Как найти путь пройденный телом по графику: Путь при неравномерном движении — материалы для подготовки к ЕГЭ по Физике

Путь при неравномерном движении — материалы для подготовки к ЕГЭ по Физике

 

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Сейчас мы будем рассматривать неравномерное движение — то есть движение, при котором абсолютная величина скорости меняется со временем. Оказывается, существует простая геометрическая интерпретация пути, пройденного телом при произвольном движении.
Начнём с равномерного движения. Пусть скорость тела постоянна и равна . Возьмём два момента времени: начальный момент и конечный момент . Длительность рассматриваемого промежутка времени равна .

Очевидно, что за промежуток времени тело проходит путь:

(1)

Давайте построим график зависимости скорости от времени. В данном случае это будет прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 1).

Рис. 1. Путь при равномерном движении

 

Нетрудно видеть, что пройденный путь равен площади прямоугольника, расположенного под графиком скорости. В самом деле, первый множитель в формуле (1) есть вертикальная сторона этого прямоугольника, а второй множитель — его горизонтальная сторона.

Теперь нам предстоит обобщить эту геометрическую интерпретацию на случай неравномерного движения.

Пусть скорость тела зависит от времени, и на рассматриваемом промежутке график скорости выглядит, например, так (рис. 2):

Рис. 2. Неравномерное движение

 

Дальше мы рассуждаем следующим образом.

1. Разобьём наш промежуток времени на небольшие отрезки величиной .

2. Предположим, что на каждом таком отрезке тело движется с постоянной скоростью . То есть, плавное изменение скорости заменим ступенчатой аппроксимацией*: в течение каждого небольшого отрезка времени тело движется равномерно, а затем скорость тела мгновенно и cкачком меняется.
На рис. 3 показаны две ступенчатые аппроксимации. Ширина ступенек на правом рисунке вдвое меньше, чем на левом.

Рис. 3. Ступенчатая аппроксимация

 

Путь, пройденный за время равномерного движения — это площадь прямоугольника, расположенного под ступенькой. Поэтому путь, пройденный за всё время такого «ступенчатого» движения — это сумма площадей всех прямоугольников на графике.

3. Теперь устремляем к нулю. Ясно, что в пределе наша ступенчатая аппроксимация перейдёт в исходный график скорости на рис. 2. Сумма площадей прямоугольников перейдёт в площадь под графиком скорости; следовательно, эта площадь и есть путь, пройденный телом за время от до . (рис. 4

Рис. 4. Путь при неравномерном движении

 

В итоге мы приходим к нужному нам обобщению геометрической интерпретации пути, полученной выше для случая равномерного движения.

Аппроксимация — это приближённая замена достаточно сложного объекта более простой моделью, которую удобнее изучать.

Геометрическая интерпретация пути.

Путь, пройденный телом при любом движении, равен площади под графиком скорости на заданном промежутке времени.

Посмотрим, как работает эта геометрическая интерпретация в важном частном случае равноускоренного движения.

Задача. Тело, имеющее скорость в начальный момент , разгоняется с постоянным ускорением . Найти путь, пройденный телом к моменту времени .

Решение. Зависимость скорости от времени в данном случае имеет вид:

(2)

График скорости — прямая, изображённая на рис. 5. Искомый путь есть площадь трапеции, расположенной под графиком скорости.

Рис. 5. Путь при равноускоренном движении

 

Меньшее основание трапеции равно . Большее основание равно . Высота трапеции равна . Поскольку площадь трапеции есть произведение полусуммы оснований на высоту, имеем:

Эту формулу можно переписать в более привычном виде:

Она, разумеется, вам хорошо известна из темы «Равноускоренное движение».

Задача. График скорости тела является полуокружностью диаметра (рис. 6). Максимальная скорость тела равна . Найти путь, пройденный телом за время .

Решение.

Как вы знаете, площадь круга радиуса равна . Но в данной задаче необходимо учесть, что радиусы полуокружности имеют разные размерности: горизонтальный радиус есть время , а вертикальный радиус есть скорость .

Поэтому пройденный путь, вычисляемый как площадь полукруга, равен половине произведения на горизонтальный радиус и на вертикальный радиус:

Рис. 6. К задаче

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Путь при неравномерном движении.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 09.03.2023

Расчет пути и времени движения | 7 класс

Содержание

На прошлых уроках мы познакомились с определением механического движения, узнали, каким бывает движение, изучили его свойства и характеристики. Теперь нам известны формулы для расчета скорости при равномерном движении ($\upsilon = \frac{S}{t}$) и средней скорости при неравномерном ($\upsilon_{ср} = \frac{S}{t}$).

На данном уроке мы посмотрим на эти формулы с другой стороны — научимся использовать их для расчета пути и времени движения, а также рассмотрим графики скорости и пути для равномерного движения.

Формулы для расчета пути и времени движения при равномерном движении тела

Скорость тела при равномерном движении вычисляется по формуле $\upsilon = \frac{S}{t}$. Отсюда, если мы знаем скорость и время, то можем найти пройденный путь:

$S = \upsilon t$.

Чтобы определить путь, пройденный телом при равномерном движении, нужно скорость тела умножить на время его движения.

Выразим время:

$t = \frac{S}{\upsilon}$.

Чтобы рассчитать время при равномерном движении, нужно путь, пройденный телом, разделить на скорость его движения.

