Как найти угол вписанный в окружность – Вписанный угол

Вписанный угол

Вписанный угол, теория задачи. Друзья! В этой статье речь пойдёт о заданиях, для решения которых необходимо знать свойства вписанного угла. Это целая группа задач, они включены в ЕГЭ. Большинство из них решаются очень просто, в одно действие.

Есть задачи посложнее, но и они большой трудности для вас не представят, необходимо знать свойства вписанного угла. Постепенно мы разберём все прототипы задач, приглашаю вас на блог!

Теперь необходимая теория. Вспомним, что такое центральный и вписанный угол, хорда, дуга, на которые опираются эти углы:

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности.

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Угол, называется вписанным в окружность, если вершина угла лежит на окружности, а стороны угла пересекают эту окружность.

Отрезок соединяющий две точки окружности называется хордой. Самая большая хорда проходит через центр окружности и называется диаметр.

Для решения задач на вписанные в окружность углы, вам необходимо знать следующие свойства:

1. Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу.

2. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. 

3. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны.

4. Любая пара углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°.

Следствие: противолежащие углы четырёхугольника вписанного в окружность в сумме составляют 180 градусов.

5. Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые.

Вообще, это свойство является следствием из свойства (1), это его частный случай. Посмотрите – центральный угол равен 180 градусам (и этот развёрнутый угол есть не что иное, как диаметр), значит по первому свойству вписанный угол С равен его половине, то есть 90 градусам.

Знание данного свойства помогает в решении многих задач и часто позволяет избежать лишних расчётов. Хорошо усвоив его — вы более половины задач такого типа сможете решать устно. Два следствие, которые можно сделать:

Следствие 1: если в окружность вписан треугольник и одна его сторона совпадает с диаметром этой окружности, то треугольник является прямоугольным (вершина прямого угла лежит на окружности).

Следствие 2: центр описанной около прямоугольного треугольника окружности совпадает с серединой его гипотенузы.

Многие прототипы стереометрических задач также решаются благодаря использованию этого свойства и данных следствий. Запомните сам факт: если диаметр окружности является стороной вписанного треугольника, то этот треугольник прямоугольный (угол лежащий против диаметра равен 90 градусов). Все остальные выводы и следствия вы сможете сделать сами, учить их не надо.

Как правило, половина  задач на вписанный угол даётся с эскизом, но без обозначений. Для понимания процесса рассуждения при решении задач (ниже в статье) введены обозначения вершин (углов). На ЕГЭ вы можете этого не делать. Рассмотрим задачи:

Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

Построим центральный угол для заданного вписанного угла, обозначим вершины:

По свойству вписанного в окружность угла:

Угол АОВ равен 60⁰, так как треугольник АОВ равносторонний, а в равностороннем треугольнике все углы равны по 60⁰. Стороны треугольника равны, так как в условии сказано, что хорда равна радиусу.

Таким образом, вписанный угол АСВ равен 30⁰.

Ответ: 30 

Найдите хорду, на которую опирается угол 30⁰, вписанный в окружность радиуса 3.

Это по сути обратная задача (предыдущей). Построим центральный угол.

Он в два раза больше вписанного, то есть угол АОВ равен 60⁰. От сюда можно сделать вывод, что треугольник АОВ равносторонний. Таким образом, хорда равна радиусу, то есть трём.

Ответ: 3

Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную корню из двух. Ответ дайте в градусах.

Построим центральный угол:

Зная радиус и хорду мы можем найти центральный угол  АСВ. Это можно сделать по теореме косинусов. Зная центральный угол мы без труда найдём вписанный угол АСВ.

Теорема косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус  угла между ними.

Следовательно, второй центральный угол равен 360⁰ – 90⁰ = 270⁰.

Угол АСВ по свойству вписанного угла равен его половине, то есть 135 градусам.

Ответ: 135

Найдите хорду, на которую опирается угол 120 градусов, вписанный в окружность радиуса  корень из трёх.

Соединим точки А и В с центром окружности. Обозначим её как О:

Нам известен радиус и вписанный угол АСВ. Мы можем найти центральный угол АОВ (больший 180 градусов), затем найти угол АОВ в треугольнике АОВ. А далее по теореме косинусов вычислить АВ.

