Арифметическая прогрессия на примерах

Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии )

в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще называют шагом или разницей прогрессии.

Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле

1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии

Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является арифметической прогрессией . По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность.

Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до следующей

В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства

Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах.

2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях.

3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k-го ее члена, то в Вам пригодится следующая формула суммы

4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная с k-го номера . Для этого используйте формулу

На этом теоретический материал заканчивается и переходим к решению распространенных на практике задач.

 

Пример 1. Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;…

Решение:

Согласно условию имеем

Определим шаг прогрессии

По известной формуле находим сороковой член прогрессии

 

Пример2. Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом . Найти первый член прогрессии и сумму десяти.

Решение:

Распишем заданные элементы прогрессии по формулам

От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии

Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии

Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии

Не применяя сложных вычислений ми нашли все искомые величины.

 

Пример 3. Арифметическую прогрессию задано знаменателем и одним из ее членов . Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых.

Решение:

Запишем формулу сотого элемента прогрессии

и найдем первый

На основе первого находим 50 член прогрессии

Находим сумму части прогрессии

и сумму первых 100

Сумма прогрессии равна 250.

 

Пример 4.

Найти число членов арифметической прогрессии, если:

а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.

Решение:

Запишем уравнения через первый член и шаг прогрессии и определим их

Полученные значения подставляем в формулу суммы для определения количества членов в сумме

Выполняем упрощения

и решаем квадратное уравнение

Из найденных двух значений условии задачи подходит только число 8 . Таким образом сумма первых восьми членов прогрессии составляет 111.

 

Пример 5.

Решить уравнение

1+3+5+…+х=307.

Решение: Данное уравнение является суммой арифметической прогрессии. Выпишем первый ее член и найдем разницу прогрессии

Найденные величины подставим в формулу суммы прогрессии для отыскания числа слагаемых

Как и в предыдущем задании, выполним упрощения и решим квадратное уравнение

Выбираем более логичное из двух значений . Имеем, что сумма 18 членов прогрессии с заданными величинами а1=1, d=2 равна Sn=307.

На этом знакомство с арифметической прогрессией только начинается. В книгах вы найдете много подобных задач, методика решений которых не была рассмотрена . Приведенного материала должно хватить Вам с головой, чтобы разобраться и решить задачи самостоятельно. Если же нет то обращайтесь и мы Вам поможем с вычислениями.

Похожие материалы:

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

      Определение 1. Числовую последовательность

a1 ,  a2 , … an , …

называют арифметической прогрессией, если справедливы равенства

a2 a1 = a

3 a2 = a4 a3 =
= … = an an – 1 =…

      Определение 2. Если последовательность чисел

a1 ,  a2 , … an , …

является арифметической прогрессией, то число d, определенное формулой

d = a2 a1 = a3 a2 =
= a4 a3 = … =
= an an – 1 =… ,

называют разностью этой арифметической прогрессии.

      Из определений 1 и 2 вытекает, что для того, чтобы задать арифметическую прогрессию, нужно знать два числа, например, первый член арифметической прогрессии

a1 и разность арифметической прогрессии   d.   Если числа a1 и d известны, то все остальные члены прогрессии можно найти по формулам:

a2 = a1 + d ,
a3 = a2 + d ,
an = an – 1 + d
(1)

      По этой причине многие задачи на арифметическую прогрессию удобно решать при помощи составления системы уравнений для определения чисел a1 и d .

      Из формул (1) вытекает общая формула

an = a 1 + d ( n – 1),      
n = 1, 2, 3, …
(2)

позволяющая по любому номеру n вычислить член арифметической прогрессии an , зная первый член и разность прогрессии. Эта формула носит название формулы общего члена арифметической прогрессии.

      Из формулы (2) вытекает утверждение, называемое характеристическим свойством арифметической прогрессии. Это свойство формулируется так: — «Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому своих соседних членов». Таким образом, характеристическое свойство арифметической прогрессии утверждает, что при справедливо равенство

      Из формулы (2) также вытекают следующие соотношения:

a1 + an = a2 + an – 1

=
= a3 + an – 2 = … ,

которые используются, в частности, при выводе формулы для суммы первых n членов арифметической прогрессии, и при решении различных примеров и задач.

      Если для суммы первых n членов арифметической прогрессии ввести обозначение

Sn = a1 + a2 + … + an  ,      
n
= 1, 2, 3, … ,

то будет справедливо равенство

которое называется формулой для суммы первых n членов арифметической прогрессии.

      С примерами решений различных задач по теме «Арифметическая прогрессия» можно ознакомиться в нашем учебном пособии «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Арифметическая прогрессия (ЕГЭ — 2021)

На самом деле формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом еще в 3 веке, да и на протяжении всего этого времени остроумные люди вовсю пользовались свойствами арифметической прогрессии.

Например, представь Древний Египет и самую масштабную стройку того времени – строительство пирамиды… На рисунке представлена одна ее сторона.

Где же здесь прогрессия скажешь ты? Посмотри внимательно и найди закономерность в количестве песчаных блоков в каждом ряде стены пирамиды.

Чем не арифметическая прогрессия? Посчитай, сколько всего блоков необходимо для строительства одной стены, если в основание кладется \( \displaystyle 6\) блочных кирпичей.

Надеюсь, ты не будешь считать, водя пальцем по монитору, ты же помнишь последнюю формулу и все, что мы говорили об арифметической прогрессии?

В данном случае прогрессия выглядит следующим образом:

\( \displaystyle 6;\text{ }5;\text{ }4;\text{ }3;\text{ }2;\ 1\).

Разность арифметической прогрессии \( \displaystyle ~=\text{ }d\text{ }=\text{ }-1\).

Количество членов арифметической прогрессии \( \displaystyle=6\).

Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

Разность арифметической прогрессии \( \displaystyle ~=\text{ }d\text{ }=\text{ }-1\).

Количество членов арифметической прогрессии \( \displaystyle=6\).

Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

Способ 1.

\( \begin{array}{l}{{S}_{n}}=\frac{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} \right)\cdot n}{2}\\~~{{S}_{6}}=\frac{\left( 6+1 \right)\cdot 6}{2}=\frac{7\cdot 6}{2}=21\\~\end{array}\)

Способ 2.

\( \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{2{{a}_{1}}+d\left( n-1 \right)}{2}\cdot n\)

\( {{S}_{n}}=\frac{2\cdot 6+1\left( 6-1 \right)}{2}\cdot 6=\frac{12+5\cdot 6}{2}=\frac{7\cdot 6}{2}=\frac{42}{2}=21\)

А теперь можно и на мониторе посчитать: сравни полученные значения с тем количеством блоков, которое есть в нашей пирамиде.

Сошлось?

Молодец, ты освоил сумму \( \displaystyle n\)-ных членов арифметической прогрессии.

Конечно, из \( \displaystyle 6\) блоков в основании пирамиду не построишь, а вот из \( \displaystyle 60\)?

Попробуй рассчитать, сколько необходимо песчаных кирпичей, чтобы построить стену с таким условием.

Справился?

Верный ответ – \( \displaystyle 1830\) блоков:

\( \begin{array}{l}{{S}_{n}}=\frac{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} \right)\cdot n}{2}\\{{S}_{60}}=\frac{\left( 60+1 \right)\cdot 60}{2}=\frac{61\cdot 60}{2}=61\cdot 30=1830.\end{array}\)

9.3.2. Арифметическая прогрессия. Теория.

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом, называют арифметической прогрессией. Число, которое каждый раз прибавляют к предыдущему числу, называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой d.

Так, числовая последовательность а1;  а2;  а3;  а4;  а5; … аn будет являться арифметической  прогрессией, если а2 = а1 + d;

а3 = а2 + d;

a4 = a3 + d;

a5 = a4 + d;

………….

an = an-1 + d

Говорят, что дана арифметическая прогрессия с общим членом

аn. Записывают: дана арифметическая  прогрессия {an}.

Арифметическая прогрессия считается определенной, если известны ее первый член a1 и разность d.

Примеры арифметической прогрессии

Пример 1.    1; 3; 5; 7; 9;…      Здесь а1 = 1; d = 2.

Пример 2.   8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;…   Здесь а1 = 8; d =-3.

Пример 3.   -16; -12; -8; -4;…    Здесь а1 = -16; d = 4.

Заметим, что каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов.

В 1 примере второй член 3 =(1+5):2  ;  т.е. а2 = (а13):2;  третий член   5 =(3+7):2;

т. е. а3 = (а24):2.

Значит, справедлива формула:

Но, на самом деле, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому не только соседних с ним членов, но и равноотстоящих от него членов, т. е.

Обратимся  примеру 2.  Число -1 является четвертым членом арифметической прогрессии и одинаково отстоит от первого и  седьмого членов (а1 = 8, а7 = -10).

По формуле (**) имеем:

Выведем формулу n- го члена арифметической прогрессии.

Итак, второй член арифметической прогрессии мы получим, если к первому прибавим разность d; третий член получим, если ко второму прибавим разность d или к первому члену прибавим две разности d; четвертый член получим, если к третьему прибавим разность d или к первому прибавим три разности d и так далее.

Вы уже догадались: а2 = а1 + d;

a3 = a2 + d = a1 + 2d;

a4 = a3 + d = a1 + 3d;

…………………….

an = an-1 + d = a1 + (n-1) d.

Полученную формулу an = a1 + (n-1)d               (***)

называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Теперь поговорим о том, как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии. Обозначим эту сумму через Sn.

От перестановки мест слагаемых значение суммы не изменится, поэтому ее можно записать двумя способами.

Sn = a1 + a2 + a3  + a4 + … + an-3 + an-2 + an-1+ an                    и

Sn = an + an-1 + an-2 + an-3 + ……+ a4 + a3 + a2 + a1

Сложим почленно эти два равенства:

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + (a4 + an-3) + …

Значения в скобках равны между собой, так как являются суммами равноотстоящих членов ряда, значит, можно записать: 2Sn = n· (a1 + an).