{"questions":[{"content":"Если тело двигалось равномерно, то, чтобы рассчитать пройденный им путь нужно[[choice-33]]","widgets":{"choice-33":{"type":"choice","options":["скорость умножить на время движения","скорость разделить на время движения","среднюю скорость умножить на время движения"],"answer":[0]}}}]}

Формулы для расчета пути и времени движения при неравномерном движении тела

При неравномерном движении мы используем определение средней скорости, которую можем найти по формуле:
$\upsilon_{ср} = \frac{S}{t}$.

Чтобы определить путь при неравномерном движении, нужно среднюю скорость движения умножить на время:

$\large S = \upsilon_{ср} t$.

Также мы можем рассчитать время, разделив путь, пройденный телом, на среднюю скорость его движения:

$t = \frac{s}{\upsilon_{ср}}$.

{"questions":[{"content":"Чтобы найти время неравномерного движения необходимо[[choice-38]]","widgets":{"choice-38":{"type":"choice","options":["путь разделить на среднюю скорость","путь разделить на скорость","среднюю скорость разделить на путь"],"answer":[0]}}}]}

График скорости равномерного движения

Так как скорость – это векторная величина, она характеризуется и модулем, и направлением. В зависимости от выбранного направления скорость по знаку может быть как положительной, так и отрицательной.

На рисунке 1 изображен динозавр, автомобиль и дом. Зададим ось координат $x$.

Рисунок 1. Положительная и отрицательная скорости

Если динозавр начнет двигаться к дому, то его скорость будет положительной, так как направление движения совпадает с направлением оси $x$. Если же динозавр направится к автомобилю, то его скорость будет отрицательной, так как направление движения противоположно направлению оси $x$.

Итак, график скорости равномерного движения имеет вид, представленный на рисунке 2.

Рисунок 2. График скорости равномерного движения

Из графика видно, что скорости с течением времени не изменяется – они постоянны в любой выбранный момент времени. Если мы посмотрим на график положительной скорости, то увидим, что $\upsilon = 6 \frac{м}{с}$, на график отрицательной — $\upsilon = -4 \frac{м}{с}$.

Зная скорость и время, мы можем рассчитать пройденный путь за определенный промежуток времени. Рассчитаем какой путь пройдет тело с положительной скоростью за $4 \space с$.

$S = \upsilon t = 6 \frac{м}{с} \cdot \space 4 c = 24 \space м$.

{"questions":[{"content":"График зависимости скорости равномерного движения от времени имеет вид[[choice-41]]","widgets":{"choice-41":{"type":"choice","options":["прямой, параллельной оси времени","прямой, параллельной оси скоростей","прямой пропорциональности","обратной пропорциональности"],"answer":[0]}}}]}

График пути равномерного движения

Пример графика зависимости пути равномерного движения представлен на рисунке 3.

Рисунок 3. График пути равномерного движения

Здесь $S$ — ось пройденных путей, $t$ — ось времени. По этому графику мы можем найти путь, пройденный телом за определенный промежуток времени. Например, за 1 с тело проходит путь длиной 2 м, за 2 с – 4 м, за 3 с – 6 м.

Зная путь и время, мы можем рассчитать скорость. Для удобства расчета возьмем самый первый отрезок пути: $t = 1 \space с$, $S = 2 \space м$. Тогда,

$\upsilon = \frac{S}{t} = \frac{2 \space м}{1 \space с} = 2 \frac{м}{с}$.

Задачи

Задача №1

Самым быстрым животным на Земле считается гепард. Он способен развивать скорость до $120 \frac{км}{ч}$, но сохранять ее способен в течение короткого промежутка времени. Если за несколько секунд он не настигнет добычу, то, вероятнее всего, уже не сможет ее догнать. Найдите путь, который пробежит гепард на максимальной скорости за $3$ секунды.

Переведем единицы измерения скорость в СИ и решим задачу.

$120 \frac{км}{ч} = 120 \cdot \frac{1000 \space м}{3600 \space с} \approx 33 \frac{м}{с}$.

Дано:
$\upsilon = 120 \frac{км}{ч}$
$t = 3 \space c$

СИ:
$\upsilon = 33 \frac{м}{с}$

$S — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Решение:

Гепард двигается равномерно в течение 3 с.
Путь, который он проходит за это время:
$S = \upsilon t$,
$S = 33 \frac{м}{с} \cdot 3 с \approx 100 \space м$

Ответ: $S = 100 \space м$.

Задача №2

Колибри – самые маленькие птицы на нашей планете. При полете они совершают около 4000 взмахов в минуту. Тем не менее, они способны пролетать очень большие расстояния. Например, некоторые виды данной птицы перелетают Мексиканский залив длиной $900 км$ со средней скоростью $40 \frac{км}{ч}$. Сколько времени у них занимает такой полет?

Переведем единицы измерения скорость в СИ и решим задачу.

$40 \frac{км}{ч} = 40 \cdot \frac{1000 м}{3600 с} \approx 11 \frac{м}{с}$,
$900 \space км = 900 \space 000 м$.

Дано:
$\upsilon_{ср} = 40 \frac{км}{ч}$
$S = 900 \space км$

CИ:
$\upsilon_{ср} = 11 \frac{м}{с}$
$S = 900 \space 000 \space м$

$t-?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Решение:

Полет колибри будет примером неравномерного движения. Зная среднюю скорость и путь, рассчитаем время перелета:
$t = \frac{s}{\upsilon_{ср}}$,
$t = \frac{900 \space 000 \space м}{11 \frac{м}{с}} \approx 82 \space 000 \space с$.

Переведем время в часы:
$1 \space ч = 60 \space мин = 60 \cdot 60 \space c = 3600 \space c$.

