Интеграл от скорости по времени: Физические основы механики

Физические основы механики

Если путь , пройденный материальной точкой за промежуток времени от t₁ до t₂, разбить на достаточно малые участки , то для каждого го участка выполняется условие

Тогда весь путь приближенно равен сумме

При стремлении всех к нулю это приближенное равенство становится точным, то есть

Подчеркнем, что здесь речь идет о модуле скорости. Если зависимость модуля скорости от времени выразить графически, то путь, пройденный материальной точкой за время от t₂ до t₁, численно равен площади фигуры, ограниченной кривой , осью времени и вертикальными прямыми, проходящими через точки с абсциссами и (рис. 2.7.).

Рис. 2.7. Определение пройденного пути по графику зависимости скорости от времени

При равномерном движении величина скорости постоянна и может быть вынесена из-под знака интеграла:

Так как модуль скорости , то пройденный телом путь с течением времени может только возрастать (или быть постоянным, когда тело покоится).

Если нас интересует перемещение материальной точки за то же время, то мы так же разбиваем траекторию на малые участки, но суммируем теперь векторы перемещения:

Учитывая связь перемещения с вектором скорости

получаем

В отличие от выражения для пройденного пути под интегралом здесь стоит не модуль, а вектор скорости. Точно так же при равномерном прямолинейном движении, когда , мы можем вынести скорость из-под знака интеграла:

Чтобы практически найти перемещение, интеграл, представленный в векторной форме, необходимо записать в виде интегралов для проекций

Здесь x₁, y₁, z₁ — координаты точки в момент времени t₁, а x₂, y₂, z₂ — координаты точки в момент времени t₂, соответственно величина перемещения при этом равна

а направление вектора перемещения определяется соотношением:

Пример. Пункт A находится на бетонированном аэродроме, пункт

B — на примыкающем к нему поле, на котором скорость машины в n раз меньше. Для того, чтобы за кратчайшее время добраться из в , был выбран оптимальный маршрут, показанный на рис. 2.8. Найти соотношение между синусами углов α и β.

Рис. 2.8. Оптимальный маршрут из пункта А в пункт В

Все расстояния указаны на рисунке. Время , затрачиваемое на путь , преодолеваемый со скоростью , равно

Время t₂, затрачиваемое на путь , преодолеваемый со скоростью , равно

Полное время в пути, будет

Поскольку точка 0 была выбрана так, что на путь затрачивалось минимальное время, должна быть равна нулю производная времени по координате точки перехода с бетона на траву:

Поскольку

находим, что

то есть

Сходство с известным законом преломления света на границе двух сред не случайно: природа устроена так, что свет выбирает путь, требующий минимального времени. Это так называемый принцип Ферма, который мы подробно рассмотрим в соответствующем разделе.

08. ПРОИЗВОДНАЯ и ИНТЕГРАЛ — Физика это просто!!! 2016

Теперь пора познакомиться с математикой, которая поможет вам быстро и просто решать задачи механики.

И не только механики. Можно безо всякого преувеличения заметить, что производные и интегралы используются при описании физических моделей реального мира во всех разделах физики.

Итак, вернемся к рассмотренным в параграфах 3, 4, 5 понятиям пути, скорости и ускорения. Рассмотрим подробнее соотношения между координатами материальной точки, ее скоростью и ускорением в каждый момент времени.

Ограничимся, для начала, случаем одномерного движения.

Нарисуем произвольный график зависимости скорости V(t) материальной точки от времени t.

Рисунок 6

В произвольный момент времени t₁ мгновенная скорость V₁ = V(t₁).

Запомним два утверждения:

1) Тангенс угла наклона касательной к графику V(t) в точке (в момент времени) t₁равен по величине значению ускорения а(t₁) материальной точки в этот момент времени t₁.

2) Площадь под кривой V(t) от t₁ до t₂ равна по величине пути, пройденному материальной точкой за время от момента t₁ до момента t₂ со скоростью, описываемой функцией V(t).

Строго математически это можно записать:

— «ускорение» есть первая производная функции скорости по времени.

Просто запомните! Тангенс угла наклона касательной к функции f(t) в точке t есть значение первой производной этой функции в этой точке t !

Для нас с вами в данный момент, не вдаваясь в «глубины» дифференциального исчисления, важно следующее:

· Для любой функции скорости материальной точки от времени V(t) существует функция a(t), которая определяет ускорение нашей материальной точки в любой момент времени t, в который определена функция скорости V(t). И, что самое приятное, мы можем в подавляющем большинстве случаев очень просто найти одну функцию из другой. И наоборот.

Как мы помним, «вычисление производной» в математике называется операцией «дифференцирования», или «операцией взятия производной» (видимо, по аналогии «взятия крепости»).

Для некоторых функций эта операция по своей сложности, действительно, сравнима со взятием укрепленной крепости или покорением неприступной вершины. Но, к счастью, в курсе средней школы производные большинства функций можно просто брать из готовых таблиц. Либо, вообще, в интернет-сервисах.

Например, http://www.webmath.ru/web.php или http://www.wolframalpha.com/.

Просто задаете функцию — получаете производную!

Напомним основные правила дифференцирования:

производная суммы:

производная произведения:

производная частного:

производная сложной функции равна произведению производных:

Приведем таблицу производных простейших функций:

Производная степенной функции:

Производная показательной функции:

Поизводная экспонециальной функции:

Производная логарифмической функции:

Производные тригонометрических функций:

Производные обратных тригонометрических функций:

2. Площадь под кривой, заданной функцией V(t) на отрезке от t₁ до t₂ есть значение «определенного интеграла» этой функции на отрезке [t₁;t₂]. Про первообразную функции мы уже знаем.

Математически, определенный интеграл – это разность значения первообразной в конечной точке отрезка t₂ минус значение первообразной в начальной точке отрезка t₁. Он равен величине площади под кривой. На рисунке 2 эта площадь закрашена серым цветом.

где X_1,2(t₁,t₂) – перемещение, совершенное материальной точкой от момента времени t₁ до момента времени t₂.

!!! Заметим, что формула (32) вычисляет именно «перемещение», потому что пройденный путь — это всегда положительная величина. Мы прошли километр в одну сторону, затем километр в обратную — в результате, пройденный путь равен двум километрам, а перемещение равно нулю. Мы никуда не переместились, вернувшись в исходную точку. Пройденный путь будет равен перемещению, только если мы движемся все время в одну сторону по прямой.

По формуле (32) мы вычисляем перемещение, как разность координат в конечный момент времени и в начальный момент времени.

Для нас важно запомнить:

Первое. Неопределенный интеграл (так называемая «первообразная») какой-либо функции f(t) — это такая функция, продифференцировав которую мы получим обратно саму функцию f(t). В математике первообразную функции часто обозначают заглавной буквой, например, для функции f(t)первообразную можно обозначить F(t). Определенный интеграл на каком-либо отрезке области определения функции f(t) – это, по сути, разница значений первообразной этой функции F(t) в конечной и начальной точках отрезка.

Второе. Если мы интегрируем функцию скорости V(t) от точки t₁ до точки t₂, то интегралом будет перемещение X(t₂) – X(t₁).

Резюме:

· Если мы знаем функцию зависимости координаты X(t) точки от времени t, то, найдя производную этой функции по времени t (обозначим эту производную V(t)), мы получим функцию зависимости мгновенной скорости точки от времени.

· Если мы далее продифференцируем полученную функцию скорости V(t) по времени t, то получим «первую производную» скорости по времени — функцию a(t) — функцию зависимости мгновенного ускорения от времени.

Причем, все это чистая математика. Более того, в большинстве случаев функции можно брать прямо из специальных таблиц производных.

А что, если мы продифференцируем функцию a(t)?

В результате (в общем случае) мы получим некую функцию зависимости мгновенного изменения ускорения от времени. Это будет функция, которая позволит нам видеть, как сильно в каждый момент времени меняется ускорение движения нашей точки. В принципе, можно долго продолжать эти операции последовательного дифференцирования. И, заметьте, все время мы будем получать функции, которые наделены физическим смыслом.

К счастью, в рамках школьной программы мы ограничимся равноускоренным движением. Т.е. таким движением, при котором значение ускорения не изменяется. Оно равно некоторой «константе» (постоянной величине, не изменяющейся с течением времени).

A(t) = const.

А производная от константы всегда равна нулю! И, соответственно, дальше, хоть задифференцируйся, будет

A'(t) = … = A»^…‘(t) = 0.

Все последующие производные будут равны нулю.

Решение задач физики и техники с применением интеграла: разбор примеров

п.1. От ускорения к скорости и координате

Рассматривая применение производной в физике и технике (см. §51 данного справочника), мы во второй производной от уравнения прямолинейного равномерного движения $x(t)$ пришли к постоянному ускорению $a=const$.

С помощью интегрирования можно пройти обратный путь.
Начнем с постоянного ускорения $a=const$.
Интеграл от ускорения по времени – это скорость: $$ v(t)=\int adt=a\int dt=at+C $$ Физический смысл постоянной интегрирования $C$ в этом случае – начальная скорость $v_0$.

2}{2}+v_0 t+x_0 $$ Таким образом, если нам известны ускорение $a$, начальная скорость $v_0$ и начальная координата $x_0$, мы всегда сможем получить уравнение движения $x(t)$.

п.2. Физические величины как интегралы других величин

Если $v(t)$ — скорость некоторого физического процесса, уравнение этого процесса можно найти интегрированием: $$ f(t)=\int v(t)dt $$ Такие величины часто встречаются в различных разделах физики и техники.

Исходная величина (скорость)

Уравнение процесса (интеграл по времени)

Ускорение $a(t)$

Скорость $v(t)=\int a(t)dt$

Скорость $v(t)$

Координата $x(t)=\int v(t)dt$

Угловое ускорение $\beta(t)$

Угловая скорость $\omega(t)=\int \beta(t) dt$

Угловая скорость $\omega(t)$

Угол поворота $\varphi(t)=\int\omega(t)dt$

Скорость расходования горючего $u(t)$

Масса горючего ракеты $m(t)=\int u(t)dt$

Сила тока $I(t)$

Заряд $q(t)=\int I(t)dt$

Мощность $N(t)$

Работа $A(t)=\int N(t)dt$

ЭДС индукции $\varepsilon(t)$

Магнитный поток $Ф(t)=-\int\varepsilon(t)dt$

Скорость радиоактивного распада $I(t)$

Число атомов радиоактивного вещества $N(t)=\int I(t)dt$

Берутся интегралы и по другим переменным. 2}{2R}=\frac{mg_0R}{2} $$ Отношение работ по запуску на один радиус на Земле и Луне: $$ \frac{A_E(R_E)}{A_M(R_M)}=\frac{mg_ER_E}{mg_MR_M}=\frac{g_ER_E}{g_MR_M},\ \ \frac{A_E(R_E)}{A_M(R_M)}=\frac{9,81\cdot 6371}{1,62\cdot 1737}\approx 22,2 $$ На Земле работа в 22,2 раза больше.

Ответ: $A=GmM\frac{h}{R(R+h)};\ \ \frac{A_E(R_E)}{A_M(R_M)}\approx 22,2$

Обзор методов вычисления интегралов по времени и пространству

Интегрирование — один из важнейших математических инструментов, особенно в численном моделировании. Например, дифференциальные уравнения в частных производных обычно выводятся из интегральных уравнений сохранения. Когда возникает необходимость численного решения уравнения в частных производных, интегрирование также играет важную роль. В этой статье приведен обзор методов и подходов интегрирования, доступных в COMSOL Multiphysics, а также конкретные примеры их использования.

Важность интегралов

В COMSOL используется метод конечных элементов, который преобразует описывающее некоторый процесс уравнение в частных производных в интегральное уравнение — другими словами, в слабую форму (weak form).

{t_1}\int_{\Omega}F(u)\ \mathrm{d A} \mathrm{d} t

где [t_0,t_1] — это временной интервал, \Omega — это пространственная область, а F(u) — это произвольное выражение, включающее зависимую переменную u и произвольные функции от нее, в том числе производные по пространству, времени, а также любой другой величине.

Наиболее удобный способ вычисления интегралов — использование узла Derived Values (Расчет выражений) в разделе Results (Результаты) ленты Ribbon или дерева модели (Лента Ribbon отсутствует в том случае, если ваш компьютер работает не под управлением ОС Windows®).

Добавление операций расчета пространственных интегралов по объему, поверхности или линии в узле Derived Values (Расчет выражений)

Вы можете обратиться к любому доступному решению, выбрав соответствующий набор данных (data set). В поле Expression (Выражение) вводится подынтегральная функция, включающая зависимые или производные переменные. Для данных расчета во временной области пространственный интеграл вычисляется на каждом временном шаге. В качестве альтернативы, в окне Settings (Настройки) узла Data Series Operations (Операции с массивами данных) можно выбрать опцию

Integral (Интегрирование), что позволит вычислить общий пространственно-временной интеграл.

Пример настроек вычисления интегралов по поверхности (Surface Integration) с дополнительным вычислением интеграла по времени в разделе Data Series Operations.

Оператор Average (Усреднение) — еще одна операция в разделе Derived Values, связанная с вычислением интегралов. Оператор вычисляет интеграл и делит его на объем, площадь или длину выбранной области. Операция Averageв узле Data Series Operations аналогично вводит деление на продолжительность временного диапазона. Операторы узла Derived Values — важный инструмент, однако их можно использовать только во время постобработки, а значит с их помощью можно рассчитать далеко не любой интеграл. Именно поэтому в COMSOL представлены другие более мощные и гибкие инструменты для вычисления интегралов.

2. Стационарное и нестационарное решение (в момент времени 100 секунд) представлены на иллюстрациях ниже.

Стационарное решение, нажмите на изображение для увеличения.
Нестационарное решение (для момента времени 100 секунд), нажмите на изображение для увеличения.

Вычисление пространственного интеграла с использованием операторов узла Component Coupling

Операторы узла Component Coupling (Сопряжение компонентов) используются в тех случаях, когда, например, в одном выражении объединяются несколько интегралов, или интегралы требуются в процессе вычислений, или требуется множество контурных интегралов. Операторы данного узла определяются в разделе Definitions (Определения). На этом этапе режультат использования оператора не просчитывается, а указываются только их название и выборки областей.

Добавление операторов через узел Component Couplings

В нашем примере мы для начала хотим вычислить пространственный интеграл для стационарного распределения температуры, равный

\int_{\Omega}T(x,y)\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y = 301. 65

В пакете COMSOL оператор вычисления интеграла по умолчанию получает имя intop1.

