Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12 › Нелинейные алгебраические уравнения › Уравнение с одним неизвестным: функция root [страница — 102] | Самоучители по математическим пакетам

Уравнение с одним неизвестным: функция root

Для решения уравнения с одним неизвестным в Mathcad, помимо вычислительного блока Given/Find, предусмотрена встроенная функция root, которая, в зависимости от типа задачи, может включать либо два, либо четыре аргумента и, соответственно, использует разные алгоритмы поиска корней.

  • root(f(x),x);
  • root (f (x), x, a, b):
    • f(x) – скалярная функция, определяющая уравнение f(x)=0;
    • х – имя скалярной переменной, относительно которой решается уравнение;
    • а, b – границы интервала, внутри которого происходит поиск корня.

Первый тип функции root, аналогично встроенной функции Find, требует дополнительного задания начального значения переменной х, для чего нужно просто перед применением функции root присвоить

х некоторое число. Таким образом, присвоение начального значения требует априорной информации о примерной локализации корня, т. к. поиск корня будет производиться вблизи этого числа. Пример работы функции root объясняется листингом 5.13.

Листинг 5.13. Два варианта уравнения методом секущих:

Как вы можете убедиться (первая строка листинга 5.13), для решения уравнения при помощи функции root (f (x),x,a,b) не требуется задавать начального приближения, а достаточно указать интервал [а,b]. Поиск корня будет осуществлен в промежутке между

а и b альтернативным численным методом (Риддера или Брента). Когда root имеет четыре аргумента, следует помнить о двух ее особенностях. Во-первых, внутри интервала не должно находиться более одного корня, иначе будет найден один из них, заранее неизвестно, какой именно. Во-вторых, значения f (а) и f (b) должны иметь разный знак, иначе будет выдано сообщение об ошибке.

В чем же отличие встроенной функции Find от функции root? Оно состоит в том, что для решения одних и тех же задач используются различные численные алгоритмы (градиентные и метод секущих соответственно). В примерах уравнений с одним неизвестным, которые мы рассматривали до сего момента, выбор метода не влиял на окончательный результат, поскольку фигурировавшие в них функции были «хорошими», т. е. достаточно гладкими для поиска корня одним из градиентных методов, требующих, как известно, вычисления производных. Между тем бывают ситуации, когда применение того или иного метода имеет решающее значение.

Приведем пример простой функции f(x), корни которой удается отыскать только при помощи функции root (листинг 5.14). Она определена в первой строке этого листинга, а ее корень вычислен во второй строке. Из графика, представленного на рис. 5.5, видно, что f (х) имеет особенность в окрестности своего корня, являясь в ней разрывной.

В завершающей части листинга 5.14 предпринимается попытка отыскать нулевое значение f (х) посредством вычислительного блока Given/Find, которая оказывается неудачной.

Квадратный трёхчлен / math5school.ru

 

 

Немного теории

В большинстве задач, сводящихся к исследованию квадратичной функции

у = f(х) = ax

2 + bx + c,

полезно представить себе её график:

  • если он пересекает ось Ох в двух точках (корнях) х1 и х2, то между корнями значения функции у = f(х) противоположны по знаку числу а, а вне отрезка [х1; х2] – совпадают по знаку с числом а;
  • при этом вершина параболы у = f(х) (абсцисса которой равна полусумме корней) соответствует точке экстремума функции у = f(х): минимума, если а > 0, и максимума, если а < 0.

В ряде задач полезно использовать такой факт:

  • если непрерывная на отрезке [а, b] функция у = f(х) принимает в концах этого отрезка значения разных знаков, то между точками a и b лежит хотя бы один корень уравнения f(х) = 0.

 

Задачи с решениями

 

1. Известно, что a + b + c < 0 и что уравнение ax2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Определить знак коэффициента с.

Решение

Квадратный трёхчлен f(x) = ax2 + bx + c не имеет действительных корней, значит, он сохраняет один и тот же знак для всех значений аргумента х. Так как  

f(1) = a  + b + c < 0, то f(0) = c < 0.

Ответ: c < 0.

 

2. Может ли квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 с целыми коэффициентами иметь дискриминант равный 23?

Решение

Допустим, что дискриминант указанного уравнения равен числу 23. Тогда можно записать:

b2 – 4ac = 23,

и

b2 – 25 = 4ac – 2

или

(b – 5) ·(b + 5) = 2(2ас – 1).

Заметим, что b – 5 и b + 5 – числа одинаковой чётности, поэтому их произведение, если оно чётно, делится на 4. Правая часть последнего равенства есть чётное число, не делящееся на 4. Полученно противоречие, значит, сделаное допущение ложно. 

Ответ: нет.

 

3. Найти все пары действительных чисел p, q, для которых многочлен x4 + px2 + q, имеет 4 действительных корня, образующих арифметическую прогрессию.

Решение

Многочлен x4 + px2 + q, имеет 4 действительных корня в том и только в том случае, если многочлен

у2 + pу  + q (относительно у = x2) имеет два неотрицательных корня, т. е. числа р и q удовлетворяют условиям 

p2 > 4q,   q > 0,   p < 0. 

Если исходный многочлен имеет 4 действительных корня (а именно: –х1, –х2, х1, х2, где без ограничения общности считаем, что

х1> х2> 0), то они образуют арифметическую прогрессию тогда и  только  тогда,   когда   совместна система 

–2х2 = – х1 + х2,   x12 + x22 = –p,   x12 · x22 = q 

(смотрите теорему Виета и обратную к ней), т.е. когда q = 0,09 · р2.   Таким образом, все искомые пары чисел р, q описываются условиями 

p < 0,   q = 0,09 · р2

(неравенства p2

> 4q и q > 0,вытекают из последнего равенства).

 

4. Пусть a, b, c – действительные числа. Доказать, что уравнение 

(x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 

всегда имеет хотя бы один действительный корень. Выяснить, когда таких корня два.

Решение

Обозначим 

f (x) = (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a). 

Без ограничения общности рассуждений можно считать, что

a < b < c. Рассмотрим все возможные случаи:

– если a = b = c, то можно записать f(x) = 3(x – a)2, и, очевидно, f(а) = 0: а – корень;

– если a = b, то f(x) = (x – a)2+ 2 (x – а)(x – c), и f(а) = 0: а – корень;

– если b = c, то f(x) = 2(x – a)(x – b) + (x – b)2, и f(b) = 0:

b – корень;

– если a < b < c, то 

f(a) = (a – b) (a – c) > 0,

f(b) = (b – a) (b – c) < 0,

f(c) = (c – a) (c – b) > 0.

Так как f(x) – непрерывная квадратичная функция, принимающая значения разного знака на концах интервалов (a; b) и (b; c), то она имеет два различных действительных корня х1 и х2. Более того  

a < х1 < b < х2 < c.

Решение задачи окончено.

 

5. Дан многочлен ax2 + bx + c. За один ход разрешается заменить х на (х – k) или заменить многочлен целиком на многочлен

cx2 + (b + 2c)x + (a + b + c).

Можно ли после нескольких ходов из многочлена x2 – 3x – 4 получить многочлен x2 – 2x – 5?

Решение

Нетрудно убедиться, что при указанных заменах исходного многочлена его дискриминант не изменяется. Значит, если из многочлена  x2 – 3x – 4 можно получить многочлен x2 – 2x – 5, то их дискриминанты должны быть равны. Однако это не так.

Ответ: нет.

 

6. Найдите все значения a и b, такие, что для любого х из отрезка [–1; 1] будет выполняться неравенство

| 2x2 + ax + b| < 1.

Решение

Пусть числа а и b такие, что для любого х из отрезка [–1; 1] выполняется данное неравенство, т. е,

–1 < 2x2 + ax + b < 1.

Полагая здесь последовательно х = 0, х = 1, х = – 1, получаем, что а и b удовлетворяют следующей системе неравенств:

–1 < b < 1,

–3 < a + b < –1,

–3 < b – а < – 1.

