Скалярное произведение векторов. Формулы и определение

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

325.5K

Числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. И так как скаляр не самое стандартное, но все таки число, с ним можно проделывать те же операции. Этот материал посвятим скалярному произведению векторов.

 

Основные определения

Система координат — это совокупность определений, позволяющих определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Мы уже рассказывали, как найти координаты точки.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.


Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как . Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: .

Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.

При умножении вектора на вектор получается число. Если длины векторов , — это числа, косинус угла — число, то скалярное произведение этих векторов можно найти по формуле .

Чтобы разобраться в теме этой статьи, нам еще нужно узнать особенности угла между векторами.

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Угол между векторами

Угол между векторами может принимать значения от 0° до 180° градусов включительно. Аналитически это можно записать в виде двойного неравенства: либо .

Значок угла можно опустить и писать просто: .

Пусть даны два вектора .

Отложим их от некоторой точки О пространства: . . Тогда угол между векторами — это угол .


Угол между векторами может быть прямым, тупым, острым или равным нулю. Рассмотрим каждый случай:

1. Если векторы сонаправлены, то угол между ними равен 0°.


 

Так как косинус угла в 0° равен единице, то скалярное произведение сонаправленных векторов является произведением их длин. Если два вектора равны, то такое скалярное произведение называют скалярным квадратом.

 

2. Если угол между векторами равен 90°, то такие векторы перпендикулярны друг другу.


 

Так как косинус прямого угла равен 0, то скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0.

 

3. Если векторы направлены в разные стороны, тогда угол между ними 180°.


Так как косинус угла в 180° равен -1, то скалярное произведение противоположно направленных векторов равно произведению их длин, взятому с обратным знаком.

 

Также векторы могут образовывать тупой угол. Это выглядит так:


Важно!

Так как косинус тупого угла отрицательный, то скалярное произведение векторов, которые образуют тупой угол, является тоже отрицательным.

Скалярное произведение векторов

Определение скалярного произведения можно сформулировать двумя способами:

Скалярное произведение двух векторов a и b дает в результате скалярную величину, которая равна сумме попарного произведения координат векторов a и b.


  1. Геометрическая интерпретация.

    Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:

    , где α — угол между векторами a и b



  2. Алгебраическая интерпретация.

Что важно запомнить про геометрическую интерпретацию скалярного произведения:

  • Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно, так как cosα > 0.
  • Если угол между векторами тупой и векторы ненулевые, то скалярное произведение отрицательно, так как cosα < 0.
  • Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение равно 0, так как cosα = 0.

Скалярное произведение в координатах

Вычисление скалярного произведения можно произвести через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.

Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов и .

То есть для векторов , на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид:

А для векторов в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится так:

В n-мерном пространстве скалярное произведение векторов a = {a1; a2; … ; an} и b = {b1; b2; … ; bn} можно найти по формуле:

a * b = a1 * b1 + a2 * b2 + … + an * bn

Свойства скалярного произведения векторов

  1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нулю.

    В результате получается нуль, если вектор равен нулевому вектору.

  2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

  3. Операция скалярного произведения коммуникативна, то есть соответствует переместительному закону:

  4. Операция скалярного умножения дистрибутивна, то есть соответствует распределительному закону:

  5. Сочетательный закон для скалярного произведения:

  6. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны, то есть перпендикулярны друг другу:

Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.

Примеры вычислений скалярного произведения

Пример 1.

Вычислите скалярное произведение двух векторов →a и →b, если их длины равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.

Как решаем:

У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению:

Ответ: .

Пример 2.

Найти скалярное произведение векторов и , если .

Как решаем:

Используем формулу .

В данном случае:

Ответ: .

Пример 3.

Как найти скалярное произведение векторов и , если векторы и перпендикулярны и их длины равны 3 и 2 единицы соответственно.

Как решаем:


По свойству дистрибутивности скалярного произведения имеем


Сочетательное свойство позволяет нам вынести коэффициенты за знак скалярного произведения:


В силу свойства коммутативности последнее выражение примет вид


Итак, после применения свойств скалярного произведения имеем


Осталось применить формулу для вычисления скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними:


Ответ: .

Пример 4.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми AB1 и BC1.


Как решаем:

  1. Введем систему координат.

    Если сделать выносной рисунок основания призмы, получим понятный плоскостной рисунок с помощью которого можно легко найти координаты всех интересующих точек.

  2. Точка А имеет координаты (0;0;0). Точка С — (1;0;0). Точка В — (1/2;√3/2;0). Тогда точка В1 имеет координаты (1/2;√3/2;1), а точка С1 – (1;0;1).

