основные формулы, шпаргалка, таблица для ЕГЭ

Тригонометрические формулы необходимо знать, чтобы сдать ЕГЭ. Мы собрали основные формулы в одну таблицу, с помощью которой вам будет легко готовиться к экзамену

Тригонометрические формулы для 10 класса по алгебре. Фото: shutterstock.com Игорь Геращенко Автор КП

Содержание

  1. Основные тригонометрические формулы
  2. Формулы сложения
  3. Формулы двойного угла
  4. Формулы тройного угла
  5. Формулы понижения степени
  6. Таблица с тригонометрическими формулами

История тригонометрии насчитывает более 2 000 лет.

Уже в Древнем Египте, Вавилоне и Китае появились зачатки этой науки. Древнегреческие математики рассматривали ее как часть астрономии. В «Началах» Евклида речь идет уже не только о плоской тригонометрии, но и о сферической.

В последующие годы значительный вклад в науку о соотношениях между углами и сторонами внесли Николай Коперник, Иоганн Кеплер, Исаак Ньютон, Леонард Эйлер, Николай Лобачевский и другие ученые. Если раньше тригонометрия использовалась, в основном, в астрономии, архитектуре и геодезии, то в настоящее время практически нет таких естественных и технических наук, где бы эта дисциплина не нашла своего применения.

Основные тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы устанавливают соотношения между основными тригонометрическими функциями: синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом. Связей между ними достаточно много, этим и объясняется многообразие тригонометрических формул.

Существуют формулы сложения, двойного угла, тройного угла, формулы понижения степени и целый ряд других.

Шпаргалка для ЕГЭ

Задания по тригонометрии всегда вызывают большие затруднения у учащихся, сдающих ЕГЭ. На ЕГЭ по математике выносятся следующие тригонометрические задания: базовый уровень (задание 7), профильный уровень (задания 4 и 12).

Мы собрали основные тригонометрические формулы, которые помогут при решении задач на ЕГЭ.

Формулы сложения

Тригонометрические формулы сложения показывают то, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов находят свое выражение через тригонометрические функции этих углов. Данные формулы являются базой для вывода формул двойного и тройного угла, а также понижения степени.

Скачать формулы сложения

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла 2α через тригонометрические функции угла. Данные формулы следуют из формул сложения. Формулы двойного угла используются преимущественно для преобразования тригонометрических выражений.

Скачать формулы двойного угла

Формулы тройного угла

По аналогии с формулами двойного угла мы можем получить формулы тройного угла. Для этого опять-таки используются формулы сложения, а также формулы двойного угла.

Скачать формулы тройного угла

Формулы понижения степени

Тригонометрические формулы понижения степени дают возможность понизить степени тригонометрических функций до первой. Эти формулы помогают переходить от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов.

Скачать формулы понижения степени

Таблица с тригонометрическими формулами

Чтобы сделать процесс запоминания тригонометрических формул более простым и доступным, мы занесли основные тригонометрические формулы в одну таблицу. Если ее всегда держать перед глазами, постоянно ею пользоваться, то на ЕГЭ не возникнет проблем с выполнением заданий по тригонометрии.

Скачать таблицу с тригонометрическими формулами

Алгебра 8 класс. Тесты и Тренажеры

Тесты и тренажеры по алгебре

 

Контрольные работы с ответами:

УМК МЕРЗЛЯК: Дидактические материалы: Контрольные работы (7 КР)
УМК МЕРЗЛЯК (угл. ): КиСР — Контрольные работы 8 кл (10 КР).

УМК МАКАРЫЧЕВ: Жохов Дидактические материалы — Контрольные (10 КР)
УМК МАКАРЫЧЕВ: Жохов Дидактические материалы — Самостоятельные (57 СР)
УМК МАКАРЫЧЕВ: Глазков. Контрольно измерительные работы (10 КР)
УМК МАКАРЫЧЕВ: Дудницын. Тематические тесты для 8 класса
УМК МАКАРЫЧЕВ: Рурукин. Поурочные разработки: Контрольные (10 КР)
УМК МАКАРЫЧЕВ (угл.): Карачинский. Самостоятельные и контрольные работы 8 кл

УМК МОРДКОВИЧ: Попов М.А. Дидактические материалы: Контрольные (7 КР)
УМК МОРДКОВИЧ: Александрова. Контрольные работы в 8 классе
УМК МОРДКОВИЧ: Домашние контрольные работы из уч. «Алгебра 8 класс. Часть 2-я»

