Какое наименьшее натуральное число надо вычесть из 1000 чтобы получить число все цифры которого различны: Какое наименьшее натуральное число надо вычесть из 1000, чтобы получить число, все цифры которого различны? а-11,б-12,в-13,г-103,д-211

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ

Home Page URL: http://suhin.narod.ru

© 2001-2006 Сухин И.Г. Все права защищены.

Обновление от 13 марта 2006 года.

109 (число)

Самое маленькое число, которое палиндромно по основаниям 5 и 9.
Предыдущее простое число — 107. Эти два числа являются простыми числами-близнецами
29-е простое число а также простое число Чена.
Является центрированным треугольным числом

1. В других областях
Messerschmitt Bf.109 — одномоторный поршневой истребитель-моноплан, стоявший на вооружении люфтваффе перед и во время Второй мировой войны
Земля примерно в 109 раз меньше Солнца
109 год до н. э.
Читается как «Log» на языке Leet
ASCII-код символа «m»
109 год.
Годао 109 国道 109, G109 — китайская федеральная трасса Пекин — Лхаса.

• 109 сто девятый год по юлианскому календарю — невисокосный год, начинающийся в понедельник. Это 109 год нашей эры, 109 год 1 тысячелетия, 9 год II века
• Мессершмитт Bf 109 нем. Messerschmitt Bf 109 традиционное для СССР написание — Ме — 109 — одномоторный поршневой истребитель — низкоплан, состоявший на
• Координаты: 11ч 57м 35.98с, 53 22 28.27 Messier 109 англ. M 109 NGC 3992, рус. Мессье 109 другие обозначения — NGC 3992, UGC 6937, MCG 9 — 20 — 44
• STS — 109 — космический полёт MTKK Колумбия по программе Спейс Шаттл 108 — й полёт программы предпоследний полёт Колумбии Шаттл стартовал 1 марта
• сто восемь — натуральное число расположенное между числами 107 и 109 Среднее между двумя простыми близнецами 107 и 109 Внутренний угол правильного
• 110 сто десять — натуральное число расположенное между числами 109 и 111. 110 — число харшад 110 — сумма трех членов последовательности квадратов:
• Центрированное треугольное число — это центрированное полигональное число которое представляет треугольник с точкой в центре и все остальные окружающие
• Вильсона Первые числа — близнецы: 3, 5 5, 7 11, 13 17, 19 29, 31 41, 43 59, 61 71, 73 101, 103 107, 109 137, 139 149
• девять — натуральное число расположенное между числами 8 и 10. Первое нечетное составное число Квадрат числа 3 Пятое триморфное число 109 называется миллиард
• Число Оре — натуральное число среднее гармоническое делителей которого является целым числом Введено Ойстином Оре в 1948 году. Первые несколько чисел
• Псевдопростое число Составное число называется псевдопростым, если оно удовлетворяет некоторому необходимому но не достаточному условию простоты числа то есть

• включая себя числа больше самого числа но сложением подмножества делителей нельзя получить само число Самое маленькое странное число — 70. Его делители:
• Сто девятый псалом — 109 — й псалом из книги Псалтирь в масоретской нумерации — 110 — й Подзаголовок Псалом Давиду Известен по латинскому инципиту Dixit
• даёт опять чётное число добавление 3 даст делящееся на 3 число и так будет продолжаться вплоть до 18. Добавление 19, однако, даёт число 510529, которое
• последовательности суперпростых чисел: 3, 5, 11, 17, 31, 41, 59, 67, 83, 109 127, 157, последовательность A006450 в OEIS Робертом Дреслером англ
• Простое число — натуральное целое положительное число имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя. Другими словами, число x
• тетраэдральное число. 84, 165 15 — е треугольное число 105, 136 Факториал числа 5. 24, 720 120 — наименьшее число которое можно представить в виде суммы
• NGC 109 другие обозначения — UGC 251, MCG 4 — 2 — 20, ZWG 479.31, KCPG 8B, NPM1G 21.0018, PGC 1633 — спиральная галактика с перемычкой SBa в созвездии
• Суперчисло Пуле — это число Пуле то есть псевдопростое число Ферма по основанию 2 любой делитель d которого делит 2d 2. Если составное число является псевдопростым
• 67 113, 71 109 73 107, 79 101, 83 97 168, 210 180 год 180 год до н. э. NGC 180 — галактика в созвездии Рыбы Число 180 — злое число серии фильмов
• Lotus 109 — гоночный автомобиль Формулы — 1, последнее шасси команды Team Lotus, выступавшее в сезоне 1994 года.
• 1941 109 — я моторизованная дивизия — общевойсковое соединение моторизованная дивизия РККА ВС СССР, до и во время Великой Отечественной войны. 109 — я стрелковая

• невозможностью в общем случае вычесть из одного натурального числа другое — можно вычитать только меньшее число из большего. Введение нуля и отрицательных чисел делает
• Счастливое число англ. happy number — число определённое следующим процессом: начиная с любого положительного целого числа мы заменяем это число суммой
• 101 109 103 107 Оно же является наименьшим числом для которого существует по крайней мере 15 таких способов 180, 300 . Известно, что число различных
• последовательность A000045 в OEIS в которой первые два числа равны либо 1 и 1, либо 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Названы в
• Вероятно простое число — это число которое проходит тест простоты. Сильное вероятно простое число — это число которое проходит сильную версию теста
• Мейтнерий — химический элемент с атомным номером 109 Принадлежит к 9 — й группе периодической таблицы химических элементов по устаревшей короткой форме
• 59 61, 67 67, 73 73, 79 83, 89 97, 103 101, 107 103, 109 107, 113 131, 137 151, 157 157, 163 167, 173 173, 179
• Простое число Пифагора — это простое число вида 4n 1. Простые числа Пифагора представимы в виде суммы двух квадратов отсюда и название чисел — по аналогии

109 число: нумерология счастливые числа, неудачные номера квартир

Reuters: число жертв извержения вулкана в Ваше Слово.

Число жертв извержения вулкана Фуэго в Гватемале увеличилось до 109. Как передает Reuters, последствия затронули около 2 млн. Grammy сократит число номинаций с 109 до 78 google — info.org. Трамп изменил число поразивших цели в Сирии умных ракет., 23: Мы выпустили 109, и 109 попали в цель, – сказал он. Какое число было n дней недель, месяцев, лет назад. Узнать как пишется десятичное число 109 в двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной и других системах счисления, онлайн сервис перевода.

Число 109.

Angel Number 109 FREE NUMEROLOGY REPORT. com reading SUBSCRIBE to my channel for more videos covering meaningful life. 109. ВАЛИД ШАБАТ СЕМЬ стран в войне против Антихриста. Так как цифр всего десять, то говорят, что основание десятичной системы – число 10. Для примера возьмем число 1234. Чтобы определить вес каждой. Число первоклассников в Москве достигнет 109 тыс. человек. Число 109 прописью: сто девять. Число 109 прописью: сто девять 109. Для копирования в буфер обмена: сто девять. Правила записи чисел прописью. Число жертв извержения вулкана в Гватемале выросло до 109. Число погибших в результате извержения вулкана Фуэго в Гватемале возросло до 109 человек. Ранее сообщалось о 99 погибших.

Число 109 прописью словами Цифры прописью.

5 дек 2009 По информации Следственного комитета при прокуратуре, РФ число жертв пермской трагедии достигло 109 человек. По данным на. В Гватемале число жертв извержения вулкана выросло до 109. 15 ч. назад 109 дорожных знаков заменят в Раменском г.о. Также наибольшее число обращений направлено в администрации Реутова 175,. Занятия с 9 классом по программированию Олимпиады по. Число персональных компьютеров на 100 домашних хозяйств. 2, единиц 12, Костромская область, 54, 58, 80, 91, 102, 112, 114, 115, 109. 13, Курская. Решение задачи №1111 Число десятков с ACMP Izi learn. 5 дн. назад Число погибших при возгорании в жилом доме в Ростове Ярославской области 109 УК РФ, говорится на сайте ведомства.

Число 109 – Значение цифр в числе 109 по ангельской.

Материал из раздела разработки и конспекты уроков от 27.07.2018 – Урок 109. Деление на однозначное число доступен для бесплатного просмотра и. Во сколько раз число 441559 больше числа 109 Абитуриент.про. БАКУ, 2 авг Sputnik. Число погибших в результате наводнений в Пакистане увеличилось до 109 человек, сообщает агентство DPA со. Алгебра Как Представить Число 109 В Виде Произведения. Дано число. Разложите его на простые множители. Пример: 12 это 2 3 каждый множитель является простым числом. А вот 12 4 3. 109 Какое число задумали, если в нем не хватает трех Ngenix. Ответ: Число 441 559 больше числа 109 в четыре тысячи пятьдесят один раз, число 306 меньше числа 674 730 в две тысячи двести. Нижний Новгород вошел в число самых комфортных городов. 5 дек 2009 НИЖНИЙ НОВГОРОД, 5 дек РИА Новости, Сергей Астафьев. Число жертв пожара, который произошел в ночь на субботу в пермском. Число 108 в буддизме какое у него сакральное значение?. 18 ч. назад Ввод Т 109 в работу обеспечил прорыв в развитии регулируемое сопло, что позволило непрерывно изменять число М от 0.4 до 4.0.

CT586 CONTITECH 109 число зубов, длина 1038мм. ход зуба.

Бога Ангелов исцеление уверенность. Продолжительность. 109. ВАЛИД ШАБАТ СЕМЬ стран в войне против Антихриста ислам и число 666. Сегодняшнее число – Газета Коммерсантъ № 109 5619 от. Меры по сохранению популяции амурских тигров в Хабаровском крае помогли увеличить в 1.5 раза количество представителей. Какое число будет следующим в последовательности чисел 4 11 25 53. Автомобильный ремнь ГРМ 109 число зубов, профиль зуба HTD. Длина ремня 1038 мм. Ход зуба ремня 9.525 мм. Ширина ремня 22 мм. В регионах РФ растет число желающих стать губернаторами. ТАСС, 8 июня. Число погибших в результате начавшегося 3 июня извержения вулкана Фуэго в Гватемале увеличилось до 109. Об этом сообщило в. Практические рекомендации по лекарственному лечению. Ниже представлены результаты склонения числа 109 по всем падежам. Число жертв наводнений в Пакистане увеличилось до 109 человек. И гриппом число госпитализаций по сравнению с предыдущей неделей пройти вакцинацию читайте на сайте СПБ ГБУЗ Поликлиника № 109.

109. Укажите наименьшее целое число, которое не является.

Сума трьох чисел 1000. Перше число дорівнює 245, це на 109 менше, ніж друге число. На скільки третє число більше, ніж перше?. Найдите неизвестное число:и а 109 897. На доске написаны все пятизначные числа, в десятичной записи четырехзначных числа, разность между которыми равна 109?. Разложение на простые множители. А ведь в природе есть и более серьезные бензины с октановым числом 102, 106 и даже 110! Их на АЗС не купишь только в. Значение числа 109 в нумерологии: основные свойства и. Число n называется кратным некоторому натуральному числу p, если оно нацело делится на p. При этом говорят что n кратно p. Признаки делимости. Числа словами Число 109 словами, прописью на разных языках. Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого надо: 1 найти частное этих чисел Сколько процентов составляет 5 от 109???.

Таблица, дорога, числа Не решается алгебра высшая.

Дано целое число x 99. Через 10 лет число автомобилей с ИИ возрастет на 109 % Хайтек. Как пишется число 109 прописью онлайн сервис перевода числа в строку. Написать число 109 словами. 109 число ФОРУМ НА ЦУГУНДЕРЕ для всех забаненных. Кисследованию этих типов числа мы теперь и обратимся. 4 ЭНЕРГИЙНО ЭМАНАТИВНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ. 8 109, Алгебранческое число. 1. 109 сто девять. натуральное нечетное число. 29е простое. Песчаная буря, сопровождавшаяся сильным ливнем и ураганом, привела к гибели почти 110 человек в Индии, передает The Indian. Число 109, сто девять. разложение числа 109 на простые. 94 109. Глава 6. Правительствo Рoссийской Федерaции ст. 110 117 голосов от общего числа членов Совета Федерации, если иной порядок. Сума трьох чисел 1000. Перше число дорівнює 245, це на 109. 109 школ Москвы и Московской области попали в число 200 лучших школ России для поступления в ведущие вузы страны.

Reuters: число жертв извержения вулкана в Гватемале ТАСС.

МЕХИКО, 8 июн – РИА Новости. Число жертв извержения вулкана Фуэго в Гватемале выросло до 109 человек, сообщил в четверг. Число 109 прописью. ГДЗ к 109. Укажите наименьшее целое число, которое не является решением неравенства решение и ответ. Простые и составные числа, таблица простых чисел, решето. Калькулятор календарь, рассчитывающий дату, которая была указанное время назад. Глава 5. Федеральное Собрание Конституция Российской. Калькулятор процентов поможет вам рассчитать процент от числа, вычислить отношение двух чисел, узнать на сколько нужно увеличить уменьшить.

Число погибших при извержении вулкана в Гватемале достигло.

21 июл 2007 Министерство образования и науки России определило 3000 российских школ победителей конкурсного отбора инновационных. Число 327 триста двадцать семь. Узнать как пишется цифра 109 прописью, онлайн сервис перевода числа в строку google — info.org. Просто введите число в форму и увидите как оно. CONTITECH CT1008 109 число зубов, длина 1038мм. ход зуба. Натуральное число 109, все его делители, сто девять, разложение числа 109 на множители, остаток от деления и т.п. Среднее число детей от 7 до 15 лет, обучающихся в детских. 109 сто девять 106 107 108 109 110 111 112 Факторизация: Простое Римская запись: CIX Двоичное: 1101101 Восьмеричное: 155.

109 число смотреть онлайн видео в отличном качестве и без.

В Гватемале в результате извержения вулкана Фуэго, начавшегося третьего июня, погибли уже 109 человек, передает ТАСС. Число 109 прописью словами. Если перед началом очередного курса число нейтрофилов составляет менее. 0.5 × 109 л или число тромбоцитов составляет менее 50 × 109 л,. Число жертв извержения вулкана в Гватемале возросло до 109. Спасатели достали на поверхность 109 тел погибших в результате крушения теплохода Булгария на Волге. Такие данные на. Калькулятор процентов. Рассчитать процент от числа google — info.org. Определены простые и составные числа, приведены примеры простых и Таким образом, любое из простых чисел, меньших 109, потенциально. Что такое кратное число? Ответ на google — info.org. Пожарным удалось ликвидировать все очаги возгорания. Пожар, пришедший в Забайкальский край из Монголии, уничтожил 109 домов.

Число погибших из за песчаной бури в Индии возросло до 109 RT.

109 сто девять натуральное число, расположенное между числами 108 и 110. В математике 29 е простое число а также простое. 41. Правило извлечения квадратного корня из натурального числа. Получив на вход число x, этот алгоритм печатает число M. Известно Это число 88 при L 88 x 88 21 109, если же взять меньше, т.е. Число 109 в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной. Зачастую при подготовке документов необходимо представить число прописью. Например, число 121 прописью должно выглядеть как Сто двадцать. Число 109 прописью google — info.org. Назови предыдущее число 56 487 89 5 76 109. презентация. Презентация была опубликована 4 года назад пользователемГавриил Терпигорев. Число жертв крушения Булгарии достигло 109 человек. В качестве примера разложим число 1463 на простые множители с 4, 31, 71, 109, 163 Число 1463 делим на 7, в результате получаем 209. 109. Алгебраическое число. Число 109 1 0 9 100 1, рождение нового круга познания в новом теле. Так имея число 109, когда вы начинаете погружаться для работы в физическом.

Число погибших при пожаре в Перми достигло 109 человек.

5 дек 2009 Число погибших во время пожара в пермском клубе Хромая лошадь выросло до 109 человек. Ранее глава МЧС РФ Сергей Шойгу. Число уничтоженных пожаром в Забайкальском крае домов. Простое число это целое число положительное из разряда 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, …. Число детей, заболевших в Ростове на Дону, выросло до 109. 5 дек 2009 5 декабря. IFX News Количество погибших при пожаре в клубе Хромая лошадь в Перми достигло 109 человек, сообщил в субботу. В Волгоградской области 109 700 детей получали дошкольное. Друзья, в этой статье мы расскажем вам про число 108 в буддизме что оно Каждый круг мантр повторяется 108 раз, а 109 я бусинка.

число 109, числа 109, ae109, 109 число, number 109

Дата публикации:

Дата последнего обновления:

Большая энциклопедия школьника

Большая энциклопедия школьникауникальное издание, содержащее весь свод знаний, необходимый ученикам младших классов. Для детей, собирающихся в 1-й класс, она послужит незаменимым помощником для подготовки к школе. В этой энциклопедии ребенок сможет найти любую интересующую его информацию, в понятном и простом для него изложении. Вы подбираете слова и определения для простых вещей, которые надо объяснить ребенку? Сомневаетесь в формулировках? Просто возьмите «Большую энциклопедию школьника» и найдите нужный ответ вместе с малышом!

Математика в стихах
Развитие речи
Азбука в картинках
Игры на развитие внимания
Как правильно выбрать школу
Ваш ребенок левша
Как готовить домашнее задание
Контрольные и экзамены

Большая энциклопедия школьника — это твой надёжный путеводитель в мире знаний. Она проведёт сквозь извилистые лабиринты наук и раскроет завесу великих тайн Вселенной. С ней ты поднимешься высоко к звёздам и опустишься на дно самых глубоких морей, ты научишься видеть мельчайшие организмы и осязать огромные пространства Земли. Отправившись в это увлекательное путешествие, ты значительно расширишь свой кругозор и поднимешься на новую ступень развития. Отныне никакие вопросы учителей не смогут поставить тебя в тупик, ты сможешь найти выход из любой ситуации. Мир знаний зовёт тебя. В добрый путь!

Проект на тему «Натуральные числа»

В процессе работы над индивидуальным исследовательским проектом по математике на тему «Натуральные числа» автором была поставлена цель, выяснить, как сформировалось у людей первое представление о натуральных числах и как оно изменялось с развитием науки математики, дается обоснование определениям «натуральные числа» и «системы счисления».

Подробнее о работе:

Учебная исследовательская работа по математике на тему «Натуральные числа» подробно описывает свойства сложения и вычитания, умножения и деления натуральных чисел, описывает занимательные факты о натуральных числах. В исследовательской работе автор приводит решение задач и примеров с натуральными числами на каждое математическое действие и выдвинутые гипотезы.

Оглавление

Введение
1. Натуральные числа.
1.1. Причины возникновения натуральных чисел.
1.2. Системы счисления.
2. Действия над натуральными числами и их свойства.
2.1. Свойства сложения и вычитания.
2.2. Умножение натуральных чисел и его свойства.
2.3. Делимость натуральных чисел и его свойства.
2.4. Простые и составные числа.
3. Занимательные факты о натуральных числах.
Заключение
Список использованной литературы

Введение

Для таких чисел используют специальное название – натуральные числа.

В рамках школьной программы история математики изучается поверхностно. Мы мало знаем о происхождении тех или иных терминах и математических понятиях. Понятие натуральных чисел не имеет чёткого и безупречного определения, но математики долгое время опираются на него при определении других важных понятий. Кажется, что человеку всегда приходилось складывать, вычитать, умножать и делить, т.е. числа всегда сопровождали человека по жизни. Но как появились первые натуральные числа, почему они возникли, и какую роль играют в жизни человека?

На эти вопросы я попыталась ответить в своей работе.

Я поставила перед собой цели:

1. Выяснить, как сформировалась у людей первое представление о натуральных числах, как оно изменялось с развитием науки математики.
2. Изучить необычные и ранее неизвестные факты о натуральных числах.
3. Изучить теоретический материал по теме работы.

Для достижения поставленных целей необходимо было решить следующие задачи:

1. Ознакомиться с литературой о натуральных числах.
2. Обобщить полученные знания в своей работе.

Объект: натуральные числа.

