Превращение энергии при колебаниях пружинного маятника — урок. Физика, 9 класс.

Рассмотрим процесс превращения энергии при колебательном движении идеального горизонтального пружинного маятника.

 

 

Будем считать, что в системе сил трения и сил сопротивления нет.

Когда эта система находится в равновесии, и никакого колебания не происходит, скорость тела равна нулю, и отсутствует деформация пружины. В этом случае энергии у данного маятника нет.

 

 

Выводя тело из положения равновесия, например, сжимая пружину на некоторую величину, ему сообщается некоторый запас потенциальной энергии:

 

Eп=kx22.

 

 

Если теперь отпустить груз, не удерживать его, то он начнет свое движение к положению равновесия, пружина начнет выпрямляться и деформация пружины будет уменьшаться. Следовательно, будет уменьшатся и ее потенциальная энергия.

Скорость же тела будет увеличиваться, и по закону сохранения энергии потенциальная энергия пружины будет превращаться в кинетическую энергию движения тела:

 

Eк=mv22.

 

 

В момент прохождения те­лом положения равновесия его по­тенциальная энергия равна нулю, а кинетическая будет максимальна.

 

 

Потом вступает в действие явление инерции. Тело, которое обладает некоторой массой, по инерции проходит точку равновесия. Скорость тела начинает уменьшаться, а деформация, удлинение пружины, увеличивается. Следовательно, кине­тическая энергия тела убывает, а потенциальная наоборот, возрастает.

 

 

В точке максимального отклонения тела его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная — максимальна.

 

 

Таким образом, при колебаниях периодически проис­ходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обрат­но.

 

Обрати внимание!

Полная механическая энергия пружинного маятника в каждой точке его траектории постоянна и равна сум­ме его кинетической и потенци­альной энергий:

 

E=mv22+kx22.

Если для вертикального пружинного маятника выбрать систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю, то все описанное выше для горизонтального маятника можно применить для данного маятника.

www.yaklass.ru

Математический маятник | Объединение учителей Санкт-Петербурга

Колебания математического маятника.

Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити (физическая модель).

Будем рассматривать движение маятника при условии, что угол отклонения мал, тогда, если измерять угол в радианах, справедливо утверждение: 

.

На тело действуют сила тяжести и сила натяжения нити. Равнодействующая этих сил имеет две составляющие: тангенциальную, меняющую ускорение по величине, и нормальную, меняющую ускорение по направлению (центростремительное ускорение, тело движется по дуге).

Т.к. угол мал, то тангенциальная составляющая равна проекции силы тяжести на касательную к траектории: . Угол в радианах равен отношению длины дуги к радиусу (длине нити), а длина дуги приблизительно равна смещению (x ≈ s): .

Сравним полученное уравнение с уравнением колебательного движения .

Видно, что  или  — циклическая частота при колебаниях математического маятника.

Период колебаний  или  (формула Галилея).

Формула Галилея 

Важнейший вывод: период колебаний математического маятника не зависит от массы тела!

 

Аналогичные вычисления можно проделать с помощью закона сохранения энергии.

Учтем, что потенциальная энергия тела в поле тяготения равна , а полная механическая энергия равна максимальной потенциальной или кинетической:

Запишем закон сохранения энергии и возьмем производную от левой и правой частей уравнения: .

Т.к. производная от постоянной величины равна нулю, то  

.

Производная суммы равна сумме производных:   и      .

 

Следовательно: , а значит .

 

www.eduspb.com

Математический маятник

 

Математический маят­ник — это материальная точка, подвешенная на невесомой и нерас­тяжимой нити, находящейся в поле тяжести Земли. Математический маятник — это идеализированная модель, правильно описывающая реальный маятник лишь при определенных условиях. Реальный ма­ятник можно считать математическим, если длина нити  много больше размеров подвешенного на ней тела, масса нити ничтожна мала по сравнению с массой тела, а деформации нити настолько малы, что ими вообще можно пренебречь.