Тогда:
$t = \frac{82 \space 000 \space c}{3600 \space c} \approx 23 \space ч$.

Ответ: $t = 23 \space ч$.

Больше задач на расчет пути и времени движения с подробными решениями смотрите в отдельном уроке.

Упражнения

Упражнение №1

Пользуясь таблицей 1 из прошлого урока, найдите скорости страуса, автомобиля, искусственного спутника Земли. Определите пути, пройденные ими за $5 \space с$.

Дано:
$\upsilon_1 = 22 \frac{м}{с}$
$\upsilon_2 = 20 \frac{м}{с}$
$\upsilon_3 = 8000 \frac{м}{с}$
$t = 5 \space с$

$S_1 — ?$
$S_2 — ?$
$S_3 — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Решение:

Путь, пройденный страусом:
$S_1 = \upsilon_1 t$,
$S_1 = 22 \frac{м}{с} \cdot 5 \space с = 110 \space м$.

Путь, пройденный автомобилем:
$S_2 = \upsilon_2 t$,
$S_2 = 20 \frac{м}{с} \cdot 5 \space с = 100 \space м$.

Путь, пройденный искусственным спутником Земли:
$S_3 = \upsilon_3 t$,
$S_3 = 8000 \frac{м}{с} \cdot 5 \space с = 40 \space 000 \space м = 40 \space км$.

Ответ: $S_1 = 110 \space м$, $S_2 = 100 \space м$, $S_3 = 40 \space км$.

Упражнение №2

На велосипеде можно без особого напряжения ехать со скоростью $3 \frac{м}{с}$. На какое расстояние можно уехать за $1.5 \space ч$?

Дано:
$t = 1.5 \space ч$
$\upsilon = 3 \frac{м}{с}$

СИ:
$t = 5400 \space с$

$S — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Решение:

Рассчитаем путь, который можно проехать на велосипеде с указанной скоростью:
$S = \upsilon t$,
$S = 3 \frac{м}{с} \cdot 5400 \space с = 16 \space 200 \space м = 16.2 \space км$.

Ответ: $S = 16.2 \space км$.

Упражнение №3

На рисунке 4 показан график зависимости пути равномерного движения тела от времени ($S$ — ось пройденного пути, $t$ — ось времени). По этому графику найдите, чему равен путь, пройденный телом за $2 \space ч$. Затем рассчитайте скорость тела.

Рисунок 4. График зависимости пути от времени равномерного движения

Определим из графика путь, пройденный телом за $2 \space ч$. Этому времени на графике соответствует значение пути, равное $200 \space км$. Запишем условие задачи и решим ее.

Дано:
$S = 200 \space км$
$t = 2 \space ч$

$\upsilon — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Решение:

Скорость равномерного движения рассчитываем по формуле:
$\upsilon = \frac{S}{t}$.

$\upsilon = \frac{200 \space км}{2 \space ч} = 100 \frac{км}{ч}$.

Ответ: $\upsilon = 100 \frac{км}{ч}$.

Упражнение №4

График зависимости скорости равномерного движения тела от времени представлен на рисунке 5. По этому графику определите скорость движения тела. Рассчитайте путь, который пройдет тело за $2 \space ч$, $4 \space ч$.

Рисунок 5. График зависимости скорости равномерного движения от времени

Из графика видно, что скорость тела равна $8 \frac{м}{с}$. Этот график представляет собой прямую, параллельную оси времени, потому что движение равномерное, и скорость тела не изменяется с течением времени. Запишем условие задачи и решим ее.

Дано:
$t_1 = 2 \space ч$
$t_2 = 4 \space ч$
$\upsilon = 8 \frac{м}{с}$

СИ:
$t_1 = 7200 \space с$
$t_2 = 14 \space 400 \space с$

$S_1 — ?$
$S_2 — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Решение:

Путь рассчитаем по формуле: $S = \upsilon t$.

За $2 \space ч$ тело пройдет путь:
$S_1 = \upsilon t_1$,
$S_1 = 8 \frac{м}{с} \cdot 7200 \space с = 57 \space 600 \space м = 57.6 \space км$.

За $4 \space ч$ тело пройдет путь:
$S_2 = \upsilon t_2$,
$S_2 = 8 \frac{м}{с} \cdot 14 \space 400 \space с = 115 \space 200 \space м = 115. 2 \space км$.

Ответ: $S_1 = 57.6 \space км$, $S_2 = 115.2 \space км$.

Упражнения №5

По графикам зависимости путей от времени (рисунок 6) двух тел, движущихся равномерно, определите скорости этих тел. Скорость какого тела больше?

Рисунок 6. Графики зависимости путей от времени равномерного движения двух тел

Для того, чтобы рассчитать скорость тела, нам нужно знать путь и время, за которое этот путь был пройден. Возьмем эти значения для двух тел из их графиков. Первое тело (I) проходит путь, равный $4 \space м$, за $2 \space с$. Второе тело (II) проходит путь, равный $4 \space м$, за $4 \space с$. Запишем условие задачи и решим ее.

Дано:
$S = 4 \space м$
$t_1 = 2 \space с$
$t_2 = 4 \space с$

$\upsilon_1 — ?$
$\upsilon_2 — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Решение:

Рассчитаем скорость первого тела:
$\upsilon_1 = \frac{S}{t_1}$,
$\upsilon_1 = \frac{4 \space м}{2 \space с} = 2 \frac{м}{с}$.