Получаем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии.

                         (****)

Если заменим аn  значением а1 + (n-1) d    по формуле  (***), то получим еще одну формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии.

                (*****)

Что такое арифметическая прогрессия? Основные понятия

        Арифметическая прогрессия — это очень и очень простое понятие. И это отнюдь не пустые слова с сомнительной целью утешить, успокоить и приободрить слабо подготовленного ученика. Арифметическая прогрессия — это и вправду просто! Всё-таки сомневаетесь? Напрасно! Чуть ниже сами убедитесь. Если рискнёте и… почитаете.)

        В этом небольшом уроке вы:

        а) прочувствуете и поймёте смысл арифметической прогрессии;

        б) ознакомитесь и разберётесь с базовыми терминами и обозначениями, относящимися к арифметической прогрессии;

        в) научитесь решать простенькие задачки по арифметической прогрессии.

        Ну что, трогаемся в путь?)

        Наше знакомство с прогрессиями (и арифметической — в том числе) мы начнём… нет, не со строгого определения арифметической прогрессии! А начнём мы с такого ключевого понятия, как последовательность.

 

Числовые последовательности, знакомство.

        В житейском плане слово «последовательность» вопросов, как правило, ни у кого не вызывает. Это длинное слово всего лишь означает, что что-то следует за чем-то. Например, последовательность действий, последовательность событий, последовательность дней недели, времён года и так далее.

        Или когда кто-то следует за кем-то. Например, последовательность людей в очереди. Или последовательность коров на тропе к водопою.)

        Из чего состоит любая последовательность? Тут тоже всё логично. Если идёт речь о последовательности дней календаря, то из дней, если об очереди покупателей на кассе, то — из покупателей. И так далее.)

        Но… математика — наука строгая. По законам природы устроена. И работает со всеми объектами сразу. Поэтому ей должно быть без разницы, что (или кто) под этими объектами скрывается — дни, покупатели, спортсмены, коровы, свиньи… Для неё всё едино: последовательность — и всё тут.) Как можно одним словом описать любой объект, из которого состоит любая последовательность? Очень просто: член последовательности! И всё.) Кратко и точно!

        Под ёмким словом «член» скрываются все объекты всех последовательностей махом — и дни, и месяцы, и покупатели, и коровы, и гуси — всё что угодно! Вот из каких объектов конкретная последовательность состоит, те объекты и являются её членами.

        Например, если идёт речь о последовательности календарных месяцев, то январь — член этой последовательности. И июнь — член. И ноябрь — тоже член, да.)

        Математика, как правило, работает с числовыми последовательностями. Что это за зверь? Всё просто, как в сказке. Это последовательность, членами которой являются числа. Совершенно любые! Целые, дробные, отрицательные, иррациональные — какие угодно!

        Например, последовательность натуральных чётных чисел:

        2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …

       

        Или последовательность цифр в десятичной записи числа «пи»:

        3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, …

       

        И так далее. Насочинять и понаписать можно всё что угодно, даже вообще безо всякой логики. Что-нибудь типа:

        -2; 0; -0,12; 33; 7; -1,2; …

        Как вы видите, в некоторых последовательностях имеется какая-то закономерность, а в некоторых — нет. Всё зависит от моей (или вашей) фантазии.)

        Последовательности (в том числе и числовые, да) бывают конечные и бесконечные. Вышеприведённые примеры — это примеры бесконечных числовых последовательностей. С неограниченным количеством членов.

        А вот последовательность, скажем, месяцев в году — конечна. Ибо количество членов в ней, как можно догадаться, равно 12. То есть, конечному числу.

        Или, например, последовательность натуральных двузначных чисел, делящихся на три:

        12, 15, 18, 21, …, 99.

        Эта последовательность — тоже конечна, да.) Ибо первый член этой последовательности — это число 12, а последний член — это число 99. А вот дальше идут уже трёхзначные числа…

        Приводя примеры самых разных последовательностей, я периодически употреблял слова: «первый член», «последний член», «количество членов»… Не задумывались, почему? Ответ прост: каждый член последовательности (любой!) стоит на своём месте! Всегда. Есть первый член, есть десятый, есть тридцать пятый — и так далее… Нумерация членов — строго по порядку! Без пропусков. Если же какие-то члены переставить местами (хотя бы два), то получится, вообще говоря, уже другая последовательность. Со своими правилами и порядками, да…

        Одним словом, любая числовая последовательность — это упорядоченный (или занумерованный) набор чисел. И всё.

        Понятие последовательности — более широкое, нежели пока малоизвестное нам понятие прогрессии (неважно, арифметической или геометрической). Ибо каждая прогрессия — это последовательность чисел, но не каждая последовательность чисел — это прогрессия. Как говорится, всякая селёдка — рыба, но не всякая рыба — селёдка.)

        Более подробно и широко свойства и поведение самых разных (и, чего скрывать, порой очень интересных и необычных) числовых последовательностей изучается уже в ВУЗе, в курсе матанализа. В школе же изучаются лишь две самые простые их разновидности. Это, как вы уже, наверное, догадались, арифметическая и геометрическая прогрессии.

        Арифметическая прогрессия попроще будет. Так что именно с неё и начнём.

 

Что такое арифметическая прогрессия? Понятие арифметической прогрессии.

        Начнём наше знакомство, как обычно, с самого элементарного и примитивного. Для начала я запишу незаконченную последовательность чисел:

        1, 2, 3, 4, 5, …

        Сможете назвать, какие числа пойдут дальше, вслед за пятёркой? Любой э-э-э-э… в общем, даже человек, далёкий от математики, догадается, что дальше пойдут числа 6, 7, 8 и так далее.)

        Что ж, ладно. Усложняю задачу. Даю незаконченную последовательность чисел:

        1, 4, 7, 10, 13, …

        Сможете уловить закономерность, продлить последовательность и назвать девятый её член?

        Если вы сообразили, что это число 25, то примите мои поздравления! Ибо это означает, что вы не только прочувствовали ключевые моменты арифметической прогрессии, но и с блеском употребили их в дело! Если же не сообразили и не прочувствовали, то… читаем дальше.

        А теперь переведём ключевые моменты из ощущений в математику.

 

        Ключевой момент №1

        Арифметическая прогрессия имеет дело с последовательностями чисел. Собственно, именно это больше всего и смущает поначалу. Ибо непривычно, да… Мы же с вами привыкли уравнения с неравенствами решать, графики строить… А тут — продлить последовательность. Найти член последовательности…

        Ничего страшного. Просто последовательности (и прогрессии тоже) — это первое знакомство с новым разделом математики. Раздел называется «Ряды» и работает именно с последовательностями, с рядами чисел и даже выражений. Так что привыкаем.)

 

        Ключевой момент №2

        В любой арифметической прогрессии каждый её член отличается от предыдущего на одну и ту же величину. Всегда!

        В первом примере эта величина — единичка. Какой член последовательности ни возьми, он больше предыдущего на единичку.

        Во втором примере эта величина — тройка: каждый член больше предыдущего на тройку.

        Собственно, именно этот момент и даёт нам возможность уловить закономерность и рассчитать все последующие числа.)

 

        Ключевой момент №3

        А вот этот момент не сразу бросается в глаза, да… Но он не менее важен. А именно: каждый член арифметической прогрессии стоит на своём месте. Как и в любой числовой последовательности, да. Есть первый член, есть пятый, есть сорок седьмой, и т.д. Если хотя бы два члена в последовательности переставить местами, то закономерность исчезнет. Вместе с ней, естественно, исчезнет и арифметическая прогрессия. Останется просто последовательность чисел.

        Вот и всё. Вот и вся суть арифметической прогрессии.

 

Базовые термины и обозначения.

        А вот теперь, вооружившись самыми начальными знаниями о последовательностях вообще и о ключевых моментах арифметической прогрессии в частности, можно и математическое определение арифметической прогрессии дать. Ибо, если я бы начал наш урок сразу с него, то арифметическая прогрессия для многих навсегда так и осталась бы монстром в тумане…

        Итак!

        Определение арифметической прогрессии.

        Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, отличается от предыдущего члена на одну и ту же величину.

        Вот и всё определение. После предыдущего параграфа, всё должно быть понятно и прозрачно, я надеюсь. Но на некоторых отдельных словах из определения я всё-таки заострю особое внимание.

        Во-первых, слово «последовательность».

        Запоминаем: арифметическая прогрессия — это именно числовая последовательность. А вовсе не ряд, как ошибочно любят её называть очень многие учителя и даже авторы учебников (наверное, для краткости). Что потом неизбежно приводит к путанице терминов и каше в голове уже у студентов, изучающих высшую математику.

        В чём же дело? А вот в чём. Да, на обывательском уровне понятия «последовательность» и «ряд» — почти синонимы. Типа «последовательность покупателей». Или «ряд солдат». Но! В математике словом «ряд» именуется совершенно другое понятие. Хотя и неразрывно связанное с последовательностью, которая, как раз, этот самый ряд и образует.

        Что такое ряд, в этом уроке не скажу! Маленькие ещё.) Сдадите ЕГЭ, поступите в ВУЗ — сами узнаете.) Но в изложении материала я буду строг. И не поленюсь, когда требуется, написать «последовательность чисел» вместо даже «ряд чисел» и уж, тем более, «числовой ряд». Длиннее, но зато более корректно. И никакой путаницы не будет. Привыкаем.)

        Во-вторых, возможно, вы также обратили внимание на слова «начиная со второго» и «отличается от предыдущего». Здесь всё проще. Каждый член арифметической прогрессии на какую-то величину отличается от предыдущего члена. Десятый член отличается от девятого, второй член отличается от первого. А что можно сказать про самый первый член? На какую величину он отличается от предыдущего? А ни на какую!) Ибо у первого члена просто-напросто нет предыдущего. Вот и весь смысл этих слов. Именно поэтому говорить об «отличии от предыдущего» имеет смысл только начиная со второго члена включительно.)