По свойству вписанного угла центральный угол АОВ (который больше 180 градусов) будет равен вдвое больше  вписанного, то есть 240 градусам. Значит, угол АОВ в треугольнике АОВ равен  360⁰ – 240⁰ = 120⁰.

По теореме косинусов:

Ответ:3

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 20% окружности. Ответ дайте в градусах.

По свойству вписанного угла он вдвое меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу, в данном случае речь идёт о дуге АВ.

Сказано, дуга АВ составляет 20 процентов от окружности. Это означает, что центральный угол АОВ составляет так же 20 процентов от 360⁰. *Окружность это угол в 360 градусов. Значит,

Таким образом, вписанный угол АСВ равен 36 градусам.

Ответ: 36

Дуга окружности AC, не содержащая точки B, составляет 200 градусов. А дуга окружности BC, не содержащая точки A, составляет 80 градусов. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Обозначим для наглядности дуги, угловые меры которых даны. Дуга соответствующая 200 градусам – синий цвет, дуга соответствующая 80 градусам – красный цвет, оставшаяся часть окружности – жёлтый цвет.

Таким образом, градусная мера дуги АВ (жёлтый цвет), а значит и центральный угол АОВ составляет:  360⁰ – 200⁰ – 80⁰ = 80⁰.

Вписанный угол АСВ вдвое меньше центрального угла АОВ,то есть равен 40 градусам.

Ответ: 40

Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

Найдите хорду, на которую опирается угол 90⁰, вписанный в окружность радиуса 1.

Посмотреть решение

Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

Радиус окружности равен 1. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную корню из двух. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

Центральный угол на 36⁰ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу АВ, которая составляет  0,2 окружности. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

Хорда делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

Точки А, В, С, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1:3:5. Найдите больший угол треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

На что обратить внимание при решении подобных задач?

Необходимо знать свойство вписанного угла; понимать, когда и как необходимо использовать теорему косинусов, подробнее о ней посмотрите здесь.

На этом всё! Успехов Вам!

С уважением, Александр Крутицких

Учительница математики в школе в третьем классе:
— Дети, а скажите мне, сколько будет 6*6?
Дети дружно хором отвечают:
— Семьдесят шесть!
— Ну, что вы, такое говорите детки! Шесть на шесть будет тридцать шесть… ну может быть еще 37, 38, 39… ну максимум 40… но никак не семьдесят шесть!

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Вписанные и центральные углы. | Подготовка к ЕГЭ по математике

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а обе стороны пересекают эту окружность.

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.

Свойства вписанных углов

 

Рассмотрим примеры, после чего для вас – тест по теме “Вписанные, центральные углы”.

Задача 1.

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет  окружности.

Решение: + показать

 

Задача 2.

Найти величину угла А0С (см. рис.), если угол АВС равен

Решение: + показать

Заметим, тот угол АОС, что помечен на картинке, хоть и является центральным углом, но не является соответствующим для вписанного угла АВС, так как они опираются на разные дуги (угол АВС опирается на дугу АС, а угол АОС – на дугу АВС).

Так как вписанный угол АВС, равный , опирается на дугу АС, то она равна . Значит дуга АВС равна . А значит центральный угол АОС, который измеряется градусной мерой дуги, на которую опирается, равен .

Ответ:  

Задача 3.

Найти величину угла  ВАD, изображенного на картинке:

 

Решение: + показать

Так как углы ВСА и ВDA опираются на одну дугу (АВ), то они равны, то есть .

Теперь обратимся к треугольнику АВD. Он прямоугольный, так как угол АВD, опирающийся на диаметр, – прямой. Значит, .

Ответ:  

 

Задача 4.

Найти величину угла D, изображенного на картинке:

Решение: + показать

1) как вертикальные.

2) Из треугольника АВS:

3) , так как углы опираются на одну дугу.

Ответ:  

Задача 5.

Центральный угол на  больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол.

Решение:  + показать

Задача 6.

Найти градусную меру  угла ВАD:

Решение: + показать

Задача 7.

Найдите угол АСВ, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно  и .

Решение: + показать

 

Задача 8.

Найдите величину угла АВС.

Решение: + показать

 

Задача 9.

Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности?

Решение: + показать

 

Задача 10.

