Четыре прямые проходят через одну и ту же точку: Attention Required! | Cloudflare

Раздел «Прямые и плоскости в пространстве» занимает важное место в стереометрии. Тест дает возможность определить уровень усвоения материала и быстро выявить пробелы в знаниях, создает условия для мотивации, повышения интереса к предмету, способствует развитию и совершенствованию самостоятельной деятельности учащихся и устраняет перегрузку домашнего задания.

 

Тест по теме «Прямые и плоскости в пространстве»

ВАРИАНТ 1

1)  Прямую, перпендикулярную любой прямой в плоскости, называют…

а) наклонной к плоскости;  б) перпендикуляром к плоскости;  в) секущей;   г) лучом. (1 балл)

2)  Наклонной к плоскости называют прямую, пересекающую плоскость и …
а) не пересекающую перпендикуляр;

б) лежащую в ней;

в) не имеющую с ней общих точек;

г) не перпендикулярную ей.   (1 балл)

3)  Параллельными называют плоскости,…

а)  не имеющие общих прямых;

б) у которых одна общая точка;

в) у которых две общих точки;

г) не имеющие ни одной общей точки.  (1 балл)

4)  Прямая, проходящая через основания перпендикуляра и наклонной, называется …
а) секущей;

б) параллельной плоскости;

в)  проекцией наклонной на плоскость;

г)  перпендикуляром к плоскости.   (1 балл)

5)  Наклонная перпендикулярна прямой в плоскости, если …

а)  перпендикуляр пересекается с проекцией наклонной на плоскость;

б)  проекция наклонной параллельна этой прямой;

в)  проекция наклонной перпендикулярна этой прямой;

г)  прямая совпадает с проекцией наклонной.   (1 балл)

6)  Если из точки вне плоскости провести к ней перпендикуляр и наклонные, то …
 а) перпендикуляр длиннее наклонной;

б)  наклонная длиннее перпендикуляра;

в)  проекция наклонной короче перпендикуляра;

г)  наклонная и ее проекция равны.    (1 балл)

7)  Прямая параллельна плоскости, если они…

а) пересекают прямую в одной и той же точке;

б) перпендикулярны одной и той же прямой;

в) удалены от данной точки на равные расстояния;

г)  пересекают плоскость в одной точке.    (1 балл)

8)  Углом между наклонной и плоскостью называют…

а)  угол между наклонной и перпендикуляром;

б)  угол между проекцией и перпендикуляром;

в)  угол между наклонной и ее проекцией; 

г)  угол между наклонной и прямой в плоскости.    (1 балл)

9)  Через … проходит единственная плоскость,
а) две точки; б) три параллельные прямые; 

в) три попарно пересекающиеся прямые;

г) четыре точки.     (1 балл)

10)  Прямая пересекает плоскость, если прямая и плоскость  . . .
 а) не имеют ни одной общей точки;

б) имеют две общие точки;

в) имеют только одну общую точку;

г) имеют три общих точки.      (1 балл)

11)  Если прямая пересекает плоскость квадрата в точке пересечения диагоналей и перпендикулярна двум смежным его сторонам, то она . . .

а)  параллельна двум другим сторонам квадрата;

б)  перпендикулярна диагоналям квадрата;

в)  параллельна диагоналям квадрата;

г)  образует с плоскостью квадрата угол в 30 градусов.    (2 балла)

12)  Если две параллельные плоскости пересечь третьей, то . . .

а)  линии пересечения равны;

б)  линии пересечения параллельны;

в)  линии пересечения перпендикулярны;

г)  плоскости совпадают.     (1 балл)

13)  Если две параллельные плоскости пересечь двумя параллельными прямыми, то …

а)  прямые пересекаются в точке;

б)  плоскости пересекаются по прямой, параллельной одной из прямых;

в)  отрезки, заключенные между плоскостями равны;

г)  плоскости перпендикулярны одной из прямых.     (1 балл)

14)  Если наклонная длиной 16 см образует с плоскостью угол в 60°, то ее проекция на плоскость равна…

а)  32 см;       б) 8 см;       в) 8  cm;       г) 256 см².     (2 балла)

15)  Наклонные АВ и АС образуют с плоскостью углы в 30° и 45° соответственно. Тогда  . . .          

а) проекция наклонной АВ длиннее проекции наклонной АС на плоскость;

б) наклонная АВ короче наклонной АС;

в)  наклонная АВ длиннее наклонной АС;

г)  проекции наклонных равны.    (1 балл)

16)    Если в прямоугольном треугольнике катет в два раза меньше гипотенузы, то …

а)  прилежащий катету угол равен 30 градусам;

б)  прилежащий катету угол равен 60 градусам;

в)  прилежащий катету угол равен 90 градусам;

г)  противолежащий угол равен 60 градусам.    (2 балла)

17)   Перпендикуляром к-плоскости называют прямую,  . . .