УМК НИКОЛЬСКИЙ: Потапов. Дидактические материалы — Контрольные (7 КР)

УМК ДОРОФЕЕВ: Кузнецова и др. Контрольные работы для 8 класса (итоговая)

УМК АЛИМОВ: Жохов и др. Дидактические материалы — Контрольные (9 КР)

К любому УМК (базовому) — Ершова. Самост. и контр. работы по алгебре и геометрии (итоговая)

 

Электронные версии учебников с ответами

Конспекты по алгебре (7-9 классы)

Онлайн-учебник Алгебра 8 класс Мерзляк Полонский Якир

Онлайн учебник: Алгебра 8 кл. Макарычев, Миндюк, Суворова (Просвещение)

Онлайн-учебник Алгебра 8 кл. Мордкович ЗАДАЧНИК (Мнемозина)

Онлайн учебник: Алгебра 8 класс. Мордкович, Семенов (Просвещение)

Онлайн учебник: Алгебра 8 (углубленное изучение). Мерзляк, Поляков

 

Рекомендуемые материалы для очного контроля знаний


по предмету «Алгебра 8 класс»:

Контрольно-измерительные материалы по алгебре в 8 классе / В.В.Черноруцкий — М.: ВАКО, 2018

Алгебра. Тематические тесты. 8 класс. Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Рослова Л. О. и др. (2014, 142с.)

Алгебра 8 класс. Контрольные работы. Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Рослова Л.О., Суворова С.Б. (2016, 80с.)

Алгебра. 7-9 классы. Контрольные работы. Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Рослова Л.О. (2011, 110с.)

Алгебра. Дидактические материалы. 8 класс. Евстафьева Л.П., Карп А.П. (2017, 144с.)

Алгебра. 8 класс. Дидактические материалы. Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И. (2013, 96с.)

Алгебра. 8 класс. Тематические тесты. Ткачева М.В. (2014, 80с.)

Алгебра 8 класс. Дидактические материалы. Жохов В.И., Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. (2012, 160с.)

Алгебра. 8 класс. Контрольные измерительные материалы. Глазков Ю.А., Гаиашвили М.Я. (2014, 96с.)

Алгебра. 8 класс. Тестовые материалы для оценки качества обучения. Гусева И.Л., Пушкин С.А. и др. (2013, 96с.)

Алгебра. Тематические тесты. 8 класс. Дудницын Ю.П., Кронгауз В.Л. (2012, 128с.)

Алгебра. 8 класс. Дидактические материалы к учебнику Макарычева Ю.Н. — Звавич Л.И. , Дьяконова Н.В. (2014, 240с.)

Самостоятельные и контрольные работы по алгебре. 8 класс. К учебнику Макарычева Ю.Н. и др. Глазков Ю.А., Гаиашвили М.Я. (2012, 144с.)

Тесты по алгебре. 8 класс: к учебнику Макарычева Ю.Н. и др. — Глазков Ю.А., Гаиашвили М.Я. (2013, 112с.)

Алгебра. 8 класс. Дидактические материалы к учебнику Макарычева. Углубленное изучение. (2013, 173с.)

Алгебра. Дидактические материалы. 8 класс. Пос. для школ с углубл. изучен. математики. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. (2010, 157с.)

Тесты по алгебре. 8 класс. К учебнику Мордковича А.Г. Ключникова Е.М., Комиссарова И.В. (2011, 96с.)

Алгебра. 7-9 классы. Контрольные работы. Мордкович А.Г. (2011, 127с.)

Алгебра 8 класс. Контрольные работы. Александрова Л.А. (2014, 40с.)

Алгебра. 7-9 классы. Контрольные работы. Мордкович А.Г. (2011, 127с.)

Алгебра. 8 класс. Тематические тесты. Чулков П.В., Струков Т.С. (2012, 95с.)

Тесты по алгебре. 8 класс. К учебнику Никольского С.М. и др. — Журавлев С.Г., Ермаков В.В. и др. (2013, 144с.)

Алгебра. 7-8 классы. Тренажер. Тематические тесты и итоговые работы. Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. (2013, 96с.)

Алгебра. 8 кл. Сборник тестов и контрольных заданий. Дюмина Т.Ю. (2010, 83с.)

