Как построить окружность, вписанную в треугольник ? Построение окружности вписанной в треугольник ? Образование ? Другое

Инструкция

Конечно в наш современный век такими элементарными фигурами на плоскости, как треугольник и окружность трудно кого то удивить. Они давно изучены, давно выведены законы, позволяющие рассчитать все их параметры. Но иногда при решении различных задач можно столкнуться с удивительными вещами. Рассмотрим одно интересное построение. Возьмем произвольный треугольник АВС, у которого сторона АС – большая из сторон, и проделаем следующее:

Сначала строим окружность с центром «А» и радиусом, равным стороне треугольника «АВ». Точку пересечения окружности со стороной треугольника АС обозначим как точка «D».

Затем стоим окружность с центром «С» и радиусом, равным отрезку «СD». Точку пересечения второй окружности со стороной треугольника «СВ» обозначим как точка «Е».

Следующую окружность строим с центром «В» и радиусом, равным отрезку «ВЕ». Точку пересечения третей окружности со стороной треугольника «АВ» обозначим как точка «F».

Четвертую окружность строим с центром «А» и радиусом, равным отрезку «АF». Точку пересечения четвертой окружности со стороной треугольника «АС» обозначим как точка «К».

И последнюю, пятую окружность строим с центром «С» и радиусом «СК». В этом построении интересно следующее: вершина треугольника «В» четко попадает на пятую окружность.

Для верности можно попробовать повторить построение используя треугольник с другими длинами сторон и углов с одним только условием, что сторона «АС» наибольшая из сторон треугольника, и все равно пятая окружность четко попадет в вершину «В». Это означает лишь одно: она имеет радиус равный стороне «СВ», соответственно отрезок «СК» равен стороне треугольника «СВ».

Несложный математический анализ описанного построения, выглядит следующим образом. Отрезок «АD» равен стороне треугольника «АВ» т.к. точки «В» и «D» находятся на одной окружности. Радиус первой окружности R1 = АВ. Отрезок СD=АС-АВ, то есть радиус второй окружности: R2=АС-АВ. Отрезок «СЕ» соответственно равен радиусу второй окружности R2, значит отрезок ВЕ=ВС-(АС-АВ), значит радиус третей окружности R3=АВ+ВС-АС
Отрезок «ВF» равен радиусу третей окружности R3, отсюда отрезок АF=АВ-(АВ+ВС-АС)=АС-ВС, то есть радиус четвертой окружности R4=АС-ВС.
Отрезок «АК» равен радиусу четвертой окружности R4, отсюда отрезок СК=АС-(АС-ВС)=ВС, то есть радиус пятой окружности R5=ВС.

Из полученного анализа можно сделать однозначный вывод, что при подобном построении окружностей с центрами в вершинах треугольника пятое построение окружности дает радиус окружности, равный стороне треугольника «ВС».

Продолжим дальнейшие рассуждения по поводу данного построения и определим, чему равна сумма радиусов окружностей, и вот что получим: ∑R=R1+R2+R3+R4+R5==АВ+(АС-АВ)+(АВ+ВС-АС)+(АС-ВС)+ВС. Если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то получим следующее: ∑R=АВ+ВС+АС
Очевидно, сумма радиусов полученных пяти окружностей с центрами в вершинах треугольника, равна периметру этого треугольника. Примечательно еще и следующее: отрезки «ВЕ», «ВF» и «КD» равны между собой и равны радиусу третей окружности R3. ВЕ=ВF=КD=R3=АВ+ВС-АС

Конечно, все это имеет отношение к элементарной математике, но, возможно, имеет некоторое прикладное значение и может послужить поводом для дальнейших исследований.

www.kakprosto.ru

Построение правильных многоугольников — Техническое черчение

Построение вписанного в окружность правильного шестиуголь­ника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения доста­точно разделить окружность на шесть равных частей и соединить най­денные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 —6, 4—3, 4—5 и 7—2, после чего прово­дим стороны 5—6 и 3—2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треуголь­ника. Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного цир­куля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность рав­ностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, прове­дённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0—1—2 равен 30°, то для нахождения стороны

1—2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0—1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1—2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2—3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 прово­дим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вер­шины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину—точку 1 и проводим диаметральную линию 1—4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окруж­ностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вер­шинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность. Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пере­секаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные сто­роны квадрата 4—1 и 3—2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1—2 и 4—3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диа­метров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до вза­имного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные пря­мые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересече­ния с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), про­изводим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вер­шин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точ­ках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вер­шины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

Далее от точки К на этой прямой откладываем отрезок, равный 4/6 AB.

Получим точку 1—вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведён­ными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиу­сом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с про­должением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, прово­дим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересече­ние которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем после­довательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведе­ния лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоуголь­ников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно произ­водить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэф­фициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

В первой колонке этой таблицы указаны числа сторон правильного вписанного многоугольника, а во второй—коэффициенты.

