Mathway | Популярные задачи

1Найти точное значениеsin(30)
2Найти точное значениеsin(45)
3Найти точное значениеsin(30 град. )
4Найти точное значениеsin(60 град. )
5Найти точное значениеtan(30 град. )
6Найти точное значениеarcsin(-1)
7Найти точное значениеsin(pi/6)
8
Найти точное значение		cos(pi/4)
9Найти точное значениеsin(45 град. )
10Найти точное значениеsin(pi/3)
11Найти точное значениеarctan(-1)
12Найти точное значениеcos(45 град. )
13
Найти точное значение		cos(30 град. )
14Найти точное значениеtan(60)
15Найти точное значениеcsc(45 град. )
16Найти точное значениеtan(60 град. )
17Найти точное значениеsec(30 град.
)
18Найти точное значениеcos(60 град. )
19Найти точное значениеcos(150)
20Найти точное значениеsin(60)
21Найти точное значениеcos(pi/2)
22Найти точное значение
tan(45 град. )
23Найти точное значениеarctan(- квадратный корень из 3)
24Найти точное значениеcsc(60 град. )
25Найти точное значениеsec(45 град. )
26Найти точное значение
csc(30 град. )
27Найти точное значениеsin(0)
28Найти точное значениеsin(120)
29Найти точное значениеcos(90)
30Преобразовать из радианов в градусыpi/3
31Найти точное значениеtan(30)
32Преобразовать из градусов в радианы45
33Найти точное значениеcos(45)
34Упроститьsin(theta)^2+cos(theta)^2
35Преобразовать из радианов в градусыpi/6
36Найти точное значениеcot(30 град. )
37Найти точное значениеarccos(-1)
38Найти точное значениеarctan(0)
39Найти точное значениеcot(60 град. )
40Преобразовать из градусов в радианы30
41Преобразовать из радианов в градусы(2pi)/3
42Найти точное значениеsin((5pi)/3)
43Найти точное значениеsin((3pi)/4)
44Найти точное значениеtan(pi/2)
45Найти точное значениеsin(300)
46Найти точное значениеcos(30)
47Найти точное значениеcos(60)
48Найти точное значениеcos(0)
49Найти точное значениеcos(135)
50Найти точное значениеcos((5pi)/3)
51Найти точное значениеcos(210)
52Найти точное значениеsec(60 град. )
53Найти точное значениеsin(300 град. )
54Преобразовать из градусов в радианы135
55Преобразовать из градусов в радианы150
56Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/6
57Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/3
58Преобразовать из градусов в радианы89 град.
59Преобразовать из градусов в радианы60
60Найти точное значениеsin(135 град. )
61Найти точное значениеsin(150)
62Найти точное значениеsin(240 град. )
63Найти точное значениеcot(45 град. )
64Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/4
65Найти точное значениеsin(225)
66Найти точное значениеsin(240)
67Найти точное значениеcos(150 град. )
68Найти точное значениеtan(45)
69Вычислитьsin(30 град. )
70Найти точное значениеsec(0)
71Найти точное значениеcos((5pi)/6)
72Найти точное значениеcsc(30)
73Найти точное значениеarcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74Найти точное значениеtan((5pi)/3)
75Найти точное значениеtan(0)
76Вычислитьsin(60 град. )
77Найти точное значениеarctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78Преобразовать из радианов в градусы(3pi)/4
79Найти точное значениеsin((7pi)/4)
80Найти точное значениеarcsin(-1/2)
81Найти точное значениеsin((4pi)/3)
82Найти точное значениеcsc(45)
83Упроститьarctan( квадратный корень из 3)
84Найти точное значениеsin(135)
85Найти точное значениеsin(105)
86Найти точное значениеsin(150 град. )
87Найти точное значениеsin((2pi)/3)
88Найти точное значениеtan((2pi)/3)
89Преобразовать из радианов в градусыpi/4
90Найти точное значениеsin(pi/2)
91Найти точное значениеsec(45)
92Найти точное значениеcos((5pi)/4)
93Найти точное значениеcos((7pi)/6)
94Найти точное значениеarcsin(0)
95
Найти точное значение		sin(120 град. )
96Найти точное значениеtan((7pi)/6)
97Найти точное значениеcos(270)
98Найти точное значениеsin((7pi)/6)
99Найти точное значениеarcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100Преобразовать из градусов в радианы88 град.