  3. Найдем координаты векторов и :

  4. Найдем длины векторов и :

  5. Найдем скалярное произведение векторов через их координаты и :

  6. Найдем косинус угла между прямыми AB1 и BC1:

    , ,

Ответ: 1/4.

Пример 5.

а) Проверить ортогональность векторов: и .

б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки KL и MN, если K(3;5), L(-2;0), M(8;-1), N(1;4).

Как решаем:

а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Вычислим их скалярное произведение: , следовательно .

б) Здесь речь идёт об обычных отрезках плоскости, а задача всё равно решается через векторы. Найдем их:

Вычислим их скалярное произведение: , значит, отрезки KL и MN не перпендикулярны.

Обратите внимание на два существенных момента:

  • В данном случае нас не интересует конкретное значение скалярного произведения, важно, что оно не равно нулю.
  • В окончательном выводе подразумевается, что если векторы не ортогональны, значит, соответствующие отрезки тоже не будут перпендикулярными. Геометрически это очевидно, поэтому можно сразу записывать вывод об отрезках, что они не перпендикулярны.

Ответ: а) , б) отрезки KL, MN не перпендикулярны.

Пример 6.

Даны три вершины треугольника A(-1; 0), B(3; 2), C(5; -4). Найти угол при вершине B — ∠ABC.

Как решаем:

По условию чертеж выполнять не требуется, но для удобства можно сделать:


Требуемый угол ∠ABC помечен красной дугой. Сразу вспоминаем школьное обозначение угла: ∠ABC — особое внимание на среднюю букву B — это и есть нужная нам вершина угла. Для краткости можно также записать просто ∠B.

Из чертежа видно, что угол ∠ABC треугольника совпадает с углом между векторами и , иными словами: .

Найдем векторы:


Вычислим скалярное произведение:


Вычислим длины векторов:


Найдем косинус угла:


Когда такие примеры не будут вызывать трудностей, можно начать записывать вычисления в одну строчку:


Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе.

Найдём сам угол:


Если посмотреть на чертеж, то результат действительно похож на правду. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром.

Ответ: ∠ABC = arccos(1/5√2) ≈1,43 рад. ≈ 82°

Важно не перепутать, что в задаче спрашивалось про угол треугольника, а не про угол между векторами. Поэтому указываем точный ответ: arccos(1/5√2) и приближенное значение угла: ≈1,43 рад. ≈ 82°, которое легко найти с помощью калькулятора.

А те, кому мало и хочется еще порешать, могут вычислить углы ∠A, ∠C, и убедиться в справедливости канонического равенства ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

101.8K

Сумма разрядных слагаемых

К следующей статье

473. 7K

Построение графиков функций

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

  1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

  2. Расскажем, как проходят занятия

  3. Подберём курс

371. На прямой даны три точки Л, Я и С, причём АВ = 83см, АС = 97см. Найдите длину отрезка ВС. Математика 5 класс Никольский С.М. – Рамблер/класс

371. На прямой даны три точки Л, Я и С, причём АВ = 83см, АС = 97см. Найдите длину отрезка ВС. Математика 5 класс Никольский С.М. – Рамблер/класс

Интересные вопросы

Школа

Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?

Новости

Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?

Школа

Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?

Школа

Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?

Новости

Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?

Вузы

Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?

371.
На прямой даны три точки Л, Я и С, причём АВ = 83см, АС = 97см. Найдите длину отрезка ВС. Сколько решений имеет задача?

ответы

ответ

ваш ответ

Можно ввести 4000 cимволов

отправить

дежурный

Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия  пользовательского соглашения

похожие темы

3 класс

Репетитор

Химия

Алгебра

похожие вопросы 5

Значение выражения. ГДЗ Математика 6 класс Чесноков. Дидактические материалы по математике для 6 класса. Вар.1 Вопр.259

Кто выполнит?   Найдите значение выражения:
  (Подробнее…)

ГДЗМатематика6 классЧесноков А.С.

№ 149. ГДЗ Физика 10 класс Рымкевич. Какова масса тележки?

Помогите посчитать!
Под действием некоторой силы тележка, двигаясь из состояния покоя, прошла путь 40 см. Когда на тележку (Подробнее…)

ГДЗФизика10 классРымкевич А.П.

Привет! Помогите определить вес мальчика. № 188. ГДЗ Физика 10 класс Рымкевич.

Определить вес мальчика массой 40 кг в положении А и В (рис. 51), если R1 = 20 м, v1= 10 м/с, R2 = 10 м, v2 = 5 м/с.
  (Подробнее…)

ГДЗФизика10 классРымкевич А.П.

