длина суммы векторов и теорема косинусов
- Сложение векторов: как действовать
- Сложение векторов: решение примеров
- Сложение векторов — онлайн калькулятор
Сложение векторов по правилу треугольника (суммой векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец — с концом вектора , при условии, что начало вектора приложено к концу вектора ) даёт возможность упрощать выражение перед вычислением произведений векторов.
Сложение векторов, заданных координатами (при сложении одноимённые координаты складываются) даёт возможность узнать, как расположен относительно начала координат вектор, являющийся суммой слагаемых векторов. Подробно эти две операции разбирались на уроке «Векторы и операции над векторами».
Теперь же нам предстоит узнать, как найти длину вектора, являющегося
результатом сложения векторов. Для этого потребуется использовать теорему косинусов.
При сложении векторов для нахождения длины суммы векторов используется теорема косинусов. Пусть и — векторы, — угол между ними, а — сумма векторов как результат сложения векторов по правилу треугольника. Тогда верно следующее соотношение:
,
где — угол, смежный с углом . У смежных углов одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой (см. рисунок выше).
Поэтому для сложения векторов и определения длины суммы векторов нужно извлечь квадратный корень из каждой части равенства, тогда получится формула длины:
.
В случае вычитания векторов ()
происходит сложение вектора с
вектором , противоположным
вектору , то
есть имеющим ту же длину, но противоположным по направлению.
Углы между и и
и между и
являются
смежными углами, у них, как уже было отмечено, одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой. В случае вычитания
векторов для
нахождения длины разности векторов нужно знать следующее свойство косинусов смежных
углов:
косинусы смежных углов равны по абсолютной величине (величине по модулю), но имеют противоположные знаки.
Перейдём к примерам.
- Пригодится: тригонометрическая таблица (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы распространенных углов)
Пример 1. Векторы и образуют угол . Их длины: и . Выполнить сложение векторов и найти их сумму . Выполнить вычитание векторов и найти их разность .
Решение. Из элементарной тригонометрии известно, что .
Шаг 2.
Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:
Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.
Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 2. Векторы и образуют угол . Их длины: и . Выполнить сложение векторов и найти их сумму . Выполнить вычитание векторов и найти их разность .
Правильное решение и ответ.
Пример 3. Даны длины векторов и длина их суммы . Найти длину их разности .
Решение.
Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус угла, смежного с углом между векторами и находим его:
Не забываем, что косинус смежного угла получился со знаком минус. Это значит, что косинус «изначального» угла
будет со знаком плюс.
Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:
Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.
Пример 4. Даны длины векторов и длина их разности . Найти длину их суммы .
Решение.
Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус «изначального» угла (задача обратная по отношению к примеру 1) и находим его:
Шаг 2. Меняем знак косинуса и получаем косинус смежного угла между и :
Шаг 3. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, подставляя в формулу косинус смежного угла:
Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.
- Пригодится: тригонометрическая таблица (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы распространенных углов)
Пример 5.
Векторы и
взаимно
перпендикулярны, а их длины .
Найти длину их суммы и
и длину их разности .
Решение.
Два смежных угла, как нетрудно догадаться из приведённого в начале урока определения, в сумме составляют 180 градусов. Следовательно, смежный с прямым углом (90 градусов) угол — тоже прямой (тоже 90 градусов). Косинус такого угла равен нулю, то же самое относится и к косинусу смежного угла. Поэтому, подставляя это значение в выражения под корнем в формуле длины суммы и разности векторов, получаем нули как последние выражения — произведения под знаком корня. То есть длины суммы и разности данных векторов равны, вычисляем их:
Пример 6. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имели место слелующие соотношения:
1) длина суммы векторов равна длине разности векторов, т. е. ,
2) длина суммы векторов больше длины разности векторов, т.
3) длина суммы векторов меньше длины разности векторов, т. е. ?
Решение.
Находим условие для первого соотношения. Для этого решаем следующее уравнение:
То есть, для того, чтобы длина суммы векторов была равна длине их разности, необходимы, чтобы косинус угла между ними и косинус смежного ему угла были равны. Это условие выполняется, когда углы образуют прямой угол.
Находим условие для второго соотношения. Решаем уравнение:
Находим условие для третьего соотношения. Решаем уравнение:
Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами больше косинуса
смежных углов.
То есть, чтобы длина суммы векторов была меньше длины разности векторов,
необходимо, чтобы углы образовали тупой угол.