        В-третьих, есть ещё слова «на одну и ту же величину». Эта самая величина носит своё специальное название — разность арифметической прогрессии. К ней и переходим.)

 

        Разность арифметической прогрессии.

        Здесь всё просто.

        Разность арифметической прогрессии — это число (или величина), на которое каждый член прогрессии больше предыдущего.

        Ключевым словом, на которое следует обратить внимание в этом определении, является слово «больше». Математически этот факт означает, что каждый член арифметической прогрессии получается прибавлением разности прогрессии к предыдущему члену.

        Поясняю.

        Для расчёта, скажем, второго члена, надо разность прогрессии прибавить к первому члену. Для расчёта восьмого члена, надо разность прибавить к седьмому члену.

        И так далее, и тому подобное…

        Разность арифметической прогрессии может при этом быть какой угодно. Совершенно любой!

        Разность может быть положительной. Тогда каждый член прогрессии получается и вправду больше предыдущего.

        Например:

        1, 4, 7, 10, 13, …

        Здесь каждый член получается прибавлением положительного числа +3 к предыдущему члену. Такая прогрессия называется возрастающей.

        Также разность может быть и отрицательной. Тогда каждый член прогрессии получается меньше предыдущего. Такая прогрессия называется убывающей.

        Например:

        1, -2, -5, -8, -11, …

        Здесь каждый член получается тоже прибавлением к предыдущему члену, но уже отрицательного числа -3.

        И, наконец, разность прогрессии может быть даже… равной нулю! Да-да! А почему — нет?

        Например:

        2, 2, 2, 2, 2, …

        Всё то же самое. Каждый член прогрессии получается прибавлением к предыдущему члену числа 0.

        Такие прогрессии и не возрастают и не убывают. Мы с вами их рассматривать не будем, ибо никакого практического интереса они не представляют. Но для общего развития знать об их существовании полезно. Скажем, зададут вам вопрос на засыпку: «Может ли арифметическая прогрессия состоять из одинаковых членов?» А вы уже знаете: может! Запросто.)

        Кстати говоря, при работе с арифметической прогрессией бывает очень полезным сразу определить её тип — возрастающая она или убывающая. Это позволяет на раннем этапе сориентироваться в решении, засечь свои ошибки и исправить их, пока не поздно.)

        Разность арифметической прогрессии обозначается, чаще всего, буковкой d.

        Как найти это самое d ? Элементарно! Надо от любого числа прогрессии отнять предыдущее число. Отнять — значит, вычесть. Кстати, результат вычитания так и называется — «разность». Отсюда и название «разность прогрессии» для буковки d.)

        Определим, например, величину d для возрастающей арифметической прогрессии:

        3, 5, 7, 9, 11, 13, …

        Всё просто, как в сказке. Берём любое число последовательности. Какое хотим, такое и берём. Например, 9. И отнимаем предыдущее число. То есть, 7.

        Получаем:

        d = 9 — 7 = 2

        Вот и всё. Это правильный ответ. Для данной арифметической прогрессии разность равна двум.

        Найдём теперь разность d для убывающей арифметической прогрессии. Например, вот такой:

        1, -2, -5, -8, -11, …

        Всё то же самое. Вне зависимости от знаков самих членов, снова просто берём любое число последовательности (например, -11) и отнимаем предыдущее число (т.е. -8).

        Получим:

        d = -11 — (-8) = -11 + 8 = -3

        И все дела.) В этот раз разность прогрессии оказалась отрицательной. Что неудивительно, ибо наша прогрессия — убывающая.)

        Как вы, возможно, заметили, брать можно совершенно любое число в последовательности. Хоть где-нибудь в начале, хоть в конце, хоть в серединке. Нельзя брать только самое первое число. По той простой причине, что у самого первого числа нет предыдущего.

 

        Как обозначать арифметическую прогрессию?

        Любое число в арифметической прогрессии, как мы помним, называется её членом.

        Каждый член арифметической прогрессии, в свою очередь, обязательно имеет свой номер. Причём все номера идут строго по порядку, без пропусков: первый, второй, третий, четвёртый, пятый и так далее.

        Например, в прогрессии

        1, 4, 7, 10, 13, …

        единичка — это первый член, четвёрка — второй, десятка — четвёртый… И так далее. Идея ясна.)

        Прошу обратить внимание: сами числа в прогрессии — совершенно любые! Натуральные, целые, дробные, отрицательные, иррациональные — всякие.) А вот их нумерация — всегда строго по порядку! Это важно.

        Как же нам записать арифметическую прогрессию в общем виде? Никаких проблем! Каждый член последовательности записывается в виде буквы. Для арифметической прогрессии, обычно, используется буква «а». А вот номер члена всегда указывается индексом справа внизу. Сами члены прогрессии просто перечисляем через запятую или точку с запятой.

        Вот так:

        а1, а2, а3, а4, а5, а6, …

        Здесь а1 — первый член прогрессии, а4 — четвёртый член и т.д. А в конце — многоточие. Всё просто, ничего хитрого.)

        Коротко такую прогрессию записывают вот так: (an).

        Так обозначаются бесконечные прогрессии. Конечную же прогрессию можно записать просто перечислением всех её членов и точкой в конце.

        Например, вот так:

        а1, а2, а3, а4, а5, а6.

        Или вот так, если членов много:

        а1, а2, …, а29, а30.

        А вот в краткой записи для конечных прогрессий придётся дополнительно указывать количество членов. Например, вот так:

        (an), n=30.

        Вот, собственно, и все обозначения.

        На этой позитивной ноте считаю наше начальное знакомство с арифметической прогрессией полностью состоявшимся. А теперь, вооружившись глубокими познаниями, можно и задачки порешать. Задачки совсем простые, без фокусов. Чисто для понимания смысла арифметической прогрессии.

 

Простейшие задания по арифметической прогрессии.

       

        Начнём с такой несложной задачки:

        Выпишите первые пять членов арифметической прогрессии (an), если известно, что

        а2 = 3 и d = -1,5.

        Переводим задание с математического языка на русский. Нам дана бесконечная арифметическая прогрессия. Известен второй член этой прогрессии:

        а2 = 3

        Кроме того, нам известна разность прогрессии:

        d = -1,5

        А найти требуется первый, третий, четвёртый и пятый члены этой прогрессии.

        Вот и действуем. Для наглядности я сначала запишу последовательность по условию задачки. Прямо в общем виде, где второй член — тройка:

        а1, 3, а3, а4, а5, …

        А теперь приступаем к поискам. Начинаем, как всегда, с самого простого. Легко можно посчитать, например, третий член a3. Мы же с вами уже знаем (прямо по смыслу арифметической прогрессии), что третий член 3) больше второго 2) на величину d.

        Так прямо и пишем:

        a3 = a2 + d

        Подставляем в это выражение тройку вместо a2  и -1,5 вместо d и считаем. Про минус, естественно, тоже не забываем, да.)

        a3 = 3 + (-1,5) = 3 — 1,5 = 1,5

        Вот так. Третий член оказался меньше второго. Ничего удивительного. Наша разность d — отрицательна. А, если число больше предыдущего на отрицательную величину, то само число, стало быть, будет меньше предыдущего. Убывает наша прогрессия…

        Считаем теперь следующий, четвёртый член нашей прогрессии:

        a4 = a3 + d

        a4 = 1,5 + (-1,5) = 1,5 — 1,5 = 0

        Ну и дальше, по проторенной дорожке:

        a5 = a4 + d

        a5 = 0 + (-1,5) = 0 — 1,5 = -1,5

        Отлично, члены с третьего по пятый найдены. Получилась вот такая последовательность:

        а1; 3; 1,5; 0; -1,5; …

        Осталось лишь найти первый член а1 по известному второму. А это шаг уже в другую сторону — влево.) Это значит, что в данном случае разность d нам надо не прибавить к a2, а отнять.

        Получаем:

        a1 = a2 — d

        a1 = 3 — (-1,5) = 3 + 1,5 = 4,5

        Вот и всё.) Ответ к задачке будет такой:

        4,5; 3; 1,5; 0; -1,5; …

        Что интересного можно заметить в решении данного задания? А заметить можно то, что каждый член прогрессии мы искали по предыдущему (соседнему) члену. Такой способ подсчёта членов прогрессии называется вполне научно — рекуррентным способом. И в дальнейшей работе с прогрессиями (и не только) мы к этому загадочному и страшному слову ещё не раз вернёмся. Так что прошу не пугаться.)

        Что ещё важного можно вынести из решения этой, казалось бы, примитивной задачки? А вот что:

        Если нам известен хотя бы один член и разность арифметической прогрессии, то мы всегда можем найти любой другой член этой прогрессии. Какой хотим.

        Ясненько? Это простое умозаключение позволит вам успешно решать большинство задач школьного курса по данной теме! Все задачи на арифметическую прогрессию вертятся вокруг всего трёх параметров: член прогрессии, разность прогрессии, номер члена прогрессии. И всё!

        Разумеется, вся предыдущая математика не отменятся, да.) В солидных заданиях к прогрессии может прицепляться всё что угодно — и уравнения, и неравенства, и прочие жуткие вещи. Но по самой прогрессии всё всегда крутится вокруг этих трёх простых параметров. Так что имеем в виду.)

 

        Следующее задание уже поинтереснее будет, да.)

        Определите, будет ли число 6 членом арифметической прогрессии (an), если

        a1 = 2,5; d = 1,3.

        Гм… И как тут определишь, будет или нет? Кто ж его знает-то… Что делать?