Длина стороны заданного многоугольника получится от умножения радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу сторон этого многоугольника.

www.nacherchy.ru

Как вписать равносторонний треугольник в окружность

Задачи на геометрические построения весьма хорошо развивают пространственное и логическое мышление и потому являются одной из основных частей школьной программы обучения. Как и в любой предметной области, существуют типовые и нетиповые задачи. К типовым задачам можно отнести, например, построение равностороннего треугольника. В процессе построения треугольник оказывается вписанным в
окружность. Но как быть, если нужно вписать равносторонний треугольник в окружность, которая уже построена?

Вам понадобится

  • — линейка;
  • — карандаш;
  • — циркуль.

Инструкция

  • Постройте хорду заданной окружности. При помощи линейки начертите отрезок так, чтобы он пересекал окружность в двух точках. Пусть это будут точки A и B. Желательно, чтобы эти точки были расположены на достаточном удалении друг от друга.
  • Постройте перпендикуляр, пересекающий отрезок AB и делящий его точкой пересечения на две равные части. Установите между ножками циркуля расстояние, несколько меньшее длины отрезка AB, но заведомо большее длины половины этого отрезка. Установите иглу циркуля в точку A. Вычертите
    окружность    . Установите иглу циркуля в точку B. Вычертите еще одну окружность. Проведите отрезок через точки пересечения вычерченных окружностей так, чтобы он пересек отрезок AB в одной точке (пусть это будет точка C) и первоначальную окружность в двух точках (пусть это будут точки D и E).
  • Постройте перпендикуляр, пересекающий отрезок DE и делящий его точкой пересечения на две равные части способом, аналогичным описанному во втором шаге. Пусть построенный отрезок пересекает
    окружность     в точках F и G, а отрезок DE в точке O. Точка O будет являться центром окружности.
  • Установите расстояние между ножками циркуля равным радиусу окружности. Поместите иглу циркуля в точку D. Поместите конец другой ножки циркуля в точку O.
  • Найдите точки двух углов равностороннего треугольника, вписанного в окружность. Не изменяя положения ножки циркуля с иглой (в точке D) и расстояния между ножками циркуля, установленные на предыдущем шаге, начертите окружность. Эта окружность пересечет первоначальную окружность в двух точках. Пусть это будут точки H и I.
  • Впишите равносторонний треугольник в окружность
    . Попарно соедините отрезками точки E, H и I. Треугольник со сторонами EH, HI и EI будет равносторонним и вписанным в заданную изначально окружность.

completerepair.ru

Как вписать в равносторонний треугольник окружность

График какой из перечисленных ниже функций изображен на рисунке? 1) у=х3-3 2) у=х2-3х 3) у=х2+3х 4) у= -х2+3. № слайда 21 20. Найдите значение в по графику функции у= ах2+вх+с изображенному. Описание слайда: 20. Найдите значение в по графику функции у= ах2+вх+с изображенному на рисунке.

Совет 1: Как вписать равносторонний треугольник в окружность

    Как вписать равносторонний треугольник в окружность Как вычислить радиус вписанной окружности в треугольник Как начертить правильные многоугольники
    — линейка; — карандаш; — циркуль.

Совет 2: Как в окружность вписать правильный треугольник

Как вписать в равносторонний треугольник окружность

Совет 1: Как вписать равносторонний треугольник в окружность

    Как вписать равносторонний треугольник в окружность Как вычислить радиус вписанной окружности в треугольник Как начертить правильные многоугольники
    — линейка; — карандаш; — циркуль.

Совет 2: Как в окружность вписать правильный треугольник

Как вписать в равносторонний треугольник окружность

Техническое черчение

Основы черчения

Строительное

Машиностроительное

Построение вписанного в окружность правильного шестиуголь­ника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения доста­точно разделить окружность на шесть равных частей и соединить най­денные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 —6, 4—3, 4—5 и 7—2, после чего прово­дим стороны 5—6 и 3—2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треуголь­ника. Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного цир­куля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность рав­ностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, прове­дённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0—1—2 равен 30°, то для нахождения стороны

1—2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0—1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1—2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2—3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 прово­дим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что, если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вер­шины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину—точку 1 и проводим диаметральную линию 1—4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окруж­ностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вер­шинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность. Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пере­секаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные сто­роны квадрата 4—1 и 3—2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1—2 и 4—3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диа­метров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до вза­имного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные пря­мые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересече­ния с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), про­изводим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вер­шин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точ­ках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H.

poiskvstavropole.ru

Как в окружность вписать правильный треугольник

Согласно определению, если все вершины многоугольника принадлежат окружности, он называется «вписанным». Построить на бумаге такую фигуру несложно, особенно если все составляющие ее стороны имеют одинаковую длину. Для правильного треугольника такое построение может быть выполнено несколькими способами, а выбор наиболее удобного зависит от имеющихся инструментов.

Вам понадобится

  • Бумага, карандаш, циркуль, линейка, калькулятор, транспортир.