 

Вы смотрели «Тесты по алгебре в 8 классе. Контрольные работы по алгебре 8 класс с ответами». Вернуться 

стандартных алгебраических тождеств | Математика для 8 класса

  • Написание вступительного экзамена

    • Глава 1. Рациональные числа

    Глава 2. Линейные уравнения с одной переменной

    Глава 3. Понимание четырехугольников

    Глава 4. Практическая геометрия

    Глава 5: Обработка данных

    Глава 6: Квадраты и квадратные корни

    Глава 7: Кубы и кубические корни

    Глава 8: Сравнение величин

    Глава 10: Визуализация объемных фигур

    Глава 11. Измерение

    Глава 12. Экспоненты и степени

    Глава 13. Прямые и обратные пропорции

    Глава 14. Факторизация

    Глава 15. Введение в графики

    Глава 16: Игра с числами

    Глава о решениях NCERT 1: Рациональные числа

    Решения NCERT Глава 2: Линейные уравнения с одной переменной

    Решения NCERT Глава 3: Понимание четырехугольников

    Решения NCERT Глава 4: Практическая геометрия

    Решения NCERT Глава 5: Обработка данных

    Решения NCERT Глава 6: Квадраты и квадратные корни

    Решения NCERT Глава 7: Кубы и кубические корни

    Решения NCERT Глава 8: Сравнение величин

    Решения NCERT Глава 9: Алгебраические выражения и Identities

    Решения NCERT Глава 10: Визуализация твердых форм

    Решения NCERT Глава 11: Измерение

    Решения NCERT Глава 12: Экспоненты и степени

    Решения NCERT Глава 13: Прямые и обратные пропорции

    Решения NCERT Глава 14: Факторизация

    Решения NCERT Глава 15: Введение в графики : Рациональные числа

    RD Sharma Solutions Глава 2: Полномочия

    RD Sharma Solutions Глава 3: Квадраты и квадратные корни

    RD Sharma Solutions Глава 4: Кубы и кубические корни

    RD Sharma Solutions Глава 5: Игра с числами

    Решения RD Sharma Глава 6: Алгебраические выражения и тождества

    Решения RD Sharma Глава 7: Факторизация

    Решения RD Sharma Глава 8: Деление алгебраических выражений

    Решения RD Sharma Глава 9: Линейное уравнение с одной переменной 9000 5

    РД Шарма Решения Глава 10: Прямые и обратные пропорции

    RD Sharma Solutions Глава 11: Время и работа

    RD Sharma Solutions Глава 12: Процент

    RD Sharma Solutions Глава 13: Прибыль, убыток, скидка и налог на добавленную стоимость (НДС)

    RD Sharma Solutions Глава 14: Сложный процент с – III (Особые типы четырехугольников)

    RD Решения Шармы Глава 18: Практическая геометрия (построения)

    RD Решения Шармы Глава 19: Визуализация фигур

    RD Решения Шармы Глава 20: Измерение – I (Площадь трапеции и многоугольника) )

    RD Sharma Solutions Глава 21. Измерение — II (Объемы и площади поверхности параллелепипеда и куба)

    RD Sharma Solutions Глава 22. Измерение — III (Площадь поверхности и объем прямого кругового цилиндра)

    RD Sharma Solutions Глава 23. Обработка данных — I (классификация и табулирование данных)

    RD Sharma Solutions Глава 24. Обработка данных — II (графическое представление данных в виде гистограммы)

    RD Sharma Solutions Глава 25. Обработка данных — III (графическое представление Данные в виде круговых диаграмм или круговых диаграмм)

    RD Sharma Solutions Глава 26: Обработка данных — IV (вероятность)

    RD Sharma Solutions Глава 27: Введение в графики

    Вопросы по алгебре с ответами и решениями для 8 класса

    Представлены вопросы по алгебре для 8 класса с решениями. Включены вопросы по решению уравнений, упрощению выражений, в том числе выражений с дробями.

    ПРИМЕЧАНИЕ. В дальнейшем смешанные числа записываются в форме a b/c. Например, 2 1/3 означает смешанное число 2 + 1/3.