Найти градусную меру угла, изображенного на рисунке:

Решение: + показать

Задача 11.

Найдите величину угла АВС, изображенного на рисунке:

Решение: + показать

Задача 12.

Четырёхуголь­ник  впи­сан в окруж­ность. Угол  равен 106°, угол  равен 64°. Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Решение:

Вписанный угол равен половине дуги , на которую опирается.

Заметим при этом , аналогично

Тогда

Ответ: 42.

Вы можете пройти тест “Вписанные, центральные углы”. Тест хорош как для подготовки к ГИА, так и к ЕГЭ.

egemaximum.ru

Центральный и вписанный угол, свойства

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

На рисунке — центральные и вписанные углы, а также их важнейшие свойства.

Итак, величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается.
Значит, центральный угол величиной в градусов будет опираться на дугу, равную , то есть круга. Центральный угол, равный , опирается на дугу в градусов, то есть на шестую часть круга.

Величина вписанного угла в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.

Также для решения задач нам понадобится понятие «хорда».

Равные центральные углы опираются на равные хорды.

1. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

Ответ: .

2. Центральный угол на больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Пусть центральный угол равен , а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен .

Мы знаем, что .
Отсюда ,
.

Ответ: .

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

3. Радиус окружности равен . Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.

Пусть хорда равна . Тупой вписанный угол, опирающийся на эту хорду, обозначим .
В треугольнике стороны и равны , сторона равна . Нам уже встречались такие треугольники. Очевидно, что треугольник — прямоугольный и равнобедренный, то есть угол равен .
Тогда дуга равна , а дуга равна .
Вписанный угол опирается на дугу и равен половине угловой величины этой дуги, то есть .

Ответ: .

4. Хорда делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как . Под каким углом видна эта хорда из точки , принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Главное в этой задаче — правильный чертеж и понимание условия. Как вы понимаете вопрос: «Под каким углом хорда видна из точки ?»
Представьте, что вы сидите в точке и вам необходимо видеть всё, что происходит на хорде . Так, как будто хорда — это экран в кинотеатре 🙂
Очевидно, что найти нужно угол .
Сумма двух дуг, на которые хорда делит окружность, равна , то есть

Отсюда , и тогда вписанный угол опирается на дугу, равную .
Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, значит, угол равен .

Ответ: .

---

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Углы в окружности, центральный и вписанный. Свойства и способы нахождения

Планиметрия – это раздел геометрии, изучающий свойства плоских фигур. К ним относятся не только всем известные треугольники, квадраты, прямоугольники, но и прямые и углы. В планиметрии также существуют такие понятия, как углы в окружности: центральный и вписанный. Но что они означают?

Что такое центральный угол?

Для того чтобы понять, что такое центральный угол, нужно дать определение окружности. Окружность – это совокупность всех точек, равноудаленных от данной точки (центра окружности).

Очень важно отличать ее от круга. Нужно запомнить, что окружность – это замкнутая линия, а круг – это часть плоскости, ограниченная ею. В окружность может быть вписан многоугольник или угол.

Центральный угол – это такой угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны пересекают окружность в двух точках. Дуга, которую угол ограничивает точками пересечения, называется дугой, на которую опирается данный угол.

Рассмотрим пример №1.

На картинке угол AOB – центральный, потому что вершина угла и центр окружности – это одна точка О. Он опирается на дугу AB, не содержащую точку С.

Чем вписанный угол отличается от центрального?

Однако кроме центральных существуют также вписанные углы. В чем же их различие? Так же как и центральный, вписанный в окружность угол опирается на определенную дугу. Но его вершина не совпадает с центром окружности, а лежит на ней.

Приведем следующий пример.

Угол ACB называется углом, вписанным в окружность с центром в точке О. Точка С принадлежит окружности, то есть лежит на ней. Угол опирается на дугу АВ.

Чему равен центральный угол

Для того чтобы успешно справляться с задачами по геометрии, недостаточно уметь различать вписанный и центральный углы. Как правило, для их решения нужно точно знать, как найти центральный угол в окружности, и уметь вычислить его значение в градусах.

Итак, центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

На картинке угол АОВ опирается на дугу АВ, равную 66°. Значит, угол АОВ также равен 66°.