Окно настроек оператора интегрирования.
Расчет результата интегрирования через оператор.

Теперь давайте рассмотрим, как оператор интегрирования может использоваться непосредственно в процессе расчета модели. С его помощью мы могли бы, например, выяснить, какая нагревательная мощность потребуется для получения средней температуры 303.15 К, то есть температуры, на 10 К превышающей температуру окружающей среды. Прежде всего нам необходимо вычислить разницу между требуемым и действительным средними значениями. Среднее значение вычисляется путем деления интеграла от T на интеграл от постоянной функции 1, который равен площади области. Нетрудно догадаться, что вычисление подобного вида легко выполнить с помощью представленного в COMSOL оператора Average (Усреднение), см. комментарии выше. По умолчанию данный оператор получает название aveop1. 2. Т.е. полученное значение можно задать в качестве граничного условия для общего входящего теплового потока, чтобы средняя температура в рассматриваемой области стала равна 303.15 К.

Вычисление неопределенного интеграла посредством оператора интегрирования

В своих обращениях в службу поддержки пользователи часто задают один и тот же вопрос: как рассчитать неопределенный пространственный интеграл? Для этой цели нам также пригодится оператор интегрирования, задаваемый через Component Couplings. Нахождение неопределенного интеграла — операция, обратная дифференцированию. Неопределенный интеграл позволяет вычислять площади произвольных областей, ограниченных графиками функций. Одна из самых важных прикладных задач — вычисление вероятностей в статистическом анализе. Для того чтобы это продемонстрировать, мы зафиксируем y=0 и обозначим неопределенный интеграл от T(x,0) как u(x). Это значит, что \frac{\partial u}{\partial x}=T(x,0). Тогда неопределенный интеграл имеет вид

u(\bar x) = \int_0^{\bar x}T(x,0)\mathrm{d} x

Здесь мы используем \bar x, чтобы отличать переменную интегрирования от внешней переменной. 1T(x,0)\cdot(x\leq\bar x)\ \mathrm{d} x

Во-вторых, нам понадобится оператор вычисления интеграла, который будет действовать на нижней границе области из примера. Давайте обозначим его как intop2. В-третьих, мы должны отличать переменную интегрирования от внешней переменной. Принятые обозначения для такого случая: x называется источником (source), а \bar x — точкой назначения (destination). При использовании операторов интегрирования доступен встроенный оператор dest, который позволяет явно оглашать, что соответствующее выражение не относится к переменным интегрирования. Точнее, это значит, что в COMSOL \bar x=dest(x). Объединив логическое выражение с оператором dest, мы получим выражение вида T*(x<=dest(x)), которое является именно тем входным выражением, которое требуется для intop2. Объединив все вместе, мы можем вычислить неопределенный интеграл, воспользовавшись выражением intop2(T*(x<=dest(x))). Результат данной операции можно проиллюстрировать следующим графиком:

Как построить график неопределенного интеграла с помощью оператора интегрирования, оператора dest и логического выражения.

В пакете COMSOL дополнительно доступны еще два оператора вычисления интеграла, а именно общая проекция (general projection) и линейная проекция (linear projection). Эти операторы можно использовать для получения множества контурных интегралов в любом направлении в области. Другими словами, вычисление интеграла производится только вдоль одного измерения. В результате мы получаем функцию размерности на единицу меньше, чем размерность области. Для двухмерного примера результатом будет одномерная функция, которая может быть рассчитана на любой границе. Более подробная информация об использовании данных операторов будет представлена в одной из следующих публикаций в нашем компоративном блоге.

Вычисление пространственного интеграла посредством дополнительного физического интерфейса

Наиболее гибким способом вычисления пространственных интегралов является техника с добавлением дополнительного PDE-интерфейса. Давайте вспомним пример выше с неопределенным интегралом и предположим, что мы хотим вычислить неопределенный интеграл не только для y=0. Данная задача может быть сформулирована в виде дифференциального уравнения в частных производных

\frac{\partial u}{\partial x}=T(x,y)

с граничным условием типа Дирихле u=0 на левой границе. Расчет такого уравнения проще всего реализовать в физическом (математическом) интерфейсе Coefficient Form PDE (Дифференциальное уравнение в частных производных, коэффициентная форма записи), который потребует следующих настроек:

Вычисление пространственного интеграла посредством дополнительного PDE-интерфейса.

Зависимая переменная u представляет собой неопределенный интеграл по x и доступна в процессе расчета модели и в постобработке. Помимо гибкости, дополнительным преимуществом данного подхода является точность, так как интеграл рассчитывается не вспомогательными инструментами на основе уже определенного распределения переменной, а непосредственно в процессе расчета с учетом алгоритмов оценки погрешностей и т. {100}T(x,y,t)\ \mathrm{d} t

На поверхностном графике ниже представлен результирующий интеграл, являющийся функцией пространственных переменных (x,y):

Использование оператора timeavg – оператора вычисления интеграла по времени.

Схожие операторы существуют для вычисления интегралов на сферических зонах, а именно ballint, circint, diskint и sphint.

Вычисление временного интеграла посредством дополнительного физического интерфейса

В случае если временные интегралы нужно использовать непосредственно в модели в процессе расчета, вам будет необходимо задать их как дополнительные зависимые переменные. Аналогично представленному выше примеру с интерфейсом Coefficient Form PDE, это можно сделать, добавив ODE-интерфейс из раздела Mathematics. Предположим, например, что на каждом временном шаге требуется вычислять интеграл от величины общего теплового потока на промежутке от старта до текущего момента, который показывает накопленную энергию. Переменная для общего теплового потока рассчитывается в COMSOL автоматически и называется ht.tfluxMag. Интеграл может быть вычислен как дополнительная зависимая переменная с помощью узла Distributed ODE (Распределенное обыкновенное дифференциальное уравнение) интерфейса Domain ODEs and DAEs. Правой частью (источниковым членом) для доменного ОДЕ должна выступать подынтегральная функция, что и показано на иллюстрации ниже.

Использование дополнительного ODE-интерфейса для вычисления интеграла по времени.

В чем польза подобной техники? Полученный интеграл можно повторно использовать в других физических интерфейсах, поля в которых могут зависеть от накопленной в системе энергии. Более того, полученный резултат будет мгноменно доступен для всех видов постобработки, что удобнее и быстрее, чем использование встроенных операторов. Рекомендуем ознакомится с моделью Carbon Deposition in Hetereogeneous Catalysis (Образование сажевых отложений при гетерогенном катализе), в которой ОДЕ в области используется для вычисления пористости катализатора при наличии химических реакций в виде нестационарной полевой переменной.

Вычисление интеграла от аналитических функций и выражений

До сих пор мы демонстрировали, каким образом вычислять интеграл от искомых переменных в процессе расчета или при постобработке. Но не касались случая взятия интегралов от аналитических функций или выражений. Для этой операции в среде COMSOL доступен встроенный оператор integrate(expression, integration variable, lower bound, upper bound).

Выражение может представлять собой любую одномерную функцию, например sin(x). При этом допускается включение дополнительных переменных, например sin(x*y). Второй параметр определяет, по какой переменной вычисляется интеграл. Например, integrate(sin(x*y),y,0,1) выдает функцию переменной x, потому что интегрирование выполняется только по переменной y. Обратите внимание, что данный оператор также может использоваться для работы с аналитическими функциями, заданными в узле Definitions (Определения) текущего компонента.

Добавление аналитической функции.
Вычисление интеграла от аналитической функции.

Материалы для дальнейшего изучения

Уравнения движения. Движение заторможенного автомобиля — Эксперт Никонов Владимир Николаевич — Статьи

Это – первая лекция из цикла, посвященного экспертному анализу движения автомобилей. Уравнения движения тел под действием внешних сил были даны в фундаментальном труде Ньютона «Математические начала натуральной философии» в 1687г. Большая часть формул в методиках автотехнической экспертизы получена из этих уравнений движения, как частные решения.

Адвокатам же будет интересно узнать, что при наличии современного компьютера одних только уравнений движения достаточно для анализа движения автомобиля, а в остальных формулах просто нет необходимости. Это дает возможность легко проверить решение автоэксперта, полученного с использованием программы типа PC-Crash или иным способом.

Интересно, как сам Ньютон сформулировал свой 2-й закон:

Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Если какая-нибудь сила производит некоторое количество движения, то двойная сила произведет двойное, тройная – тройное, будут ли они приложены разом все вместе, или же последовательно и постепенно. Это количество движения, которое всегда происходит по тому же направлению, как и производящая его сила, если тело уже находилось в движении, при совпадении направлений прилагается к количеству движения тела, бывшему ранее, при противоположности – вычитается, при наклонности – прилагается наклонно и соединяется с бывшим ранее, сообразно величине и направлению каждого из них.

Задача этой лекции – дать первичные знания о законах движения, которые пригодятся как адвокатам по ДТП, так и экспертам, которые подчас «устанавливают» механизм движения путем «размахивания руками» или катания игрушечной машинки по столу.

Целями данной лекции являются:
· дать понятия, что такое производная и интеграл;
· что такое дифференциальное уравнение и как его интегрировать численно;
· решить простейшую практическую задачу – рассчитать движение заторможенного автомобиля.

Производная и интеграл В конце 17 века в Европе были две крупные математические школы – Лейбница и Ньютона. И обе эти школы пришли к созданию дифференциального и интегрального исчисления, мощного инструмента, без которого наука далее бы не развивалась.

Пусть есть некоторая величина f, которая зависит от x по некоторому закону, который задан некоторой формулой. Тогда говорят, что имеется функция f(x). Для некоторого значения аргумента x=x₀ значение функции есть f(x₀). Возьмем значение аргумента x, большее чем x₀ на малую величину дельта x (греческие символы в тексте не выводятся, поэтому пишу по-русски). Тогда в соседней точке x значение функции будет другое – f(x), отличающееся от величины f(x₀) на дельта y. Частное от деления дельта y на дельта x будет тангенсом угла хорды, проведенной на графике функции, как на рисунке выше.

Уменьшая в пределе величину дельта x, получим, что хорда превратилась в касательную к графику функции в точке x, имеющую угол a к оси x. Производной и называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, и записывается это в таких вариантах

То есть латинская буква d заменяет греческую «дельта», когда величины после этой буквы очень малы, и обозначает дифференциал. Для упрощения производную можно обозначать штрихом, вторую производную (производную от производной) – двумя штрихами и т.д. (на самом деле это римские цифры).

Если аргументом функции является время, то производная вместо штриха может обозначаться точкой сверху. Например

Таблицы производных от основных функций можно посмотреть в Интернете.

Интегрирование – процесс, обратный дифференцированию, когда надо найти первообразную функцию, производная которой известна. Например

Таблицы интегралов так же есть в Интернете.

Для целей этой лекции интерес представляют уравнения, связывающие время, путь, скорость и ускорение автомобиля. Если известна зависимость пути s от времени t, или функция s(t), то первая производная от нее по времени есть зависимость скорости от времени v(t), а вторая (или первая производная от скорости) – зависимость ускорения от времени a(t)

И наоборот, если известна зависимость ускорения от времени a(t), то зависимость скорости от времени v(t) есть интеграл от этой функции, а зависимость пути от времени s(t) есть двойной интеграл от функции ускорения a(t), или интеграл от функции скорости v(t)

В формуле выше появились постоянные интегрирования – начальная скорость v₀ и начальный путь s₀.

Юристам, очевидно, пока не понятно, как этими формулами конкретно пользоваться, но сейчас это развеется. Следует отметить, что даже первой группы формул выше достаточно для производства расчетов движения при наличии компьютера, головы и простой вычислительной программы.

Дифференциальное уравнение движения и как его интегрировать численно В современных терминах 2-й закон Ньютона записывается так

где s(t) – зависимость пути от времени, а две точки сверху есть ни что иное, как ускорение, m – это, конечно, масса, а F – это внешняя сила.

Запишем эту формулу в виде, где ускорение есть первая производная от скорости v(t), или, собственно, в формулировке Ньютона

А теперь выделим дифференциал скорости

Пусть сила F – сила, действующая на автомобиль при торможении. Тогда она равна произведению массы автомобиля m на ускорение силы тяжести g и на коэффициент сцепления шин с дорогой f, или F=mgf. Тогда масса m в числителе и знаменателе сократится, а произведение gf=j называют замедлением. Замедление – это отрицательное ускорение. Тогда 2-й закон Ньютона принимает вид

Прочитаем то, что получилось, по-русски: в каждый момент времени дифференциал, или малое изменение (при торможении – уменьшение) скорости есть произведение значения замедления в этот момент времени на дифференциал, или малый интервал, времени. Или, проще

Пусть в некоторый момент времени автомобиль имеет скорость v₀. Тогда зная значения замедления в этот момент времени и задав малое приращение времени можно просто вычислить значение уменьшения скорости. Вычитая это уменьшение из значения v₀, получаем новое значение начальной скорости и повторяем все сначала, пока скорость не станет равной нулю.

Спрашивается, каким же малым должно быть значение приращения времени, 0.01с, 0.001с, …? Это – не вопрос. Компьютеру это по силам, и об этом — ниже.

А путь автомобиля? Путь можно посчитать путем суммирования произведений скорости в каждый момент времени на приращение времени.

Расчет движения заторможенного автомобиля Рассмотрим, например, движение заторможенного автомобиля по сухому асфальту с момента срабатывания тормозной системы до момента остановки. После блокировки колес замедление автомобиля j нарастает по линейному закону от нуля до установившегося значения 6.8 м/с² за время нарастания замедления 0.35 с, и далее составляет те же 6.8 м/с² вплоть до полной остановки. Это можно описать билинейной функцией

Берем программу Mathcad, на ее листе опишем эту функцию и выведем ее график для контроля.

Как видно из рисунка выше пока все правильно.

Зададим начальные данные: интервала времени расчета дельта-t как 0.001 с, начальная скорость автомобиля v₀=40 км/ч, начальный путь s₀=0 м, начальное значение времени t₀=0 с, время расчета движения автомобиля T=2 с.

Тогда скорость и путь автомобиля компьютеру придется считать для N значений времени, где N=2/0.001=2000.

Пусть некий параметр i пробегает значения от 1 до 2000. Для каждого значения i посчитаем значения времени, скорости и пути как

Вот как это записать на листе Mathcad

И это – все! Решение получено. Оно содержится в трех таблицах, в первой – в каждой строке время, во второй – скорость в это время, в третьей – путь в это время.