Колебательную систему в данном случае образуют нить, присо­единенное к ней тело и Земля, без которой эта система не могла бы служить маятником.

,

где ахускорение, g – ускорение свободного падения, х — смещение, l – длина нити маятника.

Это уравнение называется урав­нением свободных колебаний математического маятника.  Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения:

1)  будем считать, что силы трения, действующие на тело, пре­небрежимо малы и потому, их можно не учитывать;

2)   рассматриваются лишь малые колебания маятника с небольшим углом размаха.

Свободные колебания любых систем во всех слу­чаях описываются аналогичными уравнениями.

Причинами свободных колебаний математическо­го маятника являются:

1.  Действие на маятник силы натяжения и силы тяжести, пре­пятствующей его смещению из положения равновесия и заставляю­щей его снова опускаться.

2. Инертность маятника, благодаря которой он, сохраняя свою скорость, не останавливается в положении равновесия, а проходит через него дальше.

Период свободных колебаний математического ма­ятника

.

Период свободных колебаний математического маятника не за­висит от его массы, а определяется лишь длиной нити и ускорением свободного падения в том месте, где находится маятник.

 

 

Превращение энергии при гармонических колебаниях

 

При гармонических колебаниях пружинного маятника проис­ходят превращения потенциальной энергии упруго деформированного телав его кинетическую энергию, гдеkкоэффициент упругости,х — модуль смещения маятника из поло­жения равновесия,m— масса маятника,v— его скорость. В соот­ветствии с уравнением гармонических колебаний:

,.

Полная энергия пружинного маятника:

.

Полная энергия для математического маятника:

В случае математического маятника

Превращения энергии при колебаниях пружинного маятника происходи в соответствии с законом сохранения механической энергии (). При движении маятника вниз или вверх от положения равновесия его потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая — уменьшается. Когда маятник проходит положение равно­весия (

х = 0), его потенциальная энергия равна нулю и кинетическая энергия маятника имеет наибольшее значение, равное его полной энергии.

Таким образом, в процессе свободных колебаний маятника его потенциальная энергия превращается в кинетическую, кинетическая в потенциальную, потенциальная затем снова в кинетическую и т. д. Но полная механическая энергия при этом остается неизменной.

 

Вынужденные колебания. Резонанс.

 

Колебания, происходящие под действием внеш­ней периодической силы, называются вынужден­ными колебаниями. Внешняя периодическая си­ла, называемая вынуждающей, сообщает колеба­тельной системе дополнительную энергию, которая идет на восполнение энергетических потерь, проис­ходящих из-за трения. Если вынуждающая сила изменяется во времени по закону синуса или коси­нуса, то вынужденные колебания будут гармониче­скими и незатухающими.

В отличие от свободных колебаний, когда система получает энергию лишь один раз (при выведении системы из со­стояния равновесия), в случае вынужден­ных колебаний система поглощает эту энергию от источника внешней периоди­ческой силы непрерывно. Эта энергия восполняет потери, расходуемые на пре­одоление трения, и потому полная энергия колебательной системы no-прежнему ос­тается неизменной.

Частота вынужденных колебаний равна часто­те вынуждающей силы. В случае, когда частота вынуждающей силы υ совпадает с собственной ча­стотой колебательной системы υ0, происходит рез­кое возрастание амплитуды вынужденных колеба­ний —

резонанс. Резонанс возникает из-за того, что при υ = υвнешняя сила, действуя в такт со свободными колебаниями, все время сонаправлена со скоростью колеблющегося тела и совершает по­ложительную работу: энергия колеблющегося те­ла увеличивается, и амплитуда его колебаний ста­новится большой. График зависимости амплитуды вынужденных колебаний Ат от частоты вынужда­ющей силы υ  представлен на рисунке, этот график называется резонансной кривой:

 

 

Явление резонанса играет большую роль в ря­де природных, научных и производственных про­цессов. Например, необходимо учитывать явление резонанса при проектировании мостов, зданий и других сооружений, испытывающих вибрацию под нагрузкой, в противном случае при определенных условиях эти сооружения могут быть разрушены.

