Геометрическая прогрессия на примерах

Геометрическая прогрессия не менее важная в математике по сравнению с арифметической. Геометрической прогрессией называют такую последовательность чисел b1, b2,…, b[n] каждый следующий член которой, получается умножением предыдущего на постоянное число. Это число, которое также характеризует скорость роста или убывания прогрессии называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают

Для полного задания геометрической прогрессии кроме знаменателя необходимо знать или определить первый ее член. Для положительного значения знаменателя прогрессия является монотонной последовательностью, причем если это последовательность чисел является монотонно убывающей и при монотонно возрастающей. Случай, когда знаменатель равен единице на практике не рассматривается, поскольку имеем последовательность одинаковых чисел, а их суммирование не вызывает практического интереса

Общий член геометрической прогрессии вычисляют по формуле

Сумма n первых членов геометрической прогрессии определяют по формуле

Рассмотрим решения классических задач на геометрическую прогрессию. Начнем для понимания с простейших.

 

Пример 1. Первый член геометрической прогрессии равен 27, а ее знаменатель равен 1/3. Найти шесть первых членов геометрической прогрессии.

Решение: Запишем условие задачи в виде

Для вычислений используем формулу n-го члена геометрической прогрессии

На ее основе находим неизвестные члены прогрессии

Как можно убедиться, вычисления членов геометрической прогрессии несложные. Сама прогрессия будет выглядеть следующим образом

 

Пример 2. Даны три первых члена геометрической прогрессии : 6; -12; 24. Найти знаменатель и седьмой ее член.

Решение: Вычисляем знаменатель геомитрической прогрессии исходя из его определения

Получили знакопеременную геометрическую прогрессию знаменатель которой равен -2. Седьмой член вычисляем по формуле

На этом задача решена.

 

Пример 3. Геометрическая прогрессия задана двумя ее членами . Найти десятый член прогрессии.

Решение:

Запишем заданные значения через формулы

По правилам нужно было бы найти знаменатель, а затем искать нужное значение, но для десятого члена имеем

Такую же формулу можно получить на основе нехитрых манипуляций с входными данными. Разделим шестой член ряда на другой, в результате получим

Если полученное значение умножить на шестой член, получим десятый

Таким образом, для подобных задач с помощью несложных преобразований в быстрый способ можно отыскать правильное решение.

 

Пример 4. Геометрическая прогрессия задано рекуррентными формулами

Найти знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых шести членов.

Решение:

Запишем заданные данные в виде системы уравнений

Выразим знаменатель разделив второе уравнение на первое

Найдем первый член прогрессии из первого уравнения

Вычислим следующие пять членов для нахождения суммы геометрической прогрессии

Поскольку найти сумму в данном случае не составляет большого труда, то обходя простые выкладки сводим все слагаемые под общий знаменатель

В общем случае, при нахождении суммы знакопеременных рядов следует выделять их положительную часть и отрицательную и найти отдельно их суммы по приведенным выше формулам. Наконец найденные значения добавить.

Примеры на геометрическую прогрессию не так сложны если знать несколько базовых формул. Все остальное сводится к простым математическим манипуляциям. Практикуйте с примерами самостоятельно и подобные задания будут для Вас несложными.

Похожие материалы:

  • Арифметическая прогрессия. Формула суммы
  • Простые примеры на прогресию
  • Арифметическая и геометрическая прогрессии. Простые примеры
  • Арифметическая и геометрическая прогрессии. Средний уровень сложности
  • Арифметическая и геометрическая прогрессии. Сложные примеры

формула n-го члена прогрессии 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

Тема 12.

Геометрическая прогрессия.

Давай рассмотрим последовательность, членами которой являются степени числа 2 с натуральными показателями:

2; 22; 23; 24; 25; …

Каждый член этой последовательности, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на 2. Эта последовательность является примером геометрической последовательности.

