Изобразите траекторию по которой будет двигаться протон в магнитном поле: Изобразить траекторию по которой будет двигаться протон в магнитном поле...

Электричество и магнетизм

Если начальная скорость заряженной частицы v перпендикулярна магнитному полю В, то в этом случае частица под действием силы Лоренца будет двигаться по окружности постоянного радиуса R (рис. 5.13)

(5.6)

Рис. 5.13. Движение отрицательно заряженной частицы в однородном магнитном поле

Сила Лоренца F_L, направленная по радиусу к центру окружности, вызывает радиальное ускорение. По второму закону Ньютона имеем

следовательно, можем записать уравнение

(5.7)

из которого легко получить выражение для угловой скорости частицы

(5. 8)

Если q, m и B — постоянные величины, то угловая скорость, а следовательно, и период

(5.9)

тоже являются постоянными величинами, не зависящими от энергии частицы. От скорости движения частицы зависит только радиус орбиты

(5.10)

Сила Лоренца создает только нормальное ускорение и, соответственно, направлена к центру окружности. Следовательно, направление вращения положительно заряженной частицы таково, что вращающийся в том же направлении винт будет двигаться против направления поля. Отрицательно заряженная частица вращается в противоположном направлении (см. рис. 5.14, 5.15).

Рис. 5.14. Движение положительно и отрицательно заряженных частиц в однородном магнитном поле.
Направление магнитного поля указано точками

Если начальная скорость частицы параллельна вектору магнитной индукции, то сила Лоренца равна нулю. Частица будет продолжать двигаться в том же направлении прямолинейно и равномерно.

Наконец, в общем случае можно представить себе, что частица влетает в область однородного магнитного поля со скоростью v, составляющей угол q с направлением магнитного поля. Эту скорость можно разложить на компоненту две составляющих, одна из которых

направлена вдоль поля, а вторая

перпендикулярна полю. Соответственно, движение частицы является суммой двух движений: равномерного вдоль поля со скоростью и вращения по окружности с угловой скоростью . Траектория частицы, таким образом, является спиралью с радиусом R и шагом h (рис. 5.15):

(5.11)

Рис. 5.15. Движение заряженной частицы по спирали в однородном магнитном поле

Пример. В однородном магнитном поле с индукцией 2 Тл движется протон. Траектория его движения представляет собой винтовую линию с радиусом 10 см и шагом 60 см. Определить скорость и кинетическую энергию протона. Какую ускоряющую разность потенциалов U прошел протон перед тем, как влететь в магнитное поле?

Решение. Из уравнений (5.11) находим угол между скоростью протона и полем

(5.12)

откуда

(5. 13)

Кинетическая энергия протона будет

(5.14)

Мы могли использовать нерелятивистскую формулу для энергии, так как скорость протона много меньше скорости света.

Если протон ускорялся электрическим полем, то при прохождении разности потенциалов U он приобрел энергию eU. Отсюда находим разность потенциалов

(5.15)

Джоуль — слишком большая энергия в мире элементарных частиц. Здесь используют внесистемную единицу — электронвольт (эВ).

Электрон-вольт (эВ) — это внесистемная единица энергии, численно равная энергии, которую приобретает электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 1 В

Она удобна тем, что любая другая частица с зарядом по модулю равным заряду электрона, ускоренная разностью потенциалов в 3,66 МэВ, как в нашем примере, имеет кинетическую энергию 3,66 МэВ (мегаэлектронвольт).

1.11. Действие магнитного поля на контур с током

Пусть замкнутый контур с током I находится в однородном постоянном магнитном поле с индукцией , как показано на рис. 1.21. При этом линии магнитной индукции направлены слева на право.

Рис. 1.21. Контур с током в магнитном поле

редставим площадь контура

S в виде узких полосок одинаковой ширины dy, длину которых обозначим x. Одна из этих полосок изображена на рисунке. Она вырезает из контура два элемента длины и . Силы Ампера, действующие на элементы тока и , представляют пару сил и , которые создают вращающий момент , направленный на рисунке вниз. Вычислим величину этого вращающего момента dM.

Согласно закону Ампера:

где ₁и ₂ – соответственно углы между и и между и .

Тогда момент пары сил и равен:

где dS=xdy – площадь полоски.