Сложив почленно два последних неравенства, подучим 

–3 < b < – 1. 

Отсюда и из первого неравенства следует, что b = –1. Тогда а удовлетворяет следующим двум неравенствам:

–2 < a < 0,

0 < a < –2, 

и поэтому, а = 0. Таким образом, если существуют числа а и b, удовлетворяющие условию задачи, то

а = 0, b = – 1

и других решений задача не имеет.

Чтобы доказать, что найденные значения а = 0, b = – 1 являются решением задачи, остается проверить, что для любого х из отрезка [–1; 1] верно двойное неравенство 

–1 < 2x2 – 1 < 1. 

А оно равносильно неравенству

0 < 2x2 < 2,

которое, очевидно, справедливо на числовом промежутке [–1; 1].

Ответ: а = 0, b = – 1.

 

7. По трём прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.

Решение

Поставим каждому из пешеходов в соответствие точку в прямоугольной системе координат. Точки (х1; у1), (х2; у2), (х3; у3)  лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда 

(х1 – х3)(у2 – у3) = (х2 – х3) (у1 – у3).

Так как скорости пешеходов постоянны, то х1(t), у1(t), х2 (t), у2(t), х3(t) и у3(t)  – линейные функции от времени t и последнее равенство является квадратным уравнением относительно t, которое может иметь не более двух решений t1 и t2. Это и есть те два возможных момента времени, когда все три пешехода могут оказаться на одной прямой.

 

8. На координатной плоскости Oхy нарисован график функции y = x2.  Потом оси координат стёрли, осталась только парабола. Как при помощи циркуля и линейки восстановить оси координат и единицу длины?

Решение

Докажем следующую лемму.

Лемма. Пусть M и N – середины двух параллельных хорд параболы. Тогда прямая MN параллельна оси параболы.

Доказательство. Пусть хорды AB и CD параболы лежат на параллельных прямых 

y = kx + a   и   y = kx + b,

тогда абсциссы точек  A, B, C, D  – это корни уравнений 

x2 = kx + a  и  x2 = kx + b,

а абсциссы точек M и N – полусуммы корней этих уравнений, то есть по теореме Виета равны k/2.   Следовательно, точки M и N лежат на прямой х = k/2, которая параллельна оси Oy. Лемма доказана.

Вернёмся к исходной задаче.

Последовательно осуществляем следующие построения:

1) две параллельные прямые, каждая из которых пересекает параболу в двух точках;

2) прямую через середины получающихся отрезков;

3) перпендикуляр к этой прямой, пересекающий параболу в двух точках А и В;

4) серединный перпендикуляр к отрезку АВ – это ось Оу;

5) ось Ох перпендикулярна Оу в точке пересечения с параболой;

6) единичный отрезок – абсцисса пересечения прямой у = х с параболой.

 

9. Учитель написал на доске квадратный трехчлен х2 + 10х + 20, после чего по очереди каждый из учеников увеличил или уменьшил на единицу либо коэффициент при х, либо свободный член, но не оба сразу. В результате на доске оказался написан квадратный трехчлен х2 + 20х+10. Верно ли, что в некоторый момент на доске был написан квадратный трехчлен с целыми корнями?

Решение

Первый способ.

Заметим, что при каждом изменении трехчлена его значение в точке х = – 1 изменяется на 1 (в ту или другую сторону). Значение первого трехчлена

f(x) = х2 + 10х + 20

в этой точке равно f(–1) = 11, а последнего,

g(x) = х2 + 20х+10,

— g(–1) = –9. Поэтому в какой-то промежуточный момент на доске был написан трехчлен

h(х) = х2 + pх + q,

для которого h(–1)=0. Оба его корня – целые числа: один равен –1, другой по теореме Виета равен –q.

 

Второй способ.

Каждому квадратному трёхчлену

x2 + bx + c

поставим в соответствие точку координатной плоскости Оbc, где вдоль оси  Оb будем откладывать значения второго коэффициента, а вдоль Ос – свободного члена. Многочленам

х2 + 10х + 20  и  х2 + 20х +10

будут соответствовать точки

А(10; 20) и В(20; 10),

соответственно. Предложенные в условии операции предполагают перемещение от точки А к точке В вдоль узлов некоторой ломаной L. Узлы L – некоторые целочисленные точки плоскости Оbc, а длина каждого звена L равна 1 (соседние звенья могут лежать на одной прямой).

Так как точки А и В расположены в разных полуплоскостях относительно прямой

с = b – 1,

то ломаная L одним из своих узлов имеет точку этой прямой. Значит, одним из промежуточных многочленов будет многочлен вида

х2 + b0х + (b0– 1)

с целым b0 и целыми корнями –1 и 1 – b0 .

 

10. Какова вероятность того, что корни квадратного уравнения x2 + 2bx + c = 0 действительны?

Решение

Для того чтобы вопрос задачи имел смысл, предположим, что точка (b; c) равномерно распределена на квадрате с центром в начале координат и стороной 2B. Решим задачу при фиксированном значении B, а затем устремим B к бесконечности, так что b и c могут принимать любые значения.

 

На рисунке более тёмная выделенная область отвечает случаю действительных корней,

более светлая – комплексных.

 

Для того чтобы уравнение имело действительные корни, необходимо и достаточно, чтобы

b2 — c > 0.

На приведенном рисунке изображена парабола с = b2 и показана область, где наше уравнение имеет действительные корни для B = 4.  

Нетрудно подсчитать, что площадь «комплексной» области равна (4 · B3/2)/3 (при B > 1), а площадь всего квадрата, конечно, равна 4B2. Следовательно, вероятность того, что корни комплексные, равна 1/(3√В). При B = 4 она составляет 1/6. Действительно,

(4 · B3/2) / 3 =  1  =  1
4B2 3 · √В 3 · √4

С ростом B значение дроби 1/√В стремится к нулю, так что вероятность того, что корни вещественные, стремится к 1. 

Замечание. Рассмотренная задача отличается от такой же задачи, связанной с уравнением

ax2 + 2bx + c = 0.

Конечно, можно разделить на a, но если a, b и c были независимы и равномерно распределены в некотором кубе, то b/a и c/a уже зависимы и распределены неравномерно.

 

Задачи без решений

1. Корни уравнения х2 + pх + q = 0, у которого p + q = 198, являются целыми числами. Найдите эти корни.

 

2. В квадратном уравнении х2 + pх + q = 0 коэффициенты p и q независимо пробегают все значения от –1 до +1 включительно. Найти множество значений, которые при этом могут принимать действительные корни данного уравнения.

 

3. Квадратный трёхчлен f(х) = ax2 + bx + c таков, что уравнение f (х) = x не имеет действительных корней. Докажите, что уравнение f (f (х)) = х так же не имеет вещественных корней.

 

4. Найдите уравнение общей касательной к параболам у = x2 + 4x + 8 и у = x2 + 8x + 4.

 

5. Пусть   f(x) = x2 + 12x + 30.  Решите уравнение   f (f (f (f (f (x))))) = 0.

 

Теорема Виета

Предварительные навыки

Что называют теоремой?

Если человек обнаружил в математике какую-нибудь закономерность, позволяющую быстро решить ту или иную задачу, то ему не следует говорить о том, что он сделал открытие. Потому что может случиться так, что эта закономерность работает только для определённых случаев, а для других не работает или вовсе решает задачу неправильно.

Чтобы поделиться своим открытием с другими людьми, найденную закономерность следует сформулировать в виде утверждения, а затем доказать это утверждение, приводя неоспоримые факты.

Сформулированное утверждение называют теоремой. А доказательство теоремы состоит из фактов, логических рассуждений и вычислений, которые не оспариваются.

Например, теоремой можно назвать следующее утверждение:

«Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умнóжить на какое-нибудь число, то значение данной дроби не измéнится».

А затем привести такое доказательство:

Пусть, имеется дробь . Умнóжим числитель и знаменатель этой дроби на число с. Тогда полýчится дробь . Докáжем, что дроби  и равны. То есть докажем, что равенство является верным.