Таким образом, центральные углы, опирающиеся на равные дуги, равны.

На рисунке дуга DC равна дуге AB. Значит, угол АОВ равен углу DOC.

Как найти вписанный угол

Может показаться, что угол, вписанный в окружность, равен центральному углу, который опирается на ту же дугу. Однако это грубая ошибка. На самом деле, даже просто посмотрев на чертеж и сравнив эти углы между собой, можно увидеть, что их градусные меры будут иметь разные значения. Так чему же равен вписанный в окружность угол?

Градусная мера вписанного угла равна одной второй от дуги, на которую он опирается, или половине центрального угла, если они опираются на одну дугу.

Рассмотрим пример. Угол АСВ опирается на дугу, равную 66°.

Значит, угол АСВ = 66° : 2 = 33°

Рассмотрим некоторые следствия из этой теоремы.

• Вписанные углы, если они опираются на одну и ту же дугу, хорду или равные дуги, равны.
• Если вписанные углы опираются на одну хорду, но их вершины лежат по разные стороны от нее, сумма градусных мер таких углов составляет 180°, так как в этом случае оба угла опираются на дуги, градусная мера которых в сумме составляет 360° (вся окружность), 360° : 2 = 180°
• Если вписанный угол опирается на диаметр данной окружности, его градусная мера равна 90°, так как диаметр стягивает дугу равную 180°, 180° : 2 = 90°
• Если центральный и вписанный углы в окружности опираются на одну дугу или хорду, то вписанный угол равен половине центрального.

Где могут встретиться задачи на эту тему? Их виды и способы решения

Так как окружность и ее свойства – это один из важнейших разделов геометрии, планиметрии в частности, то вписанный и центральный углы в окружности – это тема, которая широко и подробно изучается в школьном курсе. Задачи, посвященные их свойствам, встречаются в основном государственном экзамене (ОГЭ) и едином государственном экзамене (ЕГЭ). Как правило, для решения этих задач следует найти углы на окружности в градусах.

Углы, опирающиеся на одну дугу

Этот тип задач является, пожалуй, одним из самых легких, так как для его решения нужно знать всего два простых свойства: если оба угла являются вписанными и опираются на одну хорду, они равны, если один из них – центральный, то соответствующий вписанный угол равен его половине. Однако при их решении нужно быть крайне внимательным: иногда бывает сложно заметить это свойство, и ученики при решении таких простейших задач заходят в тупик. Рассмотрим пример.

Задача №1

Дана окружность с центром в точке О. Угол АОВ равен 54°. Найти градусную меру угла АСВ.

Эта задача решается в одно действие. Единственное, что нужно для того, чтобы найти ответ на нее быстро – заметить, что дуга, на которую опираются оба угла — общая. Увидев это, можно применять уже знакомое свойство. Угол АСВ равен половине угла АОВ. Значит,

1) АОВ = 54° : 2 = 27°.

Ответ: 54°.

Углы, опирающиеся на разные дуги одной окружности

Иногда в условиях задачи напрямую не прописана величина дуги, на которую опирается искомый угол. Для того чтобы ее вычислить, нужно проанализировать величину данных углов и сопоставить их с известными свойствами окружности.

Задача 2

В окружности с центром в точке О угол АОС равен 120°, а угол АОВ – 30°. Найдите угол ВАС.

Для начала стоит сказать, что возможно решение этой задачи с помощью свойств равнобедренных треугольников, однако для этого потребуется выполнить большее количество математических действий. Поэтому здесь будет приведен разбор решения с помощью свойств центральных и вписанных углов в окружности.

Итак, угол АОС опирается на дугу АС и является центральным, значит, дуга АС равна углу АОС.

АС = 120°

Точно так же угол АОВ опирается на дугу АВ.

АВ = 30°.

Зная это и градусную меру всей окружности (360°), можно с легкостью найти величину дуги ВС.

ВС = 360° — АС — АВ

ВС = 360° — 120° — 30° = 210°

Вершина угла САВ, точка А, лежит на окружности. Значит, угол САВ является вписанным и равен половине дуги СВ.

Угол САВ = 210° : 2 = 110°

Ответ: 110°

Задачи, основанные на соотношении дуг

Некоторые задачи вообще не содержат данных о величинах углов, поэтому их нужно искать, исходя только из известных теорем и свойств окружности.