Давай дадим определение: Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Другими словами, последовательность (bn)– геометрическая прогрессия, если для любого натурального n выполняются условия:

bn ≠ 0 и bn+1 = bn⋅ q,где q – некоторое число. Значит, в последовательности натуральных степеней числа 2, для любого натурального n верно равенство bn+1 = bn⋅ 2, то есть q=2.

Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение ее любого члена, начиная со второго, к предыдущему равно q, то есть bn+1bn=q

Это равенство верно при любом натуральном n.

Число q – называют знаменателем геометрической прогрессии, который всегда отличен от 0.

Чтобы задать геометрическую прогрессию достаточно указать ее первый член и знаменатель.

Например:

Если b1 = 2 и q = 3, то мы получим геометрическую прогрессию:

2, 6, 18, 54, …

Если и b1 = 3 и q = -2, то мы получим геометрическую прогрессию:

3, -6, 12, -24,…

Если b1 = 5 и q = 1, то получим геометрическую прогрессию:

5, 5, 5,…

Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно последовательно найти второй, третий и вообще любой член прогрессии:

b2=b1∙q

b3=b2∙q=b1∙q∙q=b1q2

b4=b3∙q=b1∙q2∙q=b1q3

Значит, чтобы найти n-ый член надо первый член умножить на знаменатель в степени на единицу меньше, то есть

bn=b1qn-1

Это и есть формула n-го члена геометрической прогрессии.

Рассмотрим пару примеров:

Найти девятый член геометрической прогрессии:

-2; 4; -8;…

В данном случае: b1=-2,q=4-2=-2

b9=b1q8=-2∙-28=-2∙256=-512

Ответ: -512

Найдите первый член геометрической прогрессии, если шестой член равен 9, а знаменатель равен 3.

b6=b1∙q5

9=b1∙35

b1=935=127

Ответ: 127

Геометрическая прогрессия обладает следующим свойством:

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению последующего и предыдущего ее членов (произведению своих соседей)

То есть bn2=bn+1∙bn-1

Например, надо найти третий член геометрической прогрессии, если известно, что ее второй член равен 6, а четвертый – равен 24.

Давай воспользуемся этим свойством геометрической прогрессии, тогда

b32=b2∙b4

b32=6∙24=144

b3=±12

Ответ: 12 или –12.

Геометрическая прогрессия (G.P) Расчет — 2023

Содержание

  • Определение геометрической прогрессии
  • Денотации геометрической прогрессии
  • .
  • Среднее геометрическое

Определение G. P

Последовательность 5, 10, 20, 40 имеет первый член 5 и знаменатель

Между членами 2, например. ( 10

/ 5 или 40 / 2o = 2).

Последовательность, в которой члены увеличиваются или уменьшаются в обыкновенном отношении, называется геометрической прогрессией. ……….0002 n-й член A G. P

NTH Term = UN

UN = AR N-1

1 ST Термин = A

2 ND = A x R = AR AR.

3 rd term = a x r x r = ar 2

4 th term = a x r x r x r =  ar 3

8 th term  =  a x r x r x r x r x r x r x r  =  ar 7

nth term  =  a x r x r x r x …… ….

. ар N-1

Пример

Учитывая GP 5, 10, 20, 40. Найдите его (A) TH Термин (b) N-й срок

Раствор

A = 5 R. = 10/5 = 2

U = AR N-1

U = 5 (2) 9-1

= 5 (2) 8

= 5 x 256   = 1,280

(b)        U n = ar n-1

                  = 5(2) n-1

ОЦЕНКА

Третий срок G.P. составляет 1/81. Определите первый член, если знаменатель равен 1/3.

ОБЩАЯ ОЦЕНКА/ВОПРОС НА ПОВЕРКУ

1. p – 6, 2p  и 8p + 20 – три последовательных члена общей практики. Определить значение (a) p (b) знаменателя

2. Если 1 , x , 1 , y , …. находятся в GP , найти произведение x и y

       16        4      

если обыкновенное отношение r положительно.

