A 2 b 2 как решить: Формулы сокращенного умножения 💣

Формулы сокращенного умножения 💣

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

393.6K

Знакомство с сокращенным умножением начинается впервые в седьмом классе. Тема непростая: нужно выучить наизусть много формул. Но зато вы сможете быстрее решать задачки без ошибок. Проверим?

Формулы сокращенного умножения

Вместо букв a, b могут быть любые числа, переменные или даже целые выражения. Для быстрого решения задач лучше выучить основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ) наизусть. Да, алгебра такая, нужно быть готовым много запоминать.

Ниже удобная табличка, которую можно распечатать и использовать, как закладку для быстрого запоминания формул.

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Как читать формулы сокращенного умножения

Учимся проговаривать формулы сокращенного выражения:

 

1. Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и их суммы.


2. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.


3. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.


4. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго на неполный квадрат их разности.


5. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго на неполный квадрат их суммы.


6. Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.


7. Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.

Обучение на курсах по математике — дорога к хорошим оценкам в школе и высокому баллу на экзамене.

Доказательство формул сокращенного умножения

Напомним, что разность квадратов двух чисел a и b равна произведению их разности и их суммы: a

2 — b² = (a — b) * (a + b).

Иначе говоря, произведение суммы a и b на их разность равна разности их квадратов: (a — b) * (a + b) = a² — b².

Важно знать, что разность квадратов не равна квадрату разности: a² — b² ≠ (a — b)².

Докажем, что a² — b² = (a — b) * (a + b).

Поехали:

1. Используя искусственный метод, прибавим и отнимем одно и тоже a * b.

   + a * b — a * b = 0

   a² — b²

   = a² — b² + ab — ab

2. Сгруппируем иначе: a² — b² + a * b — a * b = a² — a * b + a * b — b²


3. Продолжим группировать: a² — a * b — b² +a * b = (a² — a * b) + (a * b — b²)


4. Вынесем общие множители за скобки:

   (a² — a * b) + (a * b — b²) = a *(a — b) + b *(a — b)

5. Вынесем за скобки (a — b). a * (a — b) + b * (a — b) = (a — b) * (a + b)


6. Результат доказательства: a² — b² = (a — b) * (a + b)


7. Для того, чтобы доказать в обратную сторону: (a — b) * (a + b) = a² — b², нужно раскрыть скобки: (a — b) * (a + b) = a * a + a * b — b * a — b * b = a² — b².

Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.

 

Дополнительные формулы сокращенного умножения

К таблице основных ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, которые пригодятся для решения задач.

Бином Ньютона

Формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается вот так:

Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:

ФСУ для квадрата и куба суммы и разности — являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Пригодится, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два. 

(a₁

+a₂+…+a_n)² = a₁² + a₂² + … + a_n-1² + a_n² + 2 * a₁ * a₂ + 2 * a₁ * a₃ + 2 * a₁ * a₄ + … +

+ 2 * a₁ * a_n-1 + 2 * a₁ * a_n + 2 * a₂ * a₃ + 2 * a₂ * a₄ + … + 2 * a₂ * a_n-1 + 2 * a₂ * a_n +…+

+ 2 * a_n-1 * a_n

Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

aⁿ − bⁿ = (a − b) * (a^n-1 + a^n-2 * b + a^n-3 * b² + … + a * b^n-2 + b^n-1).

Для четных показателей можно записать так:

a^2*m − b^2*m = (a² − b²) *(a^2*m−2 + a^2*m−4 * b² + a^2*m−6 * b⁴ + … + b

2*m−2).

Для нечетных показателей:

a^2*m+1 − b^2*·m+1 = (a − b) * (a^2*m + a^2*m−1 * b + a^2*m−2 * b² + … + b^2*m).

Частными случаями являются формулы разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b можно также заменить на −b.

Решение задач

Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.

Задание 1

Что сделать: вычислить квадрат произведения (55 + 10)².

Как решаем: воспользуемся формулой квадрата суммы: (55 + 10)² = 55² + 2 * 55 * 10 + 10² = 3025 + 1100 + 100 = 4225.

Задание 2

Что сделать: упростить выражение 64 * с³ – 8.

Как решаем: применим разность кубов: 64 * с³ – 8 = (4 * с)³ – 2³ = (4 * с – 2)((4 * с)² + 4 * с * 2 + 2²) = (4 * с – 2)(16 * с² + 8 * с + 4).

Задание 3

Что сделать: раскрыть скобки (7 * y — x) * (7 * y + x).

Как решаем:

1. Произведем умножение: (7 * y — x) * (7 * y + x) = 7 * y * 7 * y + 7 * y * x — x * 7 * y — x * x = 49 * y² + 7 * y * x — 7 * y * x — x² = 49 * y² — x².
2. Используем формулу сокращенного умножения: (7 * y — x) * (7 * y + x) = (7 * y)² — x² = 49 * y² — x².