Для доказательства этого равенства воспользуемся основным свойством пропорции:

От перестановки мест сомножителей произведение не меняется. Поэтому в получившемся равенстве можно упорядочить правую часть по алфавиту:

Поскольку равенство является пропорцией, а пропорция это равенство двух отношений, то дроби и равны. Теорема доказана.

Теорема Виета

Французский математик Франсуа Виет выявил интересную взаимосвязь между коэффициентами приведённого квадратного уравнения и корнями этого же уравнения. Эта взаимосвязь представлена в виде теоремы и формулируется так:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней равно свободному члену.

То есть, если имеется приведённое квадратное уравнение x2 + bx + c = 0, а его корнями являются числа x1 и x2, то справедливы следующие два равенства:

Знак системы (фигурная скобка) говорит о том, что значения x1 и x2 удовлетворяют обоим равенствам.

Покажем теорему Виета на примере приведённого квадратного уравнения x2 + 4x + 3 = 0.

Мы пока не знаем какие корни имеет уравнение x2 + 4x + 3 = 0. Но по теореме Виета можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту 4, взятому с противоположным знáком. Если коэффициент 4 взять с противоположным знáком, то получим −4. Тогда:

А произведение корней по теореме Виета будет равно свободному члену. В уравнении x2 + 4x + 3 = 0 свободным членом является 3. Тогда:

Теперь проверим действительно ли сумма корней равна −4, и равно ли произведение 3. Для этого найдём корни уравнения x2 + 4x + 3 = 0. А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

Корнями уравнения являются числа −1 и −3. По теореме Виета их сумма должна была равняться второму коэффициенту уравнения x2 + 4x + 3 = 0, взятому с противоположным знаком. Действительно, так оно и есть. Вторым коэффициентов в уравнении x2 + 4x + 3 = 0 является 4. Если взять его с противоположным знаком и приравнять сумму корней x1 + x2 к этому коэффициенту, то получается верное равенство:

А произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно было равняться свободному члену уравнения x2 + 4x + 3 = 0, то есть числу 3. Видим, что это условие тоже выполняется:

Значит выражение  является справедливым.

Рассмотрим квадратное уравнение x2 − 8x + 15 = 0. По теореме Виета сумма корней этого уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Второй коэффициент равен −8. Если взять его с противоположным знаком, то получим 8. Тогда:

А произведение корней равно свободному члену. В уравнении x2 − 8x + 15 = 0 свободным членом является 15. Тогда:

Теперь проверим действительно ли сумма корней равна 8, и равно ли произведение 15. Для этого найдём корни данного уравнения. А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента. В этот раз пропустим нéкоторые подробные записи:

Видим, что корнями уравнения x2 − 8x + 15 = 0 являются числа 5 и 3. Их сумма равна 8. То есть сумма корней равна второму коэффициенту уравнения x2 − 8x + 15 = 0, взятому с противоположным знаком.

А произведение чисел 5 и 3 равно 15. То есть равно свободному члену уравнения x2 − 8x + 15 = 0.

Значит выражение является справедливым.

Замечание. Чтобы теорема Виета выполнялась, квадратное уравнение обязательно должно быть приведённым и иметь корни.

Например, рассмотрим квадратное уравнение x2 − 2x + 4 = 0. Напишем сумму и произведение корней этого уравнения:

Но уравнение x2 − 2x + 4 = 0 не имеет корней, сумма которых равна 2, а произведение которых равно 4. Убедиться в этом можно, вычислив дискриминант:

D1 = k2 − ac = (−1)2 − 1 × 4 = −3

А значит записывать выражение не имеет смысла.

Теорема Виета полезна тем, что позволяет до начала решения узнать знаки корней уравнения.

Например, запишем для уравнения x2 − 5x + 6 = 0 сумму и произведение его корней. Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Посмотрев на эти два равенства можно сразу понять, что оба корня должны быть положительными. Потому что произведение x1 × x2 = 6 будет выполняться только в двух случаях: если значения x1 и x2 положительны либо они оба отрицательны. Если эти значения будут отрицательными, то не будет выполняться равенство x1 + x2 = 5, поскольку его правая часть равна положительному числу. А значения x1 и x2 должны удовлетворять как равенству x1 + x2 = 5, так и равенству x1 × x2 = 6.

Ещё одна польза от теоремы Виета в том, что корни можно найти методом подбора. В данном примере корни должны быть такими, чтобы они удовлетворяли как равенству x1 + x2 = 5 так и равенству x1 × x2 = 6. Очевидно, что таковыми являются корни 3 и 2

Значит, x1 = 3, x2 = 2

Доказательство теоремы Виета

Пусть дано приведённое квадратное уравнение x2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что равенства x1 + x2 = −b и x1 × x2 = c имеют место быть.

Вспомним формулы корней квадратного уравнения:

Найдём сумму корней x1 и x2. Для этого подставим в выражение x1 + x2 вместо x1 и x2 соответствующие выражения из правой части формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что в приведённом квадратном уравнении x2 + bx + c = 0 старший коэффициент a равен единице. Тогда в процессе подстановки знаменатель станет равен просто 2

Запишем правую часть в виде дроби с одним знаменателем:

Раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:

Сократим дробь на 2, тогда получим −b

Значит x1 + x2 действительно равно −b

x1 + x2 = −b

Теперь аналогично докажем, что произведение x1 × x2 равно свободному члену c.

Подставим вместо x1 и x2 соответствующие выражения из формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что коэффициент a всё ещё равен единице:

Чтобы перемнóжить дроби, нужно перемнóжить их числители и знаменатели:

В числителе теперь содержится произведение суммы двух выражений и разности этих же выражений. Воспользуемся тождеством (a + b)(a − b) = a2 − b2. Тогда в числителе полýчится А знаменатель будет равен 4

Теперь в числителе выражение (−b)2 станет равно b2, а выражение станет равно просто D

Но D равно b2 − 4ac. Подстáвим это выражение вместо D, не забывая что a = 1. То есть вместо b2 − 4ac надо подставить b2 − 4c

В получившемся выражении раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:

Сократим получившуюся дробь на 4

Значит x1 × x2 действительно равно c.

x1 × x2 = c

Таким образом, сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком (x1 + x2 = −b), а произведение корней равно свободному члену (x1 × x2 = c). Теорема доказана.

Теорема, обратная теореме Виета

Когда записана сумма и произведение корней приведённого квадратного уравнения, обычно начинается подбор подходящих корней к этому уравнению. В этот момент в работу включается так называемая теорема, обратная теореме Виета. Она формулируется так:

Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел x1 и x2 равно свободному члену уравнения x2 + bx + c = 0, то числа x1 и x2 являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы бывают поставлены так, что их утверждением является заключение первой теоремы.

Так, доказывая теорему Виета мы пришли к заключению, что сумма x1 и x2 равна −b, а произведение x1 и x2 равно c. В обратной же теореме это заключение служит утверждением.

Ранее мы решили уравнение x2 − 5x + 6 = 0 и написали для него такую сумму и произведение корней:

А затем подобрали корни 3 и 2. По сути мы применили теорему, обратную теореме Виета. Числа 3 и 2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 − 5x + 6 = 0, взятому с противоположным знаком (числу 5), а произведение чисел 3 и 2 равно свободному члену (числу 6). Значит числа 3 и 2 являются корнями уравнения x2 − 5x + 6 = 0.

Пример 2. Решить квадратное уравнение x2 − 6x + 8 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

В данном уравнении a = 1. Значит квадратное уравнение является приведённым. Его можно решить по теореме, обратной теореме Виета.

Сначала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма корней будет равна 6, поскольку второй коэффициент исходного уравнения равен −6. А произведение корней будет равно 8

Теперь имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни. Они должны удовлетворять как равенству x1 + x2 = 6, так и равенству x1 × x2 = 8

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Используя равенство x1 × x2 = 8 нужно найти такие x1 и x2, произведение которых равно 8.