Формулы приведения: таблица, примеры, правила

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

102.6K

Из этой статьи вы узнаете, как привести тригонометрические функции огромных аргументов к функциям аргумента из промежутка [0; π/2]. А еще — как в этом занятии поможет лошадка и кому она кивает. 🐴

Вы наверняка помните значения тригонометрических функций основных аргументов:

Но что делать, если в задаче просят вычислить ? В этом и других случаях, когда из огромного аргумента нам нужно получить аргумент в пределе от 0 до 90 градусов, работают формулы приведения.

Всего формул приведения тридцать две штуки, но прежде чем мы перейдем к формулам, давайте договоримся, что точку тригонометрической окружности, отвечающую углу , где n — целое число, мы будем называть опорной точкой.

Список формул приведения

Формулы приведения c опорной точкой (случай n = 1):

  • ;

  • ;

  • ;

  • ;

  • ;

  • ;

  • ;

  • .

Формулы приведения c опорной точкой (случай n = 2):

  • ;

  • ;

  • ;

  • ;

  • ;

  • ;

  • ;

  • .

Формулы приведения c опорной точкой (случай n = 3):

  • ;

  • ;

  • ;

  • ;

  • ;

  • ;

  • ;

  • .

Формулы приведения c опорной точкой (случай n = 4):

  • ;

  • ;

  • ;

  • ;

  • ;

  • ;

  • ;

  • .

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Доказательство формул

Чтобы убедиться, что формулы рабочие, рассмотрим примеры доказательств нескольких из них.

Для этого нам нужно будет вспомнить формулы сложения для синуса и косинуса:

  • ;

  • .

Формула приведения с синусом

Разберем первый пример формулы приведения с синусом: . Нужно доказать, что левая часть равна правой.

По формуле синуса суммы представим левую часть выражения:

Вычислим и в получившемся выражении:

Таким образом, , что и требовалось доказать.

Формула приведения с косинусом

Рассмотрим также пример формулы приведения с косинусом и докажем ее:

Аналогично распишем левую часть по формуле косинуса суммы:

Вычислим и

Следовательно, , что и требовалось доказать.

Формула приведения с тангенсом

Чтобы доказать формулу приведения с тангенсом, нужно вспомнить, что тангенс — это отношение синуса к косинусу. Тогда для доказательства нужно лишь дважды использовать формулы сложения — попробуйте сами на формуле и сравните с примером.

При желании таким образом вы сможете доказать справедливость всех формул.

Таблица формул приведения

Нередко можно встретить такой вариант оформления формул приведения — в виде таблицы.

Для того чтобы воспользоваться этой таблицей, выберите строку с нужной функцией и столбец с необходимым аргументом — на их пересечении вы узнаете ответ.

Например, нужно упростить . говорит нам о том, что нужно выбрать первую строку, указывает на шестую колонку. На их пересечении нашли ответ: . Значит,

Маленькую распечатанную таблицу формул приведения тригонометрических функций удобно иметь в пенале на случай неожиданных контрольных.

Как запомнить формулы приведения

Одно дело — воспользоваться формулами, а совсем другое — выучить их. Знать наизусть все формулы приведения или всю таблицу — дело нелегкое и, к счастью, абсолютно ненужное.

Поэтому познакомимся с мнемоническим алгоритмом:

  1. Представьте аргумент в виде , где n — целое число, а — острый угол, то есть принадлежит отрезку

  2. Изобразите (на листе или мысленно) на единичной окружности данный угол.

  3. С помощью окружности определите знак исходной функции. Полученная функция в правой части будет иметь такой же знак.

    Напоминаю знаки тригонометрических функций во всех четвертях тригонометрической окружности:

  4. Если в аргументе у опорной точки n — нечетное число, то исходную функцию замените на кофункцию, то есть на противоположную функцию (синус меняется на косинус, тангенс — на котангенс, и наоборот).

    Если в аргументе у опорной точки n — четное число, то функция не меняется.

Вот с этим пунктом изменения или сохранения функции возникает постоянная путаница. А запомнить поможет «правило лошадки».

Правило лошадки 🐴

Когда вы во втором шаге изобразили на единичной окружности угол, обратите внимание на положение опорной точки. Если она располагается на вертикальной оси, то при вопросе «Меняется ли функция?» лошадка кивает головой вверх-вниз и отвечает: «Да». Если опорная точка располагается на горизонтальной оси, то лошадка мотает головой влево-вправо и отвечает: «Нет, функция не меняется».