        Что-что… Записать прогрессию в виде последовательности чисел и посмотреть, будет ли там шестёрка или нет! Для расчёта нам всё необходимое уже дано: дан первый член, дана разность. Вот и считаем. Прямо по смыслу арифметической прогрессии:

        a2 = a1 + d = 2,5 + 1,3 = 3,8

        a3 = a2 + d = 3,8 + 1,3 = 5,1

        a4 = a3 + d = 5,1 + 1,3 = 6,4

        Ну что, стоит считать дальше или нет, как вы думаете? Естественно, нет.) Запишем результаты наших расчётов в виде последовательности:

        1,3; 3,8; 5,1; 6,4; …

        Теперь уже отчётливо видно, что шестёрку мы просто проскочили мимо между членами 5,1 и 6,4. Не вошла шестёрка в нашу последовательность и, стало быть, число 6 не является членом заданной прогрессии.

        Ответ: нет.

 

        А вот теперь задачка на основе реального варианта ОГЭ:

        Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии:

         …; 14; х; 8; 5; …

         Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.

        Что, внушает? Ни первого члена нет, ни разности d, дана просто последовательность чисел без начала и конца. Это и пугает поначалу. А ведь задачка, на самом деле, проще некуда! Чисто на понимание смысла арифметической прогрессии. Кто понимает этот смысл, тот справится с задачкой буквально в уме.

        Итак, смотрим внимательно на нашу последовательность и соображаем, что именно можно узнать из неё? Какие параметры арифметической прогрессии из трёх главных в ней спрятаны?

        Номера членов? Не-а! Нет здесь ни единого номера. Последовательность у нас простирается как вправо, так и влево…

        Да, номеров членов у нас никаких нет, но зато есть четыре числа и (важно!) слово «последовательных» в условии задачи. А лишних слов в условии задачи никогда не бывает… Это слово означает, что наши числа следуют строго по порядку, без пропусков! Теперь смотрим дальше. Есть ли в этой последовательности два соседних известных числа? Да, безусловно! Это 8 и 5. Раз так, то теперь мы без проблем можем найти разность арифметической прогрессии! Берём пятёрку и отнимаем предыдущее число, т.е. восьмёрку.

        Получаем:

        d = 5 — 8 = -3

        Всё. Дальше осталась сущая элементарщина. Какое число будет предыдущим для икса? Четырнадцать! Значит, икс легко ищется простым сложением: к 14 прибавить разность арифметической прогрессии.

        Получим:

        x = 14 + (-3) = 11

        Вот и вся задачка. Ответ: x = 11.

 

        Ещё одна задачка. Уже посолиднее, но тоже довольно простая.

        Известно, что в арифметической прогрессии a3 = 2,1 и a6 = 6,3. Найдите a4.

        А теперь размышляем. Нас интересует четвёртый член a4. Для его расчёта надо к третьему члену a3 прибавить разность прогрессии d:

        a4 = a3 + d

        Третий член a3 нам известен. Это 2,1. Отлично! Но… где же взять разность прогрессии? Нет её и в помине! А для её определения нам позарез нужны какие-нибудь два известных соседних члена! Где они? Нет их! Но зато нам зачем-то дан шестой член прогрессии a6. И куда его можно пристроить…

        Тупик? Вовсе нет! Сейчас мы с вами поступим по-хитрому. Мы пока ничего считать не будем. Мы будем… рисовать! Да-да! Графическое изображение задачи очень часто высвечивает массу дополнительной информации! И помогает увидеть то, что на словах разглядеть, порой, весьма трудно.

        В нашем случае, рисунок поможет нам не только увидеть разность прогрессии d, но и догадаться, как именно следует её искать!

        Рисуем задачку!

        Берём и схематично изображаем нашу последовательность на числовой оси. Вот так:

        

        Ну как? Увидели d? Нет? Ну ладно…

        А вот так?

        Теперь по картинке чётко видно, что между третьим и шестым членами находится по три равных промежутка. Три раза по d. Или 3d. А какая величина приходится на это самое 3d ? Не проблема! Определим разницу между a6 и a3, да и узнаем:

        a6 — a3 = 6,3 — 2,1 = 4,2

        3d = 4,2

        d = 1,4

        Отлично. Полдела сделано. Остались сущие пустяки. Прибавляем найденную разность прогрессии к третьему члену и получаем искомый четвёртый член:

        a4 = a3 + d = 2,1 + 1,4 = 3,5

        Вот и всё.

        Ответ: 3,5

 

        Запоминаем: рисунок к задаче очень часто открывает массу дополнительной полезной информации и подсказывает дальнейший ход решения. Не стесняемся делать его, когда есть возможность!

 

        А вот следующие задачки решаем самостоятельно:

        1. Найдите первый отрицательный член арифметической прогрессии, если

            a1 = 7 и d = -2,4.

 

        2. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии:

         …; 3,4; х; 5,2; …

         Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.

 

        3. Известно, что число 4 является членом арифметической прогрессии, в которой

            a1 = 1 и d = 0,6. Найдите номер этого члена.

 

        4. Известно, что в арифметической прогрессии a2 = 3 и a7 = 23. Найдите a5.

 

        5. Автобус начал движение от остановки, равномерно увеличивая скорость на 2 м/с. Какую скорость разовьёт автобус через 5 секунд? Ответ дайте в км/ч.

 

        6. Известно, что в арифметической прогрессии a2 = -3 и a6 = -15. Найдите a1.

 

        Ответы (в беспорядке, естественно): 15; -0,2; 0; 6; 36; 4,3.

 

        Ну как? Всё получилось? Отлично! Значит, урок не прошёл даром, и можно осваивать арифметическую прогрессию на более серьёзном уровне. В следующих уроках.)

        Что-то не получается? Рисуйте картинку, не ленитесь! Она реально спасает в некоторых трудных ситуациях! Если вы видите прогрессию глазами, то решать задачу становится намного легче.

        Кстати, в задачке №5 про автобус есть два подводных камня. Первый камень — по правильному составлению арифметической прогрессии. Надо подумать, какую скорость автобуса следует брать за первый член прогрессии. Если вы думаете, что 0 м/с, то задачку не решить, да… А второй подводный камень — по переводу размерностей из одной в другую. Внимательнее читать задание надо, да…

        Последняя задача №6 очень похожа на задачу №4. Только числа отрицательные. Ну и что? Рисуем (правильно) картинку и определяем по ней (правильно) величину d. Главное — внимание и элементарное понимание смысла арифметической прогрессии. И всё получится!)

 

        В этом уроке мы с вами познакомились с арифметической прогрессией и её ключевыми параметрами на самом начальном уровне и порешали простенькие задачки. Как видите, ничего сложного. Прибавляй d к числам, считай себе, пиши последовательность или рисуй картинку — всё и решится.

        Всё просто, но… Пришло время открыть вам горькую правду. Такое элементарное решение «на пальцах» прокатывает только для очень коротких кусочков прогрессии. Таких, где число последовательно рассчитываемых членов не очень большое. Скажем, три, пять или, пускай, даже десять.

        А вот если прогрессия подлиннее, то вычисления значительно усложняются. А рисование картинки — тоже превращается в занятие, мягко говоря, на большого любителя.)

        Например, такая задачка:

        В арифметической прогрессии известно, что a1 = 4 и d = 0,4. Найдите a141.

        И что же, будем много-много раз прибавлять по 0,4? Можно, конечно. Если не жалко часок-другой.)

        В таких ситуациях спасает простая формула! По которой такие задания решаются буквально за минуту! Формула эта будет в следующем уроке. И эта злая задачка там будет решена. Тоже за минуту.)

        До встречи!

Внеклассный урок — Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия

Прогрессия – это определенная последовательность чисел.
Последовательность обозначается так: (an)

Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности.

Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена (a1, a2, a3 и т.д.- читается так: «а первое», «а второе», «а третье» и т.д.).

Последовательность может быть бесконечной или конечной.

 

Понятие арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия – это такая последовательность чисел, которая получается в результате сложения каждого последующего члена с одним и тем же числом.

Пример:

Возьмем последовательность чисел 3; 10; 17; 24; 31.
Здесь каждое последующее число на 7 больше предыдущего. То есть последовательность получилась в результате прибавления одного и того же числа 7 к каждому последующему члену. Это и есть арифметическая прогрессия:

3+7=10

10+7=17

17+7=24

24+7=31

 

Формула арифметической прогрессии.

Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой:

an = kn + b,

где k и b – некоторые числа.

И наоборот: если последовательность задана подобной формулой, то эта последовательность точно является арифметической прогрессией.

Пример: формула an = 8n – 2 является формулой арифметической прогрессии, так как она задана формулой типа an = kn + b. В ней k = 8, b = –2.

 

Разность арифметической прогрессии.

Разность арифметической прогрессии – это разность между последующим и предыдущим членами прогрессии. Ее обычно обозначают буквой d.

Пример:
Вернемся к нашей прогрессии 3; 10; 17; 24; 31. В ней разность между второй и первой, третьей и второй и т.д. членами равна 7. Число 7 и является разностью данной арифметической прогрессии.

 

Свойства арифметической прогрессии.

1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.

2) Верно и обратное утверждение: если в последовательности чисел каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией.

В нашем примере второй член равен средней арифметической первого и третьего членов:

3 + 17
——— = 10.
    2

Точно так же третий член равен средней арифметической второго и четвертого членов и т.д.

 

Как найти определенный член арифметической прогрессии.

Чтобы найти n-й член арифметической прогрессии, следует применить формулу:

an = a1 + d(n – 1)

Пример:

Возьмем некую арифметическую прогрессию, в которой первый член равен 3, а разность арифметической прогрессии составляет 4. Надо найти 45-й член этой прогрессии.

Дано:
b1 = 3
d = 4
n = 45
———
b45 — ?

Решение.

Применим формулу bn = b1 + d(n – 1):

b45 = 3 + 4(45 – 1) = 3 + 4 · 44 = 3 + 176 = 179.

Ответ: 45-й член заданной арифметической прогрессии – число 179.

 

Как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии.

