Известно что найдите значение выражения: Известно что a+b=3 найдите значение выражения a^2b+ab^2-3ab-5

формула, примеры, как решать, доказательство

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

610.9K

Многие ученые прошлых веков открыли то, что остается актуальным до сих пор. Один из них — французский математик Франсуа Виет. В этой статье расскажем о его теореме и зачем она нужна.

Основные понятия

Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Существует три вида квадратных уравнений:

• не имеют корней;
• имеют один корень;
• имеют два различных корня.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b² − 4ac. Его свойства:

• если D < 0, корней нет;
• если D = 0, есть один корень;
• если D > 0, есть два различных корня.

В случае, когда второй коэффициент четный, можно воспользоваться формулой нахождения дискриминанта , где .

В математике

теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Формула Виета

---

---

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета.

Теорема звучит так: 

Теорема Виета Рассмотрим квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1: . Такие уравнения называют приведенными квадратными уравнениями. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x² + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x² + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x² + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Обучение на курсах по математике помогает быстрее разобраться в новых темах и подтянуть оценки в школе.

Доказательство теоремы Виета

Дано квадратное уравнение x² + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что следующие равенства верны

• x₁ + x₂ = −b,
• x₁ * x₂ = c.

Формулы корней

Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x² + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.

1. Объединим числитель и знаменатель в правой части.

    

2. Раскроем скобки и приведем подобные члены:

    

3. Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b:

    

Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.

Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.

1. Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:

    

2. Перемножаем числители и знаменатели между собой:

    

3. Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a² − b². Получаем:

    

4. Далее произведем трансформации в числителе:

    

5. Нам известно, что D = b² − 4ac. Подставим это выражение вместо D.

    

6. Далее раскроем скобки и приведем подобные члены:

    

7. Сократим:

    

Мы доказали: x₁ * x₂ = c.

Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x² + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.

Обратная теорема Виета

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:

Обратная теорема Виета   Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.

Докажем теорему, обратную теореме Виета

Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x² + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x² + bx + c = 0.

Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x

2 + bx + c = 0.

1. Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:

2. Подставим m в уравнение вместо x, выражение −m − n подставим вместо b, а выражение mn — вместо c:

При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.

3. Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.
   
   При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.

Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x² + bx + c = 0.

Примеры

Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.

Дано: x² − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x² − 6x + 8 = 0.

Неприведенное квадратное уравнение 

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:

ax² + bx + c = 0, где а = 1.

Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x².

1. Получилось следующее приведенное уравнение:

2. Получается, второй коэффициент при x равен , свободный член — . Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:

3. Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x² + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x², то есть на 4.

4. Получилось приведённое квадратное уравнение. Второй коэффициент которого равен , а свободный член .
5. Тогда в соответствии с теоремой Виета получаем:

6. Метод подбора помогает найти корни: −1 и 

 

---

---

 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

Новое

Шпаргалки по математике

К следующей статье

280.4K

Как определить площадь квадрата

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Найдите значение выражения 7x — 3 для x = 5

Алгебра — это обширный раздел математики, изучающий числа и переменные. Термин, который имеет постоянное значение, известен как числительные, а термины, которые не имеют фиксированного значения, известны как переменные. Уравнение и выражение формируются с использованием чисел, переменных и арифметических операторов. Мы формализуем наиболее часто используемое утверждение с помощью алгебры. Далее просто по заданным данным подставляем эти значения в формулу и получаем точное значение.

Алгебраическое выражение

Алгебраическое выражение представляет собой комбинацию чисел, переменных и операторов. На основе информации, указанной в вопросе, составляется алгебраическое выражение с использованием числительных, переменных и операторов.

Пример: Трижды число увеличивается на 5.

Здесь в данном утверждении мы не знаем значение числа, поэтому примем его за x. Теперь по вопросу. Уравнение можно записать как «3x+5».

Здесь знак + разделяет термин на две части. Таким образом, на основе количества терминов алгебраические выражения можно разделить на следующие типы.

• Одночлен: Если количество членов в выражении равно единице, то это выражение называется мономом. Пример: 8t, 9y, 6e и т. д.
• Биномиальное: Если количество членов в алгебраическом выражении равно двум, то выражение называется биномиальным. Пример: 5x+3y, 8t+6r и т. д.
• Трехчлен: Если число членов в алгебраическом выражении равно трем, то выражение называется трехчленным. Пример: 6x+9r+6s, 8a+3b+9c и т. д.
• Многочлен: Если количество членов в выражении равно одному или более одному, то оно называется многочленом.

Значение алгебраического выражения:

Мы уже обсуждали, что в алгебре есть неизвестные. Мы не знаем значения этих неизвестных, и они представлены буквами алфавита. Но если каким-то образом мы получим значение этих алфавитов, то мы также сможем найти и значение выражения.

Шаги, чтобы найти значение выражения:

Шаг 1: Подставьте значение неизвестного в алгебраическое выражение, которое дано в вопросе.

Шаг 2: Решите выражение после ввода значения.

Шаг 3: Произвести вычисления с числами в соответствии с арифметическими операторами.

Шаг 4: Упростите значение в наименьшем члене.

Найдите значение выражения 7x – 3 для x = 5

Решение:

Положим x =5 в данное алгебраическое выражение.

= 7×5 -3

Решите выражение с помощью арифметических операторов.

= 35 – 3

= 32

Значение выражения 7x-3 для x = 5 равно 32. -3?

Решение:

Положим y =-3 в данное алгебраическое выражение.

= 6×(-3)+36

= -18+36

= 18

Значение выражения 6y +36 для y = -3 равно 18.

Вопрос 2: Что такое значение выражения 9y² -9 для y =2?

Решение:

Положим y=2 в данное алгебраическое выражение.

= 9×(2)² -9

= 9×4 – 9

= 36 – 9

= 27

Значение выражения 9y² -9 для y = 2 равно 27.

алгебраическое предварительное исчисление — Найдите значение следующего выражения 9{\frac{1}{c-b}}=?$$

Эта задача содержит только отметку $1$, и я не знаю, как решить ее кратчайшим образом. Может ли кто-нибудь указать мне правильное направление? Спасибо заранее за ваше время.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Извините за ошибку с моей стороны. Это будет знак умножения вместо знака «+» между терминами. Кроме того, здесь выражения равны $x$ в степени… Я не смог правильно выполнить LATEX.

• алгебра-предварительное исчисление

9{-\left(\frac{a-b}{a-c}+\frac{b-c}{b-a}+\frac{c-a}{c-b}\right)} $$ Я не вижу способа дальнейшего упрощения без каких-либо других ограничений.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

$$\frac1{x(a-b)(a-c)}+\frac1{x(b-c)(ba)}+\frac1{x(c-a)(c-b)}$$

$$=-\frac1{ x(a-b)(c-a)}-\frac1{x(b-c)(a-b)}-\frac1{x(c-a)(b-c)}$$

$$=-\frac{b-c+c-a +a-b}{x(a-b)(b-c)(c-a)}=0$$ 9{\ frac {a-b} {a-c} + \ frac {b-c} {ba} + \ frac {c-a} {c-b}}.