Чтобы записать момент пары сил и в векторном виде, введем единичный вектор нормали к контуру, направление которого связано с направлением тока I по правилу винта. Тогда

. (1.33)

Просуммировав выражение (1.32) по всем полоскам, получим вращательный момент, действующий на контур с током:

. (1.34)

Введем физическую величину

, (1.35)

которая называется магнитным моментом контура с током.

Направление магнитного момента контура с током связано с направлением тока I по правилу правого винта (рис. 1.22). Тогда вращательный момент, действующий на контур с током можно представить в виде

(1. 36)

Его величина равна

где  – угол между нормалью к контуру с током и линиями магнитной индукции . Если контур с током свободный, то вращательный момент будет поворачивать контур и установит его перпендикулярно к полю.

З аметим, что контур с током в однородном магнитном поле будет совершать только вращательное движение, потому что результирующая сила, действующая на контур с током, равна нулю. Действительно

Рис. 1.22. Магнитный момент контура с током

оскольку .

Введенный выше магнитный момент можно использовать также для вычисления магнитной индукции магнитного поля на оси кругового тока. Формулы (1.12), (1.13) можно записать в виде:

, (1.37)

. (1.

38)

Какая физическая величина является силовой характеристикой магнитного поля и в каких единицах измеряется эта величина в СИ?
Сформулируйте принцип суперпозиции магнитных полей. Приведите примеры.
Для чего служат силовые линии вектора магнитной индукции магнитного поля, как они строятся и как они направлены? Чем они отличаются от силовых линий напряженности электростатического поля?
Чему равна магнитная индукция магнитного поля движущегося заряда?
Приведите выражение для магнитной индукция магнитного поля элемента тока (закон Био-Саварра-Лапласа).
Получите выражение для магнитной индукции В магнитного поля, создаваемого отрезком проводника с током I, в точке, находящейся на расстоянии r₀ от проводника.
Определите магнитную индукцию В магнитного поля в вакууме, создаваемого отрезком прямолинейного проводника с током I , в точке, равноудаленной от концов проводника и находящейся на расстоянии r₀ от его середины, если длина отрезка проводника равно l.
Получите выражение для магнитной индукции В магнитного поля, создаваемого бесконечным прямолинейным проводником с током I, в точке, находящейся на расстоянии r₀ от проводника.
Изобразите силовые линии индукции магнитного поля прямолинейного проводника с током.
Получите выражение для магнитной индукции В магнитного поля, создаваемого круговым проводником с током I, в точке, находящейся на оси кругового проводника на расстоянии a от его центра.
Изобразите силовые линии индукции магнитного поля кругового проводника с током.
Дайте формулировку теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции магнитного поля. Для чего она служит? Как вычисляется циркуляция вектора магнитной индукции В магнитного поля по заданному контуру?
Получите выражение для магнитной индукции В магнитного поля на осевой линии тороида, по обмотке которого течет ток I.
Получите выражение для магнитной индукции В магнитного поля на осевой линии длинного соленоида, по обмотке которого течет ток I.
Изобразите силовые линии индукции магнитного поля соленоида.
Определите магнитную индукции В магнитного поля внутри соленоида без сердечника при силе тока I. Длинный прямой соленоид из проволоки диаметром d намотан в один слой так, что витки плотно прилегают друг к другу (толщиной изоляции провода пренебречь).
Сила Лоренца. Дайте определение этой силы, запишите для нее формулу. Как определяется направление вектора силы Лоренца?
Когда заряженная частица будет двигаться в однородном магнитном поле прямолинейно и равномерно? Приведите рисунок и дайте обоснование ответа.
Когда заряженная частица будет двигаться в однородном магнитном поле по окружности? Получите выражения для скорости заряженной частицы на круговой орбите, а также выражение для периода обращения этой частицы.
Электрон (e^) и позитрон (e⁺) влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно магнитным силовым линиям. Изобразите траектории движения электрона и позитрона в магнитном поле?
Протон влетел в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции и стал вращаться по окружности. Как можно увеличить период его обращения? Изобразите траекторию движения протона в магнитном поле.
Когда заряженная частица будет двигаться в однородном магнитном поле по винтовой линии? Получите выражения для радиуса и шага винтовой линии в этом случае.
Опишите принцип действия циклотрона.
Опишите принцип действия электронного микроскопа. Для чего он служит?
В чем заключается эффект Холла? Запишите выражение для холловской разности потенциалов.
Дайте объяснение эффекта Холла и получите выражение для постоянной Холла. Где применяется эффект Холла?
По однородной металлической пластинке, находящейся в однородном магнитном поле течет электрический ток вдоль оси х. Как направлена индукция магнитного поля, если холловская напряженность электрического поля, возникающая в пластинке, направлена вдоль оси y?
Сила Ампера. Дайте определение этой силы, запишите для нее формулу. Как определяется направление вектора силы Ампера?
Как объясняется взаимодействие проводников с током. Как вычисляется сила взаимодействия параллельных токов?
Дайте определение силы тока в 1 А в СИ (Международный ампер).
Что называется магнитным моментом контура с током. Как определяется направление этого вектора?
Магнитный момент кругового проволочного витка радиусом R, по которому течет ток, равен р_т.Получите выражение для магнитной индукции B магнитного поля в центре витка.
Магнитный момент кругового проволочного витка радиусом R, по которому течет ток, равен р_т. Получите выражение для магнитной индукции B магнитного поля в точке на оси витка, расположенной на расстоянии a от центра витка.
Получите выражение для вращающего момента М, действующего на контур с током I в однородном магнитном поле.
Проволочный виток с током находится в однородном магнитном поле. Чему равен угол  между магнитным моментом витка и магнитной индукцией магнитного поля, если виток находится в равновесии?