Сумму любого количества первых членов арифметической прогрессии можно найти
с помощью формулы:

 

                                                                              (a1 + an) n
                                                                       
Sn = —————
                                                                                       2

Если заданы первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно пользоваться другой формулой: 

 

                                                                             2a1 + d(n – 1)
                                                                    
Sn = —————— n
                                                                                       2

Пример 1: Найдем сумму первых ста членов арифметической прогрессии 1+2+3+4+5 и т.д.+100.

Дано:
a1 = 1
n = 100
an = 100
————
S100 — ?

Решение:

           (1 + 100) · 100          101 · 100
S100 = ——————— = ————— = 5050
                       2                           2

Ответ: Сумма первых ста членов заданной арифметической прогрессии равна 5050.

 

Пример 2: Найдем сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, в которой первый член равен 5, разность арифметической прогрессии составляет 3.

Дано:
a1 = 5
d = 3
————
S20 — ?

Решение:

1) Найдем сначала двадцатый член по уже известной нам формуле an = a1 + d(n – 1):
a20 = 5 + 3 (20 – 1) = 5 + 3 · 19 = 62.

2) Теперь уже легко решить нашу задачу.

По формуле 1:

              (5 + 62) · 20
S20 = ———————  = 670
                      2

 

По формуле 2:

             2 · 5 + 3 · (20 – 1)
S20 = ————————— · 20  = 670
                           2

Ответ: Сумма первых двадцати членов заданной арифметической прогрессии равна 670.

 

Прогрессии — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Арифметическая прогрессия

К оглавлению…

Формулы n-го члена арифметической прогрессии:

Соотношение между тремя соседними членами арифметической прогрессии:

Формула суммы арифметической прогрессии:

Свойство арифметической прогрессии:

 

Геометрическая прогрессия

К оглавлению…

Формулы n-го члена геометрической прогрессии:

Соотношение между тремя соседними членами геометрической прогрессии:

Формула суммы геометрической прогрессии:

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Свойство геометрической прогрессии:

 

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

  1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
  2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
  3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

 

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Арифметическая прогрессия и как решить арифметическую прогрессию (AP)

В природе многие вещи следуют этому образцу, например, отверстие в виде сот, Лепестки цветка розы. Подобно этому Арифметическая прогрессия — это тип числового шаблона. В этом номере расположены по шаблону.
Последовательность: это набор чисел, расположенных в определенном порядке. Последовательность:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ….а н

Например, последовательность нечетных чисел

1, 3, 5, 7 …… ..

Серия: Серия — это несколько терминов в последовательности. Если в последовательности n членов, то сумма n членов обозначается S n .

S n = a 1 + a 2 + a 3 +… + a n

Общий n-й член серии AP:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ,….., а н

a, a + d, a + d + d, a + d + d + d, …… ..

а1 = а = а (1-1) d

a2 = a + d = a (2-1) d

a3 = a + 2d = a (3-1) d

a n = a + (n-1) d

Таким образом, формула для вычисления n-го члена равна

a n = первый член + (номер члена — 1) общая разница

Q1: найдите 13 член серии AP

2, 4, 6, 8, 10 …………

Решение:

Первый член a = 2 Общая разница (d) = 4-2 = 2 = 6-4

Итак, примените формулу I.е. а п = а + (п-1) г

а 13 = 2+ (13-1) 2

а 13 = 26

Q2: Если 11

-й член равен 47, а первый член равен 7. В чем разница между ними?

Решение:

a = 7 a 11 = 47 n = 11 d =?

а 11 = а + (n-1) d

47 = 7 + (11-1) д

47-7 = 10д

40 = 10 дней

г = 4

Общая разница (d) = 4.

Сумма первых n членов ряда AP:

Предположим, что это AP серий 1, 2, 3, 4, ……, 49, 50

Таким образом, сумма этих членов составляет S 50 = 1 + 2 + 3 + 4 +….+ 49 + 50 …… (1)

Запишите в обратном порядке получим

S 50 = 50 + 49 + …… + 4 + 2 + 3 + 1 …… (2)

Теперь сложите уравнение 1 и 2

2 S 50 = 51 + 51 + …… + 51 + 51 + 51 + 51 (50 раз)

2S 50 = 50X51

S 50 = 50X51 / 2

Теперь о n условиях AP

Первые n членов серии AP

a, a + d, a + 2d, ………. а + (п-2) г, а + (п-1) г

, поэтому S n = a + (a + d) + (a + 2d) + ……. + [A + (n-2) d] + [a + (n-1) d]

Запишите в обратном порядке

S n = [a + (n-1) d] + [a + (n-2) d] + …… + (a + d) + a

Теперь добавьте их

2S n = [2a + (n-1) d] + [2a + (n-1) d] + ……… [2a + (n-1) d] + [2a + (n-1) d] …… (n термины)

2S n = n [2a + (n-1) d]

Sn = n / 2 [2a + (n-1) d]

S n = n / 2 {a + a n }; где a n = a + (n-1) d = l (последний член)

Так S n = n / 2 {a + l)

Q3: Найдите сумму первых 10 членов

11,17, 23, 29,35, …………

Решение:

Из уравнения a = 11 d = 6 n = 10

Итак, мы можем использовать формулу S n = n / 2 (2a + (n-1) d)

S n = 10/2 (2X 11+ (10-1) 6)

S n = 5 (22 + 9X6)

S n = 5 (22 + 54)

S n = 5 (76)

S n = 380

Q4: Найдите сумму этой последовательности…..

10,15,20,25,30, ………… .., 100

Решение:

Из уравнения a = 10; л = 100 г = 5

L = а + (n-1) d

100 = 10+ (п-1) 5

90 = (п-1) 5

90 = 5н-5

90 + 5 = 5n

95/5 = n

п = 19

Теперь мы можем использовать s n = n / 2 (a + l)

S n = 19/2 (10 + 100)

S n = 19X110 / 2

S n = 1045

Чтобы получить больше блогов Arithmetic Progression и Math, зарегистрируйтесь сегодня бесплатно.

Чтобы получить помощь по математике и домашнему заданию по математике, позвоните нам по номеру +1 855 688 8867

арифметических прогрессий | Блестящая вики по математике и науке

Важная терминология

  • Начальный член: В арифметической прогрессии первое число в ряду называется «начальным членом».
  • Общее различие: Значение, на которое увеличиваются или уменьшаются следующие друг за другом члены, называется «общей разницей».«

Рекурсивная формула

Мы можем описать арифметическую последовательность с помощью рекурсивной формулы, которая определяет, как каждый член соотносится с предыдущим. Поскольку в арифметической последовательности каждый член задается предыдущим термином с добавленной общей разницей, мы можем написать рекурсивное описание следующим образом:

Срок = Предыдущий срок + Общая разница. \ text {Срок} = \ text {Предыдущий термин} + \ text {Общая разница.} Срок = Предыдущий термин + Общая разница.

Короче, с общей разницей ddd, имеем:

an = an − 1 + d.a_n = a_ {n-1} + d.an = an − 1 + d.

Явная формула

Хотя приведенная выше рекурсивная формула позволяет нам описать отношения между членами последовательности, часто бывает полезно иметь возможность написать явное описание терминов в последовательности, которое позволило бы нам найти любой термин.

Если мы знаем начальный термин, следующие термины связаны с ним путем повторного добавления общей разницы.Таким образом, явная формула

Срок = Начальный срок + Общая разница × Количество шагов от начального срока. \ text {Срок} = \ text {Начальный термин} + \ text {Общая разница} \ times \ text {Число шагов от начального срока}. Срок = Начальный срок + Общая разница × Количество шагов от начального срока.

Мы можем записать это с общей разницей ddd как:

an = a1 + d (n − 1) .a_n = a_1 + d (n-1) .an = a1 + d (n − 1).

Какая последовательность описывается выражением an = 2 + 4 (n − 1) a_n = 2 + 4 (n-1) an = 2 + 4 (n − 1)?

Показать ответ

Последовательность 2,6,10,14,… 2, 6, 10, 14, \ dots2,6,10,14,….

Из явной формулы видно, что начальный член равен 2, а общая разница равна 4.

Какова явная формула арифметической прогрессии 3,6,9,12,… 3, 6, 9, 12, \ dots3,6,9,12,…?

Показать ответ

Используя приведенную выше форму, у нас есть начальный член a1 = 3a_1 = 3a1 = 3 и общая разность ddd числа 3. Таким образом, an = 3 + 3 (n − 1) a_n = 3 + 3 ( n-1) an = 3 + 3 (n − 1).

Обратите внимание, что мы можем упростить это выражение до an = 3 + 3n − 3 = 3na_n = 3 + 3n-3 = 3nan = 3 + 3n − 3 = 3n.

Отправьте свой ответ

Какой седьмой член арифметической прогрессии 2,7,12,17,… 2, 7, 12, 17, \ dots2,7,12,17,…?

5-й5 ^ \ text {th} 5-й 6-е ^ \ text {th} 6-е Он никогда не получал нулевых оценок Ни один из вышеперечисленных

Ариан получил −10-10−10 баллов на своем первом экзамене и 151515 баллов на 15-м 25 ^ {\ text {th}} 15-м экзамене.

Если все его оценки соответствуют арифметической прогрессии с положительной общей разницей, на каком экзамене он получил нулевые оценки?

примеров арифметической прогрессии | CollegeHippo

Вот несколько вопросов по арифметической прогрессии и их решения

Вопрос 1 : Какой член AP 3,8,13… равен 78?

Решение : Здесь a n = a + (n — 1) d = 78

а = 3, г = 8-3 = 5

Следовательно,

3 + (п -1) (5) = 78

(п-1) * 5 = 78 — 3 = 75

п — 1 = 75/5 = 15

п = 15 + 1 = 16

Следовательно, 16 (шестнадцатый член) равно 78.

Вопрос 2 : Является ли — 150 членом ряда 11, 8, 5, 2,…?

Решение : Здесь a = 11, d = 8-11 = -3. Пусть n = -150

Следовательно,

а + (п-1) г = -150

11+ (п-1) (-3) = -150

-3 (п-1) = -150 — 11 = -161

(n-1) = + 161/3 = 53 2/3, что не является целым числом.