- Пригодится: тригонометрическая таблица (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы распространенных углов)
Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.
| Назад | Листать | Вперёд>>> |
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Векторы
Поделиться с друзьями
Начало темы «Векторы»
Векторы: определения и действия над векторами
Продолжение темы «Векторы»
Линейная зависимость векторов
Базис системы векторов. Аффинные координаты
Векторное и смешанное произведение векторов
Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной разности длин этих векторов? Вопрос №9 к 4 главе, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.
С. Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной разности длин этих векторов? Вопрос №9 к 4 главе, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С. – Рамблер/классШкола
Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?
Новости
Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?
Школа
Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?
Школа
Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?
Новости
Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?
Вузы
Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?
Вопрос к присутствующим уже задан в заголовке — Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной разности длин этих векторов?
Лучший ответ
Да.
Например,
Векторы обязаны быть коллинеарными и одинаково направлены.
еще ответы
ваш ответ
Можно ввести 4000 cимволов
отправить
дежурный
Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия пользовательского соглашения
похожие темы
Юмор
Олимпиады
ЕГЭ
Компьютерные игры
похожие вопросы 5
Докажите, что треугольники подобны. Вопросы и задачи 64, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С.
Привет. Запуталась при решении, нужна помощь знатоков!!!
Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной (Подробнее…)
ГДЗГеометрия11 класс10 классАтанасян Л.С.
Самостоятельная работа 19. Вариант 2. № 2 ГДЗ Геометрия 9 класс Зив Б.Г. Помогите доказать, используя параллельный перенос
Используя параллельный перенос, докажите, что углы при основании равнобедренной трапеции равны между собой.
ГДЗЭкзаменыГеометрия9 классЗив Б. Г.
Почему сейчас школьники такие агрессивные ?
Читали новость про 10 классника который растрелял ? как вы к этому относитесь
Новости10 классБезопасность
Какой был проходной балл в вузы в 2017 году?
Какой был средний балл ЕГЭ поступивших в российские вузы на бюджет в этом году? (Подробнее…)
Поступление11 классЕГЭНовости
11. Выпишите слово, в котором на месте пропуска пишется буква Е. Русский язык ЕГЭ-2017 Цыбулько И. П. ГДЗ. Вариант 12.
11.
Выпишите слово, в котором на месте пропуска пишется буква Е.
произнос., шь (Подробнее…)
ГДЗЕГЭРусский языкЦыбулько И.П.
смещение — Величина разницы векторов
Задавать вопрос
спросил
Изменено 6 лет, 3 месяца назад
Просмотрено 5к раз
$\begingroup$
Согласно тексту, который я читаю, величина разностных векторов равна $\vec C = \vec S — \vec T$.
С векторами смещения $\vec S$ и $\vec T$, имеющими величины $||S||=3m$ и $||T||=4m$ соответственно. И, следуя только что изложенным правилам, величина разностных векторов равна $||C|| = 3m-4m =-1m$
Но так ли это? Я думал, что величина не может быть отрицательной? Может ли $-1$ указывать направление вектора? Или я должен игнорировать отрицательное значение и просто считать абсолютное значение $|-1|$ равным $1$? 92,$$ следовательно $$||\vec C|| \geq м.$$ То же неравенство Коши-Шварца приводит также к $$||\vec C|| \leq 7м.$$ Оба крайних случая соответствуют коллинеарным векторам (то есть параллельным или антипараллельным).
$\endgroup$
2
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
систем отсчета — Определяет ли физическая единица длину единичного вектора?
Единичный вектор — это вектор длины 1 по определению.
Конечно, это некоторый обман.
То, что на самом деле представляет собой «длина 1», определяется выбранной вами системой координат. Я могу создать систему координат, в которой вектор длины 1 равен 1 метру, или я могу сделать систему, в которой вектор длины 1 равен 1 футу. Но как только я выбираю свою систему координат, я не могу ее изменить.
Что может сбивать с толку, так это то, что идея «единичного вектора» является чисто математическим понятием с математическими свойствами. Для использования в физике нам всегда нужно делать или , чтобы отобразить нашу проблему в математических терминах, например, преобразовать концепции реальной жизни в векторы с использованием единиц и систем отсчета. Ваши опасения по поводу того, «какова длина единичного вектора», на самом деле связаны с отображением физического мира в математику. Только когда мы оказываемся там, на языке математики «единичный вектор» имеет какое-то конкретное значение.
Действительно, довольно часто выбирают систему координат с удобными единицами измерения, чтобы упростить манипуляции с математикой.