Сила, действующая на движущийся заряд в магнитном поле: примеры и применение

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Описывать воздействие магнитного поля на движущийся заряд.
Рассчитайте радиус кривизны пути заряда, движущегося в магнитном поле.

Магнитная сила может заставить заряженную частицу двигаться по круговой или спиральной траектории. Космические лучи — это энергичные заряженные частицы в космическом пространстве, некоторые из которых приближаются к Земле. Магнитное поле Земли может заставить их двигаться по спирали. Протоны в гигантских ускорителях удерживаются на круговой траектории благодаря магнитной силе. На фотографии пузырьковой камеры на рисунке 1 показаны заряженные частицы, движущиеся по таким изогнутым траекториям. Искривленные траектории заряженных частиц в магнитных полях лежат в основе ряда явлений и даже могут использоваться аналитически, например, в масс-спектрометре.

Рис. 1. Следы пузырьков образуются заряженными частицами высокой энергии, движущимися через перегретый жидкий водород, в этой художественной интерпретации пузырьковой камеры. Существует сильное магнитное поле, перпендикулярное странице, что приводит к искривлению траекторий частиц. Радиус пути можно использовать для определения массы, заряда и энергии частицы.

Значит, магнитная сила вызывает круговое движение? Магнитная сила всегда перпендикулярна скорости, поэтому на заряженную частицу она не действует. Таким образом, кинетическая энергия и скорость частицы остаются постоянными. Направление движения влияет, но не скорость. Это характерно для равномерного кругового движения. Простейший случай имеет место, когда заряженная частица движется перпендикулярно однородной B -поле, как показано на рисунке 2. (Если это происходит в вакууме, магнитное поле является доминирующим фактором, определяющим движение.) Здесь магнитная сила создает центростремительную силу F  _c = мв ² / р . Заметив, что sin θ = 1, мы видим, что F = qvB .

Рис. 2. Отрицательно заряженная частица движется в плоскости страницы в области, где магнитное поле перпендикулярно странице (представлено маленькими кружками с крестиком — как хвосты стрелок). Магнитная сила перпендикулярна скорости, поэтому скорость изменяется по направлению, но не по величине. Результат равномерного кругового движения. 9{2}}{r}\\[/латекс].

Решение для r дает

[latex]r=\frac{mv}{qB}\\[/latex].

Здесь r – радиус кривизны пути заряженной частицы массой m и зарядом q , движущейся со скоростью v перпендикулярно магнитному полю напряженностью B . Если скорость не перпендикулярна магнитному полю, то v есть составляющая скорости, перпендикулярная полю. Составляющая скорости, параллельная полю, не изменяется, так как магнитная сила равна нулю при движении параллельно полю. Это создает спиральное движение, а не круговое.