Инструкция

  • Если у вас есть возможность использовать при построении транспортир, начните с выбора произвольной точки на окружности, которая должна стать одной из вершин правильного треугольника. Обозначьте ее, например, буквой А.
  • Начертите вспомогательный отрезок, соединив точку А с центром окружности. К этому отрезку приложите транспортир таким образом, чтобы нулевое деление совпало с центром круга, и поставьте вспомогательную точку у отметки 120°. Через эту точку проведите еще один вспомогательный отрезок с началом в центре круга и окончанием на пересечении с окружностью. Точку пересечения обозначьте буквой В — это вторая вершина вписанного треугольника.
  • Повторите предыдущий шаг, но транспортир прикладывайте ко второму вспомогательному отрезку, а точку пересечения с окружностью обозначьте буквой С. Больше транспортир не понадобится.
  • Соедините точки А и В, В и С, С и А. На этом построение правильного треугольника вписанного в окружность будет завершено.
  • Если транспортира нет, но есть циркуль и калькулятор, то начните с вычисления длины стороны треугольника. Вы наверняка знаете, что ее можно выразить через радиус описанной окружности, умножив его на отношение тройки к квадратному корню из тройки, то есть примерно на 1,732050807568877. Округлите это число до нужной степени точности и умножьте на радиус круга.
  • Отметьте произвольную точку на окружности и обозначьте ее буквой А — это первая вершина правильного треугольника.
  • Отложите на циркуле найденную на пятом шаге длину стороны треугольника и начертите вспомогательный круг с центром в точке А. Точки пересечения двух окружностей обозначьте буквами В и С — это две другие вершины вписанного в круг правильного треугольника.
  • Соедините точки А и В, В и С, С и А и построение будет завершено.

completerepair.ru

Как в окружность вписать равносторонний треугольник

Используем теорему о вписанном угле и видим, что. Треугольник прямоугольный, в нём угол равен 90 , так как он опирается на диаметр. Для того чтобы найти катет a в треугольнике , нужно гипотенузу В =2R (R – радиус окружности) умножить на синус противолежащего угла. Следовательно. В первом.

Совет 1: Как вписать равносторонний треугольник в окружность

    Как вписать равносторонний треугольник в окружность Как вычислить радиус вписанной окружности в треугольник Как начертить правильные многоугольники
    — линейка; — карандаш; — циркуль.

Совет 2: Как в окружность вписать правильный треугольник

Как в окружность вписать равносторонний треугольник

Совет 1: Как в окружность вписать правильный треугольник

    Как в окружность вписать правильный треугольник Как начертить треугольник в окружности Как разделить окружность на 12 частей
    Бумага, карандаш, циркуль, линейка, калькулятор, транспортир.

Совет 2: Как вписать треугольник в окружность

    линейка, циркуль
    Http://www. alleng. ru/d/math/math52.htm

Совет 3: Как построить правильный треугольник

    Линейка, лист разлинованной бумаги, карандаш

Совет 4: Как находить площадь треугольника, вписанного в окружность

R=abc/4S, где S — площадь треугольника, a, b, c — стороны треугольника

S=1/2h*AC, где AC — основание треугольника

Если известен радиус окружности равнобедренного треугольника, его углы, а также основание, совпадающее с диаметром окружности, по теореме Пифагора может быть найдена неизвестная высота. Площадь треугольника, основание которого совпадает с диаметром окружности, равна:

В другом случае, когда высота равна диаметру окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, его площадь равна:

В остальных случаях, особенно, когда треугольник является остроугольным или тупоугольным, применима лишь первая из указанных выше формул.

Совет 5: Как вписать в окружность многоугольник

Совет 6: Как вписать двенадцатиугольник в окружность

Как в окружность вписать равносторонний треугольник

Совет 1: Как в окружность вписать правильный треугольник

    Как в окружность вписать правильный треугольник Как начертить треугольник в окружности Как разделить окружность на 12 частей
    Бумага, карандаш, циркуль, линейка, калькулятор, транспортир.

Совет 2: Как вписать треугольник в окружность

    линейка, циркуль
    Http://www. alleng. ru/d/math/math52.htm

Совет 3: Как построить правильный треугольник

    Линейка, лист разлинованной бумаги, карандаш

Совет 4: Как находить площадь треугольника, вписанного в окружность

R=abc/4S, где S — площадь треугольника, a, b, c — стороны треугольника

S=1/2h*AC, где AC — основание треугольника

Если известен радиус окружности равнобедренного треугольника, его углы, а также основание, совпадающее с диаметром окружности, по теореме Пифагора может быть найдена неизвестная высота. Площадь треугольника, основание которого совпадает с диаметром окружности, равна:

В другом случае, когда высота равна диаметру окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, его площадь равна:

В остальных случаях, особенно, когда треугольник является остроугольным или тупоугольным, применима лишь первая из указанных выше формул.

Совет 5: Как вписать в окружность многоугольник

Совет 6: Как вписать двенадцатиугольник в окружность

poiskvstavropole.ru

Как в круге начертить равносторонний треугольник

ну не усложняйте с утра все.. и так хреново..

Циркулем радиус круга отложить

разделить окружность на 3 равные дуги и соеденить точки между собой

Если есть транспортир, то от любой точки круга проводим две расходящиеся лини с углом между ними в 60 градусов. А потом соединяем третьей линией две точки окружности, в которые эти линии уперлись. Получите равносторонний треугольник, вписанный в окружность.

touch.otvet.mail.ru