Электрическая цепь состоит из двух резисторов сопротивлением по 10 ом: Электрическая цепь состоит из двух резисторов сопротивлением по 10 Ом каждый соединенных

серии

включены последовательно, когда ток течет через резисторы последовательно. Рассмотрим рисунок \ (\ PageIndex {2} \), на котором показаны три последовательно включенных резистора с приложенным напряжением, равным \ (V_ {ab} \).Поскольку заряды проходят только по одному пути, ток через каждый резистор одинаков. Эквивалентное сопротивление набора резисторов при последовательном соединении равно алгебраической сумме отдельных сопротивлений.

На рисунке \ (\ PageIndex {2} \) ток, исходящий от источника напряжения, протекает через каждый резистор, поэтому ток через каждый резистор одинаков. Ток в цепи зависит от напряжения, подаваемого источником напряжения, и сопротивления резисторов. Для каждого резистора происходит падение потенциала, равное потере электрической потенциальной энергии, когда ток проходит через каждый резистор. Согласно закону Ома, падение потенциала \ (V \) на резисторе при протекании через него тока рассчитывается по формуле \ (V = IR \), где \ (I \) — ток в амперах (\ (A \)), а \ (R \) — сопротивление в Ом \ ((\ Omega) \).N V_i = 0. \]

Это уравнение часто называют законом петли Кирхгофа, который мы рассмотрим более подробно позже в этой главе. На рисунке \ (\ PageIndex {2} \) сумма падения потенциала каждого резистора и напряжения, подаваемого источником напряжения, должна равняться нулю:

\ [\ begin {align *} V — V_1 — V_2 — V_3 & = 0, \\ [4pt] V & = V_1 + V_2 + V_3, \\ [4pt] & = IR_1 + IR_2 + IR_3, \ end { выровнять *} \]

Решение для \ (I \)

\ [\ begin {align *} I & = \ frac {V} {R_1 + R_2 + R_3} \\ [4pt] & = \ frac {V} {R_ {S}}. N R_i.\ label {серия эквивалентных сопротивлений} \]

Одним из результатов подключения компонентов в последовательную цепь является то, что если что-то происходит с одним компонентом, это влияет на все остальные компоненты. Например, если несколько ламп подключены последовательно и одна лампа перегорела, все остальные лампы погаснут.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): эквивалентное сопротивление, ток и мощность в последовательной цепи

Батарея с напряжением на клеммах 9 В подключена к цепи, состоящей из четырех последовательно соединенных резисторов \ (20 \, \ Omega \) и одного \ (10 ​​\, \ Omega \) (Рисунок \ (\ PageIndex {3 } \)).Предположим, что батарея имеет незначительное внутреннее сопротивление.

1. Рассчитайте эквивалентное сопротивление цепи.
2. Рассчитайте ток через каждый резистор.
3. Рассчитайте падение потенциала на каждом резисторе.
4. Определите общую мощность, рассеиваемую резисторами, и мощность, отдаваемую аккумулятором.

Стратегия

В последовательной цепи эквивалентное сопротивление представляет собой алгебраическую сумму сопротивлений.2R \), а общая мощность, рассеиваемая резисторами, равна сумме мощности, рассеиваемой каждым резистором. Мощность, подаваемая батареей, можно найти с помощью \ (P = I \ epsilon \).

Решение

1. Эквивалентное сопротивление — это алгебраическая сумма сопротивлений (уравнение \ ref {серия эквивалентных сопротивлений}): \ [\ begin {align *} R_ {S} & = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + R_5 \\ [4pt ] & = 20 \, \ Omega + 20 \, \ Omega + 20 \, \ Omega + 20 \, \ Omega + 10 \, \ Omega = 90 \, \ Omega.2 (10 \, \ Omega) = 0,1 \, W, \ nonumber \] \ [P_ {рассеивается} = 0,2 \, W + 0,2 \, W + 0,2 \, W + 0,2 \, W + 0,1 \, W = 0,9 \, W, \ nonumber \] \ [P_ {источник} = I \ epsilon = (0,1 \, A) (9 \, V) = 0,9 \, W. \ nonumber \]

Значение

Есть несколько причин, по которым мы будем использовать несколько резисторов вместо одного резистора с сопротивлением, равным эквивалентному сопротивлению цепи. Возможно, резистора необходимого размера нет в наличии, или нам нужно отводить выделяемое тепло, или мы хотим минимизировать стоимость резисторов.Каждый резистор может стоить от нескольких центов до нескольких долларов, но при умножении на тысячи единиц экономия затрат может быть значительной.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Некоторые гирлянды миниатюрных праздничных фонарей закорачиваются при перегорании лампочки. Устройство, вызывающее короткое замыкание, называется шунтом, который позволяет току течь по разомкнутой цепи. «Короткое замыкание» похоже на протягивание куска проволоки через компонент. Луковицы обычно сгруппированы в серии по девять луковиц.Если перегорает слишком много лампочек, в конце концов открываются шунты. Что вызывает это?

Ответ

Эквивалентное сопротивление девяти последовательно соединенных лампочек составляет 9 R . Ток равен \ (I = V / 9 \, R \). Если одна лампочка перегорит, эквивалентное сопротивление равно 8 R , и напряжение не изменится, но ток возрастет \ ((I = V / 8 \, R \). Чем больше лампочек перегорят, ток станет равным. В конце концов, ток становится слишком большим, что приводит к перегоранию шунта.№ Р_и. \]

Одинаковый ток течет через каждый резистор последовательно.

Отдельные последовательно включенные резисторы не получают полное напряжение источника, а делят его. Общее падение потенциала на последовательной конфигурации резисторов равно сумме падений потенциала на каждом резисторе.

Параллельные резисторы

На рисунке \ (\ PageIndex {4} \) показаны резисторы, включенные параллельно, подключенные к источнику напряжения. Резисторы включены параллельно, когда один конец всех резисторов соединен непрерывным проводом с незначительным сопротивлением, а другой конец всех резисторов также соединен друг с другом непрерывным проводом с незначительным сопротивлением.Падение потенциала на каждом резисторе одинаковое. Ток через каждый резистор можно найти с помощью закона Ома \ (I = V / R \), где напряжение на каждом резисторе постоянно. Например, автомобильные фары, радио и другие системы подключены параллельно, так что каждая подсистема использует полное напряжение источника и может работать полностью независимо. То же самое и с электропроводкой в ​​вашем доме или любом здании.

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): Два резистора, подключенных параллельно источнику напряжения.(b) Исходная схема сокращается до эквивалентного сопротивления и источника напряжения.

Ток, протекающий от источника напряжения на рисунке \ (\ PageIndex {4} \), зависит от напряжения, подаваемого источником напряжения, и эквивалентного сопротивления цепи. В этом случае ток течет от источника напряжения и попадает в соединение или узел, где цепь разделяется, протекая через резисторы \ (R_1 \) и \ (R_2 \). По мере того, как заряды проходят от батареи, некоторые проходят через резистор \ (R_1 \), а некоторые — через резистор \ (R_2 \).Сумма токов, текущих в переход, должна быть равна сумме токов, текущих из перехода:

\ [\ sum I_ {in} = \ sum I_ {out}. {- 1}.{-1}. \ label {10.3} \]

Это соотношение приводит к эквивалентному сопротивлению \ (R_ {P} \), которое меньше наименьшего из отдельных сопротивлений. Когда резисторы подключены параллельно, от источника течет больше тока, чем протекает для любого из них по отдельности, поэтому общее сопротивление ниже.

Пример \ (\ PageIndex {2} \): Анализ параллельной цепи

Три резистора \ (R_1 = 1,00 \, \ Omega \), \ (R_2 = 2,00 \, \ Omega \) и \ (R_3 = 2,00 \, \ Omega \) подключены параллельно.Параллельное соединение подключается к источнику напряжения \ (V = 3,00 \, V \).

1. Какое эквивалентное сопротивление?
2. Найдите ток, подаваемый источником в параллельную цепь.
3. Рассчитайте токи в каждом резисторе и покажите, что в сумме они равны выходному току источника.
4. Рассчитайте мощность, рассеиваемую каждым резистором.
5. Найдите выходную мощность источника и покажите, что она равна общей мощности, рассеиваемой резисторами.

Стратегия

(a) Общее сопротивление для параллельной комбинации резисторов определяется с помощью уравнения \ ref {10.3}. (Обратите внимание, что в этих расчетах каждый промежуточный ответ отображается с дополнительной цифрой.)

(b) Ток, подаваемый источником, можно найти из закона Ома, заменив \ (R_ {P} \) на полное сопротивление \ (I = \ frac {V} {R_ {P}} \).

(c) Отдельные токи легко вычислить по закону Ома \ (\ left (I_i = \ frac {V_i} {R_i} \ right) \), поскольку каждый резистор получает полное напряжение.{-1} = 0,50 \, \ Omega. \ Nonumber \] Общее сопротивление с правильным количеством значащих цифр равно \ (R_ {eq} = 0,50 \, \ Omega \). Как и предполагалось, \ (R_ {P} \) меньше наименьшего индивидуального сопротивления.

Полный ток можно найти из закона Ома, заменив полное сопротивление \ (R_ {P} \). Это дает \ [I = \ frac {V} {R_ {P}} = \ frac {3.00 \, V} {0.50 \, \ Omega} = 6.00 \, A. \ nonumber \] Текущий I для каждого устройства намного больше, чем для тех же устройств, подключенных последовательно (см. предыдущий пример).Схема с параллельным соединением имеет меньшее общее сопротивление, чем резисторы, включенные последовательно.

Отдельные токи легко вычислить по закону Ома, так как каждый резистор получает полное напряжение. Таким образом, \ [I_1 = \ frac {V} {R_1} = \ frac {3.00 \, V} {1.00 \, \ Omega} = 3.00 \, A. \ nonumber \] Аналогично, \ [I_2 = \ frac {V } {R_2} = \ frac {3.00 \, V} {2.00 \, \ Omega} = 1.50 \, A \ nonumber \] и \ [I_3 = \ frac {V} {R_3} = \ frac {3.00 \, V } {2.00 \, \ Omega} = 1.50 \, A. \ nonumber \] Общий ток — это сумма отдельных токов: \ [I_1 + I_2 + I_3 = 6.2} {2.00 \, \ Omega} = 4.50 \, W. \ nonumber \]

Общую мощность также можно рассчитать несколькими способами. Выбор \ (P = IV \) и ввод общей текущей доходности \ [P = IV = (6.00 \, A) (3.00 \, V) = 18.00 \, W. \ nonumber \]

Значение

Общая мощность, рассеиваемая резисторами, также 18,00 Вт:

\ [P_1 + P_2 + P_3 = 9,00 \, W + 4,50 \, W + 4,50 \, W = 18,00 \, W. \ nonumber \]

Обратите внимание, что общая мощность, рассеиваемая резисторами, равна мощности, подаваемой от источника.

Упражнение \ (\ PageIndex {2A} \)

Рассмотрим одну и ту же разность потенциалов \ ((V = 3,00 \, V) \), приложенную к одним и тем же трем последовательно включенным резисторам. Будет ли эквивалентное сопротивление последовательной цепи больше, меньше или равно трем резисторам, включенным параллельно? Будет ли ток в последовательной цепи выше, ниже или равен току, обеспечиваемому тем же напряжением, приложенным к параллельной цепи? Как мощность, рассеиваемая последовательно резистором, будет сравниваться с мощностью, рассеиваемой параллельно резисторами?

Решение

Эквивалент последовательной схемы будет \ (R_ {eq} = 1.00 \, \ Omega + 2.00 \, \ Omega + 2.00 \, \ Omega = 5.00 \, \ Omega \), что выше эквивалентного сопротивления параллельной цепи \ (R_ {eq} = 0.50 \, \ Omega \ ). Эквивалентный резистор любого количества резисторов всегда выше, чем эквивалентное сопротивление тех же резисторов, соединенных параллельно. Ток через последовательную цепь будет \ (I = \ frac {3.00 \, V} {5.00 \, \ Omega} = 0.60 \, A \), что меньше суммы токов, проходящих через каждый резистор в параллельная цепь, \ (I = 6.00 \, А \). Это неудивительно, поскольку эквивалентное сопротивление последовательной цепи выше. Ток при последовательном соединении любого количества резисторов всегда будет ниже, чем ток при параллельном соединении тех же резисторов, поскольку эквивалентное сопротивление последовательной цепи будет выше, чем параллельной цепи. Мощность, рассеиваемая последовательно включенными резисторами, будет равна \ (P = 1,800 \, Вт \), что ниже мощности, рассеиваемой в параллельной цепи \ (P = 18.00 \, Вт \).