 

studfiles.net

2. Превращение энергии при колебаниях математического маятника

Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника.

 

Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

 

 

При колебаниях математического маятника изменяется высота \(h\) грузика относительно положения равновесия и изменяется его скорость \(υ. \)

 

Причем при максимальных смещениях высота достигает максимального значения hmax, а скорость становится равной нулю, в положении равновесия наоборот: высота тела равна нулю, а скорость достигает максимального значения vmax.

 

Так как высота тела определяет его потенциальную энергию

 

Eп=mgh,

 

а скорость — кинетическую энергию

 

Eк=mv22,

 

то вместе с изменением высоты и скорости, будут изменяться и энергии.

 

Когда маятник находится в точке, где его смещение от положения равновесия максимально (крайняя левая (или крайняя правая) точка траектории его движения — точка \(A\)), то кинетическая энергия маятника равна минимально возможному значению — нулю:

 

Eкmin=0,

 

а потенциальная энергия максимальна и равна:

 

Eпmax=mghmax.

 

Таким образом, полная механическая энергия маятника в крайних левой и правой точках равна:

 

E1=Eпmax+Eкmin=mghmax.

 

Когда маятник находится в какой-либо промежуточной точке между крайней левой или правой точками (точками, где смещение маятника от положения равновесия максимально) и положением равновесия (точка \(B\)), то его полная механическая энергия \(E\) равна:

 

E2=Eп+Eк=mgh+mv22.

 

При этом потенциальная и кинетическая энергии принимают некоторые промежуточные значения большие \(0\) и меньшие максимального значения:

 

Eп=mgh<mghmax,

 

Eк=mv22<mvmax22.

 

Когда маятник проходит положение равновесия (точка \(O\)), то его кинетическая энергия максимальна и равна

 

Eкmax=mvmax22,

 

а потенциальная энергия принимает нулевое значение

 

Eпmin=0.

 

Тогда полная механическая энергия в точке равновесия равна:

 

E3=Eпmin&plus;Eкmax,

 

 

E3=0&plus;mvmax22=mvmax22.

 

Таким образом, можно составить цепочку превращений одного вида энергии в другой при движении математического маятника от крайней левой точки до положения равновесия:

 

точка \(A\)→ точка \(B\)→ точка \(O\),

 

Eпmax→Eп&plus;Eк→Eкmax,

 

 

mghmax→mgh&plus;mv22→mvmax22.

 

При движении математического маятника от положения равновесия до крайней правой точки происходит обратное превращение энергии: кинетическая энергия уменьшается от своего максимального значения до нуля, а потенциальная увеличивается от нуля до своего максимального значения.

 

Обрати внимание!

Полная механическая энергия математического маятника в любой точке траектории его движения постоянна.

www.yaklass.ru

Запас — энергия — маятник

Запас — энергия — маятник

Cтраница 1

Запас энергии маятника выбирают таким образом, чтобы работа разрушения составляла не менее 10 % и не более 80 % его запаса энергии.  [1]

Проверка запаса энергии маятника производится следующим образом.  [3]

Вычислить разность между запасом энергии маятника и энергией после его взлета точно нельзя, так как при определении первого могла быть допущена ошибка.  [4]

При подъеме маятника в горизонтальное положение запас энергии маятника равен Р1 и перемещение указателя по вертикали равно расстоянию h ( см. фиг.  [5]

Шкала прибора проградуирована в килограммометрах и по ней непосредственно отсчитывается как запас энергии взведенного маятника, так и избыточный запас энергии после разрушения образца. Разность этих двух величин определяет работу, затраченную на разрушение образца.  [6]