Число 8 можно получить если перемножить числа 4 и 2 либо 1 и 8.

4 × 2 = 8
1 × 8 = 8

Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли не только равенству x1 × x2 = 8, но и равенству x1 + x2 = 6.

Сразу делаем вывод, что значения 1 и 8 не годятся, поскольку они хоть и удовлетворяют равенству x1 × x2 = 8, но не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6.

Зато значения 4 и 2 подходят как равенству x1 × x2 = 8, так и равенству x1 + x2 = 6, поскольку эти значения удовлетворяют обоим равенствам:

Значит корнями уравнения x2 − 6x + 8 = 0 являются числа 4 и 2.

Обратная теорема, как и любая теорема нуждается в доказательстве. Докажем теорему, обратную теореме Виета. Для удобства корни x1 и x2 обозначим как m и n. Тогда утверждение теоремы, обратной теореме Виета примет следующий вид:

Если числа m и n таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел m и n равно свободному члену уравнения x2 + bx + c = 0, то числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0

Для начала запишем, что сумма m и n равна −b, а произведение mn равно c

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0, нужно поочередно подстáвить буквы m и n в это уравнение вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.

Помимо букв m и n нам нужно знать чему равен параметр b. Выразим его из равенства m + n = −b. Легче всего это сделать, умножив обе части этого равенства на −1

Теперь всё готово для подстановок. Подстáвим m в уравнение x2 + bx + c = 0 вместо x, а выражение −m − n подставим вместо b

Видим, что при x = m получается верное равенство. Значит число m является корнем уравнения x2 + bx + c = 0.

Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения x2 + bx + c = 0. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим mn, поскольку c = mn.

Видим, что при x = n тоже получается верное равенство. Значит число n является корнем уравнения.

Следовательно, числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.

Примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета

Пример 1. Решить квадратное уравнение x2 − 4x + 4 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму корней x1 и x2 и приравняем её к второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Также запишем произведение корней x1 и x2 и приравняем его к свободному члену:

В данном примере очевидно, что корнями являются числа 2 и 2. Потому что их сумма равна 4 и произведение равно 4

Значение x1 совпадает с x2. Это тот случай, когда квадратное уравнение имеет только один корень. Если мы попробуем решить данное уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения, то обнаружим что дискриминант равен нулю, и корень вычисляется по формуле

Данный пример показывает, что теорема обратная теореме Виета, работает и для уравнений, имеющих только один корень. Признаком того, что квадратное уравнение имеет только один корень является то, что значения x1 и x2 совпадают.

Пример 2. Решить уравнение x2 + 3x + 2 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

Теперь подберём значения x1 и x2. Здесь начинается самое интересное. Произведение корней равно 2. Число 2 можно получить перемножив 1 и 2. Но сумма корней x1 + x2 равна отрицательному числу −3. Значит значения 1 и 2 не подходят.

Сумма бывает отрицательной если оба слагаемых отрицательны либо отрицательным является одно слагаемое, модуль которого больше.

Если подберём корни с разными знаками, то не будет выполняться равенство x1 × x2 = 2.

Если подберем положительные корни, то будет выполняться равенство x1 × x2 = 2, но не будет выполняться равенство x1 + x2 = −3.

Очевидно, что корнями являются два отрицательных числа. Произведение отрицательных чисел есть положительное число. А сумма отрицательных чисел есть отрицательное число.

Тогда равенствам будут удовлетворять числа −1 и −2.

Итак, корнями являются числа −1 и −2

Пример 3. Решить уравнение x2 + 16x + 15 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

Как и в прошлом примере сумма корней равна отрицательному числу, а произведение корней — положительному числу.

Произведение бывает положительным если оба сомножителя положительны либо оба сомножителя отрицательны. Первый вариант отпадает сразу, поскольку сумма корней равна отрицательному числу. Тогда получается, что оба корня будут отрицательными. Попробуем подобрать их.

Число 15 можно получить, если перемножить числа −1 и −15 или (−3) и (−5). В данном случае подходит первый вариант, поскольку сумма чисел −1 и −15 равна −16, а их произведение равно 15. Значит корнями уравнения x2 + 16x + 15 = 0 являются числа −1 и −15

Пример 4. Решить уравнение x2 − 10x − 39 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

Произведение корней равно отрицательному числу. Значит один из корней является отрицательным. Число −39 можно получить если перемножить числа −3 и 13 либо −13 и 3. Из этих комбинаций больше годится комбинация −3 и 13, поскольку при перемножении этих чисел получается −39, а при сложении 10

Значит корнями уравнения x2 − 10x − 39 = 0 являются числа −3 и 13

Пример 5. Первый корень уравнения x2 + bx + 45 = 0 равен 15. Найти второй корень этого уравнения, а также значение коэффициента b.

По теореме Виета произведение корней приведённого квадратного уравнения равно свободному члену. В данном случае это произведение равно 45

x1 × x2 = 45

При этом один из корней уже известен — это корень 15.

15 × x2 = 45

Тогда второй корень будет равен 3, потому что число 45 получается, если 15 умножить на 3

15 × 3 = 45

Значит x2 = 3

Этот второй корень также можно было бы получить, выразив из равенства 15 × x2 = 45 переменную x2

Теперь определим значение коэффициента b. Для этого напишем сумму корней уравнения:

15 + 3 = 18

По теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Если сумма корней равна 18, а 18 это положительное число, то в самóм уравнении этот коэффициент будет отрицательным:

x2 − 18x + 45 = 0

Значит b = −18.

Обычно решение к такой задаче записывают так. Сначала записывают основную теорему Виета в виде суммы и произведения корней:

Затем в это выражение подставляют имеющиеся известные значения. В нашем случае известно, что первый корень равен 15, а свободный член уравнения x2 + bx + 45 = 0 равен 45

Из этой системы следует найти x2 и b. Выразим эти параметры:

Из этой системы мы видим, что x2 равно 3. Подставим его в первое равенство:

Теперь из первого равенства мы видим, что −b равно 18

Но нас интересует b, а не −b. Следует помнить, что −b это −1b. Чтобы найти b нужно 18 разделить на −1. Тогда b станет равно −18

Этот же результат можно получить если в выражении умножить первое равенство на −1

Теперь возвращаемся к исходному уравнению x2 + bx + 45 = 0 и подставляем найденное значение b

Выполним умножение −18 на x. Получим −18x

Раскроем скобки:

Пример 6. Используя теорему Виета, написать приведённое квадратное уравнение, корнями которых являются числа 2 и 8.

В этом задании корни уже известны. То есть x1 = 2, x2 = 8. По ним надо составить квадратное уравнение вида x2 + bx + c = 0.

Запишем сумму и произведение корней:

По теореме Виета сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Если сумма корней 2 и 8 равна 10, то в самóм уравнении число 10 должно быть с противоположным знаком. Значит b = −10.

Произведение корней по теореме Виета равно свободному члену. У нас это произведение равно 16.

Значит b = −10, c = 16. Отсюда:

x2 − 10x + 16 = 0

Пример 7. Используя теорему Виета, написать приведённое квадратное уравнение, корнями которых являются числа и .

Запишем сумму и произведение корней:

Сумма корней равна 2. Тогда в уравнении второй коэффициент будет равен −2. А произведение корней равно −1. Значит свободный член будет равен −1. Тогда:

x2 − 2x − 1 = 0

Когда квадратное уравнение неприведённое

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым.

Если квадратное уравнение не является приведённым, но всё равно возникла необходимость применить теорему Виета, то обе части неприведённого квадратного уравнения следует разделить на коэффициент, который располагается перед x2.

Если к примеру в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент a не равен единице, то данное уравнение является неприведённым. Чтобы сделать его приведённым, надо разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x2, то есть на a

Получилось уравнение , которое является приведённым. В нём второй коэффициент равен , а свободный член равен . Тогда сумма и произведение корней будут выглядеть так:

Например, решим квадратное уравнение 4x2 + 5x + 1 = 0. Это уравнение не является приведённым. Приведённым оно станет, если разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x2, то есть на 4

Получили приведённое квадратное уравнение. В нём второй коэффициент равен , а свободный член . Тогда по теореме Виета имеем:

Отсюда методом подбора находим корни −1 и

Возможно этот метод вы редко будете использовать при решении квадратных уравнений. Но знать о нём не помешает.