Упражнение \ (\ PageIndex {2B} \)

Как бы вы использовали реку и два водопада для моделирования параллельной конфигурации двух резисторов? Как разрушается эта аналогия?

Решение

Река, текущая в горизонтальном направлении с постоянной скоростью, разделяется на две части и течет через два водопада. Молекулы воды аналогичны электронам в параллельных цепях. Количество молекул воды, которые текут в реке и падает, должно быть равно количеству молекул, которые текут над каждым водопадом, точно так же, как сумма тока через каждый резистор должна быть равна току, текущему в параллельном контуре.Молекулы воды в реке обладают энергией благодаря своему движению и высоте. Потенциальная энергия молекул воды в реке постоянна из-за их одинаковой высоты. Это аналогично постоянному изменению напряжения в параллельной цепи. Напряжение — это потенциальная энергия на каждом резисторе.

При рассмотрении энергии аналогия быстро разрушается. В водопаде потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию молекул воды. В случае прохождения электронов через резистор падение потенциала преобразуется в тепло и свет, а не в кинетическую энергию электронов.

Суммируем основные характеристики резисторов параллельно:

1. Эквивалентное сопротивление находится по формуле \ ref {10. 3} и меньше любого отдельного сопротивления в комбинации.
2. Падение потенциала на каждом параллельном резисторе одинаковое.
3. Параллельные резисторы не получают суммарный ток каждый; они делят это. Ток, поступающий в параллельную комбинацию резисторов, равен сумме токов, протекающих через каждый резистор, включенный параллельно.

В этой главе мы представили эквивалентное сопротивление резисторов, соединенных последовательно, и резисторов, соединенных параллельно. Как вы помните, в разделе «Емкость» мы ввели эквивалентную емкость конденсаторов, соединенных последовательно и параллельно. Цепи часто содержат как конденсаторы, так и резисторы. В таблице \ (\ PageIndex {1} \) приведены уравнения, используемые для эквивалентного сопротивления и эквивалентной емкости для последовательных и параллельных соединений.

Таблица \ (\ PageIndex {1} \): Сводка по эквивалентному сопротивлению и емкости в последовательной и параллельной комбинациях

	Комбинация серий	Параллельная комбинация
Эквивалентная емкость	\ [\ frac {1} {C_ {S}} = \ frac {1} {C_1} + \ frac {1} {C_2} + \ frac {1} {C_3} +. N R_i \ nonumber \]	\ [\ frac {1} {R_ {P}} = \ frac {1} {R_1} + \ frac {1} {R_2} + \ frac {1} {R_3} +. . . \ nonumber \]

Сочетания последовательного и параллельного

Более сложные соединения резисторов часто представляют собой просто комбинации последовательного и параллельного соединения. Такие комбинации обычны, особенно если учитывать сопротивление проводов. В этом случае сопротивление провода включено последовательно с другими сопротивлениями, включенными параллельно.

Комбинации последовательного и параллельного соединения могут быть уменьшены до одного эквивалентного сопротивления, используя метод, показанный на рисунке \ (\ PageIndex {5} \).Различные части могут быть идентифицированы как последовательные или параллельные соединения, уменьшенные до их эквивалентных сопротивлений, а затем уменьшенные до тех пор, пока не останется единственное эквивалентное сопротивление. Процесс занимает больше времени, чем труден. Здесь мы отмечаем эквивалентное сопротивление как \ (R_ {eq} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): (а) Исходная схема из четырех резисторов. (b) Шаг 1: резисторы \ (R_3 \) и \ (R_4 \) включены последовательно, и эквивалентное сопротивление равно \ (R_ {34} = 10 \, \ Omega \) (c) Шаг 2: сокращенная схема показывает, что резисторы \ (R_2 \) и \ (R_ {34} \) включены параллельно, с эквивалентным сопротивлением \ (R_ {234} = 5 \, \ Omega \).(d) Шаг 3: приведенная схема показывает, что \ (R_1 \) и \ (R_ {234} \) включены последовательно с эквивалентным сопротивлением \ (R_ {1234} = 12 \, \ Omega \), которое является эквивалентное сопротивление \ (R_ {eq} \). (e) Уменьшенная схема с источником напряжения \ (V = 24 \, V \) с эквивалентным сопротивлением \ (R_ {eq} = 12 \, \ Omega \). Это приводит к току \ (I = 2 \, A \) от источника напряжения.

Обратите внимание, что резисторы \ (R_3 \) и \ (R_4 \) включены последовательно. Их можно объединить в одно эквивалентное сопротивление. {- 1} = 5 \, \ Omega.\ nonumber \]

Этот шаг процесса сокращает схему до двух резисторов, показанных на рисунке \ (\ PageIndex {5d} \). Здесь схема сводится к двум резисторам, которые в данном случае включены последовательно. Эти два резистора можно уменьшить до эквивалентного сопротивления, которое является эквивалентным сопротивлением цепи:

\ [R_ {eq} = R_ {1234} = R_1 + R_ {234} = 7 \, \ Omega + 5 \ Omega = 12 \, \ Omega. \ nonumber \]

Основная цель этого анализа схемы достигнута, и теперь схема сведена к одному резистору и одному источнику напряжения.

Теперь мы можем проанализировать схему. Ток, обеспечиваемый источником напряжения, равен \ (I = \ frac {V} {R_ {eq}} = \ frac {24 \, V} {12 \, \ Omega} = 2 \, A \). Этот ток проходит через резистор \ (R_1 \) и обозначается как \ (I_1 \). Падение потенциала на \ (R_1 \) можно найти с помощью закона Ома:

\ [V_1 = I_1R_1 = (2 \, A) (7 \, \ Omega) = 14 \, V. \ nonumber \]

Глядя на рисунок \ (\ PageIndex {5c} \), это оставляет \ (24 \, V — 14 \, V = 10 \, V \) отбрасывать через параллельную комбинацию \ (R_2 \) и \ ( R_ {34} \). Ток через \ (R_2 \) можно найти по закону Ома:

\ [I_2 = \ frac {V_2} {R_2} = \ frac {10 \, V} {10 \, \ Omega} = 1 \, A. \ nonumber \]

Резисторы \ (R_3 \) и \ (R_4 \) включены последовательно, поэтому токи \ (I_3 \) и \ (I_4 \) равны

.

\ [I_3 = I_4 = I — I_2 = 2 \, A — 1 \, A = 1 \, A. \ nonumber \]

Используя закон Ома, мы можем найти падение потенциала на двух последних резисторах. Потенциальные капли равны \ (V_3 = I_3R_3 = 6 \, V \) и \ (V_4 = I_4R_4 = 4 \, V \).2 (4 \, \ Omega) = 4 \, W, \\ [4pt] P_ {рассеивается} & = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = 48 \, W. \ end {align *} \]

Полная энергия постоянна в любом процессе. Следовательно, мощность, подаваемая источником напряжения, составляет

\ [\ begin {align *} P_s & = IV \\ [4pt] & = (2 \, A) (24 \, V) = 48 \, W \ end {align *} \]

Анализ мощности, подаваемой в схему, и мощности, рассеиваемой резисторами, является хорошей проверкой достоверности анализа; они должны быть равны.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): объединение последовательных и параллельных цепей

На рисунке \ (\ PageIndex {6} \) показаны резисторы, подключенные последовательно и параллельно.Мы можем рассматривать \ (R_1 \) как сопротивление проводов, ведущих к \ (R_2 \) и \ (R_3 \).

1. Найдите эквивалентное сопротивление цепи.
2. Какое падение потенциала \ (V_1 \) на резисторе \ (R_1 \)?
3. Найдите ток \ (I_2 \) через резистор \ (R_2 \).
4. Какая мощность рассеивается \ (R_2 \)?

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): Эти три резистора подключены к источнику напряжения так, чтобы \ (R_2 \) и \ (R_3 \) были параллельны друг другу, и эта комбинация была последовательно с \ (R_1 \).

Стратегия

(a) Чтобы найти эквивалентное сопротивление, сначала найдите эквивалентное сопротивление параллельного соединения \ (R_2 \) и \ (R_3 \). Затем используйте этот результат, чтобы найти эквивалентное сопротивление последовательного соединения с \ (R_1 \).

(b) Ток через \ (R_1 \) можно найти с помощью закона Ома и приложенного напряжения. Ток через \ (R_1 \) равен току от батареи. Падение потенциала \ (V_1 \) на резисторе \ (R_1 \) (которое представляет собой сопротивление в соединительных проводах) можно найти с помощью закона Ома.{-1} = 5.10 \, \ Omega. \ Nonumber \] Общее сопротивление этой комбинации занимает промежуточное положение между значениями чистой серии и чисто параллельной (\ (20.0 \, \ Omega \) и \ (0.804 \, \ Omega \) ), соответственно).

Ток через \ (R_1 \) равен току, обеспечиваемому батареей: \ [I_1 = I = \ frac {V} {R_ {eq}} = \ frac {12.0 \, V} {5.10 \, \ Omega} = 2.35 \, A. \ nonumber \] Напряжение на \ (R_1 \) равно \ [V_1 = I_1R_1 = (2.35 \, A) (1 \, \ Omega) = 2.35 \, V. \ nonumber \] Напряжение, приложенное к \ (R_2 \) и \ (R_3 \), меньше напряжения, подаваемого батареей, на величину \ (V_1 \).Когда сопротивление провода велико, это может существенно повлиять на работу устройств, представленных \ (R_2 \) и \ (R_3 \).

Чтобы найти ток через \ (R_2 \), мы должны сначала найти приложенное к нему напряжение. Напряжение на двух параллельных резисторах одинаково: \ [V_2 = V_3 = V — V_1 = 12.0 \, V — 2.35 \, V = 9.65 \, V. \ nonumber \] Теперь мы можем найти ток \ (I_2 \) через сопротивление \ (R_2 \) по закону Ома: \ [I_2 = \ frac {V_2} {R_2} = \ frac {9.65 \, V} {6.00 \, \ Omega} = 1.2 (6.00 \, \ Omega) = 15.5 \, W. \ nonumber \]

Значение

Анализ сложных схем часто можно упростить, сведя схему к источнику напряжения и эквивалентному сопротивлению. Даже если вся схема не может быть сведена к одному источнику напряжения и одному эквивалентному сопротивлению, части схемы могут быть уменьшены, что значительно упрощает анализ.

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Учитывайте электрические цепи в вашем доме.Приведите хотя бы два примера схем, в которых для эффективной работы необходимо использовать комбинацию последовательных и параллельных схем.

Решение

Все цепи верхнего освещения параллельны и подключены к основному источнику питания, поэтому при перегорании одной лампочки все верхнее освещение не гаснет. У каждого верхнего света будет как минимум один переключатель, включенный последовательно с источником света, так что вы можете включать и выключать его.

В холодильнике есть компрессор и лампа, которая загорается при открытии двери.Обычно для подключения холодильника к стене используется только один шнур. Цепь, содержащая компрессор, и цепь, содержащая цепь освещения, параллельны, но есть переключатель, включенный последовательно со светом. Термостат управляет переключателем, включенным последовательно с компрессором, чтобы контролировать температуру холодильника.

Практическое применение

Одним из следствий этого последнего примера является то, что сопротивление в проводах снижает ток и мощность, подаваемую на резистор. Если сопротивление провода относительно велико, как в изношенном (или очень длинном) удлинителе, то эти потери могут быть значительными. Если потребляется большой ток, падение IR в проводах также может быть значительным и может проявляться из-за тепла, выделяемого в шнуре.

Например, когда вы роетесь в холодильнике и включается мотор, свет холодильника на мгновение гаснет. Точно так же вы можете увидеть тусклый свет в салоне, когда вы запускаете двигатель вашего автомобиля (хотя это может быть связано с сопротивлением внутри самой батареи).