Задача 1

Найдите угол, вписанный в окружность, который опирается на хорду, равную радиусу данной окружности.

Если мысленно провести линии, соединяющие концы отрезка с центром окружности, то получится треугольник. Рассмотрев его, можно заметить, что эти линии являются радиусами окружности, а значит, все стороны треугольника равны. Известно, что все углы равностороннего треугольника равны 60°. Значит, дуга АВ, содержащая вершину треугольника, равна 60°. Отсюда найдем дугу АВ, на которую опирается искомый угол.

АВ = 360° — 60° = 300°

Угол АВС = 300° : 2 = 150°

Ответ: 150°

Задача 2

В окружности с центром в точке О дуги соотносятся как 3:7. Найдите меньший вписанный угол.

Для решения обозначим одну часть за Х, тогда одна дуга равна 3Х, а вторая соответственно 7Х. Зная, что градусная мера окружности равна 360°, составим уравнение.

3Х + 7Х = 360°

10Х = 360°

Х = 36°

По условию, нужно найти меньший угол. Очевидно, что если величина угла прямо пропорциональна дуге, на которую он опирается, то искомый (меньший) угол соответствует дуге, равной 3Х.

Значит, меньший угол равен (36° * 3) : 2 = 108° : 2 = 54°

Ответ: 54°

Задача 3

В окружности с центром в точке О угол АОВ равен 60°, а длина меньшей дуги — 50. Вычислите длину большей дуги.

Для того чтобы вычислить длину большей дуги, нужно составить пропорцию — как меньшая дуга относится к большей. Для этого вычислим величину обеих дуг в градусах. Меньшая дуга равна углу, который на нее опирается. Ее градусная мера составит 60°. Большая дуга равна разности градусной меры окружности (она равна 360° вне зависимости от остальных данных) и меньшей дуги.

Большая дуга равна 360° — 60° = 300°.

Так как 300° : 60° = 5, то большая дуга в 5 раз больше меньшей.

Большая дуга = 50 * 5 = 250

Ответ: 250

Итак, конечно, существуют и другие подходы к решению подобных задач, но все они так или иначе основаны на свойствах центральных и вписанных углов, треугольников и окружности. Для того чтобы успешно их решать, необходимо внимательно изучать чертеж и сопоставлять его с данными задачи, а также уметь применять свои теоретические знания на практике.

fb.ru

Центральный, вписанный угол. Градусная мера дуги.

Тестирование онлайн

Центральные и вписанные углы

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным. Этот угол образован двумя радиусами.

Угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки окружности называется

вписанным.

Центральный угол в два раза больше вписанного, если они опираются на одну и ту же дугу.

Измерение дуги

Дуги можно измерять, как и углы, в градусах. Вся окружность имеет 360⁰, половина ее содержит 180⁰.

Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.

Следует отметить, что градусная мера дуги не дает полной информации о ее длине.

Дуги AB и СD на рисунке имеют одинаковую градусную меру, но длина дуги CD больше, чем длина дуги AB.

Описанный угол — угол, образованный двумя касательными, исходящими из одной точки.

Такой угол измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Угол между двумя хордами. Угол измеряется полусуммой дуг, заключенных между его сторонами (продолженными в обе стороны).

Угол между двумя секущими. Угол измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Угол между касательной и хордой. Угол измеряется половиной дуги, заключенной внутри него.

Угол между касательной и секущей

. Угол измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

fizmat.by

Чему равен вписанный угол | Треугольники

Выясним, чему равен вписанный угол окружности и как его величина связана с величиной центрального угла.

Теорема

(О вписанном угле)

Вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла.

Дано: окружность (O; R),

∠ABС — вписанный,

∠AOС — центральный.

Доказать:

   

Доказательство:

1) Рассмотрим частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности.

В треугольнике AOB OA=OB (как радиусы). Значит, треугольник AOB — равнобедренный с основанием AB. Следовательно, у него углы при основании равны:∠ABO=∠BAO.

∠AOC — внешний угол треугольника AOB. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

∠AOC=∠ABO+∠BAO=2∙∠ABO. Отсюда, 

   

2) Если центр окружности лежит между сторонами угла.