Рассчитаем скорость второго тела:
$\upsilon_2 = \frac{S}{t_2}$,
$\upsilon_2 = \frac{4 \space м}{4 \space с} = 1 \frac{м}{с}$.

Получается, что скорость первого тела больше скорости второго.

Ответ: $\upsilon_1 = 2 \frac{м}{с}$, $\upsilon_2 = 1 \frac{м}{с}$, $\upsilon_1 > \upsilon_2$.

3.1 Положение, перемещение и средняя скорость — University Physics Volume 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Задайте положение, перемещение и пройденное расстояние.
• Вычислите общее перемещение с заданным положением как функцию времени.
• Определить общее пройденное расстояние.
• Рассчитайте среднюю скорость, зная перемещение и прошедшее время.

Когда вы в движении, основные вопросы, которые нужно задать: Где вы находитесь? Куда ты идешь? Как быстро вы туда добираетесь? Ответы на эти вопросы требуют, чтобы вы указали ваше положение, ваше смещение и вашу среднюю скорость — термины, которые мы определяем в этом разделе.

Позиция

Чтобы описать движение объекта, вы должны сначала уметь описать его положение ( x

): где он находится в любой конкретный момент времени . Точнее, нам нужно указать его положение относительно удобной системы отсчета. Система отсчета — это произвольный набор осей, от которых описывается положение и движение объекта. Земля часто используется в качестве системы отсчета, и мы часто описываем положение объекта по отношению к неподвижным объектам на Земле. Например, запуск ракеты можно описать с точки зрения положения ракеты относительно Земли в целом, тогда как положение велосипедиста можно описать с точки зрения того, где он находится по отношению к зданиям, которые он проезжает (рис. 3.2). В других случаях мы используем системы отсчета, которые не стационарны, а движутся относительно Земли. Например, чтобы описать положение человека в самолете, мы используем в качестве системы отсчета самолет, а не Землю. Для описания положения объекта, совершающего одномерное движение, часто используется переменная х . Позже в этой главе, при обсуждении свободного падения, мы используем переменную y .

Рисунок 3.2 Этих велосипедистов во Вьетнаме можно описать по их положению относительно зданий или канала. Их движение можно описать изменением их положения или перемещением в системе отсчета. (кредит: модификация работы Сьюзен Блэк)

Смещение

Если объект перемещается относительно системы отсчета, например, если профессор перемещается вправо относительно доски (рис. 3.3), положение объекта изменяется. Это изменение положения называется смещением. Слово смещение означает, что объект переместился или был смещен. Хотя положение является числовым значением x вдоль прямой линии, где может быть расположен объект, смещение дает изменение положения вдоль этой линии. Поскольку смещение указывает направление, это вектор, который может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от выбора положительного направления. Кроме того, в анализ движения может быть включено множество смещений. Если правое положительное и объект перемещается на 2 м вправо, затем на 4 м влево, отдельные смещения составляют 2 м и -4-4 м соответственно.

Рисунок 3.3 Профессор ходит влево и вправо во время лекции. Ее положение относительно Земли определяется как x . Смещение профессора относительно Земли на +2,0 м показано стрелкой, указывающей вправо.

смещение

Перемещение ΔxΔx — изменение положения объекта:

Δx=xf−x0,Δx=xf−x0,

3.1

где ΔxΔx — перемещение, xfxf — конечное положение, x0x0 — начальное положение.

Мы используем заглавную греческую букву дельта (Δ) для обозначения «изменения» любой величины, следующей за ней; таким образом, ΔxΔx означает изменение положения (конечное положение минус начальное положение). Мы всегда находим смещение, вычитая начальную позицию x0x0 из конечной позиции xfxf. Обратите внимание, что единицей СИ для перемещения является метр, но иногда мы используем километры или другие единицы длины. Имейте в виду, что когда в задаче используются единицы измерения, отличные от метров, вам может потребоваться преобразовать их в метры, чтобы завершить расчет (см. Приложение B).

Объекты в движении также могут иметь ряд перемещений. В предыдущем примере с профессором стимуляции индивидуальные смещения составляют 2 м и -4-4 м, что дает общее смещение -2 м. Мы определяем общее перемещение ΔxTotalΔxTotal как сумму индивидуальных перемещений и выражаем это математически уравнением

ΔxTotal=∑Δxi,ΔxTotal=∑Δxi,

3,2

, где ΔxiΔxi — индивидуальные перемещения. В предыдущем примере

Δx1=x1−x0=2−0=2m.Δx1=x1−x0=2−0=2m.

Аналогично,

Δx2=x2−x1=−2−(2)=−4m.Δx2=x2−x1=−2−(2)=−4m.

Таким образом,

ΔxTotal=Δx1+Δx2=2−4=−2m.ΔxTotal=Δx1+Δx2=2−4=−2m.

Полное перемещение равно 2 − 4 = −2 м по оси x . Также полезно рассчитать величину смещения или его размер. Величина смещения всегда положительна. Это абсолютное значение смещения, потому что смещение является вектором и не может иметь отрицательное значение величины. В нашем примере величина полного смещения равна 2 м, а величина отдельных перемещений равна 2 м и 4 м.

Величину полного смещения не следует путать с пройденным расстоянием. Пройденное расстояние xTotalxTotal — это общая длина пути, пройденного между двумя позициями. В предыдущей задаче пройденное расстояние равно сумме величин отдельных перемещений:

xTotal=|Δx1|+|Δx2|=2+4=6m.xTotal=|Δx1|+|Δx2|=2+4=6m.