Что происходит в этих сильноточных ситуациях, показано на рисунке \ (\ PageIndex {7} \). Устройство, обозначенное символом \ (R_3 \), имеет очень низкое сопротивление, поэтому при его включении течет большой ток. Этот увеличенный ток вызывает большее падение IR в проводах, обозначенных \ (R_1 \), снижая напряжение на лампочке (которое составляет \ (R_2 \)), которое затем заметно гаснет.

Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): Почему свет тускнеет при включении большого прибора? Ответ заключается в том, что большой ток, потребляемый двигателем прибора, вызывает значительное падение IR в проводах и снижает напряжение на свету.

Стратегия решения проблем: последовательные и параллельные резисторы

1. Нарисуйте четкую принципиальную схему, пометив все резисторы и источники напряжения. Этот шаг включает список известных значений проблемы, так как они отмечены на вашей принципиальной схеме.
2. Точно определите, что необходимо определить в проблеме (определите неизвестные). Письменный список полезен.
3. Определите, подключены ли резисторы последовательно, параллельно или в комбинации последовательно и параллельно.Изучите принципиальную схему, чтобы сделать эту оценку. Резисторы включены последовательно, если через них должен последовательно проходить один и тот же ток.
4. Используйте соответствующий список основных функций для последовательных или параллельных подключений, чтобы найти неизвестные. Есть один список для серий и другой для параллельных.
5. Проверьте, являются ли ответы разумными и последовательными.

Пример \ (\ PageIndex {4} \): объединение последовательных и параллельных цепей

Два резистора, соединенных последовательно \ ((R_1, \, R_2) \), соединены с двумя резисторами, включенными параллельно \ ((R_3, \, R_4) \).Последовательно-параллельная комбинация подключается к батарее. Каждый резистор имеет сопротивление 10,00 Ом. Провода, соединяющие резисторы и аккумулятор, имеют незначительное сопротивление. Через резистор \ (R_1 \) проходит ток 2,00 А. Какое напряжение подается от источника напряжения?

Стратегия

Используйте шаги предыдущей стратегии решения проблем, чтобы найти решение для этого примера.

Решение

Рисунок \ (\ PageIndex {8} \): Чтобы найти неизвестное напряжение, мы должны сначала найти эквивалентное сопротивление цепи.

1. Нарисуйте четкую принципиальную схему (Рисунок \ (\ PageIndex {8} \)).
2. Неизвестно напряжение аккумулятора. Чтобы определить напряжение, подаваемое батареей, необходимо найти эквивалентное сопротивление.
3. В этой схеме мы уже знаем, что резисторы \ (R_1 \) и \ (R_2 \) включены последовательно, а резисторы \ (R_3 \) и \ (R_4 \) включены параллельно. Эквивалентное сопротивление параллельной конфигурации резисторов \ (R_3 \) и \ (R_4 \) последовательно с последовательной конфигурацией резисторов \ (R_1 \) и \ (R_2 \).{-1} = 5,00 \, \ Омега. \ nonumber \] Эта параллельная комбинация включена последовательно с двумя другими резисторами, поэтому эквивалентное сопротивление схемы равно \ (R_ {eq} = R_1 + R_2 + R_ {34} = (25.00 \, \ Omega \). поэтому напряжение, подаваемое батареей, равно \ (V = IR_ {eq} = 2,00 \, A (25,00 \, \ Omega) = 50,00 \, V \).
4. Один из способов проверить соответствие ваших результатов — это рассчитать мощность, подаваемую батареей, и мощность, рассеиваемую резисторами. Мощность, обеспечиваемая аккумулятором, равна \ (P_ {batt} = IV = 100. 2R_4 \\ [4pt] & = 40.00 \, W + 40.00 \, W + 10.00 \, W + 10.00 \, W = 100. \, W. \ end {align *} \]

   Поскольку мощность, рассеиваемая резисторами, равна мощности, выделяемой батареей, наше решение кажется последовательным.

   Значение

   Если проблема имеет комбинацию последовательного и параллельного соединений, как в этом примере, ее можно уменьшить поэтапно, используя предыдущую стратегию решения проблемы и рассматривая отдельные группы последовательных или параллельных соединений.При нахождении \ (R_ {eq} \) для параллельного соединения необходимо с осторожностью относиться к обратному. Кроме того, единицы и числовые результаты должны быть разумными. Эквивалентное последовательное сопротивление должно быть больше, а эквивалентное параллельное сопротивление, например, должно быть меньше. Мощность должна быть больше для одних и тех же устройств, подключенных параллельно, по сравнению с последовательными и так далее.

   Авторы и авторство

   • Сэмюэл Дж. Линг (Государственный университет Трумэна), Джефф Санни (Университет Лойола Мэримаунт) и Билл Мобс со многими авторами.Эта работа лицензирована OpenStax University Physics в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License (4.0).

   резисторов последовательно и параллельно

   Цели обучения

   К концу этого раздела вы сможете:

   • Нарисуйте цепь с резисторами, включенными параллельно и последовательно.
   • Вычислите падение напряжения тока на резисторе, используя закон Ома.
   • Сравните способ расчета общего сопротивления для резисторов, включенных последовательно и параллельно.
   • Объясните, почему полное сопротивление параллельной цепи меньше наименьшего сопротивления любого из резисторов в этой цепи.
   • Рассчитайте общее сопротивление цепи, которая содержит смесь резисторов, подключенных последовательно и параллельно.

   Большинство схем имеет более одного компонента, называемого резистором , который ограничивает поток заряда в цепи. Мера этого предела расхода заряда называется сопротивлением . Простейшие комбинации резисторов — это последовательное и параллельное соединение, показанное на рисунке 1.Общее сопротивление комбинации резисторов зависит как от их индивидуальных значений, так и от того, как они подключены.

   Рис. 1. (а) Последовательное соединение резисторов. (б) Параллельное соединение резисторов.

   Когда резисторы в серии ? Резисторы включены последовательно всякий раз, когда поток заряда, называемый током , должен проходить через устройства последовательно. Например, если ток течет через человека, держащего отвертку, в землю, тогда R ₁ на Рисунке 1 (a) может быть сопротивлением вала отвертки, R ₂ сопротивлением ее ручки , R ₃ сопротивление тела человека и R ₄ сопротивление его обуви.На рисунке 2 показаны резисторы, последовательно подключенные к источнику напряжения . Кажется разумным, что полное сопротивление является суммой отдельных сопротивлений, учитывая, что ток должен проходить через каждый резистор последовательно. (Этот факт был бы преимуществом для человека, желающего избежать поражения электрическим током, который мог бы уменьшить ток, надев обувь с резиновыми подошвами с высоким сопротивлением. прибор, который уменьшил бы рабочий ток.)

   Рис. 2. Три резистора, подключенных последовательно к батарее (слева), и эквивалентное одиночное или последовательное сопротивление (справа).

   Чтобы убедиться, что последовательно соединенные сопротивления действительно складываются, давайте рассмотрим потерю электроэнергии, называемую падением напряжения , в каждом резисторе на рис. 2. Согласно закону Ома падение напряжения В на резистор, когда через него протекает ток, рассчитывается по формуле V = IR , где I равно току в амперах (A), а R — сопротивление в омах (Ω). Другой способ представить это: В, — это напряжение, необходимое для протекания тока I через сопротивление R . Таким образом, падение напряжения на R ₁ составляет В ₁ = IR ₁ , что на R ₂ составляет В ₂ = IR ₂ , и что через R ₃ составляет V ₃ = IR ₃ .Сумма этих напряжений равна выходному напряжению источника; то есть

   В = В ₁ + В ₂ + В ₃ .

   Это уравнение основано на сохранении энергии и сохранении заряда. Электрическая потенциальная энергия может быть описана уравнением PE = qV , где q — электрический заряд, а V — напряжение. Таким образом, энергия, подаваемая источником, составляет кв / , а энергия, рассеиваемая резисторами, составляет

   .

   qV ₁ + qV ₂ + qV ₃ .

   Установление связей: законы сохранения

   Вывод выражений для последовательного и параллельного сопротивления основан на законах сохранения энергии и сохранения заряда, согласно которым общий заряд и полная энергия постоянны в любом процессе. Эти два закона непосредственно участвуют во всех электрических явлениях и будут многократно использоваться для объяснения как конкретных эффектов, так и общего поведения электричества.

   Эти энергии должны быть равны, потому что в цепи нет другого источника и другого назначения для энергии.Таким образом, qV = qV ₁ + qV ₂ + qV ₃ . Заряд q аннулируется, давая V = V ₁ + V ₂ + V ₃ , как указано. (Обратите внимание, что одинаковое количество заряда проходит через батарею и каждый резистор за заданный промежуток времени, так как нет емкости для хранения заряда, нет места для утечки заряда и заряд сохраняется. ) Теперь подстановка значений для отдельных напряжений дает

   V = IR ₁ + IR ₂ + IR ₃ = I ( R ₁ + R ₂ + R ₃ ).

   Обратите внимание, что для эквивалентного сопротивления одной серии R _с , мы имеем

   В = ИК _с .

   Это означает, что полное или эквивалентное последовательное сопротивление R _с трех резисторов составляет R _с = R ₁ + R ₂ + R ₃ .Эта логика действительна в общем для любого количества резисторов, включенных последовательно; таким образом, полное сопротивление R _с последовательного соединения составляет

   R _с = R ₁ + R ₂ + R ₃ +…,

   , как предлагается. Поскольку весь ток должен проходить через каждый резистор, он испытывает сопротивление каждого, а последовательно соединенные сопротивления просто складываются.

   Пример 1. Расчет сопротивления, тока, падения напряжения и рассеиваемой мощности: анализ последовательной цепи

   Предположим, что выходное напряжение батареи на рисунке 2 равно 12.0 В, а сопротивления равны R ₁ = 1,00 Ом, R ₂ = 6,00 Ом и R ₃ = 13,0 Ом. а) Каково полное сопротивление? (б) Найдите ток. (c) Рассчитайте падение напряжения на каждом резисторе и покажите, как они складываются, чтобы равняться выходному напряжению источника. (d) Рассчитайте мощность, рассеиваемую каждым резистором. (e) Найдите выходную мощность источника и покажите, что она равна общей мощности, рассеиваемой резисторами.

   Стратегия и решение для (а)

   Общее сопротивление — это просто сумма отдельных сопротивлений, определяемая следующим уравнением:

   [латекс] \ begin {array} {lll} {R} _ {\ text {s}} & = & {R} _ {1} + {R} _ {2} + {R} _ {3} \ \ & = & 1. 00 \ text {} \ Omega + 6.00 \ text {} \ Omega + 13.0 \ text {} \ Omega \\ & = & 20.0 \ text {} \ Omega \ end {array} \\ [/ latex].

   Стратегия и решение для (b)

   Ток определяется по закону Ома, В = IR . Ввод значения приложенного напряжения и общего сопротивления дает ток для цепи:

   [латекс] I = \ frac {V} {{R} _ {\ text {s}}} = \ frac {12.0 \ text {V}} {20.0 \ text {} \ Omega} = 0.60 \ text {A }\\[/латекс].

   Стратегия и решение для (c)

   Напряжение — или IR падение — в резисторе определяется законом Ома.Ввод текущего значения и значения первого сопротивления дает

   .

   В ₁ = IR ₁ = (0,600 A) (1,0 Ом) = 0,600 В.

   Аналогично

   В ₂ = IR ₂ = (0,600 A) (6,0 Ом) = 3,60 В

   и

   V3 = IR ₃ = (0,600 A) (13,0 Ом) = 7,80 В.

   Обсуждение для (c)

   Три капли IR добавляют к 12. 0 В, прогноз:

   В ₁ + В ₂ + В ₃ = (0,600 + 3,60 + 7,80) В = 12,0 В.