Предмет: математические действия с натуральными числами.

Причины возникновения натуральных чисел

Натуральные числа – это первая числовая система, с которой встречается человек в своей жизни. Простейший вид чисел — натуральные числа — исторически возник из потребностей счета: одна лодка, два человека, три дерева и т.д.

Лишь на достаточно высоком интеллектуальном уровне было осознано, что у конкретных предметных групп «два камня», «две птицы» и «две руки» есть нечто общее: «два». Абстрактные, отвлеченные числа позволяли сравнивать количество предметов в разных группах, что имело важное значение при обменных операциях типа «раковина за орех».

Число — важнейшее понятие математики. Потребовалось несколько тысячелетий, чтобы это понятие приобрело тот вид, который в настоящий момент признается удовлетворительным для большинства математиков. Однако в соответствующих формулировках используется профессиональный язык такого высокого уровня, что попытка передать их точный смысл «простыми и понятными словами» безнадежна. Приходится довольствоваться лишь общими описаниями.

Числа 1,2,3,4,5,6,7,8,9, использующиеся для счета предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов, называют натуральными.

Системы счисления

Пальцы на руках установили первый предел счёта: десять. Принцип группировки по десять позволял охватывать все большие количества предметов, объединяя их в новые единицы счета: десять десятков — сотня, десять сотен — тысяча, дальше десяти тысяч обыденный разум не заглядывал. Так сформировалась десятичная система счисления.

Она позволяла с помощью небольшого количества слов называть все встречающиеся числа: например, триста шестьдесят пять — это три сотни и шесть десятков и пять единиц. Не у всех народов десяток стал основным числом счета: одни осознали в качестве первой границы пять (пальцы одной руки), другие — двадцать (все пальцы на руках и на ногах), в Вавилоне употреблялась система с загадочным основанием шестьдесят, в согласии с ней мы до сих пор делим окружность на триста шестьдесят градусов и измеряем время: в часе — шестьдесят минут, в минуте — шестьдесят секунд. Но в конце концов десятичный принцип стал общепризнанным.

С появлением письменности возникла проблема записи чисел. Древние греки и евреи применяли алфавитную систему нумерации: числа от единицы до девяти, а затем все десятки и сотни обозначались буквами в порядке алфавита, над которыми ставилась черта.

Создатели славянского письма перенесли этот прием на новую почву: знаки кириллицы, соответствовавшие греческим буквам, получили те же числовые значения (но алфавитный порядок при этом нарушился), сверху ставилось титло. Таким образом, приходилось запоминать 27 (проверьте) числовых знаков — цифр.

Числа 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 – эти числа называются арабскими.

В древности числа записывали палочками: II- один, IIIII — пять, IIIIIIIIII- десять и т.п. Но это было неудобно, и люди искали и находились другие, каждый раз все более современные способы записи чисел. В Западной Европе вплоть до XVIII века в официальных документах применялась римская буквенная нумерация.

Числа записывали при помощи букв латинского алфавита: I-1, V-5, X-10, L-50, C-100, D-500, M-1000. Число также записывалось в виде последовательности цифр, но из эстетических соображений запрещалось четырехкратное повторение одной и той же цифры. Так что числа 4, 9, 40, 90, 400, 900 обозначались соответственно как IV, IX, XL, XC, CD, CM,- меньшая по значению цифра оказывалась левее большей (но часовщики упорно писали на циферблатах IIII, чтобы не путать с шестеркой VI).

В настоящее время римские цифры обычно применяются при нумерации глав и разделов книги, месяцев года, для обозначения дат, в порядковых номеров, значительных событий, годовщины. Примеры: 31.XII, Сонет CCLXIX.

Любое натуральное число в десятичной системе записывают с помощью цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Например, запись 2457 означает, что 2-цифра тысяч, 4- цифра сотен, 5- цифра десятков, 7-цифра единиц; то есть 2457 = 2*1000+4*100+5*10+7. Вообще, если, а – цифра единиц, b – цифра сотен, с – цифра десятков, d – цифра единиц, то имеем а*1000+b*100+с*10+d.

Сначала математические операции «обыгрываются» на реальных предметах и тем самым формируют у людей представление о натуральных числах, как о числах, употребляющихся для счёта. Строгое определение натуральных чисел производиться аксиоматически.

В основе любой аксиоматики натуральных чисел лежит, по сути, одно присущее им свойство – «следовать за».

1. Единица – натуральное число, которое не следует ни за каким натуральным числом.
2. За каждым натуральным числом следует одно и только одно натуральное число.
3. Каждое натуральное число, отличное от 1, следует за одним и только одним натуральным числом.
4. Совокупность натуральных чисел, содержащая число 1, а вместе с каждым числом и следующее за ним число, содержит все натуральные числа. Множество натуральных чисел обозначается N:N ={1, 2, 3… n:.. }

Множество натуральных чисел имеет наименьший элемент – 1, но неограниченно сверху.

В наше время почти все народы пользуются счётом десятками, сотнями, тысячами, то есть десятичной системой счисления. В ней значение цифры зависит от позиции, которое оно занимает в записи числа. Поэтому такую систему счисления называют позиционной. В тёплых странах Африки и Америки, где люди ходили босыми, для счёта применялись не только пальцы рук, но и пальцы ног.

Получался счёт двадцатками. Позиционная система записи чисел арабскими цифрами получила широкое распространение в Европе со второй половины XV века. Она оказалась значительно удобнее и проще римской нумерации, которая позиционной не является. С помощью позиционной системы легко записываются как малые, так и большие числа.

Значение цифры зависит от её места в записи числа. Например, цифра 6 означает:

• 6 единиц, если она стоит на последнем месте в записи числа (в разряде единиц).
• 6 десятков, если она стоит на предпоследнем месте (в разряде десятков).
• 6 сотен, если она стоит на третьем месте от конца (в разряде сотен).

Цифра 0 означает отсутствие единиц данного разряда в десятичной записи числа. Она служит и для обозначения числа «нуль». Это число означает, ни одного. Счёт 0:10 волейбольного матча говорит о том, что первая команда не забила ни одного гола в сетку противника. Нуль не относят к натуральным числам.

Для чтения многозначных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по три цифры в каждой (самая левая группа может состоять из одной или двух цифр). Эти группы называют классами. Три первые цифры справа составляют класс единиц, три следующие – класс тысяч, далее идут классы миллионов, миллиардов и т. д.

Миллион – это тысяча тысяч (1000 тыс.), его записывают 1 млн или 1 000 000.

Миллиард – это 1000 миллионов. Его записывают 1 млр или 1 000 000 000. Чтобы прочитать число, называют слева по очереди число единиц каждого класса и добавляют название класса. Не произносят название класса единиц, а также класса, все три цифры которого – нули.

Немало различных способов записи чисел было создано людьми. В Древней Руси числа обозначали буквами с особым знаком «-» (титло), который писали над буквой. Первые девять букв алфавита обозначали единицы, следующие девять букв – десятки, а последние 9 букв – сотни. Число 10 тысяч называли словами «тьма» (и теперь мы говорим: народу – тьма тьмущая).

Современная достаточно простая и удобная десятичная система записи чисел была заимствована европейцами у арабов, которые в свою очередь переняли у индусов. Поэтому цифры, которыми мы считаем, пользуемся, европейцы называют «арабскими», а арабы – «индейскими». Эта система была введена в Европе примерно в 1120 году английским учёным – путешественником Аделардом.

К 1600 году она была принята в большинстве стран мира. Русские названия чисел тесно связаны с десятичной системой счисления. Например, пятнадцать означает «пять на десять», пятьдесят – «пять десятков», а пятьсот – «пять сотен».

Действия над натуральными числами и их свойства

Если м,n – натуральные числа, то р = m+n – тоже натуральное число, м и n – слагаемые, р – сумма, р = mn – тоже натуральное число, м,n – множители, р – произведение.

Справедливы следующие свойства сложения натуральных чисел:

Переместительное свойство – это когда сумма чисел не изменяется при перестановке слагаемых.

Например: 2+8=10, 8+2=10; а+b=b+а.

Сочетательное свойство – это когда нужно прибавить к числу сумму 2х чисел. Надо сначала прибавить I слагаемое, а потом к полученной сумме – второе слагаемое.

Например: 2+(5+3)=2+8=10

(2+5)+3=7+3=10

(а+b)+с=d+(b+с)=(а+с)+b.

Натуральные числа также можно вычитать. Вычитание – это действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое. Число, из которого вычитают называется уменьшаемым, а число, которое вычитают – вычитаемым. Результат вычитания называют разностью.

При вычитании 10-2=8, число 10 – уменьшаемое, 2 – вычитаемое, 8 – разность. При действиях с натуральными числами уменьшаемое не может быть меньше вычитаемого. Разность 2х чисел, показывает, на сколько первое число больше второго, или на сколько второе число меньше первого.

Свойства вычитания

1. Свойство вычитания суммы из числа.

Чтобы вычесть сумму из числа, надо вычесть из числа первое слагаемое, а потом из полученной разности – второе слагаемое.

Например: (6+3)-2=9-2=7

6+(3-2)=6+1=7

(6-2)+3=4+3=2.

2. Свойство вычитания числа из суммы.

Чтобы из суммы вычесть число, надо вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое.

Вычитаемое число должно быть меньше слагаемого, из которого его вычитают, или равно ему. Это свойство называют свойством вычитания числа из суммы.

3. Если из числа вычесть нуль, оно не изменится.

Например: 6-0=6

6+0=6.

4. Если из числа вычесть это число, получится нуль.

Например: 6-6=0.

Число, получаемое в результате выполнения всех указанных действий в числовом выражении, называют значением этого выражения. При решении задач записывают действия, а потом их выполняют. Полученные записи называют числовыми выражениями.

Например: 980+(980+50)=2010, 2010 – значение этого выражения.

Выражение, содержащее буквы, называют буквенным выражением. Числа, которыми заменяют букву, называют значениями этой буквы.

Буквенная запись свойств сложения и вычитания

Свойства сложения и вычитания можно записать с помощью букв.

1. Переместительное свойство сложения записывается так: а+b=b+а. В этом равенстве буквы а и в могут принимать любые натуральные значения и значение 0.

2. Сочетательное свойство сложения записывается так: а+(b+с)=а+b+с=а+b+с. Здесь, а, в, с – любые натуральные числа или нуль.

3. Свойство нуля при сложении записывается так: а+0=0+а=а. Здесь буква а может иметь любое значение.

4. Свойство вычитания суммы из числа записывается так: а-(b+с)=а-b-с. Здесь b+с<а или b+с=а.

5. Свойство вычитания числа из суммы записывается так: (а+b)-с=а+(b-с), если с<b, или с=b. (а+b)-с=(а-с)+b, если с<а или с=а.

6. Свойство нуля при вычитании записывается так: а-0=а, а-а=0. Здесь а может принимать любые натуральные значения и значение 0.

Умножение натуральных чисел и его свойства

1. Произведение 2х чисел не изменяется при перестановке множителей. Это свойство умножения называют переместительным. Например:

(5*3)*2=15*2 и 5*(3*2)=5*6. Одно и тоже значение 30. Значит 5*(3*2)=(5*3)*2.

2. Чтобы умножить число на произведение 2х чисел, надо сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель. Это свойство умножения называется сочетательным. d*(b*с)=(а*b)*с, 2*(3*с)=(2*3)*с. Сумма n слагаемых, каждое из которых равно 1, равна n. Поэтому верно равенство 1*n=n. Сумма n слагаемых, каждое из которых равно нулю, равна нулю. Поэтому равенство верно 0*n=0. Перед буквенным множителем обычно знак умножения не пишется, вместо 2*х пишут 2х.

Опускают знак умножения и перед скобками 2*(а+b) пишется 2(а+b). Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняется по порядку слева направо.

Делимость натуральных чисел и его свойства

Деление – это действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей, находят другой множитель. 32:2=16. Число, которое делят называют делимым. Число, на которое делят, называют делителем, результат деления называют частным. Частное показывает, во сколько раз делимое больше, чем делитель.

Ни одно число нельзя делить на нуль.

• При деление любого числа на 1 получается это же число.
• При деление числа на это же число получается единица.
• При делении нуля на число получается нуль.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на другой множитель.

Например: х:8=13

х=13*8=104, х – произведение множителей 8 и 13.

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель, 42:х=6 42 – произведение множителей 6 и х, то есть 6х=42.

Деление одного натурального числа на другое нацело не всегда возможно, 22:4=5(2). Число 22 здесь делимое, 4 – делитель, 5 – неполное частное, и 2 остаток. Остаток всегда меньше делителя 2<4. Если остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка. Чтобы найти делимое при делении с остатком, надо умножить неполное частное на делитель и к полученному произведению прибавить остаток. Например: 22=(5*4)+2.

При делении m:n=k говорят, что m – делимое, n– делитель, k– частное число m называют также кратным числа n, а число n– делителем числа m. Если m – кратное числа n, то существует натуральное число k такое, что m=kn.

1. Чтобы найти наибольший делитель нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители и найти произведение общих простых множителей, взяв каждый из них с наименьшим показателем.

2. Пусть даны числа 72 и 96. Выпишем все делители числа 72: 1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72. Выпишем все делители числа 96: 1,2,3,4,6,8,12,24. Среди выписанных чисел есть одинаковые: 1,2,3,4,6,8,12,24. Все эти числа называют общими делителями чисел 72 и 96, а наибольшим среди них – наибольшим общим делителем.

Например: Найти Д (3780, 7056)

Решение

3780=22*33*5*7

7056=24*32*72

Тогда Д (3780, 7056)=22*32*7, взяты простые множители, которые входят и в разложение числа 3780, и в разложение числа 7056.

Итак, Д(3780 и 7056)=252.

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители и найти произведение всех получившихся простых множителей, взяв каждый из них с наибольшим (из имеющихся) показателем.

Например. Пусть даны числа 12 и 18.

Кратные 12: 12,24,36,48,60,72.

Кратные 18: 18, 36,54,72.

Среди выписанных чисел есть одинаковые: 36,72. Все эти числа называют общими кратными чисел 12 и 18, а наименьшее из них число – 36 – называют наименьшим общим кратным чисел 12, 18.

Например: k(3780, 7056)

Решением имеем 3780=22*33*5*7

7056=24*32*72

Тогда k(3780, 7056)=24*32*72, то есть взяты все простые множители, которые входят в разложения хотя бы одного из чисел 3780 и 7056. Итак, k(3780,7056)=105840. Наименьшее общее кратное 2х взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.

3. Например, найти Д (148,60,72). Разложим на простые множители каждого из данных чисел: 48=24 *3, 60=22*3*5, 72=23*32. Значит Д(48,60,72)=22*3. Получим: Д(48,60,72)=12.

Простые и составные числа

Для простых чисел – это разложение состоит только из самого числа. Если натуральное число составное, то можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей. 19=1*19 При разложении чисел на простые множители используются признаки делимости и применяется запись столбиком, при котором делитель располагается справа от вертикальной черты, а частное записывается под делимым. Так, для числа 360 эта запись будет выглядеть следующим образом:

Это и есть основная теорема арифметики.

Из чисел с помощью знаков, арифметических действий и скобок составляют числовые выражения. Если в числовом выражении выполнить указанные действия, соблюдая принятый порядок, то получится число, которое называют значением выражения.

В некоторых случаях, не производя деления натурального числа m на натуральное число n можно ответить на вопрос: выполнимо деление m на n без остатка или нет? Ответ на этот вопрос можно получить с помощью различных признаков делимости:

Теорема 1. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число (теорема о делимости суммы). Не следует, однако, думать, что если каждое слагаемое суммы не делится на какое – то число, то и сумма не делится на это число. Например, сумма 37+19 делится на 4, хотя ни 37, ни 19 не являются кратными числа 4. Заметим, однако, что если все слагаемые, кроме одного, делятся на некоторое число, то сумма не делится на это число.

Теорема 2. Если в произведении один из множителей хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число (теорема о делимости произведения). Например, не выполняя умножения, можно утверждать, что произведение 105*48*93*54 делится на 5, так как 105 делится на 5.

Теорема 3. Натуральное число делится на 2 тогда, и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2 или равна нулю (признак делимости на 2). Числа, делящие на 2, называются честными и составляют множество честных натуральных чисел.

Теорема 4. Натуральное число делится на 5 тогда, и только тогда, когда его последняя цифра либо 0, либо 5 (признак делимости на 5).

Теорема 5.Натуральное число делится на 19 тогда, и только тогда, когда его последняя цифра 0 (признак делимости на 10).

Теорема 6. Натуральное число, содержащее не менее 3х цифр, делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа (признак делимости на 4). Например, число 15436 делится на 4, так как число 36 делится на 4. Число 372506 не делится на 4, так как 06, то есть 6 не делится на 4.

Теорема 7. Натуральное число делится на 3 тогда, и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Например, число 2742 делится на 3, так как делится на 3 сумм цифр этого числа 2+7+4+2=15. Число 17941 не делится на 3, так как сумма цифр этого числа равна 22, а 22 не делится на 3.

Теорема 8. Натуральное число делится на 9 тогда, когда сумма его цифр делится на 9 (признак делимости на 9).

Занимательные факты о натуральных числах

— Итак , я выяснила, что алфавитные системы нумерации позволяли легко обращаться с числами первой тысячи, а при помощи дополнительных знаков — в пределах десяти тысяч ( например, это было последнее число, имевшее у греков свое имя — мириада).

Классическая древность и не сталкивалась с необходимостью заглядывать дальше этой границы в каких-либо реальных или теоретических ситуациях. Неопределенные библейские выражения типа «тысячи тысяч», «тьма тем» (Дан. 7,10), «легион» (Лук. 8,30) или обыденное «как песчинок» отодвигали числовой горизонт в некоторую загадочную даль, невыразимую в конкретных количествах.

Но вскоре я обнаружила интересный факт: в заметке «Псаммит» (т.е. исчисление песка) Архимед показал, как можно систематически строить и называть сколь угодно большие числа. В частности, размещая в маковом зерне 10 000 (мириада) песчинок, он находит, что во Вселенной (шар диаметром в мириаду диаметров Земли) поместилось бы (в наших обозначениях) не более чем 1063 песчинок.

Любопытно, что современные подсчеты количества атомов в видимой Вселенной приводят к числу 1067 (всего в мириаду раз больше). Великий Архимед убедил, что он в состоянии указать некоторые числа, превосходящие число песчинок в объеме всей Вселенной. Но воображение его остановилось на жутком образе мира, утонувшего в пыли. Точно так же и безвестный служитель «цыфирной науки» ограничил полет своей терминологической фантазии колодой, устояв перед соблазном рассмотреть, скажем, «легион колод».

Математики не хотели изобретать большие числа свыше количества их, необходимого для тех или иных конкретных нужд. Натуральный ряд мыслился лишь потенциально бесконечным, т.е. неограниченно продолжаемым, а не существующим актуально, в качестве завершенного объекта. Таким образом, создавались все новые натуральные числа, а не открываем их, как острова в безбрежном океане.

На противоположной точке зрения стоял святой Августин (354-430), обличавший своих оппонентов в том, что они считают «будто бесконечность превышает знание Господне». С конца прошлого века математики постепенно склонялись к признанию бесконечных множеств как актуально существующих — независимо от того, описан ли как-нибудь способ их образования.

В современной математической практике эта точка зрения возобладала, но не все ее разделяют, и теоретические дискуссии об актуальной и потенциальной бесконечности продолжаются (а как вы воспринимаете натуральный ряд?)

— В 1955 году английский математик Скьюз показал, что существует натуральное число x, обладающее некоторым важным свойством (детали здесь несущественны), и что оно не превосходит величины 101010964. Число 101010964 в настоящий момент является наибольшим натуральным числом, использованным для какой-либо практической цели.

Его полная запись представила бы собой единицу с количеством нулей, заполняющим многие тома. И архимедово число песчинок, и число атомов во Вселенной, и даже «великое славянское число» колода не сопоставимы с этим монстром, обозначающим сегодняшнюю границу потенциально бесконечного натурального ряда.