Поскольку количество членов никогда не может быть дробью

Следовательно, -150 не является членом данной серии.

Вопрос 3 : Найдите 31 -й член AP, у которого 11 -й член равен 38, а 16 -й член равен 73.

Решение: Пусть a будет 1 st член, а d — общая разница.

Здесь a 11 = a + 10d = 38 … .. (1)

a 16 = a + 15d = 73… .. (2)

Вычитая (2) из ​​(1), получаем

a + 10d — 1-15 d = 38-73

-5 = — 35

г = 7

Подставляя d = 7 в (1), получаем

а + 10 * 7 = 38

а = 38 — 70 = — 32

а 31 = а + 30 д

= -32 + 30 * 7

= -32 + 210 = 178

Следовательно, 31 -й член равен 178.

Вопрос 4 : Какой член AP 3, 15, 27, 39… будет на 132 больше, чем его 54 -й член ?

Решение: Данная серия: 3, 15, 27, 39…

Здесь a = 3, d = 15-3 = 12

Поскольку a n = a k = (n-k) d

a n — a 54 = (n-54) 12

132 = 12n — 54 * 12… .. (с n 54 = 132)

12 п = 132 + 54 * 12 = 12 (11+ 54)

п = 11 + 54 = 65

Поступление в аспирантуру

Если вы хотите получить степень магистра или подать заявку на поступление в аспирантуру, мы перечислили 400 специализаций из 2100 университетов.

Найдите программу последипломного образования или аспирантуру

Вы можете найти подробную информацию о программе, рейтинг колледжа, плату за обучение, требования к баллам GRE и GPA.

Перечислить 1200 аккредитованных университетов, предлагающих онлайн-магистерские программы

Текущая пандемия и меняющийся ландшафт

Наиболее полные данные по 1800 университетам США, 400 специализациям с оценкой GRE, GPA и другими требованиями для поступления. Все бесплатно

Сопоставьте меня с Высшей школой

Твоя сваха в аспирантуре.Добавьте свои требования, оценки и найдите школы, которые соответствуют вашим потребностям.

Если вы предпочитаете загрузить больше вопросов для теста на понимание прочитанного и попрактиковаться в них, вы можете найти здесь

Загрузите файл: Бесплатный практический тест на понимание прочитанного GRE

Самые высокооплачиваемые вакансии по математике и статистике — обновлено в 2021 году
Рабочие места Зарплаты и карьера после получения степени магистра математики и статистики — обновлено в 2021 году
Лучшие программы последипломного образования по математике и статистике в Огайо — обновлено в 2021 году
Лучшие программы для выпускников по математике и статистике в Нью-Гэмпшире — Обновлено 2021
Лучшие программы для выпускников по математике и статистике в Аризоне — Обновлено 2021
Найти магистерскую программу по математике и статистике на основе оценки GRE
Поиск магистерских программ по математике и статистике

Похожие вопросы


Каковы требования к поступающим для программ магистратуры по математике и статистике в кампусе Вашингтонского университета в Сиэтле?
Каковы минимальные требования к баллам GRE для поступления в аспирантуру Нью-Йоркского университета математики и статистики?
Каковы минимальные требования к баллам GRE для поступления в магистратуру Корнельского университета математики и статистики?
Какой балл GRE требуется для поступления в магистратуру по математике и статистике в главном кампусе Университета Сент-Луиса?
Проверить соответствие колледжа для программы получения степени магистра математики и статистики на основании оценки GRE

Связанные

Арифметические прогрессии — определения, формулы и решенные задачи | Алгебра — Cuemath

Содержание


Мы в Cuemath считаем, что математика — это жизненный навык. {th} \).{th} \) член данной последовательности?

Как это сделать, можно узнать из этой статьи.


Определение арифметической прогрессии

Мы можем определить арифметическую прогрессию двумя способами:

  • Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой различия между каждыми двумя последовательными членами одинаковы.
  • Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый член, кроме первого, получается добавлением фиксированного числа к его предыдущему члену.

Например:

Мария только что завершила свой MCA и была нанята на работу, которая оплачивается рупий. \ (60,000 \) в месяц с годовым приростом рупий. \ (10,000 \) в месяц. Но она ожидала, что начальная зарплата составит рупий. \ (1,00,000 \) в месяц.

Она хочет знать, сколько лет ей понадобится, чтобы получить желаемую зарплату.

Ее зарплата в месяц будет следующей:

Она поняла, что получит желаемую зарплату в размере рупий.\ (1,00,000 \) в месяц на пятом году работы на этой должности.

Если мы рассмотрим приведенную выше последовательность, мы можем заметить, что каждое число, кроме первого числа, получается путем добавления фиксированной суммы рупий. \ (10000 \) к предыдущему номеру.

Таким образом, согласно определению арифметической прогрессии, приведенная выше последовательность является арифметической прогрессией.

Фиксированное число \ (10,000 \) называется «общей разницей».

Вот вам иллюстрация.

Мы можем ввести здесь последовательность чисел и увидеть, является ли эта последовательность арифметической прогрессией или нет.


Арифметическая прогрессия — терминология

С этого момента мы будем сокращать арифметическую прогрессию как AP.

Вот еще несколько примеров арифметических прогрессий:

\ [\ begin {array} {l}
6,13,20,27,34, \ ldots \\ [0,3 см]
91,81,71,61,51, \ ldots \ [0,3 см]
\ пи, 2 \ пи, 3 \ пи, 4 \ пи, 5 \ пи, \ ldots \\ [0,3 см]
— \ sqrt {3}, — 2 \ sqrt {3}, — 3 \ sqrt {3}, — 4 \ sqrt {3}, — 5 \ sqrt {3}, \ ldots
\ end {array} \]

AP обычно отображается следующим образом:

\ [a_1, a_2, a_3, \ ldots \]

Используется следующая терминология.

Первый семестр

Как следует из названия, первый член AP — это первое число в прогрессии.

Обычно обозначается как \ (a_1 \) (или) \ (a \).

Например, в последовательности \ (6,13,20,27,34, \ ldots \) ​​первым членом будет \ (6 \).

, т.е. \ (a_1 = 6 \) (или) \ (a = 6 \).

CLUEless по математике? Узнайте, как учителя CUEMATH объяснят вашему ребенку Arithmetic Progressions , используя интерактивное моделирование и рабочие листы, чтобы им больше никогда не приходилось запоминать что-либо по математике!

Изучите интерактивные и персонализированные онлайн-классы Cuemath, которые сделают вашего ребенка экспертом по математике. Забронируйте БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня!

Общая разница

Мы знаем, что арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый член, кроме первого, получается добавлением фиксированного числа к его предыдущему члену.

Здесь «фиксированное число» называется «общей разницей» и обозначается \ (d \).

то есть, если первый член \ (a_1 \), то:

  • второй член равен \ (a_1 + d \).
  • третий член равен \ (a_1 + d + d = a_1 + 2d \).
  • четвертый член равен \ (a_1 + 2d + d = a_1 + 3d \) и так далее.

Например, в последовательности \ (6,13,20,27,34, \ ldots \), каждый член, кроме первого, получается добавлением \ (7 \) к его предыдущему члену.

Таким образом, общая разница равна \ (d = 7 \).

В общем, общая разница — это разница между каждыми двумя последовательными терминами AP.

Таким образом, формула для вычисления общей разницы AP:

Распространенные ошибки

  1. Ошибка: Общая разница всегда положительна.

    Факт: Общая разница не всегда должна быть положительной.

    Например, в последовательности \ (16, 8, 0, -8, -16, …. \) общая разница составляет

    \ (d \) = 8-16 = 0-8 = -8-0 = -16 — (-8) = … = -8

    Здесь общая разница отрицательная.

  2. Ошибка: Общее различие AP — это разница между двумя последовательными терминами AP в любом порядке.{th} \) срок

    AP \ (а \) \ (г \) \ (a_n = a + (n-1) d \) \ (91,81,71,61,51, \ ldots \) ​​ \ (91 \) \ (- 10 \) \ (\ begin {align}
    -10n + 101
    \ end {align} \) \ (\ пи, 2 \ пи, 3 \ пи, 4 \ пи, 5 \ пи, \ ldots \) ​​ \ (\ pi \) \ (\ pi \)
    \ (\ begin {align}
    \ pi n
    \ end {align} \) \ (- \ sqrt {3}, — 2 \ sqrt {3}, — 3 \ sqrt {3}, — 4 \ sqrt {3}, \ ldots \) ​​ \ (- \ sqrt {3} \) \ (- \ sqrt {3} \)
    \ (\ begin {align}
    — \ sqrt {3} n
    \ end {align} \)

    Арифметическая прогрессия — формула суммы

    Рассмотрим арифметическую прогрессию (AP), первый член которой равен \ (a_1 \) (или) \ (a \), а общая разница — \ (d \).{th} \) срок, \ (a_n \) известен:

  3. \ [S_n = \ frac {n} {2} [a_1 + a_n] \]

    Пример :

    Г-н Каран зарабатывает рупий. \ (4,00,000 \) в год, а его зарплата увеличивается на рупий. \ (50,000 \) в год. Тогда сколько он зарабатывает в конце первых \ (3 \) лет?

    Решение :

    Сумма, заработанная мистером Караном за первый год, составляет \ (a = 4,00,000 \).

    Годовое приращение составляет \ (d = 50 000 \).

    Мы должны рассчитать его заработок за \ (3 \) года. Итак, \ (n = 3 \).

    Подставляя эти значения в формулу суммы арифметической прогрессии,

    \ [\ begin {align}
    S_n & = \ frac {n} {2} [2 a + (n-1) d] \\ [0,3 см]
    S_3 & = \ frac {3} {2} (2 (400000) + (3-1) (50000)) \\ [0,3 см]
    & = \ frac {3} {2} (800000+ 100000) \\ [0,3 см]
    & = \ frac {3} {2} (

    0) \\ [0,3 см]


    & = 1350000
    \ end {align} \]

    \ (\ следовательно \ text {Он заработал рупий.13,50,000 за 3 года} \)

    Мы можем получить тот же ответ, если подумать, а также следующим образом:

    Годовая сумма, заработанная г-ном Караном за первые три года, выглядит следующим образом.