    1. Упростите следующие алгебраические выражения.
      А) -2х+5+10х-9
      Б) 3(х + 7) + 2(-х + 4) + 5х
    2. Упростите выражения.
      А) (2x — 6) / 2
      Б) (-х — 2) / (х + 2)
      С) (5x — 5)/10
    3. Решите относительно x следующие уравнения.
      А) -х = 6
      Б) 2х — 8 = -х + 4
      С) 2х + 1/2 = 2/3
      Г) х/3 + 2 = 5
      Д) -5/х = 2
    4. Оценить для заданных значений x и
      y       .
      А) х 2 — у 2 , для х = 4 и у = 5
      Б) |4х — 2у| , для х = -2 и у = 3
      C) 3x 3 — 4y 4 , для x = -1 и y = -2
    5. Решите следующие неравенства.
      А) х + 6 < 0
      Б) х + 1 > 5
      С) 2(х — 2) < 12
    6. Чему равно каждое из следующих чисел?
      А)-1
      Б) 0
      С) 3/4
      Г) 2 5/7
      Е) 0,02
    7. Оцените следующие выражения со смешанными числами.
      А) 3 3/4 + 6 1/7
      В) (1 3/5) (3 1/3) — 2 1/2
      С) (5 2/3) (4 1/5)
      D) (3 4/7 — 1 1/2) (2 3/8 + 2 1/4)
    8. Оцените следующие экспоненциальные выражения.
      A) -4 2
      B) (-2) 3
      C) (-2)
      4
      D) 1000 0
      E) 566 1
    9. Преобразуйте в дроби и запишите в простейшей форме.
      А) 0,02
      Б) 12%
      С) 0,5%
      Д) 1,12
    10. Преобразовать в десятичные дроби.
      А) 1/5
      Б) 120%
      С) 0,2%
      Г) 4 8/5
    11. Преобразовать в проценты.
      А) 3/10
      Б) 1,4
      С) 123,45
      Г) 2 4/5
    12. Какое из этих чисел делится на 3?
      А) 156312
      Б) 176314
    13. Какое из этих чисел делится на 4?
      А) 3432
      Б) 1257
    14. Какое из этих чисел делится на 6?
      А) 1233
      Б) 3432
    15. Какое из этих чисел делится на 9?
      А) 2538
      Б) 1451
    16. Оцените 8x + 7, учитывая, что x — 3 = 10.
    Решения и ответы на вышеуказанные вопросы

    1. А) -2х + 5 + 10х — 9 : дано
      = (10x — 2x) + (5 — 9): сложите одинаковые члены вместе
      = 8x — 4 : группа

      Б) 3(х + 7) + 2(-х + 4) + 5х : дано
      = 3x + 21 — 2x + 8 + 5x: расширить
      = (3x — 2x + 5x) + (21 + 8) : сложить одинаковые члены вместе
      = 6x + 29 : группа


    2. А) (2x — 6) / 2 : дано
      = 2(x — 3) / 2 : множитель 2 в числителе
      = x — 3 : для упрощения разделите числитель и знаменатель на 2

      B) (-x — 2) / (x + 2) : дано
      = -1(x + 2) / (x + 2): множитель -1 в числителе
      = -1 : разделить числитель и знаменатель на x + 2 для упрощения

      С) (5x — 5)/10 : дано
      = 5(x — 1) / 10 : коэффициент 5 в числителе

      = (x — 1) / 2 : для упрощения разделите числитель и знаменатель на 5


    3. А) -х = 6 : дано
      x = -6 : умножьте обе части уравнения на -1

      Б) 2х — 8 = -х + 4 : дано
      2x — 8 + 8 = -x + 4 + 8 : добавить +8 к обеим частям уравнения
      2x = -x + 12 : групповые термины
      2x + x = -x + 12 + x : добавить +x к обеим сторонам
      3x = 12 : сгруппировать термины
      x = 4 : умножить обе стороны на 1/3

      C) 2x + 1/2 = 2/3 : дано
      2x + 1/2 — 1/2 = 2/3 — 1/2: вычесть 1/2 с обеих сторон
      2x = 1/6 : сгруппировать подобные термины
      x = 1/12: умножьте обе части на 1/2.

      Г) х/3 + 2 = 5 : дано
      x/3 + 2 — 2 = 5 — 2: вычесть 2 с обеих сторон
      x/3 = 3 : групповые термины
      x = 9 : умножьте обе части на 1/2.