   Стратегия и решение для (d)

   Самый простой способ рассчитать мощность в ваттах (Вт), рассеиваемую резистором в цепи постоянного тока, — это использовать закон Джоуля , P = IV , где P — электрическая мощность. В этом случае через каждый резистор протекает одинаковый полный ток.Подставляя закон Ома В = IR в закон Джоуля, мы получаем мощность, рассеиваемую первым резистором, как

   P ₁ = I ² R ₁ = (0,600 A) ² (1,00 Ом) = 0,360 Вт

   Аналогично

   P ₂ = I ² R ₂ = (0,600 A) ² (6,00 Ом) = 2,16 Вт

   и

   P ₃ = I ² R ₃ = (0.{2}} {R} \\ [/ latex], где В, — это падение напряжения на резисторе (а не полное напряжение источника). Будут получены такие же значения.

   Стратегия и решение для (e)

   Самый простой способ рассчитать выходную мощность источника — использовать P = IV , где В, — напряжение источника. Это дает

   P = (0,600 A) (12,0 В) = 7,20 Вт.

   Обсуждение для (е)

   Обратите внимание, что по совпадению общая мощность, рассеиваемая резисторами, также равна 7.20 Вт, столько же, сколько мощность, выдаваемая источником. То есть

   P ₁ + P ₂ + P ₃ = (0,360 + 2,16 + 4,68) W = 7,20 Вт

   Мощность — это энергия в единицу времени (ватт), поэтому для сохранения энергии требуется, чтобы выходная мощность источника была равна общей мощности, рассеиваемой резисторами.

   Основные характеристики резисторов серии

   1. Последовательные сопротивления добавить: R _с = R ₁ + R ₂ + R ₃ +….
   2. Одинаковый ток течет через каждый резистор последовательно.
   3. Отдельные последовательно включенные резисторы не получают полное напряжение источника, а делят его.

   На рис. 3 показаны резисторы параллельно , подключенные к источнику напряжения. Резисторы включены параллельно, когда каждый резистор подключен непосредственно к источнику напряжения путем соединения проводов с незначительным сопротивлением. Таким образом, к каждому резистору приложено полное напряжение источника. Каждый резистор потребляет такой же ток, как если бы он один был подключен к источнику напряжения (при условии, что источник напряжения не перегружен).Например, автомобильные фары, радиоприемник и т. Д. Подключены параллельно, так что они используют полное напряжение источника и могут работать полностью независимо. То же самое и в вашем доме, или в любом другом здании. (См. Рисунок 3 (b).)

   Рис. 3. (a) Три резистора, подключенных параллельно батарее, и эквивалентное одиночное или параллельное сопротивление. (б) Электроснабжение в доме. (Источник: Dmitry G, Wikimedia Commons)

   Чтобы найти выражение для эквивалентного параллельного сопротивления R _p , давайте рассмотрим протекающие токи и их связь с сопротивлением.Поскольку каждый резистор в цепи имеет полное напряжение, токи, протекающие через отдельные резисторы, равны [латекс] {I} _ {1} = \ frac {V} {{R} _ {1}} \\ [/ latex] , [латекс] {I} _ {2} = \ frac {V} {{R} _ {2}} \\ [/ latex] и [латекс] {I} _ {3} = \ frac {V} {{R} _ {3}} \\ [/ латекс]. Сохранение заряда подразумевает, что полный ток I , производимый источником, является суммой этих токов:

   I = I ₁ + I ₂ + I ₃ .

   Подстановка выражений для отдельных токов дает

   [латекс] I = \ frac {V} {{R} _ {1}} + \ frac {V} {{R} _ {2}} + \ frac {V} {{R} _ {3}} = V \ left (\ frac {1} {{R} _ {1}} + \ frac {1} {{R} _ {2}} + \ frac {1} {{R} _ {3}} \ справа) \\ [/ латекс].

   Обратите внимание, что закон Ома для эквивалентного одиночного сопротивления дает

   [латекс] I = \ frac {V} {{R} _ {p}} = V \ left (\ frac {1} {{R} _ {p}} \ right) \\ [/ latex].

   Члены в круглых скобках в последних двух уравнениях должны быть равны. Обобщая для любого количества резисторов, общее сопротивление R _p параллельного соединения связано с отдельными сопротивлениями на

   [латекс] \ frac {1} {{R} _ {p}} = \ frac {1} {{R} _ {1}} + \ frac {1} {{R} _ {2}} + \ гидроразрыв {1} {{R} _ {\ text {.} 3}} + \ text {.} \ Text {…} \\ [/ latex]

   Это соотношение приводит к общему сопротивлению R _p , которое меньше наименьшего из отдельных сопротивлений. (Это видно в следующем примере.) При параллельном подключении резисторов от источника течет больше тока, чем протекает по любому из них по отдельности, поэтому общее сопротивление ниже.

   Пример 2. Расчет сопротивления, тока, рассеиваемой мощности и выходной мощности: анализ параллельной цепи

   Пусть выходное напряжение батареи и сопротивления в параллельном соединении на рисунке 3 будут такими же, как и в ранее рассмотренном последовательном соединении: В = 12. 0 В, R ₁ = 1,00 Ом, R ₂ = 6,00 Ом и R ₃ = 13,0 Ом. а) Каково полное сопротивление? (б) Найдите полный ток. (c) Рассчитайте токи в каждом резисторе и покажите, как они складываются, чтобы равняться общему выходному току источника. (d) Рассчитайте мощность, рассеиваемую каждым резистором. (e) Найдите выходную мощность источника и покажите, что она равна общей мощности, рассеиваемой резисторами.

   Стратегия и решение для (а)

   Общее сопротивление для параллельной комбинации резисторов определяется с помощью следующего уравнения.Ввод известных значений дает

   [латекс] \ frac {1} {{R} _ {p}} = \ frac {1} {{R} _ {1}} + \ frac {1} {{R} _ {2}} + \ frac {1} {{R} _ {3}} = \ frac {1} {1 \ text {.} \ text {00} \ text {} \ Omega} + \ frac {1} {6 \ text {. } \ text {00} \ text {} \ Omega} + \ frac {1} {\ text {13} \ text {.} 0 \ text {} \ Omega} \\ [/ latex].

   Таким образом,

   [латекс] \ frac {1} {{R} _ {p}} = \ frac {1. 00} {\ text {} \ Omega} + \ frac {0 \ text {.} \ Text {1667}} {\ текст {} \ Omega} + \ frac {0 \ text {.} \ text {07692}} {\ text {} \ Omega} = \ frac {1 \ text {.} \ text {2436}} {\ text { } \ Omega} \\ [/ латекс].

   (Обратите внимание, что в этих расчетах каждый промежуточный ответ отображается с дополнительной цифрой.Мы должны перевернуть это, чтобы найти полное сопротивление R _p . Это дает

   [латекс] {R} _ {\ text {p}} = \ frac {1} {1 \ text {.} \ Text {2436}} \ text {} \ Omega = 0 \ text {.} \ Text { 8041} \ text {} \ Omega \\ [/ latex].

   Полное сопротивление с правильным количеством значащих цифр составляет R _p = 0,804 Ом

   Обсуждение для (а)

   R _p , как и предполагалось, меньше наименьшего индивидуального сопротивления.

   Стратегия и решение для (b)

   Полный ток можно найти из закона Ома, заменив полное сопротивление R _p . Это дает

   [латекс] I = \ frac {V} {{R} _ {\ text {p}}} = \ frac {\ text {12.0 V}} {0.8041 \ text {} \ Omega} = \ text {14} \ text {.} \ text {92 A} \\ [/ latex].

   Обсуждение для (б)

   Ток I для каждого устройства намного больше, чем для тех же устройств, подключенных последовательно (см. Предыдущий пример).Схема с параллельным соединением имеет меньшее общее сопротивление, чем резисторы, включенные последовательно.

   Стратегия и решение для (c)

   Отдельные токи легко вычислить по закону Ома, так как каждый резистор получает полное напряжение. Таким образом,

   [латекс] {I} _ {1} = \ frac {V} {{R} _ {1}} = \ frac {12.0 \ text {V}} {1.00 \ text {} \ Omega} = 12.0 \ text {A} \\ [/ латекс].

   Аналогично

   [латекс] {I} _ {2} = \ frac {V} {{R} _ {2}} = \ frac {12.0 \ text {V}} {6.00 \ text {} \ Omega} = 2 \ text {.} \ text {00} \ text {A} \\ [/ latex]

   и

   [латекс] {I} _ {3} = \ frac {V} {{R} _ {3}} = \ frac {\ text {12} \ text {. } 0 \ text {V}} {\ text {13} \ text {.} \ Text {0} \ text {} \ Omega} = 0 \ text {.} \ Text {92} \ text {A} \\ [/ latex].

   Обсуждение для (c)

   Общий ток складывается из отдельных токов:

   I ₁ + I ₂ + I ₃ = 14,92 A.

   Это соответствует сохранению заряда.{2}} {13.0 \ text {} \ Omega} = 11.1 \ text {W} \\ [/ latex].

   Обсуждение для (д)

   Мощность, рассеиваемая каждым резистором параллельно, значительно выше, чем при последовательном подключении к одному и тому же источнику напряжения.

   Стратегия и решение для (e)

   Общую мощность также можно рассчитать несколькими способами. Выбрав P = IV и введя полный ток, получим

   P = IV = (14,92 A) (12,0 В) = 179 Вт.

   Обсуждение для (е)

   Общая мощность, рассеиваемая резисторами, также 179 Вт:

   P ₁ + P ₂ + P ₃ = 144 Вт + 24,0 Вт + 11,1 Вт = 179 Вт

   Это соответствует закону сохранения энергии.

   Общее обсуждение

   Обратите внимание, что и токи, и мощность при параллельном подключении больше, чем для тех же устройств, подключенных последовательно.

   Основные характеристики резисторов, включенных параллельно
   1. Параллельное сопротивление определяется из [latex] \ frac {1} {{R} _ {\ text {p}}} = \ frac {1} {{R} _ {1}} + \ frac {1} { {R} _ {2}} + \ frac {1} {{R} _ {3}} + \ text {…} \\ [/ latex], и оно меньше любого отдельного сопротивления в комбинации.
   2. Каждый резистор, включенный параллельно, имеет то же полное напряжение, что и источник. (В системах распределения электроэнергии чаще всего используются параллельные соединения для питания бесчисленных устройств, обслуживаемых одинаковым напряжением, и для того, чтобы они могли работать независимо.)
   3. Параллельные резисторы не получают суммарный ток каждый; они делят это.

   Сочетания последовательного и параллельного

   Более сложные соединения резисторов иногда представляют собой просто комбинации последовательного и параллельного. Они обычно встречаются, особенно если учитывать сопротивление провода. В этом случае сопротивление провода включено последовательно с другими сопротивлениями, включенными параллельно. Комбинации последовательного и параллельного подключения можно уменьшить до одного эквивалентного сопротивления, используя методику, показанную на рисунке 4.Различные части идентифицируются как последовательные или параллельные, уменьшаются до их эквивалентов и далее уменьшаются до тех пор, пока не останется единственное сопротивление. Процесс занимает больше времени, чем труден.

   Рис. 4. Эта комбинация из семи резисторов имеет как последовательные, так и параллельные части. Каждый из них идентифицируется и уменьшается до эквивалентного сопротивления, а затем уменьшается до тех пор, пока не будет достигнуто одно эквивалентное сопротивление.

   Самая простая комбинация последовательного и параллельного сопротивления, показанная на рисунке 4, также является наиболее поучительной, поскольку она используется во многих приложениях. Например, R ₁ может быть сопротивлением проводов от автомобильного аккумулятора к его электрическим устройствам, которые подключены параллельно. R ₂ и R ₃ могли быть стартером и светом салона. Ранее мы предполагали, что сопротивление провода незначительно, но, когда это не так, оно имеет важные последствия, как показывает следующий пример.

   Пример 3. Расчет сопротивления,

   IR Падение, ток и рассеиваемая мощность: объединение последовательных и параллельных цепей

   На рис. 5 показаны резисторы из двух предыдущих примеров, подключенные другим способом — комбинацией последовательного и параллельного.Мы можем считать R ₁ сопротивлением проводов, ведущих к R ₂ и R ₃ . (а) Найдите полное сопротивление. (b) Что такое падение IR в R ₁ ? (c) Найдите текущие I ₂ через R ₂ . (d) Какую мощность рассеивает R ₂ ?

   Рис. 5. Эти три резистора подключены к источнику напряжения, так что R ₂ и R ₃ параллельны друг другу, и эта комбинация последовательно с R ₁ .