365. Постройте отрезки длиной 7 см, 11 см 4 мм, 14 см 6 мм. Никольский С.М. Математика 5 класс

365.
Постройте отрезки длиной 7 см, 11 см 4 мм, 14 см 6 мм.

ГДЗМатематика5 классНикольский С.М.

370. На прямой даны три точки Л, Я и С, причём АВ= 13см, АС = 4 см. Найдите длину отрезка ВС. 5 класс Математика Никольский С.М.

370.
На прямой даны три точки Л, Я и С, причём АВ= 13см, АС = 4 см. Найдите длину отрезка ВС. (Задача имеет два решения.)

ГДЗМатематика5 классНикольский С.М.

Эквивалентные выражения и примеры — Turito

Ювон говорит, что все три выражения эквивалентны.

  1. Найдите значение каждого выражения для n=1
  1. Найдите значение каждого выражения для n=2.

8n + 6, 2(4n + 3), 14n 

Решение: Подставьте n=2, затем найдите значения данных выражений.

  1. Найдите значение каждого выражения для n=3.

               8н + 6, 2(4н + 3), 14н 

Решение: Подставьте n=2, затем найдите значения данных выражений.

  1. Критическое рассуждение

Согласны ли вы с Джувоном, что все три выражения эквивалентны? Объяснять.

Решение:                     

Нет, я не согласен с Ювоном.

8n+6 и 2(4n+3) эквивалентны.

Поскольку 2(4n+3) = 2x4n + 2×3 = 8n+6

Мы применили свойство распределения к сложению

a(b + c) = a(b) + a(c)  

При подстановке одного и того же числа в два выражения, имеющие форму дистрибутивного свойства, всегда равны.

Аналогично, свойства операций

  1. Коммутативное свойство с добавлением и умножением
  1. Ассоциативное свойство с добавлением и умножением
  1. Распределительные свойства через добавление и выявление

OK, дайте эквивалентные выражения.

Эквивалентные выражения имеют одно и то же значение независимо от значения, которое заменяется на ту же переменную в выражениях.

Свойства операций

Коммутативное свойство

добавления A + B = B + A

Умножения A X B = B X A

Ассоциативная свойство

(A + B) + C = A A A A + ( b + c)  

         умножения (a x b) C = a × (b c)  

Распределительное свойство  

         при сложении a(b + c) = a(b) + a(c)  

          при вычитании a(b – c) = a(b) – a(c) 

  • 2
  • Пример

    1:  

    Использовать свойства операций для записи эквивалентных выражений для 3(4x – 1) и 2x + 4?

    Решение:  

    Case1  

    Используйте дистрибутив и ассоциативные свойства , чтобы написать выражение, эквивалентное 3(4x – 1).

    3(4x – 1) = 3(4x) – 3(1) ……. Распределительное свойство  

         = (3.4) x – 3  ….. Ассоциативное свойство умножения 

    ∴ 3(4x – 1) = 12x – 3  

    12x – 3 и 3(4x – 1) являются эквивалентными выражениями.

    Случай 2:  

    Используйте распределительное свойство в обратном порядке, чтобы написать выражение, эквивалентное 2x + 4.  

    Найдите общий делитель обоих членов, который больше  

    1. 2х + 4 =2(х) + 2(2) …………. Распределительное свойство  

    = 2(x+2) ……………2 – общий множитель  

    Итак, 2(x 2) эквивалентно 2x+4.

    Попробуйте!

    Напишите выражение, эквивалентное 3x – 27.

    Решение:

    Общий делитель 3 и 27 равен 3  

    3x – 2 0 0 3 (90 0 3 (x) – 3 (x) – =3(x– 9) 

    Итак, 3x – 27 эквивалентно 3(y – 9).

    Пример 2  

    Какие из приведенных ниже выражений эквивалентны?

    6x – 3            3x                 3(2x – 1) 

    Решение:    

    3 (2x — 1) = 3 (2x) — 3 (1)

    = 6x — 3

    SO, 3 (2x — 1) и 6x — 3 — эквивалентные выражения

    Шаг 2:

    Свойства операции не могут определить эквивалентность выражений.

    Либо 6x-3≠3x

    3(2x-1) ≠3x

    Таким образом, ни 6x-3, ни 3(2x-1) не эквивалентны 4x.

    Пример 3:  

    Являются ли 6(n+3) – 4 и 6n + 14 эквивалентными выражениями?

    Решение:  

    Шаг 1:  

    Используйте свойства операций для упрощения 6(n + 3) – 4.  