Найдем во второй таблице строку, где скорость автомобиля близка к нулю. Это строка № 1808. Время в первой таблице, соответствующее этому номеру строки, равно 1.808 с, путь в третьей таблице – 10.976 м.

Несколько время 1.808 с и путь 10.976 м точны? Это можно проверить уменьшением интервала времени расчета дельта-t, например принять значение 0.0001 с, или в 10 раз меньше. Современный пентиум выдержит, а мы сравним время и путь при скорости автомобиля близкой к нулю. Точно в ноль попасть сложно, так как это – численный метод, а не аналитический.

В строке №18089 второй таблицы видим значение скорости 0.000904 км/ч, или, практически, ноль. В соответствующих строках первой и третьей таблиц видим время 1.8089, путь 10.986. То есть, из сравнения с предыдущим результатом, погрешность последнего расчета по времени составляет около 0.001 с, по пути – около 0.01 м. Если считаем что это много, снова уменьшаем интервал времени расчета дельта-t – уже до 0.00001 и повторяем расчет.

Новые значения в строках №180867 времени остановки – 1.80857 с, пути – 10.987 м. Или, из сравнения с предыдущим результатом, погрешность по времени составляет около 0.00033 с, по пути – около 0.001м, или 1 мм.

В заключении эксперта вполне достаточно написать, что расчетное время торможения составляет 1.81с, расчетный путь в заторможенном состоянии – 10.99м.

Надо ли печатать три таблицы с 20-200 тысячами строк в заключении эксперта или приложении к нему? Наверное, нет, если не потребуют особо. Согласно ст.25 ФЗ №73 от 31 мая 2001 г. «О государственной судебно-экспертной деятельности в Российской Федерации», материалы, иллюстрирующие заключение эксперта или комиссии экспертов, прилагаются к заключению и служат его составной частью. Документы, фиксирующие ход, условия и результаты исследований, хранятся в государственном судебно-экспертном учреждении. По требованию органа или лица, назначивших судебную экспертизу, указанные документы предоставляются для приобщения к делу.

Поэтому в заключении эксперта лучше представить расчетные данные визуально, как график зависимости скорости от времени

график зависимости пути от времени

и график зависимости скорости от пути

Вполне может сложиться ситуация, когда суд запросит таблицы или их части. Например, если автоэксперт насчитает, имел или не имел водитель техническую возможность остановиться, играя на 2-3 последних сантиметрах тормозного пути.

Проверка результатов Из методики автотехнической экспертизы путь автомобиля в заторможенном состоянии составляет (26 заменено на точное значение 2х3.6²)

Разность в 0.035 м, или в 3.5 см, между 11.022 м по формуле традиционной автоэкспертизы и 10.987 м численным расчетом с точностью до 1 мм – большая, и вызывает сомнения в точности либо численного расчета, либо традиционных формул. Кто прав, Ньютон или «основоположники от Минюста»?

Прав Ньютон. Дело в том, что отцы-основатели автоэкспертизы при выводе формул остановочного или иного пути автомобиля, где участвует время нарастания замедления t₃, выкинули некоторые члены из формул ввиду их малости и дабы у экспертов голова не болела. Строгий вывод формулы приведен в приложении к этой статье, и точное значение пути автомобиля действительно

Таким образом, численные методы точнее традиционных методик.

Итоги Итак, адвокаты и юристы, специализирующиеся на ДТП, из этой лекции получили представление о том, как работают специальные компьютерные программы, моделирующие движение автомобилей и их столкновения. В самом деле, кто мешает вместо графика зависимости скорости от времени красиво нарисовать или анимировать положение автомобиля во время торможения?

Юристы, адвокаты и эксперты убедились, что численное решение дифференциального уравнения второго порядка на самом деле достаточно простая процедура, которую, однако, проблемно провести без компьютера. В то время как для аналитического решения надо иметь, как минимум, высшее техническое образование, которого нет даже у многих автоэкспертов.

В дальнейших лекциях будет показано, как аналогично можно смоделировать движение автомобиля с вращением, заторможенного или не заторможенного. А цель этих лекций, научить проверять экспертизы, выполненные с помощью специальных программ, оправдывает легкий экскурс в высшую математику.

Юристы и адвокаты, специализирующиеся на ДТП, ранее узнали, что в традиционной методике автоэкспертизы есть грехи. Из этой лекции они узнали, что ошибки вследствие упрощения так же свойственны методикам, ориентированным на ручной счет.

В целом же, эти лекции направлены на создание на «Праворубе» сервиса, позволяющего решать многие задачи реконструкции ДТП в интерактивном режиме.

Литература:
1. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Пер. с латинского А.Н.Крылова. – М.: Издательство АН СССР, 1936.
2. Цывильский В. Л. Теоретическая механика: Учеб. для втузов. – М.: Высш. шк., 2001.
3. Суворов Ю.Б. Судебная дорожно-транспортная экспертиза. – М.: Экзамен, 2003.

Следующая лекция «Уравнения движения. Момент инерции автомобиля»

Все статьи автора на Праворубе.

Kinematics and Calculus — The Physics Hypertextbook

Обсуждение

постоянное ускорение

Исчисление — это сложная математическая тема, но она значительно упрощает вывод двух из трех уравнений движения. По определению, ускорение — это первая производная скорости по времени. Возьмите операцию в этом определении и отмените ее. Вместо того, чтобы дифференцировать скорость, чтобы найти ускорение, интегрируйте ускорение, чтобы найти скорость. Это дает нам уравнение скорость-время.Если мы предположим, что ускорение постоянное, мы получим так называемое первое уравнение движения [1].

а	=
дв	=	и dt

	=
v — v ₀	=	при

в	=	v ₀ + при [1]

Опять же, по определению, скорость — это первая производная положения по времени.Выполните эту операцию в обратном порядке. Вместо того, чтобы различать положение для определения скорости, интегрируйте скорость, чтобы найти положение. Это дает нам уравнение положения-времени для постоянного ускорения, также известное как второе уравнение движения [2].

v dt

( v ₀ + at ) dt

т
⌠ ⌡	( v ₀ + at ) dt
0

с — с ₀

v ₀ t + ½ при ²

s ₀ + v ₀ t + ½ при ² [2]

В отличие от первого и второго уравнений движения, нет очевидного способа вывести третье уравнение движения (то, которое связывает скорость с положением) с помощью расчетов.Мы не можем просто перепроектировать это по определению. Нам нужно разыграть довольно изощренный трюк.

Первое уравнение движения связывает скорость со временем. По сути, мы вывели его из этой производной…

Второе уравнение движения связывает положение со временем. Это произошло от этой производной…

Третье уравнение движения связывает скорость с положением. По логике, это должно происходить от производной, которая выглядит так…

Но что это значит? Ну, ничего по определению, но, как и все количества, оно равно самому себе.Оно также равно самому себе, умноженному на 1. Мы будем использовать специальную версию 1 (^dt _dt) и специальную версию алгебры (алгебру с бесконечно малыми). Посмотрите, что происходит, когда мы это делаем. Мы получаем одну производную, равную ускорению (^dv _dt), и другую производную, равную обратной скорости (^dt _ds).

дв	=	дв	1
DS		DS
дв	=	дв	дт
DS		DS	дт
дв	=	дв	дт
DS		дт	DS
дв	=	a	1
DS			в

Следующий шаг, разделение переменных.Соберите вместе похожие вещи и интегрируйте их. Вот что мы получаем при постоянном ускорении…

		=
в дв		=	и DS

		=
½ ( v ² — v ₀ ²)		=	a ( с — с ₀)

	в ²	=	v ₀ ² + 2 a ( s — s ₀) [3]

Безусловно, умное решение, и оно было не так уж сложно, чем первые два варианта.Однако на самом деле это сработало только потому, что ускорение было постоянным — постоянным во времени и постоянным в пространстве. Если бы ускорение каким-либо образом менялось, этот метод был бы неудобно трудным. Мы вернемся к алгебре, чтобы спасти свое рассудок. Не то чтобы в этом что-то не так. Алгебра работает, а здравомыслие стоит сэкономить.

v =	v ₀ + при	[1]
		+
с =	s ₀ + v ₀ t + ½ при ²	[2]
		=
v ² =	v ₀ ² + 2 a ( с — с ₀)	[3]

постоянный рывок

Показанный выше метод работает даже при непостоянном ускорении.Применим его к ситуации с необычным названием — постоянный рывок. Нет лжи, вот как это называется. Рывок — это скорость изменения ускорения во времени.

Это делает рывком первую производную ускорения, вторую производную скорости и третью производную положения.

j =	да	=	d ² v	=	d ³ s
	дт		дт ²		дт ³

Единица рывка в системе СИ — это метров в секунду в кубе .

⎡ ⎢ ⎣	м / с ³	=	м / с ²	⎤ ⎥ ⎦
			с

Альтернативная единица измерения — г в секунду .

Jerk — это не просто ответ некоторых мудрых физиков на вопрос: «Ах да, так как вы называете третьей производной от позиции ?» Рывок — это значимая величина.

Человеческое тело оснащено датчиками, определяющими ускорение и рывки.Глубоко внутри уха, интегрированные в наши черепа, находится серия камер, называемых лабиринтом . Часть этого лабиринта посвящена нашему чувству слуха (улитка ), а часть — нашему чувству равновесия (вестибулярная система ). Вестибулярная система оснащена датчиками, определяющими угловое ускорение (полукружные каналы , ) и датчиками, определяющими линейное ускорение (отолиты , ). У нас есть два отолита в каждом ухе — один для определения ускорения в горизонтальной плоскости (мешок ) и один для определения ускорения в вертикальном положении (мешочек ).Отолиты — это наши собственные встроенные акселерометры.

Слово отолит происходит от греческого οτο ( oto ) для уха и λιθος ( lithos ) для камня. Каждый из наших четырех отолитов состоит из твердой костеподобной пластины, прикрепленной к мату из сенсорных волокон. Когда голова ускоряется, пластина смещается в сторону, изгибая сенсорные волокна. Это посылает в мозг сигнал: «Мы ускоряемся». Поскольку гравитация также действует на пластины, сигнал может также означать, что «это путь вниз».«Мозг довольно хорошо понимает разницу между двумя интерпретациями. Настолько хорош, что мы склонны игнорировать это. Зрение, звук, запах, вкус, прикосновение — где баланс в этом списке? Мы игнорируем его, пока что-то не изменится в необычный, неожиданный или экстремальный способ.

Я никогда не был на орбите и не жил на другой планете. Гравитация всегда одинаково тянет меня вниз. Стоять, ходить, сидеть, лежать — все это довольно степенно. А теперь давайте сядем на американские горки или займемся не менее захватывающим занятием, например, катанием на горных лыжах, гонками Формулы-1 или ездой на велосипеде в пробках Манхэттена.Ускорение направлено сначала в одну сторону, затем в другую. Вы даже можете испытывать кратковременные периоды невесомости или инверсии. Подобные ощущения вызывают интенсивную умственную деятельность, поэтому нам нравится их выполнять. Они также обостряют нас и удерживают сосредоточенность в моменты, которые, возможно, заканчиваются жизнью, поэтому мы в первую очередь развили это чувство. Ваша способность чувствовать подергивание жизненно важна для вашего здоровья и благополучия. Рывок одновременно увлекателен и необходим.

С постоянным рывком легко справиться математически.В качестве обучающего упражнения выведем уравнения движения для постоянного рывка. Если хотите, можете попробовать более сложные задачи с толчком.

Рывок — это производная от ускорения. Отменить этот процесс. Интегрируйте рывок, чтобы получить ускорение в зависимости от времени. Я предлагаю называть это нулевым уравнением движения для постоянного рывка . Причина станет очевидной после того, как мы закончим следующий вывод.

j =	да
	дт
да =	j dt

а		т
⌠ ⌡	да =	⌠	j dt
а ₀		0

a — a ₀ =	jt
a — a ₀ =	jt
a =	a ₀ + jt	[0]

Ускорение — это производная скорости.Интегрируйте ускорение, чтобы получить скорость как функцию времени. Мы делали этот процесс раньше. Мы назвали результат соотношением скорость-время или первым уравнением движения, когда ускорение было постоянным. Мы должны дать ему похожее имя. Это первое уравнение движения для постоянного рывка .

а =

дв =	a dt

дв =	( a ₀ + jt ) dt

в		т
⌠ ⌡	дв =	⌠	( a ₀ + jt ) dt
v ₀		0

v — v ₀ =	a ₀ т + ½ jt ²

v =	v ₀ + a ₀ t + ½ jt ²	[1]

Скорость — это производная от смещения.Интегрируйте скорость, чтобы получить смещение как функцию времени. Мы тоже это делали раньше. Результирующая зависимость смещения от времени будет нашим уравнением движения секунд для постоянного рывка .

v =

DS =	v dt

DS =	( v ₀ + a ₀ t + ½ jt ²) dt

с		т
⌠ ⌡	DS =	⌠	( v ₀ + a ₀ t + ½ jt ²) dt
с ₀		0

с — с ₀ =	v ₀ t + ½ a ₀ t ² + ⅙ jt ³

с =	s ₀ + v ₀ t + ½ a ₀ t ² + ⅙ jt ³	[2]

Обратите внимание на эти уравнения.Когда рывок равен нулю, все они возвращаются к уравнениям движения для постоянного ускорения. Нулевой рывок означает постоянное ускорение, так что все в порядке с миром, который мы создали. (Я никогда не говорил, что постоянное ускорение — это реальность. Постоянный рывок тоже миф. Однако в мире гипертекстов все возможно.)

Куда мы пойдем дальше? Должны ли мы работать над соотношением скорость-смещение (третье уравнение движения для постоянного рывка)?

v =	v ₀ + a ₀ t + ½ jt ²	[1]
		+
с =	s ₀ + v ₀ t + ½ a ₀ t ² + ⅙ jt ³	[2]
		=
v =	f ( s )	[3]

Как насчет зависимости ускорения от смещения (четвертое уравнение движения для постоянного рывка)?

а =	a ₀ + jt	[1]
		+
с =	s ₀ + v ₀ t + ½ a ₀ t ² + ⅙ jt ³	[2]
		=
а =	f ( s )	[4]

Я даже не знаю, можно ли их вычислить алгебраически.Я сомневаюсь в этом. Посмотрите на это страшное кубическое уравнение для смещения. Это не может быть нашим другом. На данный момент меня это не беспокоит. Не знаю, расскажет ли мне про это что-нибудь интересное. Я, –, знаю, что мне никогда не требовалось третье или четвертое уравнение движения для постоянного рывка — пока нет. Я оставляю эту задачу математикам всего мира.