Многочленов бояться не стоит, просто совершайте последовательно каждое действие. С формулами решать задачки быстрее и удобнее — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте своих учителей 🙂

---

---

 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

134.9K

Таблица степеней

К следующей статье

299.8K

Умножение дробей: теория и практика

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Формулы сокращённого умножения.

Неполный квадрат суммы и разности

• Разложение формул сокращенного умножения
• Неполный квадрат суммы
• Неполный квадрат разности

При выполнении преобразований разных выражений часто встречаются некоторые частные случаи умножения. Равенства, выражающие эти случаи, называются формулами сокращённого умножения.

Формулы сокращённого умножения — это выражения, в которых пропущены промежуточные вычисления, поэтому их и называют сокращёнными.

a² + b² = (a + b)² — 2ab  —  сумма квадратов;

a² — b² = (a + b)(a — b)  —  разность квадратов;

(a + b)² = a² + 2ab + b²  —  квадрат суммы;

(a — b)² = a² — 2ab + b²  —  квадрат разности;

a³ + b³ = (a + b)(a² — ab + b²)  —  сумма кубов;

a³ — b³ = (a — b)(a² + ab + b²)  —  разность кубов;

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³  —  куб суммы;

(a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³  —  куб разности.

Обратите внимание, что  a  и  b  в формулах сокращённого умножения могут быть как числами, так и выражениями.

Разложение формул сокращенного умножения

Рассмотрим каждую формулу подробнее и приведём доказательство верности формул сокращённого умножения.

Сумма квадратов двух чисел равна разности квадрата суммы этих чисел и их удвоенного произведения:

a² + b² = (a + b)² — 2ab.

Доказательство: выполним преобразование правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(a + b)² — 2ab = (a + b)(a + b) — 2ab = a² + ab + ab + b² — 2ab = a² + b².

Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность:

a² — b² = (a + b)(a — b).

Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(a + b)(a — b) = a² — ab + ab — b² = a² — b².

Квадрат суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

(a + b)² = a² + 2ab + b².

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа:

(a — b)² = a² — 2ab + b².

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(a — b)² = (a — b)(a — b) = a² — ab — ab + b² = a² — 2ab + b².

Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы первого и второго числа на неполных квадрат разности этих чисел:

a³ + b³ = (a + b)(a² — ab + b²).

Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(a + b)(a² — ab + b²) = a³ — a²b + ab² + a²b — ab² + b³ = a³ + b³.

Разность кубов двух чисел равна произведению разности первого и второго числа на неполный квадрат суммы этих чисел:

a³ — b³ = (a — b)(a² + ab + b²).

Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(a — b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² — a²b — ab² — b³ = a³ — b³.

Куб суммы двух чисел равен сумме четырёх слагаемых: куб первого числа, утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, утроенное произведение первого числа на квадрат второго и куб второго числа:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(a + b)³ = (a + b)(a + b)² = (a + b)(a² + 2ab + b²) = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, минус куб второго числа:

(a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³.

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(a — b)³ = (a — b)(a — b)² = (a — b)(a² — 2ab + b²) = a³ — 2a²b + ab² — a²b + 2ab² — b³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³.

Неполный квадрат суммы

Выражение:

a² + 2ab + b²

это квадрат суммы, которое также называется полным квадратом суммы, относительно выражения:

a² + ab + b²,

которое называется неполным квадратом суммы. Неполный квадрат суммы — это сумма квадратов двух чисел и их произведения. Неполный квадрат суммы отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.

Неполный квадрат разности

Выражение:

a² — 2ab + b²

это квадрат разности, который также называется полным квадратом разности относительно выражения:

a² — ab + b²,

которое называется неполным квадратом разности. Неполный квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа. Неполный квадрат разности отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.

2 формула может быть выражена как:

a ²  + b ²  = (a +b) ²  — 2ab

Кроме того,  + 2ab
где, a, b = произвольные числа.

Пусть a и b — два числа, квадраты a и b равны a ² и b ² . Сумма квадратов a и b равна a ² + b ² . Мы могли бы получить формулу, используя известное алгебраическое тождество (a+b) 92 Формула

Пример 1: Используя формулу суммы квадратов, найдите значение 5 ² + 6 ² ?

Решение:

Чтобы найти: значение 5 ² + 6 ²
Дано: а = 5, b = 6
Используя формулу суммы квадратов,
а ² + б ² = (а + б) ² — 2аб
5 ² + 6 ² = (5 + 6) ² − 2(5)(6)
= 121 — 2(30)
= 121 − 60 
= 61

Ответ: значение 5 ² + 6 ² — 61.

Пример 2: Убедитесь, что значение x ² + y ² is (x + y) ²  — 2xy по формуле ² + b ²  .