Проведем из вершины вписанного угла ABC диаметр BF.

Аналогично, ∠AOF — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника ABO и

   

∠FOC — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника BCO и

   

   

   

   

3) Если центр окружности лежит вне угла.

Проведем диаметр BF.

∠AOF — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника ABO и

   

∠СOF — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника BCO и

   

   

   

   

Что и требовалось доказать.

Замечание.

Дугу окружности можно измерять в градусах. Если центральный угол AOC меньше либо равен 180º, то градусная мера дуги AC равна градусной мере центрального угла AOC:

   

Если центральный угол AOC больше 180º, то градусная мера дуги AC равна 360º-∠AOC.

Таким образом, сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º.

Другая формулировка теоремы о вписанном угле:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

   

www.treugolniki.ru

Определение центрального угла

Центральным углом называется угол с вершиной в центре окружности.

Центральный угол рассматривается вместе со своей внутренней областью – одной из двух частей, на которые стороны угла разбивают плоскость. Измеряется в пределах \([0^{\circ}; 360^{\circ}]\).

Определение градусной меры дуги окружности

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего ей центрального угла (т. е. центрального угла, который высекает эту дугу на окружности).

$$ \overset{\smile}{AB}=\angle AOB $$

Определение вписанного угла

Угол называется вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Говорят, что вписанный угол опирается на дугу, которую он вместе со своей внутренней областью высекает на окружности.

Вписанный угол \(ACB\) опирается на дугу \(AB\).

Теорема о вписанном угле

Градусная мера угла, вписанного в окружность, равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается, и равна половине градусной меры соответствующего этой дуге центрального угла.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\beta=\frac{1}{2}\overset{\smile}{AB} $$

Угол, опирающийся на диаметр

Угол, вписанный в окружность, прямой, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр.

\( \angle{ACB}=90^{\circ} \Leftrightarrow \) \(AB\) – диаметр

Признак вписанного четырёхуольника

Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна \(180^{\circ}\), то этот четырёхугольник вписанный.

\(\angle{A}+\angle{C}=180^{\circ} \Rightarrow ABCD\) – вписанный

Угол, образованный хордами

Градусная мера каждого из вертикальных углов, образованных двумя пересекающимися хордами, равна полусумме градусных мер дуг, которые эти углы высекают на окружности.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}+\overset{\smile}{CD}\right) $$

Угол, образованный касательной и хордой

Градусная мера угла, образованного касательной к окружности и хордой с концом в точке касания, равна половине градусной меры дуги окружности, заключённой внутри этого угла.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\overset{\smile}{AB} $$

Угол с вершиной на окружности

Пусть вершина угла принадлежит окружности, а одна из его сторон и продолжение другой стороны пересекают окружность. Тогда градусная мера этого угла равна полусумме градусных мер дуг, которые он вместе с вертикальным ему углом высекают на окружности.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}+\overset{\smile}{BC}\right) $$

Угол с вершиной в круге

Градусная мера угла, вершина которого принадлежит кругу, равна полусумме градусных мер дуг, которые этот угол вместе с вертикальным ему высекает на окружности.

\( \alpha=\frac{1}{2} ( \)дуга\(_1\) + дуга\(_2 )\)

Угол, образованный секущими

Градусная мера угла, образованного двумя секущими к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые он высекает на окружности.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}-\overset{\smile}{CD}\right) $$

Угол, образованный касательными

Градусная мера угла, образованного двумя касательными к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, на которые точки касания делят окружность.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{ACB}-\overset{\smile}{ADB}\right) $$

Угол, образованный касательной и секущей

Градусная мера угла, образованного касательной и секущей к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые этот угол высекает на окружности.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}-\overset{\smile}{BC}\right) $$

Признак касания прямой и окружности

Градусная мера угла, образованного касательной и секущей к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые этот угол высекает на окружности.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}-\overset{\smile}{BC}\right) $$

Угол с вершиной вне круга

Если вершина угла лежит вне круга, а каждая сторона пересекает круг или касается его, то градусная мера этого угла равна полуразности градусных мер дуг, которые он высекает на окружности.

\( \alpha=\frac{1}{2} ( \)дуга\(_1\) – дуга\(_2 )\)

tmath.ru