Это проблема, которая отличает физиков от математиков. Математика не обязательно заботит физическая значимость, и он может просто поблагодарить физика за интересный вызов.Физика не обязательно заботит ответ, если он не окажется полезным, и в этом случае физик обязательно поблагодарит математика за его любопытство.

постоянное ничего

Эта страница в этой книге не о движении с постоянным ускорением, постоянным рывком, постоянным щелчком, треском или треском. Речь идет об общем методе определения количества движения (положения, скорости и ускорения) относительно времени и друг друга для любого вида движения.Для этого используется либо дифференцирование (нахождение производной)…

Производная положения по времени — это скорость ( v = ^ds _dt).
Производная скорости по времени — это ускорение ( a = ^dv _dt).

или интегрирование (нахождение интеграла)…

Интеграл ускорения во времени — это изменение скорости (∆ v = ∫ a dt ).
Интеграл скорости во времени — это изменение положения (∆ с = ∫ v dt ).

Вот как это работает. Некоторая характеристика движения объекта описывается функцией. Можете ли вы найти производную от этой функции? Это дает вам еще одну характеристику движения. Можете ли вы найти его интеграл? Это дает вам другую характеристику. Повторите любую операцию столько раз, сколько необходимо. Затем примените методы и концепции, которые вы изучили в исчислении и связанных областях математики, чтобы извлечь больше смысла — диапазон, область, предел, асимптота, минимум, максимум, экстремум, вогнутость, перегиб, аналитический, числовой, точный, приблизительный и т. Д.Я добавил несколько важных замечаний по этому поводу в резюме по этой теме.

Расчет

— Что означает интеграл положения относительно времени?

$ \ newcommand {\ Reals} {\ mathbf {R}} \ newcommand {\ Vec} [1] {\ mathbf {# 1}} $ tl; Д-р: Это правда, что «скорость — это производная от положения», но «ускорение — это производная от скорости» — это , а не в том же смысле: понятие скорости не зависит от произвольных изменений координат, а ускорение — нет; вы должны оборудовать пространство «дополнительной структурой», прежде чем вы сможете понять ускорение (которое становится «ковариантной производной» скорости).В этой структуре «интеграл позиции» не имеет даже математического значения; нет возможности добавлять позиции.

Предупреждение : Я не знаю, как выразить эти идеи, не выходя за рамки обычной школьной программы. Тем не менее, я попытался исключить технические детали и более глубокие материалы в виде веб-ссылок.

Давайте сначала рассмотрим неявные посылки поближе:

Скорость — это производная от позиции.

Ускорение — это производная скорости.{n} $, которые мы неосознанно «раскладываем на составные функции»: $$ \ Vec {x} (t) = \ bigl (x_ {1} (t), x_ {2} (t), \ dots, x_ {n} (t) \ bigr), \ quad t \ in I. \ tag {1}

Если положение нашей частицы непрерывно дифференцируемо, мы определяем скорость как $$ \ Vec {x} ‘(t) = \ bigl (x_ {1}’ (t), x_ {2} ‘(t), \ dots, x_ {n}’ (t) \ bigr), \ quad t \ в I. \ tag {2a} $$ Если положение дважды дифференцируемое, мы определяем ускорение как $$ \ Vec {x} » (t) = \ bigl (x_ {1} » (t), x_ {2} » (t), \ dots, x_ {n} » (t) \ bigr), \ quad т \ в I.\ tag {3a}

Более пристальное рассмотрение приводит нас к более осторожной точке зрения: декартовы координаты, которые мы считали само собой разумеющимися, не присущи пространству; это дополнительная структура, которую мы наложили . В этом духе мы должны спросить, зависят ли предыдущие определения от выбора координат.

Примечательно, что скорость «трансформируется линейно (т. Е. Как тензор) при изменении координат». Ускорения нет.

Чтобы понять, почему, пусть $ \ phi $ представляет преобразование координат и напишет $ \ Vec {y} = \ phi (\ Vec {x}) $ для координатного представления положения нашей частицы в «новых» координатах.По правилу (многопараметрической) цепочки, $$ \ Vec {y} ‘(t) = D \ phi (\ Vec {x}) \, \ Vec {x}’ (t). \ tag {2b} $$ Координатное представление скорости нашей частицы в новой системе является линейной функцией координатного представления в старой системе.

Напротив, дифференцирование (2b) и использование правила произведения дает $$ y » (t) = D \ phi (\ Vec {x}) \, \ Vec {x} » (t) + \ bigl [D \ bigl (D \ phi (\ Vec {x}) \ bigr) \ Vec {x} ‘(t) \ bigr] \ Vec {x}’ (t). \ tag {3b} $$ Первый член справа — это «приятная» часть, которая преобразуется как тензор; второй член включает в себя вторые производные изменения координаты и является нелинейным в $ \ Vec {x} ‘$ .Если ускорение частицы должно преобразовываться как тензор, мы должны либо

Ограничить набор «допустимых» изменений координаты, или
Измените наше понятие дифференциации, чтобы отменить второй член.

Подход элементарного исчисления и физики можно рассматривать как фиксирующий евклидову метрику и допускающий только изменения координат, которые сохраняют эту дополнительную структуру. Если $ \ phi $ — жесткое (евклидово) движение, то первая производная $ D \ phi $ является постоянным полем линейных преобразований, а вторая производная обращается в нуль, поэтому (3b) принимает вид $$ \ Vec {y} » (t) = D \ phi (\ Vec {x}) \ Vec {x} » (t).

Подход безкоординатной механики и общей теории относительности состоит в том, чтобы зафиксировать риманову метрику и заменить покомпонентную производную ковариантным дифференцированием. (Сравните второй член справа в (3b) со вторыми частичными числами $ \ Psi $, фигурирующими в статье Википедии о символах Кристоффеля.)

Подводя итог предыдущему обсуждению:

В элементарном исчислении и физике положение, скорость и ускорение моделируются упорядоченными наборами действительных чисел $ n $, т.е.{n} $.
При более внимательном рассмотрении положение точечной частицы моделируется точкой в гладком $ n $ -многообразии $ M $; скорость — элемент касательного расслоения к $ M $; ускорение либо
1. Элемент второго касательного расслоения $ T (TM) $ (если не накладывать дополнительную структуру на $ M $), или
2. Элемент $ TM $ (если мы используем соединение для идентификации горизонтальной подгруппы $ T (TM) $ с $ TM $).

При всем этом понимании трудно понять, что даже подразумевается под «интегралом положения» в координатно-инвариантном смысле.В общих чертах, интегрирование — это процесс суммирования, но позиции — точки многообразия — не могут быть добавлены каким-либо очевидным естественным образом. (Чтобы из вычесть точек координатно-инвариантным образом, нам пришлось построить совершенно новое пространство , касательное расслоение $ TM $.)

Кроме того, можно было бы наивно ожидать, что «производная от« интеграла положения по времени »- это положение (с точностью до аддитивной константы)». Если бы «интеграл положения» можно было бы интерпретировать как путь в некотором многообразии $ P $, производная этого пути тогда «жила бы» как в $ TP $, так и в $ M $; это невозможно, поскольку «большинство» многообразий $ M $ не является тотальным пространством касательного расслоения другого многообразия.

Хотя эти наблюдения не являются окончательными (возможно, с возрастом я теряю воображение), они настоятельно предполагают, что

В рамках дифференциальной геометрии «интеграл положения по времени» не имеет математического (а тем более физического) смысла.
Любое полезное определение «интеграла положения по времени» потребует фундаментальной переформулировки понятия положения .
Помимо интерпретаций в рамках евклидовой геометрии (которые, как я полагаю, «не особенно интересны»), выражение $$ \ int \ Vec {x} (t) \, dt = \ left (\ int x_ {1} (t) \, dt, \ int x_ {2} (t) \, dt, \ dots, \ int x_ {3} (t) \, dt \ right) $$ не имеет смысла.(В отличие от «интеграла положения относительно положения», из которого можно извлечь, например, теорию и приложения линейных интегралов.)

Фундаментальная теорема исчисления — интегрирование функции скорости

Интегрирование функции скорости

Когда скорость неотрицательна

Опять же, давайте предположим, что мы едем по шоссе в поисках пропитания на заправочной станции. Мы действительно могли вычислить пройденное расстояние, зная нашу скорость и время, потраченное на поиски.

Мы можем использовать только формулу

расстояние = скорость × время

, если скорость постоянна на рассматриваемом временном интервале. Если построить график времени по горизонтальной оси и (постоянной) скорости по вертикальной оси, мы получим следующую картину:

Площадь этого прямоугольника равна скорости × время, что равно расстоянию. Площадь этого прямоугольника также является определенным интегралом (постоянной) функции скорости на [ a , b ].В символах, когда скорость постоянна и положительна на [ a , b ], пройденное расстояние от t = a до t = b равно

Пример задачи

Автомобиль едет со скоростью v ( t ) = 60 миль в час. Как далеко машина уезжает за 20 минут?

Ответ.

20 минут составляют одну треть часа, поэтому

Это область между графиком постоянной функции v ( t ) = 60 и осью t на интервале (или на любой другой интервал продолжительностью час).

Если скорость непостоянна, непонятно, как применить формулу

расстояние = скорость × время.

Что мы используем для скорости? Один из подходов состоит в том, чтобы представить, что скорость является постоянной : выберите одно разумное значение для скорости и сделайте вид, что это скорость для всего временного интервала.

Если мы хотим получить более точную оценку пройденного расстояния, мы можем разбить временной интервал на подинтервалы и сделать вид, что скорость постоянна на каждом подынтервале.

Пример задачи

Предположим, что скорость Джен в милях в час измерялась каждые десять минут в течение одного часа, и что ее скорость уменьшалась в течение этого часа. Записанные значения показаны в таблице ниже. Оцените, как далеко проехала Джен за час.

Ответ.

Мы не знаем, насколько быстро Джен двигалась в каждую минуту часа, но мы можем представить, что она ехала со скоростью 60 миль в час в течение первых десяти минут. Точно так же мы можем притвориться, что она ехала

55 миль в час с т = 10 до т = 20 минут

50 миль в час с т = 20 до т = 30 минут

40 миль в час с т = От 30 до т = 40 минут

35 миль / ч от т = от 40 до т = 50 минут

25 миль / ч от т = от 50 до т = 60 минут.

В реальной жизни ее скорость, вероятно, будет выглядеть примерно так

, но, чтобы упростить задачу, мы притворимся, что ее скорость выглядит так:

Используя формулу

расстояние = скорость × время

на каждый десятиминутный подинтервал, мы оцениваем, что

Суммируя расчетное расстояние для каждого 10-минутного подинтервала, мы оцениваем, что за полный час Джен прошла

10 + 9,2 + 8.3 + 6,7 + 5,8 + 4,2 = 44,2 мили.

На каждом подинтервале мы приближаем скорость Джен. Она не разгонялась до 60 миль в час все первые десять минут, поэтому этот ответ является оценкой того, как далеко на самом деле проехала Джен.

В приведенном выше примере мы действительно использовали левую сумму с 6 подинтервалом для оценки

Верхний предел интегрирования равен 1, потому что функция v ( t ) ожидает t быть в часах.

Когда мы используем значения функции скорости и суммы справа или слева, чтобы приблизить расстояние, пройденное от времени t = a до времени t = b , мы также приближаем интеграл от функция скорости на [ a , b ].

Если функция скорости выглядит так:

и мы притворяемся, что это выглядит так:

, тогда площадь прямоугольника на каждом подинтервале является нашей оценкой того, как далеко гепард, улитка или что-то еще путешествовал во время этого подинтервала.

По мере того, как наши измерения скорости становятся ближе друг к другу, наши оценки приближаются к реальному пройденному расстоянию. Наши оценки также приближаются к интегралу функции скорости. Поскольку наши оценки не могут относиться к двум разным вещам, реальное пройденное расстояние и интеграл функции скорости должны быть одинаковыми.В символах, когда v ( t ) неотрицательно,