Средняя скорость

Для вычисления других физических величин в кинематике мы должны ввести переменную времени. Переменная времени позволяет нам не только указать, где находится объект (его положение) во время его движения, но и как быстро он движется. Насколько быстро движется объект, определяется скоростью, с которой его положение меняется со временем.

Для каждой позиции xixi мы назначаем определенное время titi. Если детали движения в каждый момент времени не важны, скорость обычно выражают как среднюю скорость v–v–. Эта векторная величина представляет собой просто общее перемещение между двумя точками, деленное на время, затрачиваемое на перемещение между ними. Время, необходимое для перемещения между двумя точками, называется истекшим временем ΔtΔt.

Средняя скорость

Если x1x1 и x2x2 — положения объекта в моменты времени t1t1 и t2t2 соответственно, то

Средняя скорость=v–=Смещение между двумя точкамиВремя, необходимое для выполнения смещенияv–=ΔxΔt=x2−x1t2−t1. Средняя скорость=v–=Смещение между двумя точкамиВремя, необходимое для выполнения смещенияv–=ΔxΔt=x2−x1t2− т1.

3,3

Важно отметить, что средняя скорость является вектором и может быть отрицательной, в зависимости от положений x1x1 и x2x2.

Пример 3.1

Доставка листовок

Джилл выходит из своего дома, чтобы доставить листовки для распродажи во дворе, путешествуя прямо на восток по своей улице, застроенной домами. На 0,5-0,5 км и 9Через несколько минут у нее заканчиваются листовки, и ей приходится возвращаться к дому, чтобы получить еще. Это занимает еще 9 минут. Собрав больше листовок, она снова отправляется по тому же пути, продолжая с того места, где остановилась, и оказывается в 1,0 км от своего дома. Этот третий этап ее путешествия занимает 1515 минут. В этот момент она поворачивает обратно к своему дому, направляясь на запад. Через 1.751,75 км и 2525 минут она останавливается на отдых.

1. Каково полное перемещение Джилл до точки, где она останавливается для отдыха?
2. Какова величина окончательного смещения?
3. Какова средняя скорость во время всего путешествия?
4. Каково общее пройденное расстояние?
5. Построить график зависимости положения от времени.

Набросок движений Джилл показан на рис. 3.4.

Рисунок 3.4 Хронология движений Джилл.

Стратегия

Задача содержит данные о различных этапах пути Джилл, поэтому было бы полезно составить таблицу физических величин. Нам даны положение и время в формулировке задачи, поэтому мы можем рассчитать смещения и затраченное время. Мы берем восток, чтобы быть положительным направлением. Из этой информации мы можем найти полное перемещение и среднюю скорость. Дом Джилл является отправной точкой x0x0. В следующей таблице указано время и положение Джилл в первых двух столбцах, а смещения рассчитаны в третьем столбце.

Время t i (мин)	Местоположение xixi (км)	Водоизмещение ΔxiΔxi (км)
t0=0t0=0	х0=0х0=0	Δx0=0Δx0=0
т1=9т1=9	х1=0,5х1=0,5	Δx1=x1−x0=0,5Δx1=x1−x0=0,5
т2=18т2=18	х2=0х2=0	Δx2=x2−x1=−0,5Δx2=x2−x1=−0,5
t3=33t3=33	х3=1,0х3=1,0	Δx3=x3−x2=1,0 Δx3=x3−x2=1,0
т4=58т4=58	x4=-0,75×4=-0,75	Δx4=x4−x3=−1,75Δx4=x4−x3=−1,75

Решение

1. Из приведенной выше таблицы общий рабочий объем равен

   ∑Δxi=0,5−0,5+1,0−1,75 км=−0,75 км. ∑Δxi=0,5−0,5+1,0−1,75 км=−0,75 км.

2. Величина полного смещения равна |−0,75|км=0,75км|−0,75|км=0,75км.
3. Средняя скорость = TotaldisplacementElapsedtime=v–=−0,75 км58мин=−0,013 км/мин0008
4. Общее пройденное расстояние (сумма величин отдельных перемещений) равно xTotal=∑|Δxi|=0,5+0,5+1,0+1,75 км=3,75 кмxTotal=∑|Δxi|=0,5+0,5+1,0+1,75 км=3,75 км.
5. Мы можем построить график зависимости положения Джилл от времени, чтобы увидеть движение; график показан на рис. 3.5.
   

   Рисунок 3,5 На этом графике показано положение Джилл в зависимости от времени. Средняя скорость — это наклон линии, соединяющей начальную и конечную точки.

Значение

Полное перемещение Джилл составляет −0,75 км, что означает, что в конце путешествия она окажется на расстоянии 0,75 км — 0,75 км к западу от своего дома. Средняя скорость означает, что если кто-то пойдет прямо на запад со скоростью 0,0130,013 км/мин, начиная с того же момента, когда Джилл вышла из дома, они оба прибудут к конечной точке остановки в одно и то же время. Обратите внимание, что если бы Джилл закончила свое путешествие у своего дома, ее полное перемещение было бы равно нулю, как и ее средняя скорость. Общее расстояние, пройденное за 58 минут, затраченное на ее поездку, составляет 3,75 км.

Проверьте свое понимание 3.1

Велосипедист проезжает 3 км на запад, затем разворачивается и едет 2 км на восток. а) Чему равно его перемещение? б) Каково пройденное расстояние? в) Чему равно его перемещение?