Маятник состоит из тяжелого шарика массой т, подвешенного на нити длиной / см. Определить запас энергии маятника, если известно, что наибольший угол его отклонения от вертикального положения а.  [7]

При подъеме маятника в рабочее положение ролик поднимает планку 18, а вместе с ней я шкалу на высоту, пропорциональную запасу энергии маятника во взведенном состоянии.  [8]

Величина действительной работы лежит между значениями, полученными из условий упругого и неупругого соударений, и определяется как среднее арифметическое из величин WZN и WZN. Запас энергии маятника выбирают таким образом, чтобы действительная работа удара составляла минимум 20 %, а максимум — 80 % от запаса энергии маятника.  [9]

Если образец не сломался, что может быть в случае недостаточного запаса энергии копра или в случае очень вязкого материала ( рис. 12.6), то в протоколе испытания отмечается не сломался. Для излома другого образца увеличивается запас энергии маятника поднятием его на большую высоту.  [10]

Если образец не сломался, что может быть в случае недостаточного запаса энергии копра или в случае очень вязкого материала, то в протоколе испытания отмечается Не сломался. Для излома другого образца увеличивается запас энергии маятника поднятием его на большую высоту.  [11]

Метод Отани [42] предусматривает испытания каждого образца на копре в два этапа. На первом этапе необходимо получить нераспространившуюся трещину, что достаточно сложно, так как трудно установить запас энергии маятника, при котором возникла бы трещина нужного размера. На втором этапе образец с трещиной повторным нагружением доводится до разрушения. Работа разрушения образца с трещи ной глубиной в 1 мм принимается за работу распространения трещины ар. Достоинством метода является непосредственное, прямое определение ар на образцах с исходными трещинами.  [12]

Величина действительной работы лежит между значениями, полученными из условий упругого и неупругого соударений, и определяется как среднее арифметическое из величин WZN и WZN. Запас энергии маятника выбирают таким образом, чтобы действительная работа удара составляла минимум 20 %, а максимум — 80 % от запаса энергии маятника.  [13]

Копры комплектуются цифропечатающей машиной, микрокаль-улятором и блоком согласования, могут иметь пьезоэлектрический регистратор. Подъем и возврат маятника в крайнее верхнее юяожение с фиксацией заданного угла зарядки его осуществляется автоматически подъемным пневматическим устройством. Запас готенциальной энергии маятника определяется использованием щного из двух сменных молотов и составляет 300 или 150 Дж, со-яветственно диапазоны измерений энергии 30 — 240 или 5 — 120 Дж.  [14]

Высокие требования предъявляются к зажимам для крепления образца. Если образец плохо закреплен в зажимах, это приводит к перемещению его в зажиме и потере энергии на трение. Вторым источником потерь является работа, затраченная на выброс подвижного зажима с остатками образца, поэтому масса поперечины строго нормируется: при запасе энергии маятника до 4 Дж применяется поперечина массой 15 или 30 г; при запасе энергии от 4 до 1 5 Дж масса поперечины должна составлять 30 или 60 г и при более значительных запасах энергии — 60 или 120 г. Поперечина должна быть изготовлена из такого материала, в котором при ударе не возникает пластических деформаций. Энергию, затраченную на выброс, определяют в ходе холостых испытаний без образца.  [15]

Страницы:      1    2

www.ngpedia.ru

Полная механическая энергия

Полная механическая энергия характеризует движение и взаимодействие тел, следовательно, зависит от скоростей и взаимного расположения тел.

Полная механическая энергия замкнутой механической системы равна сумме кинетической и потенциальной энергии тел этой системы:

Wполн. = W кин.+ Wпот.

(5)

Закон сохранения энергии

Закон сохранения энергии — фундаментальный закон природы.

