{\frac{2}{3}} i}{2}$$

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра — Формулы сокращенного умножения

      Формулы сокращенного умножения включают в себя следующие группы формул:

Степень суммы

      Группа формул «Степень суммы» составляет Таблицу 1. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:

(x + y)2 = (x + y)(x + y) ,
(x + y)3 = (x + y)2(x + y) ,
(x + y)4 = (x + y)3(x + y)

и т.д.

      Группу формул «Степень суммы» можно получить также с помощью треугольника Паскаля и с помощью бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.

      Таблица 1. – Степень суммы

Название формулыФормула
Квадрат (вторая степень)
суммы
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Куб (третья степень) суммы(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Четвертая степень суммы(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
Пятая степень суммы(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y
3 + 5xy4 + y5
Шестая степень суммы(x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6

Квадрат (вторая степень) суммы

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

Куб (третья степень) суммы

(x + y)3 =
= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Четвертая степень суммы

(x + y)4 = x4 + 4x3y +
+ 6x2y2 + 4xy3 + y4

Пятая степень суммы

(x + y)5 = x5 + 5x4y +
+ 10x3y2 +
+ 10x2y3 +
+ 5xy4 + y5

Шестая степень суммы

(x + y)6 = x6 + 6x5y +
+ 15x4y2 +
+ 20x3y3 +
+ 15x2y4 + 6x

y5 + y6

      Общая формула для вычисления суммы

(x + y)n

с произвольным натуральным значением   n рассматривается в разделе «Бином Ньютона» нашего справочника.

Степень разности

      Если в формулах из Таблицы 1 заменить  y  на  – y ,  то мы получим группу формул «Степень разности» (Таблица 2.):

      Таблица 2. – Степень разности

Название формулыФормула
Квадрат (вторая степень)
разности
(xy)2 = x
2 – 2xy + y2
Куб (третья степень) разности(x y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 y3
Четвертая степень разности(x y)4 = x4 – 4x3y + 6x2y2 – 4xy3 + y4
Пятая степень разности(x y)5 = x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4y5
Шестая степень разности(x y)6 = x
6
– 6x5y + 15x4y2 – 20x3y3 + 15x2y4 – 6xy5 + y6

Квадрат (вторая степень) разности

(xy)2 = x2 – 2xy + y2

Куб (третья степень) разности

(x y)3 =
= x3 – 3x2y + 3xy2 y3

Четвертая степень разности

(x y)4 = x4 – 4x3y +
+ 6x2y2 – 4

xy3 + y4

Пятая степень разности

(x y)5 = x5 – 5x4y +
+ 10x3y2
– 10x2y3 +
+ 5xy4y5

Шестая степень разности

(x y)6 = x6 – 6x5y +
+ 15x4y2
– 20x3y3 +
+ 15x2y4 – 6xy5 + y6

Квадрат многочлена

      Следующая формула применяется достаточно часто и называется «Квадрат многочлена»:

      Словами эту формулу можно выразить так: — «Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов плюс сумма всевозможных удвоенных произведений его членов».{2}}-17t+6=0\)

имеет три корня:

\( {{t}_{1}}=3,~{{t}_{2}}=\frac{1}{3},~{{t}_{3}}=-2\).

Последний корень мы, конечно, отбросим, поскольку он меньше нуля. А первые два после обратной замены дадут нам два корня:

\( {{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=-1\).

Ответ: \( {{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=-1\).

Этим примером я отнюдь не хотел напугать тебя!

Скорее наоборот, я ставил своей целью показать, что хоть у нас была довольно простая замена, тем не менее она привела к довольно сложному уравнению, решение которого потребовало от нас некоторых особых навыков.

Ну что же, от этого никто не застрахован. Зато замена в данном случае была довольно очевидной.

Урок 13. многочлены от нескольких переменных — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №13. Многочлены от нескольких переменных.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) определение многочлена от нескольких переменных;

2) понятие симметрических многочленов;

3) формулы сокращенного умножения для старших степеней;

4) бином Ньютона;

5) метод неопределенных коэффициентов.

Глоссарий по теме

Многочлен Р(х;у) называют однородным многочленом n-й степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n. Если Р(х;у) — однородный многочлен, то уравнение Р(х;у) = 0 называют 

однородным уравнением.

Многочлен Р(х;у) называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х.

Уравнение Р(x;y) = а, где , называютсимметрическим, если Р(х;y) — симметрический многочлен.

Треугольник Паскаля —бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. 

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Многочлены от нескольких переменных можно складывать, вычитать, перемножать, возводить в натуральную степень, разлагать на множители — это вам известно из курса алгебры 7—9-го классов. Этот урок позволит нам несколько расширить знания о многочленах.

Пример 1. Разложить на множители многочлен: 2x2-5xy+2y2.

Воспользуемся методом группировки

2x2-5xy+2y2= 2x2-4xy-xy+2y2= 2x(x-2y) –y(x-2y)=

(x-2y)(2x+2y).

Пример 2. Выведем формулу сокращенного умножения для «квадрата суммы» (x+y+z+u)2.

(x+y+z+u)2=((x+y)+(z+u))2= (x+y)2+2(x+y)(z+u)+(z+u)2= x

2+y2+z2+u2+2(xy+xz+xu+yz+yu+zu).

Итак, мы получили (x+y+z+u)2= x2+y2+z2+u2+2(xy+xz+xu+yz+yu+zu).

Среди многочленов от двух переменных выделяют однородные и симметрические многочлены.
 
Многочлен Р(х;у) называют однородным многочленом n-й степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n. Если Р(х;у) — однородный многочлен, то уравнение Р(х;у) = 0 называют однородным уравнением.

Приведем примеры.

1) р(х; у)=2х+3у – однородный многочлен первой степени; соответственно 2х+3у=0 – однородное уравнение первой степени.

2) р(х; у)=3х2+5ху-7у2  — однородный многочлен второй степени; соответственно 3х2+5ху-7у2 =0 — однородное уравнение второй степени.

3) p(x; y)= x3+4xy

2-5y3 — однородный многочлен третьей степени; x3+4xy2-5y3 =0 соответственно  — однородное уравнение третьей степени.

4) p(x; y)= anxn+an-1xn-1y+an-2xn-2y2+…+a1xyn-1+a0yn — общий вид однородного многочлена n-й степени.

Рассмотрим еще один метод разложения многочленов на множители-

метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной. Теоретической основой метода являются следующие утверждения

  1. Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
  2. Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.
  3. Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.

Пример 3.  Разложить на множители многочлен

3 x 3 – x 2 – 3 x + 1.