Отрицательная скорость
Скорость — это вектор, то есть он имеет как величину, так и направление. «Направление» скорости может быть положительным или отрицательным. Положительные и отрицательные скорости описывают движение в противоположных направлениях. В Dance Dance Revolution негатив будет перемещаться либо влево, либо назад, а положительный — в направлении стрелок вперед и вправо. Однако, если игрок повернется на 90 градусов, относительное отрицательное и положительное направления могут измениться.ГДР войдет в базарный мир, но это может произойти. Контекст проблемы подскажет вам, как интерпретировать положительные и отрицательные скорости для этой проблемы.
Примеры задач
1) Пусть v ( t ) будет скоростью ползания ошибки назад и вперед по оси x . Когда v ( t ) положительный, ошибка перемещается вправо:
Когда v ( t ) отрицательное, ошибка перемещается влево.
2) Кальвин едет на велосипеде от своего дома со скоростью v ( t ).
Если v ( t ) отрицательное, это означает, что Кэлвин едет на велосипеде к своему дому.
3) Птица летит на север со скоростью v ( t ).
Если значение v ( t ) отрицательное, это означает, что птица летит на юг.
Скорость — величина или абсолютное значение скорости. Это означает, что скорость не может быть отрицательной!
Пример задачи
Пусть v ( t ), в единицах в секунду, будет скоростью ползания ошибки назад и вперед по оси x .Когда v ( t ) = -5, это означает, что ошибка ползет влево со скоростью 5 единиц в секунду.
Когда на вопрос «насколько быстро» что-то происходит, вас спрашивают о скорости.
Пример задачи
Когда скорость Кальвина составляет -7 миль в час, как быстро он движется?
Ответ.
Вопрос касается скорости Кальвина, которая составляет 7 миль в час. Отрицательный знак указывает, в каком направлении движется Кальвин, но не имеет никакого отношения к его скорости.
Теперь, когда мы знаем, что означают отрицательные скорости, пришло время снова ввести в него интегралы и выяснить, что означают интегралы отрицательных скоростей.
Когда скорость неотрицательна, мы знаем, что
Когда скорость отрицательна, интеграл скорости также отрицателен. Мы можем представить это отрицательное значение как взвешенное расстояние .
Числовая часть указывает расстояние, а отрицательный знак указывает направление, которое противоположно направлению движения, когда v ( t ) положительно.
Возьмите область между v ( t ) и t -осью, которая находится над осью. Это общее расстояние, которое жук проходит вправо.
Возьмем область между v ( t ) и t -осью, ниже t -оси. Это общее расстояние, которое жук проходит влево.
Вычтите:
(расстояние, которое жук проходит вправо) — (расстояние, которое жук проходит влево) = 9-19 = -10.
Это чистое изменение положения ошибки с момента времени t = 0 до момента времени t = 10.
Мы нашли это чистое изменение, взяв взвешенную сумму площадей между v ( t ) и t -осью, что означает, что мы также только что нашли интеграл v ( t ) из От 0 до 10:
Независимо от единиц измерения, когда скорость равна 0, скорость также равна 0. Если что-то вообще не движется, оно не движется ни в каком направлении. Если v ( t ) — это скорость Кальвина от дома, измеренная в милях в час, тогда, когда v ( t ) = 0, Кэлвин не уходит от своего дома и не движется к своему дому. .
Изменение положения
Пусть v ( t ) будет функцией скорости на временном интервале [ a , b ]. Функция v ( t ) описывает движение чего-то — может быть, автомобиля, может эму, может быть бананового слизняка. Банановая пуля находится в некотором начальном положении, когда t = a , проходит некоторое расстояние от t = a до t = b , и находится в некоторой конечной позиции, когда t = b .
Если v ( t ) ≥ 0 на [ a , b ], то положительно и представляет собой расстояние, пройденное между временем t = a и временем t = b .
Мы могли бы также сказать
Если v ( t ) ≤ 0 на [ a , b ], то отрицательно и представляет собой расстояние, пройденное за время t = a и t = b , но в «противоположном» направлении.
Другими словами,
Если v ( t ) иногда отрицательно, а иногда положительно на [ a , b ], то это расстояние, пройденное в положительном направлении
минус расстояние, пройденное в отрицательном направлении
Мы также можем описать это как
. Независимо от того, является ли функция скорости положительной, отрицательной или немного от каждой,
Мы собираемся введите новую функцию s ( t ), чтобы мы могли записать это уравнение более компактно.Пусть
s ( t ) = позиция в момент времени t .
Таким образом, с ( a ) = позиция во время t = a , с ( b ) = позиция во время t = b и т. Д.
На интервале [ a , b ], s ( a ) — это положение машины или гепарда в начале интервала, а s ( b ) — положение автомобиля или гепарда в конец антракта.Изменение положения машины или гепарда за интервал [ a , b ] составляет
(конечное положение) — (начальное положение) = с ( b ) — с ( a )
Однако изменение положения машины или гепарда за интервал [ a , b ] тоже. Это означает
. Мы хотели бы отметить, что скорость является производной от положения (изменение положения во времени).В символах
v ( t ) = s ‘( t ).
Для следующих примеров и упражнений предположим, что s ( t ) — это функция положения, а v ( t ) = s ‘( t ) — функция скорости.
Уравнение
описывает взаимосвязь между тремя значениями: s ( a ) и s ( b ). Большинство задач, связанных с этим уравнением, дадут вам два из этих значений и попросят вас найти третье.
Вам может быть задано значение интеграла и одно из значений s ( a ) или s ( b ).
Мы работали с уравнением
в этой форме, потому что именно так обычно дается основная теорема исчисления. Однако мы также можем изменить уравнение
, добавив к обеим сторонам s ( a ), чтобы получить следующее:

Это преобразованное уравнение говорит, что если вы возьмете начальную позицию ( s ( a )) и добавьте изменение позиции, чтобы получить конечную позицию, s ( b ).
Некоторые задачи решаются легче, если мы используем преобразованное уравнение, особенно те, где нам дают s ( a ) и просят найти s ( b ).
Общее пройденное расстояние в зависимости от изменения положения
Есть разница между тем, как далеко кто-то проехал, и изменением его начальной и конечной позиций. Возьмем, к примеру, баскетболиста, выполняющего упражнения на самоубийство. Он переходит на одну линию и обратно к своей начальной точке, затем к дальней линии и обратно к своей начальной точке, и делает это несколько раз.К тому времени, как он закончил, он определенно прошел некоторое расстояние. Однако, поскольку он возвращается туда, где он начал, его изменение положения равно 0.
Когда мы интегрируем функцию скорости от t = a до t = b , мы получаем изменение. в положении между t = a и t = b . Если мы хотим узнать общее пройденное расстояние, мы должны сделать что-то другое. Мы не хотим, чтобы движение в противоположных направлениях отменялось, поэтому мы выясняем, как далеко мы едем в одном направлении
и как далеко мы едем в противоположном направлении
, а затем вместо вычитания складываем эти расстояния все вместе.Мы делаем вид, что все пройденные расстояния идут в одном направлении. Другой способ думать об этом состоит в том, что мы интегрируем абсолютное значение функции скорости | v ( t ) |.
Это дает нам общую (невзвешенную) площадь между функцией v ( t ) и горизонтальной осью.
Пример задачи
Кошка карабкается по дереву со скоростью, указанной на графике ниже.
Если кошка начинает с уровня земли (высота с (0) = 0 футов),
(a) насколько высока кошка, когда t = 8 секунд?
(б) какое общее расстояние проходит кошка от t = 0 до t = 8?
Ответов.
(a) Эта часть вопроса аналогична тем, которые мы делали ранее. Мы хотим узнать изменение положения кошки с t = 0 до t = 8, поэтому мы интегрируем функцию скорости, глядя на области на графике. Мы находим, что
, поэтому позиция кота при t = 8 составляет s (8) = 12 футов.
(b) В этой части вопроса задается вопрос об общем расстоянии, пройденном кошкой, что означает, что мы хотим его найти.
Для этого мы подсчитываем все области между графиком v ( t ) и горизонтальной осью положительно, чтобы получить
Это означает, что кошка прошла общее расстояние 18 футов.

5.4 Формулы интегрирования и теорема изменения чистоты — исчисление Том 1

Цели обучения

5.4.1 Примените базовые формулы интегрирования.
5.4.2 Объясните значение теоремы о чистом изменении.
5.4.3 Используйте теорему чистого изменения для решения прикладных задач.
5.4.4 Примените интегралы от нечетных и четных функций.

В этом разделе мы используем некоторые основные формулы интегрирования, изученные ранее, для решения некоторых ключевых прикладных задач.Важно отметить, что эти формулы представлены в виде неопределенных интегралов. Хотя определенные и неопределенные интегралы тесно связаны, следует помнить о некоторых ключевых различиях. Определенный интеграл — это либо число (когда пределы интегрирования являются константами), либо отдельная функция (когда один или оба предела интегрирования являются переменными). Неопределенный интеграл представляет собой семейство функций, каждая из которых отличается константой. По мере того, как вы ближе познакомитесь с интеграцией, вы почувствуете, когда использовать определенные интегралы, а когда — неопределенные.Вы, естественно, выберете правильный подход к данной проблеме, не слишком задумываясь об этом. Однако, пока эти концепции не закрепятся в вашем сознании, тщательно подумайте, нужен ли вам определенный интеграл или неопределенный интеграл, и убедитесь, что вы используете правильную нотацию на основе вашего выбора.

Основные формулы интегрирования

Вспомните формулы интегрирования, приведенные в таблице в разделе «Первообразные», и правило о свойствах определенных интегралов. Давайте посмотрим на несколько примеров того, как применять эти правила.

Пример 5.23

Интеграция функции с использованием правила мощности

Используйте правило мощности, чтобы интегрировать функцию ∫14t (1 + t) dt.∫14t (1 + t) dt.

Решение

Первый шаг — переписать функцию и упростить ее, чтобы мы могли применить правило мощности:

∫14t (1 + t) dt = ∫14t1 / 2 (1 + t) dt = ∫14 (t1 / 2 + t3 / 2) dt.∫14t (1 + t) dt = ∫14t1 / 2 (1 + t ) dt = ∫14 (t1 / 2 + t3 / 2) dt.

Теперь примените правило мощности:

. ∫14 (t1 / 2 + t3 / 2) dt = (23t3 / 2 + 25t5 / 2) | 14 = [23 (4) 3/2 + 25 (4) 5/2] — [23 (1) 3 / 2 + 25 (1) 5/2] = 25615.∫14 (t1 / 2 + t3 / 2) dt = (23t3 / 2 + 25t5 / 2) | 14 = [23 (4) 3/2 + 25 (4) 5/2] — [23 (1) 3 / 2 + 25 (1) 5/2] = 25615.

КПП 5.21

Найдите определенный интеграл от f (x) = x2−3xf (x) = x2−3x на интервале [1,3]. [1,3].

Теорема чистого изменения

Теорема чистого изменения рассматривает интеграл от скорости изменения . В нем говорится, что при изменении количества новое значение равно начальному значению плюс интеграл скорости изменения этого количества. Формулу можно выразить двумя способами.Второй более знаком; это просто определенный интеграл.

Теорема 5.6

Теорема о чистом изменении

Новое значение изменяющейся величины равно начальному значению плюс интеграл скорости изменения:

F (b) = F (a) + ∫abF ‘(x) dxor∫abF’ (x) dx = F (b) −F (a) .F (b) = F (a) + ∫abF ‘(x ) dxor∫abF ‘(x) dx = F (b) −F (a).

(5,18)

Вычитание F (a) F (a) из обеих частей первого уравнения дает второе уравнение. Поскольку это эквивалентные формулы, то, какую из них мы используем, зависит от приложения.

Значение теоремы о чистом изменении заключается в результатах. Чистое изменение может быть применено к площади, расстоянию и объему, если назвать лишь несколько приложений. Чистое изменение автоматически учитывает отрицательные количества без необходимости записывать более одного интеграла. Чтобы проиллюстрировать это, давайте применим теорему о чистом изменении к функции скорости, в которой результатом является смещение.

Мы рассмотрели простой пример этого в «Определенном интеграле». Предположим, автомобиль движется строго на север (положительное направление) со скоростью 40 миль в час между 2 часами.м. и 16:00, затем с 16:00 машина движется на юг со скоростью 30 миль в час. и 17:00 Мы можем изобразить это движение, как показано на рис. 5.32.

Рис. 5.32 На графике показана зависимость скорости от времени для данного движения автомобиля.

Как и раньше, мы можем использовать определенные интегралы для вычисления чистого смещения, а также общего пройденного расстояния. Чистое смещение равно

. ∫25v (t) dt = ∫2440dt + ∫45−30dt = 80−30 = 50. 25v (t) dt = ∫2440dt + ∫45−30dt = 80−30 = 50.

Таким образом, в 17:00 машина находится в 50 милях к северу от начальной позиции.Общее пройденное расстояние равно

. ∫25 | v (t) | dt = ∫2440dt + ∫4530dt = 80 + 30 = 110. 25 | v (t) | dt = ∫2440dt + ∫4530dt = 80 + 30 = 110.

Следовательно, между 14:00. и 17:00 автомобиль проехал в общей сложности 110 миль.

Подводя итог, чистое смещение может включать как положительные, так и отрицательные значения. Другими словами, функция скорости учитывает как расстояние вперед, так и расстояние назад. Чтобы найти чистое смещение, проинтегрируйте функцию скорости по интервалу. С другой стороны, общее пройденное расстояние всегда положительно.Чтобы найти общее расстояние, пройденное объектом, независимо от направления, нам нужно интегрировать абсолютное значение функции скорости.

Пример 5.24

Определение чистого смещения

Дана функция скорости v (t) = 3t − 5v (t) = 3t − 5 (в метрах в секунду) для частицы, движущейся с момента времени t = 0t = 0 до момента времени t = 3, t = 3, найти чистое смещение частицы.

Решение

Применяя теорему о чистом изменении, получаем

∫03 (3t − 5) dt = 3t22−5t | 03 = [3 (3) 22−5 (3)] — 0 = 272−15 = 272−302 = −32.∫03 (3t − 5) dt = 3t22−5t | 03 = [3 (3) 22−5 (3)] — 0 = 272−15 = 272−302 = −32.

Чистое водоизмещение –32–32 м (рис. 5.33).

Рис. 5.33 На графике показана зависимость скорости частицы от времени с линейной функцией скорости.

Пример 5.25

Определение общего пройденного расстояния

Используйте пример 5.24, чтобы найти полное расстояние, пройденное частицей согласно функции скорости v (t) = 3t − 5v (t) = 3t − 5 м / сек за интервал времени [0,3]. [0,3] ].

Решение

Общее пройденное расстояние включает как положительные, так и отрицательные значения.Следовательно, мы должны проинтегрировать абсолютное значение функции скорости, чтобы найти общее пройденное расстояние.

Чтобы продолжить пример, используйте два интеграла, чтобы найти общее расстояние. Сначала найдите t -перехват функции, поскольку именно здесь происходит деление интервала. Приравняем уравнение к нулю и решим относительно t . Таким образом,

3t − 5 = 03t = 5t = 53,3t − 5 = 03t = 5t = 53.

Два подинтервала — [0,53] [0,53] и [53,3]. [53,3]. Чтобы найти общее пройденное расстояние, проинтегрируйте абсолютное значение функции.Поскольку функция отрицательна на интервале [0,53], [0,53], мы имеем | v (t) | = −v (t) | v (t) | = −v (t) на этом интервале. В [53,3], [53,3] функция положительна, поэтому | v (t) | = v (t). | V (t) | = v (t). Таким образом, имеем

∫03 | v (t) | dt = ∫05 / 3 − v (t) dt + ∫5 / 33v (t) dt = ∫05 / 35−3tdt + ∫5 / 333t − 5dt = (5t − 3t22) | 05 / 3+ (3t22−5t) | 5/33 = [5 (53) −3 (5/3) 22] −0+ [272−15] — [3 (5/3) 22−253] = 253−256 + 272−15−256 + 253 = 416.∫03 | v (t) | dt = ∫05 / 3 − v (t) dt + ∫5 / 33v (t) dt = ∫05 / 35−3tdt + ∫5 / 333t −5dt = (5t − 3t22) | 05/3 + (3t22−5t) | 5/33 = [5 (53) −3 (5/3) 22] −0+ [272−15] — [3 (5 / 3) 22−253] = 253−256 + 272−15−256 + 253 = 416.

Итак, общее пройденное расстояние составляет 416416 м.

КПП 5.22

Найдите чистое смещение и общее пройденное расстояние в метрах с учетом функции скорости f (t) = 12et − 2f (t) = 12et − 2 в интервале [0,2]. [0,2].