— Главная книга христианского мира Библия в полной мере отражает ту роль, которую играли разнообразные вычисления в жизни наших далеких предков. В пятой главе книги «Бытие» указываются потомки Адама от Сифа до Ноя. Стандартная конструкция этой главы имеет следующий вид: «25 Мафусаил жил сто восемьдесят семь лет, и родил Ламеха. 26 По рождении Ламеха, Мафусаил жил семьсот восемьдесят два года, и родил сынов и дочерей. 27 Всех же дней Мафусаила было девятьсот шестьдесят девять лет; и он умер.» Согласимся, что арифметические примеры типа 187+782=969 никак нельзя считать тривиальными для времени создания Библии.

В главе 11 «Бытия» после рассказа о крушении Вавилонской башни приводится список потомков Сима, старшего сына Ноя, однако здесь общая схема дается в усеченном виде: «24 Нахор жил двадцать девять лет, и родил Фарру. 25 По рождении Фарры, Нахор жил сто девятнадцать лет, и родил сынов и дочерей. Финальный возраст Нахора не указывается, интересующемуся придется искать сумму 29+119.

— В книге «Числа» (название говорит само за себя) приводятся статистические сведения о числе всех сынов Израилевых, годных для войны, во всех коленах, о распределении воинов каждого колена по станам. Здесь уже приходится иметь дело с величинами вроде 46 500, 59 300, 64 400, а общее количество всех военнообязанных достигает 603 550 при первом обследовании (глава 1) и 601 730 при втором (глава 26). В главе 31 (стихи 26-47) рассматривается сложный пример деления военной добычи. Он не вполне завершен и мог бы послужить предметом интересных обсуждений.

Разнообразные подсчеты и измерения проводятся в книгах Иисуса Навина (глава 21), 1-й Паралипоменон (главы 12, 15), Ездры (главы 1, 2, 8), Неемии (глава 7), Иеремии (глава 52), Иезекииля (глава 40). Наибольшее конкретное число указывается во второй книге Царств (глава 24): 800 000. И, конечно, нельзя не упомянуть об Откровении святого Иоанна Богослова (Апокалипсис), где в заключительном стихе главы 13 указывается «число зверя»: 666 (или римскими цифрами: DCLXVI — шесть разных цифр в правильном порядке! Кроме того, 666 — это сумма первых 36 натуральных чисел).

В различные исторические периоды пытливые умы, применяя реальные или изобретенные к случаю алфавитные нумерации, пытались разоблачить тех или иных деятелей путем «расшифровки» их имен и титулов так, чтобы получилось роковое число. Вот и Пьер Безухов («Война и мир», т.3, часть 1, глава XIX), приписав числовые значения буквам французского алфавита, нашел, что L’empereur Napoleon дает 666 «и что поэтому Наполеон и есть тот зверь, о котором предсказано в Апокалипсисе».

Несмотря на некоторые погрешности (пропуск буквы j в алфавите, арифметическая ошибка, исправляя которую, приходится писать Le empereur), апокалиптические вычисления Пьера, троекратно приводящие к числу 666, изумляют.

Заключение

Вот и закончилось моё исследование на тему «Натуральные числа». Готовя своё исследование, я узнала много нового и интересного о числах, о высказываниях математиков, учёных, живущих в разные века и время.

Эта тема очень обширная и писать можно о числах бесконечно. Чем глубже проникаем в изучение математики, тем больше находим интересных и полезных для себя сведений об этой науке и теме «Натуральные числа».

Математика, скорее всего, никогда не достигла бы такой великой степени совершенства, если бы древние не приложили столько усилий для изучения проблем, которые сегодня воспринимаются нами как истина. Как часто новые методы, новая техника или алгоритм, возникшие при решении, казалось бы, частных задач, приводили науку на новый, более высокий уровень развития!

Без знаний по математики, без знания о натуральных числах, о счёте чисел, мы не смогли бы добиться больших успехов в технике, изобретении, научных открытиях и создании сложных вычислений.

Я буду постоянно следить за литературой о математике, о новых событиях в науке, а также изучать историю математики, работы выдающихся математиков.

Не слишком ли много внимания я уделила начальным шагам в математику? Ответом на это мог бы послужить известный афоризм немецкого математика Леопольда Кронекера (1823-1891): «Бог создал натуральные числа, все остальное — дело рук человеческих»…

Список литературы

1. Большая школьная энциклопедия г. Москва 2004г. «Русское энциклопедическое творчество».
2. Справочник школьника г. Москва 2004г. Авторы: В.А.Гусев и А.Г.Мордкович.
3. Математика – учебник для общеобразовательных учреждений г. Москва 2003г. Авторы: А. Мордкович. Из – во Мнемозина
4. Математика. Г. Москва 1992 г. Авторы: И.

Сумма цифр трехзначного числа. Исходный код на Python

Вводится трехзначное число. Написать программу, которая вычисляет сумму его цифр.

(Это задача на линейные алгоритмы, если требуется найти сумму цифр числа произвольной длины с помощью цикла см. задачу «Сумма и произведение цифр числа».)

Например, если было введено 349, программа должна вывести на экран число 16, так как 3 + 4 + 9 = 16.

Как извлечь отдельные цифры из числа? Если число разделить нацело на десять, в остатке будет последняя цифра этого числа. Например, если 349 разделить нацело на 10, то получится частное 34 и остаток 9. Если потом 34 разделить также, получится частное 3 и остаток 4; далее при делении 3 на 10 получим частное 0 и остаток 3.

В языках программирования почти всегда есть две операции:

1) нахождение целого при делении нацело,

2) нахождение остатка при делении нацело.

В языке программирования Python первая операция обозначается // (двумя знаками деления), а вторая — % (знаком процента). Например:

>>> 34 // 10
3
>>> 34 % 10
4

Примечание. Операции деления нацело и нахождения остатка с точки зрения арифметики применимы только к целым числам. Но в Python их можно использовать и по отношению к дробным числам:

>>> 34.5 % 10
4.5
>>> 34.5 // 10
3.0
>>> 34.5 // 12.9
2.0

Алгоритм нахождения суммы цифр трехзначного числа abc (где a — сотни, b — десятки и c — единицы) можно описать так:

1. Найти остаток от деления abc на 10, записать его в переменную d1. Это будет цифра c.
2. Избавиться от цифры c в числе abc, разделив его нацело на 10.
3. Найти остаток от деления ab на 10, записать его в переменную d2. Это будет цифра b.
4. Избавиться от цифры b в числе ab, разделив его нацело на 10.
5. Число a однозначное. Это еще одна цифра исходного числа.
6. Сложить оставшееся число a со значениями переменных d1 и d2.

n = input("Введите трехзначное число: ")
n = int(n)
 
d1 = n % 10
n = n // 10
d2 = n % 10
n = n // 10
 
print("Сумма цифр числа:", n + d2 + d3)

Пример выполнения программы:

Введите трехзначное число: 742
Сумма цифр числа: 13

Однако, если нам известно, что число состоит из трех разрядов (цифр), есть немного другой способ извлечения цифр из числа:

1. Остаток от деления на 10 исходного числа дает последнюю цифру числа.
2. Если найти остаток от деления на 100 исходного числа, то мы получи последние две цифры числа. Далее следует разделить полученное двухзначное число нацело на 10, и у нас окажется вторая цифра числа.
3. Если исходное трехзначное число разделить нацело на 100, то получится первая цифра числа.

n = input("Введите трехзначное число: ")
n = int(n)
 
d1 = n % 10
d2 = n % 100 // 10
d3 = n // 100
 
print("Сумма цифр числа:", d1 + d2 + d3)

В Python данную задачу можно решить без использования арифметических действий, а путем извлечения из исходной строки отдельных символов с последующим их преобразованием к целому.

n = input("Введите трехзначное число: ")
 
# Извлекается первый[0] символ строки, 
# преобразуется к целому.
# Аналогично второй[1] и третий[2].
a = int(n[0])
b = int(n[1])
c = int(n[2])
 
print("Сумма цифр числа:", a + b + c)

Задача может быть усложнена тем, что число вводится не пользователем с клавиатуры, а должно быть сгенерировано случайно. Причем обязательно трехзначное число.

В этом случае надо воспользоваться функциями randint(), randrange() или random() из модуля random. Первым двум функциям передаются диапазоны: randint(100, 999), randrange(100, 1000). Получить трехзначное число, используя random() немного сложнее:

# Функция random генерирует
# случайное дробное число от 0 до 1
from random import random
 
# При умножении на 900 получается случайное
# число от 0 до 899.(9).
# Если прибавить 100, то получится
# от 100 до 999.(9).
n = random() * 900 + 100
 
# Отбрасывается дробная часть, 
# число выводится на экран
n = int(n)
print(n)
 
# Извлекается старший разряд числа
# путем деления нацело на 100
a = n // 100
 
# Деление нацело на 10 удаляет 
# последнюю цифру числа.
# Затем нахождение остатка при 
# делении на 10 извлекает последнюю цифру,
# которая в исходном числе была средней.
b = (n // 10) % 10
 
# Младший разряд числа находится
# как остаток при делении нацело на 10.
c = n % 10
 
print(a+b+c)

математических трюков — ядро ​​исследования поведенческих наук

Эта веб-страница посвящена

Попробуйте эти уловки:

Вот несколько интересных ссылок:

• Список для чтения сложных математических книг, большинство из которых я использовал для этого сайта.
• Узнайте об исходном компьютере: Abacus (http://www.ee.ryerson.ca:8080/~elf/abacus/)
• Играйте в математическую погоню (http: // dev.eyecon.com/marcia) — для одного или двух игроков. (Если вы используете Netscape, Не прокручивать страницу вниз, пока загружается .
• Играйте в Shoot Balls (http://www.fi.uu.nl/wisweb/en/applets/bollen/Welcome.html).
• Играйте в Flippo 24 (http://www.fi.uu.nl/wisweb/en/applets/bollen/Welcome.html).
• Проверьте свои знания таблиц умножения (http://www.fi.uu.nl/wisweb/en/applets/tafels/Welcome.html)
• Попробуйте свои силы в оценке (http: //www.fi.uu.nl / wisweb / en / applets / bollen / Welcome.html).
• Исследуйте геометрию в увлекательной интерактивной форме.
• Попробуйте загадку Ханойской башни (http://www.eng.auburn.edu/~fwushan/Hanoi1.html).
• Посмотрите, что такое Spriographis (http://www.mainstrike.com/mstservices/handy/Spiro/).
• Посмотрите, что такое сет Мандельброта (http://www.franceway.com/java/fractale/mandel_b.htm).
• Если вы хотите больше математических задач , попробуйте новый сайт PBS MATHLINE MATH CHALLENGESsite. Попробуйте, вам понравится.(Но помните, что мы были первыми.)

Трюк с добавлением магии # 1

Поразите батраков этим. Все просто. Это эффективно. Он получает их каждый раз.

1. Задайте свою оценку, чтобы выбрать три (3) различных номеров от 1 до 9.
2. Скажите ему или ей (или ей или ему) записать три числа рядом друг с другом, наибольшее первое и наименьшее последнее, чтобы получилось одно трехзначное число. Скажите ему / ей, чтобы он не называл вам цифры.
3. Затем попросите ее или его сформировать новое трехзначное число, поменяв местами цифры, поместив наименьшее первым и наибольшее последнее. И напишите это число прямо под первым числом.
4. Теперь попросите его или ее вычесть нижнее (и меньшее) трехзначное число из верхнего (и большего) трехзначного числа. Скажите им, чтобы они не рассказывали вам, каков результат.
5. Теперь у вас есть выбор подытоживания:
   1. Попросите друга сложить три цифры числа, полученного в результате вычитания меньшего из большего трехзначного числа.Затем поразите его или ее, сказав им, какова сумма этих трех чисел. Сумма трехзначного ответа всегда будет 18!
   2. Скажите своему другу, что если он или она скажет вам первую ИЛИ последнюю цифру ответа, вы скажете ей или ему, каковы остальные две цифры. Это возможно, потому что средняя цифра всегда будет 9, а сумма двух других цифр всегда будет равна 9! Итак, чтобы получить цифру, отличную от средней (то есть 9) и отличную от цифры, которую говорит вам ваш друг, просто вычтите цифру, которую ваш друг говорит вам, из 9, и это неизвестная цифра.

Наверх

Магический квадрат №15

Сумма в каждой строке и столбце в этом магическом квадрате равна 15. Так что сделайте обе диагонали!

К началу

Магический квадрат # 34

Сумма в каждой строке и столбце этого магического квадрата равна 34. Так что сделайте обе диагонали!

Наверх

Рецепт для вашего собственного волшебного квадрата 3 x 3

Вот рецепт для создания собственного квадрата с магическим числом 3 х 3.Этот рецепт и оба вышеупомянутых магических квадрата взяты из одной чертовой книги под названием Mathematics for the Million Ланселота Хогбена, изданной Norton and Company. Я очень рекомендую это. Вам совсем не нужно много математики, чтобы окунуться в приключение чисел, рассказанное в этой классической книге.

Некоторые необходимые правила и определения:

1. Пусть буквы a , b и c обозначают целые числа (то есть целые числа).
2. Всегда выбирайте a , чтобы оно было больше суммы b и c .То есть a > b + c . Это гарантирует, что никакие записи в магическом квадрате не являются отрицательными числами.
3. Не позволяйте 2 X b = c . Это гарантирует, что вы не получите одинаковый номер в разных ячейках.
4. Используя формулы в приведенной ниже таблице, вы можете построить магические квадраты, в которых сумма строк, столбцов и диагоналей равна 3 X независимо от того, что равно на .

Чтобы создать первый Магический квадрат # 15 выше, вы позволяете a быть равным 5, пусть b равняется 3, и пусть c равняется 1.Вот еще несколько:

• a = 6, b = 3, c = 2
• a = 6, b = 3, c = 1
• a = 7, b = 3, c = 2
• a = 7, b = 4, c = 2
• a = 8, b = 6, c = 1
• a = 8, b = 5, c = 2
• a = 8, b = 4, c = 3

Попробуйте придумать что-нибудь свое.

К началу

Перевернутый магический квадрат

Вот магический квадрат, который не только дает в сумме 264 во всех направлениях, но и делает это, даже когда он перевернут! Если вы мне не верите, посмотрите на него, пока стоите на голове! (Или просто скопируйте его и переверните вверх дном.)

Наверх

Антимагический квадрат

Вот магический квадрат с максимально возможным количеством различных сумм.

Эта таблица дает 8 различных итогов.

К началу

Выиграйте ставки с этим Magic Square

Хорошо, вот отличный способ выигрывать ставки с помощью магического квадрата. Позвоните другу по телефону. Попросите его или ее взять карандаш и бумагу и принести их к телефону, чтобы он или она могли записать числа от 1 до 9. Скажите другу, что вы будете по очереди набирать номера от 1 до 9. Никто из вас не может. повторить номер, который вызывает другой.Затем вы оба запишите числа от 1 до 9. Затем, когда ваш друг назовет одно из чисел, он или она обведет это число кружком, и вы тоже. Когда вы произносите число, вы рисуете квадрат вокруг этого числа, и ваш друг делает то же самое. Побеждает тот, кто первым наберет три числа, которые в сумме составляют 15.

Скажите, что вы идете первым, а вы зовете 8. Ваш друг может позвонить 6. Затем вы зовете 2. Ваш друг зовет 5, а вы зовете 4. Друг звонит 7, а вы звоните 3.Затем вы говорите своему другу, что вы только что выиграли, потому что вы назвали 8, 3 и 4, что в сумме дает 15.

Ваш друг снова захочет поиграть. Итак, на этот раз вы можете поспорить с ним, что выиграете, с условием, что в случае ничьей (когда вы используете числа от 1 до 9, но никто из вас не набирает 15 очков) никто ничего не должен.

Если вы знаете фокус, вы никогда не проиграете и, вероятно, проиграете в большинстве случаев.

Уловки На самом деле фокус основан как на крестиках-ноликах, так и на магическом квадрате.Магический квадрат выглядит так:

Поскольку это магический квадрат, каждая строка, каждый столбец и каждая диагональ в сумме составляют 15. Итак, если перед вами этот квадрат с вашим другом по телефону, вы можете поставить крестик в квадратах номер, который вы вызываете, и букву O в квадратах номеров, которые называет ваш друг. Затем, как и в крестиках-ноликах, вы пытаетесь получить три крестика подряд, потому что они всегда в сумме дают 15.

Итак, в приведенном выше примере, когда вы вызываете 8, вы ставите X в верхнем левом углу.Когда ваш друг говорит 6, вы ставите) в правом верхнем углу. И так далее.

К началу

Математический карточный фокус

Для этого вауера вам понадобится обычная колода карт. Никаких причудливых перетасовок не требуется. Просто выполните следующие простые шаги:

1. Перемешайте карты, чтобы тщательно перемешать их.
2. Разложите 36 карт в стопку.
3. Попросите друга выбрать одну из 36 карточек, посмотреть на нее и запомнить, а затем положить обратно в стопку, не позволяя вам ее увидеть.
4. Перемешайте 36 карт.
5. Разложите 36 карт в 6 рядов по 6 карт в каждом. Обязательно наносите верхний ряд слева направо. Затем нанесите второй ряд под ним слева направо. И так далее с каждой последующей строкой, лежащей под предыдущей.
6. Попросите друга посмотреть на карточки и сказать, в каком ряду находится выбранная карточка. Запомните, под каким номером находится ряд.
7. Осторожно возьмите карты в том же порядке, в котором вы их положили .Таким образом, первая карта слева от верхнего ряда находится наверху стопки, а последняя карта справа от нижнего ряда находится внизу стопки.
8. Теперь выложите карты в 6 рядов по 6 карт в каждом, но на этот раз разложите карту по столбцу за раз . Вместо того, чтобы переходить от одной строки к другой, переходите от одного столбца к следующему. Положите первые шесть карточек в столбец сверху вниз в крайнем левом углу. Затем выложите следующие шесть карт во втором столбце из шести карт справа от первого столбца из шести карт.Продолжайте делать это, пока у вас не будет 6 столбцов по 6 карт в каждом (что выглядит так же, как 6 рядов по 6 карт в каждом — потому что — это то же самое).
9. Еще раз спросите друга, в каком ряду находится выбранная карта.
10. Когда ваш друг говорит вам, в каком ряду находится карта, вы можете сказать, какая именно карта выбрана. Как? Если ваш друг сказал, что карта была в строке 2 в первый раз, а в строке 5 во второй раз, то выбранная карта находится во втором столбце пятой строки.Это связано с тем, что вы располагаете карточки: то, что было строками в первый раз, во второй раз становится столбцами.

Наверх

Калькулятор молний

Вот трюк, чтобы удивлять их каждый раз! Попросите кого-нибудь записать свой номер социального страхования. Затем попросите их переписать его так, чтобы все было перемешано. (Если у них нет номера социального страхования, попросите их записать любые 9 цифр от 1 до 9.) Если есть нули, попросите их изменить их на любое другое число от 1 до 9.Затем попросите их скопировать свои девять чисел в том же порядке рядом с исходными девятью числами. Это даст им номер из 18 цифр, первая половина которого такая же, как и вторая. Затем измените вторую цифру на 7, а одиннадцатую цифру (это будет то же самое число, что и вторая цифра, но во вторых девяти цифрах) также на 7. Затем сделайте ставку на то, что вы сможете сказать им, что останется после деления числа на 7, быстрее, чем они смогут вычислить это вручную.Ответ: 0 — 7 делится на это новое число ровно без остатка!

К началу

Таблицы с забавными числами

Следующие забавные таблицы взяты из одной из моих любимых книг на все времена, Рекреации в теории чисел Альберта Бейлера, опубликованной Dover Publications. Эта книга фактически объясняет математические причины, по которым эти уловки работают.

К началу

Знаете ли вы …?