Пример 1. Расчет кривизны пути электрона, движущегося в магнитном поле: магнит на экране телевизора вместо ЖК-экранов) сильно искажает его изображение, изменяя путь электронов, которые заставляют его люминофоры светиться.

(Не пытайтесь повторить это дома, так как это приведет к необратимому намагничиванию и повреждению телевизора.) Чтобы проиллюстрировать это, рассчитайте радиус кривизны пути электрона, имеющего скорость 6,00 × 10 ⁷ м/с (соответствует ускоряющему напряжению около 10,0 кВ, используемому в некоторых телевизорах) перпендикулярно магнитному полю напряженностью В = 0,500 Тл (можно получить с помощью постоянных магнитов).

Рис. 1. Вид сбоку, показывающий, что происходит, когда магнит входит в контакт с монитором компьютера или экраном телевизора. Электроны движутся к экрану по спирали вокруг силовых линий магнитного поля, сохраняя составляющую своей скорости, параллельную силовым линиям. Это искажает изображение на экране. 9{-4}\text{ m}\end{массив}\\[/latex]

или

r = 0,683 мм.

Обсуждение

Маленький радиус указывает на большой эффект. Электроны в кинескопе телевизора вынуждены двигаться по очень узким кругам, сильно меняя свои траектории и искажая изображение.

На рисунке 2 показано, как электроны, движущиеся не перпендикулярно силовым линиям магнитного поля, следуют за силовыми линиями. Составляющая скорости, параллельная линиям, не изменяется, поэтому заряды закручиваются вдоль силовых линий. Если напряженность поля увеличивается в направлении движения, поле будет прикладывать силу для замедления зарядов, образуя своего рода магнитное зеркало, как показано ниже.

Рис. 2. Когда заряженная частица движется вдоль силовой линии магнитного поля в область, где поле становится сильнее, на частицу действует сила, уменьшающая составляющую скорости, параллельную полю. Эта сила замедляет движение вдоль силовой линии, а здесь меняет его направление, образуя «магнитное зеркало».

Свойства заряженных частиц в магнитных полях связаны с такими разными вещами, как Aurora Australis или Aurora Borealis и ускорителями частиц. Заряженные частицы, приближающиеся к силовым линиям магнитного поля, могут попасть на спиральные орбиты вокруг линий, а не пересекать их , как показано выше. Некоторые космические лучи, например, следуют линиям магнитного поля Земли, проникая в атмосферу вблизи магнитных полюсов и вызывая южное или северное сияние за счет ионизации молекул в атмосфере. Это свечение возбужденных атомов и молекул видно на рисунке 1 на стр. Те частицы, которые приближаются к средним широтам, должны пересекать силовые линии магнитного поля, и многие из них не могут проникнуть в атмосферу. Космические лучи являются компонентом фонового излучения; следовательно, они дают более высокую дозу радиации на полюсах, чем на экваторе.

Рис. 3. Энергичные электроны и протоны, компоненты космических лучей, от Солнца и глубокого космоса часто следуют за силовыми линиями магнитного поля Земли, а не пересекают их. (Напомним, что северный магнитный полюс Земли на самом деле является южным полюсом с точки зрения стержневого магнита.)

Некоторые прилетающие заряженные частицы захватываются магнитным полем Земли, образуя два пояса над атмосферой, известные как радиационные пояса Ван Аллена после первооткрыватель Джеймс А. Ван Аллен, американский астрофизик. (См. рис. 4.) Частицы, попавшие в эти пояса, образуют радиационные поля (аналогичные ядерному излучению) настолько интенсивные, что пилотируемые космические полеты избегают их, а спутники с чувствительной электроникой не попадают в них. За несколько минут, которые потребовались лунным миссиям для пересечения радиационных поясов Ван Аллена, астронавты получили дозы радиации, более чем в два раза превышающие допустимую годовую дозу радиационных работников. Подобные пояса есть и у других планет, особенно у тех, у которых сильные магнитные поля, таких как Юпитер.