    6(n + 3) – 4 = 6(n) + 6(3) – 4  ……………. Используйте распределительное свойство  

                            = 6n + 18 – 4    

    6(n + 3) – 4 = 6n+14 

    Обобщите, когда два выражения называют одно и то же число независимо от значения переменной, они эквивалентны.

    Шаг 2:  

    Подставьте 3 вместо n , чтобы доказать эквивалентность выражений.

    Случай 1:

    6 (n + 3) — 4 = 6 (3) + 6 (3) — 4

    = 18 + 18 — 4

    6 (n + 3) — 4 = 32

    Случай 2:  

    6n + 14 = (3) + 14

    = 18+ 14

    6n + 14 = 32

    Итак, 6 (n + 3) — 4 и 6n + 14 — эквивалентные выражения.

    Попробуй!

    Являются ли 2(x – 3) + 1 и 2x + 6 эквивалентными выражениями? Используйте замену, чтобы оправдать свою работу.

    Решение:  

    Использовать распределительное свойство:  

     2(x – 3) + 1 = 2x – 6 +1 

                                         0003

    2 (x — 3) + 1 = 2x — 5

    . Данное выражение составляет 2x + 6

    , так что 2x — 6 ♠ 2x + 6.

    Критика рассуждения

    1. Джейми говорит, что выражения 6x. — 2x + 4 и 4(x + 1) не эквивалентны, потому что в одном выражении есть вычитаемый член, а в другом нет. Вы согласны? Объяснять.

    Решение:  

    Шаг 1:  

    6x – 2x + 4 = 4x + 4

    Шаг 2: 

    4(x + 1) = 4x + 4  

    Нет, я не согласен, так как данные выражения эквивалентны.

    1. Два приведенных ниже выражения эквивалентны? Объяснять. 4(n + 3) – (3 + n) и 3n +9

    Решение:

    Шаг 1:

    Использование распределительного свойства:

    4(n + 3) – (3) = 4n + 12 – 3 – n  

                                                        

    4(n + 3) – (3 + n) = 3n + 9 

    Итак, 4(n+3) – (3+n) = 3n+9  

    Мышление высшего порядка  

    3. Запишите выражение которое имеет только один термин и эквивалентно приведенному ниже выражению.

    (F.G 2 ) ÷ 5 — (G 2 . F)

    Решение:

    (F.G 2 ) ÷ 5 — (G 2 . F.G.G.G.G.G.G327 / (G 2 . 5

    = ф.г 2 – 5 ф.г 2

    = -4 f.g 2 / 5

    Construct Arguments

    1. Команда колледжа Флориды по гольфу, состоящая из 14 человек, планирует торжественный банкет. Чтобы найти общую стоимость блюд, команда использует выражение 5 (g + 14), где g — количество гостей, пришедших на банкет. Член команды говорит, что эквивалентное выражение равно 5g + 14. Вы согласны? Объяснять.

    Решение:  

    Я не согласен с членом команды, 

    Эквивалентная дробь для 5(g + 14)  

    5(g + 14) = 5(g) + 5(14) 

                  = 5 g + 70 

    5g + 70 ≠ 5g + 14 

    Итак, утверждение члена команды неверно.

    Давайте проверим наши знания:  
    1. Основной вопрос. Как определить и записать эквивалентные выражения?
    1. Структура использования. Какое свойство операций вы могли бы использовать, чтобы написать эквивалентное выражение для y + 3? Напишите эквивалентное выражение.
    1. Обобщение — Являются ли выражения z3 и 3z эквивалентными? Объяснять.
    1. Эквивалентны ли выражения 3(y + 1) и 3y +3 при y=1? у = 27 у = 3?
    1. Аргументы построения — эквивалентны ли выражения 3(y + 1) и 3y + 3 для любого значения y ?
    1. 6.Используйте свойства операций для завершения эквивалентных выражений.

    и). 3(x-6) ii) 2x+10 iii) 8(2y + 2) iv) 5,7 +(3z +0,3)  

    1. Напишите буквы выражений, эквивалентных данному выражению.

    5(2x + 3)  

    а. 10x + 15           б. 5x + 15x                c. 10x + 8 

    1. Напишите алгебраическое выражение для площади прямоугольного ковра. Затем используйте свойства операций, чтобы написать эквивалентное выражение.

    Ответы:  

    1. возьмем следующие выражения:

    2x + 18 и 2(x+ 9)

    2(x+9) = 2x + 18

     Таким образом, 2x + 18 и 2(x+9) эквивалентны выражениям.

     Мы можем найти, что два выражения эквивалентны, записав их простейшие формы.