Каждое двузначное число, заканчивающееся на 9, является суммой кратного двух цифр и суммы двух цифр. Таким образом, например, 29 = (2 X 9) + (2 + 9). 2 X 9 = 18. 2 + 9 = 11. 18 + 11 = 29.

40 — уникальное число, потому что когда оно написано как «сорок», это единственное число, буквы которого расположены в алфавитном порядке.

Простое число — это целое число больше 1, которое не может делиться равномерно на любое другое целое число, кроме самого себя (и 1). 2, 3, 5, 7, 11, 13 и 17 являются примерами простых чисел.

139 и 149 — первые последовательные простые числа, различающиеся на 10.

69 — единственное число, в квадрате и кубе между ними по одному разу используются все цифры от 0 до 9:
69 ² = 4761 и 69 ³ = 328,509.

Один фунт железа содержит приблизительно 4 891 500 000 000 000 000 000 000 атомов.

Существует около 318 979 564 000 возможных способов сыграть первые четыре хода с каждой стороны в игре в шахматы.

Земля проходит более полутора миллионов миль каждый день.

В Эйфелевой башне 2 500 000 заклепок.

Если бы все кровеносные сосуды в человеческом теле были проложены встык, они бы растянулись на 100 000 миль.

К началу

Математический трюк на этот год

Предположительно, он будет работать только в 1998 году, но на самом деле одно изменение позволит ему работать в течение любого года.

1. Выберите количество дней в неделю, в которые вы хотели бы выходить (1-7).

2. Умножьте это число на 2.

3. Добавить 5.

4. Умножьте полученную сумму на 50.

5. В 1998 г., если у вас уже был день рождения в этом году, прибавьте 1748. Если нет, добавьте 1747. В 1999 г. просто прибавьте 1 к этим двум числам (поэтому прибавьте 1749, если у вас уже был день рождения, и 1748, если у вас нет). В 2000 году число изменится на 1749 и 1748. И так далее.

6. Вычтите четырехзначный год вашего рождения (19XX).

Результатов:

У вас должно получиться трехзначное число.

Первой цифрой этого числа было количество дней, на которое вы хотите выходить каждую неделю (1-7).

Последние две цифры — ваш возраст.

(Спасибо, что передали мне это, Джуди.)

К началу

Где строка?

В следующий раз, когда вы будете с группой людей и захотите произвести на них впечатление своими экстрасенсорными способностями, попробуйте это. Пронумеруйте всех в группе от 1 до числа.Возьмите веревку и скажите им привязать ее к пальцу, пока вы выходите из комнаты или поворачиваетесь спиной. Затем скажите, что вы можете сказать им не только, у кого он есть, но и на какой руке и на каком пальце он находится, если они просто сделают для вас простую математику и скажут вам ответы. Затем попросите одного из них ответить на следующие вопросы:

1. Умножьте номер человека со строкой на 2.

2. Добавить 3.

3. Умножьте результат на 5.

4. Если строка справа, добавьте 8.

Если строка слева, добавьте 9.

5. Умножить на 10.

6. Сложите номер пальца (большой палец = 1).

7. Добавить 2.

Попросите их сказать вам ответ. Затем вычтите мысленно 222. Остаток дает ответ, начиная с правой цифры ответа.

Например, предположим, что веревка находится на третьем пальце левой руки Игрока №6:

1. Умножить на 2 = 12.

2. Складываем 3 = 15.

3.Умножить на 5 = 75.

4. Так как строка находится слева, прибавляем 9 = 84.

5. Умножить на 10 = 840.

6. Сложите номер пальца (3) = 843.

7. Складываем 2 = 845.

Теперь мысленно вычтите 222 = 623. Правая цифра (3) говорит вам, что строка находится на третьем пальце. Средняя цифра говорит о том, что он находится слева (правая рука = 1). Левая цифра говорит о том, что строка у Игрока №6.

Кстати, когда число людей больше 9, вы получите ЧЕТЫРЕХзначное число, а ДВЕ цифры слева будут номером Игрока.

В чем секрет?

(Это из замечательной книги Шейлы Энн Барри, Giant Book of Puzzles & Games, . Издана Sterling Publishing Co., Inc., Нью-Йорк, 1978, недавно переиздана в мягкой обложке.)

Следите за новостями, чтобы узнать больше о математических трюках. Они будут добавляться время от времени, поэтому обязательно зарегистрируйтесь снова.

Загадочное число 6174 | plus.maths.org

Март 2006 г.

Каждый может раскрыть тайну

Число 6174 — действительно загадочное число.На первый взгляд это может показаться не таким очевидным. Но, как мы скоро увидим, любой, кто умеет вычитать, может раскрыть тайну, которая делает 6174 таким особенным.

Операция Капрекара

В 1949 году математик Д. Р. Капрекар из Девлали, Индия, разработал процесс, теперь известный как операция Капрекара . Сначала выберите четырехзначное число, в котором все цифры не одинаковы (это не 1111, 2222, …). Затем переставьте цифры, чтобы получить наибольшее и наименьшее числа, которые могут образовывать эти цифры.Наконец, вычтите наименьшее число из наибольшего, чтобы получить новое число, и продолжайте повторять операцию для каждого нового числа.

Это простая операция, но Капрекар обнаружил, что она приводит к удивительному результату. Давайте попробуем, начав с числа 2005, цифр прошлого года. Максимальное число, которое мы можем составить с помощью этих цифр, равно 5200, а минимальное — 0025 или 25 (если одна или несколько цифр равны нулю, вставьте их в левую часть минимального числа). Вычитания:

5200 — 0025 = 5175
7551–1557 = 5994
9954–4599 = 5355
5553 — 3555 = 1998
9981–1899 = 8082
8820 — 0288 = 8532
8532–2358 = 6174
7641–1467 = 6174

Когда мы достигаем 6174, операция повторяется, возвращая каждый раз 6174.Мы называем число 6174 ядром этой операции. Итак, 6174 — это ядро ​​для операции Капрекара, но так ли это особенное, как у 6174? Что ж, 6174 — не только единственное ядро ​​для этой операции, но и еще один сюрприз в рукаве. Давайте попробуем еще раз, начиная с другого числа, скажем 1789.

9871 — 1789 = 8082
8820 — 0288 = 8532
8532–2358 = 6174

Мы снова достигли 6174!

Очень загадочное число…

Когда мы начали с 2005 года, процесс достиг 6174 за семь шагов, а для 1789 за три шага. Фактически, вы набираете 6174 для всех четырехзначных чисел, у которых не все цифры одинаковы. Это чудесно, не правда ли? Операция Капрекара настолько проста, но дает такой интересный результат. И это станет еще более интригующим, если мы подумаем о том, почему все четырехзначные числа достигают это загадочное число 6174.

Только 6174?

Из цифр любого четырехзначного числа можно упорядочить максимальное число, расположив цифры в порядке убывания, и минимальное число, расположив их в порядке возрастания.Итак, для четырех цифр a, b, c, d , где

9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0

и a, b, c, d — не все одинаковые цифры, максимальное число — abcd , минимальное — dcba .

Мы можем вычислить результат операции Капрекара, используя стандартный метод вычитания, применяемый к каждому столбцу этой задачи:

, что дает отношения

для тех чисел, где a> b> c> d .

Число будет повторяться при операции Капрекара, если полученное число ABCD может быть записано с использованием первых четырех цифр a, b, c и d . Таким образом, мы можем найти ядра операции Капрекара, рассмотрев все возможные комбинации { a, b, c, d } и проверив, удовлетворяют ли они приведенным выше отношениям. Каждый из 4! = 24 комбинации дают систему из четырех одновременных уравнений с четырьмя неизвестными, поэтому мы должны иметь возможность решить эту систему для a, b, c и d .

Оказывается, что только одна из этих комбинаций имеет целочисленные решения, которые удовлетворяют 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0 . Эта комбинация равна ABCD = bdac , а решение одновременных уравнений — a = 7, b = 6, c = 4 и d = 1. То есть ABCD = 6174. Не существует действительных решений для одновременных уравнений, возникающих из некоторых цифр в {a, b, c, d} будучи равными. Следовательно, число 6174 — единственное число, которое не изменила операция Капрекара — наше загадочное число уникально.

Для трехзначных чисел происходит то же самое. Например, применение операции Капрекара к трехзначному числу 753 дает следующее:

753 — 357 = 396
963 — 369 = 594
954–459 = 495
954–459 = 495

Число 495 является уникальным ядром для операции с трехзначными числами, и все трехзначные числа достигают 495 с помощью операции. Почему бы тебе самому не проверить?

Как быстро до 6174?

Это было примерно в 1975 году, когда я впервые услышал о числе 6174 от друга, и тогда я был очень впечатлен.Я думал, что будет легко доказать, почему это явление произошло, но я не мог найти причину, почему. Я использовал компьютер, чтобы проверить, все ли четырехзначные числа достигли ядра 6174 за ограниченное количество шагов. Программа, в которой было около 50 операторов на Visual Базовый, проверил все 8991 четырехзначное число от 1000 до 9999, где все цифры не совпадали.

В таблице ниже показаны результаты: каждое четырехзначное число, где все цифры не равны, достигает 6174 в процессе Капрекара, причем не более чем за семь шагов.Если вы не набрали 6174 после семи раз использования операции Капрекара, значит, вы ошиблись в своих расчетах и ​​должны попробовать еще раз!

Куда идти к 6174?

Моя компьютерная программа проверила все 8991 число, но в своей статье Малкольм Лайнс объясняет, что при расследовании операции Капрекара достаточно проверить только 30 из всех возможных четырехзначных чисел.

Как и раньше, предположим, что четырехзначное число — abcd , где

9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0 .

Давайте посчитаем первое вычитание в процессе. Максимальное количество — 1000a + 100b + 10c + d , а минимальное — 1000d + 100c + 10b + a . Итак, вычитание:

1000a + 100b + 10c + d — (1000d + 100c + 10b + a)
= 1000 (a-d) + 100 (b-c) + 10 (c-b) + (d-a)
= 999 (a-d) + 90 (b-c)

Возможное значение (a-d), — от 1 до 9, а (b-c), — от 0 до 9.Просматривая все возможности, мы можем увидеть все возможные результаты первого вычитания в процессе. Они показаны в таблице 1.

Таблица 1: Числа после первого вычитания в процессе Капрекара

Нас интересуют только числа, в которых не все цифры равны и

a ≥ b ≥ c ≥ d ,

, поэтому нам нужно рассматривать только те, у которых (a-d) ≥ (b-c) . Таким образом, мы можем игнорировать серую область в таблице 1, которая содержит те числа, где

(а-г) <(б-в) .

Теперь расположим цифры чисел в таблице в порядке убывания, чтобы получить максимальное число, готовое для второго вычитания:

Таблица 2: Максимальные числа, готовые для второго вычитания

Мы можем проигнорировать дубликаты в Таблице 2 (серые области), и нам останется только 30 чисел, чтобы продолжить остальную часть процесса. На следующем рисунке показаны маршруты, по которым эти числа достигают 6174.

Как эти 30 чисел достигают 6174

Из этого рисунка вы можете увидеть, как все четырехзначные числа достигают 6174 и достигают его максимум за семь шагов.Несмотря на это, я все еще думаю, что это очень загадочно. Я полагаю, что Капрекар, открывший это число, был чрезвычайно умен или у него было много времени, чтобы обдумать его!

Две цифры, пять цифр, шесть и более …

Мы видели, что четырех- и трехзначные числа достигают уникального ядра, но как насчет других чисел? Оказывается, ответы на эти вопросы не столь впечатляющи. Давайте попробуем это для двузначного числа, скажем, 28:

82 — 28 = 54
54–45 = 9
90 — 09 = 81
81 — 18 = 63
63 — 36 = 27
72 — 27 = 45
54–45 = 9

Не нужно много времени, чтобы убедиться, что все двузначные числа дойдут до цикла 9 → 81 → 63 → 27 → 45 → 9.В отличие от трех- и четырехзначных чисел, для двузначных чисел не существует уникального ядра.

А как насчет пяти цифр? Есть ли ядро ​​для пятизначных чисел, таких как 6174 и 495? Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно будет использовать тот же процесс, что и раньше: проверьте 120 комбинаций {a, b, c, d, e} на ABCDE , так что

9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ e ≥ 0

и

abcde — edcba = ABCDE .

К счастью, вычисления уже были выполнены на компьютере, и известно, что не существует ядра для операции Капрекара с пятизначными числами.Но все пятизначные числа попадают в один из следующих трех циклов:

71973 → 83952 → 74943 → 62964 → 71973
75933 → 63954 → 61974 → 82962 → 75933
59994 → 53955 → 59994

Как указывает Малкольм Лайнс в своей статье, проверка того, что происходит с шестью или более цифрами, займет много времени, и эта работа станет чрезвычайно скучной! Чтобы спасти вас от этой участи, в следующей таблице показаны ядра для двух- и десятизначных чисел (подробнее см. Архив Мэтьюза из Развлекательная математика.Похоже, что операция Капрекара сводит каждое число к уникальному ядру только для трех- и четырехзначных чисел.

Красиво, но разве это особенное?

Мы видели, что все трехзначные числа достигают 495, а все четырехзначные числа достигают 6174 под действием Капрекара.Но я не объяснил, почему все такие числа достигают уникального ядра. Случайно ли это явление или есть более глубокая математическая причина, почему это происходит? Каким бы красивым и загадочным ни был результат, это могло быть просто случайностью.

Давайте остановимся и рассмотрим красивую головоломку Юкио Ямамото из Японии.

Если вы умножите два пятизначных числа, вы получите ответ 123456789. Можете ли вы угадать два пятизначных числа?

Это очень красивая головоломка, и вы можете подумать, что за ней должна быть спрятана большая математическая теория.Но на самом деле красота это всего лишь случайность, есть и другие очень похожие, но не очень красивые примеры. Например:

(Мы можем дать вам подсказку, чтобы помочь вам решить эти головоломки, и вот ответы.)

Если бы я показал вам загадку Ямамото, вы бы вдохновились на ее решение, потому что она такая красивая, но если бы я показал вам вторую загадку, вы могли бы совсем не заинтересоваться. Я думаю, что проблема Капрекара похожа на головоломку Ямамото отгадывать числа. Нас привлекают оба, потому что они такие красивые.И поскольку они такие красивые, мы чувствуем, что в них должно быть что-то большее, хотя на самом деле их красота может быть просто случайным. Такое недопонимание привело к развитию математики и естествознания в прошлом.

Достаточно ли знать, что все четырехзначные числа достигают 6174 с помощью операции Капрекара, но не знать, почему? До сих пор никто не мог сказать, что все числа, достигающие уникального ядра для трех- и четырехзначных чисел, являются случайным явлением. Это свойство кажется настолько удивительным, что заставляет нас ожидать, что за ним прячется большая теорема теории чисел.Если мы сможем ответить на этот вопрос, мы могли бы найти это просто красивое недоразумение, но мы надеемся, что нет.

Примечание редакции: многие читатели заметили, что многократное сложение цифр любого из ядер операции Капрекара всегда равно 9. Узнайте, почему, в этом продолжении статьи.

Список литературы

• Капрекар, Д. Р., «Другой пасьянс», Scripta Mathematica , том 15, стр. 244–245 (1949)
• Гарднер, Мартин, «Магические числа доктора Матрицы», японская версия, Токио: Кинокуния (1978)
• Lines, Малкольм Э., Число для ваших мыслей: факты и предположения о числах …, Бристоль: Хильгер (1986)
• Нишияма, Ютака, Алгоритм Кураши-но, Киото: Наканишия (1993)

  ---

  Об авторе

  Ютака Нишияма — профессор Осакского экономического университета, Япония. После изучения математики в Университете Киото он 14 лет проработал в IBM Japan. Он интересуется математикой, которая встречается в повседневной жизни, и написал семь книг по этому предмету.Самая последняя из них, названная «Тайна пяти в природе», среди прочего исследует, почему многие у цветов по пять лепестков. Профессор Нишияма в настоящее время посещает Кембриджский университет.

Rs_aggarwal для класса 6 по математике Глава 3

Страница № 45:

Вопрос 1:

Запишите следующие три целых числа после 30999.

Ответ:

Следующие три целых числа после 30999 — 31000, 31001 и 31002.

Страница № 45:

Вопрос 2:

Запишите три целых числа, которые встречаются непосредственно перед 10001.

Ответ:

Три целых числа, встречающиеся непосредственно перед 10001, следующие:

10001 — 1 = 10000
10000 — 1 = 9999
9999 — 1 = 9998

∴ Три целых числа непосредственно перед 10001 — это 10000, 9999 и 9998.

Страница № 45:

Вопрос 3:

Сколько целых чисел между 1032 и 1209?

Ответ:

Число целых чисел от 1032 до 1209 = (1209 — 1032) — 1
= 177 — 1
= 176

Страница № 45:

Вопрос 4:

Какое наименьшее целое число?

Ответ:

0 (ноль) — наименьшее целое число.

Все натуральные числа вместе с 0 называются целыми числами.

Страница № 45:

Вопрос 5:

Укажите преемника:
(i) 2540801
(ii) 9999
(iii) 50904
(iv) 61639
(v) 687890
(vi) 5386700
(vii) 6475999
(viii) 9999999

Ответ:

(i) Преемник 2540801 = 2540801 + 1 = 2540802
(ii) Преемник 9999 = 9999 + 1 = 10000
(iii) Преемник 50904 = 50904 + 1 = 50905
(iv) Преемник 61639 = 61639 + 1 = 61640
(v) Преемник 687890 = 687890 + 1 = 687891
(vi) Преемник 5386700 = 5386700 + 1 = 5386701
(vii) Преемник 6475999 = 6475999 + 1 = 6476000
(viii) Преемник 9999999 = 9999999 + 1 = 10000000

Страница № 46:

Вопрос 6:

Напишите предшественник:
(i) 97
(ii) 10000
(iii) 36900
(iv) 7684320
(v) 1566391
(vi) 2456800
(vii) 100000
(viii) 1000000

Ответ:

(i) Предшественник 97 = 97 — 1 = 96
(ii) Предшественник 10000 = 10000 — 1 = 9999
(iii) Предшественник 36900 = 36900 — 1 = 36899
(iv) Предшественник 7684320 = 7684320 — 1 = 7684319
(v) Предшественник 1566391 = 1566391 — 1 = 1566390
(vi) Предшественник 2456800 = 2456800 — 1 = 2456799
(vii) Предшественник 100000 = 100000 — 1 = 99999
(viii) Предшественник 1000000 — 1 = 999999

Страница № 46:

Вопрос 7:

Запишите три последовательных целых числа непосредственно перед 7510001.

Ответ:

Три последовательных целых числа непосредственно перед 7510001 выглядят следующим образом:

7510001 — 1 = 7510000
7510000 — 1 = 7509999
7509999 — 1 = 7509998

∴ Три последовательных числа перед 7510001 — это 7510000, 7509999 и 7509998.

Страница № 46:

Вопрос 8:

Напишите (T) для истинного и (F) для ложного против каждого из следующих утверждений:
(i) Ноль — наименьшее натуральное число.
(ii) Ноль — наименьшее целое число.
(iii) Каждое целое число является натуральным числом.
(iv) Каждое натуральное число является целым числом.
(v) 1 — наименьшее целое число.
(vi) Натуральное число 1 не имеет предшественника.
(vii) Целое число 1 не имеет предшественника.
(viii) Целое число 0 не имеет предшественника.
(ix) Предшественник двузначного числа никогда не бывает однозначным числом.
(x) Преемником двузначного числа всегда является двузначное число.
(xi) 500 является предшественником 499.
(xii) 7000 является преемником 6999.