Решение. Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены x – p и ax 2 + bx + c такие, что справедливо равенство 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 = ( x – p )( ax 2+ bx + c ) = ax 3 + ( b – ap ) x 2 + ( c – bp ) x – pc . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырех уравнений для определения четырех неизвестных коэффициентов:

Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1, b = 2, c = –1. Итак, многочлен 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 разлагается на множители: 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 = ( x – 1)(3 x 2 + 2 x – 1).

Стоит отметить, что существует достаточно изящный способ решения однородных уравнений. Поясним его суть на примере.

Пример 4. Решим уравнение x3+4xy2-5y3 =0

Заметим, что если в заданном уравнении взять х=0, то получится у=0; это означает, что пара (0; 0) является решением однородного уравнения. Пусть теперь х. Разделим почленно обе части заданного однородного уравнения на х3, получим:

Введем новую переменную . Тогда уравнение примет вид 1+4z2-5z3=0.

Далее последовательно находим:

5z3-4z2-1=0

(5z3-5z2)+(z2-1)=0

5z2(z-1)+(z-1)(z+1)=0

(z-1)(5z2+z+1)=0

Из уравнения z-1=0 находим z=1, уравнение 5z3-4z2-1=0 действительных корней не имеет.

Если z=1, то , т.е. у=х. Это значит, что любая пара вида (t; t) является решением заданного однородного уравнения. Между прочим, и отмеченная нами ранее пара (0; 0) также входит в указанный перечень решений.

Ответ: (t; t), где t- любое действительное число.

Теперь поговорим о симметрических многочленах. Многочлен Р(х;у) называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х. Например, симметрическим является двучлен x2y+xy2. В самом деле, при одновременной замене х на у и у на х получится двучлен y2x+yx2, но это то же самое, что x2y+xy2 . Другие примеры симметрических многочленов: xy, x+y, x2+y2, x3+y3, x4+y4 и т.д. Первые два из записанных многочленов считаются основными в том смысле, что любые другие симметрические многочлены можно представить в виде некоторой комбинации многочленов х + у и ху.

Теорема. Любой симметрический многочлен Р(х;у) можно представить в виде многочлена от ху и х+у.

Например,

x2+y2=(x+y)2-2xy

x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)

x4+y4= 2xy(x2+y2)-(x4+y4)+3(xy)2 и т.д.

Уравнение Р(x;y) = а, где , называют симметрическим, если Р(х;y) — симметрический многочлен. Мы с вами рассматривали его на предыдущем уроке.

А теперь перейдем к такому понятию как бином Ньютона.

Слово бином означает «Два числа». В математике биномом называют «формулу для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных». Бином Ньютона — название формулы, выражающей степень двучлена в виде суммы одночленов.

Давайте вслед за Ньютоном попробуем ее вывести, чтобы затем применять.

Вы наверняка помните (или, по крайней мере, должны помнить), формулы сокращенного умножения для квадрата и куба суммы двух слагаемых (такая сумма называется «бином», по-русски – двучлен.

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

Если вы забыли эти формулы, можно их получить напрямую, раскрыв скобки в очевидных равенствах

(a+b)2=(a+b)(a+b)

(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)

Может быть, вам приходил в голову вопрос: можно ли (без компьютера) получить формулы типа для биномов четвертой степени, пятой, десятой – какой угодно?

Давайте попробуем дойти напрямую хотя бы до пятой степени, а там, может быть, окажется «рояль в кустах» (для порядка будем размещать слагаемые в правой части по убыванию степени а, она убывает от максимума до нуля):

(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

(a+b)5=(a+b)4(a+b)=(a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4)(a+b)=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

Теперь отдельно выпишем численные коэффициенты в правых частях формул при возведении бинома в заданную степень:

n=2 1,2,1

n=3 1,3,3,1

n=4 1,4,6,4,1

n=5 1,5,10,5,1

Легко проверить, что выписанные на численные коэффициенты – это строчки треугольника Паскаля, начиная с третьей. Этот «усеченный треугольник», в котором не хватает первых двух строк, легко сделать полным (получить строчки при n=0 и n=1):

n=0, (a+b)0=1

n=1, (a+b)1=a+b

Окончательно получим:

n=0 1

n=1 1,1

n=2 1,2,1

n=3 1,3,3,1

n=4 1,4,6,4,1

n=5 1,5,10,5,1

Общая формула бинома Ньютона:

.

Правая часть формулы называется разложением степени бинома.

 — называется биномиальными коэффициентами, а все слагаемые — членами бинома.

Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. 

На самом деле, о треугольнике Паскаля было известно задолго до Паскаля — его знал живший в XI-XII вв. среднеазиатский математик и поэт Омар Хайям (к сожалению, его сочинение об этом до нас не дошло). Первое, дошедшее до нас описание формулы бинома Ньютона содержится в появившейся в 1265 г. книге среднеазиатского математика ат-Туси, где дана таблица чисел   (биномиальных коэффициентов) до n=12 включительно.

Европейские ученые познакомились с формулой бинома Ньютона, по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов провел французский математик и философ Б. Паскаль в 1654 г.

В заключении рассмотрим пример, в котором использование бинома Ньютона позволяет доказать делимость выражения на заданное число.

Пример 5.

Доказать, что значение выражения 5n+28n-1, где n – натуральное число, делится на 16 без остатка.

Решение: представим первое слагаемое выражение как 5n= (4+1)n и воспользуемся формулой бинома Ньютона:

Полученное произведение доказывает делимость исходного выражения на 16. 

Бином Ньютона применяется при доказательстве Теоремы Ферма, в теории бесконечных рядов и выводе формулы Ньютона-Лейбница

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

№1.

Из данных многочленов выделите симметрические:

  1. 2-5ху+2у2-6
  2. 6x⁴-16xy²-6y3+19
  3. -3ху+6х²-5у²+8
  4. 16x4y²+16x²y4-x⁴-y⁴

Решение: к данному заданию применим определение симметрических многочленов (Многочлен Р(х;у) называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х). Получим, что нам подходят 1 и 4 пункты.

Верный ответ:

  1. 2-5ху+2у2-6
  2. 6x⁴-16xy²-6y3+19
  3. -3ху+6х²-5у²+8
  4. 16x4y²+16x²y4-x⁴-y⁴

№2.

(а+b)5= __a5 +___a4b+___a3b2+___a2b3+___ab4+__b5

Решение: для решения данного задания воспользуемся треугольником Паскаля

1    
1    1    
1    2    1    
1    3    3    1    
1    4    6    4    1    
1    5    10    10    5    1

Нас интересует последняя строчка.

Применив ее, получим ответ:

(а+b)5= 1a5 +5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5

Примеры решения показательных уравнений

Примеры решения показательных уравнений

Примеры решения показательных уравнений

Пример №1

1000x=100

Представим левую и правую часть уравнения в виде степени, имеющую одинаковые основания:

103x=102

Теперь, когда основания одинаковые, нужно приравнять показатели степеней.