уравнений движения — Гиперучебник по физике

постоянное ускорение

Для точности этот раздел следует назвать «Одномерные уравнения движения при постоянном ускорении». Учитывая, что такое название было бы стилистическим кошмаром, позвольте мне начать этот раздел со следующей оговорки. Эти уравнения движения действительны только тогда, когда ускорение постоянно, а движение ограничено прямой линией.

Учитывая, что мы живем в трехмерной вселенной, в которой единственной константой являются изменения, у вас может возникнуть соблазн сразу пропустить этот раздел. Было бы правильно сказать, что ни один объект никогда не двигался по прямой с постоянным ускорением где-либо во Вселенной в любое время — ни сегодня, ни вчера, ни завтра, ни пять миллиардов лет назад, ни тридцать миллиардов лет в будущем. , никогда. Это я могу сказать с абсолютной метафизической уверенностью.

Так что же хорошего в этом разделе? Что ж, во многих случаях полезно предположить, что объект двигался или будет двигаться по траектории, которая в основном является прямой, и с почти постоянным ускорением; то есть любое отклонение от идеального движения можно по существу игнорировать. Движение по криволинейной траектории можно считать эффективно одномерным, если имеется только одна степень свободы для задействованных объектов. Дорога может извиваться и поворачивать и исследовать всевозможные направления, но автомобили, движущиеся по ней, имеют только одну степень свободы — свободу двигаться в одном направлении или в противоположном направлении. (Вы не можете ехать по дороге по диагонали и надеяться, что продержитесь на ней долго. ) В этом отношении это мало чем отличается от движения, ограниченного прямой линией. Аппроксимация реальных ситуаций моделями, основанными на идеальных ситуациях, не считается мошенничеством. Так дела обстоят в физике. Это настолько полезный метод, что мы будем использовать его снова и снова.

Наша цель в этом разделе состоит в том, чтобы вывести новые уравнения, которые можно использовать для описания движения объекта в терминах трех его кинематических переменных: скорости ( v ), положения ( с ) и времени ( т ). Есть три способа их объединения: скорость-время, положение-время и скорость-положение. В таком порядке их также часто называют первым, вторым и третьим уравнениями движения, но нет веских причин учить эти названия.

Поскольку мы имеем дело с прямолинейным движением, направление будет обозначаться знаком — положительные величины указывают в одну сторону, а отрицательные — в противоположную. Определение того, какое направление является положительным, а какое отрицательным, совершенно произвольно. Законов физики изотропный ; то есть они не зависят от ориентации системы координат. Однако некоторые проблемы легче понять и решить, когда одно направление предпочтительнее другого. Пока вы последовательны в решении проблемы, это не имеет значения.

скорость-время

Соотношение между скоростью и временем является простым во время равноускоренного прямолинейного движения. Чем дольше ускорение, тем больше изменение скорости. Изменение скорости прямо пропорционально времени, если ускорение постоянно. Если скорость увеличивается на определенную величину за определенное время, она должна увеличиться вдвое на эту величину за удвоенное время. Если объект уже стартовал с определенной скоростью, то его новая скорость будет равна старой скорости плюс это изменение. Вы уже должны уметь видеть уравнение мысленным взором.

Это самое простое из трех уравнений, которое можно вывести с помощью алгебры. Начните с определения ускорения.

и  =	∆ v
	∆ т

Расширить ∆ v до v  −  v ₀ и сжать ∆ t до t .

и  =	v  −  v 0
	т

Затем найдите v как функцию t .

v  =  v ₀  +  в  [1]

Это первое уравнение движения . Он записывается как полином — постоянный член ( v ₀ ), за которым следует член первого порядка ( на ). Так как старший порядок равен 1, правильнее называть его linear функция.

Символ v ₀ [vee nought] называется начальной скоростью или скоростью a time t  = 0. Ее часто считают «первой скоростью», но это довольно наивный способ Опишите это. Лучшим определением было бы сказать, что начальная скорость — это скорость, которую имеет движущийся объект, когда он впервые становится важным в задаче. Скажем, метеор был замечен глубоко в космосе, и задача состояла в том, чтобы определить его траекторию, тогда начальная скорость, вероятно, была бы скоростью, которую он имел при первом наблюдении. Но если проблема заключалась в том, что тот же самый метеор сгорает при входе в атмосферу, то начальная скорость, вероятно, будет равна скорости, с которой он вошел в атмосферу Земли. Ответ на вопрос «Какова начальная скорость?» это «это зависит». Оказывается, это ответ на многие вопросы.

Символ v — это скорость через некоторое время t после начальной скорости. Ее часто называют конечной скоростью 90 226 90 227, но это не делает ее «последней скоростью» объекта. Возьмем случай с метеором. Какая скорость представлена ​​символом v ? Если вы были внимательны, то должны были предвидеть ответ. Это зависит. Это может быть скорость метеора при прохождении мимо Луны, при входе в атмосферу Земли или при ударе о поверхность Земли. Это также может быть скорость метеорита, когда он находится на дне кратера. (в этом случае v  = 0 м/с.) Любая из этих скоростей является конечной? Кто знает. Кто-то мог извлечь метеорит из отверстия в земле и увезти его с собой. Это актуально? Вероятно, нет, но это зависит. Для такого рода вещей нет правил. Вы должны разобрать текст задачи на наличие физических величин, а затем присвоить значение математическим символам.