а)  пересекающую плоскость;

б)  перпендикулярную некоторой прямой в плоскости;

в)  перпендикулярную любой прямой в плоскости;

г)  лежащую в параллельной плоскости.     (1 балл)

18)   Та из наклонных больше, у которой   . . .

а)  проекция равна перпендикуляру;

б)  проекция больше;

в)  проекция меньше;

г)  проекция больше перпендикуляра.       (1 балл)

19)   Планиметрия — это измерения . . .

а) углов;        б) отрезков;        в) на плоскости;        г) в пространстве.    (1 балл)

20)    Угол между наклонной и плоскостью . . .

а) меньше 90 градусов;   б) больше 90 градусов;   в) равен 60 градусам;  г) тупой.    (1 балл)

21)   Проекцией наклонной на плоскость называют прямую,  . . .

а)  перпендикулярную плоскости;

б)  пересекающую наклонную под углом 30 градусов;

в)  проходящую через точки наклонной и перпендикуляра;

г)  проходящую через основания наклонной и перпендикуляра.     (1 балл)

22)    Если две точки прямой принадлежат плоскости, то прямая …

а)  называется проекцией точки на плоскость;  б) лежит в плоскости;

в)  пересекает плоскость под прямым углом;     г) называется перпендикуляром к плоскости.  (1 балл)

23)   Прямые, имеющие одну общую точку называют  . . .

а) скрещивающимися;  б) пересекающимися; в) параллельными;  г) совпадающими.    (1 балл)

24)   Две плоскости параллельны, если они  . . .

а)  перпендикулярны одной и той же прямой;

б)  параллельны одной и той же прямой;

в)  пересекаются в одной точке;

г)  пересекают одну и ту же прямую.    (1 балл)

25)   Если две прямые параллельны третьей, то они..

а) перпендикулярны друг другу;

б) параллельны между собой;

в) совпадают;    г) пересекаются.    (1 балл)

26)   Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно 10 см, а отрезок, заключенный между плоскостями равен 12 см. Тогда проекция отрезка на одну из плоскостей равна…

a)  см;        б)44см;          в) см;      г) 2см.     (2 балла)

27)    Две наклонные, длиной 10 см образуют между собой угол в 60 градусов. Расстояние между их проекциями на плоскость равно…

а) 10 см;    б) 5см;      в) см;      г) 20см.    (2 балла)

28)   Две плоскости совпадают, если они имеют  . . .

а) две общих точки;  б) три общих точки; в) одну общую прямую; г) одну общую точку.   (2 балла)

 

 Ответы:

1-б, 2-г, 3-г, 4-в, 5-в, 6-б, 7-б, 8-в, 9-в, 10-в, 11-б, 12-б, 13-в, 14-б, 15-а,в,

16-б, 17-в, 18-б, 19-в, 20-а, 21-г, 22-б, 23-б, 24-а, 25-б, 26-а, 27-а, 28-б.

Критерии оценок:

более 30 баллов — «5»

от 20 до 29 — «4»

от 14  до 19 баллов — «3»

Теорема о прямой и параллельной ей плоскости

Анна Малкова

Ей не повезло.

В школьных учебниках ее и теоремой-то редко называют. Говорят, что это «лемма». Или «следствие». Или «задача». Как будто это что-то необязательное и незначительное. А на самом деле это важнейшая теорема о прямой и параллельной ей плоскости.

Даже если в школе ее доказывают — не говорят, зачем она нужна. Доказали — и забыли.

Но при этом в стереометрии — и особенно в задачах ЕГЭ по математике — есть множество ситуаций, когда без этой важнейшей теоремы не обойтись.

Встречайте:

Теорема о прямой и параллельной ей плоскости:

Пусть прямая m параллельна плоскости . Если плоскость проходит через прямую m и пересекает плоскость по прямой c, то c параллельна m.

Для чего нам эта теорема? Например, для того, чтобы построить сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания.

1. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M, N, K. Точка N лежит на ребре

Покажем, что плоскость сечения пересекает плоскость основания пирамиды по прямой NT, параллельной MK.

Прямая MK параллельна AB, лежащей в плоскости основания ABC. Значит,

Плоскость сечения проходит прямую MK, параллельную плоскости ABC. По теореме о прямой и параллельной ей плоскости, линия пересечения плоскости сечения и плоскости AВC параллельна прямой MK. Трапеция MKNT — искомое сечение.

Таких задач, где в сечении пирамиды получается трапеция (или параллелограмм), в вариантах Профильного ЕГЭ очень много.

2. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 8, точка K — середина бокового ребра AP.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.

б) Найдите площадь сечения.

Пусть точка M — середина AB. Тогда как средняя линия

Пусть точка N — середина PD. Поскольку KN — средняя линия и тогда

Построим сечение пирамиды плоскостью KMN. Пусть плоскости KMN и ABC пересекаются по прямой МE. Покажем, что

По теореме о прямой и параллельной ей плоскости,

Это значит, что Прямая ME содержит точку О, являющуюся проекцией вершины P на плоскость ABC. Трапеция KNEM — искомое сечение.

б) Найдём площадь сечения.

где — высота трапеции KNEM.

Пусть H — середина KN,

тогда

Есть еще одна теорема — такая же полезная, как и теорема о прямой и параллельной ей плоскости. Вот она:

Теорема. Пусть плоскости и пересекаются по прямой р. Плоскость параллельна прямой р. Тогда она пересекает плоскости и по прямым, параллельным .

Как ее назвать? Согласитесь, сложно придумать короткое название. Для себя (не для оформления на экзамене!) можно запомнить эту картинку как «домик» или «книжечку». Главное — запомнить формулировку и увидеть, как теорема применяется в решении задач.

Уравнение прямой

Линия — это бесконечная линия, которая образует кратчайший путь между двумя точками.

Уравнение прямой на плоскости

Общая форма линейного уравнения

Любое уравнение прямой на плоскости можно записать в общем виде

A x + B y + C = 0

, где A и B не равны нулю.

Форма перехвата наклона линейного уравнения

Общее уравнение прямой, когда B ≠ 0, может быть приведено к следующей форме

y = k x + b

, где k — это наклон линии , а b — это y-пересечение . Наклон линии равен тангенсу угла между этой линией и положительным направлением оси X. Y-координата — это место, где линия пересекает ось Y.

k = tg φ

Уравнение прямой, проходящей через две разные точки на плоскости

Если линия проходит через две точки A (x ₁ , y ₁ ) и B (x ₂ , y ₂ ), так что x ₁ x ₂ и y ₁ ≠ y ₂ , то уравнение линии можно найти с помощью следующей формулы

Параметрические уравнения прямой на плоскости

Параметрическое уравнение линии можно записать как

	х = 1 т + х 0
	y = m t + y 0

, где N (x ₀ , y ₀ ) — это координаты точки, лежащей на прямой, a = {l, m} — координаты вектора направления линии.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Если вам известны координаты точки A (x ₀ , y ₀ ) Если вам известны координаты точки n = {l; m}, тогда уравнение прямой можно записать в канонической форме, используя следующую формулу

Пример 1. Найти уравнение прямой, проходящей через две точки A (1, 7) и B (2, 3).

Решение. Используем формулу для уравнения прямой, проходящей через две точки

x — 12 — 1 = y — 73 — 7

Из этого уравнения мы выражаем y через x

x — 11 = y — 7-4

Найдите форму пересечения уклона линейного уравнения.

Умножьте уравнения на -4.

у — 7 = -4 (х — 1)

у = -4х + 11

Найти параметрические уравнения этой линии

Мы используем MN в качестве вектора направления линии.

MN = {2 — 1; 3 — 7} = {1; -4}

Используем координаты точки М в параметрических уравнениях прямой

x = t + 1y = -4t + 7

Решение. Нельзя использовать Уравнение прямой, проходящей через две разные точки, так как M _y — N _y = 0.

Найдите параметрические уравнения этой линии. Мы используем MN в качестве вектора направления линии.

MN = {2 — 1; 3 — 3} = {1; 0}

Используем координаты точки М в параметрических уравнениях прямой

x = t + 1y = 3

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две разные точки в пространстве

Если линия проходит через две точки A (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и B (x ₂ , y ₂ , z ₂ ), так что x ₁ X ₂ , y ₁ , y ₂ и z ₁ , z ₂ , тогда уравнение для линии можно найти с помощью следующей формулы

Параметрические уравнения прямой в пространстве

Параметрическое уравнение линии можно записать как

	х = 1 т + х 0
	y = m t + y 0
	z = n t + z 0

где (x ₀ , y ₀ , z ₀ ) — координаты точки, лежащей на прямой, {l; м; n} — координаты вектора направления линии.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если вам известны координаты точки A (x ₀ , y ₀ , z ₀ ), лежащей на прямой, и вектора направления линии n = {l; м; n}, тогда уравнение прямой можно записать в канонической форме, используя следующую формулу.

Прямая как пересечение двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то уравнение прямой можно найти как решение следующей системы уравнений

	A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0
	A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

при условии, что не было равенства