    1. По свойству коммутативности, a + b = b + a    тогда,  

    y+3 = 3+y

    1. Данные выражения z3 и 3z не являются эквивалентными выражениями.

    z3

    ≠ 3z

    1. Даны выражения 3(y + 1) и 3y +3

    Если y = 1

    , 3 (y+1) = 3 (1+1)

    = 3 (2)

    3 (y+1) = 6

    3y+3 = 3 (1) + 3

    3y + 3 = 3 + 3

    3y + 3 = 6

    Выражения 3 (y + 1) и 3y + 3 эквивалентны при замене y = 1

    , если y = 27

    Тогда,

    3(y+1) = 3(27+1)

                   = 3(28)

    3(y+1) = 84 

    3y+3     = 3(27) + 3 

                           = 81 + 3 

    3y+3     = 84 

    Выражения 3(y+1) и 3y+3 эквивалентны при подстановке y=27.

    Если y = 3

    , то

    3(y+1) = 3(3+1)

                                                                                                                             3)+3 

                    = 9+3 

    3y+3     = 12 

    Выражения 3(y+1) и 3y+3 эквивалентны при подстановке y=3.

    1. Данные выражения 3(y+1) и 3y+3  

    , если y = 6

    , 3 (y+1) = 3 (6+1)

    = 3 (7)

    = 21

    3y+3 = 3 (6) +3

    = 18 + 3 

                    = 21 

    Итак, данные выражения эквивалентны.

    1. 3 (x — 6) = 3x — 18
    1. 2x + 10 = 10 + 2x
    1. 8 (y + 2) = 8y + 16
    1. 0005 5,7 + (3z + 0,3) = (5,7 + 3z) + 0,3
    1. Данное выражение равно 5(2x – 3)

    5(2x – 3) = 10x – 15

    вариант «a ”

    1. Дано, длина прямоугольного коврика = 2(x – 1)

    ширина прямоугольного коврика = 5

    Площадь прямоугольного коврика

    = l × b кв. 1) × 5 

     = (2 × 5)(x – 1)……….. По коммутативному свойству умножения  

     = 10(x – 1) …………. По распределительному свойству вычитания.

    ∴ Площадь прямоугольного ковра = (10x – 10) квадратных единиц

    Ключевое понятие   

    Два алгебраических выражения эквивалентны, если они имеют одинаковое значение, когда любое число заменяет переменную. Вы можете использовать свойства операций для записи эквивалентных выражений.

    Свойства операций

    1. Переместительное свойство

    сложения a + b = b + a

    умножения a x b = b x a

    1. Ассоциативное свойство  

    сложения (a + b) + C = a + (b + c)  

    умножения (a x b) C = a × (b c)  

    1. Распределительное свойство  

    сложения a(b) + c) = a(b) + a(c)  

    при вычитании a(b – c) = a(b) – a(c) 

    Ключевая концепция: 

    • Использование свойств операций для записи эквивалентных выражений .
    • Использовать свойства идентификации эквивалентных выражений.
    • Используйте подстановку для выравнивания эквивалентных выражений.

    Концептуальная карта: 

    Вычисление алгебраических выражений,… Пошаговое решение математических задач

    3.1  Вычисление алгебраических выражений

      Тот же набор правил для целых чисел в порядке следования также используется с целыми числами. Правила изложены здесь для удобства использования
    .

       Правила порядка выполнения операций

       1. Работайте с символами включения (скобки, квадратные или фигурные скобки), начиная с самой внутренней пары. 92 = 8 ÷ 4-9 показателей

    = 2-9 деление

    = -7 Вычитание

    2. (7+8) ÷ 5*4-20

    (7+8) ÷ 5*4-20 = 15 ÷ 5*4-20 скобков

    = 3*4-20 Разделение

    = 12-20 Умножение

    = -8 Вычитание

    3. 4*5- (6*2-3)+4 ÷ 2

        4*5-(6*2-3)+4÷2=4*5-(9)+4÷2  скобки0003

    = 13 вычитание и добавление

    4. (-5-6)/11+3 (-5)

    (-5-6)/11+3 (-5) =-11/11+3 (— 5) Дробная полоса является символом включения

    = -1+(-15) Разделение и умножение

    = -16 Дополнение

    Практическая викторина

    Вопросы Ответы
    Найдите значение каждого выражения 92 не являются той же степенью х.

      Числовая часть термина называется коэффициентом при переменной или переменных в термине. Таким образом, в термине 8x,8 является коэффициентом x.