Последняя часть этого уравнения на представляет собой изменение скорости по сравнению с начальным значением. Напомним, что a — скорость изменения скорости и что 902:30 t — это время после некоторого начального события _{. Скорость раз время меняется. Если объект движется с ускорением 10 м/с ² , через 5 с он будет двигаться на 50 м/с быстрее. Если бы он стартовал со скоростью 15 м/с, то его скорость через 5 с была бы…}

15 м/с + 50 м/с = 65 м/с

позиция-время

Перемещение движущегося объекта прямо пропорционально скорости и времени. Двигайся быстрее. Иди дальше. Двигайтесь дольше (как в более длительное время). Иди дальше. Ускорение усложняет эту простую ситуацию, поскольку теперь скорость также прямо пропорциональна времени. Попробуйте сказать это словами, и это прозвучит смешно. «Перемещение прямо пропорционально времени и прямо пропорционально скорости, которая прямо пропорциональна времени». Время является двойным фактором, что делает смещение пропорциональным квадрату времени. Автомобиль, ускоряющийся в течение двух секунд, преодолеет в четыре раза большее расстояние, чем автомобиль, ускоряющийся всего за одну секунду (2, ²  = 4). Автомобиль, ускоряющийся в течение трех секунд, преодолеет в девять раз большее расстояние (3 ²  = 9).

Если бы это было так просто. Этот пример работает только тогда, когда начальная скорость равна нулю. Перемещение пропорционально квадрату времени, когда ускорение постоянно, а начальная скорость равна нулю. Правильное общее утверждение должно было бы учитывать любую начальную скорость и то, как скорость изменялась. Это приводит к ужасно беспорядочному заявлению о пропорциональности. Смещение прямо пропорционально времени и пропорционально квадрату времени при постоянном ускорении. Говорят, что функция, которая является одновременно линейной и квадратичной, равна 9.0226 квадратичный , что позволяет значительно сжать предыдущее утверждение. Перемещение является квадратичной функцией времени при постоянном ускорении

Заявления о пропорциональности полезны, но не так универсальны, как уравнения. Мы до сих пор не знаем, каковы константы пропорциональности для этой задачи. Один из способов выяснить их — использовать алгебру.

Начните с определения средней скорости.

v  =	∆ с
	∆ т

Расширить ∆ с до с  −  с ₀ и сжать ∆ t до t .

v  =	с  —  с 0
	т

Решите для положения.

с  =  с ₀  +  вт  [а]

Чтобы продолжить, нам нужно прибегнуть к небольшому трюку, известному как теорема о средней скорости или правило Мертона . Я предпочитаю последнее, поскольку это правило можно применить к любой величине, изменяющейся с одинаковой скоростью, а не только к скорости. Правило Мертона было впервые опубликовано в 1335 году в Мертон-колледже в Оксфорде английским философом, математиком, логиком и вычислителем Уильямом Хейтсбери (1313–1372). Когда скорость изменения величины постоянна, ее среднее значение находится посередине между конечным и начальным значениями.

v  = ½( v  +  v ₀ ) [4]

Подставьте первое уравнение движения [1] в это уравнение [4] и упростите, чтобы исключить v .

V = ½ [( В 0 + AT )+ V 0 ] V = ½ (2 . ..0..0........ . . . . . . 8. v  =  v 0  + ½ в  [б]

Теперь замените [b] на [a], чтобы исключить v [vee bar].

с  =  с ₀  + ( v ₀  + ½ в ) t

И, наконец, найдите s как функцию t .

с  =  с ₀  +  v ₀ t  + ½ в ^{0 903}

Это второе уравнение движения . Он записывается как многочлен — постоянный член ( s ₀ ), за которым следует член первого порядка ( v ₀ t ), за которым следует член второго порядка (½ в ^{0 2 2 ) ). Поскольку старший порядок равен 2, правильнее называть его квадратичным .}

Символ s ₀  [эсс ноль] часто рассматривается как начальная позиция . Символ s это позиция некоторое время t позже. Вы можете назвать это конечной позицией , если хотите. Изменение положения (∆ s ) называется перемещением или расстоянием (в зависимости от обстоятельств), и некоторые люди предпочитают писать второе уравнение движения так.

∆ с  =  v ₀ t  + ½ в ²  [2]

скорость-позиция

Каждое из первых двух уравнений движения описывает одну кинематическую переменную как функцию времени. По сути…

1. Скорость прямо пропорциональна времени при постоянном ускорении ( v ∝ t ).
2. Перемещение пропорционально квадрату времени при постоянном ускорении (∆ с ∝ t ² ).

Объединение этих двух утверждений приводит к третьему — тому, что не зависит от времени. Подстановкой должно быть очевидно, что…

3. Смещение пропорционально квадрату скорости при постоянном ускорении (∆ с ∝ v ² ).

Это утверждение особенно важно для безопасности вождения. Когда вы удваиваете скорость автомобиля, вам потребуется в четыре раза больше расстояния, чтобы его остановить. Утройте скорость, и вам понадобится в девять раз больше расстояния. Это хорошее практическое правило, которое следует запомнить.

Концептуальное введение завершено. Пришло время вывести формальное уравнение.

метод 1

Объедините первые два уравнения вместе таким образом, чтобы исключить время как переменную. Самый простой способ сделать это — начать с первого уравнения движения…

v  =  v ₀  +  в  [1]

решить на время…

т  =	v  −  v 0
	и

и затем подставляем во второе уравнение движения…

с  =  с ₀  +  v ₀ t  + ½ в ^{0 2 9035}

вот так…

с  =	с 0  +  v 0	⎛ ⎜ ⎝	v  −  v 0	⎞ ⎟ ⎠	+ ½ и	⎛ ⎜ ⎝	v  −  v 0	⎞ 2 ⎟ ⎠
			и				и

с  —  с 0  =	вв 0  —  в 0 2	+	v 2  — 2 vv 0  +  v 0 2
	и		2 и

2 а ( с  −  s 0 ) = 2( vv 0  −  v 0 2 ) + ( v 2  − 2 vv 0  +  v 0 2 )

1013101013101310101310131013101013101310101310101310131013101313109теля 2 ² — 0 ^{2 0 — 9 2 0 — .}

2 A ( S — S 0 ) = V 2 — V 2 — V

Сделайте квадрат скорости объекта, и все готово.