 

Пример 2. Решить квадратное уравнение 3x2 − 7x + 2 = 0

Данное уравнение не является приведённым, а значит его пока нельзя решить по теореме, обратной теореме Виета.

Сделаем данное уравнение приведенным. Разделим обе части на коэффициент, который располагается перед x2

Получили уравнение . Запишем сумму и произведение корней этого уравнения:

Отсюда методом подбора находим корни 2 и

Пример 3. Решить квадратное уравнение 2x2 − 3x − 2 = 0

Это неприведённое квадратное уравнение. Чтобы сделать его приведённым, нужно разделить обе его части на 2. Сделать это можно в уме. Если 2x2 разделить на 2, то полýчится x2

Далее если −3x разделить на 2, то полýчится . Чтобы видеть где коэффициент, а где переменная, такое выражение записывают в виде

Далее если −2 разделить на 2, то полýчится −1

Прирáвниваем получившееся выражение к нулю:

Теперь применяем теорему Виета. Сумма корней будет равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней свободному члену:

Отсюда методом подбора находим корни 2 и

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Написать сумму и произведение корней для квадратного уравнения:

Решение:

Задание 2. Написать сумму и произведение корней для квадратного уравнения:

Решение:

Задание 3. Написать сумму и произведение корней для квадратного уравнения:

Решение:

Задание 4. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Задание 5. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Задание 6. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Задание 7. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Задание 8. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Задание 9. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

2.1.5. Корни многочлена

Данный многочлен имеет целые коэффициенты. Если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 16. Таким образом, если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Непосредственной проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем этого многочлена, то есть x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), где Q(x) − многочлен второй степени. Следовательно, многочлен разлагается на множители, один из которых (x – 2). Для поиска вида многочлена Q(x) воспользуемся так называемой схемой Горнера. Основным преимуществом этого метода является компактность записи и возможность быстрого деления многочлена на двучлен. По сути, схема Горнера является другой формой записи метода группировки, хотя, в отличие от последнего, является совершенно ненаглядной. Ответ (разложение на множители) тут получается сам собой, и мы не видим самого процесса его получения. Мы не будем заниматься строгим обоснованием схемы Горнера, а лишь покажем, как она работает.

1 −5 −2 16
2 1 −3 −8 0
В прямоугольную таблицу 2 × (n + 2) , где n − степень многочлена, (см. рис.) в верхнюю строчку выписываются подряд коэффициенты многочлена (левый верхний угол при этом оставляют свободным). В нижний левый угол записывают число − корень многочлена (или число x0, если мы хотим разделить на двучлен (x – x0)), в нашем примере это число 2. Далее вся нижняя строчка таблицы заполняется по следующему правилу.

Во вторую клетку нижней строки «сносится» число из клетки над ней, то есть 1. Затем поступают так. Корень уравнения (число 2) умножают на последнее написанное число (1) и складывают результат с числом, которое стоит в верхнем ряду над следующей свободной клеткой, в нашем примере имеем:

2 ∙ 1 + (–5) = –3.
Результат записывается в свободную клетку под тем числом, с которым только что производилось сложение, то есть под −5.

Далее корень 2 умножается на последнюю написанную цифру, то есть на −3, и складывается с числом, которое стоит в верхнем ряду над следующей свободной клеткой, то есть −2; имеем:

2 ∙ (–3) + (–2) = –8.
Результат пишем в свободную клетку под −2. Далее поступаем аналогично:
В последней клетке (правый нижний угол), если нигде не совершено ошибки и 2 − действительно корень данного многочлена, должен получиться нуль. Это признак правильного решения. В общем случае в этой клетке оказывается остаток от деления исходного многочлена на (x – 2) (в нашем примере). У нас получился 0, следовательно, 2 − действительно корень этого многочлена.

Полученные числа 1, −3, −8 являются коэффициентами многочлена, который получается при делении исходного многочлена на x – 2. Значит, результат деления:

1 · x2 + (–3)x + (–8) = x2 – 3x – 8.
Степень многочлена, полученного в результате деления, всегда на 1 меньше, чем степень исходного. Итак:
$ $ $ руб. $ $
x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8). 6+8

Ответ: x₁=2     x₂=4.

Объяснение:

x²-6x+|x-3|+7=0

ОДЗ:

x²-6x+|x-3|+7=0

|x-3|≥-x²+6x-7

|x-3|≥-(x²-6x+7)

x²-6x+7=0   D=8     √D=√8=2√2≈2,82

x₁=3-2√2≈1,6       x₂=3+2√4≈4,4.    ⇒

-(x-1,6)*(x-4,4)≥0  |×(-1)

(x-1,6)*(x-4,4)≤0

-∞__+__1,6__-__4,4__+__+∞   ⇒

x∈(1.6;4,4)

Раскрываем модуль и получаем систему уравнений:

{x²-6x+x-3+7=0       {x²-5x+4=0                {x²-5x+4=0

{x²-6x+(-(x-3)+7=0   {x²-6x-x+3+7=0         {x²-7x+10=0

Решаем первое уравнение:

x²-5x+4=0    D=9      √D=3

x₁=4 ∈ОДЗ        x₂=1 ∉ОДЗ.

Решаем второе уравнение:

x²-7x+10=0    D=9     √D=3

x₃=2 ∈ОДЗ       x₄=5 ∉ОДЗ.

Кв. к.40*кв.к10-кв.к20/кв.к5=кв.к400-4=20-4=16
Ответ:16

P.S. кв.к — это квадратный корень

Задача 13 (С1). Методы решения уравнений. — Математика

Методы решения уравнений.

Мы хорошо умеем решать квадратные уравнения, однако на ЕГЭ часто можно встретить уравнение или неравенство, сводимое к квадратному. Многие уравнения более высоких степеней можно привести к квадратным или понизить их степень, используя разложение на множители. Основные методы, которые мы сегодня рассмотрим, понадобятся нам при решении задач 13 и 15 подготовки к ЕГЭ. Методов решения уравнений гораздо больше, мы рассмотрим только те, которые могут встретиться на ЕГЭ при решении задач части С.

Методы решения уравнений:

а) метод разложения на множители;

б) метод введения новой переменной;

в) графический метод;

г) метод оценки области значений.

Разложение на множители важный метод, и часто он встречается в паре с заменой переменной. Сегодня мы рассмотрим этот метод на обычных уравнениях, на следующем занятии мы посмотрим, как этот метод применяется с тригонометрическими формулами. Также рассмотрим метод замены переменной и все, что с ним связано.

Метод разложения на множители.

Пусть дан многочлен Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + …+a1x + a0 , где an ≠ 0

Рассмотрим метод понижения степени уравнения.

Известно, что, если коэффициенты a являются целыми числами и an = 1, то целые корни уравнения Pn(x) = 0 находятся среди делителей свободного члена a0. Например, x4 + 2x3 – 2x2 – 6x + 5 = 0, делителями числа 5 являются числа 5; –5; 1; –1. Тогда P4(1) = 0, т.е. x = 1 является корнем уравнения. Понизим степень уравнения P4(x) = 0 с помощью деления “уголком” многочлена на множитель х –1, получаем

P4(x) = (x – 1)(x3 + 3x2 + x – 5).

Аналогично, P3(1) = 0, тогда P4(x) = (x – 1)(x – 1)(x2 + 4x +5), т.е. уравнение P4(x) = 0 имеет корни x1 = x2 = 1. Два корня найдены, остается рассмотреть, есть ли решения у квадратного трехчлена в скобках.

Уравнения высших степеней.