Решение: Для проверки x ² + y ² = (x + y) ²  — 2xy
Воспользуемся формулой a ² + b ² 
. а = х, б = у
По формуле (a + b) ² разложим исходные члены.
(а + б) ²  = а ² + б ² + 2аб
Подставим значения a и b вместо x и y
(x + y) ²  = x ² + y ² + 2xy
Вычитая 2xy с обеих сторон,
x ² + y ²  = (x + y) ²  — 2xy

Ответ: Следовательно проверено

92 формула. Подтвердите свои ответы.
Решение: 
10 ² + 20 ² = 100 + 400 = 500
Используя формулу а ² + b ² = (a +b) ²  -2ab, получаем 10 ² + 20 ² = (10 + 20 × 2 ^{2 )
= 900   — 400
= 500
Таким образом проверено.}

Часто задаваемые вопросы по

²  + b ²  Формула

Что такое расширение

²  + b ²  Формула?

a ² + b ²  формула известна как формула суммы квадратов, она читается как квадрат плюс b квадрат. Его расширение выражается как а ²  + b ²  = (a + b) ²  -2ab.

Что такое a

²  + b ² Формула в алгебре?

Формула a ²  + b ² является одним из важных алгебраических тождеств. Он представлен a ² + b ²  и читается как квадрат плюс b квадрат. Формула (a ² + b ² ) выражается как a ²  + b ²  = (a +b) ²  -2ab.

Как упростить числа, используя формулу a

²  + b ² ?

Давайте разберемся в использовании формулы a ² + b ² a ² + b ² на следующем примере.
Пример: Найти значение 20 ²  + 30 ²  по формуле a ²  + b ²  .
Чтобы найти: 20 ²  + 30 ²
Предположим, что a = 20 и b = 30,
Мы подставим их в формулу суммы квадратов, то есть a ² + b ²  
а ²  + б ²  = (а +б) ²  -2аб
20 ² +30 ²  = (20+30) ²  — 2(20)(30)
= 2500 — 1200 = 1300 92 Формула?

Формула a ²  — b ²  задается как: a ²  — b ²  = (a — b) (a + b)

умножьте (a — b) (a + b) и посмотрите, получится ли ²  — b ² .

Проверка a

²  — b ²  Формула

Давайте посмотрим на доказательство формулы квадрат минус b квадрат. Чтобы убедиться, что a ² — b ² = (a — b) (a + b), нам нужно доказать, что LHS = RHS. Попробуем решить уравнение:

а ² — б ² = (а — б) (а + б)
Умножаем (a — b) и (a + b) получаем
=а(а+б) -б(а+б)
=а ² + аб — ба — б ²
=а ² + 0 + б ²
=а ²  — б ²  
Следовательно, проверено
a ²  — b ²  = (a — b) (a + b)

Вы можете понять формулу a ²  — b ²  геометрически, используя следующий рисунок: 92 Формула

Доказательство того, что значение a ²  — b ² равно (a + b)(a — b). Рассмотрим приведенный выше рисунок. Возьмите два квадрата со сторонами a единиц и b единиц соответственно. Это также может быть представлено как сумма площадей двух прямоугольников, как показано на рисунке ниже.

Один прямоугольник имеет длину в единицу и ширину в (a – b) единиц, с другой стороны второй прямоугольник имеет длину (a – b) и ширину в b единиц. Теперь сложите площади двух прямоугольников, чтобы получить результирующие значения. Соответствующие площади двух прямоугольников равны (a – b) × a = a(a – b) и (a – b) × b = b(a – b). Сумма площадей прямоугольников представляет собой фактическое полученное результирующее выражение, т. е. a(a + b) + b(a — b) = (a + b)(a — b). Снова переставляя отдельные прямоугольники и квадраты, мы получаем: (a+b)(a−b)=a 92 формула.

Пример 1: Используя формулу ² — b ² , найдите значение 106 ²  — 6 ² .

Решение:  Чтобы найти: 100 ²  — 6 ² .

Предположим, что a = 100 и b = 6.
Мы заменим их в формуле a ² — b ² .
а ² — б ² = (а — б) (а + б)
106 ²   — 6 ²  = (106 — 6) (106 + 6)
= (100) (112)
= 11200

Ответ: 106 ² — 6 ² = 11200.

Пример 2: Фактор. — 64.
Мы будем использовать формулу a ² — b ²   , чтобы разложить это на множители.
Мы можем записать данное выражение как
25x ²  — 64 = (5x) ²  — 8 ²
Подставим a = 5x и b = 8 в формулу a ²  — b ² .
а ² — б ² = (а — б) (а + б)
(5x) ²  — 8 ²  = (5x — 8) (5x + 8)

Ответ: 25x ²  — 64 = (5x — 8) (5x 5 8) Пример

11 : Упростить 10 ²  — 5 ²  используя a ²  — b ²  формула

92 Формула

Что такое расширение формулы

² — b ² ?

a ² — b ²  формула читается как квадрат минус b квадрат. Его разложение выражается как а ² — b ² = (a — b) (a + b)

Что такое а

² — b ² Формула в алгебре?

Формула a ² — b ² также известна как одна из важных алгебраических тождеств.