    Это можно вычислить вручную, поскольку \ (n \) — меньшее значение.

    Но приведенные выше формулы полезны, когда \ (n \) — большее значение.

    Помогите своему ребенку набрать больше баллов с помощью запатентованного БЕСПЛАТНОГО диагностического теста Cuemath. Получите доступ к подробным отчетам, индивидуальным планам обучения и БЕСПЛАТНОЙ консультации.{th} \) срок AP

    \ (a_n = a + (n-1) d \)

    Сумма \ (n \) условий AP

    \ (\ begin {align} S_n & = \ frac {n} {2} (2a + (n-1) d) \ end {align} \)

    Решенные примеры

    Вот некоторые задачи арифметической прогрессии / суммы арифметической прогрессии.

    Найдите общий член AP \ (- 3, — \ dfrac {1} {2}, 2… \).

    Решение:

    Данная последовательность:

    \ [- 3, — \ frac {1} {2}, 2… \]

    Здесь первый член:

    \ [a = -3 \]

    Общая разница:

    \ [d = — \ frac {1} {2} — (- 3) = — \ frac {1} {2} +3 = \ frac {5} {2} \]

    Общий срок AP рассчитывается по формуле:

    \ [\ begin {align}
    a_n & = a + (n-1) d \\ [0,3 см]
    a_n & = -3 + (n-1) \ frac {5} {2} \\ [0,3 см]
    & = -3+ \ frac {5} {2} n — \ frac {5} {2} \\ [0.3см]
    & = \ frac {5} {2} n — \ frac {11} {2}
    \ end {align} \]

    Следовательно, общий срок данного AP:

    \ (a_n = \ frac {5} {2} n — \ frac {11} {2} \)

    Какой член AP \ (3, 8, 13, 18, … \) равен \ (78 \)?

    Решение:

    Данная последовательность:

    \ [3,8,13,18, … \]

    Здесь первый член —

    .

    \ [a = 3 \]

    Общая разница:

    \ [d = 8-3 = 13-8 =.{th} \ text {term} \)

    Найдите сумму AP \ (2, 5, 8,… \) до \ (10 ​​\) членов.

    Решение:

    Данная последовательность:

    \ [2, 5, 8,… \]

    Здесь первый член —

    .

    \ [a = 2 \]

    Общая разница:

    \ [d = 5-2 = 8-5 = … = 3 \]

    Нам нужно найти сумму \ (10 ​​\) членов. Итак,

    \ [n = 10 \]

    Подставьте все эти значения в формулу суммы арифметической прогрессии:

    \ [\ begin {align}
    S_n & = \ frac {n} {2} (2a + (n-1) d) \\ [0.3см]
    S_ {10} & = \ frac {10} {2} (2 (2) + (10-1) 3) \\ [0,3 см]
    & = 5 (4 + 9 (3)) \\ [0,3 см]
    & = 5 (4 + 27) \\ [0,3 см]
    & = 5 (31) \ [0,3 см]
    & = 155
    \ end {align} \]

    \ (\ text {Сумма 10 членов данной AP} = 155 \)

    Аналитический центр

    1. Каков общий член AP \ (16,13,10, \ ldots \)?
    2. Проверьте, является ли \ (301 \) термин для AP \ (5,11,17,23, \ ldots \) ​​
    3. Какова сумма первых \ (50 \), кратных \ (3 \)?
    4. Сколько кратных \ (4 \) находится между \ (8 \) и \ (200 \)?

    Практические вопросы


    Образцы материалов олимпиады по математике

    IMO (Международная олимпиада по математике) — это конкурсный экзамен по математике, который ежегодно проводится для школьников.Он побуждает детей развивать свои навыки решения математических задач с точки зрения соревнований.

    Вы можете БЕСПЛАТНО скачать образцы работ по оценкам ниже:

    Чтобы узнать больше об олимпиаде по математике щелкните здесь


    Часто задаваемые вопросы (FAQ)

    1. Что такое арифметическая прогрессия с примером?

    Мы можем определить арифметическую прогрессию двумя способами.

    Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой различия между каждыми двумя последовательными членами одинаковы.

    Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый член, кроме первого, получается добавлением фиксированного числа к его предыдущему члену.

    Вот еще несколько примеров арифметической прогрессии:

    \ [\ begin {array} {l}
    6,13,20,27,34, \ ldots \\ [0,3 см]
    91,81,71,61,51, \ ldots \ [0,3 см]
    \ пи, 2 \ пи, 3 \ пи, 4 \ пи, 5 \ пи, \ ldots \\ [0,3 см]
    — \ sqrt {3}, — 2 \ sqrt {3}, — 3 \ sqrt {3}, — 4 \ sqrt {3}, — 5 \ sqrt {3}, \ ldots
    \ end {array} \]

    Мы также можем найти некоторые вопросы по арифметической прогрессии в разделах «Решенные примеры» и «Think Tank» на этой странице.

    2. Какие бывают типы арифметической прогрессии?

    Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой различия между каждыми двумя последовательными членами одинаковы.

    Арифметическая прогрессия не подразделяется ни на какие другие. Однако есть три типа прогрессий. Их:

    • Арифметические прогрессии
    • Геометрические прогрессии
    • Гармонические прогрессии

    3. Какова формула суммы арифметической прогрессии?

    Формулы, относящиеся к арифметической прогрессии для класса 10 th :

    Сумма \ (n \) условий AP

    \ (\ begin {align} S_n & = \ frac {n} {2} (2a + (n-1) d) \ end {align} \)

    Сумма \ (n \) условий AP

    \ (\ begin {align} S_n & = \ frac {n} {2} (2a + (n-1) d) \ end {align} \)
    Сумма \ (n \) условий AP
    \ (\ begin {align} S_n & = \ frac {n} {2} (a_1 + a_n) \ end {align} \)


    Мы также можем увидеть задачи арифметической прогрессии / суммы арифметической прогрессии в этой статье в разделе практических вопросов.

    4. Где используется арифметическая прогрессия?

    Арифметическая прогрессия используется, когда мы придумываем последовательность чисел, в которой каждые два последовательных члена имеют одинаковую разницу.

    Вы можете обратиться к разделу «Определение арифметической прогрессии» на этой странице за реальным примером.

    Калькулятор арифметической прогрессии — Расчет высокой точности

    [1] 2021/02/04 00:02 Мужской / 20-летний уровень / Другое / Очень /

    Цель использования
    Для исследования
    Комментарий / Запрос
    Найти первый четвертый член и восьмой член последовательности и правило для n-го члена, то есть определить an как явную функцию от n

    [2] 21.01.2021 19:32 Мужской / Моложе 20 лет / Средняя школа / Университет / аспирант / Очень /

    Цель использования
    Знания
    Комментарий / запрос
    Учитывая, что семестр 1 = 23, семестр n = 43, семестр 2n = 91.Для AP найдите первый член, общее различие и n

    [3] 2020/08/17 21:17 Мужчина / Моложе 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Очень /

    Цель используйте
    Назначение
    Комментарий / запрос
    Учитывая, что 4, p, q13 являются последовательными членами ap.
    Найти значения p и q?

    [4] 2020.08.12 22:57 Мужчина / 40-летний уровень / Инженер / Очень /

    Цель использования
    Игра в игру, в которой стоимость каждого специального предмета увеличивается на d = 50 монеты.п. Найдите третий член.

    [6] 2020/03/20 16:04 — / — / — / — /

    Комментарий / запрос
    Маллам усман вклад № 1000 в банк для его сына в каждый день его рождения с первого по двадцатая включительно. какой будет общая стоимость в двадцать первый день рождения сына?

    [7] 2019/09/17 04:31 Мужчина / 30 лет / Инженер / — /

    Цель использования
    Разработка линий и определение последовательности.
    Комментарий / запрос
    Сумма первых 50 членов арифметической прогрессии = 200.Сумма следующих 50 членов = 2700. Какой 10-й член прогрессии?

    [8] 2019/03/30 06:36 Мужской / До 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Полезно /

    Цель использования
    нужна помощь
    Комментарий / запрос
    помощь Я решаю эту проблему .. Первый и последний член ап — 2 и 125 соответственно. Если 5-й семестр равен 14, найдите номер семестра в AP

    [9] 2019/01/30 01:47 Женский / До 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Очень /

    Цель использования
    исследование

    [10] 2018/02/24 05:57 Мужской / 20-летний уровень / Средняя школа / Университет / аспирант / Очень /

    Цель использования
    Я хочу написать wassce 2018 сен

    Арифметические прогрессии Проблемы с решениями — Hitbullseye

    Q1. Первый и третий члены AP {A 1 }: A 1 = a и A 3 = b, а 1 = a и a 5 = b соответственно первое и пятое условия другого AP {a 1 }. Найдите отношение A n + 1 и 2n + 1 .

    Ответ и объяснение

    Sol: Опция C
    Пояснение Для первого A.P. a + 2D 1 = b, т.е. D 1 = [b — a] / 2.
    Для второго А.P. a + 4D 2 = b, т.е. D 2 = [b — a] / 4.
    Теперь значение A n + 1 будет a + (n + 1 — 1) * [b — a] / 2.
    Точно так же значение 2n + 1 будет a + (2n + 1 — 1) * [b — a] / 4. Взяв соотношение этих двух, получаем:

    Таким образом, третий вариант — это ответ. 2 квартал. Имеется набор из четырех чисел p, q, r и s соответственно таким образом, что первые три находятся в G.P. а последние три находятся в A.P. с разницей в 6. Если первое и четвертое числа совпадают, найдите значение p.