1) биквадратное уравнение ax2n + bxn + c = 0, a ≠ 0, n ≥ 2 – вводится замена   

Пример:

2) симметрическое уравнение 3 степени – уравнение вида

3) симметрическое уравнение 4 степени – уравнение вида

ax4 + bx3 + cx2 + bx + a =  0, a ≠ 0, коэффициенты  a b c b a или

ax4 + bx3 + cx2  – bx + a =  0, a ≠ 0, коэффициенты a b c (–b) a 

Т. к. x = 0 не является корнем уравнения, то возможно деление обеих частей уравнения на x2, тогда получаем: .

Произведя замену  решаем квадратное уравнение a(t2 – 2) + bt + c = 0

Пример:

Решить уравнение x4 –  2x3 – x2 – 2x + 1 = 0.

Делим обе части на x2,

, после замены  получаем уравнение t2 – 2t – 3 = 0

 – уравнение не имеет корней.

Ответ: 

4) Уравнение вида (x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = A, коэффициенты a+b = c+d

Вводится замена

5) Уравнение вида (x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = Ax2, коэффициенты ab = cd решается группировкой и делением на х2, после чего подбирается замена.

Например, (x + 2)(x +3)(x + 8)(x + 12) = 4x2. Перемножив 1–4 и 2–3 скобки, получим (x2 + 14x + 24)(x2 +11x + 24) = 4x2, разделим обе части уравнения на x2, получим:

 имеем  (t + 14)(t + 11 ) = 4.

6) Однородное уравнение 2 степени – уравнение вида Р(х,у) = 0, где Р(х,у) – многочлен, каждое слагаемое которого имеет степень 2.

Пример:

Ответ: -2; -0,5; 0

Задачи к уроку:

  1. Решите уравнение методом разложения на множители: 

  2. Решите уравнение методом разложения на множители: 

  3. Решить уравнение x4 –  2x3 – x2 – 2x + 1 = 0.

  4. Решить уравнение:

  5. Решить уравнение:

  6. Решить уравнение:

  7. Решите уравнение методом замены переменной:

Основная трудность решения задач методом подстановки заключается в том, что иногда трудно угадать вид самой подстановки и вид уравнений, где подстановку можно использовать.

  1. Решить уравнение:

  2. Решить уравнение:

  3. Сведите к квадратному уравнение:

  4. Сведите к квадратному уравнение:

  5. Сведите к квадратному, сделав замену:

  6. Решить уравнение:

  7. Сведите к квадратному, сделав замену:

  8. Сведите к квадратному, сделав замену:

  9. Приведите уравнение к квадратному:

Нестандартные методы решения:

  1. Решить уравнение, предварительно учтя ОДЗ:

  2. Решить уравнение:

  3. Решить уравнение, оценив область значений:

  4. Найдите количество корней уравнения

  5. Решить уравнение

Тригонометрические уравнения

Материал к уроку 4. 12.16.

Решите уравнения, используя разложение на множители, замену переменной, введение вспомогательного угла или универсальную тригонометрическую подстановку:

  1. Решить уравнение

  2. Решить уравнение .

  3. Решите уравнение:

  4. Решить уравнение Найти все корни, принадлежащие промежутку .

  5. Решить уравнение .

  6. Решить уравнение .

  7. Решить уравнение .

2 + kx-6 = 0 $ равно 3 $, а $ k $ — постоянная величина.

Кол-во A $ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; $ Кол-во В
$ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; $
Стоимость тыс. $ $ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; $ $ -1
  1. Количество А больше.
  2. Количество B больше.
  3. Эти две величины равны.
  4. Связь не может быть определена на основе предоставленной информации

Итак, вы пытались хорошо сдать экзамены и практиковаться в GRE с помощью PowerPrep online. Но тогда у вас возникло несколько вопросов о количественном разделе — в частности, вопрос 8 раздела 4 практического теста 1. Эти вопросы, проверяющие наши знания Решение квадратичных уравнений , могут быть довольно сложными, но не бойтесь, PrepScholar поможет вам!

Изучите вопрос

Давайте поищем в задаче ключи к разгадке того, что она будет тестировать, поскольку это поможет нам задуматься о том, какие математические знания мы будем использовать для решения этого вопроса. 2) $, мы должны ожидать, что проблема будет связана с нашим навыком Решение квадратных уравнений . Давайте будем держать в голове то, что мы узнали об этом навыке, когда мы подойдем к этому вопросу.

Что мы знаем?

Давайте внимательно прочитаем вопрос и составим список того, что мы знаем.

  1. У нас есть квадратное уравнение с $ x $ и $ k $
  2. Один корень уравнения составляет $ 3
  3. Мы хотим сравнить $ k $ с определенным значением

Разработка плана

Давайте начнем с подхода сверху вниз, когда мы начнем с того, что мы ищем, и перейдем к деталям того, что нам дано в этом вопросе.2 + kx-6 = 0 $. Мы знаем, что если бы у нас было значение $ x $ для включения в это уравнение, то мы могли бы просто решить его для $ k $. Итак, , давайте посмотрим, сможем ли мы найти значение для $ x $, удовлетворяющее квадратному уравнению .

Мы знаем, что корень квадратного уравнения говорит нам, что если мы подставим значение корня для $ x $, то уравнение будет равно $ 0 $ . Итак, давайте решим этот вопрос, вставив $ x = -1 $, а затем упростим уравнение, пока не сможем решить для $ k $, а затем сравним $ k $ с $ -1 $.2 + к · 3-6 $

 $ = $ 0 $
$ 9 + 3k-6 $ $ = $ 0 $
3 + 3 тыс. $ $ = $ 0
3 тыс. Долл. США $ = $ -3 $
тыс. $ $ = $ -1

Поскольку количество A ($ k $) равно $ -1 $, мы можем видеть, что оба количества равны. Итак, правильный ответ — C, две величины равны .2 $). Корень квадратного уравнения говорит нам, что когда мы подставляем корень для $ x $, уравнение будет равно $ 0 $.

Хотите более квалифицированную подготовку к GRE? Подпишитесь на пятидневную бесплатную пробную версию нашей онлайн-программы PrepScholar GRE, чтобы получить доступ к своему индивидуальному плану обучения с 90 интерактивными уроками и более 1600 вопросами GRE.

Есть вопросы? Оставьте комментарий или отправьте нам письмо по адресу [адрес электронной почты защищен].

решений или корней квадратных уравнений

решений или корней квадратных уравнений

Рассмотрим квадратное уравнение

Действительное число x будет называться решением или корнем, если оно удовлетворяет уравнению, то есть.Легко видеть, что корни являются точками пересечения квадратичной функции по оси x, то есть пересечения графика квадратичной функции с осью x.

а <0 a> 0

Пример 1: Найдите корни уравнения

Решение. Это уравнение эквивалентно

Поскольку 1 имеет два квадратных корня, решениями этого уравнения являются

Пример 2: Найдите корни уравнения

Решение. Этот пример несколько сложнее предыдущего, но мы посмотрим, как с ним работать в общем случае. Сначала обратите внимание, что у нас есть

Следовательно, уравнение эквивалентно

который совпадает с

Поскольку 3 имеет два квадратных корня, получаем

которые дают решения уравнения

Тогда мы можем задаться вопросом, можно ли свести какое-либо квадратное уравнение к самые простые, описанные в предыдущих примерах.Ответ несколько сложнее, но он был известен очень давно (вавилонянам около 2000 г. до н. Э.). Их идея была основана в основном на том, что завершает квадрат , что мы и сделали при решении второго примера.

[Алгебра] [Комплексные переменные] [Геометрия] [Тригонометрия] [Исчисление] [Дифференциальные уравнения] [Матричная алгебра] Домашняя страница S.O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.

Автор: Мохамед Амин Хамси
Copyright 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.
Свяжитесь с нами
Math Medics, LLC. — П.О. Box 12395 — El Paso TX 79913 — США
пользователей онлайн за последний час

Дискриминанты и определение числа действительных корней квадратного уравнения

Что такое дискриминант?

Дискриминант — это величина, вычисляемая по квадратному уравнению. Он использует его, чтобы «различать» корни (или решения) квадратного уравнения.