3x=2
x=2/3

Ответ: x=2/3 .

Главное в показательных уравнениях — свести левую и правую часть уравнения к общему основанию:

Пример №2

(2/5)x=(5/2)4

Представим (2/5)x как (5/2)-x:

(5/2)-x=(5/2)4

Основания одинаковые, следовательно, приравниваем показатели:

-x=4
x=-4

Ответ: x=-4

Пример №3

√3х=9

√3х распишем как 3x/2, а 9 — как 32:

3х/2=32

Приравниваем показатели:

х/2=2
х=4

Ответ: x=4

Пример №4

3х2-х-2=81

Заметим, что 81=34

3х2-х-2=34

Приравниваем показатели:

х2-х-2=4

х2-х-6=0

Получили квадратное уравнение:

D=1+24=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

х1=(1+5)/2=3

х2=(1-5)/2=-2

Ответ: х=3 и х=-2

Пример №5

4х+1+4х=320

В таких случаях выносится основание с наименьшим показателем. В данном уравнении наименьшим показателем является х. Вынесем 4х за скобки:

4х(4+1)=320

4х*5=320

Представим 320 в виде 5*43, тогда:

4х*5=5*43

Поделим левую и правую часть уравнения на 5:

4х=43

Приравняем показатели:

х=3

Ответ: х=3

Пример №6

7х+2+4*7х-1=347

Степенью с наименьшим показателем в этом уравнении является х-1, следовательно, за скобки выносим 7x-1. Получаем:

7х-1*(73+4)=347

7х-1*347=347

Поделим левую и правую часть уравнения на 347:

7х-1=1

Заметим, что любое число в нулевой степени равно 1. Следовательно, распишем 1 как 70:

7х-1=70

Приравняв показатели, получим:

х-1=0

х=1

Ответ: х=1

Пример №7

4х-5*2х+4=0

Представим 4х как 2, получим:

2-5*2х+4=0

Введем подстановку: 2х обозначим переменной t. Cледовательно: 2=t2. Получим:

t2-5t+4=0

Найдем корни уравнения по теореме Виета:

t1=1

t2=4

Заменим t на 2х:

2х=1

Заметим, что 20=1

2х=20

Приравняем показатели:

х=0

2х=4

Заметим, что 4=22

2х=22

Приравняем показатели:

х=2

Уравнение имеет два действительных корня 0 и 2.

Ответ: х=0 и х=2

Пример №8

(√2+√3)х + (√2-√3)х=4

Введем подстановку: (√2+√3)х обозначим переменной t. А (√2-√3)х домножим на сопряженные и получим:

((√2+√3)х*(√2-√3)х) / (√2+√3)х = (√4-3)х/(√2+√3)х = 1 x/(2+√3)x = 1/(2+√3)x

Следовательно, 1/(√2+√3)х=1/t.

Получаем:

t+1/t=4

Отметим, что t=0, т.к. деление на 0 не определено. Домножим левую и правую часть на t:

t2+1=4t

t2-4t+1=0

Решим квадратное уравнение:

D=16-4=12, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

t1=(4-2√3)/2=2-√3

t2=(4+2√3)/2=2+√3

Заменим t на (√2+√3)х:

(√2-√3)х=2+√3

Домножим 2+√3 на сопряженные и получим:

1/(2-√3)=2+√3

Cледовательно:

(√2-√3)х=1/2-√3

Заметим, что 1/2-√3=(√2-√3)-2

(√2+√3)х=(√2-√3)-2

Приравняв показатели, получим:

х=-2

Заменим t на 2+√3

(√2+√3)х=2+√3

Заметим, что 2+√3=(√2+√3)2

Приравняв показатели, получим:

х=2

Ответ: х=-2 и х=2

Пример №9

x+y=6

xy2+7y+12=1

Выразим x:

x=6-y

xy2+7y+12=1

Заметим, что x0=1:

x=6-y

xy2+7y+12=x0

Приравним показатели:

x=6-y

y2+7y+12=0

Решим отдельно квадратное уравнение:

y2+7y+12=0

D=49-48=1, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

y1=(-7+1)=-3

y2=(-7-1)=-4

y=-3

x=6-(-3)=9

y=-4

x=6-(-4)=10

Ответ: x=9; y=-3 и x=10; y=-4

<< Назад ] [ Начало ] [ Вперед >>


3.1.2. Разложение выражений на множители



Глава 3. Решение уравнений и неравенств

3.1.

3.1.2.

Изучение приёмов преобразования уравнений начнём с обсуждения того, как можно разлагать на множители выражения, входящие в данное уравнение. Вообще представление уравнения f (x) = g (x) в виде

F1 (x) · F2 (x) · … · Fn (x) = 0, (5)

где выражения Fk (x), k = 1, …, n «проще» функций f (x) и g (x), представляет собой несомненное продвижение в решении уравнения. В самом деле, представление вида (5) позволяет сразу приравнивать множители Fk (x) нулю и решать более простые уравнения. Представление уравнения (1) в виде (5) иногда называют факторизованным видом уравнения (1) (от английского слова «factor» – множитель).

Перечислим теперь некоторые наиболее распространённые приёмы разложения многочленов, как наиболее простых алгебраических функций, на множители.

1. Вынесение общего множителя за скобку

В том случае, когда все члены многочлена имеют один и тот же общий множитель, его можно вынести за скобку, получая тем самым разложение многочлена.

Пример 1

Разложить на множители многочлен x5 – 2x3 + x2.

Каждое слагаемое этого многочлена содержит множитель x2. Вынесем его за скобку и получим ответ: x5 – 2x3 + x2 = x2(x3 – 2x + 1).


2. Применение формул сокращённого умножения

Формулы сокращения довольно эффективно применяются при разложении многочлена на множители. Полезно помнить следующие формулы:

Пример 2

Разложить на множители многочлен (x – 2)4 – (3x + 1)4.

Разложим разность четвёртых степеней по формуле, приведённой выше:


3. Применение выделения полного квадрата

Без преувеличения можно сказать, что метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители. Суть его состоит в выделении полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов. Поясним сказанное на примере.

Пример 3

Разложить на множители многочлен x4 + 4x2 – 1.

Имеем


4. Группировка

Метод группировки слагаемых, как правило, применяется совместно с другими методами разложения на множители и чаще всего с методом вынесения за скобки. Суть метода состоит в том, что все слагаемые данного многочлена перегруппировываются таким образом, чтобы в каждой группе, возможно после вынесения общего множителя за скобки, образовалось бы одно и то же выражение. Это выражение можно также вынести за скобки как общий для всех групп множитель.

5. Метод неопределённых коэффициентов

Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.

Теоретической основой метода являются следующие утверждения.

  • Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
  • Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.
  • Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.

Для доказательства второго утверждения вспомним, как выглядит график степенной функции с нечетной целой степенью (§ 2.2.5). Действительно, из его вида следует, что значение многочлена имеет разные знаки при x → +∞ и x → –∞. Многочлен степени n – непрерывная функция, значит, найдется хотя бы одна точка, в которой график этой функции пересечет ось Ox.

Пример 4

Разложить на множители многочлен 3x3 – x2 – 3x + 1.

Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены x – p и ax2 + bx  + c такие, что справедливо равенство

3x3 – x2 – 3x + 1 = (x – p)(ax2 + bx + c) = ax3 + (b – ap)x2 + (c – bp)x – pc.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырёх уравнений для определения четырёх неизвестных коэффициентов:

Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1,  b = 2, c = –1.

Итак, многочлен 3x3 – x2 – 3x + 1 разлагается на множители:

3x3 – x2 – 3x + 1 = (x – 1)(3x2 + 2x – 1).

6. Теорема о корнях многочлена

Разложение многочлена на множители иногда удаётся провести, если один из его корней угадан с помощью теоремы о рациональных корнях, доказанной в § 2.1.4. После того, как корень x = α угадан, многочлен Pn (x) представим в виде Pn (x) = (x – α) · Pn – 1 (x), где Pn – 1 (x) − многочлен степени на 1 меньше, чем Pn (x).

Пример 5

Разложить на множители многочлен x3 – 5x2 – 2x + 16.

Данный многочлен имеет целые коэффициенты. По следствию теоремы о рациональных корнях (см. § 2.1.4) если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 16, то есть если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1, ±2, ±4, ±8, ±16.

Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем этого многочлена, то есть

x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2) · Q (x),
где Q (x) − многочлен второй степени. Следовательно, исходный многочлен разлагается на множители, один из которых (x – 2).

7. Разложение относительно параметра

Суть этого метода легче всего понять на примере.

Пример 6

Разложить на множители многочлен x4 – 10x2 – x + 20.

Преобразуем данный многочлен:

x4 – 10x2 – x + 20 = x4 – 5 · 2x2 – x + 25 – 5 = 25 – 5(1 + 2x2) + x4 – x

Рассмотрим теперь многочлен a2 – a(1 + 2x2) + x4 – x, который при a = 5 совпадает с данным. Полученный многочлен является квадратным, его корни легко найти по теореме Виета:

a2 – a(1 + 2x2) + x4 – x = a2 – a(1 + 2x2) + x(x3 – 1) = a2 – a(1 + 2x2) + x(x – 1)(x2 + x + 1).
Следовательно, a1 = x(x – 1), a2 = x2 + x + 1. Значит, исходный многочлен разлагается на множители a2 – a(1 + 2x2) + x4 – x = (a – (x2 – x))(a – (x2 + x + 1)). Вернемся к многочлену, данному в условии задачи, подставив a = 5. Получим:
x4 – 10x2 + x + 20 = (5 – x2 + x)(5 – x2 – x – 1) = (x2 – x – 5)(x2 + x – 4).



{3} $$

чисел — экспоненты — подробно

Показатель говорит сколько раз базовое число используется в качестве множителя. База из пяти поднятых во второй степени называется «пять в квадрате» и означает «пять». умножить на пять ». Пять в третьей степени называют« пятью в кубе ». и означает «пять раз по пять раз». База может быть любой число — целое число, десятичное число или дробь могут быть возведены в власть.

Здесь несколько простых правил для использования с показателями степени.

  1. 1 =
    Любое число, возведенное в степень единицы, равно самому числу.
  2. Для любого число a, кроме 0, a 0 = 1
    Любое число, возведенное в степень нуля, кроме нуля, равно единице.
  3. Для любого числа a, b и c,
    а б х в = а б + в

    Это правило умножения говорит нам, что мы можем просто сложить экспоненты, когда умножение двух степеней с одинаковым основанием.

ВНИМАНИЕ! Это ошибки, которые студенты часто допускают при работе с экспонентами.

Ошибка! Не умножайте основание и показатель степени. 2 6 не равно 12, это 64!

Ошибка! Правило умножения применяется только к выражениям с одинаковым основанием. Четыре квадрат, умноженный на два в кубе — это не то же самое, что 8 в степени два плюс три.

Ошибка! Правило умножения применяется только к произведению, а не к сумме двух числа.

Научный Обозначение
Что происходит, когда вы используете калькулятор и ваш ответ слишком длинный, чтобы влезть в окно? Воспользуйтесь калькулятором, чтобы умножить эти 2 числа:

60 000 000 000 000 х 20 000 000 000
Вы откроете для себя короткий способ написания очень длинных чисел.Это называется научным обозначение или обозначение E на калькуляторе («E» означает «Exponent»). Число, записанное в научных обозначениях, записывается как произведение числа между 1 и 10 и степенью 10.

Например, чтобы записать 127 680 000 в экспоненциальном представлении, замените число на число от 1 до 10, переместив десятичную запятую на 8 разрядов влево. Затем умножьте на 10 в степени количества знаков, на которое вы должны были переместить десятичную дробь точка — то есть 108:

127 680 000 = 1.2768 х 10 8
В окне вашего калькулятора основание 10 не отображается; буква E означает «10» возведен в следующую степень ».

Примеры
7 х 7 х 7 х 7 =? 7 4
2 х 2 х 2 х 2 х 2 х 2 =? 2 6
1 10 = 1
5 3 = 5 х 5 х 5 = 125

Напишите следующее числа в экспоненциальной записи.
565 000 = 5.65 х 10 5
7,325,000 = 7,325 x 10 6
91 247 000 000 = 9,1247 x 10 10

назад наверх

Правила экспоненты — ChiliMath

Правила экспоненты, также известные как «правила экспоненты», представляют собой некоторые из правил по предмету алгебры, с которыми нам необходимо ознакомиться. Освоение этих основных правил экспоненты вместе с основными правилами логарифмов (также известными как «правила журнала») сделает ваше изучение алгебры очень продуктивным и увлекательным.

Начнем с изучения частей экспоненциального числа.

Показательное число или выражение состоит из двух частей. Первый компонент — это основание , которое «несет» показатель степени , который является вторым компонентом в его правом верхнем углу.

Взгляните на иллюстрацию ниже.

Части экспоненциального числа или выражения

Например, как бы вы записали 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 в экспоненциальной записи?

Число 2 — это число, которое многократно умножается, поэтому оно автоматически становится основой экспоненциального выражения.Обратите внимание, что это написано пять раз. Это значение указывает количество вхождений основания, таким образом, это должен быть показатель степени.

Читается как «от 2 до 5 степени».