Ответ:

(i) Неверно. 0 — не натуральное число, 1 — наименьшее натуральное число.
(ii) Верно.
(iii) Неверно. 0 — целое, но не натуральное число.
(iv) Верно. Натуральные числа включают 1,2,3 …, которые являются целыми числами.
(v) Неверно. 0 — наименьшее целое число.
(vi) Верно. Предшественником 1 является 1 — 1 = 0, что не является натуральным числом.
(vii) Неверно. Предшественником 1 является 1 — 1 = 0, что является целым числом.
(viii) Верно. Предшественником 0 является 0 — 1 = -1, что не является целым числом.
(ix) Неверно. Предшественником двузначного числа может быть однозначное число. Например, предшественником 10 является 10 — 1, то есть 9.
(x) Ложь. Преемник двузначного числа не всегда является двузначным числом. Например, преемником 99 является 99 + 1, то есть 100.
(xi) Ложь. Предшественник 499 — 499 — 1, т.е.е., 498.
(xii) Верно. Преемником 6999 является 6999 + 1, т. Е. 7000.

Страница № 48:

Вопрос 1:

Заполните пропуски, чтобы каждое из следующих утверждений было верным:
(i) 458 + 639 = 639 + ……
(ii) 864 + 2006 = 2006 + ……
(iii ) 1946 + …… = 984 + 1946
(iv) 8063 + 0 = ……
(v) 53501 + (574 + 799) = 574 + (53501 + …… )

Ответ:

(i) 458 + 639 = 639 + 458
(ii) 864 + 2006 = 2006 + 864
(iii) 1946 + 984 = 984 + 1946
(iv) 8063 + 0 = 8063
(v) 53501 + ( 574 + 799) = 574 + (53501 + 799)

Страница № 48:

Вопрос 2:

Добавьте следующие числа и проверьте, изменив порядок добавления:
(i) 16509 + 114
(ii) 2359 + 548
(iii) 19753 + 2867

Ответ:

(i) 16509 + 114 = 16623
Поменяв местами порядок слагаемых, мы получаем:
114 + 16509 = 16623
∴ 16509 + 114 = 114 + 16509

(ii) 2359 + 548 = 2907
. порядок слагаемых:
548 + 2359 = 2907
∴ 2359 + 548 = 548 + 2359

(iii) 19753 + 2867 = 22620
. Изменив порядок слагаемых, мы получаем:
2867 + 19753 = 22620
∴ 19753 + 2867 = 2867 + 19753

Страница № 48:

Вопрос 3:

Найдите сумму: (1546 + 498) + 3589.
Также найдите сумму: 1546 + (498 + 3589).
Равны ли две суммы?
Состояние имущества удовлетворено.

Ответ:

У нас есть:

(1546 + 498) + 3589 = 2044 + 3589 = 5633

Кроме того, 1546 + (498 + 3589) = 1546 + 4087 = 5633

Да, две суммы равны.

Ассоциативное свойство сложения выполнено.

Страница № 48:

Вопрос 4:

Определите каждую из приведенных ниже сумм, используя подходящую перестановку.
(i) 953 + 707 + 647
(ii) 1983 + 647 + 217 + 353
(iii) 15409 + 278 + 691 + 422
(iv) 3259 + 10001 + 2641 + 9999
(v) 1 + 2 + 3 + 4 + 96 + 97 + 98 + 99
(vi) 2 + 3 + 4 + 5 + 45 + 46 + 47 + 48

Ответ:

(i) 953 + 707 + 647
953 + (707 + 647) (Используя ассоциативное свойство сложения)
= 953 + 1354
= 2307

(ii) 1983 + 647 + 217 + 353
(1983 + 647) + (217 +353) (Используя ассоциативное свойство сложения)
= 2630 + 570
= 3200

(iii) 15409 + 278 + 691 + 422
(15409 + 278) + (691 + 422) (Используя ассоциативное свойство сложение)
= 15687 + 1113
= 16800

(iv) 3259 + 10001 + 2641 + 9999
(3259 + 10001) + (2641 + 9999) (Используя ассоциативное свойство сложения)
= 13260 + 12640
= 25900

(v) 1 + 2 + 3 + 4 + 96 + 97 + 98 + 99
(1 + 2 + 3 + 4) + (96 + 97 + 98 + 99) (Используя ассоциативное свойство сложения)
= (10 ) + (390)
= 400

(vi) 2 + 3 + 4 + 5 + 45 + 46 + 47 + 48
(2 + 3 + 4 + 5) + (45 + 46 + 47 + 48) (Используя ассоциативное свойство additio п)
= 14 + 186
= 200

Страница № 48:

Вопрос 5:

Найдите сумму кратким методом:
(i) 6784 + 9999
(ii) 10578 + 99999

Ответ:

(i) 6784 + 9999
= 6784 + (10000 — 1)
= (6784 + 10000) — 1 (Используя ассоциативное свойство сложения)
= 16784 — 1
= 16783

(ii) 10578 + 99999
= 10578 + (100000 — 1)
= (10578 + 100000) — 1 (Используя ассоциативное свойство сложения)
= 110578 — 1
= 110577

Страница № 48:

Вопрос 6:

Для любых целых чисел a , b , c , правда ли, что ( a + b ) + c = a + ( c + b )? Назови причины.

Ответ:

Для любых целых чисел a, b и c, имеем:
( a + b ) + c = a + ( b + c )

Пусть a = 2, b = 3 и c = 4 [мы можем принимать любые значения для a, b и c ]

LHS = ( a + b ) + c
= (2 + 3) + 4
= 5 + 4
= 9

RHS = a + ( c + b )
= a + ( b + c ) [ ∵ Целые числа подчиняются закону коммутативности]
= 2 + (3 + 4)
= 2 + 7
= 9

∴ Это показывает, что ассоциативность (вдобавок) является одним из свойств целых чисел.

Страница № 48:

Вопрос 7:

Завершите каждый из следующих магических квадратов, указав недостающие числа:
(i)

Ответ:

В магическом квадрате сумма каждой строки равна сумме каждого столбца и суммы каждой главной диагонали.Используя эту концепцию, мы имеем:
(i)

(ii)

(iii)

Страница № 48:

Вопрос 8:

Напишите (T) для истинного и (F) для ложного для каждого из следующих утверждений:
(i) Сумма двух нечетных чисел является нечетным числом.
(ii) Сумма двух четных чисел является четным числом.
(iii) Сумма четного и нечетного числа является нечетным числом.

Ответ:

(i) F (ложь). Сумма двух нечетных чисел не может быть нечетным числом. Пример: 3 + 5 = 8, что является четным числом.

(ii) T (верно). Сумма двух четных чисел является четным числом. Пример: 2 + 4 = 6, что является четным числом.

(iii) Т (верно). Сумма четного и нечетного числа является нечетным числом.Пример: 5 + 4 = 9, что является нечетным числом.

Страница № 49:

Вопрос 1:

Выполните следующие вычитания. Проверьте свои результаты по соответствующим дополнениям.
(i) 6237 — 694
(ii) 21205 — 10899
(iii) 100000 — 78987
(iv) 1010101 — 656565

Ответ:

(i) Вычитание: 6237 — 694 = 5543
Сложение: 5543 + 694 = 6237

(ii) Вычитание: 21205 — 10899 = 10306
Сложение: 10306 + 10899 = 21205

(iii) Вычитание: 100000 — 78987 = 21013
Сложение: 21013 + 78987 = 100000

(iv) Вычитание: 1010101 — 656565 = 353536
Сложение: 353536 + 656565 = 1010101

Страница № 49:

Вопрос 2:

Замените каждый * правильной цифрой в каждом из следующих:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)

Ответ:

(i) 917 — * 5 * = 5 * 8

⇒ 917-359 = 558

(ii) 6172 — ** 69 = 29 **


⇒ 6172-3269 = 2903

(iii) 5001003 — ** 6987 = 484 ****


⇒ 5001003 — 155987 = 4845016

(iv) 1000000 — **** 1 = * 7042 *


⇒ 1000000 — 29571 = 970429

Страница № 49:

Вопрос 3:

Найдите разницу:
(i) 463 — 9
(ii) 5632 — 99
(iii) 8640 — 999
(iv) 13006 — 9999

Ответ:

(i) 463 — 9
= 463 — 10 + 1
= 464 — 10
= 454

(ii) 5632 — 99
= 5632 — 100 + 1
= 5633 — 100
= 5533

(iii) 8640 — 999
= 8640 — 1000 + 1
= 8641 — 1000
= 7641

(iv) 13006 — 9999
= 13006 — 10000 + 1
= 13007 — 10000
= 3007

Страница № 50:

Вопрос 4:

Найдите разницу между наименьшим числом из 7 цифр и наибольшим числом из 4 цифр.

Ответ:

Наименьшее семизначное число = 1000000
Наибольшее четырехзначное число = 9999
∴ Их разница = 1000000 — 9999
= 1000000 — 10000 + 1
= 1000001 — 10000
= 9

Страница № 50:

Вопрос 5:

Рави открыл свой счет в банке, вложив 136000 рупий.На следующий день он снял с него 73129 рупий. Сколько денег осталось на его счету?

Ответ:

Деньги, внесенные Рави = 1,36,000 рупий
Деньги, снятые Рави = 73,129 рупий
Деньги, оставшиеся на его счете = деньги, внесенные — деньги сняты
= (136000 — 73129) рупий
= 62871 рупий

∴ 62 871 рупий осталось в Счет Рави.

Страница № 50:

Вопрос 6:

Г-жа Саксена сняла 100000 рупий со своего банковского счета. Она купила телевизор за 38750 рупий, холодильник за 23890 рупий и украшения на сумму 35560 рупий. Сколько денег у нее осталось?

Ответ:

Деньги, снятые миссис Саксена = 100000 рупий
Стоимость телевизора = 38750 рупий
Стоимость холодильника = 23890 рупий
Стоимость украшений = 35560 рупий
Всего потрачено денег = (38750 + 23890 + 35560) = 98200

рупий Остались деньги = деньги сняты — потрачены
= (100000 — 98200)
= 1800

∴ 1800 рупий осталось у миссис Саксена.

Страница № 50:

Вопрос 7:

Население города составляло 110 500 человек. За год оно увеличилось на 3608 человек за счет новорожденных. Однако 8973 человека умерли или покинули город в течение года. Какая была численность населения в конце года?

Ответ:

Население города = 110500
Прирост населения = 110500 + 3608 = 114108
Количество человек, которые умерли или покинули город = 8973
Население на конец года = 114108 — 8973 = 105135

∴ Население на конец года будет 105135.

Страница № 50:

Вопрос 8:

Найдите целое число n , когда:
(i) n + 4 = 9
(ii) n + 35 = 101
(iii) n -18 = 39
(iv) n — 20568 = 21403

Ответ:

(i) n + 4 = 9
⇒ n = 9-4 = 5

(ii) n + 35 = 101
⇒ n = 101-35 = 66

(iii) n — 18 = 39
⇒ n = 18 + 39 = 57

(iv) n — 20568 = 21403
⇒ n = 21403 + 20568 = 41971

Страница № 53:

Вопрос 1:

Заполните пропуски, чтобы каждое из следующих утверждений соответствовало действительности:
(i) 246 × 1 =……
(ii) 1369 × 0 = …….
(iii) 593 × 188 = 188 × …….
(iv) 286 × 753 = ….. . × 286
(v) 38 × (91 × 37) = …… × (38 × 37)
(vi) 13 × 100 × …… = 1300000
(vii) 59 × 66 + 59 × 34 = 59 × (…… + ……)
(viii) 68 × 95 = 68 × 100 — 68 × …….

Ответ:

(i) 246 × 1 = 246
(ii) 1369 × 0 = 0
(iii) 593 × 188 = 188 × 593
(iv) 286 × 753 = 753 × 286
(v) 38 × (91 × 37 ) = 91 × (38 × 37)
(vi) 13 × 100 × 1000 = 1300000
(vii) 59 × 66 + 59 × 34 = 59 × (66 + 34)
(viii) 68 × 95 = 68 × 100 — 68 × 5

Страница № 53:

Вопрос 2:

Укажите свойство, используемое в каждом из следующих утверждений:
(i) 19 × 17 = 17 × 19
(ii) (16 × 32) — целое число
(iii) (29 × 36) × 18 = 29 × (36 × 18)
(iv) 1480 × 1 = 1480
(v) 1732 × 0 = 0
(vi) 72 × 98 + 72 × 2 = 72 × (98 + 2)
(vii) 63 × 126 — 63 × 26 = 63 × (126 — 26)

Ответ:

(i) Закон коммутативности при умножении
(ii) Свойство замыкания
(iii) Ассоциативность умножения
(iv) Мультипликативная идентичность
(v) Свойство нуля
(vi) Закон распределения по сложению
(vii) Закон распределения умножения на вычитание

Страница № 53:

Вопрос 3:

Найдите значение каждого из следующих параметров, используя различные свойства:
(i) 647 × 13 + 647 × 7
(ii) 8759 × 94 + 8759 × 6
(iii) 7459 × 999 + 7459
(iv) 9870 × 561 — 9870 × 461
(в) 569 × 17 + 569 × 13 + 569 × 70
(vi) 16825 × 16825 — 16825 × 6825

Ответ:

(i) 647 × 13 + 647 × 7
= 647 × (13 + 7)
= 647 × 20
= 12940 (с использованием распределительной собственности)

(ii) 8759 × 94 + 8759 × 6
= 8759 × (94 + 6)
= 8759 × 100
= 875900 (Используя свойство распределения)

(iii) 7459 × 999 + 7459
= 7459 × (999 + 1)
= 7459 × 1000
= 7459000 (Используя распределительное свойство)

(iv) 9870 × 561 — 9870 × 461
= 9870 × (561 — 461)
= 9870 × 100
= 987000 (Используя распределительное свойство)

(v) 569 × 17 + 569 × 13 + 569 × 70
= 569 × (17+ 13+ 70)
= 569 × 100
= 56900 (Используя свойство распределения)

(vi) 16825 × 16825 — 16825 × 6825
= 16825 × (16825-6825)
= 16825 × 10000
= 168250000 (При использовании дистрибутивного пр оперти)

Страница № 53:

Вопрос 4:

Определите каждый из следующих продуктов подходящей перегруппировкой:
(i) 2 × 1658 × 50
(ii) 4 × 927 × 25
(iii) 625 × 20 × 8 × 50
(iv) 574 × 625 × 16
(v) 250 × 60 × 50 × 8
(vi) 8 × 125 × 40 × 25

Ответ:

(i) 2 × 1658 × 50
= (2 × 50) × 1658
= 100 × 1658
= 165800

(ii) 4 × 927 × 25
= (4 × 25) × 927
= 100 × 927
=

(iii) 625 × 20 × 8 × 50
= (20 × 50) × 8 × 625
= 1000 × 8 × 625
= 8000 × 625
= 5000000

(iv) 574 × 625 × 16
= 574 × (625 × 16)
= 574 × 10000
= 5740000

(v) 250 × 60 × 50 × 8
= (250 × 8) × (60 × 50)
= 2000 × 3000
= 6000000

(vi) 8 × 125 × 40 × 25
= (8 × 125) × (40 × 25)
= 1000 × 1000
= 1000000

Страница № 53:

Вопрос 5:

Найдите каждый из следующих продуктов, используя законы распределения:
(i) 740 × 105
(ii) 245 × 1008
(iii) 947 × 96
(iv) 996 × 367
(v) 472 × 1097
(vi ) 580 × 64
(vii) 439 × 997
(viii) 1553 × 198

Ответ:

(i) 740 × 105
= 740 × (100 + 5)
= 740 × 100 + 740 × 5 (Используя распределительный закон умножения над сложением)
= 74000 + 3700
= 77700

(ii) 245 × 1008
= 245 × (1000 + 8)
= 245 × 1000 + 245 × 8 (с использованием распределительного закона умножения над сложением)
= 245000 + 1960
= 246960

(iii) 947 × 96
= 947 × (100 — 4)
= 947 × 100 — 947 × 4 (Используя распределительный закон умножения над вычитанием)
= — 3788
=

(iv) 996 × 367
= 367 × (1000-4)
= 367 × 1000 — 367 × 4 (с использованием распределительного закона умножения над вычитанием)
= 367000 × 1468
= 365532

(v) 472 × 1097
= 472 × (1000 + 97)
= 472 × 1000 + 472 × 97 (с использованием распределительного закон умножения над сложением)
= 472000 + 45784
= 517784

(vi) 580 × 64 9000 3 = 580 × (60 + 4)
= 580 × 60 + 580 × 4 (Используя распределительный закон умножения над сложением)
= 34800 + 2320
= 37120

(vii) 439 × 997
= 439 × (1000 — 3)
= 439 × 1000 — 439 × 3 (с использованием распределительного закона умножения над вычитанием)
= 439000 — 1317
= 437683

(viii) 1553 × 198
= 1553 × (200 — 2)
= 1553 × 200 — 1553 × 2 (используя распределительный закон умножения над вычитанием)
= 310600 — 3106
= 307494

Страница № 53:

Вопрос 6:

Найдите каждый из следующих продуктов, используя законы распределения:
(i) 3576 × 9
(ii) 847 × 99
(iii) 2437 × 999

Ответ:

Распределительное свойство умножения над сложением утверждает, что a ( b + c ) = ab + ac
Распределительное свойство умножения над вычитанием утверждает, что a ( b — c ) = ab — ac
(i) 3576 × 9
= 3576 × (10 — 1)
= 3576 × 10 — 3576 × 1
= 35760 — 3576
= 32184

(ii) 847 × 99
= 847 × (100 — 1)
= 847 × 100 — 847 × 1
= 84700 — 847
= 83853

(iii) 2437 × 999
= 2437 × (1000 — 1)
= 2437 × 1000 — 2437 × 1
= 2437000 — 2437
= 2434563

Страница № 54:

Вопрос 7:

Найдите продукты:
(i)

(ii)

(iii)

(iv)

Ответ:

(i)

458 × 67 = 30686

(ii)

3709 × 89 = 330101

(iii)

4617 × 234 = 1080378

(iv)

15208 × 542 = 8242736

Страница № 54:

Вопрос 8:

Найдите произведение наибольшего трехзначного числа и наибольшего пятизначного числа.

Ответ:

Наибольшее трехзначное число = 999
Наибольшее пятизначное число = 99999
∴ Произведение двух чисел = 999 × 99999
= 999 × (100000 — 1) (Согласно распределительному закону)
= 99

0 — 999

Страница № 54:

Вопрос 9:

Автомобиль движется с постоянной скоростью 75 км в час.Какое расстояние он преодолеет за 98 часов?

Ответ:

Равномерная скорость автомобиля = 75 км / ч

Расстояние = скорость × время
= 75 × 98
= 75 × (100 — 2) (Используя закон распределения)
= 75 × 100 — 75 × 2
= 7500 — 150
= 7350 км

∴ Пройденное расстояние за 98 ч составляет 7350 км.

Страница № 54:

Вопрос 10:

Дилер приобрел 139 видеомагнитофонов.Если стоимость каждого набора составляет 24350 рупий, найдите стоимость всех наборов вместе.

Ответ:

Стоимость 1 набора видеомагнитофонов = 24350 рупий
Стоимость 139 наборов видеомагнитофонов = 139 × 24350
= 24350 × (140 — 1) (с учетом распределительных свойств)
= 24350 × 140 — 24350
= 3409000 — 24350
= рупий.3384650

∴ Стоимость всех комплектов видеомагнитофонов составляет 33,84 650 рупий.

Страница № 54:

Вопрос 11:

Жилищным кооперативом построено 197 домов. Если стоимость строительства каждого дома составляет 450000 рупий, какова общая стоимость строительства всех домов?

Ответ:

Стоимость строительства 1 дома = 450000 рупий
Стоимость строительства 197 таких домов = 197 × 450000
= 450000 × (200 — 3)
= 450000 × 200 — 450000 × 3 [Использование распределительного свойства умножения над вычитанием]
=

000 — 1350000

∴ Общая стоимость строительства 197 домов составляет 8,86,50 000 рупий.

Страница № 54:

Вопрос 12:

Приобретено 50 стульев и 30 классных досок для школы. Если каждый стул стоит 1065 рупий, а каждая доска — 1645 рупий, найдите общую сумму счета.