Квадратное уравнение имеет вид: ax 2 + bx + c

Дискриминант, D = b 2 — 4ac

Примечание. Это выражение внутри квадратного корня квадратной формулы

.

Дискриминант бывает в трех случаях;

Корпус 1:

b 2 — 4ac> 0

Если дискриминант больше нуля, это означает, что квадратное уравнение имеет два действительных различных корня (разных) .

Пример

х 2 — 5х + 2 = 0

а = 1, б = -5, в = 2

Дискриминант, D = b 2 — 4ac

= (-5) 2 — 4 * (1) * (2)

= 17

Следовательно, у квадратного уравнения

есть два действительных различных корня.

x 2 — 5x + 2.

Корпус 2:

b 2 — 4ac <0

Если дискриминант больше нуля, это означает, что квадратное уравнение не имеет действительных корней .

Пример

3x 2 + 2x + 1 = 0

а = 3, б = 2, с = 1

Дискриминант, D = b 2 — 4ac

= (2) 2 — 4 * (3) * (1)

= — 8

Следовательно, у квадратного уравнения 3x 2 + 2x + 1 нет действительных корней.

Корпус 3:

b 2 — 4ac = 0

Если дискриминант равен нулю, это означает, что квадратное уравнение имеет два действительных одинаковых корня .

Пример

х 2 + 2х + 1 = 0

а = 1, б = 2, с = 1

Дискриминант, D = b 2 — 4ac

= (2) 2 — 4 * (1) * (1)

= 0

Следовательно, есть два действительных идентичных корня квадратного уравнения x 2 + 2x + 1.

Сводка

Квадратное уравнение: ax 2 + bx + c

Определитель D = b 2 — 4ac

D> 0 означает два реальных различных корня.

D = 0 означает два настоящих одинаковых корня /

D <0 означает отсутствие реальных корней.

Теперь попробуйте эти (будьте осторожны со знаками минус)

Вопросы

Q1.х 2 — 7х + 2 = 0

Q2. — 3x 2 + 2x — 1 = 0

Q3. 9x 2 — 12x + 4 = 0

Q4. — х 2 + х + 1 = 0

ответы

Q1. D = 41 означает два реальных, различных корня.

Q2. D = -16, означает отсутствие настоящих корней.

Q3. D = 0 означает два настоящих одинаковых корня.

Q4. D = 5 означает два реальных, различных корня.

Как решать кубические уравнения

Обновлено 30 ноября 2018 г.

Ли Джонсон

Решение полиномиальных функций — ключевой навык для любого, кто изучает математику или физику, но при этом хорошо разбирается в процессе, особенно когда дело доходит до высшего порядка функции — может быть довольно сложно.1 + d = 0

Каждое решение для x называется «корнем» уравнения. 2 = 0

Решение с использованием Факторная теорема и синтетическое деление

Самый простой способ решить кубическое уравнение включает в себя немного догадок и процесс алгоритмического типа, называемый синтетическим делением.2 — 2x + 24 = 0

Вы должны угадать одно из значений для x , но поскольку a = 1 в этом случае, вы знаете, что какое бы значение ни было, оно должно быть множителем 24. сначала такой множитель равен 1, но это оставит:

Что не равно нулю, а -1 оставит:

Что снова не равно нулю. Далее, x = 2 даст:

Еще одна ошибка. Попытка x = −2 дает:

Это означает, что x = −2 является корнем кубического уравнения.Это показывает преимущества и недостатки метода проб и ошибок: вы можете получить ответ, не задумываясь, но это требует много времени (особенно если вам нужно перейти к более высоким коэффициентам, прежде чем найти корень). К счастью, когда вы нашли один корень, вы можете легко решить остальную часть уравнения.

Ключевым моментом является включение теоремы о факторах. Это означает, что если x = s является решением, то ( x — s ) является фактором, который можно вывести из уравнения.2 + ax + b) = 0

Члены во второй группе скобок имеют форму квадратного уравнения, поэтому, если вы найдете подходящие значения для a и b , уравнение можно решить.

Этого можно достичь с помощью синтетического разделения. Сначала запишите коэффициенты исходного уравнения в верхней строке таблицы с разделительной линией и затем известным корнем справа:

\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & & & & \\ \ hline & & & & \ end {array}

Оставьте одну свободную строку, а затем добавьте горизонтальную линию под ней.Сначала возьмите первое число (в данном случае 1) до строки под горизонтальной линией

\ def \ arraystretch {1. 5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & & & & \\ \ hline 1 & & & & \ end {array}

Теперь умножьте полученное число на известный корень. В данном случае 1 × −2 = −2, и это записывается под следующим числом в списке, как показано ниже:

\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & & & \\ \ hline 1 & & & & \ end {array}

Затем сложите числа во втором столбце и поместите результат под горизонтальной линией :

\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & & & \\ \ hline 1 & -7 & & & \ end {array}

Теперь повторите процесс, через который вы только что прошли, с новым числом под горизонтальной линией: умножьте на корень, поместите ответ в пустое место в следующем столбце, а затем добавьте столбец, чтобы получить новое число в Нижний ряд. Это оставляет:

\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & 14 & & \\ \ hline 1 & -7 & 12 & & \ end {array}

И затем повторите процесс в последний раз. 2 — 7x + 12) = (x — 3) (x — 4)

Вы можете умножить это, чтобы проверить, если хотите. Не расстраивайтесь, если вы не можете сразу увидеть факторизацию; это требует немного практики. Это оставляет исходное уравнение следующим образом:

(x + 2) (x — 3) (x — 4) = 0

, которое, как вы можете сразу увидеть, имеет решения при x = −2, 3 и 4 (все из которых множители 24, исходная постоянная). Теоретически можно также увидеть всю факторизацию, начиная с исходной версии уравнения, но это намного сложнее, поэтому лучше найти одно решение методом проб и ошибок и использовать вышеупомянутый подход, прежде чем пытаться определить факторизация.2}

r = {c \ above {1pt} 3a}

Использование этой формулы требует много времени, но если вы не хотите использовать метод проб и ошибок для решения кубических уравнений, а затем квадратную формулу, это действительно работает, когда вы проходите через все это.

Решите, используя уроки квадратного уравнения

Квадратичная формула дает нам альтернативу Завершению квадрата, когда мы не можем разложить уравнение на множители. Люди часто находят метод квадратичной формулы более простым и удобным, поскольку он не требует множества операций с решаемым уравнением.

Квадратичная формула для решения уравнения относительно переменной x:

Чтобы найти решения уравнения, нам просто нужно определить, что такое a, b и c, затем подставить их в эту формулу и упростить.

Первый пример (два решения)

Мы начинаем применять квадратичную формулу, записывая уравнение в следующей форме:


Где a, b и c — константы

Это означает, что каждый член в уравнении должен находиться в левой части, как при факторизации или завершении квадрата.Итак, мы вычитаем с каждой стороны.

Теперь для единообразия, мы изменим порядок членов так, чтобы они были в одном порядке: сначала член x 2 , второй член x и последний член константы.

Теперь, сравнивая наше уравнение с «ax 2 + bx + c = 0», мы видим, что a должно быть равно 1, b должно быть равно 1 и c должно равняться.

Теперь, когда значения a, b и c определены, мы можем вернуться к формуле квадратного уравнения и использовать замену.(Не забывайте использовать круглые скобки при замене, чтобы избежать проблем с отрицательными знаками.)

Теперь мы должны упростить это уравнение, помня о порядке операций. Начнем с упрощения (1) 2 .

Далее мы упрощаем умножение. Мы видим, что 11 равно 15:

Теперь добавляем 1 и 15, в результате получается 16.

Квадратный корень из 16 равен 4.

Вы можете вспомнить, что методы решения путем разложения на множители и решения путем заполнения квадрата требовали, чтобы вы разбили каждую проблему на несколько подзадач, чтобы получить несколько решений.Поскольку мы снова ищем более одного решения, мы должны разделить эта проблема пополам.