   Стратегия и решение для (а)

   Чтобы найти полное сопротивление, отметим, что R ₂ и R ₃ находятся параллельно, и их комбинация R _p находится последовательно с R ₁ . Таким образом, общее (эквивалентное) сопротивление этой комбинации составляет

   .

   R _общ = R ₁ + R _p .

   Сначала находим R _p , используя уравнение для параллельных резисторов и вводя известные значения:

   [латекс] \ frac {1} {{R} _ {\ text {p}}} = \ frac {1} {{R} _ {2}} + \ frac {1} {{R} _ {3 }} = \ frac {1} {6 \ text {. } \ text {00} \ text {} \ Omega} + \ frac {1} {\ text {13} \ text {.} 0 \ text {} \ Omega} = \ frac {0.2436} {\ text {} \ Омега} \\ [/ латекс].

   Инвертирование дает

   [латекс] {R} _ {\ text {p}} = \ frac {1} {0,2436} \ text {} \ Omega = 4.11 \ text {} \ Omega \\ [/ latex].

   Таким образом, общее сопротивление равно

   .

   R _общ = R ₁ + R _p = 1,00 Ом + 4,11 Ом = 5,11 Ом.

   Обсуждение для (а)

   Общее сопротивление этой комбинации является промежуточным между значениями чистой серии и чистой параллели (20.0 Ом и 0,804 Ом соответственно), найденные для тех же резисторов в двух предыдущих примерах.

   Стратегия и решение для (b)

   Чтобы найти падение IR в R ₁ , отметим, что полный ток I протекает через R ₁ . Таким образом, его падение IR составляет

   В ₁ = ИК ₁

   Мы должны найти I , прежде чем сможем вычислить V ₁ . Полный ток I находится с помощью закона Ома для схемы. То есть

   [латекс] I = \ frac {V} {{R} _ {\ text {tot}}} = \ frac {\ text {12.0} \ text {V}} {5.11 \ text {} \ Omega} = 2.35 \ text {A} \\ [/ latex].

   Вводя это в выражение выше, получаем

   В ₁ = IR ₁ = (2,35 А) (1,00 Ом) = 2,35 В.

   Обсуждение для (б)

   Напряжение, приложенное к R ₂ и R ₃ , меньше полного напряжения на величину В ₁ .Когда сопротивление провода велико, это может существенно повлиять на работу устройств, представленных R ₂ и R ₃ .

   Стратегия и решение для (c)

   Чтобы найти ток через R ₂ , мы должны сначала найти приложенное к нему напряжение. Мы называем это напряжение В _p , потому что оно приложено к параллельной комбинации резисторов. Напряжение, приложенное как к R ₂ , так и к R ₃ , уменьшается на величину В ₁ , и поэтому оно составляет

   V _p = V — V ₁ = 12.0 В — 2,35 В = 9,65 В.

   Теперь ток I ₂ через сопротивление R ₂ находится по закону Ома:

   [латекс] {I} _ {2} = \ frac {{V} _ {\ text {p}}} {{R} _ {2}} = \ frac {9.65 \ text {V}} {6.00 \ текст {} \ Omega} = 1,61 \ text {A} \\ [/ latex].

   Обсуждение для (c)

   Ток меньше 2,00 А, которые протекали через R ₂ , когда он был подключен параллельно батарее в предыдущем примере параллельной цепи.

   Стратегия и решение для (d)

   Мощность, рассеиваемая R ₂ , равна

   P ₂ = ( I ₂ ) ² R ₂ = (1,61 A) ² (6,00 Ом) = 15,5 Вт

   Обсуждение для (д)

   Мощность меньше 24,0 Вт, рассеиваемых этим резистором при параллельном подключении к источнику 12,0 В.

   Одним из следствий этого последнего примера является то, что сопротивление в проводах снижает ток и мощность, подаваемую на резистор.Если сопротивление провода относительно велико, как в изношенном (или очень длинном) удлинителе, то эти потери могут быть значительными. Если потребляется большой ток, падение IR в проводах также может быть значительным.

   Например, когда вы роетесь в холодильнике, и мотор включается, свет холодильника на мгновение гаснет. Точно так же вы можете увидеть тусклый свет в салоне, когда вы запускаете двигатель вашего автомобиля (хотя это может быть связано с сопротивлением внутри самой батареи).

   То, что происходит в этих сильноточных ситуациях, показано на рисунке 6. Устройство, представленное R ₃ , имеет очень низкое сопротивление, поэтому при его включении протекает большой ток. Этот увеличенный ток вызывает большее падение IR в проводах, представленных R ₁ , уменьшая напряжение на лампе (которое составляет R ₂ ), которое затем заметно гаснет.

   Рис. 6. Почему свет тускнеет при включении большого прибора? Ответ заключается в том, что большой ток, потребляемый двигателем прибора, вызывает значительное падение напряжения в проводах и снижает напряжение на свету.

   Проверьте свое понимание

   Можно ли любую произвольную комбинацию резисторов разбить на последовательную и параллельную? Посмотрите, сможете ли вы нарисовать принципиальную схему резисторов, которые нельзя разбить на комбинации последовательно и параллельно.

   Решение Нет, существует множество способов подключения резисторов, которые не являются комбинациями последовательного и параллельного, включая петли и переходы. В таких случаях правила Кирхгофа, которые будут включены в Правила Кирхгофа, позволят вам проанализировать схему.
   Стратегии решения проблем для последовательных и параллельных резисторов
   1. Нарисуйте четкую принципиальную схему, обозначив все резисторы и источники напряжения. Этот шаг включает список известных проблем, поскольку они отмечены на вашей принципиальной схеме.
   2. Точно определите, что необходимо определить в проблеме (определите неизвестные). Письменный список полезен.
   3. Определите, подключены ли резисторы последовательно, параллельно или в комбинации последовательно и параллельно.Изучите принципиальную схему, чтобы сделать эту оценку. Резисторы включены последовательно, если через них должен последовательно проходить один и тот же ток.
   4. Используйте соответствующий список основных функций для последовательных или параллельных подключений, чтобы найти неизвестные. Есть один список для серий и другой для параллельных. Если ваша проблема представляет собой комбинацию последовательного и параллельного соединения, сокращайте ее поэтапно, рассматривая отдельные группы последовательных или параллельных соединений, как это сделано в этом модуле и примерах. Особое примечание: при нахождении R необходимо соблюдать осторожность.
   5. Проверьте, являются ли ответы разумными и последовательными. Единицы и числовые результаты должны быть разумными. Общее последовательное сопротивление должно быть больше, а общее параллельное сопротивление, например, должно быть меньше. Мощность должна быть больше для одних и тех же устройств, подключенных параллельно, по сравнению с последовательными и так далее.

   Сводка раздела

   Концептуальные вопросы

   1. Переключатель имеет переменное сопротивление, близкое к нулю в замкнутом состоянии и очень большое в разомкнутом, и он включен последовательно с устройством, которым он управляет.Объясните влияние переключателя на рисунке 7 на ток в разомкнутом и замкнутом состоянии.

   Рисунок 7. Выключатель обычно включается последовательно с источником сопротивления и напряжения. В идеале, переключатель имеет почти нулевое сопротивление в замкнутом состоянии, но имеет чрезвычайно большое сопротивление в разомкнутом состоянии. (Обратите внимание, что на этой диаграмме скрипт E представляет напряжение (или электродвижущую силу) батареи. )

   2. Какое напряжение на разомкнутом переключателе на Рисунке 7?

   3. На разомкнутом переключателе есть напряжение, как на Рисунке 7.Почему же тогда мощность, рассеиваемая разомкнутым переключателем, мала?

   4. Почему мощность, рассеиваемая замкнутым переключателем, как на Рисунке 7, мала?

   5. Студент в физической лаборатории по ошибке подключил электрическую лампочку, батарею и выключатель, как показано на рисунке 8. Объясните, почему лампа горит, когда выключатель разомкнут, и гаснет, когда он замкнут. (Не пытайтесь — батарея сильно разряжается!)

   Рис. 8. Ошибка подключения: включите этот переключатель параллельно устройству, обозначенному [латекс] R [/ латекс].(Обратите внимание, что на этой диаграмме скрипт E представляет напряжение (или электродвижущую силу) батареи.)

   6. Зная, что сила удара зависит от величины тока, протекающего через ваше тело, вы бы предпочли, чтобы он был включен последовательно или параллельно с сопротивлением, таким как нагревательный элемент тостера, если он потрясен им? Объяснять.

   7. Были бы ваши фары тусклыми при запуске двигателя автомобиля, если бы провода в вашем автомобиле были сверхпроводящими? (Не пренебрегайте внутренним сопротивлением батареи.) Объяснять.

   8. Некоторые гирлянды праздничных огней соединены последовательно для экономии затрат на проводку. В старой версии использовались лампочки, которые при перегорании прерывали электрическое соединение, как выключатель. Если одна такая лампочка перегорит, что случится с остальными? Если такая цепочка работает от 120 В и имеет 40 одинаковых лампочек, каково нормальное рабочее напряжение каждой? В более новых версиях используются лампы, которые при перегорании замыкаются накоротко, как замкнутый выключатель. Если одна такая лампочка перегорит, что случится с остальными? Если такая цепочка работает от 120 В и в ней осталось 39 идентичных лампочек, каково тогда рабочее напряжение каждой?

   9.Если две бытовые лампочки мощностью 60 и 100 Вт подключить последовательно к бытовой электросети, какая из них будет ярче? Объяснять.

   10. Предположим, вы проводите физическую лабораторию, которая просит вас вставить резистор в цепь, но все прилагаемые резисторы имеют большее сопротивление, чем запрошенное значение. Как бы вы соединили доступные сопротивления, чтобы попытаться получить меньшее запрошенное значение?

   11. Перед Второй мировой войной некоторые радиостанции получали питание через «шнур сопротивления», который имел значительное сопротивление.Такой резистивный шнур снижает напряжение до желаемого уровня для ламп радиоприемника и т.п., и это экономит расходы на трансформатор. Объясните, почему шнуры сопротивления нагреваются и расходуют энергию при включенном радио.

   12. У некоторых лампочек есть три уровня мощности (не включая ноль), получаемые от нескольких нитей накала, которые индивидуально переключаются и соединяются параллельно. Какое минимальное количество нитей необходимо для трех режимов мощности?

   Задачи и упражнения

   Примечание. Можно считать, что данные, взятые из цифр, имеют точность до трех значащих цифр.

   1. (a) Каково сопротивление десяти последовательно соединенных резисторов сопротивлением 275 Ом? (б) Параллельно?

   2. (a) Каково сопротивление последовательно соединенных резисторов 1,00 × 10 ² Ом, 2,50 кОм и 4,00 кОм? (б) Параллельно?

   3. Какое наибольшее и наименьшее сопротивление можно получить, соединив резисторы на 36,0 Ом, 50,0 Ом и 700 Ом?

   4. Тостер на 1800 Вт, электрическая сковорода на 1400 Вт и лампа на 75 Вт подключены к одной розетке в цепи 15 А, 120 В.(Три устройства работают параллельно, если подключены к одной розетке.) а) Какой ток потребляет каждое устройство? (b) Перегорит ли эта комбинация предохранитель на 15 А?

   5. Обычно фара мощностью 30,0 Вт и стартер мощностью 2,40 кВт подключаются параллельно в систему на 12,0 В. Какую мощность потребляли бы одна фара и стартер при последовательном подключении к батарее 12,0 В? (Не обращайте внимания на любое другое сопротивление в цепи и любое изменение сопротивления в двух устройствах. )

   6.(a) Для батареи 48,0 В и резисторов 24,0 Ом и 96,0 Ом найдите для каждого из них ток и мощность при последовательном соединении. (b) Повторите, когда сопротивления включены параллельно.

   7. Ссылаясь на пример комбинирования последовательных и параллельных цепей и рисунок 5, вычислите I ₃ следующими двумя различными способами: (a) из известных значений I и I ₂ ; (б) используя закон Ома для R ₃ . В обеих частях явно показано, как вы следуете шагам, описанным в Стратегии решения проблем для последовательных и параллельных резисторов выше.