Известно, что физики используют «естественные единицы», где и скорость света, и постоянная Планка являются единичными векторами в соответствующих измерениях (часто пишут $\hbar = c = 1$). Для нас с вами это настолько неестественно, насколько это возможно, но для физиков такой выбор может быть очень удобным. Многие из уравнений, с которыми им приходится работать, имеют коэффициенты преобразования, которые необходимо отслеживать. В натуральных единицах многие из них становятся равными 1, поэтому их можно убрать вручную. Это не изменило ответ, но упростило манипулирование символами.
К вашему редактированию, на самом деле будет легче говорить в 2-х измерениях, чем в 1-м. 1-е измерение позволяет легко выродиться в невекторное мышление, и это может легче скрывать вещи.
Сейчас обычно в школе не учат разнице между векторами и векторами координат. Но в данном случае, я полагаю, вы запутались, потому что смешиваете эти два понятия. Я думаю, что наличие двух концепций иногда может внести ясность.
Давайте создадим двухмерный тестовый пример. В этом примере есть объект, до которого я мог бы добраться, если бы прошел 3000 метров на восток, затем повернул на север и прошел 4000 метров на север. Мы можем говорить о векторе от меня к этому объекту и дать ему имя вроде $\vec v$. Мы можем сказать что-то вроде «длина $\vec v$ составляет 5000 метров».
Мы можем сравнить это с вектором координат, таким как $\langle3000, 4000\rangle$ или $3000\hat i + 4000\hat j$. Эти две вещи лучше всего рассматривать как измерение вектора. Но там есть некоторые детали. Что, если бы я заявил, что тот же самый вектор равен $\langle3, 4\rangle$, потому что он находится в 3 км к востоку и в 4 км к северу? Могу ли я ошибаться? Не совсем так, я просто мерил по другому. Что, если я измерю его как $\langle4, 3\rangle$, потому что он находится в 4 км к северу и в 3 км к востоку? Могу ли я ошибаться? Ответы на эти вопросы спрятаны глубоко внутри $\hat i$ и $\hat j$. Это векторы, которые имеют длину.
Если вы знаете, сколько метров составляет $\hat i$, вы можете вычислить, сколько метров составляет $3\hat i$.
С этой целью мы обычно обозначаем векторы координат с помощью базиса , который является набором векторов, которые мы использовали для измерения. Я мог бы сказать $[v]_B=\langle3000, 4000\rangle$, где $B$ — это базис, состоящий из пары векторов длиной 1 метр, указывающих на восток и север соответственно. Именно эта концепция базиса связывает исходный вектор (у которого есть единицы) с вектором координат (который является чисто математическим вектором, у которого нет единиц).
Таким образом, с моей стороны было бы неправильно говорить $[v]_B = \langle3, 4\rangle$, потому что это не измерение этого вектора в базисе $B$. Однако я могу определить новый базис $C$, построенный из 1-километрового вектора, указывающего на восток, и 1-километрового вектора, указывающего на север, и я могу сказать, что $[v]_C = \langle3, 4\rangle$. На самом деле, я даже могу делать странные вещи, например создавать базис $D$, построенный из двухкилометрового вектора, указывающего на север, и однокилометрового вектора, указывающего на восток (обратите внимание, что я просто поменял направления И использовал разные векторы длины), и я могу сказать $[v] _D = \langle2, 3\rangle$.
2}$. Мы можем «заткнуться и вычислить».
(Кроме того, это может быть глубже. Когда вы углубитесь в угловые скорости и ускорения, вы обнаружите, что угловая скорость является действительным вектором и ведет себя как один, а угловое ускорение — нет. Угловое ускорение можно только представить. в виде координатного вектора или чего-то более экзотического типа бивектора… и это все равно для меня просто странно)
В итоге в вашем примере с объектом есть только один вектор, но он может быть измерен как другая координата векторов, просто приняв другую основу (например, выбрав базисный вектор «1 метр», а не базисный вектор «3 метра»). Все, что имеет значение, это то, что вы сохраняете свои измерения и свою основу соответствуют друг другу. Просто потому, что $\langle 3000, 4000\rangle_B = \langle 3, 4\rangle_C$ не означает $\langle 3000, 4000\rangle_B = \langle 3, 4\rangle_B$. Первый просто указывает, что $B$ и $C$ — это разные базисы: в одном используются векторы, представляющие собой метр, а в другом — векторы, использующие километр.
Leave A Comment