    А. 8

    Б. 2

    C. –4

    Д. –24

    Ответ и объяснение

    Sol: Опция A
    Пояснение: Пусть первые три числа будут a / r, a, ar.
    Это также означает, что четвертое число будет (ar + 6).
    Из них первое и четвертое числа совпадают, т.е. a / r = ar + 6 (ii).
    Также можно сказать, что ar = a + 6
    ⇒ ar — a = 6 ⇒ a (r — 1) = 6 или a = 6 / (r — 1) (iii).
    Поместите значение a из (iii) в (ii), мы получим квадратное уравнение как 2r 2 — r — 1 = 0.
    Решая ее, мы получаем значение r как — 1/2 или 1/2.
    Полагая r как — 1/2, мы получаем значение a равно — 4, а полагая r равным 1/2, получаем значение a как — 12.
    Первый член GP становится 8 и — 24 соответственно.
    Точно так же третий член GP становится 2 и — 6 соответственно.
    Двумя возможными сериями GP являются 8, -4, 2 и -24, — 12, — 6.
    Последние члены этих 2 серий становятся 8 и 0 соответственно.
    Смотрите, во втором возможном ряду первое и четвертое числа не совпадают, как указано в вопросе.Таким образом, единственными возможными числами являются 8, — 4, 2, 8, поэтому первый вариант — это ответ.

    3 квартал. В арифметической прогрессии 23 члена, сумма трех средних членов этой арифметической прогрессии равна 720, а сумма последних трех членов этой арифметической прогрессии равна 1320. Что такое 18 -й член этой арифметической прогрессии?

    А. 240

    Б. 360

    В. 340

    Д. 440

    Ответ и объяснение

    Sol: Опция B
    Пояснение: Средние три члена этой арифметической прогрессии представляют одиннадцатый, двенадцатый и тринадцатый член.
    Среднее значение этих трех членов будет представлять двенадцатый член, то есть 12-й член будет 720/3 = 240. Среднее из трех последних членов будет двадцать вторым членом, то есть 1320/3 = 440
    Разница двадцати второго члена и двенадцатый член даст нам разницу в десять раз, т.е. 440 — 240 = 200/10 = 20 будет разницей. Если двенадцатый член равен 240, 18-й член будет 240 + 6d, то есть 240 + 6 * 20 = 360 будет 18-м членом. Если вы хотите применить для решения формулу арифметической прогрессии, вы также можете сделать это таким же образом.Следовательно, 2-й вариант — правильный ответ.

    4 квартал. Первый член арифметической прогрессии равен 15, а последний член — 85. Если сумма всех членов равна 750, какой будет шестой член?

    Ответ и объяснение

    Sol: опция B
    Пояснение:
    Сумма всех членов этой арифметической прогрессии равна (n / 2) (a + l) = 750. Это дает нам n = 15 членов. Пятнадцатый член этой арифметической прогрессии равен (a + 14d) = 85.Подставляя вместо a, мы получаем d = 5. Следовательно, шестой член этой арифметической прогрессии равен (a + 5d) = 40.

    5. Первый член AP равен 10, а последний член — 28. Если сумма всех членов равна 190, какова общая разница?

    Ответ и объяснение

    Sol: опция D
    Объяснение: Сумма всех членов равна (n / 2) (a + l) = 190. Это дает нам n = 10.
    10-й член (a + 9d) = 28. Подставляя вместо a, получаем d = 2.

    Обязательно прочтите статьи об арифметической прогрессии

    Q.6. . Сумма трех чисел в арифметической прогрессии равна 45, а их произведение — 3000. Какие три числа?

    А. 5, 15, 25

    Б. 12, 15, 18

    С. 10, 15, 20

    Д. -10, -15, -20

    Ответ и объяснение

    Sol: Option C
    Пояснение: Предполагая, что числа (a — d), a, (a + d) и их сумма равна 45, мы получаем среднее число как 15.Теперь произведение (a — d) (a + d) = 200. Решая, получаем d = 5. Следовательно, числа 10, 15 и 20.

    Q.7. Сумма первых шести членов AP равна 48, а общая разница — 2. Что такое 4-й член?

    Ответ и объяснение

    Sol: Option C
    Объяснение: Сумма шести членов равна 3 * (2a + 5 * 2) = 48. Решая это, мы получаем a = 3.
    Четвертый член (a + 3d ) = 9.

    Q8. Сумма трех чисел в арифметической прогрессии равна 72, а их произведение равно 11880. Какие числа?

    А. 21, 24, 27

    Б. 12, 24, 36

    С. 18, 24, 30

    Д. 15, 24, 33

    Ответ и объяснение

    Sol: Option D
    Пояснение: Предполагая, что числа в арифметической прогрессии равны (a — d), a, (a + d) и их сумма равна 72, мы получаем среднее число как 24.Теперь произведение (a — d) (a + d) = 495. Решая, получаем d = 9. Следовательно, числа 15, 24 и 33.

    Q9. Первый член AP — 3, а последний член — 17. Если сумма всех членов равна 150, какой будет 5-й член?

    Ответ и объяснение

    Sol: опция B
    Объяснение: Сумма всех членов равна (n / 2) (a + l) = 150. Это дает нам n = 15. Пятнадцатый член равен (a + 14d) = 17. Подставляя вместо a, получаем d = 1.Следовательно, 5-й член равен (a + 4d) = 7.

    Q10. Пятый срок AP составляет 17/6, а девятый срок — 25/6. Какой 12-й семестр?

    А. 29/6

    Б. 31/6

    С. 33/6

    Д. 34/6

    Ответ и объяснение

    Sol: опция B
    Пояснение: Пятый и девятый члены — это (a + 4d) и (a + 8d). Приравнивая эти члены к их значениям и решая как одновременные уравнения, мы получаем a = 3/2 и d = 1/3.Таким образом, 12-й член равен (a + 11d) = (3/2) + (11/3) = 31/6.

    Нахождение числа членов в конечной арифметической последовательности

    Явные формулы могут использоваться для определения количества членов в конечной арифметической последовательности. Нам нужно найти общее различие, а затем определить, сколько раз общее различие должно быть добавлено к первому члену, чтобы получить последний член последовательности.

    Как сделать: учитывая первые три члена и последний член конечной арифметической последовательности, найдите общее количество членов.

    1. Найдите общую разницу [латекс] d [/ латекс].
    2. Подставьте общее различие и первый член в [латекс] {a} _ {n} = {a} _ {1} + d \ left (n — 1 \ right) [/ latex].
    3. Замените последний член на [латекс] {a} _ {n} [/ latex] и решите для [latex] n [/ latex].

    Пример 6: Нахождение числа членов в конечной арифметической последовательности

    Найдите количество членов в конечной арифметической последовательности .

    [латекс] \ left \ {8 \ text {,} 1 \ text {,} -6 \ text {,}… \ text {,} -41 \ right \} [/ latex]

    Решение

    Общее различие можно найти, вычитая первый член из второго.

    [латекс] 1–8 = -7 [/ латекс]

    Общее различие [латекс] -7 [/ латекс]. Подставьте общее различие и начальный член последовательности в формулу термина [latex] n \ text {th} [/ latex] и упростите.

    [латекс] \ begin {array} {l} {a} _ {n} = {a} _ {1} + d \ left (n — 1 \ right) \ hfill \\ {a} _ {n} = 8 + -7 \ left (n — 1 \ right) \ hfill \\ {a} _ {n} = 15 — 7n \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Замените [латекс] -41 [/ latex] на [latex] {a} _ {n} [/ latex] и решите для [latex] n [/ latex]

    [латекс] \ begin {array} {l} -41 = 15 — 7n \ hfill \\ 8 = n \ hfill \ end {array} [/ latex]

    В последовательности восемь членов.

    Попробовать 7

    Найдите количество членов в конечной арифметической последовательности.

    [латекс] \ left \ {6 \ text {,} 11 \ text {,} 16 \ text {,}… \ text {,} 56 \ right \} [/ latex]

    Решение прикладных задач с помощью арифметических последовательностей

    Во многих прикладных задачах часто имеет смысл использовать начальный термин [латекс] {a} _ {0} [/ latex] вместо [latex] {a} _ {1} [/ latex]. В этих задачах мы слегка изменяем явную формулу, чтобы учесть разницу в начальных членах.Мы используем следующую формулу:

    [латекс] {a} _ {n} = {a} _ {0} + dn [/ latex]

    Пример 7: Решение прикладных задач с помощью арифметических последовательностей

    Пятилетний ребенок получает пособие в размере 1 доллара в неделю. Его родители обещают ему ежегодную прибавку в размере 2 долларов в неделю.

    1. Составьте формулу еженедельного пособия на ребенка в данном году.
    2. Какое будет пособие ребенку, когда ему исполнится 16 лет?

    Решение

    1. Ситуацию можно смоделировать арифметической последовательностью с начальным членом 1 и общей разностью 2.Пусть [latex] A [/ latex] будет размером пособия, а [latex] n [/ latex] будет количеством лет после достижения 5-летнего возраста. Используя измененную явную формулу для арифметической последовательности, мы получаем:

      [латекс] {A} _ {n} = 1 + 2n [/ латекс]

    2. Мы можем найти количество лет, прошедших с 5-летнего возраста, путем вычитания.

      [латекс] 16 — 5 = 11 [/ латекс]

      Мы ищем пособие на ребенка после 11 лет. Подставьте 11 в формулу, чтобы найти пособие на ребенка в возрасте 16 лет.

      [латекс] {A} _ {11} = 1 + 2 \ left (11 \ right) = 23 [/ latex]

      Пособие на ребенка в возрасте 16 лет составляет 23 доллара в неделю.

    Попробовать 8

    Женщина решает бегать по 10 минут каждый день на этой неделе и планирует увеличивать время ежедневной пробежки на 4 минуты каждую неделю. Напишите формулу для времени ее бега через n недель. Как долго будет ее ежедневная пробежка через 8 недель с сегодняшнего дня?

    Решение

    .