   Рис. 5. Эти три резистора подключены к источнику напряжения, так что R ₂ и R ₃ параллельны друг другу, и эта комбинация последовательно с R ₁ .

   8. Ссылаясь на рисунок 5: (a) Вычислите P ₃ и обратите внимание на его сравнение с P ₃ , найденным в первых двух примерах задач в этом модуле. (b) Найдите общую мощность, отдаваемую источником, и сравните ее с суммой мощностей, рассеиваемых резисторами.

   9. Обратитесь к Рисунку 6 и обсуждению затемнения света при включении тяжелого прибора. (a) Учитывая, что источник напряжения составляет 120 В, сопротивление провода составляет 0,400 Ом, а номинальная мощность лампы составляет 75,0 Вт, какая мощность будет рассеиваться лампой, если при включении двигателя через провода пройдет в общей сложности 15,0 А? Предположите незначительное изменение сопротивления лампы. б) Какая мощность потребляет двигатель?

   Рис. 6. Почему свет тускнеет при включении большого прибора? Ответ заключается в том, что большой ток, потребляемый двигателем прибора, вызывает значительное падение напряжения в проводах и снижает напряжение на свету.

   10. Линия электропередачи на 240 кВ, имеющая 5,00 × 10 ² , подвешена к заземленным металлическим опорам с помощью керамических изоляторов, каждый из которых имеет сопротивление 1,00 × 10 ⁹ Ом (рисунок 9 (a)). Какое сопротивление на землю у 100 изоляторов? (b) Рассчитайте мощность, рассеиваемую 100 из них. (c) Какая часть мощности, переносимой линией, это? Ясно покажите, как вы выполняете шаги, описанные в Стратегии решения проблем для последовательных и параллельных резисторов выше.

   Рис. 9. Высоковольтная (240 кВ) линия электропередачи 5,00 × 10 ² подвешена к заземленной металлической опоре электропередачи. Ряд керамических изоляторов обеспечивает сопротивление 1,00 × 10 ⁹ Ом каждый.

   11. Покажите, что если два резистора R ₁ и R ₂ объединены, и один намного больше другого ( R ₁ >> R ₂ ): (a ) Их последовательное сопротивление почти равно большему сопротивлению R ₁ .(b) Их параллельное сопротивление почти равно меньшему сопротивлению R ₂ .

   12. Необоснованные результаты Два резистора, один из которых имеет сопротивление 145 Ом, подключены параллельно, чтобы получить общее сопротивление 150 Ом. а) Каково значение второго сопротивления? б) Что неразумного в этом результате? (c) Какие предположения являются необоснованными или непоследовательными?

   13. Необоснованные результаты Два резистора, один из которых имеет сопротивление 900 кОм, соединены последовательно, чтобы получить общее сопротивление 0.500 МОм. а) Каково значение второго сопротивления? б) Что неразумного в этом результате? (c) Какие предположения являются необоснованными или непоследовательными?

   Глоссарий

   серия:

   последовательность резисторов или других компонентов, включенных в цепь один за другим

   резистор:

   компонент, обеспечивающий сопротивление току, протекающему по электрической цепи

   сопротивление:

   вызывает потерю электроэнергии в цепи

   Закон Ома:

   соотношение между током, напряжением и сопротивлением в электрической цепи: В = IR

   напряжение:

   электрическая потенциальная энергия на единицу заряда; электрическое давление, создаваемое источником питания, например аккумулятором

   падение напряжения:

   потеря электроэнергии при прохождении тока через резистор, провод или другой компонент

   ток:

   поток заряда через электрическую цепь мимо заданной точки измерения

   Закон Джоуля:

   соотношение между потенциальной электрической мощностью, напряжением и сопротивлением в электрической цепи, определяемое по формуле: [latex] {P} _ {e} = \ text {IV} [/ latex]

   параллельно:

   подключение резисторов или других компонентов в электрической цепи таким образом, что каждый компонент получает одинаковое напряжение от источника питания; часто изображается на диаграмме в виде лестницы, где каждый компонент находится на ступеньке лестницы

   Избранные решения проблем и упражнения

   1. (а) 2,75 кОм (б) 27,5 Ом

   3. (а) 786 Ом (б) 20,3 Ом

   5. 29,6 Вт

   7. (а) 0,74 А (б) 0,742 А

   9. (а) 60,8 Вт (б) 3,18 кВт

   11. (a) [латекс] \ begin {array} {} {R} _ {\ text {s}} = {R} _ {1} + {R} _ {2} \\ \ Rightarrow {R} _ {\ text {s}} \ приблизительно {R} _ {1} \ left ({R} _ {1} \ text {>>} {R} _ {2} \ right) \ end {array} \\ [/ латекс]

   (b) [латекс] \ frac {1} {{R} _ {p}} = \ frac {1} {{R} _ {1}} + \ frac {1} {{R} _ {2} } = \ frac {{R} _ {1} + {R} _ {2}} {{R} _ {1} {R} _ {2}} \\ [/ latex],

   так что

   [латекс] \ begin {array} {} {R} _ {p} = \ frac {{R} _ {1} {R} _ {2}} {{R} _ {1} + {R} _ {2}} \ приблизительно \ frac {{R} _ {1} {R} _ {2}} {{R} _ {1}} = {R} _ {2} \ left ({R} _ {1 } \ text {>>} {R} _ {2} \ right) \ text {.} \ end {array} \\ [/ latex]

   13. (a) –400 кОм (b) Сопротивление не может быть отрицательным. (c) Считается, что последовательное сопротивление меньше, чем у одного из резисторов, но должно быть больше, чем у любого из резисторов.

   Сопротивление в параллельной цепи

   Сопротивление в параллельной цепи
   В примерной схеме, рис. 3-44, два резистора подключены параллельно через 5-вольтовую батарею.Каждый имеет значение сопротивления 10 Ом. Формируется полная цепь, состоящая из двух параллельных путей, и ток течет, как показано.

   Рисунок 3-44. — Два равных резистора, включенных параллельно.
   
   Вычисление отдельных токов показывает, что через каждое сопротивление проходит половина ампера. Полный ток, протекающий от батареи к переходу резисторов и возвращающийся от резисторов к батарее, равен 1 амперам.

   Общее сопротивление цепи можно рассчитать, используя
   значений полного напряжения (E _T ) и полного тока (I _T ).

   ПРИМЕЧАНИЕ. С этого момента в примерах задач будут использоваться сокращения и символы для электрических величин.

   Дано:

   
   Решение:

   
   Это вычисление показывает, что полное сопротивление составляет 5 Ом; половину номинала любого из двух резисторов.

   Поскольку полное сопротивление параллельной цепи меньше, чем у любого из отдельных резисторов, общее сопротивление параллельной цепи не является суммой значений отдельных резисторов, как это было в случае последовательной цепи.Общее сопротивление параллельно подключенных резисторов также называется ЭКВИВАЛЕНТНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ. ( _рэнд рэндов). Термины полное сопротивление и эквивалентное сопротивление используются как синонимы.

   Есть несколько методов, используемых для определения эквивалентного сопротивления параллельных цепей. Лучший метод для данной схемы зависит от количества и номинала резисторов. Для схемы, описанной выше, где все резисторы имеют одинаковое значение, используется следующее простое уравнение:

   
   Это уравнение действительно для любого количества параллельных резисторов с РАВНЫМ ЗНАЧЕНИЕМ.

   Пример. Параллельно подключены четыре резистора на 40 Ом. Каково их эквивалентное сопротивление?

   Дано:

   
   Решение:

   
   На Рис. 3-45 показаны два резистора разной величины, включенные параллельно. Поскольку показан полный ток, можно рассчитать эквивалентное сопротивление.

   Рисунок 3-45. — Пример схемы с неравнопараллельными резисторами.

   
   Дано:

   
   Решение:

   
   Эквивалентное сопротивление цепи, показанной на рисунке 3-45, меньше, чем у любого из двух резисторов (R ₁ , R ₂ ).Важно помнить, что эквивалентное сопротивление параллельной цепи всегда меньше, чем сопротивление любой ветви.

   Эквивалентное сопротивление можно найти, если вам известны отдельные значения сопротивления и напряжение источника. Вычисляя ток каждой ветви, складывая токи ответвления для вычисления общего тока и разделив напряжение источника на общий ток, можно найти общий ток. Этот метод хоть и эффективен, но довольно длительный. Более быстрый способ найти эквивалентное сопротивление — использовать общую формулу для параллельных резисторов:

   
   Если вы примените общую формулу к схеме, показанной на рисунке 3-45, вы получите такое же значение для эквивалентного сопротивления (2 Ом), что и было полученный в предыдущем расчете, в котором использовались напряжение источника и полный ток.

   Дано:

   
   Решение:

   
   Преобразуйте дроби к общему знаменателю.

   
   Поскольку обе стороны являются взаимными (делятся на одну), игнорируйте обратную функцию.

   
   Формула, которую вы дали для одинаковых резисторов, подключенных параллельно

   
   , является упрощением общей формулы для параллельных резисторов

   
   Существуют и другие упрощения общей формулы для параллельных резисторов, которые можно использовать для расчета общей суммы или эквивалентное сопротивление в параллельной цепи.

   ВЗАИМНЫЙ МЕТОД. — Этот метод основан на взятии обратной величины для каждой стороны уравнения. Это представляет собой общую формулу для резисторов, включенных параллельно:

   
   Эта формула используется для вычисления эквивалентного сопротивления ряда неравных параллельных резисторов. При решении этих задач вы должны найти наименьший общий знаменатель. Если вы не знаете, как найти наименьший общий знаменатель, освежите его в математике, том 1, NAVEDTRA 10069 (серия).

   Пример: три резистора подключены параллельно, как показано на рисунке 3-46. Значения резистора: R ₁ = 20 Ом, R ₂ = 30 Ом, R ₃ = 40 Ом. Какое эквивалентное сопротивление? (Используйте обратный метод.)

   Рисунок 3-46. — Пример параллельной схемы с разными резисторами ответвления.

   
   Дано:

   
   Решение:

   ПРОДУКТ ПРЕВЫШАЕТ СУММУ. — Удобный метод определения эквивалентного или полного сопротивления двух параллельных резисторов — использовать следующую формулу.

   
   Это уравнение, называемое формулой произведения на сумму, используется настолько часто, что его следует сохранить в памяти.

   Пример. Какое эквивалентное сопротивление резистора 20 Ом и резистора 30 Ом, подключенных параллельно, как показано на рисунке 3-47?

   Рисунок 3-47. — Параллельная схема с двумя неравными резисторами.
   
   Дано:

   
   Решение:

   
   Четыре равных резистора подключены параллельно, каждый резистор имеет омическое значение 100 Ом, каково эквивалентное сопротивление?

   Три резистора, соединенных параллельно, имеют номиналы 12 кОм, 20 кОм и 30 кОм. Какое эквивалентное сопротивление?

   Два резистора, соединенных параллельно, имеют номиналы 10 кОм и 30 кОм. Какое эквивалентное сопротивление?

   резисторов в последовательной и параллельной комбинации сетей

   ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СОЧЕТАНИЯ РЕЗИСТОРОВ

   Последовательные и параллельные резисторы

   Резисторы могут быть подключены отдельно или параллельно. Некоторые схемы резисторов состоят из комбинации последовательных и параллельных цепей для создания более сложных схем.Эти схемы обычно известны как схемы со смешанными резисторами. Несмотря на то, что эти цепи имеют комбинированные последовательные и параллельные цепи, нет никаких изменений в методе расчета эквивалентного сопротивления. Основные правила отдельных сетей, такие как «одинаковый ток протекает через последовательно подключенные резисторы» и «одинаковое напряжение на резисторах, подключенных параллельно», применимы к смешанным схемам.

   Пример схемы смешанных резисторов показан ниже

   Он состоит из четырех резисторов R1, R2, R3 и R4 в смешанной комбинации резисторов. Напряжение питания равно V, а общий ток, протекающий в цепи, равен I. Ток, протекающий через резисторы R2 и R3, равен I1, а ток, протекающий через резистор R4, равен I2.

   Здесь резисторы R2 и R3 соединены последовательно. Следовательно, применяя правило последовательно соединенных резисторов, эквивалентное сопротивление R2 и R3 дается как

   R _A = R2 + R3

   Здесь R _A — эквивалентное сопротивление R2 и R3.