      Выражения с одинаковыми членами можно упростить, применив свойство дистрибутивности, обсуждавшееся в разделе 1.1, к целым числам. Распределительное свойство утверждает, что

        a(b+c)=ab+ac

    или   ab+ac=a(b+c)

    или   ba+ca=(b+c)a

      полезно, когда b и c являются числовыми коэффициентами. Например,

        3x+5x=(3+5)x  Коэффициенты складываются

              =8x

       Мы говорим, что 3x и 5x были объединены как термины или что мы скомбинировали 3x и 5x. Одинаковые члены можно комбинировать, добавляя (или вычитая) коэффициенты.

    Примеры   Комбинируйте одинаковые термины, когда это возможно -7)+5(x+1)=4x-28+5x+5  Использовать распределительное свойство дважды.

                  =4x+5x-28+5 92+2a

      5. (x+3x)/2+x=(4x)/2+x  Дробная черта — это символ включения, подобный скобкам.

               =2x+x=3x

    Давайте посмотрим, как наш математический решатель решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.

    Решите похожую задачуВведите свою задачу

    Практический тест Вопросы Ответы
    92

    3.3  Написание алгебраических выражений

      Алгебра — это язык математики, и чтобы понимать математику, вы должны понимать язык. Мы хотим иметь возможность превращать английские фразы в их «алгебраические» эквиваленты и наоборот. Итак, если задача сформулирована на английском языке, мы можем перевести фразы в алгебраические символы и приступить к решению задачи по правилам, разработанным для алгебры.

      Следующие примеры иллюстрируют, как некоторые ключевые слова могут быть переведены в алгебраические символы.

    Примеры

    Английская фраза   Алгебраическое выражение

    1. 3 умножить на число, представленное x

          Произведение 3 и x

          3 раза x

    		   3x

    2. число добавлено к 3

    сумма z и 3

    г плюс 3    		 г+3

    3. удвоенное количество, полученное прибавлением числа к 1
      удвоенная сумма x и 1
      произведение 2 на сумму x и 1

    		 2(х+1)

    4. дважды х плюс 1
    два раза х умножить на 1
    на единицу больше, чем произведение 2 и числа

    		 2x+1

    5. произведение двух чисел x на y
      умножить x и y

    		   ху

    6. разница между 5-кратным числом и 2-кратным повторением того же числа
    произведение 5 на число минус произведение 2 на это число
    разница между 5x и 2x

    		 5x-2x

      Некоторые слова, например, выделенные жирным шрифтом в предыдущих примерах, являются ключами к операциям. Научитесь искать эти слова и слова из следующего списка.

    Дополнение Вычитание Умножение Подразделение
    добавить вычесть умножить разделить
    Сумма разница товар частное
    плюс минус раз
    более меньше дважды
    увеличилось на уменьшилось на
    Практический тест вопросов ответы

    Измените следующие фразы на алгебраические выражения

    1. 7меньше числа 1. х-7
    2. удвоенное произведение двух неизвестных чисел 2. 2аб
    3. частное yy и 5 3. г/5
    4. неизвестная сумма меньше 10 4. 10-х
    5. 14 более чем в 3 раза число 5. 3г+14
    6. произведение 5 с разницей 2 и х 6. 5(2-х)
    7. на четыре меньше, чем произведение 2 на x минус 3 7. 2(х-3)-4
    8. сумма произведения 5 на число и произведения 3 на это число 8. 5x+3x

      Следует особо отметить слова «частное» и «разность». Как показано в задачах 3 и 6 практического теста, деление и вычитание выполняются со значениями в том порядке, в котором они даны в задаче. Например, разница между 3 и 5 равна 3-5=-2, а разница между 5 и 3 равна 5-3=2.

    3.4  Решение уравнения

      Если уравнение содержит переменную, мы хотим найти значение (или значения) для переменной, которое даст истинное уравнение при замене переменной. Это значение (или значения) называется решением уравнения, и мы решили уравнение.

    Предположим, нам дано уравнение

    2x-1 = x+3

    , если мы заменим x = 4, то

    2*4-1 = 7 и 4+3 = 7

    SO 2*4-1 =4+3

       и x=4 является решением

      Если мы подставим x=5, то

        2*5-1=9 и 5+3=8

    но   9!=8,

    * =5+3

       и x=5 не является решением.

      Два уравнения эквивалентны, если они имеют абсолютно одинаковые решения. Например, 2x-1 = x+3 и x+1=5 эквивалентны, поскольку x=4 является решением каждого уравнения.

      Нам нужны некоторые процедуры, которые позволят нам шаг за шагом находить решения уравнений, содержащих переменные. Следующие две идеи являются основными.