Ответ:

Стоимость стула = 1065 рупий
Стоимость доски = 1645 рупий
Стоимость 50 стульев = 50 × 1065 = 53250 рупий
Стоимость 30 классных досок = 30 × 1645 = 49350 рупий
∴ Общая сумма счета = стоимость 50 стульев + стоимость 30 досок
= (53250 + 49350)
= 1,02,600

Страница № 54:

Вопрос 13:

В школе шесть секций VI класса, по 45 учеников в каждой секции.Если ежемесячная плата с каждого студента составляет 1650 рупий, найдите общий ежемесячный сбор с Класса VI.

Ответ:

Количество учеников в 1 секции = 45
Количество учеников в 6 разделах = 45 × 6 = 270
Ежемесячная плата с 1 ученика = 1650
рупий ∴ Общий ежемесячный сбор с VI класса = 1650 рупий × 270 = 4,45 500

Страница № 54:

Вопрос 14:

Произведение двух целых чисел равно нулю.К чему вы пришли?

Ответ:

Если произведение двух целых чисел равно нулю, то одно из них определенно равно нулю.
Пример: 0 × 2 = 0 и 0 × 15 = 0

Если произведение целых чисел равно нулю, то оба они могут быть равны нулю.
, т.е. 0 × 0 = 0

Теперь 2 × 5 = 10. Здесь произведение будет отличным от нуля, потому что числа для умножения не равны нулю.

Страница № 54:

Вопрос 15:

Заполните пропуски:
(i) Сумма двух нечетных чисел равна…… номер.
(ii) Произведение двух нечетных чисел является …… числом.
(iii) a ≠ 0 и a × a = a ⇒ a =?

Ответ:

(i) Сумма двух нечетных чисел является четным числом. Пример: 3 + 5 = 8, что является четным числом.
(ii) Произведение двух нечетных чисел является нечетным числом. Пример: 5 × 7 = 35, что является нечетным числом.
(iii) a ≠ 0 и a × a = a
Дано: a × a = a
⇒ a = aa = 1 , a ≠ 0

Страница № 56:

Вопрос 1:

Разделите и проверьте свой ответ на соответствующее умножение в каждом из следующих случаев:
(i) 1936 ÷ 36
(ii) 19881 ÷ 47
(iii) 257796 ÷ 341
(iv) 612846 ÷ 582
(v) 34419 ÷ 149
(vi) 39039 ÷ 1001

Ответ:

(i)

Дивиденд = 1936, делитель = 36, коэффициент = 53, остаток = 28
Проверка: делитель × коэффициент + остаток = 36 × 53 + 28
= 1936
= дивиденд
Следовательно, дивиденд = делитель × коэффициент + Остаток
проверено.
(ii) 19881 ÷ 47

Дивиденд = 19881, Делитель = 47, Частное = 423, Остаток = 0
Проверка: Делитель × Частное + Остаток = 47 × 423 + 0
= 19881
= Дивиденд
Следовательно, Дивиденд = Делитель × Частное + остаток
Проверено.

(iii)

Дивиденд = 257796, делитель = 341, коэффициент = 756, остаток = 0
Проверка: делитель × коэффициент + остаток = 341 × 756 + 0
= 257796
= дивиденд
Следовательно, дивиденд = делитель × коэффициент + Остаток
проверено.

(iv) 612846 ÷ 582

Дивиденд = 612846, Делитель = 582, Частное = 1053, Остаток = 0
Проверка: Делитель × Частное + Остаток = 582 × 1053 + 0
= 612846
= Дивиденд
Следовательно, Дивиденд = делитель × частное + остаток
подтверждено.

(v) 34419 ÷ 149

Дивиденд = 34419, Делитель = 149, Частное = 231, Остаток = 0
Проверка: Делитель × Частное + Остаток = 149 × 231 + 0
= 34419
= Дивиденд
Следовательно, Дивиденд = Делитель × Частное + Остаток
Проверено.

(vi) 39039 ÷ 1001

Дивиденд = 39039, Делитель = 1001, Частное = 39, Остаток = 0
Проверка: Делитель × Частное + Остаток = 1001 × 39 + 0
= 39039
= Дивиденд
Следовательно, Дивиденд = делитель × частное + остаток
подтверждено.

Страница № 56:

Вопрос 2:

Разделите и найдите частное и остаток.Проверьте свой ответ.
(i) 6971 ÷ 47
(ii) 4178 ÷ 35
(iii) 36195 ÷ 153
(iv)
÷ 400
(v) 23025 ÷ 1000
(vi) 16135 ÷ 875

Ответ:

(i) 6971 ÷ 47

Частное = 148 и остаток = 15
Проверка: делитель × частное + остаток = 47 × 148 + 15
= 6971
= дивиденд
∴ дивиденд = делитель × частное + остаток
подтверждено.

(ii) 4178 ÷ 35

Дивиденд = 119 и остаток = 13
Проверка: делитель × частное + остаток = 35 × 119 + 13
= 4178
= дивиденд

∴ Дивиденд = делитель × частное + остаток
Проверено.
(iii) 36195 ÷ 153

Частное = 236 и остаток = 87
Проверка: делитель × частное + остаток = 153 × 236 + 87
= 36195
= дивиденд
∴ дивиденд = делитель × частное + остаток
подтверждено.
(iv)
÷ 400

Частное = 233 и остаток = 375
Проверка: делитель × частное + остаток = 400 × 233 + 375
=

= дивиденд
∴ дивиденд = делитель × частное + остаток
подтверждено.

(v) 23025 ÷ 1000

Частное = 23 и остаток = 25
Проверка: делитель × частное + остаток = 1000 × 23 + 25
= 23025
= дивиденды
∴ дивиденды = делитель × частное + остаток
подтверждено.
(vi) 16135 ÷ 875

Частное = 18 и остаток = 385
Проверка: делитель × частное + остаток = 875 × 18 + 385
= 16135
= дивиденд
∴ дивиденд = делитель × частное + остаток
подтверждено.

Страница № 56:

Вопрос 3:

Найдите значение
(i) 65007 ÷ 1
(ii) 0 ÷ 879
(iii) 981 + 5720 ÷ 10
(iv) 1507 — (625 ÷ 25)
(v) 32277 ÷ (648 — 39)
(vi) (1573 ÷ 1573) — (1573 ÷ 1573)

Ответ:

(i) 65007 ÷ 1 = 65007

(ii) 0 ÷ 879 = 0

(iii) 981 + 5720 ÷ 10
= 981 + (5720 ÷ 10) (в соответствии со свойством DMAS)
= 981 + 572
= 1553

(iv) 1507 — (625 ÷ 25) (Следуя свойству BODMAS)
= 1507-25
= 1482

(v) 32277 ÷ (648-39) (Следуя за свойством BODMAS)
= 32277 ÷ (609)
= 53

(vi) (1573 ÷ 1573) — (1573 ÷ 1573) (Следуя свойству BODMAS)
= 1 — 1
= 0

Страница № 56:

Вопрос 4:

Найдите целое число n такое, что n ÷ n = n .

Ответ:

Дано: n ÷ n = n
⇒ nn = n
⇒ n = n ²

т. Е. Целое число n равно n. ² .

∴ Целое число должно быть 1.

Страница № 56:

Вопрос 5:

Произведение двух чисел — 504347.Если одно из чисел 317, найдите другое.

Ответ:

Пусть x и y будут двумя числами.

Произведение двух чисел = x × y = 504347

Если x = 317, мы имеем:

317 × y = 504347
⇒ y = 504347 ÷ 317

y = 1591

∴ Другое число — 1591.

Страница № 56:

Вопрос 6:

При делении 59761 на определенное число получается 189, а остаток — 37. Найдите делитель.

Ответ:

Дивиденд = 59761, частное = 189, остаток = 37 и делитель =?

Дивиденд = делитель × частное + остаток
⇒ 59761 = делитель × 189 + 37
⇒ 59761-37 = делитель × 189
⇒ 59724 = делитель × 189
⇒ Делитель = 59724 ÷ 189


Следовательно, делитель

Страница № 56:

Вопрос 7:

При делении 55390 на 299 остаток равен 75.Найдите частное, используя алгоритм деления.

Ответ:

Здесь Дивиденд = 55390, Делитель = 299 и остаток = 75
Нам нужно найти частное.
Теперь дивиденд = делитель × частное + остаток
⇒ 55390 = 299 × частное + 75
⇒ 55390-75 = 299 × частное
⇒ 55315 = 299 × частное
⇒ частное = 55315 ÷ 299






185

Страница № 56:

Вопрос 8:

Какое наименьшее число нужно вычесть из 13601, чтобы получить число, в точности делимое на 87?

Ответ:

Сначала разделим 13601 на 87.

Остаток = 29
Итак, 29 нужно вычесть из 13601, чтобы получить число, точно делимое на 87.
т.е. 13601 — 29 = 13572

Теперь у нас есть:

∴ 29 нужно вычесть из 13601 чтобы сделать его делимым на 87.

Страница № 56:

Вопрос 9:

Какое наименьшее число нужно добавить к 1056, чтобы получить число, точно делимое на 23?

Ответ:

Сначала разделим 1056 на 23.

Требуемое число = 23 — 21 = 2
Итак, 2 нужно добавить к 1056, чтобы оно делилось на 23.
т.е. 1056 + 2 = 1058

Теперь у нас есть:

∴ 1058 — это делится на 23.

Страница № 56:

Вопрос 10:

Найдите наибольшее 4-значное число, делящееся на 16.

Ответ:

Нам нужно найти наибольшее четырехзначное число, делящееся на 16.
Наибольшее четырехзначное число = 9999
Следовательно, дивиденд = 9999
Делитель = 16

Здесь мы получаем остаток = 15
Следовательно, 15 нужно вычесть из 9999, чтобы получить наибольшее четырехзначное число, которое делится на 16 .
т.е. 9999-15 = 9984

Таким образом, 9984 — это наибольшее четырехзначное число, которое делится на 16.

Страница № 56:

Вопрос 11:

Разделите наибольшее пятизначное число на 653.Проверьте свой ответ по алгоритму деления.

Ответ:

Наибольшее пятизначное число = 99999

Дивиденд = 99999, Делитель = 653, Частное = 153 и остаток = 90
Проверка: Делитель × Частное + Остаток
= 653 × 153 + 90
= 99909 + 90
= 99999
= Дивиденд

∴ Дивиденд = делитель × коэффициент + остаток
Подтверждено.

Страница № 56:

Вопрос 12:

Найдите наименьшее 6-значное число, которое в точности делится на 83.

Ответ:

Наименьшее шестизначное число = 100000
Здесь делимое = 100000 и делитель = 83

Чтобы найти наименьшее шестизначное число, точно делимое на 83, мы должны прибавить к деленному 83-68 = 15.
То есть, 100000 + 15 = 100015

Итак, 100015 — это наименьшее шестизначное число, которое точно делится на 83.

Страница № 56:

Вопрос 13:

1 дюжина бананов стоит 29 рупий.Сколько дюжин можно купить за 1392 рупий?

Ответ:

Стоимость 1 дюжины бананов = 29
рупий. Количество дюжин, купленных за 1392 рупий = 1392 ÷ 29

Следовательно, 48 дюжин бананов можно купить за Rs. 1392.

Страница № 56:

Вопрос 14:

19625 деревьев в 157 рядов.Найдите количество деревьев в каждом ряду.

Ответ:

Количество деревьев, посаженных в 157 рядов = 19625
Деревьев, посаженных в 1 ряд = 19625 ÷ 157

∴ В каждом ряду высажено 125 деревьев.

Страница № 56:

Вопрос 15:

Население города составляет 517530 человек. Если сообщается, что каждый пятнадцатый является грамотным, узнайте, сколько грамотных людей в городе.

Ответ:

Население города = 517530
Грамотными считаются 115 человек, т.е. 115 × 517530 = 517530 ÷ 15

∴ В данном городе 34502 неграмотных.

Страница № 56:

Вопрос 16:

Себестоимость 23 цветных телевизоров составляет 570055 рупий. Определите себестоимость каждого телевизора, если каждый из них стоит одинаково.

Ответ:

Себестоимость 23 цветных телевизоров = 5 70 055 рупий
Себестоимость 1 телевизора = 570055 ÷ 23


∴ Себестоимость одного телевизора составляет 24 785 рупий.

Страница № 56:

Вопрос 1:

Наименьшее целое число —
(a) 1
(b) 0
(c) 2
(d) ни одно из этих

Ответ:

(b) 0

Наименьшее целое число — 0.

Страница № 56:

Вопрос 2:

Наименьшее количество из 4 цифр, которое точно делится на 9, равно
(a) 1018
(b) 1026
(c) 1009
(d) 1008

Ответ:

(d) 1008

(a)

Следовательно, 1018 не делится точно на 9.

(b)

Следовательно, 1026 точно делится на 9.
(c)

Следовательно, 1009 не делится точно на 9.

(d)

Следовательно, 1008 точно делится на 9.

(b) и (d) точно делятся на 9, но (d ) — наименьшее число, которое в точности делится на 9.

Страница № 57:

Вопрос 3:

Наибольшее число из 6 цифр, которое точно делится на 16, равно
(a) 999980
(b) 999982
(c) 999984
(d) 999964

Ответ:

(c) 999984

(a)

Следовательно, 999980 не делится на 16 в точности.
(b)

Следовательно, 999982 не делится точно на 16.
(c)

Следовательно, 999984 точно делится на 16.
(d)

Следовательно, 999964 не делится на 16.

наибольшее шестизначное число, которое точно делится на 16, — это 999984.

Страница № 57:

Вопрос 4:

Какое наименьшее число нужно вычесть из 10004, чтобы получить число, точно делимое на 12?
(а) 4
(б) 6
(в) 8
(г) 20

Ответ:

(c) 8

Здесь мы должны указать, какое наименьшее число нужно вычесть из 10004, чтобы получить число, точно делимое на 12
Итак, сначала мы разделим 10004 на 12.

Остаток = 8
Итак, 8 следует вычесть из 10004, чтобы получить число, точно делимое на 12.
т.е. 10004-8 = 9996

Следовательно, 9996 точно делится на 12.

Страница № 57:

Вопрос 5:

Какое наименьшее число нужно прибавить к 10056, чтобы получить число, точно делимое на 23?
(а) 5
(б) 18
(в) 13
(г) 10

Ответ:

(a) 18

Здесь мы должны указать, какое наименьшее число нужно добавить к 10056, чтобы получить число, точно делимое на 23
Итак, сначала мы разделим 10056 на 23

Остаток = 5
Требуемое число = 23-5 = 18

Итак, 18 нужно прибавить к 10056, чтобы получить число, точно делимое на 23.
то есть 10056 + 18 = 10074

Следовательно, 10074 точно делится на 23.

Страница № 57:

Вопрос 6:

Какое целое число является ближайшим к 457, деленному на 11?
(а) 450
(б) 451
(в) 460
(г) 462

Ответ:

(d) 462

(a)

Следовательно, 450 не делится на 11.
(b)

Следовательно, 451 делится на 11.
(c)

Следовательно, 460 не делится на 11.
(d)

Следовательно, 462 делится на 11.

Здесь приведенные числа в вариантах (b) и (d) делятся на 11. Однако нам нужно целое число, ближайшее к 457, которое делится на 11.
Итак, 462 — это целое число, ближайшее к 457 и делимое на 11.

Страница № 57:

Вопрос 7:

Сколько целых чисел между 1018 и 1203?
(a) 185
(b) 186
(c) 184
(d) ни один из этих

Ответ:

(c) 184

Количество целых чисел = (1203 — 1018) — 1
= 185 — 1
= 184

Страница № 57:

Вопрос 8:

При делении числа на 46 получается частное 11 и остаток 15.Номер:
(а) 491
(б) 521
(в) 701
(г) 679

Ответ:

(b) 521

Делитель = 46
Частное = 11
Остаток = 15
Дивиденд = делитель × частное + остаток
= 46 × 11 + 15
= 506 + 15
= 521

Страница № 57:

Вопрос 9:

В сумме деления получается дивиденд = 199, частное = 16 и остаток = 7.Делитель равен
(а) 11
(б) 23
(в) 12
(г) ни один из этих

Ответ:

(c) 12

Дивиденд = 199
Частное = 16
Остаток = 7
Согласно алгоритму деления имеем:
Дивиденд = делитель × частное + остаток
⇒ 199 = делитель × 16 + 7
⇒ 199-7 = делитель × 16
⇒ Делитель = 192 ÷ 16

Страница № 57:

Вопрос 10:

7589 -? = 3434
(a) 11023
(b) 4245
(c) 4155
(d) ни один из этих

Ответ:

(а) 11023

7589 -? = 3434
⇒ 7589 — x = 3434
⇒ x = 7589 + 3434
⇒ x = 11023

Страница № 57:

Вопрос 11:

587 × 99 =?
(а) 57213
(б) 58513
(в) 58113
(г) 56413

Ответ:

(c) 58113

587 × 99
= 587 × (100 — 1)
= 587 × 100 — 587 × 1 [Использование распределительного свойства умножения над вычитанием]
= 58700 — 587
= 58113

Страница № 57:

Вопрос 12:

4 × 538 × 25 =?
(а) 32280
(б) 26900
(в) 53800
(г) 10760

Ответ:

(в) 53800

4 × 538 × 25
= (4 × 25) × 538
= 100 × 538
= 53800

Страница № 57:

Вопрос 13:

24679 × 92 + 24679 × 8 =?
(a) 4

Ответ:

(c) 2467900

Используя свойство распределения, мы имеем:
24679 × 92 + 24679 × 8
= 24679 × (92 + 8)
= 24679 × 100
= 2467900

Страница № 57:

Вопрос 14:

1625 × 1625 — 1625 × 625 =?
(а) 1625000
(б) 162500
(в) 325000
(г) 812500

Ответ:

(a) 1625000

Используя свойство распределения, мы имеем:

1625 × 1625 — 1625 × 625
= 1625 × (1625 — 625)
= 1625 × 1000
= 1625000

Страница № 57:

Вопрос 15:

1568 × 185 — 1568 × 85 =?
(a) 7840
(b) 15680
(c) 156800
(d) ни один из этих

Ответ:

(c) 156800

Используя свойство распределения, мы имеем:
1568 × 185 — 1568 × 85
= 1568 × (185 — 85)
= 1568 × 100
= 156800

Страница № 57:

Вопрос 16:

(888 + 777 + 555) = (111 ×?)
(а) 120
(б) 280
(в) 20
(г) 140

Ответ:

(c) 20

(888 + 777 + 555) = (111 ×?)
⇒ (888 + 777 + 555) = 111 × (8 + 7 + 5) [Взяв 111 обычных]
= 111 × (20) = 2220

Страница № 57:

Вопрос 17:

Сумма двух нечетных чисел равна
(a) нечетное число
(b) четное число
(c) простое число
(d) кратное 3

Ответ:

(б) четное число

Сумма двух нечетных чисел является четным числом.

Пример: 5 + 3 = 8

Страница № 57:

Вопрос 18:

Произведение двух нечетных чисел равно
(a) нечетное число
(b) четное число
(c) простое число
(d) ни одно из этих

Ответ:

(а) нечетное число

Произведение двух нечетных чисел является нечетным числом.

Пример: 5 × 3 = 15

Страница № 57:

Вопрос 19:

Если a — целое число, такое что a + a = a , то a =?
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) ни один из этих

Ответ:

(d) ни один из этих

Дано: — целое число, такое что a + a = a .

Если a = 1, то 1+ 1 = 2 ≠ 1
Если a = 2, то 2 + 2 = 4 ≠ 2
Если a = 3, то 3 + 3 = 6 ≠ 3

Страница № 57:

Вопрос 20:

Предшественником 10000 является
(a) 10001
(b) 9999
(c) ни один из этих

Ответ:

(b) 9999

Предшественник 10000 = 10000 — 1 = 9999

Страница № 57:

Вопрос 21:

Преемником 1001 является
(a) 1000
(b) 1002
(c) ни один из этих

Ответ:

(b) 1002

Преемник 1001 = 1001 + 1 = 1002

Страница № 57:

Вопрос 22:

Наименьшее четное целое число —
(a) 0
(b) 2
(c) ни одно из этих

Ответ:

(b) 2

Наименьшее четное целое число равно 2.Ноль (0) не является ни четным, ни нечетным числом.