   Теперь резисторы R2 и R3 можно заменить одним резистором R _A .Полученная схема показана ниже.

   Теперь резисторы R _A, и R4 соединены параллельно. Следовательно, при применении правила параллельной комбинации резисторов эквивалентное сопротивление R _A, и R4 равно

   R _B = R _A * R4 / (R _A + R4)

   Здесь R _B — эквивалентное сопротивление R _A и R4.

   Теперь мы можем заменить резисторы R _A, и R4 на один резистор R _B. После замены резисторов полученная схема показана ниже.

   Теперь схема состоит всего из двух резисторов. Здесь также последовательно соединены резисторы R1 и R _B . Следовательно, применяя правило последовательно включенных резисторов, полное эквивалентное сопротивление цепи определяется как

   R _EQ = R1 + R _B

   Здесь R _EQ — полное эквивалентное сопротивление цепи. Теперь резисторы R1 и R _B можно заменить одним резистором R _EQ .

   Окончательная эквивалентная схема для вышеуказанной сложной схемы показана ниже.

   Хотя они выглядят сложными, схемы смешанных резисторов могут быть сведены к простой схеме, состоящей только из одного источника напряжения и одного резистора, следуя простым правилам подключения резисторов последовательно и резисторов параллельно.

   Вернуться к списку

   Последовательные и параллельные резисторы Пример

   Рассчитаем эквивалентное сопротивление для схемы ниже, состоящей из 7 резисторов R1 = 4 Ом, R2 = 4 Ом, R3 = 8 Ом, R4 = 10 Ом, R5 = 4 Ом, R6 = 2 Ом и R7 = 2 Ом. Напряжение питания 5 В.

   Теперь резисторы R ₆ и R ₇ соединены последовательно. Если эквивалентное сопротивление последовательно соединенных R ₆ и R ₇ равно _{R a} , то

   R _a = R ₆ + R ₇ = 2 + 2 = 4 Ом

   Результирующая схема сводится к показанной ниже.

   В приведенной выше схеме резисторы R _a и R ₅ соединены параллельно.Следовательно, эквивалентное сопротивление R _a и R ₅ составляет

   R _b = (R _a * R ₅ ) / (R _a + R ₅ ) = (4 * 4) / (4 + 4) = 2 Ом.

   Тогда упрощенная схема показана ниже.

   В этой схеме последовательно соединены резисторы R ₄ и R _b .

   R _c = R ₄ + R _b = 10 + 2 = 12 Ом.

   Теперь мы можем заменить резисторы R ₄ и R _b на резистор R _c , как показано ниже.

   В приведенной выше схеме резисторы R ₂ и R ₃ соединены последовательно. Если R _d эквивалентно сопротивлению R ₂ и R ₃ , тогда

   R _d = R ₂ + R ₃ = 4 + 8 = 12 Ом.

   Эквивалентная схема:

   Здесь параллельно соединены резисторы R _c и R _d .Пусть R _p будет эквивалентным сопротивлением R _c и R _d параллельно. потом

   R _p = (R _c * R _d ) / (R _c + R _d ) = (12 * 12) / (12 + 12) = 6 Ом.

   Результирующая схема

   Здесь резисторы R1 и Rp соединены последовательно. Пусть R _EQ будет эквивалентным сопротивлением этой комбинации. потом

   R _EQ = R1 + Rp = 4 + 6 = 10 Ом.

   Это эквивалентное сопротивление цепи. Следовательно, данную схему можно окончательно перерисовать как

   Ток в цепи можно рассчитать по закону Ома.

   I = V / R _EQ = 5/10 = 0,5 А

   Вернуться к списку

   Резисторные сети

   Вычислим эквивалентное сопротивление для схемы сложного резистора.

   Схема ниже состоит из десяти резисторов от R1 до R10, соединенных последовательно и параллельно.

   Значения сопротивления, указанные в цепи, указаны в Ом (Ом), а напряжение питания — в Вольтах (В).

   Здесь последовательно соединены резисторы R ₉ и R ₁₀ . Пусть R _A — эквивалентное сопротивление этой комбинации.

   Следовательно, R _A = R9 + R10 = 3 + 3 = 6 Ом.

   Схема после замены R9 и R10 на R _A есть

   В этой схеме параллельно соединены резисторы R8 и R _A, .Тогда эквивалентное сопротивление R8 и R _A равно

   R _B = (R8 * R _A ) / (R8 + R _A ) = (6 * 6) / (6 + 6) = 3 Ом.

   Теперь заменив R8 и R _A на R _B , мы получим следующую схему.

   В этой схеме последовательно соединены резисторы R7 и R _B .

   R _C = R7 + R _B = 9 + 3 = 12 Ом.

   Эквивалентная схема после замены R7 и R _B на R _C :

   Понятно, что резисторы R6 и Rc соединены параллельно.Если R _D является эквивалентным сопротивлением этой комбинации, то

   R _D = (R6 * Rc) / (R6 + Rc) = (12 * 12) / (12 + 12) = 6 Ом.

   Схема с R _D , заменяющая R6 и Rc, является

   Теперь резисторы R4 и R _D соединены последовательно. Если R _E эквивалентно сопротивлению R4 и R _D , тогда

   R _E = R4 + R _D = 6 + 6 = 12 Ом.

   Результирующая сокращенная схема после замены R4 и R _D на R _E выглядит следующим образом:

   В этой схеме параллельно соединены резисторы R5 и R _E .

   Пусть R _F будет эквивалентным сопротивлением R5 и R _E параллельно.

   Тогда R _F = (R5 * R _E ) / (R5 + R _E ) = (12 * 12) / (12 + 12) = 6 Ом.

   Упрощенная схема показана ниже.

   Здесь резисторы R2 и R3 включены последовательно. Если R _G является эквивалентом этой комбинации, то

   R _G = R2 + R3 = 4 + 2 = 6 Ом.

   После замены R2 и R3 на R _G схема будет преобразована в

   Резисторы R _F и R _G включены параллельно.

   Пусть R _T будет эквивалентом этой комбинации.

   Тогда R _T = (R _F * R _G ) / (R _F + R _G ) = (6 * 6) / (6 + 6) = 3 Ом.

   Теперь резисторы R1 и R _T стоят последовательно. Если R _EQ — полное эквивалентное сопротивление цепи, то R _EQ = R1 + R _T = 3 + 3 = 6 Ом.

   Наконец, приведенную выше сложную схему можно перерисовать следующим образом

   Полный ток в цепи можно рассчитать по закону Ома.

   I = V1 / R _EQ = 6/6 = 1 А.

   Следовательно, любая сложная резистивная цепь, состоящая из числа резисторов, соединенных в комбинации как последовательной, так и параллельной комбинаций, может быть уменьшена, сначала идентифицируя простые параллельные ветви резистора и ветви последовательного резистора.Рассчитывается эквивалентное сопротивление этих простых ветвей, и ветви заменяются эквивалентным резистором. Этот процесс снижает сложность схемы. Продолжая этот процесс, мы можем заменить сложную резистивную цепь одним резистором.

   Существуют некоторые сложные резистивные схемы, которые нельзя свести к простым схемам, просто применяя правила последовательного резистивного сочетания и параллельного резистивного сочетания. Такие схемы, как аттенюаторы T-Pad и некоторые сложные резистивные мостовые схемы, являются примерами таких сложных резистивных схем.Чтобы упростить эти сложные резистивные схемы, следует использовать другой подход.

   Некоторые сложные резистивные цепи можно уменьшить, используя закон Кирхгофа по току и закон Кирхгофа по напряжению.

   Найти токи и напряжения в сложной резистивной цепи, просто используя закон Ома, может быть невозможно. Для таких цепей будут полезны правила Кирхгофа для цепей.

   Законы Кирхгофа для цепей основаны на концепции сохранения тока и энергии в цепи.Есть два закона Кирхгофа. Первый — это закон тока Кирхгофа, который касается тока в узле, а второй — закон напряжения Кирхгофа, который касается напряжения в замкнутой цепи.

   Текущий закон Кирхгофа гласит: «Ток, входящий в узел, равен току, выходящему из узла, потому что ему некуда идти, и ток в узле не теряется».

   Проще говоря, Закон Кирхгофа по току гласит, что сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, выходящих из цепи.

   Закон Кирхгофа о напряжении гласит, что «полное напряжение в замкнутом контуре равно сумме всех падений напряжения в этом контуре».

   Проще говоря, закон Кирхгофа утверждает, что направленная алгебраическая сумма напряжений в замкнутом контуре равна нулю.

   С помощью этих двух законов можно рассчитать значения токов и напряжений в любой сложной цепи.

   Тем не менее, у нас могут быть сложные резистивные схемы, в которых трудно определить эквивалентное сопротивление, в таких ситуациях мы будем использовать преобразование резисторов по схеме звезда-треугольник, чтобы упростить схемы резисторов.

   Вернуться к списку

   Последовательные и параллельные резисторы

   Резисторы могут быть подключены отдельно друг от друга либо последовательно, либо параллельно. Некоторые схемы резисторов состоят из комбинации последовательных и параллельных цепей для создания более сложных схем. Эти схемы обычно известны как схемы со смешанными резисторами. Несмотря на то, что эти цепи имеют комбинированные последовательные и параллельные цепи, нет никаких изменений в методе расчета эквивалентного сопротивления.Основные правила отдельных сетей, такие как «одинаковый ток протекает через последовательно подключенные резисторы» и «одинаковое напряжение на резисторах, подключенных параллельно», применимы к смешанным схемам.

   Пример схемы смешанных резисторов показан ниже

   Он состоит из четырех резисторов R1, R2, R3 и R4 в смешанной комбинации резисторов. Напряжение питания равно V, а общий ток, протекающий в цепи, равен I. Ток, протекающий через резисторы R2 и R3, равен I1, а ток, протекающий через резистор R4, равен I2.

   Здесь резисторы R2 и R3 соединены последовательно. Следовательно, применяя правило последовательно соединенных резисторов, эквивалентное сопротивление R2 и R3 дается как

   .

   R _A = R2 + R3

   Здесь RA — эквивалентное сопротивление R2 и R3

   Теперь резисторы R2 и R3 можно заменить одним резистором RA. Полученная схема показана ниже.

   Теперь резисторы RA и R4 соединены параллельно. Следовательно, при применении правила параллельной комбинации резисторов эквивалентное сопротивление RA и R4 равно

   .

   R _B = R _A × R4 / (R _A + R4)

   Здесь RB — эквивалентное сопротивление RA и R4

   Теперь мы можем заменить резисторы RA и R4 одним резистором RB.После замены резисторов полученная схема показана ниже.

   Сейчас схема состоит всего из двух резисторов. Здесь также последовательно соединены резисторы R1 и RB. Следовательно, применяя правило последовательно включенных резисторов, общее эквивалентное сопротивление цепи составляет

   .

   R _EQ = R1 + R _B

   Здесь R _EQ — полное эквивалентное сопротивление цепи. Теперь резисторы R1 и R _B можно заменить одним резистором R _EQ .

   Окончательная эквивалентная схема для вышеуказанной сложной схемы показана ниже.

   Несмотря на то, что они выглядят сложными, схемы смешанных резисторов могут быть сведены к простой схеме, состоящей только из одного источника напряжения и одного резистора, следуя простым правилам последовательного включения резисторов и параллельного включения резисторов.

   Последовательные и параллельные резисторы Пример

   Рассчитаем эквивалентное сопротивление для приведенной ниже схемы, состоящей из 7 резисторов R1 = 4 Ом, R2 = 4 Ом, R3 = 8 Ом, R4 = 10 Ом, R5 = 4 Ом, R6 = 2 Ом и R7 = 2 Ом. Напряжение питания 5 В.

   Теперь резисторы R6 и R7 соединены последовательно. Если эквивалентное сопротивление серий R6 и R7in равно Ra, то

   Ra = R6 + R7 = 2 + 2 = 4 Ом

   Результирующая схема сокращается до показанной ниже.

   В приведенной выше схеме резисторы Ra и R5 соединены параллельно. Следовательно, эквивалентное сопротивление Ra и R5 равно

   .