       1. Все, что делается с одной частью уравнения, должно быть сделано и с другой. (Это не включает упрощение выражений и комбинирование подобных терминов.)

       2. Цель состоит в том, чтобы найти простое уравнение, такое как x=4, которое эквивалентно исходному уравнению.

      В следующих примерах каждое уравнение решается поэтапно с объяснением каждого шага. Внимательно изучите каждый пример. Обратите внимание, что эквивалентные уравнения записываются одно под другим. Не пишите несколько уравнений в одной строке и не приравнивайте одно уравнение к другому уравнению.

    Примеры

      1. x+7=12  Запишите уравнение.

       x+7-7=12-7  Добавить -7 к обеим сторонам

       x=5  Упрощение.

      2. 2x-3=13  Запишите уравнение.

       2x-3+3=13+3  Прибавьте 3 к обеим сторонам.

       2x=16  Упрощение.

       (2x)/2=16/2  Поделите обе части на 2, коэффициент при x.

       x=8  Упростить.

      3. 5x-1=-11  Запишите уравнение.

       5x-1+1=-11+1  Добавьте +1 к обеим сторонам.

       5x=-10  Упростить; теперь на одной стороне есть все термы с переменными и только термы с переменными.

       (5x)/5=-10/5  Поделите обе части на 5, коэффициент при x.

       x=-2  Упростите

      4. 4x+1-x=13+x  Запишите уравнение.

       3x+1=13+x  Упростить

       3x+1-1=13+x-1  Добавить -1 к обеим сторонам.

       3x=12+x  Упростить

       3x-x=12+x-x  Добавить -x к обеим сторонам.

       2x=12  Упрощение; теперь на одной стороне есть все термы с переменными и только термы с переменными.

       (2x)/2=12/2  Поделите обе части на 2, коэффициент при x.

       x=6  Упростить  

      5. (2x)/5+2=6  Запишите уравнение.

       (2x)/5+2-2=6-2  Добавьте -2 к обеим сторонам.

    (2x)/5 = 4 упростите

    5*(2x)/5 = 4*5 Умножить обе стороны на 5.

    2x = 20 Упрощение

    (2x)/2 = 20/2 Разделите обе стороны 2

       x=10  Упрощение 

    Давайте посмотрим, как наш решатель уравнений решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.

    Решите похожую задачуВведите свою задачу

    Каждое решение можно проверить, подставив его в исходное уравнение. Верное утверждение будет получено, если нет ошибок.

      Если выражение, представляющее ненулевое число, (а) прибавляется, (б) делится на или (в) умножается на обе части уравнения, новое уравнение будет эквивалентно исходному уравнению.

    3.5  Формулы

      Формулы – это общие правила или принципы, сформулированные математически. Например, в бизнесе простые проценты — это произведение основного долга, процентной ставки и времени в годах. Таким же правилом математически является формула {Iota}=PRT. Другие формулы приведены ниже. 92  Площадь (A) круга равна произведению PI на квадрат радиуса (r).

      p=4s  Периметр (p) квадрата в 4 раза больше длины одной стороны (s).

      A=1/2bh  Площадь (A) треугольника равна половине произведения основания (b) и высоты (h).

      d=rt  Пройденное расстояние равно произведению скорости (r) и времени (t).

      C=5/9(F-32)  Температура в градусах Цельсия (C) равна 5/9 разницы между температурой по Фаренгейту (F) и 32,

      В последней формуле предположим, что F = 212°, температура кипения воды на уровне моря. Какими будут показания в градусах Цельсия? Подстановка 212° вместо F дает

        C=5/9(212-32)=5/9(180)=100

       Предположим, что вопрос поставлен наоборот. Если C = 20°, каково будет соответствующее значение F? Подстановка 20 вместо C и решение для F дает

        20=5/9(F-32)

        20*9/5=9/5*5/9(F-32)  Умножьте обе части на 9/5, взаимный 5/9.

    36 = F-32

    68 = F

    Решение для F с точки зрения C может быть сделано следующим образом:

    C = 5/9 (F-32)

    9/5*C = 9 /5*5/9(F-32)

        9/5C=F-32

        9/5C+32=F

      Формула для C равна

       

       и решено для F равно

        F=9/5C+32

      Цель здесь состоит в том, чтобы решить формулы для одной из переменных в терминах других переменных. То есть, используя методы решения уравнений, которые имеют только одну переменную, рассматривайте другие переменные как константы и находите нужную переменную.

    Примеры

       1. Дана P=a+b+c  Формула периметра треугольника

       Найти b.

