Площадь треугольника через синус и косинус

I. Площадь треугольника через синус

Если в задаче даны длины двух сторон треугольника и угол между ними, то можно применить формулу площади треугольника через синус.

Пример расчета площади треугольника через синус. Даны стороны a = 3, b = 4, и угол γ= 30°. По таблице синусов синус угла в 30° равен 0.5

Площадь треугольника будет равна 3 кв. см.

Калькулятор нахождения площади треугольника через синус
Сторона a= Сторона b= Угол γ °
Ответ: Площадь треугольника = 3.000

Также могут быть и другие условия. Если дана длина одной стороны и углы, то для начала нужно вычислить недостающий угол. Т.к. сумма всех углов треугольника равняется 180°, то:

Площадь будет равна половине квадрата стороны, умноженной на дробь. В ее числителе находится произведение синусов прилегающих углов, а в знаменателе синус противолежащего угла. Теперь рассчитываем площадь по следующим формулам:

Например, дан треугольник со стороной a=3 и углами γ=60°, β=60°. Вычисляем третий угол:
Подставляем данные в формулу
Получаем, что площадь треугольника равняется 3,87 кв. см.

II. Площадь треугольника через косинус

Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать длины всех сторон. По теореме косинусов можно найти не известные стороны, а уже потом использовать формулу Герона.
По теореме косинусов квадрат неизвестной стороны треугольника равняется сумме квадратов остальных сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла, находящегося между ними.


Из теоремы выводим формулы для поиска длины неизвестной стороны:

Зная как найти недостающую сторону, имея две стороны и угол между ними можно легко посчитать площадь. Формула площади треугольника через косинус помогает легко и быстро найти решение различных задач.

Пример расчета формулы площади треугольника через косинус
Дан треугольник с известными сторонами a = 3, b = 4, и углом γ= 45°. Для начала найдем недостающую сторону

с. По таблице косинусов косинус 45°=0,7. Для этого подставим данные в уравнение, выведенное из теоремы косинусов.
Теперь используя формулу, найдем площадь треугольника по трем сторонам:


Калькулятор нахождения площади треугольника через косинус
Сторона a= Сторона b= Угол γ °
Ответ: Площадь треугольника = 4.243

Теорема о площади треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

Тема 31.

Терема о площади треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов.

Теорема

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Доказательство

Пусть в треугольнике АВС

АВ=c, ВС=a, СА=b

S — площадь треугольника.

Докажем, что S=12absin⁡C

Введем систему координат с началом в точке C так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Cx, а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле S=12ah, где h — высота треугольника. Но h равна ординате точки А, то есть h = b sin⁡ C. Следовательно, S=12absin⁡C

Теорема

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство

Пусть в треугольнике АВС

АВ = c, ВС = a, СА = b

Докажем, что

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C

По теореме о площади треугольника

S=12absin⁡C,S=12bcsin⁡A, S=12acsin⁡B

Из первых двух равенств получим

12absin⁡C = 12bcsin⁡A, откуда

asin⁡A=csin⁡C

Аналогично, asinA=bsinB

Итак, asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C

Заметим, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. Следовательно, для любого треугольника АВС со сторонами АВ = с, ВС = а, СА = bимеют место равенства

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R

где R — радиус описанной окружности.

Теорема

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательство

Пусть в треугольнике АВС

АВ = c, ВС = a, СА = b

Докажем, например, что

a2 = b2 + c2 — 2bc

cos⁡ A

Введем систему координат с началом в точке A так, как показано на рисунке. Тогда точка В имеет координаты (c;0), а точка С имеет координаты b cos⁡ A; b sin⁡ A. По формуле расстояния между двумя точками, получим:

BC2=a2=bcos⁡A-c2+b2sin2A

a2=b2cos2A+b2sin2A-2bccos⁡A+c2

a2=b2cos2A+sin2A-2bccos⁡A+c2

a2=b2+c2-2bccos⁡A

Найти площадь ∆ABC, если BC = 3 см, AB=182 см, ∠B = 45°.

По теореме о площади треугольника

S=12BC∙AB∙sin⁡B

S=12∙3∙182∙sin⁡45°

S=12∙3∙182∙22

S = 27 см2

Ответ: 27 см2

Нахождение площади треугольника с помощью синуса

Горячая математика

Вы знакомы с формулой р «=» 1 2 б час найти площадь треугольника где б длина основания треугольника и час высота или длина перпендикуляра к основанию из противоположной вершины.

Предполагать Δ А Б С имеет длины сторон а , б , и с . Позволять час быть длиной перпендикуляра к стороне длины б от вершины Б что встречается со стороной А С ¯ в Д .

Затем площадь р треугольника А Б С является р «=» 1 2 б час .

Теперь посмотри на Δ А Д Б . Это прямоугольный треугольник с гипотенуза А Б ¯ который имеет длину с единицы измерения.

Рассмотрим синус ∠ А .

грех ( А ) «=» Обратная сторона Гипотенуза «=» час с грех ( А ) «=» час с ⇒ час «=» с грех ( А )

Подставляя значение час по формуле площади треугольника получается

р «=» 1 2 б ( с грех ( А ) ) «=» 1 2 б с грех ( А )

Точно так же вы можете написать формулы для площади в терминах грех ( Б ) или грех ( С ) .

р «=» 1 2 а б грех ( С ) р «=» 1 2 а с грех ( Б )

Пример 1:

Найдите площадь Δ п Вопрос р .

У вас есть длины двух сторон и мера угла между ними. Таким образом, вы можете использовать формулу р «=» 1 2 п р грех ( Вопрос ) где п и р длины сторон, противоположных вершинам п и р соответственно.

Используя формулу площади, р «=» 1 2 ( 3 ) ( 4 ) грех ( 145 ° ) .

Упрощать.

р «=» 6 грех ( 145 ° ) ≈ 6 ( 0,5736 ) ≈ 3,44

Следовательно, площадь Δ п Вопрос р около 3,44 кв.см

Пример 2:

Площадь справа Δ Икс Д Z с прямым углом при вершине Д является 39 кв.ед. Если Д Z «=» 12 и Икс Z «=» 13 , решить треугольник.

Сначала нарисуйте фигуру с заданными размерами.

Использовать Теорема Пифагора найти длину третьей стороны треугольника.

Икс Д «=» ( Икс Z ) 2 − ( Д Z ) 2 «=» 13 2 − 12 2 «=» 169− 144 «=» 25 «=» 5

Теперь у вас есть длины трех сторон и площадь треугольника.

Подставить в формулу площади.

Область «=» 1 2 × ( Д Z ) × ( Икс Z ) × грех ( Z ) 39″=» 1 2 ( 12 ) ( 13 ) грех ( Z )

Решить для Z .

грех ( Z ) «=» ( 39 ) ( 2 ) ( 12 ) ( 13 ) «=» 0,5

Взяв обратное,

Z «=» грех − 1 ( 0,5 ) «=» 30 °

То есть, м ∠ Z «=» 30 ° .

Учитывая, что угол при вершине Д является прямым углом. Поэтому, м ∠ Д «=» 90 ° .

Используя Теорема суммы углов треугольника , мера третьего угла,

м ∠ Икс «=» 180 − ( м ∠ Д + м ∠ Z ) «=» 180 − ( 90 + 30 ) «=» 60

Следовательно, мера ∠ Икс является 60 ° .

Площадь треугольников

Есть несколько способов найти площадь треугольника.

q8zqh4VR6KY

Знание основания и высоты

Когда мы знаем основание и высоту, это легко.

Это просто половина b умноженная на час

Площадь = 1 2 шв

(подробнее на странице треугольников)

Самое главное, чтобы основание и высота были под прямым углом. Поиграй здесь:

Пример: Какова площадь этого треугольника?


(Примечание: 12 — высота , а не длина левой стороны)

Высота = h = 12

Основание = b = 20 20 × 12 = 120

627 723, 3132, 3133

Знание трех сторон

Существует также формула для нахождения площади любого треугольника, если известны длины всех трех его сторон.

Это можно найти на странице Формулы Герона.

Знание двух сторон и угла между ними

Когда мы знаем две стороны и угол между ними (SAS), мы можем использовать другую формулу (фактически три эквивалентные формулы).

В зависимости от того, какие стороны и углы мы знаем, формулу можно записать тремя способами:

Площадь = 1 2 абсин С

Площадь = 1 2 до н.э. sin A

Площадь = 1 2 дом B

Это действительно одна и та же формула, только стороны и угол изменены.

Пример: Найдите площадь этого треугольника:

Прежде всего мы должны решить, что мы знаем.

Нам известен угол C = 25º, стороны a = 7 и b = 10.

Итак, приступим:

Площадь = (½)ab sin C

Подставим известные значения:½ × 7 × 10 × sin(25º)

Поработайте с калькулятором: 35 × 0,4226…

Площадь =   14,8 с точностью до одного десятичного знака

Как запомнить

Просто подумайте «abc»: Площадь = ½ a b sin C

Также хорошо помнить, что угол всегда равен между двумя известными сторонами , который называется «включенный угол».

Как это работает?

Начнем с этой формулы:

Площадь = ½ × основание × высота

Мы знаем, что основание равно c , и можем вычислить высоту:


высота b × sin A

Получаем:

Площадь = ½ × (c) × (b × sin A)

Что можно упростить до:

Площадь = 1 2 до н.э. sin A

Изменив метки на треугольнике, мы также можем получить:

  • Площадь = ½ абс. C
  • Площадь = ½ корпуса B

Еще один пример:

Пример: Найдите, сколько земли

Фермер Ригби владеет треугольным участком земли.

Длина забора АВ 150 м. Длина ограждения БЦ 231 м.

Угол между ограждением AB и ограждением BC равен 123º.

Сколько земли принадлежит фермеру Ригби?

 

Прежде всего мы должны решить, какие длины и углы нам известны:

  • AB = c = 150 м,
  • г.