      E) -5/x = 2 : дано
      -5 = 2x : умножить обе части на x и упростить
      -5/2 = x : : умножьте обе части на 1/2


    4. А) х 2 — у 2 , х = 4 , у = 5 : дано
      4 2 — 5 2 : заменить x и y на указанные значения
      =16 — 25 = -9

      Б) |4х — 2у| , х = -2 , у = 3 : дано
      |4(-2) — 2(3)| : заменить x и y заданными значениями
      = |-14| = 14 : оценить

      C) 3x 3 — 4y 4 , x = -1 , y = -2 : дано
      3(-1) 3 — 4(-2) 4 : заменить x и y на заданные значения
      = -3 — 64 = -67 : оценить


    5. А) х + 6 < 0 : дано
      x + 6 — 6 < -6 : вычесть 6 с обеих сторон
      x < -6 : групповые термины

      Б) х + 1 > 5 : дано
      x + 1 — 1 > 5 — 1 : вычесть 1 с обеих сторон
      x > 4 : групповые термины

      C) 2(x — 2) < 12 : дано
      x — 2 < 6 : умножить обе стороны на 1/2
      x — 2 + 2 < 6 + 2 : прибавьте 2 к обеим сторонам
      x < 8 : групповые термины


    6. А) (-1) а = 1 : определение: а является обратной величиной -1
      а = 1/-1 = -1 : найти а; -1 является обратной величиной -1

      B) (0) b = 1 : определение: b является обратной величиной 0
      b = undefined : ни одно значение b не удовлетворяет приведенному выше уравнению

      C) (3/4) c = 1 : определение: c является обратной величиной 3/4
      с = 4/3 : найти с; c = 4/3 является обратной величиной 3/4

      D) (2 5/7) d = 1 : определение: d является обратной величиной 2 5/7.
      (19/7) d = 1 : преобразовать смешанное число 2 5/7 в дробь.
      d = 7/19 : : найти d; d = 7/19 является обратной величиной 2 (5/7)

      E) 0,02 d = 1 : определение: d является обратной величиной 0,02.
      d = 1/0,02 : найти d; d = 50 является обратной величиной 0,02.


    7. А) 3 3/4 + 6 1/7 : дано 90 130 = (3 + 6) + (3/4 + 1/7): сложите вместе целые части и дробные части.
      = 9 + (21/28 + 4/28) : доп.
      = 9 25/28

      B) (1 3/5) (3 1/3) — 2 1/2 : дано
      = (8/5) (10/3) — 2 1/2 : преобразование смешанных чисел в умножение на дроби.
      = 80/15 — 2 1/2 = 5 1/3 — 2 1/2 = 4 4/3 — 2 1/2: умножить и записать как смешанное число, если это возможно
      = (4 — 2) + (4/3 — 1/2): вычесть
      = 2 5/6

      C) (5 2/3) (4 1/5) : дано
      = (17/3) (21/5): преобразовать смешанные числа в дроби.
      = 85/63 : разделить дроби
      = 1 22/63 : записать как смешанное число

      D) (3 4/7 — 1 1/2) (2 3/8 + 2 1/4) : дано
      = [(3 — 1) + (4/7 — 1/2)] [(2 + 2) + (3/8 + 1/4)]: вычислить числитель и знаменатель как дроби.
      = (2 1/14) (4 5/8)
      = (29/14) (37/8)
      = 116/259


    8. А) — 4 2 = — (4 4) = -16 : развернуть и вычислить

      B) (-2) 3 = (-2)(-2)(-2) = -8 : развернуть и вычислить

      C) 1000 0 = 1 : определение: любое ненулевое число в нулевой степени дает 1

      Г) 566 1 = 566


    9. А) 0,02 = 1/50
      Б) 12% = 3/25
      С) 0,5% = 1/200
      Д) 1,12 = 28/25

    10. А) 1/5 = 0,2
      Б) 120% = 1,2
      С) 0,2% = 0,002
      Г) 4 8/5 = 5,6

    11. А) 3/10 = 30%
      Б) 1,4 = 140%
      С) 123,45 = 12345%
      Г) 2 4/5 = 280%

    12. А) 156312 , делится на 3
      Б) 176314 , не делится на 3

    13. А) 3432 , делится на 4
      Б) 1257 , не делится на 4

    14. А) 1233 , не делится на 6
      Б) 3432 , делится на 6

    15. А) 2538 , делится на 9
      Б) 1451 , не делится на 9

    16. Вычислите 8x + 7, учитывая, что x — 3 = 10.