4. Найдите 7

-й и n-й члены прогрессии 27,9,3,…

5.В ОП второй и четвертый члены равны 0,04 и 1 соответственно. Найдите (а) знаменатель (б) первый член

НАЗНАЧЕНИЕ НА ВЫХОДНЫЕ

1. Во 2 -й и 4 членов GP равны 8 и 32 соответственно, что является суммой первых четырех членов. (а) 28    (б) 40    (в) 48    (г) 60

2. Сумма первых пяти членов Г.П. 2, 6, 18, есть     (a) 484    (b) 243      (c) 242    (d) 130

обычное соотношение. (a) ½    (b) 1 / 3

(c) -1 / 3    (d)  -1 / 2

4. Если 2 nd и 5 th члены Г. П. равны -6 и 48 соответственно, найдите сумму первых четырех членов: (a) -45    (b) -15     (c) 15    ( г) 33

5. Найдите первый член Г.П. если его обыкновенное отношение и сумма к бесконечности – 3 / 3 и соответственно (а) 48    (б) 18    (в) 40   (г) -42

ТЕОРИЯ

1. 3

9-й член GP равно 360, а 6 -й -й термин равен 1215. Найдите

(i)         Общее отношение         (ii) Первый член        (iii)        Сумма первых четырех членов

1b. Если (3- x) + (6) + (7- 5x) является геометрическим рядом, найдите два возможных значения для

(i)   x     (ii) обыкновенное отношение, r          (iii) сумма  G.P

2. Первый член общей математики равен 48. Найдите кратность между его членами, если их сумма равна 36.0005

Присоединяйтесь к дискуссионному форуму и выполняйте задание : Найдите вопросы в конце каждого урока. Нажмите здесь, чтобы задать любой вопрос на форуме

Мы заинтересованы в продвижении БЕСПЛАТНОГО обучения. Расскажите своим друзьям о Stoplearn. com. Нажмите кнопку «Поделиться» ниже!

Формулы геометрической прогрессии, геометрические ряды, бесконечные геометрические ряды

В математике геометрическая прогрессия (последовательность)

(также неточно известная как 94…$
, где r ≠ 0, r — обыкновенный коэффициент, а a — масштабный коэффициент (также первый член).

Примеры

Геометрическая прогрессия с знаменателем 2 и масштабным коэффициентом 1 равна
1, 2, 4, 8, 16, 32…

Геометрическая последовательность с знаменателем 3 и масштабным коэффициентом 4 равна
4, 12, 36, 108, 324…

Геометрическая прогрессия с обыкновенным отношением -1 и масштабным коэффициентом 5 равна
5, -5, 5, -5, 5, -5,…

Формулы

Формула для n-го члена может быть определена как: 9{n-1}$

Формула обыкновенного отношения:

$r = \frac{a_k}{a_{k-1}}$

Если общее отношение:

  • Отрицательный, результаты будут чередоваться между положительными и отрицательными .
    Пример:
    1, -2, 4, -8, 16, -32… — знаменатель равен -2, а первый член равен 1.
  • Больше 1, будет экспоненциальный рост до бесконечности (положительный) .
    Пример :
    1, 5, 25, 125, 625… — обыкновенное отношение равно 5.
  • Меньше -1, будет экспоненциальный рост до бесконечности (положительный и отрицательный) .
    Пример :
    1, -5, 25, -125, 625, -3125, 15625, -78125, 390625, -1953125 … — обыкновенное отношение равно -5.
  • Между 1 и -1, будет экспоненциальный спад к нулю .
    Пример :
    4, 2, 1, 0,5, 0,25, 0,125, 0,0625 … — обыкновенное отношение $\frac{1}{2}$
    4, -2, 1, -0,5, 0,25, -0,125, 0,0625 … — обыкновенный коэффициент $-\frac{1}{2}$. 93 + \cdots = a\frac{1}{1-r}$

    , который действителен только тогда, когда |r| < 1.
    a 1 — первое слагаемое.

    Калькулятор геометрической прогрессии
    Задачи на геометрическую прогрессию

    Задача 1.