Страница № 59:

Вопрос 1:

Сколько целых чисел между 1064 и 1201?

Ответ:

Число целых чисел от 1201 до 1064 = (1201 — 1064) — 1
= 137 — 1
= 136

Страница № 59:

Вопрос 2:

Заполните пустые поля.
1000000 — **** 1 * 7042 *

Ответ:

1000000
— **** 1

* 7042 *

Тогда имеем:

1000000
— 29571

970429

Страница № 59:

Вопрос 3:

Используйте закон распределения, чтобы найти значение

1063 × 128 — 1063 × 28.

Ответ:

Используя закон распределения, имеем:
1063 × 128 — 1063 × 28
= 1063 × (128 — 28)
= 1063 × 100
= 106300

Страница № 59:

Вопрос 4:

Найдите произведение наибольшего 5-значного числа и наибольшего 3-значного числа, используя закон распределения.

Ответ:

Наибольшее пятизначное число = 99999
Наибольшее трехзначное число = 999

Используя закон распределения, мы имеем:

Продукт = 99999 × 999
= 99999 × (1000 — 1) [При использовании закона распределения]
= 99999 × 1000 — 99999 × 1
= 99999000 — 99999
= 99899001

OR

999 × 99999
= 999 × (100000 — 1) [С использованием закона распределения]
= 999 × 100000 — 999 × 1
= 99

0 — 999

Страница № 59:

Вопрос 5:

Разделите 53968 на 267 и проверьте результат алгоритмом деления.

Ответ:

Дивиденд = 53968, Делитель = 267, Частное = 202 и остаток = 34

Проверка: Частное × Делитель + Остаток
= 267 × 202 + 34
= 53934 + 34
= 53968
= Дивиденд

∴ Дивиденд = Частное × делитель + остаток

Проверено.

Страница № 59:

Вопрос 6:

Найдите наибольшее шестизначное число, делящееся на 16.

Ответ:

Наибольшее шестизначное число = 999999

Остаток = 15

Наибольшее шестизначное число, делимое на 16 = 999999-15 = 999984

∴ 999984 делится на 16.

Страница № 59:

Вопрос 7:

Себестоимость 23 телевизоров составляет 570055 рупий. Найдите стоимость каждого такого набора.

Ответ:

Себестоимость 23 телевизоров = 5,70 055 рупий
Себестоимость 1 телевизора = 570055 ÷ 23

∴ Стоимость одного телевизора составляет 24 785 рупий.

Страница № 59:

Вопрос 8:

Какое наименьшее число нужно вычесть из 13801, чтобы получить число, в точности делимое на 87?

Ответ:

Мы должны найти наименьшее число, которое нужно вычесть из 13801, чтобы получить число, точно делимое на 87
Итак, сначала мы разделим 13801 на 87

Остаток = 55
Число 55 нужно вычесть из 13801, чтобы получить число делимое на 87.
т.е. 13801 — 55 = 13746

∴ 13746 делится на 87.

Страница № 59:

Вопрос 9:

Значение (89 × 76 + 89 × 24) равно
(а) 890
(б) 8900
(в) 89000
(г) 10420

Ответ:

(b) 8900

(89 × 76 + 89 × 24)
= 89 × (76 + 24) [Использование распределительного свойства умножения над сложением]
= 89 × 100
= 8900

Страница № 59:

Вопрос 10:

При делении числа на 53 получаем частное 8 и остаток 5.Номер
(a) 419
(b) 423
(c) 429
(d) ни один из этих

Ответ:

(c) 429

Делитель = 53, Частное = 8, Остаток = 5 и Дивиденд =?

Теперь, дивиденд = частное × делитель + остаток
= 8 × 53 + 5
= 429

Страница № 59:

Вопрос 11:

Целое число, не имеющее предшественника, равно
(a) 1
(b) 0
(c) 2
(d) ни одно из этих

Ответ:

(b) 0

Целое число, не имеющее предшественника, равно 0.

то есть 0-1 = -1, что не является целым числом.

Страница № 59:

Вопрос 12:

67 + 33 = 33 + 67 — пример
(a) свойство замыкания
(b) ассоциативное свойство
(c) коммутативное свойство
(d) распределительное свойство

Ответ:

(c) Коммутативное свойство

67 + 33 = 33 + 67 является примером коммутативного свойства сложения.

Страница № 59:

Вопрос 13:

Присадка, обратная 36, равна
(a) 136
(b) 0
(c) −36
(d) ни один из этих

Ответ:

(c) -36
Аддитивная величина, обратная 36, равна -36.

т.е. 36 + (−36) = 0

Страница № 59:

Вопрос 14:

Что из следующего не равно нулю?
(а) 0 × 0
(б) 02
(в) 8 — 82
(г) 2 + 0

Ответ:

(г) 2 + 0

(а) 0 × 0 = 0
(б) 0/2 = 0
(в) 8-82 = 02 = 0
(г) 2 + 0 = 2

Страница № 59:

Вопрос 15:

Предшественником наименьшего трехзначного числа является
(a) 999
(b) 100
(c) 101
(d) 99

Ответ:

(d) 99

Наименьшее трехзначное число = 100
∴ Предшественник 100 = 100 — 1 = 99

Страница № 59:

Вопрос 16:

Количество целых чисел между наименьшим целым числом и наибольшим двузначным числом составляет
(a) 88
(b) 98
(c) 99
(d) 101

Ответ:

(b) 98
Наименьшее целое число = 0
Наибольшее двузначное число = 99
Число целых чисел от 0 до 99 = (99-0) — 1 = 98

Страница № 59:

Вопрос 17:

Заполните пустые поля.
(i) Наименьшее натуральное число ….
(ii) Наименьшее целое число ….
(iii) Деление на …… не определено.
(iv) …… целое число, которое не является натуральным числом.
(v) …… целое число, которое не является натуральным числом.

Ответ:

(i) Наименьшее натуральное число — 1.
(ii) Наименьшее целое число — 0.
(iii) Деление на 0 не определено.
(iv) 0 — целое число, которое не является натуральным числом.
(v) 1 — мультипликативное тождество для целых чисел.

Страница № 60:

Вопрос 18:

Напишите «T» для истинного и «F» для ложного в каждом из следующих значений:
(i) 0 — наименьшее натуральное число.
(ii) Каждое натуральное число является целым числом.
(iii) Каждое целое число является натуральным числом.
(iv) 1 не имеет целых предшественников.

Ответ:

(i) F (ложь). 0 не является натуральным числом.
(ii) T (верно).
(iii) F (ложно). 0 — целое, но не натуральное число.
(iv) F (ложно). 1-1 = 0 предшествует 1, которое является целым числом.

Страница № 60:

Вопрос 19:

Сопоставьте следующие столбцы с целыми числами:

Ответ:

Просмотреть решения NCERT для всех глав класса 6

5-значная постоянная Капрекара

В математике натуральное число в данной системе счисления является p {\ displaystyle p} -числом Капрекара, если представление его квадрата в этой основе может быть разделено на две части, где аналогично константа Капрекара для 3 цифр равна 495.Сходим к 495 — трехзначной постоянной Капрекара. 6174 известен как постоянная Капрекара в честь индийского математика Д. Р. Капрекара. Это число примечательно следующим правилом: возьмите любое четырехзначное число … Трехзначное число Капрекара — это число 495, а для двухзначных чисел такой константы нет. — калькулятор постоянной Капрекара — 6174 — постоянная Капрекара. Наиболее известным из них, вероятно, является число 6174, которое иногда называют постоянной Капрекара. Введение Это был 1949 год, когда Д.Р. Капрекар (см. [1]) первым объявил об открытии необычного свойства десятичного целого числа 6174. 4358 Фактически, применение процесса Капрекара почти к любому четырехзначному числу приведет к 6174 после не более чем 7 шагов (так что наш последний пример был тот, где процесс имеет максимальную длину). Вычтите меньшее число из большего числа. Шаг 2. Есть две константы Капрекара для 6-значных чисел — 631764 и 549945. Это означает, что если b 5 и 5 jb, то nreg (b, 4) 1. Числа Капрекара 6174 — это числа Капрекара-Зала.496 — третье совершенное число. На странице Википедии упоминается, что существует трехзначный процесс Капрекара; было бы неплохо иметь код, который легко адаптируется к этой связанной проблеме. Оценка констант Капрекара. В приведенном выше примере измените порядок цифр, чтобы получить наибольшее четырехзначное число. Сначала выберите четырехзначное число, в котором все цифры разные. Начните с числа 972 и попытайтесь узнать, какой константой оно станет после нескольких шагов. Попросите их проверить последовательность, используя трехзначные числа. Наконец, повторите эту процедуру, используя разницу в качестве нового четырехзначного числа.Например, постоянная Капрекара равна 495 для 3-значного целого числа. 6174 известна как постоянная Капрекара в честь индийского математика Д. Р. Капрекара. Более того, мы говорим, что b-адическая n-значная постоянная Капрекара x является регулярной, если числа всех цифр x различны. сумма … Для b-адического n-значного целого числа x, пусть A (соответственно, все четырехзначные числа достигают загадочного числа 6174 не более чем за 7 шагов. Запишите четырехзначное число в … Возьмите любые 4 цифры, скажем 8,3 , 2,7 Сколько итераций потребуется, чтобы каждое число достигло фиксированной точки?Число 495 — это трехзначная постоянная Капрекара. Расположите цифры в порядке убывания и переверните их, чтобы получилось новое число. Константа Капрекара, или 6174, является константой, которая возникает, когда мы берем 4-значное целое число, формируем наибольшее и наименьшее числа из его цифр, а затем вычитаем эти два числа. Например, применение операции Капрекара к трехзначному числу 753 дает следующее: 753-357 = 396 963-369 = 594 954-459 = 495 954-459 = 495. Число 495 является уникальным ядром для операции с трехзначными числами, и все трехзначные числа достигают 495 с помощью операции.Cody — это игра MATLAB для решения задач, которая предлагает вам расширить свои знания. Модифицированное число Капрекара — это положительное целое число n с d цифрами, такое что, когда мы разделим его квадрат на две части — правую часть r с d цифрами и левую часть l, содержащую оставшиеся d или d − 1 цифр, сумма частей равна исходному числу (т.е. примените преобразование, описанное выше, к любому 4-значному числу (кроме 0000, 1111, 2222,…, 9999), и вы гарантированно достигнете этого магического числа 6174 за СЕМЬ итераций.Попробуйте выполнить следующие простые арифметические вычисления. В каждой итерации подпрограммы Капрекара два числа, вычитаемые одно из другого, имеют одинаковую сумму цифр и, следовательно, одинаковый остаток по модулю 9. Для 5-значных чисел мы не получаем фиксированную точку, поэтому соответствующий алгоритм не … следующий процесс: возьмите любое четырехзначное число, которое имеет как минимум две различные цифры. В этом вся прелесть постоянной Капрекара. Константа Капрекара для трехзначных чисел — 495, четырехзначных чисел — 6174, шестизначных чисел — 549945,631764 — восьмизначных чисел — 63317664, 97508421 — девятизначных чисел — 554999445, 864197532 — десятизначных чисел — 6333176664, 753086421 4…. 1.Возьмите любое четырехзначное число, по крайней мере, две разные цифры (допускается ноль в начале). Вывод kap2.cc показывает, что единственная постоянная Капрекара для 7-значных чисел с b ≤21 — это та, которая указана в формулировке теоремы. 6174 известен как Константа Капрекара. Пусть b ≥ 2 и n ≥ 2 — целые числа. Возьмите любое трехзначное число, состоящее как минимум из двух цифр. Число Капрекара; Kaprekar Constant; Проверить делимость шестнадцатеричных чисел; Считайте числа меньше N, содержащие цифры из заданного набора: Digit DP; Подсчет целых чисел длины N и значения меньше K таких, что они содержат цифры только из данного набора; Измените порядок массива так, чтобы arr [i] превратился в arr [arr [i]] с дополнительным пространством O (1). Однако в базе 10 такая константа существует только для чисел из 3 или 4 цифр; для других длин цифр или оснований, отличных от 10, стандартный алгоритм Капрекара, описанный выше, может в общем заканчиваться несколькими разными константами или повторяющимися циклами, в зависимости от … Оказывается, постоянная Капрекара — это математический магический трюк, который довольно интересен, и я буду Ниже мы расскажем о правилах этой игры Капрекара.То же самое происходит и с трехзначными числами. Если результат меньше 4 цифр, добавьте ведущие 0, чтобы получилось 4-значное число. В то время как 4-значные числа сходятся к 6174, 3-значные числа сходятся к 495 аналогичным образом. Запишите цифры от наибольшей к наименьшей, чтобы создать новое трехзначное число. B) быть b-адическим n-значным целым числом, полученным перестановкой номеров всех цифр x в порядке убывания (соответственно, применение операции Капрекара к трехзначному числу 753 дает следующее: 753 — 357 = 396 963 — 369 = 594 954 — 459 = 495 Затем они назначили цвет каждому количеству шагов, необходимых для достижения 6174 (помните, что было максимум 7 шагов):В этой статье мы докажем в теореме 4 (2) и следствии 3 (2), что любая четырехзначная регулярная постоянная Капрекара равна (3021) 4 или задается как… Например, 6264 = 6642 — 2466 = 4176 4176 = 7641 — 1467 = 6174 6174 = 7641 — 1467 = 6174. Совсем недавно я наткнулся на «Константу Капрекара», и, возможно, у г-на Капрекара было слишком много свободного времени… но все же это довольно интересно. Я изучаю теорию чисел и отвечаю на этот вопрос: (Те, кто знает константу Капрекара, могут пропустить 1-й абзац.) Константа Капрекара K k в заданной базе b является k-значным числом K, таким, что подчиняется любой другой k-значной число n (кроме повторной единицы R k и чисел с k… Число возникает при анализе следующей функции: задано четырехзначное положительное целое число \ (n \), пусть \ (a \) будет числом, образованным сортировкой \ ( n \) в порядке возрастания, и пусть \ (d \) будет числом, образованным путем сортировки цифр в порядке убывания (добавление конечных нулей, чтобы \ (d \) состоял из 4 цифр).Пример (Допускаются ведущие нули.) В математике натуральное число в данной системе счисления называется числом Капрекара p {\\ displaystyle p}, если представление его квадрата в этой базе может быть разделено на две части, где вторая часть имеет p {\ displaystyle p} цифр, которые в сумме составляют исходное число. Определите функцию sb (i) равной 0, если i = C b или если i, записанный в базе b, состоит из 5 идентичных цифр. Обращаясь к Классическому Капрекару… Капрекар (полное имя Даттатрея Рамчандра Капрекар) был индийским математиком, который, к сожалению, прошел прочь в середине 1980-х.Введение Пусть a будет r-значным числом… Число Капрекара Число Капрекара (также называемое рядом Капрекара на основе операции Капрекара). 4716, то можно отметить, что U 4 + U 4 ‘= K 4 + K 4’, т.е.