Применение теоремы о чистом изменении

Теорема чистого изменения может быть применена к расходу и потреблению жидкости, как показано в Примере 5.26.

Пример 5.26

Сколько галлонов бензина потребляется?

Если двигатель моторной лодки запускается при t = 0t = 0 и лодка потребляет бензин со скоростью, которую можно смоделировать в течение первых двух часов как 5 − t31005 − t3100 галлонов в час в течение первого часа, сколько бензина использовали в первый час?

Решение

Выразите задачу в виде определенного интеграла, проинтегрируйте и оцените, используя фундаментальную теорему исчисления.Пределы интегрирования — это конечные точки интервала [0,1]. [0,1]. У нас

∫05 (–t3100) dt = (5t – t4100) | 20 = [5 (2) — (2) 4400] –0 = 10–16400 = 9.96∫05 (–t3100) dt = (5t – t4100) | 20 = [5 (2) — (2) 4400] –0 = 10–16400 = 9,96

Таким образом, моторная лодка расходует 4,75 галлона газа за 1 час.

Пример 5.27

Начало главы: Ледники

Рисунок 5.34 (кредит: модификация работы Картера Брауна, Flickr)

Как мы видели в начале главы, лучшие гонщики на ледовых лодках (рис.1) может развивать скорость до пяти раз превышающую скорость ветра. Однако Эндрю — ледоход среднего уровня, поэтому он развивает скорость, равную лишь удвоенной скорости ветра. Предположим, Эндрю выводит свой катер однажды утром, когда все утро дул легкий ветерок со скоростью 5 миль в час. Однако, когда Эндрю настраивает свою лодку, ветер начинает усиливаться. В течение первых получаса плавания на льду скорость ветра увеличивается в соответствии с функцией v (t) = 20t + 5.v (t) = 20t + 5. Во второй половине часа прогулки Эндрю ветер остается стабильным — 15 миль в час.Другими словами, скорость ветра определяется как

. v (t) = {20t + 5for0≤t≤1215for12≤t≤1.v (t) = {20t + 5for0≤t≤1215for12≤t≤1.

Если вспомнить, что ледовая лодка Эндрю движется с удвоенной скоростью ветра, и если предположить, что он движется по прямой от начальной точки, как далеко Эндрю от отправной точки через 1 час?

Решение

Чтобы выяснить, как далеко проехал Эндрю, нам нужно интегрировать его скорость, которая вдвое превышает скорость ветра. Тогда

Расстояние = ∫012v (t) dt.= ∫012v (t) dt.

Подставляя данные выражения для v (t), v (t), получаем

∫012v (t) dt = ∫01 / 22v (t) dt + ∫1 / 212v (t) dt = ∫01 / 22 (20t + 5) dt + ∫1 / 312 (15) dt = ∫01 / 2 (40t + 10) dt + ∫1 / 2130dt = [20t2 + 10t] | 01/2 + [30t] | 1/21 = (204 + 5) −0+ (30−15) = 25.∫012v (t) dt = ∫ 01 / 22v (t) dt + ∫1 / 212v (t) dt = ∫01 / 22 (20t + 5) dt + ∫1 / 312 (15) dt = ∫01 / 2 (40t + 10) dt + ∫1 / 2130dt = [20t2 + 10t] | 01/2 + [30t] | 1/21 = (204 + 5) −0+ (30−15) = 25.

Эндрю находится в 25 милях от отправной точки через 1 час.

КПП 5.23

Предположим, что вместо того, чтобы оставаться устойчивым в течение вторых получасов после прогулки Эндрю, ветер начинает стихать в соответствии с функцией v (t) = — 10t + 15.v (t) = — 10t + 15. Другими словами, скорость ветра определяется как

. v (t) = {20t + 5for0≤t≤12−10t + 15for12≤t≤1.v (t) = {20t + 5for0≤t≤12−10t + 15for12≤t≤1.

В этих условиях, как далеко Эндрю от начальной точки через 1 час?

Интеграция четных и нечетных функций

В разделе «Функции и графики» мы видели, что четная функция — это функция, в которой f (−x) = f (x) f (−x) = f (x) для всех x в области, то есть график кривой не изменяется при замене x на — x .Графики четных функций симметричны относительно оси y . Нечетная функция — это функция, в которой f (−x) = — f (x) f (−x) = — f (x) для всех x в области, а график функции симметричен относительно начала координат.

Интегралы четных функций, когда пределы интегрирования составляют от — a до a , включают две равные области, поскольку они симметричны относительно оси y . Интегралы от нечетных функций, когда пределы интегрирования одинаковы [-a, a], [-a, a], оцениваются как ноль, потому что области выше и ниже оси x равны.

Правило: интегралы от четных и нечетных функций

Для непрерывных четных функций, таких что f (−x) = f (x), f (−x) = f (x),

∫ − aaf (x) dx = 2∫0af (x) dx.∫ − aaf (x) dx = 2∫0af (x) dx.

Для непрерывных нечетных функций таких, что f (−x) = — f (x), f (−x) = — f (x),

∫ − aaf (x) dx = 0. − aaf (x) dx = 0.

Пример 5.28

Интеграция четной функции

Проинтегрируйте четную функцию ∫ − 22 (3×8−2) dx∫ − 22 (3×8−2) dx и убедитесь, что формула интегрирования для четных функций верна.

Решение

Симметрия отображается на графиках на Рисунке 5.35. График (а) показывает область ниже кривой и выше оси x . Нам нужно значительно увеличить этот график, чтобы увидеть регион. График (b) показывает область выше кривой и ниже оси x . Знак области этого региона отрицательный. Оба вида иллюстрируют симметрию относительно оси y четной функции. У нас

∫ − 22 (3×8−2) dx = (x93−2x) | −22 = [(2) 93−2 (2)] — [(- 2) 93−2 (−2)] = (5123−4) — (- 5123 + 4) = 10003.∫ − 22 (3×8−2) dx = (x93−2x) | −22 = [(2) 93−2 (2)] — [(- 2) 93−2 ( −2)] = (5123−4) — (- 5123 + 4) = 10003.

Чтобы проверить формулу интегрирования для четных функций, мы можем вычислить интеграл от 0 до 2 и удвоить его, а затем проверить, чтобы получить тот же ответ.

∫02 (3×8−2) dx = (x93−2x) | 02 = 5123−4 = 5003∫02 (3×8−2) dx = (x93−2x) | 02 = 5123−4 = 5003

Поскольку 2 · 5003 = 10003,2 · 5003 = 10003, мы проверили формулу для четных функций в этом конкретном примере.

Рис. 5.35. График (a) показывает положительную область между кривой и осью x , тогда как график (b) показывает отрицательную область между кривой и осью x .Оба вида показывают симметрию относительно оси y .

Пример 5.29

Интеграция нечетной функции

Вычислить определенный интеграл нечетной функции −5sinx − 5sinx на интервале [−π, π]. [- π, π].

Решение

График показан на Рисунке 5.36. Мы можем видеть симметрию относительно начала координат по положительной области над осью x над [−π, 0], [- π, 0] и отрицательной области под осью x над [0, π ].[0, π]. У нас

∫ − ππ − 5sinxdx = −5 (−cosx) | −ππ = 5cosx | −ππ = [5cosπ] — [5cos (−π)] = — 5 — (- 5) = 0.∫ − ππ − 5sinxdx = — 5 (−cosx) | −ππ = 5cosx | −ππ = [5cosπ] — [5cos (−π)] = — 5 — (- 5) = 0.

Рис. 5.36. На графике показаны области между кривой и осью x для нечетной функции.

КПП 5.24

Интегрируем функцию ∫ − 22x4dx.∫ − 22x4dx.

Раздел 5.4 Упражнения

Используйте основные формулы интегрирования для вычисления следующих первообразных или определенных интегралов.

207.

∫ (x − 1x) dx∫ (x − 1x) dx

208.

∫ (e2x − 12ex / 2) dx∫ (e2x − 12ex / 2) dx

211.

∫0π (sinx − cosx) dx∫0π (sinx − cosx) dx

212.

∫0π / 2 (x − sinx) dx∫0π / 2 (x − sinx) dx

213.

Напишите интеграл, который выражает увеличение периметра P (s) P (s) квадрата, когда длина его стороны s увеличивается с 2 единиц до 4 единиц, и оцените интеграл.

214.

Напишите интеграл, который количественно определяет изменение площади A (s) = s2A (s) = s2 квадрата, когда длина стороны удваивается с S единиц до 2 S единиц, и оцените интеграл.

215.

Правильный N -угольник (многоугольник со сторонами N со сторонами равной длины s , например, пятиугольник или шестиугольник) имеет периметр Ns . Напишите интеграл, который выражает увеличение периметра правильного угольника N , когда длина каждой стороны увеличивается с 1 единицы до 2 единиц, и оцените интеграл.

216.

Площадь правильного пятиугольника с длиной стороны a> 0a> 0 равна pa ² с p = 145 + 5 + 25.р = 145 + 5 + 25. Пентагон в Вашингтоне, округ Колумбия, имеет внутренние стороны длиной 360 футов и внешние стороны длиной 920 футов. Напишите интеграл, чтобы выразить площадь крыши Пентагона в соответствии с этими размерами, и оцените эту площадь.

217.

Додекаэдр — это платоново твердое тело с поверхностью, состоящей из 12 пятиугольников, каждый из которых имеет одинаковую площадь. Насколько увеличивается площадь поверхности додекаэдра при удвоении длины стороны каждого пятиугольника с 1 единицы до 2 единиц?

218.

Икосаэдр — это платоново тело с поверхностью, состоящей из 20 равносторонних треугольников.Насколько увеличивается площадь поверхности икосаэдра при удвоении длины стороны каждого треугольника с на единиц до 2 на единиц?

219.

Напишите интеграл, который количественно определяет изменение площади поверхности куба, когда длина его стороны удваивается с с единиц до 2 с единиц, и оцените интеграл.

220.

Напишите интеграл, который количественно определяет увеличение объема куба при удвоении длины стороны с с единиц до 2 с единиц и оцените интеграл.

221.

Напишите интеграл, который количественно определяет увеличение площади поверхности сферы при удвоении ее радиуса с R единиц до 2 R единиц и оцените интеграл.

222.

Напишите интеграл, который количественно определяет увеличение объема сферы при удвоении ее радиуса с R единиц до 2 R единиц и оцените интеграл.

223.

Предположим, что частица движется по прямой со скоростью v (t) = 4−2t, v (t) = 4−2t, где 0≤t≤20≤t≤2 (в метрах в секунду).Найдите смещение в момент времени t и общее пройденное расстояние до t = 2.t = 2.

224.

Предположим, что частица движется по прямой со скоростью, определяемой выражением v (t) = t2−3t − 18, v (t) = t2−3t − 18, где 0≤t≤60≤t≤6 (в метрах на второй). Найдите смещение в момент времени t и общее пройденное расстояние до t = 6.t = 6.

225.

Предположим, что частица движется по прямой со скоростью, определяемой выражением v (t) = | 2t − 6 |, v (t) = | 2t − 6 |, где 0≤t≤60≤t≤6 (в метрах на второй).Найдите смещение в момент времени t и общее пройденное расстояние до t = 6.t = 6.

226.

Предположим, что частица движется по прямой с ускорением, определенным как a (t) = t − 3, a (t) = t − 3, где 0≤t≤60≤t≤6 (в метрах в секунду). Найдите скорость и смещение в момент времени t и общее расстояние, пройденное до t = 6t = 6, если v (0) = 3v (0) = 3 и d (0) = 0.d (0) = 0.

227.

Мяч подбрасывается вверх с высоты 1,5 м с начальной скоростью 40 м / сек. Ускорение от силы тяжести составляет -9.8 м / сек ². Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислите скорость v (t) v (t) и высоту h (t) h (t) мяча t секунд после того, как он был брошен, но до того, как он вернется на землю.

228.

Мяч подбрасывается вверх с высоты 3 м с начальной скоростью 60 м / сек. Ускорение свободного падения -9,8 м / сек ². Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислите скорость v (t) v (t) и высоту h (t) h (t) мяча t секунд после того, как он был брошен, но до того, как он вернется на землю.

229.

Площадь A (t) A (t) круглой формы растет с постоянной скоростью. Если площадь увеличивается с 4 π единиц до 9 π единиц между временами t = 2t = 2 и t = 3, t = 3, найдите чистое изменение радиуса за это время.

230.

Сферический воздушный шар надувается с постоянной скоростью. Если объем воздушного шара изменится с 36 π дюймов ³ до 288 π дюймов ³ между временем t = 30t = 30 и t = 60t = 60 секунд, найдите чистое изменение радиуса воздушный шар за это время.

231.

Вода поступает в конический резервуар с площадью поперечного сечения πx ² на высоте x и объемом πx33πx33 до высоты x . Если вода поступает в резервуар со скоростью 1 м ³ / мин, найдите высоту воды в резервуаре через 5 мин. Найдите изменение высоты от 5 до 10 минут.

232.

Горизонтальный цилиндрический резервуар имеет площадь поперечного сечения A (x) = 4 (6x − x2) m2A (x) = 4 (6x − x2) м2 на высоте x метров над дном при x≤3.x≤3.

Объем V между высотами a и b равен ∫abA (x) dx.∫abA (x) dx. Найдите объем на высоте от 2 до 3 м.
Предположим, что масло закачивается в резервуар со скоростью 50 л / мин. Используя цепное правило, dxdt = dxdVdVdt, dxdt = dxdVdVdt, на сколько метров в минуту изменяется высота масла в резервуаре, выраженная в единицах x , когда высота составляет x метров?
Сколько времени нужно, чтобы заполнить резервуар до 3 м, начиная с уровня заполнения 2 м?

233.

В следующей таблице приведена электрическая мощность в гигаваттах — скорость потребления энергии — используемая в определенном городе в разные часы дня в течение типичного 24-часового периода, причем час 1 соответствует полуночи до 1 часа ночи.

Час	Мощность	Час	Мощность
1	28	13	48
2	25	14	49
3	24	15	49
4	23	16	50
5	24	17	50
6	27	18	50
7	29	19	46
8	32	20	43
9	34	21	42
10	39	22	40
11	42	23	37
12	46	24	34

Найдите общее количество энергии в гигаватт-часах (гВт-час), потребляемое городом за типичный 24-часовой период.

234.

Среднее потребление электроэнергии в жилых домах (в сотнях ватт) в час приведено в следующей таблице.

Час	Мощность	Час	Мощность
1	8	13	12
2	6	14	13
3	5	15	14
4	4	16	15
5	5	17	17
6	6	18	19
7	7	19	18
8	8	20	17
9	9	21	16
10	10	22	16
11	10	23	13
12	11	24	11

Вычислите среднее общее количество энергии, потребляемой за день, в киловатт-часах (кВтч).
Если тонна угля дает 1842 кВтч, сколько времени требуется среднему жилью, чтобы сжечь тонну угля?
Объясните, почему данные могут соответствовать графику вида p (t) = 11,5−7,5sin (πt12) .p (t) = 11,5−7,5sin (πt12).

235.

Данные в следующей таблице используются для оценки средней выходной мощности, производимой Питером Саганом за каждую из последних 18 секунд этапа 1 Тур де Франс 2012 года.

Второй	Вт	Второй	Вт
1	600	10	1200
2	500	11	1170
3	575	12	1125
4	1050	13	1100
5	925	14	1075
6	950	15	1000
7	1050	16	950
8	950	17	900
9	1100	18	780

Таблица 5.6 Средняя выходная мощность Источник : sportsexercisengineering.com

Оцените потребляемую полезную энергию в килоджоулях (кДж), отметив, что 1 Вт = 1 Дж / с, и среднюю выходную мощность Сагана в течение этого интервала времени.

236.

Данные в следующей таблице используются для оценки средней выходной мощности, производимой Питером Саганом для каждого 15-минутного интервала Этапа 1 Тур де Франс 2012 года.

Минуты	Вт	Минуты	Вт
15	200	165	170
30	180	180	220
45	190	195	140
60	230	210	225
75	240	225	170
90	210	240	210
105	210	255	200
120	220	270	220
135	210	285	250
150	150	300	400

Таблица 5.7 Средняя выходная мощность Источник : sportsexercisengineering.com

Оцените потребляемую полезную энергию в килоджоулей, отметив, что 1 Вт = 1 Дж / с.

237.

Распределение доходов по состоянию на 2012 год в Соединенных Штатах с приращением 5000 долларов США приведено в следующей таблице. Строка k обозначает процентную долю домохозяйств с доходом от 5000xk до 5000xk + 4999.5000xk + 4999. Строка k = 40k = 40 содержит все домохозяйства с доходом от 200 000 до 250 000 долларов.

0	3,5	21	1,5
1	4,1	22	1,4
2	5,9	23	1,3
3	5,7	24	1,3
4	5,9	25	1,1
5	5,4	26	1.0
6	5,5	27	0,75
7	5,1	28	0,8
8	4,8	29	1.0
9	4,1	30	0,6
10	4,3	31	0,6
11	3,5	32	0.5
12	3,7	33	0,5
13	3,2	34	0,4
14	3,0	35	0,3
15	2,8	36	0,3
16	2,5	37	0,3
17	2,2	38	0.2
18	2,2	39	1,8
19	1,8	40	2,3
20	2,1

Таблица 5.8 Распределение доходов Источник : http://www.census.gov/prod/2013pubs/p60-245.pdf

Оцените процентную долю домашних хозяйств в США в 2012 году с доходом менее 55 000 долларов США.
Какой процент домохозяйств имел доход, превышающий 85 000 долларов США?
Постройте данные и попытайтесь подогнать их форму к форме графика вида a (x + c) e − b (x + e) a (x + c) e − b (x + e) для подходящего a, до н.э.а, б, в.

238.

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что гравитационная сила, создаваемая объектом массой M и одним из объектов массой m с центрами, разделенными расстоянием r , равна F = GmMr2, F = GmMr2, с G эмпирическая константа G = 6,67×10-11 м3 / (кг · с2). G = 6,67×10-11 м3 / (кг · с2). Работа, совершаемая переменной силой на отрезке [a, b] [a, b], определяется как W = ∫abF (x) dx.W = ∫abF (x) dx. Если Земля имеет массу 5,97219 × 10245,97219 × 1024 и радиус 6371 км, вычислите объем работы, чтобы поднять полярный метеорологический спутник массой 1400 кг на высоту его орбиты 850 км над Землей.

239.

Для данного автомобиля максимально достижимое замедление от торможения составляет примерно 7 м / сек. ² на сухом бетоне. На мокром асфальте примерно 2,5 м / сек ². Учитывая, что 1 миля в час соответствует 0,447 м / с, найдите общее расстояние, которое автомобиль проезжает в метрах по сухому бетону после торможения до полной остановки, если начальная скорость составляет 67 миль в час (30 м / с) или если начальная скорость торможения составляет 56 миль в час (25 м / сек). Найдите соответствующие расстояния, если поверхность скользкого мокрого асфальта.

240.

Джон — 25-летний мужчина, весит 160 фунтов. Он сжигает 500-50-500-50 калорий в час, проезжая на велосипеде тонн часов. Если овсяное печенье содержит 55 калорий, и Джон съедает 4 t печенья в течение t -го часа, сколько калорий он потерял за 3 часа езды на велосипеде?

241.

Сандра, 25-летняя женщина, весит 120 фунтов. Она сжигает 300-50 т300-50 кал / час во время ходьбы на беговой дорожке. Ее калорийность от питья Gatorade составляет 100 t калорий в течение t -го часа.Каково ее чистое снижение калорий после 3-часовой прогулки?

242.

Автомобиль имеет максимальную эффективность 33 миль на галлон при крейсерской скорости 40 миль в час. Эффективность падает со скоростью 0,1 миль на галлон / миль в час между 40 и 50 миль в час и со скоростью 0,4 миль на галлон в диапазоне от 50 до 80 миль в час. Какова эффективность в милях на галлон, если автомобиль движется со скоростью 50 миль в час? Какова эффективность в милях на галлон, если автомобиль движется со скоростью 80 миль в час? Если бензин стоит 3,50 доллара за галлон, какова стоимость топлива, чтобы проехать 50 миль со скоростью 40 миль в час, 50 миль в час и 80 миль в час?

243.

Хотя некоторые двигатели более эффективны при данной мощности, чем другие, в среднем эффективность использования топлива снижается с увеличением мощности на 1/251/25 миль на галлон / л.с. Если типичный 50-сильный двигатель имеет средний КПД топлива 32 мили на галлон, какова средняя топливная эффективность двигателя со следующей мощностью: 150, 300, 450?

244.

[T] В следующей таблице приведен график зависимости федерального подоходного налога от налогооблагаемого дохода на 2013 год.

Диапазон налогооблагаемого дохода	Налог…	… Из суммы, превышающей
0–8925 долл. США	10%	$ 0
8925–36 250 долл.	892 долл. США.50 + 15%	$ 8925
36 250–87 850 долл.	$ 4 991,25 + 25%	$ 36 250
87 850–183 250 долл.	17 891,25 долл. США + 28%	$ 87 850
183 250–398 350 долл.	44 603,25 долл. США + 33%	$ 183 250
398 350–400 000 долл.	115 586,25 долл. США + 35%	$ 398 350
> 400 000 долл. США	116 163,75 долл. США + 39,6%	400 000 долл. США

Таблица 5.9 Сравнение федерального подоходного налога с налогооблагаемым доходом Источник : http://www.irs.gov/pub/irs-prior/i1040tt—2013.pdf.

Предположим, что Стив только что получил повышение на 10 000 долларов. Какая часть этого повышения остается после уплаты федеральных налогов, если зарплата Стива до повышения была 40 000 долларов? Если бы это было 90 000 долларов? Если бы это было 385 000 долларов?

245.

[T] В следующей таблице представлены гипотетические данные об уровне обслуживания для определенной магистрали.

Диапазон скоростей на шоссе (миль / ч)	Транспортных средств в час на полосу	Диапазон плотности (транспортных средств / миль)
> 60	<600	<10
60–57	600–1000	10–20
57–54	1000–1500	20–30
54–46	1500–1900	30–45
46–30	1900 — 2100	45–70
<30	нестабильный	70–200

Таблица 5.10

Нанести количество транспортных средств в час на полосу движения по оси x и скорость шоссе по оси y .
Вычислите среднее уменьшение скорости (в милях в час) на единицу увеличения загруженности (количество транспортных средств в час на полосу движения), когда последнее увеличивается с 600 до 1000, с 1000 до 1500 и с 1500 до 2100. Имеет ли уменьшение в милях в час линейно зависят от увеличения количества автомобилей в час на полосу?
Постройте количество минут на милю (60-кратное обратное значение миль в час) как функцию количества транспортных средств в час на полосе.Эта функция линейна?

Для следующих двух упражнений используйте данные из следующей таблицы, в которой показаны популяции белоголовых орланов с 1963 по 2000 год в континентальной части США.

Год	Популяция гнездящихся пар белоголовых орланов
1963	487
1974	791
1981	1188
1986	1875
1992	3749
1996	5094
2000	6471

Таблица 5.11 Популяция гнездящихся пар белоголовых орланов Источник : http://www.fws.gov/Midwest/eagle/population/chtofprs.html.

246.

[T] На приведенном ниже графике показано квадратичное значение p (t) = 6.48t2−80.31t + 585.69p (t) = 6.48t2−80.31t + 585.69 по сравнению с данными в предыдущей таблице, нормализованные таким образом, что t = 0t = 0 соответствует 1963. Оцените среднее количество белоголовых орланов в год за 37 лет, вычислив среднее значение p на [0,37]. [0,37].

247.

[T] На графике ниже показана кубическая величина p (t) = 0.07t3 + 2.42t2−25.63t + 521.23p (t) = 0.07t3 + 2.42t2−25.63t + 521.23 по сравнению с данными в предыдущей таблице, нормализованными так, что t = 0t = 0 соответствует 1963 году. Оцените среднее количество лысых. орлов в год присутствует в течение 37 лет, вычислив среднее значение p на [0,37]. [0,37].

248.

[T] Предположим, вы отправляетесь в автомобильную поездку и каждые полчаса записываете свою скорость, как указано в следующей таблице. Наилучшее квадратичное соответствие данных: q (t) = 5×2−11x + 49, q (t) = 5×2−11x + 49, как показано на прилагаемом графике.Интегрируйте q , чтобы оценить общее расстояние, пройденное за 3 часа.

Время (час)	Скорость (миль / ч)
0 (начало)	50
1	40
2	50
3	60

Автомобиль, разгоняясь, не ускоряется с постоянной скоростью; скорее, ускорение переменное.Для следующих упражнений используйте следующую таблицу, которая содержит ускорение, измеренное каждую секунду, когда водитель выезжает на автостраду.

Время (сек)	Время разгона (миль / ч / сек)
1	11,2
2	10,6
3	8,1
4	5,4
5	0

249.

[T] На прилагаемом графике показано наилучшее квадратичное соответствие, a (t) = — 0,70t2 + 1,44t + 10,44, a (t) = — 0,70t2 + 1,44t + 10,44, к данным из предыдущей таблицы. . Вычислите среднее значение a (t) a (t), чтобы оценить среднее ускорение между t = 0t = 0 и t = 5.t = 5.

250.

[T] Используя уравнение ускорения из предыдущего упражнения, найдите соответствующее уравнение скорости. Предполагая, что конечная скорость равна 0 миль в час, найдите скорость в момент времени t = 0. t = 0.

251.

[T] Используя уравнение скорости из предыдущего упражнения, найдите соответствующее уравнение расстояния, предполагая, что ваше начальное расстояние равно 0 миль. Как далеко вы проехали, разогнав машину? ( Подсказка: Вам нужно будет преобразовать единицы времени.)

252.

[T] Количество гамбургеров, проданных в ресторане в течение дня, приведено в следующей таблице с прилагаемым графиком, показывающим наилучшее кубическое соответствие данным, b (t) = 0,12t3−2.13t3 + 12,13t + 3,91, b (t) = 0,12t3−2,13t3 + 12,13t + 3,91, причем t = 0t = 0 соответствует 9 часам утра и t = 12t = 12 соответствует 21 часам вечера. Вычислите среднее значение b (t) b (t), чтобы оценить среднее количество гамбургеров, проданных за час.

Часов после полуночи	Количество проданных бургеров
9	3
12	28
15	20
18	30
21	45

253.

[T] Спортсмен бежит мимо датчика движения, который регистрирует ее скорость, как показано в следующей таблице. Наилучшее линейное соответствие этим данным, (t) = — 0,068t + 5,14, ℓ (t) = — 0,068t + 5,14, показано на прилагаемом графике. Используйте среднее значение ℓ (t) ℓ (t) между t = 0t = 0 и t = 40t = 40, чтобы оценить среднюю скорость бегуна.

Минуты	Скорость (м / сек)
0	5
10	4.8
20	3,6
30	3,0
40	2,5

Страница не найдена | MIT

Перейти к содержанию ↓

Образование
Исследовать
Инновации
Прием + помощь
Студенческая жизнь
Новости
Выпускников
О MIT
Подробнее ↓
- Прием + помощь
- Студенческая жизнь
- Новости
- Выпускников
- О MIT

Меню ↓ Поиск Меню Ой, похоже, мы не смогли найти то, что вы искали!
Попробуйте поискать что-нибудь еще! Что вы ищете? Увидеть больше результатов

Предложения или отзывы?

Как сила связана с импульсом?

Вопрос

Как сила связана с импульсом?

Спросил: Мелисса Томас Ответ

Импульс измеряет «содержание движения» объекта и основан на произведении массы и скорости объекта.Импульс удваивается, например, когда удваивается скорость. Точно так же, если два объекта движутся с одинаковой скоростью, один с удвоенной массой другого также имеет вдвое больший импульс.

С другой стороны, сила — это толкание или притяжение, которое прикладывается к объекту, чтобы ИЗМЕНИТЬ его импульс. Второй закон движения Ньютона определяет силу как произведение массы на УСКОРЕНИЕ (в зависимости от скорости). Поскольку ускорение — это изменение скорости, деленное на время, вы можете связать эти два понятия следующими отношениями:

сила = масса x (скорость / время) = (масса x скорость) / время = импульс / время

Умножая обе части этого уравнения на время:

сила x время = импульс

Итак, отвечу на ваш первоначальный вопрос: разница между силой и импульсом — это время.Зная количество силы и время, в течение которого сила применяется к объекту, сказать вам, как изменилась его динамика.

Ответил: Пол Валорски, бакалавр наук, преподаватель физики по совместительству

Ответ

Они связаны тем, что сила — это скорость, с которой импульс изменяется во времени (F = dp / dt). Обратите внимание, что если p = mv и m является постоянным, то F = dp / dt = m * dv / dt = ma. С другой стороны, вы также можете сказать, что изменение количества движения равно силе, умноженной на время, в которое она была приложена (или интегралу силы по времени, если сила не постоянна в течение периода времени). .

Интересно, что это вместе с Третьим законом Ньютона дает нам сохранение количества движения. Третий закон Ньютона гласит, что при силе, действующей на объект 1 на объект 2, объект 2 оказывает на объект 1 силу, равную по величине и противоположную по направлению силе, которую оказывает объект 1. Или, более кратко, F [1-> 2] = -F [2-> 1]. Теперь полное изменение импульса для любого взаимодействия представляет собой интеграл от F [1-> 2] с течением времени плюс интеграл от F [2-> 1] с течением времени, который равен интегралу от F [1-> 2] минус интеграл от F [1-> 2], который равен нулю — всегда!

Аналогичный аргумент в пользу сохранения энергии можно сделать, используя тот факт, что энергия — это интеграл силы по отношению к положению.

Ответил: Грегори Огин, студент факультета физики, UST, Сент-Пол, Миннесота

Ответ

Второй закон Ньютона гласит, что сила = масса x ускорение (F = ma). Поскольку ускорение — это всего лишь то, как скорость изменяется со временем, мы можем записать это как

F = м * об / т

Умножьте обе стороны на время, чтобы получить

F t = m v

Поскольку mv — это импульс, мы можем видеть, что импульс, сообщаемый объекту силой, равен силе, умноженной на время приложения силы.Таким образом, если к первоначально неподвижному объекту в течение 3 секунд приложить силу 15 Ньютонов вправо, он будет иметь импульс 45 кг · м / с вправо.

Однако большинство студентов, задающих этот вопрос, обычно пытаются выяснить обратную ситуацию. Если объект ударяет меня с определенным импульсом, с какой силой он ударяет меня? Обратите внимание, что из-за 3-го закона Ньютона это можно рассчитать таким же образом. Если брошенное яйцо попадает в вашу руку с импульсом 5 кг м / с, сила, которую оно прикладывает к вашей руке, зависит от времени, которое требуется вашей руке, чтобы поглотить импульс.Если вы держите руку очень жестко (и пытаетесь остановить яйцо за очень короткий промежуток времени), мяч оказывает на вашу руку большую силу, например 100 Н за 1/20 секунды. Однако, как знает любой, кто когда-либо играл в бросание яиц, если вы позволите своей руке « податься » и увеличите количество времени, необходимое для поглощения импульса, яйцо будет оказывать меньшую силу на вашу руку, например 10 Н в течение 1/2 секунды.

Ответил: Роб Ландольфи, учитель естественных наук, Вашингтон, округ Колумбия

5.4. Неопределенные интегралы и теорема об изменении сети

В этом разделе мы используем некоторые основные формулы интегрирования, изученные ранее, для решения некоторых ключевых прикладных задач. Важно отметить, что эти формулы представлены в терминах неопределенных интегралов. Хотя определенные и неопределенные интегралы тесно связаны, следует помнить о некоторых ключевых различиях. Определенный интеграл — это либо число (когда пределы интегрирования являются константами), либо отдельная функция (когда один или оба предела интегрирования являются переменными).Неопределенный интеграл представляет собой семейство функций, каждая из которых отличается константой. По мере того, как вы ближе познакомитесь с интеграцией, вы почувствуете, когда использовать определенные интегралы, а когда — неопределенные. Вы, естественно, выберете правильный подход к данной проблеме, не слишком задумываясь об этом. Однако, пока эти концепции не закрепятся в вашем сознании, тщательно подумайте, нужен ли вам определенный интеграл или неопределенный интеграл, и убедитесь, что вы используете правильную нотацию на основе вашего выбора.2 — 3x \ right) \, dx = — \ frac {10} {3} \ nonumber \]

Теорема чистого изменения

Теорема чистого изменения рассматривает интеграл скорости изменения . В нем говорится, что при изменении количества новое значение равно начальному значению плюс интеграл скорости изменения этого количества. Формулу можно выразить двумя способами. Второй более знаком; это просто определенный интеграл. b_aF ‘(x) dx = F (b) -F (a).\ label {Net2} \]

Вычитание \ (F (a) \) из обеих частей уравнения \ ref {Net1} дает уравнение \ ref {Net2}. Поскольку это эквивалентные формулы, то, какую из них мы используем, зависит от приложения.

Значение теоремы о чистом изменении заключается в результатах. Чистое изменение может быть применено к площади, расстоянию и объему, если назвать лишь несколько приложений. Чистое изменение автоматически учитывает отрицательные количества без необходимости записывать более одного интеграла. Чтобы проиллюстрировать это, давайте применим теорему о чистом изменении к функции скорости , в которой результатом будет смещение.

Мы рассмотрели простой пример этого в разделе «Определенный интеграл». Предположим, автомобиль движется строго на север (положительное направление) со скоростью 40 миль в час между 14:00. и 16:00, затем с 16:00 машина движется на юг со скоростью 30 миль в час. и 17:00 Мы можем построить график этого движения, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {1} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): график показывает зависимость скорости от времени для данного движения автомобиля.

Как и раньше, мы можем использовать определенные интегралы для вычисления чистого смещения, а также общего пройденного расстояния.5_430 \, dt = 80 + 30 = 110. \ nonumber \]

Следовательно, между 14:00. и 17:00 автомобиль проехал в общей сложности 110 миль.

Подводя итог, чистое смещение может включать как положительные, так и отрицательные значения. Другими словами, функция скорости учитывает как расстояние вперед, так и расстояние назад. Чтобы найти чистое смещение, проинтегрируйте функцию скорости по интервалу. С другой стороны, общее пройденное расстояние всегда положительно. Чтобы найти общее расстояние, пройденное объектом, независимо от направления, нам нужно интегрировать абсолютное значение функции скорости.2} {2} −5 (3) \ right] −0 = \ frac {27} {2} −15 = \ frac {27} {2} — \ frac {30} {2} = — \ frac {3 } {2}. \ nonumber \]

Чистое смещение составляет \ (- \ frac {3} {2} \) м (рисунок \ (\ PageIndex {2} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): график показывает зависимость скорости частицы от времени для частицы, движущейся с линейной функцией скорости.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): определение общего пройденного расстояния

Используйте пример \ (\ PageIndex {2} \), чтобы найти полное расстояние, пройденное частицей в соответствии с функцией скорости \ (v (t) = 3t − 5 \) м / сек за интервал времени \ ([0, 3].\)

Решение

Общее пройденное расстояние включает как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, мы должны проинтегрировать абсолютное значение функции скорости, чтобы найти общее пройденное расстояние.

Чтобы продолжить пример, используйте два интеграла, чтобы найти общее расстояние. Сначала найдите \ (t \) — точку пересечения функции, поскольку именно здесь происходит деление интервала. Установите уравнение равным нулю и решите относительно \ (t \). Таким образом,

\ [\ begin {align *} 3t − 5 & = 0 \\ [4pt] 3t & = 5 \\ [4pt] t & = \ frac {5} {3}.4} {4} \ right] −0 \\ [4pt] & = 10− \ frac {16} {4} \\ [4pt] & = 6. \ end {align *} \]

Таким образом, моторная лодка использует \ (6 \) галлонов газа за \ (2 \) часа.

Пример \ (\ PageIndex {5} \): Начало главы: Iceboats

Как мы видели в начале главы, лучшие гонщики ледового катера могут развивать скорость, в пять раз превышающую скорость ветра. Однако Эндрю — ледоход среднего уровня, поэтому он развивает скорость, равную лишь удвоенной скорости ветра.

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): (кредит: модификация работы Картера Брауна, Flickr)

Предположим, Эндрю выводит свой катер однажды утром, когда все утро дул легкий ветерок со скоростью \ (5 \) миль в час.Однако, когда Эндрю настраивает свою лодку, ветер начинает усиливаться. В течение первых получаса плавания на льду скорость ветра увеличивается в соответствии с функцией \ (v (t) = 20t + 5. \). Во вторые полчаса прогулки Эндрю ветер остается устойчивым со скоростью \ (15 \) миль в час. Другими словами, скорость ветра определяется как

\ [v (t) = \ begin {cases} 20t + 5, & \ text {для} 0≤t≤ \ frac {1} {2} \\ 15, & \ text {для} \ frac {1} {2} ≤t≤1 \ end {case} \ nonumber \]

Решение

Чтобы выяснить, как далеко проехал Эндрю, нам нужно интегрировать его скорость, которая вдвое превышает скорость ветра.1_ {1/2} \\ [4pt]
& = \ left (\ frac {20} {4} +5 \ right) −0+ (30−15) \\ [4pt]
& = 25. \ end {align *} \]

Эндрю находится в 25 милях от отправной точки через 1 час.

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Предположим, что вместо того, чтобы оставаться устойчивым в течение вторых получасов после прогулки Эндрю, ветер начинает стихать в соответствии с функцией \ (v (t) = — 10t + 15. \) Другими словами, скорость ветра задана по

\ [v (t) = \ begin {cases} 20t + 5, & \ text {для} 0≤t≤ \ frac {1} {2} \\ — 10t + 15, & \ text {для} \ frac {1} {2} ≤t≤1 \ end {case}.\ nonumber \]

В этих условиях, как далеко Эндрю от начальной точки через 1 час?

Подсказка: Не забывайте, что ледокол Эндрю движется вдвое быстрее ветра.

Ответ: \ (17.5 \) миль

Интеграция четных и нечетных функций

В разделе «Функции и графики» мы видели, что четная функция — это функция, в которой \ (f (−x) = f (x) \) для всех \ (x \) в области, то есть график кривая не меняется при замене \ (x \) на \ (- x \).Графики четных функций симметричны относительно оси \ (y \). Нечетная функция — это функция, в которой \ (f (−x) = — f (x) \) для всех \ (x \) в области, а график функции симметричен относительно начала координат.

Интегралы четных функций, когда пределы интегрирования находятся от \ (- a \) до \ (a \), включают две равные площади, поскольку они симметричны относительно оси \ (y \). Интегралы от нечетных функций, когда пределы интегрирования аналогичны \ ([- a, a], \), оцениваются равными нулю, потому что области выше и ниже оси \ (x \) равны.8−2) \, dx \) и убедитесь, что формула интегрирования для четных функций верна.

Решение

Симметрия проявляется в графиках на рисунке \ (\ PageIndex {4} \). График (а) показывает область под кривой и над осью \ (x \). Нам нужно значительно увеличить этот график, чтобы увидеть регион. График (b) показывает область над кривой и под осью \ (x \). Знак области этого региона отрицательный. Оба вида иллюстрируют симметрию относительно оси \ (y \) четной функции.2_ {0} = \ frac {512} {3} −4 = \ frac {500} {3} \ nonumber \]

Поскольку \ (2⋅ \ frac {500} {3} = \ frac {1000} {3}, \) мы проверили формулу для четных функций в этом конкретном примере.

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): График (a) показывает положительную область между кривой и осью \ (x \), тогда как график (b) показывает отрицательную область между кривой и \ (x \) )-ось. Оба вида показывают симметрию относительно оси \ (y \).

Пример \ (\ PageIndex {7} \): интегрирование нечетной функции

Вычислить определенный интеграл нечетной функции \ (- 5 \ sin x \) по интервалу \ ([- π, π].4 \, дх. \)

Подсказка: Интегрируйте четную функцию.

Ответ: \ (\ dfrac {64} {5} \)

Интеграл от скорости по времени: Физические основы механики

Физические основы механики

08. ПРОИЗВОДНАЯ и ИНТЕГРАЛ — Физика это просто!!! 2016

Решение задач физики и техники с применением интеграла: разбор примеров

п.1. От ускорения к скорости и координате

п.2. Физические величины как интегралы других величин

Обзор методов вычисления интегралов по времени и пространству

Важность интегралов

Вычисление пространственного интеграла с использованием операторов узла Component Coupling

Вычисление неопределенного интеграла посредством оператора интегрирования

Вычисление пространственного интеграла посредством дополнительного физического интерфейса

Вычисление временного интеграла посредством дополнительного физического интерфейса

Вычисление интеграла от аналитических функций и выражений

Материалы для дальнейшего изучения

Уравнения движения. Движение заторможенного автомобиля — Эксперт Никонов Владимир Николаевич — Статьи

Kinematics and Calculus — The Physics Hypertextbook

Обсуждение

постоянное ускорение

постоянный рывок

постоянное ничего

— Что означает интеграл положения относительно времени?

Фундаментальная теорема исчисления — интегрирование функции скорости

Интегрирование функции скорости

Когда скорость неотрицательна

Пример задачи

Пример задачи

Отрицательная скорость

Примеры задач

Пример задачи

Пример задачи

Изменение положения

Общее пройденное расстояние в зависимости от изменения положения

Пример задачи

5.4 Формулы интегрирования и теорема изменения чистоты — исчисление Том 1

Цели обучения

Основные формулы интегрирования

Пример 5.23

Интеграция функции с использованием правила мощности

Решение

Теорема чистого изменения

Теорема о чистом изменении

Пример 5.24

Определение чистого смещения

Решение

Пример 5.25

Определение общего пройденного расстояния

Решение

Применение теоремы о чистом изменении

Пример 5.26

Сколько галлонов бензина потребляется?

Решение

Пример 5.27

Начало главы: Ледники

Решение

Интеграция четных и нечетных функций

Правило: интегралы от четных и нечетных функций

Пример 5.28

Интеграция четной функции

Решение

Пример 5.29

Интеграция нечетной функции

Решение

Раздел 5.4 Упражнения

Страница не найдена | MIT

Как сила связана с импульсом?

5.4. Неопределенные интегралы и теорема об изменении сети

Теорема чистого изменения

Интеграция четных и нечетных функций

Share This Story, Choose Your Platform!

Related Posts

Приставки рос рас роз рас рос: Ошибка 403 — доступ запрещён

2 х 5 9: решите уравнение 2(x-5)=9 — Школьные Знания.com

Какие свойства человека относят к биологическим: 1. Какие свойства человека относят к биологическим? 2. Что, по вашему мнению, произошло бы с

Высшим исполнительным органом рф является: Статья 32. Высший исполнительный орган субъекта Российской Федерации \ КонсультантПлюс

Leave A Comment Отменить ответ