Основание экспоненциального выражения также может быть буквой или переменной. Предположим, у нас есть

Поскольку переменная x умножается в десять раз, мы можем записать это в компактной форме.

Читается как «x в 10-й степени».


Краткое изложение семи (7) правил экспоненты

Теперь давайте рассмотрим семь (7) основных правил экспоненты.0} = 1.

  • Упростите показанное ниже экспоненциальное выражение.

Каждое выражение со скобкой, возведенной в степень нуля, 0, как в числителе, так и в знаменателе, будет просто заменено на 1. Обязательно уменьшите дробь до наименьшего члена.


ПРАВИЛО 2: Свойство отрицательной экспоненты

Любое ненулевое число, возведенное в отрицательную экспоненту, не имеет стандартной формы. Нам нужно будет немного переставить. Переместите основание с отрицательной степенью в противоположную сторону дроби, затем сделайте показатель положительной.{- \, 4}}.

Основание 2 имеет отрицательный показатель степени -4. Это можно исправить, переместив его в знаменатель и изменив знак экспоненты на положительный, используя отрицательное правило экспоненты.

  • Упростите экспоненциальное выражение.

На этот раз в знаменателе находится основание с отрицательной степенью. Подведите его к числителю, сделав показатель степени положительным.

  • Упростите экспоненциальное выражение.

Оба показателя в числителе и знаменателе отрицательны.Имеет смысл поменять их местами на дробной полосе. Переменная x понижается, а переменная y повышается! Обязательно измените оба их показателя на положительные.


📍ПРАВИЛО 3: Свойство произведения экспоненты

При умножении экспоненциальных выражений с тем же основанием, где основание является ненулевым действительным числом, скопируйте общее основание, а затем сложите их показатели. 2}} \ right).2}} \ справа).

После того, как мы умножим экспоненциальные выражения с тем же основанием, добавив их показатели, мы получим одну переменную с отрицательным показателем, а другую — с нулевым показателем.

Не сомневайтесь, примените два выученных ранее правила, а именно Правило 1 и Правило 2, чтобы еще больше упростить это выражение.


📍ПРАВИЛО 4: Частное свойство экспоненты

При делении экспоненциальных выражений с тем же основанием, где основание является ненулевым действительным числом, скопируйте общее основание, а затем вычтите верхний показатель степени на нижний показатель степени.Здесь мы должны предположить, что b \ ne 0 и оба m и n принадлежат множеству целых чисел.

Примеры :

  • Упростите частное экспоненциальных выражений.

Дробная черта означает, что мы собираемся делить. Имеет смысл применить правило деления экспоненты, то есть скопировать общее основание в числителе и знаменателе и вычесть верхний показатель степени на более низкий показатель.

  • Упростите экспоненциальные выражения.

Сравнивая выражения в числителе и знаменателе, я вижу, что есть два общих основания, x и y.Примените правило деления к каждой переменной. После этого переменная x будет содержать отрицательную экспоненту, поэтому используйте отрицательное правило экспоненты, чтобы решить проблему.

  • Упростите экспоненциальные выражения.

Один из способов упростить это — пока игнорировать отрицательные экспоненты. Сначала примените правило деления и посмотрите, появятся ли снова отрицательные показатели. В таком случае используйте отрицательное правило экспоненты.


ПРАВИЛО 5: Степень степенного свойства экспоненты

Когда экспоненциальное выражение возводится в степень, скопируйте основание, которое является ненулевым действительным числом, затем умножьте внутреннюю и внешнюю экспоненты.3}.

Это выражение имеет внутренний и внешний показатели. Правило «Степень к мощности» позволяет нам копировать основание и умножать экспоненты.


ПРАВИЛО 6: Степень свойства произведения экспоненты

Когда произведение двух или более множителей возводится в степень, скопируйте каждый множитель, а затем умножьте его показатель степени на внешний показатель степени. Мы должны сделать это для каждого фактора в скобках, которые в данном случае являются a и b. Предположения: a \ ne 0 или b \ ne 0, а n — целое число.2}.

Эта проблема очень похожа на предыдущую. Единственное отличие состоит в том, что есть три (3) множителя с показателями степени. Нам просто нужно распределить внешний показатель степени на каждый из внутренних показателей.


📍ПРАВИЛО 7: Степень частного свойства экспоненты

Когда частное возводится в степень, скопируйте множитель числителя, а затем умножьте его показатель на внешний показатель. Мы должны сделать то же самое с множителем в знаменателе, куда мы его копируем, а затем умножить его показатель на внешний показатель.Здесь также нужно предположить, что a \ ne 0 или b \ ne 0, а m — целое число.

Пример:

  • Упростите экспоненциальное выражение.

На самом деле, мы будем использовать здесь одновременно два свойства экспонент, чтобы полностью это упростить. В дополнение к Правилу 7 (Правило силы частного) нам нужно будет применить Правило 6 (Правило силы произведения). Проще говоря, просто обрабатывайте числитель и знаменатель отдельно при распределении путем умножения внутренних и внешних показателей для каждого фактора.


Практика с рабочими листами

Правила экспоненты | Законы экспонентов

Правила экспоненты, законы экспоненты и примеры.

Что такое показатель степени

Основание a в степени n равно умножению числа a, n раз:

a n = a × a × × a

п раз

a — основание, n — показатель степени.

Примеры

3 1 = 3

3 2 = 3 × 3 = 9

3 3 = 3 × 3 × 3 = 27

3 4 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81

3 5 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243

Экспоненты правила и свойства

Название правила Правило Пример
Правила продукта a n a m = a n + m 2 3 ⋅ 2 4 = 2 3 + 4 = 128
a n b n = ( a b ) n 3 2 ⋅ 4 2 = (3⋅4) 2 = 144
Правила частных a n / a м = a n м 2 5 /2 3 = 2 5-3 = 4
a n / b n = ( a / b ) n 4 3 /2 3 = (4/2) 3 = 8
Правила мощности ( b n ) м = b нм (2 3 ) 2 = 2 3⋅2 = 64
b n м = b ( n м ) 2 3 2 = 2 (3 2 ) = 512
м √ ( b n ) = б п / м 2 √ (2 6 ) = 2 6/2 = 8
b 1/ n = n b 8 1/3 = 3 √8 = 2
Отрицательные показатели b -n = 1/ b n 2 -3 = 1/2 3 = 0.125
Нулевые правила б 0 = 1 5 0 = 1
0 n = 0, для n > 0 0 5 = 0
Единые правила b 1 = b 5 1 = 5
1 n = 1 1 5 = 1
Минус одно правило (-1) 5 = -1
Производное правило ( x n ) = n x n -1 ( x 3 ) = 3⋅ x 3-1
Интегральная линейка x n dx = x n +1 / ( n +1) + C x 2 dx = x 2 + 1 / (2 + 1) + C

Показатели продукта правила

Правило продукта с той же базой

a n a m = a n + m

Пример:

2 3 ⋅ 2 4 = 2 3 + 4 = 2 7 = 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 = 128

Правило произведения с таким же показателем

a n b n = ( a b ) n

Пример:

3 2 ⋅ 4 2 = (3⋅4) 2 = 12 2 = 12⋅12 = 144

См .: Показатели умножения

Правила частного экспонента

Правило частных с тем же основанием

a n / a м = a n м

Пример:

2 5 /2 3 = 2 5-3 = 2 2 = 2⋅2 = 4

Правило частных с тем же показателем

a n / b n = ( a / b ) n

Пример:

4 3 /2 3 = (4/2) 3 = 2 3 = 2⋅2⋅2 = 8

См .: Показатели деления

Правила степени экспоненты

Правило силы I

( a n ) м = a нм

Пример:

(2 3 ) 2 = 2 3⋅2 = 2 6 = 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 = 64

Правило власти II

a n m = a ( n m )

Пример:

2 3 2 = 2 (3 2 ) = 2 (3⋅3) = 2 9 = 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 = 512

Правило власти с радикалами

м √ ( a n ) = a n / м

Пример:

2 √ (2 6 ) = 2 6/2 = 2 3 = 2⋅2⋅2 = 8

Правило отрицательных показателей

b -n = 1/ b n

Пример:

2 -3 = 1/2 3 = 1 / (2⋅2⋅2) = 1/8 = 0.125

См .: Отрицательные показатели

Калькулятор экспонент ►


См. Также

Калькулятор экспонент

Введите значения в любые два поля ввода, чтобы найти третье.

Связанный научный калькулятор | Калькулятор журнала | Калькулятор корня

Что такое показатель степени?

Возведение в степень — это математическая операция, записанная как a n , включающая основание a и показатель степени n .В случае, когда n является положительным целым числом, возведение в степень соответствует повторному умножению основания, n раз.

а п = а × а × … × а
n раз

Калькулятор выше принимает отрицательные основания, но не вычисляет мнимые числа. Он также не принимает дроби, но может использоваться для вычисления дробных показателей, если показатели вводятся в их десятичной форме.

Основные законы и правила экспоненты

При умножении экспонент с одной и той же базой экспоненты складываются.

a n × a m = a (n + m)
Пример: 2 2 × 2 4 = 4 × 16 = 64
2 2 × 2 4 = 2 (2 + 4) = 2 6 = 64

Когда показатель степени отрицательный, отрицательный знак удаляется возвратом основания и увеличением его до положительного показателя степени.

EX: 2 (-3) = 1 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 =

При делении показателей степени с одинаковым основанием вычитаются показатели степени.

EX: = =
= 2 (2-4) = 2 -2 = =

Когда показатели увеличиваются до другого показателя, показатели умножаются.

(a м ) n = a (m × n)
Пример: (2 2 ) 4 = 4 4 = 256
(2 2 ) 4 = 2 (2 × 4) = 2 8 = 256

Когда умноженные основания возводятся в степень, экспонента распределяется по обеим основаниям.

(a × b) n = a n × b n
Пример: (2 × 4) 2 = 8 2 = 64
(2 × 4) 2 = 2 2 × 4 2 = 4 × 16 = 64

Аналогичным образом, когда разделенные основания возводятся в степень, показатель степени распределяется по обоим основаниям.

Пример: ( ) 2 = × =

Когда показатель степени равен 1, основание остается прежним.

а 1 = а

Когда показатель степени равен 0, результатом возведения в степень любого основания всегда будет 1, хотя некоторые дебаты окружают 0 0 равно 1 или не определено. Для многих приложений удобно определять 0 0 как 1.

а 0 = 1

Ниже показан пример аргумента для 0 = 1 с использованием одного из ранее упомянутых законов экспоненты.

Если n × м = (n + m)
Тогда n × a 0 = a (n + 0) = a n

Таким образом, единственный способ, чтобы a n оставалось неизменным при умножении, и этот закон экспоненты оставался верным, — это для 0 быть 1.

Когда показатель степени является дробью, где числитель равен 1, берется корень n -й степени от основания. Ниже показан пример с дробной степенью, где числитель не равен 1. Он использует как отображаемое правило, так и правило для умножения экспоненты с аналогичными основаниями, рассмотренными выше. Обратите внимание, что калькулятор может вычислять дробные показатели, но они должны быть введены в калькулятор в десятичной форме.

Также возможно вычислить показатели с отрицательным основанием.Они следуют тем же правилам, что и показатели с положительным основанием. Показатели с отрицательными основаниями, возведенными в положительные целые числа, равны своим положительным аналогам по величине, но различаются в зависимости от знака. Если показатель степени является четным положительным целым числом, значения будут равны независимо от положительного или отрицательного основания. Если показатель степени является нечетным положительным целым числом, результат снова будет иметь ту же величину, но будет отрицательным. Хотя правила для дробных показателей с отрицательным основанием такие же, они предполагают использование мнимых чисел, поскольку невозможно извлечь корень из отрицательного числа.Пример приведен ниже для справки, но обратите внимание, что предоставленный калькулятор не может вычислять мнимые числа, и любые входные данные, которые дают мнимое число, вернут результат «NAN», что означает «не число». Численное решение по существу такое же, как и в случае с положительным основанием, за исключением того, что число должно быть обозначено как мнимое.

Product Rule, Quotient Rule и Power Rules — Подготовка к оценке TSI

Показатели используются для отображения повторного умножения.Например, 4 3 означает 4 · 4 · 4 = 64.

В этом разделе мы рассмотрим основные правила экспонент.

Правило произведения экспонентов a m a n = a m + n

При умножении экспоненциальных выражений с одинаковым основанием складывайте экспоненты.

Пример :

Умножить: 4x 3 · −6x 2

Решение :

Коэффициенты умножения: 4 · −6 = −24

Используйте правило произведения для умножения переменных: x 3 · x 2 = x 3 + 2 = x 5

4x 3 · −6x 2 = −24x 5

Правило частных экспонент

При делении экспоненциальных выражений с одинаковым основанием вычитайте экспоненты.

Пример :

Упростить:

Решение :

Коэффициенты деления: 8 ÷ 2 = 4

Используйте правило частного для разделения переменных:

Правило степени экспонентов ( m ) n = a mn

При возведении экспоненциального выражения в новую степень умножьте экспоненты.

Пример :

Упростить: (7a 4 b 6 ) 2

Решение :

Каждый множитель в скобках должен быть возведен в степень 2 и :

(7a 4 b 6 ) 2 = 7 2 (a 4 ) 2 (b 6 ) 2

Упростите, используя правило степени экспонент:

(7a 4 b 6 ) 2 = 7 2 (a 4 ) 2 (b 6 ) 2 = 49a 8 b 12

Степень экспоненты

| NZ Maths

Назначение

Этот модуль помогает студентам научиться решать ряд задач, связанных с экспонентами.

Конкретные результаты обучения

  • Выразите степень как произведение основания, например 54 = 5 х 5 х 5 х 5.
  • Распознать образцы в последних цифрах степеней для того же основания.
  • Умножайте и делите степени с одинаковым основанием, добавляя или вычитая показатели степени, например 24 x 23 = 27 и 27 ÷ 24 = 23.

Необходимые ресурсные материалы

Деятельность

Сессия 1
  1. Покажите учащимся первый слайд PowerPoint One, на котором показано наращивание степени двойки.На анимации показаны первые четыре итерации; 1, 2, 4, 8. После этого управляйте анимацией щелчком мыши.
    Что будет дальше?
    Откуда ты знаешь?

    Что общего у всех чисел в таблице?
  2. Вам может потребоваться сказать учащимся, что эти числа являются степенью двойки, если они не знают. Начнем с четырех, что составляет 2 2 (два в квадрате или два в степени двойки). 2 2 может быть записано как 2 x 2. Восемь равно 2 3 и может быть записано как 2 x 2 x 2.Шестнадцать равно 2 4 и может быть записано как 2 x 2 x 2 x 2.
  3. Slide Two повторяет анимацию и вставляет степени двойки.
    Можете ли вы предсказать, как узор продолжится вправо и влево?

    Ученики должны заметить, что модель удваивается в объеме, когда справа добавляется еще одно число. Дальнейшие щелчки мышью показывают это.
    Что происходит с моделью, когда мы перемещаемся на одну позицию влево?

  4. Слайд 3 показывает, что объем делится пополам, при перемещении на одно место влево на столе.Студенты должны понимать, что степени двойки с показателем меньше двух — это «акты воображения», разработанные для соответствия шаблону.
    Факты 2 1 = 2 и 2 0 = 1 некоторым ученикам кажутся нелогичными.
    Что будет дальше на столе, когда мы двинемся налево? По шаблону 2 -1 идет следующим слева и является результатом деления 1 вдвое (2 -1 = ½). Следовательно, 2 -2 = ¼, поскольку половина одной половины равна одной четверти.
  5. Предложите учащимся решать задачи на Copymaster One в парах.Посмотрите, могут ли ваши ученики:
    • Помните, что степени двойки увеличиваются в два раза в положительном направлении.
    • Признайте, что степени двойки уменьшаются в два раза в отрицательном направлении.
    • Используйте повторяющийся шаблон цифр в единицах, чтобы предсказать дальнейшие степени, например единичные цифры повторяются в шаблоне 2, 4, 8, 6,… так что элемент повторения может быть использован, чтобы знать 2 1001 должен иметь 2 в разряде единиц.
    • Обратите внимание, что ответ на умножение степеней двойки всегда находится в наборе степеней двойки.
    • Обратите внимание, что ответ на деление степени двойки на степень двойки всегда находится в наборе степеней двойки.
  6. Соберите класс, чтобы обсудить их ответы. На этом этапе ученикам достаточно обратить внимание на два последних пункта списка, не полностью понимая, почему это происходит. Наконец, попросите учащихся использовать онлайн-инструмент для построения графиков или графический калькулятор, чтобы построить график y = 2 x . Спросите их, что они замечают. Сосредоточьтесь на обсуждении наклона графика и того, почему он увеличивается.При каждом приращении x на единицу рост (увеличение y) удваивается. Также обратите внимание, что y = 1, когда x = 0, поскольку 2 0 = 1.
Сессия 2

На этом уроке учащиеся сравнивают степени трех со степенями двойки, которые они узнали на предыдущем уроке.

  1. Slide One в PowerPoint Two предоставляет графику для построения степеней трех с помощью умножения на три. Задайте прогнозные вопросы:
    Что будет дальше с моделью куба?
    Какая мощность будет следующей?
    Сколько всего кубов будет у этой силы?

  2. Студенты могут продолжить таблицу вправо, используя Копировщик 2 и калькулятор.Вы можете показать учащимся, как работает кнопка x y на их калькуляторе, а также многократно использовать умножение на три, то есть 1 x 3 = = = = =…
  3. Slide Two PowerPoint Two работает в противоположном направлении, влево, путем деления предыдущего члена на три. Продолжайте задавать прогнозные вопросы, особенно о 3 1 и 3 0 . Студенты должны продолжить узор слева на Копимастере 2.
  4. Обсудите отрицательные степени тройки.Используйте третий слайд PowerPoint Two в качестве стимула.
    Что такое 3 -1 ? Откуда вы знаете?
    Если взять отдельный куб (3 0 ) и разделить его на три равные части, получим трети. 3 -1 = 1/3.
    Если взять одну треть куба и разделить ее на три равные части, получим девятые. 3 -2 = 1/9
    Процесс продолжается бесконечно, создавая единичные дроби вида 1 / 3n
  5. Пусть ваши ученики поработают в парах над Copymaster Two.
    Видят ли ваши ученики какую-либо связь между своими открытиями с степенями двойки и упражнениями, которые они выполняют с степенями тройки?
  6. Через подходящее время соберите класс вместе, чтобы сравнить рост степеней двойки и дерева, используя четвертый слайд PowerPoint Two.
    Почему степени трех растут намного быстрее, чем степени двойки?
    Представьте себе, как выглядит график степеней тройки по сравнению со степенями двойки. Что вы ожидаете?

  7. Попросите своих учеников использовать онлайн-инструмент для построения графиков или графический калькулятор, чтобы построить график y = 2 x и y = 3 x .Спросите их, что они замечают. Сосредоточьтесь на обсуждении наклона графика и того, почему он увеличивается. При каждом приращении x на единицу рост (увеличение y) удваивается. Также обратите внимание, что y = 1, когда x = 0, поскольку 2 0 = 1 и 3 0 = 1. Попросите своих учеников предвидеть графики y = 4 x и y = 1x / 2 или y = 1 . х . Изобразите все четыре функции на одной координатной плоскости.
    Что меняется при увеличении базы?
    Почему график y = 1 x представляет собой горизонтальную линию? Почему y равно единице для любого значения x?
    Как вы думаете, как выглядит график y =
    1x / 2 ? Изобразите это на графике, чтобы узнать.
    Почему значение (0,5) x убывает по мере увеличения x?
Сессия 3

На этом занятии учащиеся применяют свои знания о степенях двойки и тройки для решения реалистичных задач. В фильме « Pay It Forward » (2000) есть интересная идея школьного проекта главного героя Тревора, которого играет Хейли Джоэл Осмент. Его схема состоит в том, что он начинает цепочку «подарков», оказывая трем людям значительную услугу.Их просят оказать трем другим людям огромную услугу. Затем эти девять человек оказывают услугу каждому по три и так далее. Вы можете найти трейлер к фильму в Интернете и показать его своим ученикам.