Знаете ли вы, что 6 174 — очень загадочное число? Затем переставьте цифры, чтобы получить наибольшее и наименьшее числа, которые могут образовывать эти цифры. Число 6174 также известно как постоянная Капрекара. Мы снова получили постоянную Капрекара. Капрекар был индийским математиком, который пришел к этому прекрасному результату из теории чисел в 1946 году.(A) Выберите 4-значное число. Например, 45 — это число Капрекара, потому что 452 = 2025 и 20 + 25 = 45. Я также нашел число, похожее на Константу Капрекара, равную 63, которая снова появляется на пятой стадии при повторении процесса снова и снова. Почему они думают, что это так? Это означает, что любое 4-значное число в конечном итоге достигнет 6174 в течение максимум 8 итераций процедуры Капрекара. В 1949 году Д. Р. Капрекар обнаружил, что если описанный выше процесс применяется к числам с основанием 10 из 4 цифр, результирующая последовательность почти всегда будет сходиться к значению 6174 максимум за 8 итераций, за исключением небольшого набора начальных чисел, которые вместо этого сходятся к 0. .Определение всех четырехзначных констант Капрекара. Аналогичная константа для 3 цифр — 495. (не все цифры одинаковые) расположите цифры в порядке возрастания и убывания, вычтите число. Ответить; 6174. 495 — постоянная Капрекара для трехзначных чисел. Игра на 2, 3 или 4 МАТЕРИАЛА Набор домино и блокнот. Постоянная Капрекара, равная 6 174, названа в честь первооткрывателя Д. Р. Капрекара. Вторая, ∂ = 4.66
…, была открыта в 1975 году физиком-математиком Митчеллом Фейгенбаумом с помощью программируемого калькулятора HP-65.1.5. Выполните следующий процесс (называемый программой Капрекара): возьмите любое двузначное число, все цифры которого не идентичны. Это также число, с которым нас связывают тесные отношения от начальной школы до университета. B) быть b-адическим n-значным целым числом, полученным перестановкой номеров всех цифр x в порядке убывания (соответственно CiteSeerX — Детали документа (Isaac Councill, Lee Giles, Pradeep Teregowda): мы исследуем некоторые новые результаты по константам Капрекара, в частности, устанавливая уникальные 7-значные (в базе 4) и 9-значные (в базе 5) константы Капрекара и показывая, что не существует 15-, 21-, 27- или 33-значных чисел Капрекара… и беря любое четырехзначное число мы получаем 6174 после максимум 7 итераций.Если все n-значные числа для определенного значения n, кроме чисел, у которых все цифры одинаковы, приводят к одной и той же черной дыре, то это число является константой Капрекара. (Категория Пра) Магическое число ….. 6174 постоянная Капрекара. (Допускаются ведущие нули.) Знаете ли вы, что 6174 — очень загадочное число? Поскольку все двух-, трех- и четырехзначные числа приводят к одному из 43 чисел, как только будет обнаружена разница для этих чисел, можно будет найти количество итераций для всех двух- или четырехзначных чисел.Интересно, что здесь мы имеем 4-значную константу Капрекара. Последняя активность 5 лет 11 месяцев назад. В первом примере [1234] число 6174 было достигнуто за 3 шага, а во втором [2014] — за 7 шагов. Однако для двухзначных чисел (с двумя разными цифрами) константы нет, вместо этого программа превращается в повторение (45, 9, 81, 63, 27, 45, 9, 81, 63, 27,…) для чисел с более 4 цифр они могут либо войти в цикл (например, двухзначные числа), либо получить константу (например, 6174). В PA1 мы рассматриваем только постоянную Капрекара 6174 для 4-значного целого числа.Число 6174 известно как постоянная Капрекара, и, поскольку оно состоит из четырехзначных чисел, по крайней мере, с двумя разными цифрами, оно идеально подходит для текущего года рождения. Доказательство 6174 $ как уникальной 4-значной постоянной Капрекара. Пример: возьмем ненулевое трехзначное число 5, 5, 9, 955-559 = 396, 963-369 = 594, 954-459 = 495, 954-495 = 495 … это продолжается. Каждый раз, когда вы играете, складывайте концовки. Шаги следующие: 1. 5. Интересное следствие. Спросите детей, есть ли числа, для которых последовательность Капрекара не работает (числа с двумя одинаковыми цифрами — 11, 22, 33 и т. Д.).). (7) В случае n = 5 Причетт открыл правила генерации b-адических 5-значных луп Капрекара и получил формулы для N (b, 2) и ℓ (b, 2) через b. Ключевые слова: 6174, операция Капрекара, постоянная Капрекара, 1. теория чисел по возрастанию. Число Капрекара — одна из тех жемчужин, которые делают математику увлекательной. 381 Это еще одно интригующее и интересное число. Попросите кого-нибудь выбрать четырехзначное… Чтобы увидеть, насколько оно постоянное, возьмите любое четырехзначное число, в котором не все цифры одинаковы.Единственная 7-значная постоянная Капрекара — 3203211 по основанию b = 4. Существуют семейства констант Капрекара для разных оснований или разного числа цифр. Другое количество цифр может генерировать циклы или циклы только с другой постоянной Капрекара в… Затем мы определяем преобразование Капрекара T (b, n) (x): = A — B. В 1949 году Д. Р. Капрекар объявил об открытии этого очень интересного свойства. Когда процедура вычитания Капрекара применяется к n-значному числу, достигается завершение в виде черной дыры или черной петли.Вычтите меньшее из большего. Таким образом, 495 — это трехзначная десятичная константа Капрекара типа (123,321), а 6174 — четырехзначная десятичная постоянная Капрекара типа (1234, 4321). Константа Капрекара (6174) Число 6174 известно как постоянная Капрекара. У числа 6174 есть имя. (Константа Капрекара: упорядочивая цифру числа a1 от наибольшего к наименьшему и вычитая все эти числа, упорядоченные в обратном порядке, вы получите число. Например, если мы хотим проверить, что 1 000 000 — это число, родившееся самому себе. Это также возможно для трехзначных чисел (дает 495), а для пятизначных чисел мы находим повторяющиеся шаблоны вместо одного сходящегося целочисленного значения.На первый взгляд это может показаться не таким очевидным. Но лемма 4.1 показывает, что не может быть постоянной Капрекара ни для какой базы b> 21. Это число отличается следующим свойством: возьмите любое четырехзначное число, используя как минимум две разные цифры. (например, 0110, 2378, 1220, 0022, 0997 и т. д.) Константа Капрекара Возьмите любое четырехзначное число (не все цифры идентичны) и выполните следующие действия: Переставьте последовательность цифр, чтобы сформировать наибольшее и наименьшее 4-значное число. возможный. Процедура Капрекара Выберите любое трехзначное число, состоящее из трех отличительных цифр.Константы Капрекара, содержащие цифру 9 В этом разделе мы будем предполагать, что C содержит цифру 9 и, таким образом, A, = 9 — an и, согласно лемме 3, Aj + A; = 10. Определите C b как постоянную Капрекара в основании b для 5 цифр. Обратите внимание, что в каждой итерации подпрограммы Капрекара два числа, вычитаемые одно из другого, имеют одинаковую сумму цифр и, следовательно, одинаковый остаток по модулю 9. Фактически все четырехзначные числа достигают загадочного числа 6174 максимум за 7 шагов. Если все n-значные числа для определенного значения n, кроме чисел, у которых все цифры одинаковы, приводят к одной и той же черной дыре, то это число является константой Капрекара.Константа Капрекара 6174 29 августа 2011 г. Великобритания Математика средней школы, теория чисел средней школы В загадочном 495, (1) мы выбрали любое 3-значное число, (2) расположили цифры в порядке убывания, образуя наибольшее целое число, (3) расположил цифры в порядке возрастания, образуя наименьшее целое число, и (4) вычитал меньшее из большего. Подпрограмма Капрекара — это алгоритм развлекательной математики, разработанный индийским математиком Д. Р. Капрекаром, который производит последовательность чисел, которая либо сходится к постоянному значению, либо приводит к повторяющемуся циклу.Операция Капрекара В 1949 году математик Д. Р. Капрекар из Девлали, Индия, разработал процесс, который теперь известен как операция Капрекара. В 1949 году математик доктор Капрекар из Индии разработал процесс, теперь известный как операция Капрекара. Вы получите 8732-2378 = 6354. Два уточнения через @ripsup здесь: первая ошибка — вторая часть разделенных чисел должна быть положительной (без нулей). 6174 — это постоянная Капрекара. Игры с числами. Подпрограмма Капрекара {см. [1], [2], [3]}, расширенная до k-значных чисел, является частным случаем вышеупомянутого алгоритма.kaprekar (6589) -> 2 kaprekar (5455) -> 5 kaprekar (6174) -> 0 Числа вроде 3333 сразу перейдут в 0 в рамках этой процедуры, но поскольку нам требуется как минимум две разные цифры во входных данных, все числа в конечном итоге будут достигните 6174, который известен как Константа Капрекара. Теперь есть 10000 четырехзначных чисел. 2. Один из наших фаворитов — 6174, также известный как постоянная Капрекара. Итак, давайте исследуем это число. (Однако я бы предпочел вообще избежать жесткого кодирования 9998. Доказательство. 2. На первый взгляд это может показаться обычным, но, как мы увидим, любой, кто умеет вычитать, может раскрыть тайну, которая делает 6174 таким особенным.6174 известна как постоянная Капрекара [1] [2] [3] в честь индийского математика Д. Р. Капрекара. 501 — количество разделов из 5 элементов в упорядоченные списки. Капрекара через арифметические исследования на бумаге. 495 обладает почти волшебным свойством и известен как постоянная Капрекара для трехзначных чисел. 5 Константа Капрекара Число, которое остается неизменным при применении к нему процесса Капрекара, известно как постоянная Капрекара. Лудингтон, Энн Л. 1979-01-01 00:00:00 Энн Л. Лудингтон, Клинтон 1.Оценка констант Капрекара. Просмотрено 5k раз 5. Связь уникальных чисел с константой Капрекара: если 4-значная константа Капрекара обозначена как K 4, то есть это число отличается следующим правилом: для трехзначных чисел происходит то же явление. Затем переставьте цифры исходного числа в порядке возрастания и убывания, возьмите эти два числа и найдите разницу между ними. Пусть N будет n-значным числом. Капрекара, достигнет 6174 максимум после 7 шагов (если вы выполнили более 7 итераций, проверьте свою арифметику).Например, применение операции Капрекара к трехзначному числу 753 дает следующее: 753-357 = 396 963-369 = 594 954-459 = 495 954-459 = 495. Число 495 является уникальным ядром для операции с трехзначными числами, и все трехзначные числа достигают 495 с помощью операции. Этот номер особенный, так как мы всегда получаем это число, когда следующие шаги выполняются для любого четырехзначного числа, так что все цифры номера не совпадают, то есть все четырехзначные числа, за исключением (0000, 1111,…) Сортировать четыре цифры в порядке возрастания и сохранить результат в виде… Преобразование Капрекара для трех цифр, включающих число 495, определяется следующим образом: 1) Возьмите любое трехзначное число, по крайней мере, с двумя разными цифрами.Для двухзначных чисел я получаю интересный случай, то есть любая разница дает кратное 9. 2) Расположите цифры по возрастанию, а затем по убыванию, чтобы получить два четырехзначных числа, добавляя при необходимости ведущие нули. Когда процедура вычитания Капрекара применяется к n-значному числу, достигается завершение в виде черной дыры или черной петли. Константа имеет значение 6174. Вторая, ∂ = 4.66
…, была открыта в 1975 году физиком-математиком Митчеллом Фейгенбаумом с… Максимальное количество шагов или итераций, необходимых для любого 4-значного числа для достижения постоянной Капрекара, составляет 8 итераций. .5) 8532 — 2358 = 6174 Вот, мы снова получаем то же число, 6174. В следующих двух разделах мы проанализируем структуру константы Капрекара, используя разные методы в зависимости от того, равна ли одна из ее цифр 9. В качестве Дань Ганитану и Капрекару, давайте проведем операции Капрекара на 357. 1112 разрешено, 1111 — нет). Пример: 494 и 209 (703² = 4

и 494 + 209 = 703) Эрик В. Вайсштейн (мир математики) Число Капрекара, процедура Капрекара, алгоритм 196. Это относится к моему предыдущему блогу, посвященному четырехзначной постоянной Капрекара 6174.Все 4-значные числа, относящиеся к процедуре Капрекара, заканчиваются на 6174, но количество требуемых итераций (вычитаний) составляет от 1 до 7. в зависимости от начального номера. Константа Капрекара 6174. Для тех, кто запутался в тестовых примерах 2, 3 и 5, как и я раньше, сделайте преобразование в 4-значное целое число. Для любого четырехзначного числа, которое состоит как минимум из двух разных цифр, если вы формируете число, располагая его цифры в порядке убывания, и вычитая число, образованное путем расположения его цифр в порядке возрастания, и повторяя, вы должны в конечном итоге прийти к 6174 , Константа Капрекара.Что это обозначает? В этом вся прелесть постоянной Капрекара. Определите наибольшее число и наименьшее число и разницу. С другой стороны, найти какие-либо правила для b-адических 4-значных луп Капрекара в случае, когда b не имеет вид 2 k ⋅ 5, является открытой проблемой. Даттатрея Рамчандра Капрекар (1905–1986) был индийским математиком-любителем, который описал несколько классов натуральных чисел, включая числа Капрекара, Харшада и Самости, и открыл постоянную Капрекара, названную в его честь.Несмотря на то, что у него не было формального последипломного образования и он работал школьным учителем, он много публиковался и стал хорошо известен в математических кругах. Это число называется постоянной Капрекара по имени его первооткрывателя Д. Р. Капрекара из Девлали, Индия, но на этот раз мы не будем обсуждать открытие и его константы, а будем использовать это как очень интересную математическую игру. Если T (b, n) (x) = x, то x называется константой Капрекара с двоичными цифрами. Константа Капрекара для 3-значных чисел: 495…. 5. Но, как мы скоро увидим, любой, кто умеет вычитать, может раскрыть тайну, которая делает 6174 таким особенным. Пусть b ≥ 2 и n ≥ 2 — целые числа. Получите удовольствие от этого математического трюка и узнайте, почему все 4-значные числа при вычитании с помощью операции Капрекара достигают загадочного числа 6174. Однако можно показать, что для 5-значного и основания b = 6t + 3 9, Капрекар константа существует. Приведем пример. Найдите их отличие. В 1949 году математик доктор Капрекар из Индии разработал процесс, теперь известный как операция Капрекара.6174 и обратное K 4 на K 4 ‘, то есть google.com (веб-каталог) Задача Коллатца (3n + 1-проблема) Math Fun Facts (Фрэнсис Су) Константа Капрекара от Math2089 23 января 2021 г. 18 марта 2021 г. 1 Комментарий. Есть три серии для 5-значных чисел — 74943 -> 62964 -> 71973 -> 83952 -> повторить 63954 -> 61974 -> 82962 -> 75933 -> повторить 53955 -> 59994 -> повторить серию для 6-значных чисел. Теперь следуйте правилам, приведенным ниже: Возьмите любое 4-значное число (минимум две разные цифры).Рассмотрим следующий процесс: возьмите любое четырехзначное число, которое имеет как минимум две различные цифры. Сначала мы рассмотрим итерацию Капрекара, приводящую к постоянной Капрекара 6174. Если T (b, n) (x) = x, то x называется b-адической n-значной константой Капрекара. Теперь есть 10000 четырехзначных чисел. 2. Постоянная Капрекара. Продолжая этот процесс формирования и вычитания, мы всегда будем приходить к числу 6174. Посмотрите это видео, если вам все еще неясно, как работает процедура Капрекара. Ваша программа должна выполнить следующую процедуру для числа: Упорядочить… Для трехзначных чисел происходит то же самое.Если мы изменим входные данные нашего алгоритма с 3-х на 4-значные числа, фиксированная точка 6174 будет достигнута после не более 8 выполнений цикла while. Затем мы определяем преобразование Капрекара T (b, n) (x): = A — B. Математика как выражение человеческого разума отражает активную волю, созерцательный разум и стремление к эстетическому совершенству. Затем переставьте цифры исходного числа в порядке возрастания и убывания, возьмите эти два числа и найдите разницу между ними.Все однозначные числа от 1 до 9 являются числами Виджая для n = 1. Все четырехзначные числа, относящиеся к процедуре Капрекара, оканчиваются на 6174, но необходимое количество итераций (вычитаний) составляет от 1 до 7. в зависимости от начального числа. мбер. Процедура следующая: Маник Сринивасан и Рамкумар Рамамурти прислали мне дополнительные компьютерные результаты: если вы разрешаете числа с нулями в начале, например 0342 или 0045, то число Капрекара подходит для любого четырехзначного числа, кроме 1111, 2222, 3333, 4444. , 5555, 6666, 7777, 8888, 9999.(») (отбрасывая любые начальные нули) и итерация, где K (n) иногда называют функцией Капрекара. Вот пример: x = 1: 1000-0001 = 999 9990-0999 = 8991 9981-1899 = 8082 8820-0288 = 8532 8532-2358 = 6174 Следовательно, y_correct = 5 Однако эта новая программа вычислит, сколько итераций она принимает каждое число от 0 до 9999, чтобы сходиться к 6174. ПРАВИЛА Играйте как обычные домино. Если он складывается с кратным 3 или 5, вы получаете второй коэффициент. Если T (b, n) (x) = x, то x называется b-адической n-значной константой Капрекара.Возьмите любое четырехзначное число (не все цифры такие же, как 1111 и 2222), затем составьте наибольшее и наименьшее числа, которые могут быть образованы из четырехзначного числа. Если вы выполните эти операции с любым четырехзначным числом, в котором все цифры не совпадают (четырехзначное число, состоящее как минимум из двух разных цифр), то вы получите результат как 6174 не более чем за семь шагов. Любое четырехзначное число, подвергнутое той же арифметической обработке, даст 6174. Алгоритм достигает 0 (вырожденный случай), константы или цикла, в зависимости от количества цифр и значения.

Off Family Care Чистое ощущение, Статистика преступности Манчестер, Пример использования полиции под руководством разведки, Камбрия Трещина Уиндермир, Школы черной психологии,

ставить знаки плюс / минус между цифрами

Начните с последовательности ненулевых цифр 123456789. Задача состоит в том, чтобы поставить плюс или минус знаков между ними так, чтобы результат описанной арифметической операции был равен 100.

Получили один ответ

12 + 3 — 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100

и предположил, что существует по крайней мере еще один.Я не утверждаю, что провел исчерпывающий поиск, но кажется, есть более чем два ответа. Один из них —

123 + 4 — 5 + 67 — 89 = 100

Я уверен, что там хоть один. Хотите его найти?

Существует четкое наблюдение, что в двух приведенных выше примерах по крайней мере одна из операций — вычитание. И это также верно для всех аддитивных (тех, в которых разрешены только операции сложения и вычитания) нижеприведенных примеров. На самом деле невозможно избежать вычитания, даже если цифры идут в произвольном порядке.Чтобы понять, почему, может быть полезно вспомнить понятие цифровых корней.

Вы можете разрешить операции, отличные от сложения и вычитания. Это приводит к совершенно новому набору проблем с числами, имеющими дробные части. Варианты включают установку целей, отличных от 100. Вот, например, представление цели, в которой используются все десять цифр:

1 = 148/296 + 35/70

Есть много способов весело провести время за решением арифметических задач. Один из способов — попытаться представить числа ограниченными средствами.Например, я могу представить 100 с пятью тройками как 100 = 33 × 3 + 3/3. Удивительно, сколько чисел можно представить таким образом.

В 60-х годах прошлого века большой популярностью стали занимать числовые головоломки другого типа. Криптарифмы — это головоломки, полученные когда цифры в числовых вычислениях заменены буквами. Обычно отчетливые буквы означают разные цифры. Звездочки заменяют любую цифру и не связаны друг с другом.

Я получил следующее письмо из Бельгии:

Откуда: Gui et Nicole RULMONT
Дата: 22 апреля 1997 г., вторник, 17:02:44 +0200

Уважаемый Cut-the-Knot,

Во-первых, прошу прощения за мой английский.Я бельгиец, и мне очень интересен ваш сайт!

Вы писали в разделе «Забавы с цифрами»: Начните с последовательности ненулевых цифр 123456789. Задача состоит в том, чтобы поставить между ними знаки плюс или минус, чтобы результат описанной арифметической операции был равен 100.

Несколько лет назад я нашел во французском журнале Science et Vie 11 решений:

1 + 2 + 34-5 + 67-8 + 9 = 100
12 + 3-4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100
123-4-5-6-7 + 8-9 = 100
123 + 4-5 + 67-89 = 100
123 + 45-67 + 8-9 = 100
123-45-67 + 89 = 100
12-3-4 + 5-6 + 7 + 89 = 100
12 + 3 + 4 + 5-6-7 + 89 = 100
1 + 23-4 + 5 + 6 + 78-9 = 100
1 + 23-4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 100
1 + 2 + 3–4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100

Если поставить «-» перед 1, у нас будет еще одно решение:

-1 + 2-3 + 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100

Использование «.»десятичное разделение. Я нашел другое решение:

1 + 2,3 — 4 + 5 + 6,7 + 89 = 100 (собственное решение)

А как насчет 987654321? Как сообщает Science et Vie :

98-76 + 54 + 3 + 21 = 100
9-8 + 76 + 54-32 + 1 = 100
98 + 7 + 6-5-4-3 + 2-1 = 100
98-7-6 — 5-4 + 3 + 21 = 100
9-8 + 76-5 + 4 + 3 + 21 = 100
98-7 + 6 + 5 + 4-3-2-1 = 100
98 + 7-6 + 5 — 4 + 3 — 2 — 1 = 100
98 + 7 — 6 + 5 — 4 — 3 + 2 + 1 = 100
98 — 7 + 6 + 5 — 4 + 3 — 2 + 1 = 100
98 — 7 + 6-5 + 4 + 3 + 2-1 = 100
98 + 7-6-5 + 4 + 3-2 + 1 = 100
98-7-6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 100
9 + 8 + 76 + 5 + 4 — 3 + 2 — 1 = 100
9 + 8 + 76 + 5 — 4 + 3 + 2 + 1 = 100
9 — 8 + 7 + 65 — 4 + 32 — 1 = 100

Напишите знак «-», три решения:

-9 + 8 + 76 + 5-4 + 3 + 21 = 100
-9 + 8 + 7 + 65-4 + 32 + 1 = 100
-9-8 + 76-5 + 43 + 2 + 1 = 100

С десятичной запятой:>

9 + 87.6 + 5,4 — 3 + 2 — 1 = 100 (собственное решение)

Если я «перетасовываю» цифры, есть много решений. Я нашел кое-что, когда Я был молод, например:

91 + 7,68 + 5,32 — 4 = 100
98,3 + 6,4 — 5,7 + 2-1 = 100
538 + 7-429-13 = 100
(8 × 9,125) + 37-6-4 = 100 и т. Д. И т. Д. ..

очень интересуются криптарифами и я их коллекционирую. Вы хотите получить французские криптарифы? Вы знаете неанглийские криптарифы? Спасибо!

Gui et Nicole Rulmont

Энтони Лесар отмечает, что решение 1 + 2 + 3 — 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100 можно немного изменить без изменения результата: 1! + 2! + 3 — 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100.

Примечание : Есть целая куча страниц, предлагающих практические задачи такого рода. Кроме того, Inder Jeet Taneja собрал фантастическую коллекцию различных последовательных представлений чисел от 1 до 11111.

| Контакты | | Первая страница | | Содержание | | Знаете ли вы? | Алгебра |

простых чисел — факты, примеры и таблица всего до 1000

Простое число можно разделить без остатка только на себя и на 1.Например, 17 можно разделить только на 17 и на 1.

Некоторые факты:

• Единственное четное простое число — 2. Все остальные четные числа можно разделить на 2.
• Если сумма цифр числа кратно 3, это число может быть разделено на 3.
• Никакое простое число больше 5 не оканчивается на 5. Любое число больше 5, заканчивающееся на 5, можно разделить на 5.
• Ноль и 1 не являются считались простыми числами.
• Число, за исключением 0 и 1, может быть простым или составным числом.Составное число определяется как любое число больше 1, которое не является простым.

Чтобы проверить, является ли число простым, сначала попробуйте разделить его на 2 и посмотреть, получится ли целое число. Если да, то это не может быть простое число. Если вы не получаете целое число, попробуйте разделить его на простые числа: 3, 5, 7, 11 (9 делится на 3) и так далее, всегда делите на простое число (см. Таблицу ниже).

Вот таблица всех простых чисел до 1000: