Построение фигур по координатам в координатной плоскости.

КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ

6 класс

Слоник

1) (2; — 3), (2; — 2), (4; — 2), (4; — 1), (3; 1), (2; 1), (1; 2), (0; 0), (- 3; 2), (- 4; 5), (0; 8), (2; 7), (6; 7), (8; 8), (10; 6), (10; 2), (7; 0), (6; 2), (6; — 2), (5; — 3), (2; — 3).

2) (4; — 3), (4; — 5), (3; — 9), (0; — 8), (1; — 5), (1; — 4), (0; — 4), (0; — 9), (- 3; — 9), (- 3; — 3), (- 7; — 3), (- 7; — 7), (- 8; — 7), (- 8; — 8), (- 11; — 8), (- 10; — 4), (- 11; — 1), (- 14; — 3),
(- 12; — 1), (- 11;2), (- 8;4), (- 4;5).

3) Глаза: (2; 4), (6; 4).

 

 

Волк

1) (- 9; 5), (- 7; 5), (- 6; 6), (- 5; 6), (- 4; 7), (- 4; 6), (- 1; 3), (8; 3), (10; 1), (10; — 4),
(9; — 5), (9; — 1), (7; — 7), (5; — 7), (6; — 6), (6; — 4), (5; — 2), (5; — 1), (3; — 2), (0; — 1),
(- 3; — 2), (- 3; — 7), (- 5; — 7), (- 4; — 6), (- 4; — 1), (- 6; 3), (- 9; 4), (- 9; 5).

2) Глаз: (- 6; 5)

 

Сорока

1) (- 1; 2), (5; 6), (7; 13), (10; 11), (7; 5), (1; — 4), (- 2; — 4), (- 5; 0), (- 3; 0), (- 1; 2),
(- 2; 4), (- 5; 5), (- 7; 3), (- 11; 1), (- 6; 1), (- 7; 3), (- 5; 0), (- 6; 0), (- 10; — 1), (- 7; 1),
(- 6; 0).

2) Крыло: (0; 0), (7; 3), (6; 1), (1; — 3), (0; 0).

3) (1; — 4), (1; — 7).

4) (- 1; — 4), (- 1; — 7).

5) Глаз: (- 5; 3).

 

Верблюд

1) (- 9; 6), (- 5; 9), (- 5; 10), (- 4; 10), (- 4; 4), (- 3; 4), (0; 7), (2; 4), (4; 7), (7; 4),
(9; 3), (9; 1), (8; — 1), (8; 1), (7; 1), (7; — 7), (6; — 7), (6; — 2), (4; — 1), (- 5; — 1), (- 5; — 7),

(- 6; — 7), (- 6; 5), (- 7;5), (- 8; 4), (- 9; 4), (- 9; 6).

2) Глаз: (- 6; 7).

 

Конь

1) (14; — 3), (6,5; 0), (4; 7), (2; 9), (3; 11), (3; 13), (0; 10), (- 2; 10), (- 8; 5,5), (- 8; 3), (- 7; 2), (- 5; 3), (- 5; 4,5), (0; 4), (- 2; 0), (- 2; — 3), (- 5; — 1), (- 7; — 2), (- 5; — 10),
(- 2; — 11), (- 2; — 8,5), (- 4; — 8), (- 4; — 4), (0; — 7,5), (3; — 5).

2) Глаз: (- 2; 7).

 

Страус

1) (0; 0), (- 1; 1), (- 3; 1), (- 2; 3), (- 3; 3), (- 4; 6), (0; 8), (2; 5), (2; 11), (6; 10), (3; 9), (4; 5), (3; 0), (2; 0), (1; — 7), (3; — 8), (0; — 8), (0; 0).

2) Глаз: (3; 10).

 

Гусь

1) (- 3; 9), (- 1; 10), (- 1; 11), (0; 12), (1,5; 11), (1,5; 7), (- 0,5; 4), (- 0,5; 3), (1; 2),
(8; 2), (10; 5), (9; — 1), (7; — 4), (1; — 4), (- 2; 0), (- 2; 4), (0; 7), (0; 9), (- 3; 9).

2) Крыло: (1; 1), (7; 1), (7; — 1), (2; — 3), (1; 1).

3) Глаз: (0; 10,5).

 

Лебедь

1) (2; 7), (0; 5), (- 2; 7), (0; 8), (2; 7), (- 4; — 3), (4; 0), (11; — 2), (9; — 2), (11; — 3),
(9; — 3), (5; — 7), (- 4; — 3).

2) Клюв: (- 4; 8), (- 2; 7), (- 4; 6).

3) Крыло: (1; — 3), (4; — 2), (7; — 3), (4; — 5), (1; — 3).

4) Глаз: (0; 7).

 

Лисица

1) (- 3; 0), (- 2; 1), (3; 1), (3; 2), (5; 5), (5; 3), (6; 2), (7; 2), (7; 1,5), (5; 0), (4; 0),
(4; — 1,5), (3; — 1), (3; — 1,5), (4; — 2,5), (4,5; — 2,5), (- 4,5; — 3), (3,5; — 3), (2; — 1,5),
(2; — 1), (- 2; — 2), (- 2; — 2,5), (- 1; — 2,5), (- 1; — 3), (- 3; — 3), (- 3; — 2), (- 2; — 1),
(- 3; — 1), (- 4; — 2), (- 7; — 2), (- 8; — 1), (- 7; 0), (- 3; 0).

2) Глаз: (5; 2).

 

Кумушка Лиса

1) (- 7; 6), (1; 8), (3; 11), (4; 8), (6; 8), (5; 6), (5; 5), (2; 0), (- 7; 6).

2) (- 4; 0), (8; 0), (5; — 3), (8; — 9), (- 3; — 9), (0; — 3), (- 4; 0).

3) Хвост: (6,5; — 6), (10; — 6), (11; — 8), (11; — 9), (8; — 9).

4) Платок: (- 4; 0), (- 9; — 4), (- 3; — 4), (- 4; 0).

5) Глаз: (1; 6).

 

Лис

1) (- 8; — 9), (- 6; — 7), (- 3; — 7), (1; 1), (1; 3), (4; 7), (4; 4), (7; 2,5),
(4; 1), (6; — 8), (7; — 8), (7; — 9), (5; — 9), (3; — 3), (1,5; — 6), (3; — 8), (3; — 9), (- 8; — 9).

2) Глаз: (4; 3).

 

Кит

1) (- 10; — 4), (- 10; — 3), (- 7; 6), (1; 6), (8; — 2), (11; 2), (11; — 4), (- 10; — 4).

2) (- 6; 1), (- 6; 3), (- 4; 3), (- 4; 1), (- 6; 1).

3) (- 5; 10), (- 5; 11), (- 1; 11), (- 1; 10).

4) (- 3; 6), (- 3; 11).

5) (- 10; — 2), (- 5; — 2), (- 5; — 4).

6) (- 10; — 3), (- 5; — 3).

 

Мышонок

1) (3; — 4), (3; — 1), (2; 3), (2; 5), (3; 6), (3; 8), (2; 9), (1; 9), (- 1; 7), (- 1; 6),
(- 4; 4), (- 2; 3), (- 1; 3), (- 1; 1), (- 2; 1), (-2; — 1), (- 1; 0), (- 1; — 4), (- 2; — 4),
(- 2; — 6), (- 3; — 6), (- 3; — 7), (- 1; — 7), (- 1; — 5), (1; — 5), (1; — 6), (3; — 6), (3; — 7),

(4; — 7), (4; — 5), (2; — 5), (3; — 4).

2) Хвост: (3; — 3), (5; — 3), (5; 3).

3) Глаз: (- 1; 5).

 

Бегун

1) (- 8; 1), (- 6; 2), (- 2; 0), (1; 2), (5; 1), (7; — 4), (9; — 3).

2) (- 2; 6), (0; 8), (3; 7), (5; 5), (7; 7).

3) (1; 2), (3; 9), (3; 10), (4; 11), (5; 11), (6; 10), (6; 9), (5; 8), (4; 8), (3; 9).

 

Ракета

1) (1; 5), (0; 6), (- 1; 5), (0; 4), (0; — 8), (- 1; — 10), (0; 1), (0; — 8).

2) (- 4; — 6), (- 1; 10), (0; 12), (1; 10), (4; — 6), (- 4; — 6).

3) (- 3; — 6), (- 6; — 7), (- 2; 1), (- 3; — 6).

4) (2; 1), (3; — 6), (6; — 7), (2; 1).

 

Парусник

1) (0; 0), (- 10; 1), (0; 16), (- 1; 2), (0; 0).

2) (- 9; 0), (- 8; — 1), (- 6; — 2), (- 3; — 3), (5; — 3), (10; — 2), (12; — 1), (13; 0), (- 9; 0).

3) (0; 0), (0; 16), (12; 2), (0; 0).

 

Самолёт

1) (- 7; 0), (- 5; 2), (7; 2), (9; 5), (10; 5), (10; 1), (9; 0), (- 7; 0).

2) (0; 2), (5; 6), (7; 6), (4; 2).

3) (0; 1), (6; — 3), (8; — 3), (4; 1), (0; 1).

 

Вертолёт

1) (- 5; 3), (- 3; 5), (6; 5), (10; 3), (10; 1), (9; 0), (- 2; 0), (- 5; 3).

2) (- 5; 3), (- 10; 7), (- 3; 5).

3) (5; 0), (5; — 1), (6; — 2), (8; — 2), (9; — 2,5), (8; — 3), (- 3; — 3), (- 4; — 2,5), (- 3; — 2),
(- 1; — 2), (- 2; — 1), (- 2; 0).

4) (- 12; 5), (- 8; 9).

5) (- 6; 7), (10; 7).

6) (2; 5), (2; 7).

7) (- 1; 1), (- 1; 4), (2; 4), (2; 1), (- 1; 1).

8) (5; 5), (5; 2), (10; 2).

 

Настольная лампа

(0; 0), (- 3; 0), (- 3; — 1), (4; — 1), (4; 0), (1; 0), (6; 6), (0; 10), (1; 11), (- 2; 13),

(- 3; 12), (- 7; 12), (0; 5), (0; 9), (5; 6), (0; 0).

 

Грибок

1) (6; 0), (6; 2), (5; 1,5), (4; 3), (2; 1), (0; 2,5), (- 1,5; 1,5), (- 2; 5), (- 3; 0,5), (- 4; 2), (- 4; 0).

2) (2; 1), (2,2; 2), (2,3; 4), (2,5; 6), (2,3; 8), (2; 10), (6; 10), (4,8; 12), (3; 13,3), (1; 14), (0; 14), (- 2; 13,3),
(- 3,8; 12), (- 5; 10), (2; 10).

3) (- 1; 10), (- 1,3; 8), (- 1,5; 6), (- 1,2; 4), (- 0,8;2).

 

 

Рисунок по точкам с координатами

Рисунки по координатам с координатами


Рисунки на координатной плоскости


Система координат на плоскости рисунки


Декартова система координат на плоскости рисунки


Фигуры по точкам в системе координат


Построение фигур по точкам


Рисунки на координатной плоск


Декартова система координат на плоскости рисунки


Координатная плоскость с координатами


Декартова система координат на плоскости рисунки животных


Координатная плоскость рисунки животных с координатами


Рисунок на координатной плоскости с координатами


Фигурки на координатной плоскости


Рисунки на координатной плоскости


Рисунки по координатам с координатами


Декартова система координат на плоскости рисунки


Фигуры на координатной плоскости


Рестнуи по координатам


Математические рисунки с координатами


Рисование по координатам


Изображение на координатной плоскости


Рисунки по координатам кенгуру


Лось по координатам -2 2 -2 4


Фигуры на координатной прямой


Рисование по координатам сложные


Кумир чертежник слон 1068


Животные по координатным точкам


Координатная плоскость (-7, 5;4, 5) , (-8;5)


Прямоугольная система координат рисунок


Слоник на координатной плоскости 2 -3


Фигуры по координатным точкам


Слоник по координатным точкам


Рисунки на координатной плоскости 6 класс


Рисуем по координатам сложно


Лошадь по координатам


Рисунки на координатной плоскости


Кленовый лист по координатам


Координатные рисунки простые


Бабочка на координатной плоскости


Кумир чертежник собачка


Рисунки на координатной плоскости


Рисование по координатной


Попугай на координатной плоскости


Рисунки для чертежника


Построить фигуру по точкам


Ласточка по координатам


Координаты для рисования на плоскости


Рисунки на координатной плоскости


Рисунки на координатной плоскости


Рыба по координатам


Сердце по координатам


Бабочка на координатной плоскости


Симметричные рисунки


Рисунок в системе координат по точкам


Гриб по координатам


Симметричные рисунки карандашом


Построение координатной плоскости


Кумир чертежник слон


Рисунок на координатной плоскости с координатами


Рисунки по координатам Пикачу


Координатная плоскость рисунок зайца


Соединить по точкам


Рисунок по координатам космонавт


Чертежник задания


Медведь на координатной плоскости


Соединить по точкам и раскрасить


Пикачу обводить по точкам


Рисунки на координатной плоскости


Рисование по цифрам сложные


Соединить по точкам


Рисование по точкам с цифрами


Рисование по точкамсложне


Собачка по координатам


Рисование по точкам сложные

Комментарии (0)

Написать

Информация
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.

Фигуры в координатной плоскости

Фигуры на координатной плоскости

В этом уроке мы рассмотрим координатную плоскость и точки построения в самолет. Мы будем исследовать переводы и отражения двухмерных цифры. Наконец, мы будем использовать координатную плоскость, чтобы найти размеры и площади двумерных фигур.

Диаграмма, изображенная выше, называется координатной самолет. Горизонтальная линия с надписью « х » называется осью x и вертикальной линией с надписью « y » называется и -ось. Точка, которая нанесена имеет координаты (1,3), так как точка 1 единица вправо и 3 единиц выше начала координат (точка, где x -оси и y -оси встречаются). Точка отражается по оси x , если его координата x остается прежней. то же самое и его координата y умножается на -1. Графически мы можем представить себе отражение через x — ось при перемещении к своему зеркальному отображению, где зеркалом является ось x . Точно так же точка отражается по оси y , если ее y -координата остается прежней, а ее x -координата умножается на -1. Графически мы можем думать об отражении по оси y , перемещая его к своему зеркальному отображению, где зеркало ось и . Если мы берем точку и перемещаем ее, мы говорим, что мы переводим суть. Мы также можем подобрать 2-мерный объект и переместите его. Мы говорим, что мы перевод объекта.

Пример 1

Лицевая сторона кулона показана ниже.

  1. Если задняя сторона кулона будет нарисована отражением рисунка по оси x , каковы будут координаты D после отражения?

     

  2. Если задняя сторона кулона будет нарисована отражением рисунка по оси y , каковы будут координаты А после отражения?

Решения

  1. Поскольку мы отражаем по оси x , координата x остается прежним, а координата y умножается на -1. Координаты точки Д ар (-4,1), поэтому координаты D отражаются через ось x (-4,-1). Уведомление что умножение числа на -1 равнозначно изменение знака числа. Это хорошая идея, чтобы сделать набросок рисунка области отражения и убедитесь, что координаты совпадают с координаты точки на отраженной диаграмме. Эскиз отраженная схема показана ниже. Обратите внимание, что новая точка D имеет координаты (-4,-1).

     

  2. Поскольку мы отражаем по оси y , координата y остается прежним, а координата x умножается на -1. Координаты точки А ар (-3,5), поэтому координаты A отражаются через оси и равны (3,5). Эскиз отраженная схема показана ниже. Обратите внимание, что новая точка У есть координаты (3,5).

Теперь попробуйте сами. Если хотите увидеть ответ, наведите мышку на желтом прямоугольнике и появится ответ.

Упражнение 1

Какие координаты изображение B , когда треугольник ABC отражается по оси x ?

Пример 2

Печать на футболке должна быть сделана по приведенной ниже выкройке, включая второй шаблон, который находится на 5 единиц вправо и на 3 единицы ниже первого шаблона. Что будет новые координаты точки C быть?

Раствор

Перед переводом точка C имеет координаты (-4,1). Поскольку мы перемещаем точка 5 единиц вправо, новая х -координата

        х   =  -4 + 5

=  1

и так как мы перемещаем точку на 3 единицы вниз, новый и -координата

        г   =  1 — 3 

        = -2

Итак, новые координаты точки C равны (1,-2).

Эскиз переведенного узора показан ниже. Мы видим, что C имеет координаты (1,-2).

 

Теперь попробуйте сами. Если хотите увидеть ответ, наведите мышку на желтом прямоугольнике и появится ответ.

Упражнение 2

Маргарита хочет нарисовать двух рыбок одинаковой формы. У нее есть уже нарисованная одна рыба показана ниже. Вторая рыба должна быть нарисована 2 единицы выше и 4 единиц справа от первой рыбы. Какими будут координаты новый пункт А ?

 

CAHSEE часто проверяет, помните ли вы названия общих многоугольники. Напомним, что многоугольник – это замкнутый форма ограничена только прямыми линиями. Вот некоторые из этих определений.

  • Треугольник: А многоугольник с 3 стороны

     

  • Четырехугольник: Многоугольник с 4 стороны

     

  • Прямоугольник: А четырехугольник, все углы которого прямые

     

  • Ромб: А четырехугольник, все стороны которого имеют одинаковую длину


  • Параллелограмм: Четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Обратите внимание, что ромб тоже параллелограмм.

  • Трапеция: А четырехугольник с двумя параллельными сторонами
  • Пентагон: А многоугольник с 5 сторон

  • Шестигранник: А многоугольник с 6 сторон

Пример 3

Точки (2,1), (4,1), (5,4) и (1,4) являются вершины многоугольника. Какой тип многоугольника образован этими точками?

Раствор

Первый набросок точек на xy -плоскость. Затем соедините точки для формирования многоугольника. Эскиз показан ниже.

Так как фигура имеет 4 стороны, это не треугольник, пятиугольник или шестиугольник. Левая и правая стороны не параллельно, значит, это не параллелограмм. Верхняя и нижняя стороны имеют разной длины, так что это не ромб и не квадрат. углы не те прямые углы, значит это не прямоугольник. Обратите внимание, что верхняя и нижняя параллельны, значит это трапеция.

Теперь попробуйте сами. Если хотите увидеть ответ, наведите мышку на желтом прямоугольнике и появится ответ.

Упражнение 3

Точки (1,1), (3,1), (4,6) и (2,6) равны вершины многоугольника. Какой тип многоугольника образован этими точками?

А. Треугольник

Б. Трапеция

C. Параллелограмм

Д. Пентагон

Еще одно применение координатной плоскости — определение длин и площадей заданная геометрическая форма.

Пример 4

Показан график квадрата ABCD ниже. Какова длина одной из сторон этого квадрата?

Раствор

Поскольку ABCD — квадрат, все стороны равны такой же длины. Найдем расстояние от А к В . Считая, мы видим, что B ровно 3 единиц справа от A . Длина все стороны квадрата равны 3 единицам.

Теперь попробуйте сами. Если хотите увидеть ответ, наведите мышку на желтом прямоугольнике и появится ответ.

Упражнение 4

График равностороннего треугольника ABC показано ниже. Какова длина одной из сторон этого равностороннего треугольник?

Пример 5

График прямоугольного треугольника ABC есть показано ниже.

Найдите площадь этого треугольника в квадратных единицах.

 

Раствор

Используем формулу площади прямоугольного треугольника.

Площадь = 1/2 кв. ч. 90 005

, где b — длина основания треугольника, а h — высота треугольника. Длина основания — это расстояние от до к В . Мы измеряем это как

        б = 5 единиц

Высота – это расстояние от A до С . Мы измеряем это как

        ч =  3 единицы

Так что

Площадь = (1/2)(5)(3)

= 15/2

= 7,5

Площадь треугольника 7,5 квадратных единиц.

Теперь попробуйте сами. Если хотите увидеть ответ, наведите мышку на желтом прямоугольнике и появится ответ.

Упражнение 5

Показан график прямоугольника ABCD ниже. Какова площадь в квадратных единицах этого прямоугольника?

 

 

Объяснение урока: Отражения на координатной плоскости

В этом объяснителе мы научимся находить изображения точек, линий и фигур после их отражения в 𝑥- или 𝑦-ось на координатной плоскости.

Напомним, что геометрическое преобразование — это процесс, в ходе которого одна геометрическая фигура (например, точка, отрезок или фигура) преобразуется в другую.

Определение: преобразование

Преобразование преобразует каждую точку 𝑃 на плоскости в точку изображения 𝑃′ на той же плоскости.

Некоторыми хорошо известными типами преобразования являются перемещения, повороты и отражения. Здесь мы будем обсуждать только отражения.

Отражение на координатной плоскости берет геометрическую фигуру, такую ​​как точка, отрезок или форма, и преобразует ее в конгруэнтную геометрическую фигуру, называемую изображением. В этом объяснении мы сосредоточимся на трех различных типах отражения на координатной плоскости:

  1. Отражение по оси 𝑥
  2. Отражение по оси 𝑦
  3. Отражение о происхождении

Мы рассмотрим каждый из них по очереди и рассмотрим некоторые сопутствующие примеры.

Начнем с отражения по оси 𝑥. В дальнейшем будем использовать обозначение 𝑃(𝑥,𝑦) для обозначения общей точки на координатной плоскости.

Определение: отражение в 𝑥-оси

Отражение в картах 𝑥-оси 𝑃(𝑥,𝑦)→𝑃′(𝑥,−𝑦).

Другими словами, отражение на оси 𝑥 отображает точку 𝑃 на точку ее изображения 𝑃′, сохраняя 𝑥-координата та же самая и с изменением знака 𝑦-координаты. Эффект состоит в том, что положение 𝑃′ будет отражать 𝑃 на противоположной стороне оси 𝑥 (которая является линией с уравнением 𝑦=0) и на том же перпендикулярном расстоянии от оси 𝑥, что и 𝑃. Поскольку ось 𝑥 действует как зеркало, она называется линия отражения (или зеркальная линия).

Например, на диаграмме ниже показана точка 𝐴(2,3), отраженная на оси 𝑥, что дает ее изображение 𝐴′(2,−3). Точно так же точка 𝐵(−2,−1) имеет образ 𝐵′(−2,−(−1))=𝐵′(−2,1).

Обратите внимание, однако, что любая точка на оси 𝑥 останется неизменной при этом отражении, потому что она лежит на зеркальной линии.

Если нужно отразить более сложные геометрические фигуры, такие как отрезки линий или многоугольники, самый простой способ сделать это — отразить каждую отдельную конечную точку или вершину. Затем мы соединяем точки изображения в той же последовательности, в которой они появляются на исходном рисунке. В результате геометрическая фигура будет преобразована в его конгруэнтное зеркальное отражение на противоположной стороне зеркальной линии.

Давайте теперь рассмотрим пример, чтобы проверить, можем ли мы распознать отражение на оси 𝑥.

Пример 1. Определение пары треугольников, представляющих отражение на оси 𝑥

Какая пара треугольников представляет отражение на оси 𝑥?

Ответ

Напомним, что для общей точки 𝑃(𝑥,𝑦) отражение в картах оси 𝑥 𝑃(𝑥,𝑦)→𝑃′(𝑥,−𝑦).

Эффект состоит в том, что положение 𝑃′ будет отражать положение 𝑃 на противоположной стороне оси 𝑥 и на том же перпендикулярном расстоянии от оси 𝑥, что и 𝑃.

Поскольку это правило применяется к вершинам треугольников, то на диаграмме выше мы ожидаем, что пара отраженных треугольников появится один над другим, по разные стороны от оси 𝑥 и на одинаковом перпендикулярном расстоянии от нее.

Если бы треугольник 𝐶 был одним из отраженных треугольников, то ось 𝑥 действовала бы как зеркало, давая изображение, показанное ниже.

Однако, поскольку такого треугольника нет, то 𝐶 не отразилось на оси 𝑥, поэтому отраженные треугольники должны быть 𝐴 и 𝐵. Хотя это должно быть очевидно из диаграммы, мы будем использовать определение отражения в 𝑥-ось, чтобы доказать это.

Читая схему, мы видим, что треугольник 𝐴 имеет вершины с координатами (−3,5), (−2,2) и (−5,3). Используя тот факт, что 𝑃(𝑥,𝑦)→𝑃′(𝑥,−𝑦), мы находим точки изображения следующим образом: (−3,5)→(−3,−5),(−2,2)→(−2,−2),(−5,3)→(−5,−3).

Легко проверить, что эти точки изображения являются точно вершинами, показанными для треугольника 𝐵. Более того, если бы мы начали с вершин треугольника 𝐵, мы бы обнаружили, что точки изображения являются вершинами треугольника 𝐴.

Мы заключаем, что пара треугольников 𝐴 и 𝐵 представляет собой отражение на оси 𝑥.

Далее мы рассмотрим отражение по оси 𝑦, которое очень похоже на отражение по оси 𝑥.

Определение: отражение в 𝑦-оси

Отражение в картах 𝑦-оси 𝑃(𝑥,𝑦)→𝑃′(−𝑥,𝑦).

Другими словами, отражение на оси 𝑦 отображает точку 𝑃 на точку ее изображения 𝑃′, меняя знак 𝑥-координаты с сохранением 𝑦-координаты. Эффект состоит в том, что положение 𝑃′ будет отражать 𝑃, на противоположной стороне оси 𝑦 (которая является линией с уравнением 𝑥=0) и на том же перпендикуляре расстояние от оси 𝑦 как 𝑃. Поскольку ось 𝑦 действует как зеркало, ее называют линией отражения (или зеркальной линией).

Например, на диаграмме ниже показана точка 𝐴(−1,3), отраженная по оси 𝑦, чтобы получить ее изображение 𝐴′(−(−1),3)=𝐴′(1,3). Точно так же точка 𝐵(4,−2) имеет образ 𝐵′(−4,−2).

Обратите внимание, однако, что любая точка на оси 𝑦 останется неизменной при этом отражении, потому что она лежит на зеркальной линии.

Вот пример с отражением по оси 𝑦.

Пример 2. Нахождение координат вершин четырехугольника после отражения

Найти координаты изображений точек 𝐴,𝐵,𝐶 и 𝐷 после отражения по оси 𝑦.

Ответ

Напомним, что для общей точки 𝑃(𝑥,𝑦) отражение в картах оси 𝑦 𝑃(𝑥,𝑦)→𝑃′(−𝑥,𝑦).

Это означает, что он отображает точку 𝑃 в точку изображения 𝑃′, меняя знак 𝑥-координаты и сохраняя 𝑦-координату прежней.

Здесь наш первый шаг — считать координаты вершин четырехугольника. Затем мы можем использовать приведенное выше преобразование для разработки координаты соответствующих точек изображения.

Обратите внимание, что вершина 𝐴 имеет 𝑥-координату 8 и 𝑦-координату 6, поэтому ее можно записать как точку 𝐴(8,6). Точно так же мы получаем 𝐵(8,1), 𝐶(2,1) и 𝐷(2,6). Применение преобразования 𝑃(𝑥,𝑦)→𝑃′(−𝑥,𝑦) всем четырем вершинам дает 𝐴(8,6)→𝐴′(−8,6),𝐵(8,1)→𝐵′(−8,1),𝐶(2,1)→𝐶′(−2,1),𝐷( 2,6)→𝐷′(−2,6).

Помните, что отражение по оси 𝑦 берет геометрическую фигуру и отображает ее на конгруэнтное зеркальное отражение на противоположной стороне 𝑦-ось, причем каждая вершина изображения находится на том же перпендикулярном расстоянии от 𝑦-оси, что и соответствующая вершина исходная фигура. Нанеся указанные выше точки изображения и соединив их в правильном порядке, мы получим изображение четырехугольника, показанное на схеме ниже.

Таким образом, мы показали, что координаты образов точек 𝐴, 𝐵, 𝐶 и 𝐷 после отражения в оси 𝑦 равны 𝐴′(−8,6), 𝐵′(−8,1), 𝐶′(−2,1), и 𝐷′(−2,6).

Теперь вернемся к отражению по оси 𝑥. Всегда важно внимательно прочитать вопрос, чтобы применить правильное преобразование.

Пример 3. Решение задачи о точках, отраженных от оси 𝑥

Три точки 𝐴, 𝐵 и 𝐶 с координатами (1,3),(1,2) и (4,1) соответственно, отражаются по оси 𝑥 в точки 𝐴′, 𝐵′ и 𝐶′.

  1. Определите координаты точек 𝐴′, 𝐵′ и 𝐶′.
  2. Является ли величина угла 𝐴𝐵𝐶 меньше, больше или равна величине угла 𝐴′𝐵′𝐶′?

Ответ

Напомним, что для общей точки 𝑃(𝑥,𝑦) отражение в картах оси 𝑥 𝑃(𝑥,𝑦)→𝑃′(𝑥,−𝑦), поэтому мы получаем изображение 𝑃′ из 𝑃, сохраняя 𝑥-координату той же и изменяя знак 𝑦-координаты.

Часть 1

В первой части вопроса мы должны применить приведенное выше преобразование к точкам 𝐴(1,3), 𝐵(1,2), и 𝐶(4,1); это даст нам координаты точек изображения. Таким образом, у нас есть 𝐴(1,3)→𝐴′(1,−3),𝐵(1,2)→𝐵′(1,−2),𝐶(4,1)→𝐶′(4,−1), как требуется.

Часть 2

Во второй части нам нужно сравнить меру угла 𝐴𝐵𝐶 с мерой угла 𝐴′𝐵′𝐶′. Это помогает обрисовать ситуацию, нарисовав треугольники для 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴′𝐵′𝐶′ и выделив соответствующие углы, как показано на диаграмме ниже.

При отражении по оси 𝑥 треугольник 𝐴′𝐵′𝐶′ является зеркальным отображением треугольника 𝐴𝐵𝐶. Поскольку ∠𝐴′𝐵′𝐶′ треугольника 𝐴′𝐵′𝐶′ соответствует ∠𝐴𝐵𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶, заключаем, что мера угла 𝐴𝐵𝐶 равна мере угла 𝐴′𝐵′𝐶′.

Отражение по оси 𝑥 и отражение по оси 𝑦 — два конкретных примера наиболее распространенного типа отражения: отражение в линии. Во всех таких случаях прямая линия (называемая линией отражения или зеркальной линией) действует как зеркало, так что любая геометрическая фигура на одна сторона линии будет преобразована в конгруэнтное зеркальное отражение на другой стороне линии.

Кроме того, отражение в линии имеет четыре ключевых свойства, которые мы проиллюстрируем на диаграмме ниже.

Здесь четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 отразился в зеркальной линии, получив свое изображение, конгруэнтный четырехугольник 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′. Таким образом, изображение 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ имеет точно такую ​​же форму и размер, как исходный четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, но был перевернут, и каждая вершина изображения находится на одинаковом перпендикулярном расстоянии от зеркала прямая как соответствующая вершина исходного четырехугольника.

Заметим также, что точка 𝐸, лежащая на зеркальной линии, при этом отражении останется неизменной, поэтому ее изображением будет она сама. Это верно вообще для любых точек, лежащих на зеркальной прямой.

Свойства: Отражение в линии

  • Отражение сохраняет длину сегментов линии.
    Например, длина 𝐴𝐵 равна длине 𝐴′𝐵′.
  • Отражение сохраняет меры углов.
    Например, мера внутреннего угла в вершине 𝐴 совпадает с мерой внутреннего угла в вершине 𝐴′.
  • Отражение сохраняет свойство промежуточности.
    Например, поскольку вершина 𝐵 лежит между 𝐴 и 𝐶, то вершина 𝐵′ лежит между 𝐴′ и 𝐶′.
  • Отражение сохраняет параллелизм.
    Например, поскольку 𝐵𝐶 параллельно 𝐴𝐷, то 𝐵′𝐶′ параллелен 𝐴′𝐷′.

Последний тип отражения, который мы здесь рассматриваем, — это размышление о происхождении. Это отличается от предыдущих двух типов, потому что включает в себя размышления о точка, а не линия. Однако, как мы увидим, его легко определить и описать. Напомним еще раз, что мы используем обозначение 𝑃(𝑥,𝑦) для обозначения общей точки на координатной плоскости.

Определение: размышление о происхождении

размышление о происхождении карт 𝑃(𝑥,𝑦)→𝑃′(−𝑥,−𝑦).

Другими словами, отражение точки начала координат отображает точку 𝑃 на точку ее изображения 𝑃′, меняя знаки обеих ее координат.

Другой способ думать об отражении начала координат состоит в том, что оно отображает 𝑃 на свой образ 𝑃′, так что начало координат является средней точкой. из 𝑃𝑃′. Эффект состоит в том, что 𝑃 и 𝑃′ будут на одинаковом расстоянии от начала координат. но по разные стороны от него по прямой.

Например, на приведенной ниже диаграмме точка 𝐴(3,1) отражена относительно начала координат, что дает ее изображение 𝐴′(−3,−1). Точно так же точка 𝐵(−2,4) имеет образ 𝐵′(2,−4). Отрезки между 𝐴 и 𝐴′, а также между 𝐵 и 𝐵′ нарисованы, чтобы показать, что в обоих случаях начало координат является их средней точкой.

Обратите внимание, что единственная точка, которая остается неизменной при этом отражении, — это само начало координат, потому что это точка, относительно которой отражаются все остальные точки.

Проще всего увидеть, как работает рефлексия о происхождении, на примере.

Пример 4: Нахождение координат точки после размышления о начале координат

Что из следующего представляет образ точки 𝐴(1,3) после размышления о начале координат?

  1. 𝐴′(1,−3)
  2. 𝐴′(−1,3)
  3. 𝐴′(−3,−1)
  4. 𝐴′(−3,1)
  5. 𝐴′(−1, −3)

Ответ

Напомним, что для общей точки 𝑃(𝑥,𝑦) отражение относительно карт начала координат 𝑃(𝑥,𝑦)→𝑃′(−𝑥,−𝑦).

Это означает, что он отображает точку 𝑃 на точку своего изображения 𝑃′, меняя знаки обеих ее координат.

Следовательно, мы должны применить это преобразование к точке 𝐴(1,3), чтобы получить ее изображение 𝐴′ следующим образом: 𝐴(1,3)→𝐴′(−1,−3).

Мы заключаем, что 𝐴′(−1,−3) представляет собой образ точки 𝐴(1,3) после размышления о начале координат, так что вариант Е правильный ответ.

Отражение относительно начала имеет интересное свойство, которое отличает его от отражения в линии. Это станет очевидным, когда мы посмотрим на его влияние. на треугольнике, как показано на следующей диаграмме.

Обратите внимание, что у исходного треугольника 𝐴𝐵𝐶 буквенные метки вершин расположены по часовой стрелке; то же самое верно и для его образа 𝐴′𝐵′𝐶′. Другими словами, ориентация вершин сохраняется. Это отличается от того, что происходит при отражении в линии, где порядок вершин сохраняется. но направление маркировки (то есть по часовой стрелке или против часовой стрелки) меняется на противоположное.

Свойство: Отражение относительно начала координат

  • Отражение относительно начала координат сохраняет ориентацию.
    Например, если вершины многоугольника помечены по часовой стрелке, то соответствующие метки вершин на изображении также будут упорядочены по часовой стрелке.

Наш последний пример поможет нам распознать размышления о происхождении.

Пример 5: Отражение треугольника относительно начала координат

Какой график представляет отражение треугольника 𝐴𝐵𝐶 относительно начала координат?

Ответ

Напомним, что для общей точки 𝑃(𝑥,𝑦) отражение относительно карт начала координат 𝑃(𝑥,𝑦)→𝑃′(−𝑥,−𝑦).

Следовательно, 𝑃′ будет иметь те же координаты, что и 𝑃, но с противоположными знаками, поэтому 𝑃 и 𝑃′ будет на том же расстоянии от начала координат, но по разные стороны от него по прямой. Вспомним также, что размышление о происхождении сохраняет ориентацию, в то время как отражение на оси 𝑥 или оси 𝑦 нет.

Здесь нам нужно изучить графики один за другим, чтобы найти отражение о происхождении. В графе A треугольник 𝐴𝐵𝐶 и его изображение 𝐴′𝐵′𝐶′ находятся на противоположных сторонах оси 𝑦 с соответствующими вершинами на одном перпендикулярном расстоянии от оси 𝑦. Для каждой вершины 𝐴𝐵𝐶 ее образ в 𝐴′𝐵′𝐶′ имеет то же самое 𝑦-координата, но 𝑥-координата имеет противоположный знак. Мы распознаем это как отражение треугольника 𝐴𝐵𝐶 по оси 𝑦.

На графике B треугольник 𝐴𝐵𝐶 и его образ 𝐴′𝐵′𝐶′ лежат по разные стороны от оси 𝑥, с соответствующими вершинами на одном и том же перпендикулярном расстоянии от оси 𝑥. Для каждой вершины 𝐴𝐵𝐶 ее образ в 𝐴′𝐵′𝐶′ имеет ту же 𝑥-координату, но 𝑦-координата имеет противоположный знак. Мы распознаем это как отражение треугольника 𝐴𝐵𝐶 на оси 𝑥.

В графе C треугольник 𝐴𝐵𝐶 и его изображение 𝐴′𝐵′𝐶′ находятся по разные стороны от начала координат. Соответствующие вершины находятся на одном и том же расстоянии от начала координат, но по разные стороны от него по прямой. Для каждой вершины 𝐴𝐵𝐶 ее образ в 𝐴′𝐵′𝐶′ имеет те же координаты, но с противоположными знаками. Треугольник 𝐴𝐵𝐶 помечен против часовой стрелки и так же и 𝐴′𝐵′𝐶′, поэтому ориентация вершин сохраняется, а также порядок. Мы признаем это отражением треугольник 𝐴𝐵𝐶 относительно начала координат, поэтому граф C является правильным ответом.

Интересно отметить, что на графике D фактически показан треугольник 𝐴𝐵𝐶, отраженный в наклонной вниз линии, которая проходит через начало координат в 45∘ как к оси 𝑥, так и к оси 𝑦. Эта линия имеет уравнение 𝑦=−𝑥, и мы нарисуем его ниже.

Однако, поскольку размышления этого типа выходят за рамки этого объяснения, мы не будем рассматривать его здесь более подробно.

Таким образом, мы показали, что граф C представляет собой отражение треугольника 𝐴𝐵𝐶 относительно начала координат.

Давайте закончим повторением некоторых ключевых понятий из этого объяснения.

Ключевые точки

  • Отражение на координатной плоскости — это тип трансформации. Он принимает геометрическую фигуру, такую ​​как точка, отрезок или фигура, и преобразует его в конгруэнтную геометрическую фигуру, называемую изображением.
  • При отображении геометрических фигур, таких как сегменты линий или многоугольники, самый простой способ сделать это — отразить каждую отдельную конечную точку или вершину, а затем соедините точки изображения в той же последовательности, в которой они появляются на исходном рисунке.