Проблема:

В первом раунде есть только Тревор. Он делает одолжение трем людям. После второго раунда четыре человека, Тревор и трое других, чувствуют себя хорошо.
Сколько людей чувствуют себя хорошо после… третьего раунда?… Четвертого раунда? … Пятый раунд?
Если вы запустите Pay It Forward , сколько раундов потребуется, прежде чем это затронет всех в Новой Зеландии?

  1. Попросите учащихся решить задачу парами или тройками.Разрешите доступ к компьютерам, калькуляторам и материалам (например, кубам), если они нужны учащимся. Посмотрите, могут ли ваши ученики:
    • Осознайте, что в каждом раунде количество людей увеличивается в степени трех;
    • Поймите, что общее количество людей после каждого раунда является суммой степеней тройки;
    • Организуйте свои данные в таблицу.
  2. Эта таблица показывает, как вычислительное мышление можно использовать для решения проблемы. Формулы в ячейках B3 и C2 были заполнены для генерации значений.К 15 раунду пользу получили более 7 миллионов человек.

  3. По прошествии подходящего времени соберите класс, чтобы обсудить, как ученики решили проблему.
    Сколько раундов потребовалось бы, если бы каждому оказали услугу двум, а не трем? (К 23 раундам 8,38 миллиона человек получили одолжение)
    Сколько раундов было бы занято, если бы каждому оказали услугу пяти людям, а не трем? (К 12 раунду 12,2 миллиона человек получили одолжение)
    Каков эффект изменения количества людей, которым оказано одолжение в каждом раунде?
  4. Copymaster Three имеет другие проблемы, связанные с полномочиями.
Сессия 4

На этом занятии студенты узнают, как умножать и делить со степенями два, три и пять, используя законы экспонент.

  1. Проработайте примеры в PowerPoint Three. На четвертом слайде представлены результаты.
    Что вы заметите в произведении при умножении двух степеней трех?
    Вы можете объяснить кому-нибудь еще, почему это происходит?

  2. Перейдите к PowerPoint Three, чтобы проверить, сохраняется ли соотношение для степеней двойки и пяти.
    Как мы могли писать то, что обычно нашли?

    Возможно, вам потребуется напомнить своим ученикам, что многократно умножаемое число является основанием, а число умножаемого на него основания — показателем степени. Например, при 5 3 , что означает 5 x 5 x 5, пять — основание, а три — показатель степени. Возможны два уровня обобщения степенных законов.

    Студенты могут предложить что-то вроде этого:
    «Чтобы найти произведение степеней двойки, сложите экспоненты.
    Давайте использовать m и n для обозначения показателей степени.
    Как написать правило? (2 m x 2 n = 2 m + n )

    Дальнейшее обобщение может быть вызвано вопросом:
    Должна ли власть иметь основание из двух? Правило работает с другими базами?

    Учащиеся могут уточнить свои утверждения:
    «Чтобы найти произведение степеней с одинаковым основанием, сложите показатели».
    Давайте использовать m и n для обозначения показателей степени и X для обозначения основания.
    Как написать правило? (X м x X n = X m + n )

  3. Дайте вашим ученикам Четверку Копимастера, чтобы они применяли умножающие способности. Копимастер требует от студентов открыть для себя следующие идеи о силах.
    • Пары множителей для заданной мощности могут быть найдены с помощью закона сложения показателей, например 2 12 = 2 6 x 2 6 = 64 x 64 = 4096. Другие пары факторов включают 2 5 x 2 7 , 2 4 x 2 8 , 2 3 x 2 9 ,…, 2 -2 x 2 14 и т. д.
    • Квадрат степени — это степень с тем же основанием, которая имеет удвоенную степень, например 2 6 x 2 6 = 2 12 . Это можно записать как (2 6 ) 2 = 2 12 .
    • Квадратный корень из степени — это степень с тем же основанием, которая имеет половину степени, например √ 2 12 = 2 6 . Это можно записать как (212) 1/2 = 26.
    • Закон, обратный закону умножения, — это закон деления.Чтобы найти частное двух степеней, вычтите показатели, например 27/23 = 27-3.
Сессия 5

На этом занятии студенты изучают дальнейшие применения степенных законов для умножения и деления, включая упор на отрицательные степени.

  1. PowerPoint Four пересматривает разделение властей на той же основе. Попросите учащихся предвидеть результаты вычислений с использованием закона вычитания показателей.
  2. Для оценки попросите учащихся заполнить пять примеров на Copymaster Five.Им следует попробовать эти примеры самостоятельно. Обсудите ответы позже всем классом. Уделяйте столько же внимания обоснованию ответа, сколько самому ответу.
  3. Посмотрите видео 1, в котором рассказывается об отрицательных степенях двойки. Посмотрите, как учащиеся расширяют эту таблицу, используя повторяющееся сокращение вдвое:

    2-4

    2-3

    2-2

    2-1

    20

    21

    22

    23

    1/16

    1/8

    1/4

    1/2

    1

    2

    4

    8


    Если бы мы начали с 3 0 , что бы тогда произошло?
    Что произойдет с отрицательной степенью пяти?
  4. Возьмите большой блочный куб с разрядными значениями.

    Это модель 10 0 . Что такое 10 0 ? (Один)
    Чтобы сделать 10 -1 , что мне нужно сделать?
  5. Покажите, что разрезание куба «один» на десятые дает «квартиры».
    Как мы должны называть этот блок, если куб равен единице?

    Если квартира одна десятая, 10 -1 , ее также можно назвать 0,1.
    Как будут выглядеть блоки для 10 -2 и 10 -3 ?
  6. При равном разделении на десять частей получается модель:

  7. Завершите сеанс этим расследованием.

    Джесс считает, что отрицательную силу легко вычислить, если вы знаете положительные силы с одинаковым основанием.
    Она использует этот пример:

    10-4

    10-3

    10-2

    10-1

    100

    101

    102

    103

    1/10000

    1/1000

    1/100

    1/10

    1

    10

    100

    1000


    Она говорит: «Отрицательная сила всегда дробная.Один — числитель, а знаменатель — соответствующая положительная сила ».
    Что означает Джесс? Приведите несколько примеров
    Она права?
    Как можно записать правило Джесс с использованием формулы?

  8. Предложите вашим ученикам изучить правило Джесса, чтобы увидеть, смогут ли они обобщить, что x-m = 1 / xm. Например, 3-4 = 1/34 и 5-3 = 1/53.

.