В ньютоновской механике закон сохранения энергии формулируется следующим образом:

Другими словами:

Классическими примерами этого утверждения являются: пружинный маятник и маятник на нити (с пренебрежимо малым затуханием). В случае пружинного маятника в процессе колебаний потенциальная энергия деформированной пружины (имеющая максимум в крайних положениях груза) переходит в кинетическую энергию груза (достигающую максимума в момент прохождения грузом положения равновесия) и обратно. В случае маятника на нити потенциальная энергия груза переходит в кинетическую энергию и обратно.

2 Оборудование

2.1 Динамометр.

2.2 Штатив лабораторный.

2.3 Груз массой 100 г – 2шт.

2.4 Линейка измерительная.

2.5 Кусочек мягкой ткани или войлока.

3 Теоретическое обоснование

Схема экспериментальной установки приведена на рисунке 1.

Динамометр укреплен вертикально в лапке штатива. На штатив по­мещают кусочек мягкой ткани или войлока. При подвешивании к ди­намометру грузов растяжение пружины динамометра определяется положением указателя. При этом максимальное удлинение (или стати­ческое смещение) пружины х0 возникает тогда, когда сила упругости пружины с жесткостью k уравновешивает силу тяжести груза массой т:

kx0=mg, (1)

где g = 9,81— ускорение свободного падения.

Следовательно,

. (2)

Статическое смещение характеризует новое положение равновесия О’ нижнего конца пружины (рис. 2).

Если груз оттянуть вниз на расстояние А от точки О’ и отпустить в точке 1, то возникают периодические колебания груза. В точках 1 и 2, называемых точками поворота, груз останавливается, изменяя на­правление движения на противоположное. Поэтому в этих точках ско­рость груза v = 0.

Максимальной скоростью vmax груз будет обладать в средней точ­ке О’. На колеблющийся груз действуют две силы: постоянная сила тяжести mg и переменная сила упругости kx. Потенциальная энергия тела в гравитационном поле в произвольной точке с координатой х равна mgx. Потенциальная энергия деформированного тела соответственно равна .

При этом за нуль отсчета потенциальной энергии для обеих сил принята точка х = 0, соответствующая положению указателя для не­растянутой пружины.

Полная механическая энергия груза в произвольной точке скла­дывается из его потенциальной и кинетической энергии. Пренебрегая силами трения, воспользуемся законом сохранения полной механиче­ской энергии.

Приравняем полную механическую энергию груза в точке 2 с коор­динатой -(х0-А) и в точке О’ с координатой 0:

(3)

Раскрывая скобки и проводя несложные преобразования, приведем формулу (3) к виду

(4)

Тогда модуль максимальной скорости грузов

(5)

Жесткость пружины можно найти, измерив статическое смещение х0. Как следует из формулы (1),

(6)

Соответственно

(7)

studfiles.net

Пружинный маятник | Объединение учителей Санкт-Петербурга

Колебания пружинного маятника.

В вертикальном положении на груз на пружине действуют сила тяжести и сила упругости пружины. Под действием силы тяжести пружина растягивается на х1, а затем мы отклоняем его от этого положения на х.

Тогда согласно второму закону Ньютона, учитывая знаки проекций, получим: . Но ,

тогда: .

Или  — ускорение тела, колеблющегося на пружине, не зависит от силы тяжести, действующей на это тело. Сила тяжести только приводит к изменению положения равновесия.

Выразим ускорение:.

Сравним полученное уравнение с уравнением колебательного движения .

Видно, что  или  — циклическая частота при колебаниях пружинного маятника.

Период колебаний  или  (формула Гюйгенса).

Формула Гюйгенса: 

Аналогичные вычисления можно проделать с помощью закона сохранения энергии. Учтем, что потенциальная энергия упруго деформированного тела равна, а полная механическая энергия равна максимальной потенциальной или кинетической.

 

Запишем закон сохранения энергии и возьмем производную от левой и правой частей уравнения:.

Т.к. производная от постоянной величины равна нулю, то .

Производная суммы равна сумме производных:  и .

Следовательно:,  а значит .

 

В данном случае этот способ более трудоемкий, но он более общий.

 

www.eduspb.com