До сих пор мы пропускали знак ± через задачу. Теперь мы создадим две задачи: одну со знаком плюс и одну со знаком минус.

и

Упрощение первой подзадачи дает

Упрощение второй подзадачи дает

Теперь мы можем объединить эти два решения в решение исходной проблемы примера:

Второй пример: одно повторяющееся решение

Изучите следующую проблему.

Здесь мы используем десятичные числа вместо дробей, но это вопрос выбора. Использование десятичных чисел не потребует от нас использования квадратичной формулы иначе.

В этом случае уравнение уже имеет правильный формат. Используя «ax 2 + bx + c = 0», мы должны теперь определить a , b и c .

Теперь мы можем подставить в квадратичную формулу:

Теперь начнем упрощение с замены (22) 2 на 484.

Упрощая умножение, мы видим, что -4 (10) (12.1) равно -484, а 2 (10) равно 20.

Обратите внимание, что мы не можем создать две разные подзадачи, потому что +0 и -0 — одно и то же значение. Поэтому мы просто опускаем ± 0 из задачи.

Без двух подзадач у нас будет только одно решение.

Воображаемые и сложные решения

Рассмотрим следующую проблему.

Мы можем идентифицировать, что

Теперь подставляем это в квадратичную формулу:

Упрощение выражения под радикалом дает:

Обратите внимание, что под символом квадратного корня стоит отрицательное число.Если вы знакомы с мнимыми числами, вы знаете, что квадратный корень отрицательного числа является мнимым числом, поэтому решения этого примера также будут мнимыми. или комплексные числа.

В этом уроке мы решили познакомить вас с этой ситуацией, но не подробно описывать воображаемые и сложные решения. Мы добавим урок по этой теме после того, как введем мнимые и комплексные числа.

Вывод квадратной формулы

Более общая форма алгоритма нахождения корней квадратных уравнений путем заполнения квадратов приводит к выводу так называемой квадратной формулы. Это общая формула, которую можно использовать для определения корней любого квадратного уравнения.

Учитывая квадратное уравнение

тогда корни уравнения можно найти, заполнив квадрат, как показано ниже:

Это можно еще упростить следующим образом:

Помещая все под под одним знаменателем дает

Вышеупомянутое уравнение известно как квадратная формула.

Из этого вывода мы можем обобщить несколько равенств на основе формулы.

Для всех действительных чисел b и c,

Для всех действительных чисел b и c,

Для всех действительных чисел a, b и c, где a не , а не равно 0,

Дискриминант квадратичной формулы

Часть квадратной формулы под знаком радикала называется дискриминантом. Это потому, что это выражение Это то, что определяет, имеет ли квадратное уравнение, корни которого мы пытаемся найти, действительные корни, мнимые (комплексные) корни или повторение одного и того же корня. важно, потому что это выражение находится под знаком квадратного корня. Помните, что квадратный корень из числа больше нуля (положительного числа) является действительным числом, квадратный корень из нуля равен нулю и квадратный корень из числа меньше нуля (отрицательное число) — мнимое или комплексное число.Таким образом, ценность многое говорит о природе корней квадратного уравнения.

  1. Если

    т.е.

    Говорят, что это квадратное уравнение имеет один повторяющийся корень. Например:

    глядя только на

    Вышесказанное указывает на то, что уравнение имеет один повторяющийся корень, и мы уже видели, что оно действительно имеет один повторяющийся корень.

    Корни уравнения задаются формулой x = {-2, -2}, которая является одним и тем же повторяющимся корнем.

  2. Если

    тогда больше нуля и квадратное уравнение, корни которого мы находим, имеет действительные корни.Например, если вас попросят найти корни данного квадратного уравнения

    глядя только на

    и 1 больше нуля, мы можем сделать вывод, что квадратное уравнение имеет действительные корни, что доказывается путем нахождения корней уравнения с использованием формулы корней квадратного уравнения.

    и

    Следовательно, корни уравнения даются как x = {- 2, -1}, которые являются действительными числами.

  3. Если

    меньше нуля, а квадратное уравнение, корни которого мы находим, имеет комплексные или мнимые корни. А комплексное или мнимое число обозначается как « i », например 4i — мнимое число 4.

Учитывая квадратное уравнение посмотрите только на найти корни.

что отрицательное значение, указывающее на то, что корни квадратного уравнения мнимые. Зная это, корни можно найти так:

Подставляя в формулу корней квадратного уравнения

Поскольку мы уже знаем, что — отрицательное число, мы можем найти корни, сделав следующую поправку в формулу корней квадратного уравнения:

обратите внимание, что i перед знаком корня означает, что число мнимое.

что дает

что дает корни

Решение с использованием квадратичной формулы Ресурсы

Бесплатно зарегестрироваться для доступа к дополнительным ресурсам по алгебре 1, например. Ресурсы Wyzant содержат блоги, видео, уроки и многое другое по алгебре 1 и более чем 250 другим предметам. Прекратите бороться и начните учиться сегодня с тысячами бесплатных ресурсов!

Найдите корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или больше ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее то информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects. org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Выполните следующие действия, чтобы отправить уведомление:

Вы должны указать следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного расположения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или агентом такого владельца; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении прав, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Тест рациональных корней

— ChiliMath

Тест рациональных корней (также известный как теорема рациональных нулей) позволяет нам найти все возможные рациональные корни многочлена. Предположим, что a является корнем многочлена P \ left (x \ right), что означает P \ left (a \ right) = 0. Другими словами, если мы подставим a в многочлен P \ left (x \ right) и получим ноль , 0, это означает, что входное значение является корнем функции .

Но как найти возможный список рациональных корней? Вот вкратце, как это работает!

Ключевые идеи теста рациональных корней

Предположим, у нас есть некоторый многочлен P \ left (x \ right) с целыми коэффициентами и ненулевым постоянным членом:

Тогда каждый рациональный корень P \ left (x \ right) имеет форма:

Лучший способ изучить этот метод — взглянуть на несколько примеров!

Примеры того, как найти рациональные корни многочлена с помощью теста рациональных корней

Пример 1: Найдите рациональные корни полинома ниже с помощью теста рациональных корней.

Поиск рациональных корней (также известных как рациональные нули) многочлена аналогичен поиску рациональных пересечений по оси x.

  • Начните с определения постоянного члена a 0 и ведущего коэффициента a n .
  • Определите положительные и отрицательные факторы каждого.

Факторы постоянного члена, {a_0} = 6 \, \,: \, \, \ pm \, \ left ({1,2,3,6} \ right)

Факторы ведущего члена, {a_n } = 3 \, \,: \, \, \ pm \, \ left ({1,3} \ right)

  • Запишите список возможных рациональных корней, найдя {p \ over q}, который просто соотношение множителей постоянного члена и ведущего члена .Убедитесь, что вы отслеживаете возможные комбинации.

Вот как я это делаю . Я беру каждый числитель и делю его на все знаменатели. Затем я перехожу к следующему числителю и снова делю на все знаменатели. Я повторяю этот процесс, пока не перебью все числители. Это гарантирует, что мы охватили все возможные комбинации.

БОЛЬШОЕ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ : После того, как вы запишите все комбинации, упростит дроби, чтобы избавиться от дубликатов.

Итак, это числа без дубликатов , которые мы проверим как возможные корни. У нас есть двенадцать (12) возможных кандидатов для проверки.

  • Помните, что если a является корнем многочлена P \ left (x \ right), то P \ left (a \ right) = 0. Теперь давайте проверим каждое число.
  • Следовательно, рациональные корни полинома

равны

Вот график полинома, показывающий, где он пересекает или касается оси x. Фактически, это точки пересечения полинома по оси x.

Пример 2: Найдите рациональные корни многочлена, приведенного ниже, с помощью теста рациональных корней.

Постоянный член равен a 0 = –2, а его возможные множители равны p = ± 1, ± 2. Для ведущего коэффициента мы имеем a n = 4, а его факторы равны q = ± 1, ± 2, ± 4.