Рис. 4. Радиационные пояса Ван Аллена представляют собой две области, в которых энергичные заряженные частицы захватываются магнитным полем Земли. Один пояс лежит на высоте около 300 км над поверхностью Земли, другой — около 16 000 км. Заряженные частицы в этих поясах мигрируют вдоль силовых линий магнитного поля и частично отражаются от полюсов более сильными там полями. Заряженные частицы, попадающие в атмосферу, восполняются Солнцем и источниками в глубоком космосе.

На Земле у нас есть устройства, использующие магнитные поля для удержания заряженных частиц. Среди них гигантские ускорители частиц, которые использовались для изучения субструктуры материи. (См. рис. 5.) Магнитные поля не только контролируют направление заряженных частиц, они также используются для фокусировки частиц в пучки и преодоления отталкивания одноименных зарядов в этих пучках.

Рис. 5. Лаборатория Фермилаб в Иллинойсе имеет большой ускоритель частиц (самый мощный в мире до 2008 г.), который использует магнитные поля (магниты показаны здесь оранжевым цветом) для сдерживания и направления луча. Этот и другие ускорители используются уже несколько десятилетий и позволили нам открыть некоторые законы, лежащие в основе всей материи. (кредит: ammcrim, Flickr)

Термоядерный синтез (подобный происходящему на Солнце) — это надежда на будущий источник чистой энергии. Одним из самых перспективных устройств является 9Токамак 0017 , который использует магнитные поля для удержания (или улавливания) и направления реактивных заряженных частиц. (См. рис. 6.) Менее экзотические, но более практичные усилители в микроволновых печах используют магнитное поле для сдерживания колеблющихся электронов. Эти колеблющиеся электроны генерируют микроволны, направляемые в духовку.

Рисунок 6. Токамаки, подобные показанному на рисунке, изучаются с целью экономичного производства энергии путем ядерного синтеза. Магнитные поля в устройстве в форме пончика удерживают и направляют реактивные заряженные частицы. (кредит: Дэвид Меллис, Flickr)

Масс-спектрометры имеют различные конструкции, и многие из них используют магнитные поля для измерения массы. Кривизна пути заряженной частицы в поле связана с ее массой и измеряется для получения информации о массе. (См. Дополнительные применения магнетизма .) Исторически такие методы использовались при первых прямых наблюдениях за зарядом и массой электрона. Сегодня масс-спектрометры (иногда в сочетании с газовыми хроматографами) используются для определения состава и последовательности крупных биологических молекул.

Магнитная сила может создавать центростремительную силу и заставлять заряженную частицу двигаться по круговой траектории радиуса
[латекс]r=\frac{mv}{qB}\\[/латекс]
где v это составляющая скорости, перпендикулярная B для заряженной частицы с массой m и зарядом q .

Концептуальные вопросы

1. Как можно использовать движение заряженной частицы, чтобы отличить магнитное поле от электрического?

2. Высокоскоростные заряженные частицы могут повреждать биологические клетки и являются компонентом радиационного облучения в самых разных местах, от исследовательских учреждений до естественного фона. Опишите, как вы можете использовать магнитное поле, чтобы защитить себя.

3. Если протон космических лучей приблизится к Земле из космоса по линии к центру Земли, лежащей в плоскости экватора, в какую сторону он будет отклонен магнитным полем Земли? А электрон? Нейтрон?

4. Каковы знаки зарядов частиц на рис. 9?

Рисунок 9.

5. Какая из частиц на рисунке 10 имеет наибольшую скорость, если предположить, что они имеют одинаковые заряды и массы?

Рисунок 10.

6. Какая из частиц на рисунке 10 имеет наибольшую массу, если предположить, что все они имеют одинаковые заряды и скорости?

7. Во время работы высокоточный ТВ-монитор кладут на бок во время технического обслуживания. Изображение на мониторе меняет цвет и слегка расплывается. Обсудите возможную связь этих эффектов с магнитным полем Земли.

Задачи и упражнения

Если вам нужна дополнительная поддержка по этим задачам, см. Дополнительные приложения магнетизма.

1. Электрон космического луча движется со скоростью 7,50 × 10 ⁶ м/с перпендикулярно магнитному полю Земли на высоте, где напряженность поля составляет 1,00 × 10 ⁻⁵ Тл. Каков радиус кругового пути электрона? следует?

2. Протон движется со скоростью 7,50 × 10 ⁷ перпендикулярно магнитному полю. Поле заставляет протон двигаться по круговой траектории радиусом 0,800 м. Какова напряженность поля?

