5	Задачи
6	Тест
9	Итоговые баллы( )

Самооценочная карта

№	Фамилия и имя уч-ся	Баллы	Оценка
1	Домашнее задание ( )
2	Работа в парах «Найди пару»-(1балл)
3	Теория ( каждый правильный ответ по 1 баллу)
4	Устные задания (каждый правильный ответ по 1 баллу )
5	Задачи
6	Тест
9	Итоговые баллы( )

Самооценочная карта

№	Фамилия и имя уч-ся	Баллы	Оценка
1	Домашнее задание ( )
2	Работа в парах «Найди пару»-(1балл)
3	Теория ( каждый правильный ответ по 1 баллу)
4	Устные задания (каждый правильный ответ по 1 баллу )
5	Задачи
6	Тест
9	Итоговые баллы( )