   R _b = ( _{R a} × R ₅ ) / ( _R + R ₅ ) = (4 × 4) / (4 + 4) = 2 Ом.

   Далее упрощенная схема показана ниже.

   В этой схеме резисторы R4 и R _b включены последовательно.

   Rc = R4 + R _b = 10 + 2 = 12 Ом.

   Теперь мы можем заменить резисторы R4 и R _b на резистор Rc, как показано ниже.

   В приведенной выше схеме резисторы R2 и R3 снова включены последовательно. Если Rd эквивалентно сопротивлению R2 и R3, тогда

   .

   Rd = R2 + R3 = 4 + 8 = 12 Ом.

   Схема замещения

   Здесь резисторы Rc и Rd соединены параллельно. Пусть Rp будет эквивалентным сопротивлением Rc и Rd, включенных параллельно. Тогда

   R _p = (R _c × R _d ) / (R _c + R _d ) = (12 × 12) / (12 + 12) = 6 Ом.

   В результате получается схема

   Здесь резисторы R1 и Rp соединены последовательно. Пусть R _EQ будет эквивалентным сопротивлением этой комбинации.

   Затем

   R _EQ = R1 + Rp = 4 + 6 = 10 Ом.

   Это эквивалентное сопротивление цепи. Следовательно, данную схему можно окончательно перерисовать как

   Ток в цепи можно рассчитать по закону Ома

   I = V / R _EQ = 5/10 = 0,5 A

   Сетевой резистор

   Рассчитаем эквивалентное сопротивление для цепи сложного резистора.

   Схема ниже состоит из десяти резисторов от R1 до R10, соединенных последовательно и параллельно.

   Значения сопротивлений, указанных в цепи, указаны в Ом (Ом), а напряжение питания — в Вольтах (В).

   Здесь последовательно соединены резисторы R9 и R10. Пусть R _A — эквивалентное сопротивление этой комбинации.

   Следовательно, R _A = R9 + R10 = 3 + 3 = 6 Ом.

   Цепь после замены R9 и R10 на R _A —

   В этой схеме резисторы R8 и R8 _{A и} соединены параллельно.Тогда эквивалентное сопротивление R8 и R _A равно

   R _B = (R8 × R _A ) / (R8 + R _A ) = (6 × 6) / (6 + 6) = 3 Ом.

   Теперь заменив R8 и R _A на R _B , мы получим следующую схему.

   В этой схеме резисторы R7 и R _B включены последовательно.

   R _C = R7 + R _B = 9 + 3 = 12 Ом.

   Эквивалентная схема после замены R7 и R _B на R _C составляет

   Понятно, что резисторы R6 и Rc соединены параллельно. Если R _D является эквивалентным сопротивлением этой комбинации, то

   R _D = (R6 × Rc) / (R6 + Rc) = (12 × 12) / (12 + 12) = 6 Ом.

   Схема с R¬D, ​​заменяющим R6 и Rc —

   Теперь резисторы R4 и RD соединены последовательно. Если RE эквивалентное сопротивление R4 и RD, тогда

   R _E = R4 + R _D = 6 + 6 = 12 Ом.

   Результирующая сокращенная схема после замены R4 и R _D на R _E составляет

   В этой схеме параллельно соединены резисторы R5 и R _E .

   Пусть R _F будет эквивалентным сопротивлением R5 и R _E , включенных параллельно.

   Затем

   R _F = (R5 × R _E ) / (R5 + R _E ) = (12 × 12) / (12 + 12) = 6 Ом.

   Упрощенная схема показана ниже.

   Здесь резисторы R2 и R3 включены последовательно. Если RG является эквивалентом этой комбинации, то

   R _G = R2 + R3 = 4 + 2 = 6 Ом.

   После замены R2 и R3 на RG схема будет преобразована в

   Резисторы RF и RG включены параллельно.

   Пусть R _T будет эквивалентом этой комбинации.

   Тогда R _T = (R _F × R _G ) / (R _F + R _G ) = (6 × 6) / (6 + 6) = 3 Ом.

   Теперь резисторы R1 и RT включены последовательно. Если REQ — полное эквивалентное сопротивление цепи, то REQ = R1 + RT = 3 + 3 = 6 Ом.

   Наконец, указанная выше сложная схема может быть перерисована следующим образом:

   Полный ток в цепи можно рассчитать по закону Ома

   I = V1 / R _EQ = 6/6 = 1 А

   Следовательно, любая сложная резистивная цепь, состоящая из числа резисторов, подключенных в комбинации как последовательной, так и параллельной комбинаций, может быть уменьшена, сначала идентифицируя простые параллельные ветви резистора и ветви последовательного резистора.Рассчитывается эквивалентное сопротивление этих простых ветвей, и ветви заменяются эквивалентным резистором. Этот процесс снижает сложность схемы. Продолжая этот процесс, мы можем заменить сложную резистивную цепь одним резистором.

   Существуют некоторые сложные резистивные схемы, которые нельзя свести к простым схемам, просто применяя правила последовательных резистивных комбинаций и параллельных резистивных комбинаций. Такие схемы, как аттенюаторы T-Pad и некоторые сложные резистивные мостовые схемы являются примерами таких сложных резистивных схем.Чтобы упростить эти сложные резистивные схемы, следует использовать другой подход.

   Некоторые сложные резистивные цепи можно уменьшить, используя закон Кирхгофа по току и закон Кирхгофа по напряжению.

   Найти токи и напряжения в сложной резистивной цепи, просто используя закон Ома, может быть невозможно. Для таких цепей будут полезны правила Кирхгофа для цепей.

   Законы Кирхгофа для цепей основаны на концепции сохранения тока и энергии в цепи.Есть два закона Кирхгофа. Первый — это закон тока Кирхгофа, который касается тока в узле, а второй — закон напряжения Кирхгофа, который касается напряжения в замкнутой цепи.

   Закон Кирхгофа о течениях гласит, что «ток, входящий в узел, равен току, выходящему из узла, потому что ему некуда идти, и ток не теряется в узле».

   Проще говоря, Закон Кирхгофа по току гласит, что сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, выходящих из цепи.

   Закон Кирхгофа о напряжении гласит, что «полное напряжение в замкнутом контуре равно сумме всех падений напряжения в этом контуре».

   Проще говоря, закон Кирхгофа утверждает, что направленная алгебраическая сумма напряжений в замкнутом контуре равна нулю.

   С помощью этих двух законов можно рассчитать значения токов и напряжений в любой сложной цепи.

   Тем не менее, у нас могут быть некоторые сложные резистивные схемы, в которых трудно определить эквивалентное сопротивление, в таких ситуациях мы будем использовать преобразование резисторов по схеме звезда-треугольник, чтобы упростить схемы резисторов.

   Резисторы в параллельных цепях — Закон Ома — Национальная редакция 5 по физике

   1555g5wi9fm.0.0.0.1:0.1.0.$0.$1.$0″> Когда резисторы подключены параллельно, мы можем рассчитать общее параллельное сопротивление (R _T ), используя соотношение;

   \ [\ frac {1} {{{R_T}}} = \ frac {1} {{{R_1}}} + \ frac {1} {{{R_2}}} + \ frac {1} {{ {R_3}}} \]

   Давайте воспользуемся теми же тремя значениями сопротивления, что и в предыдущем примере, и рассчитаем общее сопротивление при параллельном соединении резисторов.

   Схема с батареей 6 В, двумя резисторами 10 Ом и резистором 20 Ом, включенными параллельно.

   Общее сопротивление RT находится с помощью соотношения;

   \ [\ frac {1} {{{R_T}}} = \ frac {1} {{{R_1}}} + \ frac {1} {{{R_2}}} + \ frac {1} {{ {R_3}}} \]

   1555g5wi9fm.0.0.0.1:0.1.0.$0.$1.$6″> \ [\ frac {1} {{{R_T}}} = \ frac {1} {{10}} + \ frac {1} {{20}} + \ frac {1 } {{10}} \]

   \ [\ frac {1} {{{R_T}}} = \ frac {5} {{20}} \]

   \ [\ frac {{{R_T}}} {1} = \ frac {{20}} {5} \]

   \ [{R_T} = 4 \]

   Общее сопротивление равно \ (4 \ Omega \)

   Подсказка 1

   Параллельно общее сопротивление всегда меньше, чем сопротивление наименьшего номинала.

   Подсказка 2

   При выполнении вышеуказанного расчета попробуйте использовать кнопки дроби на калькуляторе. Если у вас нет кнопки дроби, превратите дроби в десятичные, например;

   1555g5wi9fm.0.0.0.1:0.1.0.$0.$1.$15″> \ [\ frac {1} {{20}} = 1 \ div 20 = 0,05 \]

   Серия

   и параллельные схемы

   Что такое электрическая схема?

   Для того, чтобы электроны текли, им нужна замкнутая цепь. Электрическая цепь обеспечивает полный, замкнутый путь для электричества.Части цепи состоят из нагрузки или сопротивления; провода; и переключатель. Источником энергии может быть батарея, термопара, фотоэлемент или электрический генератор. Нагрузка — это часть схемы, которая использует энергию. Нагрузка схемы всегда оказывает некоторое сопротивление потоку электронов. В результате энергия преобразуется в тепло, свет или механическую энергию. Переключатель электрической цепи служит для предотвращения потока электронов. Это называется обрыв цепи

   .

   Есть два типа электрических цепей: последовательная и параллельная.

   Цепь серии

   Последовательная цепь, есть только один путь для прохождения электронов (см. Изображение последовательной цепи). Основным недостатком последовательной цепи является то, что при обрыве цепи вся цепь разомкнута и ток не течет. Примером из серии могут стать огни на многих недорогих елках. Если погаснет один свет, погаснут все.

   Параллельная цепь

   В параллельной цепи разные части электрической цепи находятся в нескольких разных ветвях.Электроны могут течь по нескольким путям. Если есть разрыв в одной ветви цепи, электроны все еще могут течь в других ветвях (см. Изображение параллельной цепи). Ваш дом подключен к параллельной схеме, поэтому, если одна лампочка погаснет, другая останется включенной.

   Электрические цепи в вашем доме

   У себя дома вы заметите, что большинство розеток имеют 3 штыря. К розетке подключены три провода. Два провода идут параллельно друг другу и имеют разность потенциалов 120 вольт в США, в Европе разность потенциалов составляет 220 вольт.Третий провод подключен к земле. Провод, который соединен с землей, обеспечивает кратчайший путь электронов к Земле. Этот третий провод не несет тока. Провод — это просто средство защиты от короткого замыкания. Короткое замыкание — это случай, когда электричество проходит по более короткому пути в цепи. Эти цепи имеют меньшее сопротивление и, следовательно, больший ток. Если провод с высоким потенциалом соприкоснется с другой металлической поверхностью устройства, все устройство будет потреблять ток, что приведет к поражению человека, касающегося его.Заземляющий провод, имеющий более короткую цепь, обеспечивает функцию безопасности, поэтому вместо тока, протекающего через прибор, он будет течь на землю.

   Элементы безопасности цепей — предохранители и автоматические выключатели

   Ваш дом позволяет использовать только определенное количество электроэнергии одновременно. В зависимости от проводки в некоторых домах может подаваться до 150 ампер за один раз. Это делится на множество цепей. Средняя цепь в доме — 15 или 20 ампер.Более сильный ток, протекающий по проводам, приведет к их нагреву и может вызвать пожар. Поэтому необходимо иметь устройства, которые будут останавливать поток электронов, когда ток становится слишком высоким. Предохранитель — обычное устройство во многих домах. Внутри предохранителя находится крошечная полоска металла. Когда ток, протекающий через него, будет слишком большим, это приведет к расплавлению тонкой полоски, что приведет к разрыву цепи.

   Недостаток предохранителей

   состоит в том, что после сгорания предохранителя их необходимо заменить.Лучшее решение — использовать так называемый автоматический выключатель. У автоматического выключателя есть переключатель, который размыкается при слишком высоком токе. Это предотвращает протекание тока. Переключатель можно замкнуть вручную после уменьшения количества потребляемого тока. Например, когда вы включаете в своем доме слишком много электронных устройств, мощность которых превышает 15 ампер, автоматический выключатель отключается.