V ² = V ₀ ² +2 A ( S — S ₀ ) [3] S ₀ ) [3] S ₀ )

Это третье уравнение движения . Еще раз, символ s ₀  [ess nought] – это начальная позиция , а s  – позиция через некоторое время t . Если вы предпочитаете, вы можете написать уравнение, используя ∆ s — изменение положения , смещения , или расстояния в зависимости от ситуации.

v ²  =  v ₀ ²  + 2 a ∆ с  [3]

метод 2

Более сложный способ вывести это уравнение — начать со второго уравнения движения в такой форме…

∆ с  =  v ₀ t  + ½ в ²  [2]

и решить его на время. Это непростая задача, так как уравнение квадратное. Переставьте термины вот так…

½ в ²  +  v ₀ t  − ∆ с  = 0

и сравните его с общей формой квадратичного уравнения.

ax ²  +  bx  +  c  = 0

Решения этого уравнения дает знаменитое уравнение…

x  =	− b  ± √( b 2  − 4 ac )
	2 а

Замените символы в общем уравнении эквивалентными символами из нашего перестроенного второго уравнения движения…

т  =	− v 0  ± √[ v 0 2  − 4(½ a )(−∆ с 9)
	2(½ и )

немного почистить…

т  =	− v 0  ± √( v 0 2  + 2 a ∆ s )
	и

, а затем подставьте его обратно в первое уравнение движения.

v  =  v ₀  +  в  [1]

v  =  v 0  +  a	⎛ ⎜ ⎝	− v 0  ± √( v 0 2  + 2 a ∆ s )	⎞ ⎟ ⎠
		и

Вещи отменяются, и мы получаем это…

v  = ±√( v ₀ ²  + 2 a ∆ s )

Подровняйте обе стороны и готово.

v ²  =  v ₀ ²  + 2 a ∆ с  [3]

Теперь это было не так уж плохо, не так ли?

математические выводы

Исчисление — сложная математическая тема, но оно значительно упрощает вывод двух из трех уравнений движения. По определению ускорение есть первая производная скорости по времени. Возьмите операцию в этом определении и отмените ее. Вместо того, чтобы дифференцировать скорость, чтобы найти ускорение, интегрируйте ускорение, чтобы найти скорость. Это дает нам уравнение скорость-время. Если предположить, что ускорение постоянно, мы получим так называемое первое уравнение движения  [1].

и	=
дв	=	а дт
в ⌠ ⌡ дв v 0	=	т ⌠ ⌡ а дт 0
v  —  v 0	=	по телефону
v	=	v 0  +  в  [1]

Опять же, по определению, скорость — это первая производная положения по времени. Отменить эту операцию. Вместо того, чтобы дифференцировать положение, чтобы найти скорость, интегрируйте скорость, чтобы найти положение. Это дает нам уравнение положение-время для постоянного ускорения, также известное как секундное уравнение движения  [2].

v		=
	дс	=	В ДТ
	дс	=	( v 0  +  в )  dt
с ⌠ ⌡ дс с 0		=	т ⌠ ⌡ ( v 0  +  в )  dt 0
с  —  с 0		=	v 0 t  + ½ в 2
с		=	s 0  +  v 0 t  + ½ в 2  [2]

В отличие от первого и второго уравнений движения, нет очевидного способа вывести третье уравнение движения (то, которое связывает скорость с положением) с помощью исчисления. Мы не можем просто реконструировать это из определения. Нам нужно сыграть довольно изощренный трюк.

Первое уравнение движения связывает скорость со временем. По сути, мы вывели его из этой производной…

дв	=  и
дт

Второе уравнение движения связывает положение со временем. Это произошло от этой производной…

дс	=  против
дт

Третье уравнение движения связывает скорость с положением. По логике это должно происходить от производной, которая выглядит так…

дв	= ?
дс

Но чему это равно? Ну ничего по определению, но, как и все величины, оно равно самому себе. Это также равно самому себе, умноженному на 1. Мы будем использовать специальную версию 1 ( ^dt _dt ) и специальную версию алгебры (алгебра с бесконечно малыми). Посмотрите, что происходит, когда мы это делаем. Получаем одну производную, равную ускорению ( ^dv _dt ) и другую производную, равную обратной скорости ( ^dt _ds ).

дв	=	дв		1
дс		дс
дв	=	дв		дт
дс		дс		дт
дв	=	дв		дт
дс		дт		дс
дв	=	и		1
дс				v

Следующий шаг, разделение переменных. Соберите похожие вещи и интегрируйте их. Вот что мы получаем, когда ускорение постоянно…

		=
в дв		=	и
в ⌠ ⌡ в дв v 0		=	с ⌠ ⌡ и с 0
½( v 2  −  v 0 2 )		=	a ( с  —  с 0 )
	v 2	=	v 0 2  + 2 a ( с  —  с 0 ) [3]

Безусловно, умное решение, и оно было не намного сложнее, чем первые два варианта.