3. (a) Зрители Star Trek слышат о приводе антиматерии на звездолете Enterprise . Одна из возможностей такого футуристического источника энергии — хранить заряженные частицы антивещества в вакуумной камере, циркулирующей в магнитном поле, а затем извлекать их по мере необходимости. Антивещество аннигилирует с обычным веществом, производя чистую энергию. Магнитное поле какой силы необходимо для удержания антипротонов, движущихся со скоростью 5,00 × 10 ⁷ м/с по круговой траектории радиусом 2,00 м? Антипротоны имеют ту же массу, что и протоны, но противоположный (отрицательный) заряд. (б) Достижима ли эта напряженность поля с помощью сегодняшних технологий или это футуристическая возможность?

4. (a) Ион кислорода-16 с массой 2,66 × 10 ⁻²⁶ кг движется со скоростью 5,00 × 10 ⁶ м/с перпендикулярно магнитному полю напряженностью 1,20 Тл, что заставляет его двигаться в дуга окружности радиусом 0,231 м. Какой положительный заряд имеет ион? б) Каково отношение этого заряда к заряду электрона? (c) Обсудите, почему отношение, найденное в (b), должно быть целым числом.

5. Круговой путь какого радиуса проходит электрон, если он движется с той же скоростью и в том же магнитном поле, что и протон под номером 2?

6. Селектор скорости в масс-спектрометре использует магнитное поле 0,100 Тл. а) Какая напряженность электрического поля необходима, чтобы выбрать скорость 4,00 × 10 ⁶ м/с? б) Чему равно напряжение между пластинами, если расстояние между ними 1 см?

7. Электрон в ТВ ЭЛТ движется со скоростью 6,00 × 10 ⁷ м/с в направлении, перпендикулярном полю Земли, напряженность которого составляет 5,00 × 10 ⁻⁵ Тл. ) Электрическое поле какой напряженности необходимо приложить перпендикулярно полю Земли, чтобы заставить электрон двигаться прямолинейно? (b) Если это сделать между пластинами, расстояние между которыми составляет 1,00 см, какое напряжение будет приложено? (Обратите внимание, что телевизоры обычно окружены ферромагнитным материалом для защиты от внешних магнитных полей и устранения необходимости такой коррекции.)

8. (a) С какой скоростью протон будет двигаться по круговой траектории того же радиуса, что и электрон в вопросе 2? б) Каким был бы радиус пути, если бы скорость протона была такой же, как у электрона? в) Чему был бы равен радиус, если бы протон имел ту же кинетическую энергию, что и электрон? г) один и тот же импульс?

9. Масс-спектрометр используется для отделения обычного кислорода-16 от гораздо более редкого кислорода-18, взятого из образца старого ледникового льда. (Относительное содержание этих изотопов кислорода связано с климатической температурой во время отложения льда.) Отношение масс этих двух ионов составляет 16 к 18, масса кислорода-16 составляет 2,66 × 10 9 .0025 −26 кг, однозарядные и движутся со скоростью 5,00 × 10 ⁶ м/с в магнитном поле 1,20 Тл. Каково расстояние между их путями, когда они попадают в цель после прохождения полукруга?

10. (a) Трехзарядные ионы урана-235 и урана-238 разделяются в масс-спектрометре. (Намного реже уран-235 используется в качестве реакторного топлива.) Массы ионов составляют 3,90 × 10 ^-25 кг и 3,95 × 10 ^-25 кг соответственно, и они движутся со скоростью 3,00 × 10 ⁵ м/с в поле 0,250 Тл. Каково расстояние между их путями, когда они попадают в цель после прохождения полукруга? (b) Обсудите, кажется ли это расстояние между их путями достаточно большим, чтобы его можно было использовать при отделении урана-235 от урана-238.

Избранные решения задач и упражнений

1. 4,27 м

3. (а) 0,261 Тл (б) Эта сила определенно достижима с помощью современных технологий. Напряженность магнитного поля 0,500 Тл достигается с помощью постоянных магнитов.

5. 4,36 × 10 ⁻⁴ м

7. (а) 3,00 кВ/м (б) 30,0 В

9. 0,173 м