    Решение:

    P = A+B+C

    P-A-C = A+B+C-A-C

    P-A-C = B

    2. Данный P = 2L+2W Formul прямоугольник

       Найти l

       Решение:

       P=2l+2w

       P-2w=2wl0003

    P-2W = 2L

    (P-W)/2 = (2L)/2

    (P-2W)/2 = L

    или

    P = 2L+W

    P/2 = (2L+ 2w)/2

      P/2=(2l)/2+(2w)/2

      P/2=l+w

      P/2-w=l

      Оба ответа верны, поскольку P/2- w=P/2-(2w)/2=(P-2w)/2

      3. Учитывая 3y-4x+9=0, найдите y.

    Решение:

    3y-4x+9 = 0

    3y-4x+9+4x-9 = 0+4x-9

    3y = 4x-9

    y = (4x-9

    3y = 4x-9

    Y = (4x-9

    )/3 или y=(4x)/3-9/3=4/3x-3

       Любая из этих форм верна. Если у вас есть один ответ, а другой находится в ключе ответов, вы должны признать свой ответ правильным, но в другой форме.

    Давайте посмотрим, как наш решатель уравнений решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.

    Решить похожую задачуВведите свою задачу


      4. Учитывая V=T/(P-5), решите P.

       Решение:

      V=T/(P-5)

      V(P-5)=T/(P-5)(P-5)  Умножьте обе части на P-5.

      V(P-5)=T

      (V(P-5))/V=T/V

      P-5=T/V

      P=T/V+5

  • 360 ord Задача (Числа и последовательные целые числа)

      В разделе 3.3 мы обсуждали перевод английских фраз в алгебраические выражения. Фраза «8 прибавляется к удвоенному числу» алгебраически переводится как 2x + 8. Как вы переводите «на 4 больше, чем число?» Если вы сказали x + 4, вы правы. Теперь цель состоит в том, чтобы перевести целое предложение в уравнение, а затем решить уравнение. Две приведенные выше фразы могут быть включены в предложение, подобное следующему:
      «Если к числу, удвоенному дважды, прибавить 8, результат будет на 4 больше, чем число».

    Алгебраически,

    2x+8 = x+4 » +8=4

      x+8-8=4-8

      x=-4

      В этом разделе словесные задачи будут просто упражнениями на перевод предложений в уравнения и решение этих уравнений. Более сложные «прикладные» проблемы будут обсуждаться в последующих главах. Такие задачи будут включать геометрические формулы, расстояние, проценты, работу, неравенства и смешение.

    Примеры

       1. Трижды сумма числа и 5 равна удвоенному числу плюс 5. Найдите число.

    Решение   Пусть x : неизвестное число.

    3 раза сумма числа и 5 равно удвоенное число плюс 5
    3(х+5) = 2x+5
    3x+15 = 2x+5
    3x+15-2x = 2x+5-2x
    х+5 = 5
    х+15-15 = 5-15
    х = -10

      Число -10.

      2. Если число уменьшить на 36, и результат будет на 76 меньше, чем удвоенное число, какое это будет число?

    Решение   Пусть n = неизвестное число.

    число уменьшилось на 36   результат   76 меньше, чем удвоенное число
    н-36 =   2н-76
    н-36-н   =   2н-76-н
    -36 =   н-76
    -36+76 =   н-76+76
    40 = н

      Число равно 40.

       Последовательные целые числа — это два целых числа, которые отличаются на 1, или второе целое число на 1 больше первого. Например, 21 и 22 — последовательные целые числа. -14 и -13 — последовательные целые числа. В общем случае, если n — одно целое число, то n + 1 — это следующее последовательное целое число.
    Примером трех последовательных целых чисел является 51,52,53. Другой пример: -9,-8,-7. Если n — одно целое число, то n + 1 — следующее последовательное целое число, а n + 2 — третье последовательное целое число.
       Последовательные четные числа — это четные целые числа, отличающиеся на 2; то есть второе целое число на 2 больше первого. Например, 36 и 38 — это два последовательных четных целых числа. Кроме того, -12, -10 и -8 являются тремя последовательными четными целыми числами. Если n является четным целым числом, то n+2 является следующим последовательным четным целым числом, а n+4 является третьим последовательным четным целым числом.
       Последовательные нечетные целые числа — это нечетные целые числа, отличающиеся на 2; опять же, второе целое число на 2 больше первого. Например, -15 и -13 — это два последовательных нечетных целых числа. Кроме того, 17,19 и 21 — это три последовательных нечетных целых числа. Если n — нечетное целое число, то n+2 — следующее последовательное нечетное число, а n + 4 — третье последовательное нечетное целое число.

    Related Posts

    Leave A Comment