Таким образом, формулы приведения — это тригонометрические тождества вида

Задание 1

Найдите значение выражения

Вы видите, что каждое слагаемое выражения — это формула приведения тригонометрической функции. Упростим их по отдельности.

  1. Сначала нужно представить аргумент в виде , где n — целое число, а — острый угол. Здесь этот шаг уже выполнен, поэтому пропускаем его.

  2. Далее изображаем данный угол на тригонометрической окружности:

  3. Определяем знак исходной функции, то есть синуса. Синус этого угла принимает положительные значения.

  4. В конце определяем, меняется ли функция. В этом нам поможет «правило лошадки»: опорная точка лежит на горизонтальной оси, значит, функция не меняется на кофункцию, то есть синус не меняется на косинус.

Значит, .

Приведем аналогичные рассуждения для всех слагаемых в выражении.

  1. Аргумент уже представлен в виде , где n — целое число, а — острый угол.

  2. Косинус во второй четверти тригонометрической окружности принимает отрицательные значения.

  3. Опорная точка лежит на вертикальной оси — это случай, когда косинус меняется на синус.

Значит, .

  1. Аргумент уже представлен в виде , где n — целое число, а — острый угол.

  2. Косинус в третьей четверти тригонометрической окружности принимает отрицательные значения.

  3. Опорная точка лежит на вертикальной оси — это случай, когда косинус меняется на синус.

Значит, .

А теперь запишем преобразованные выражения в наше исходное и упростим:

Обратите внимание, к какому простому виду удалось привести это сложное, на первый взгляд, выражение.

Задание 2

До этого момента мы говорили о формулах приведения тригонометрических функций углов, выраженных в радианах. Однако мы понимаем, что градусы и радианы — это разные способы представления одних и тех же углов или аргументов, поэтому тригонометрические формулы приведения работают и для выражений с градусами.

Разберем на примере: найдите значение выражения .

В этом случае важно заметить, что , а значит, одну из функций, например , можно представить в виде , то есть в виде, необходимом для использования формулы приведения.

Так как первый шаг выполнен, то продолжаем идти по алгоритму.

Косинус в первой четверти тригонометрической окружности принимает положительные значения.

Опорная точка лежит на вертикальной оси, поэтому косинус меняется на синус.

Значит,

Запишем преобразованные выражения в наше исходное и упростим:

Формулы приведения в тригонометрии занимают второе место по важности и частоте использования после основного тригонометрического тождества, так что осваивайте теоретические материалы, практикуйтесь на задачках, а за другими полезными формулами и самыми хитрыми заданиями приходите на онлайн-курсы математики для детей в Skysmart.

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Кристина Тоскина

К предыдущей статье

Уравнение касательной к графику функции

К следующей статье

Логарифмы

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

  1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

  2. Расскажем, как проходят занятия

  3. Подберём курс

Мэтуэй | Популярные задачи

92
1 Найти точное значение грех(30)
2 Найти точное значение грех(45)
3 Найти точное значение грех(30 градусов)
4 Найти точное значение грех(60 градусов)
5 Найти точное значение загар (30 градусов)
6 Найти точное значение угловой синус(-1)
7 Найти точное значение грех(пи/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение грех(45 градусов)
10 Найти точное значение грех(пи/3)
11 Найти точное значение арктан(-1)
12 Найти точное значение cos(45 градусов)
13 Найти точное значение cos(30 градусов)
14 Найти точное значение желтовато-коричневый(60)
15 Найти точное значение csc(45 градусов)
16 Найти точное значение загар (60 градусов)
17 Найти точное значение сек(30 градусов)
18 Найти точное значение cos(60 градусов)
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение грех(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение загар (45 градусов)
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень из 3)
24 Найти точное значение csc(60 градусов)
25 Найти точное значение сек(45 градусов)
26 Найти точное значение csc(30 градусов)
27 Найти точное значение грех(0)
28 Найти точное значение грех(120)
29 Найти точное значение соз(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы пи/3
31 Найти точное значение желтовато-коричневый(30)
32
35 Преобразовать из радианов в градусы пи/6
36 Найти точное значение детская кроватка(30 градусов)
37 Найти точное значение арккос(-1)
38 Найти точное значение арктан(0)
39 Найти точное значение детская кроватка(60 градусов)
40 Преобразование градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2 шт. )/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение тан(пи/2)
45 Найти точное значение грех(300)
46 Найти точное значение соз(30)
47 Найти точное значение соз(60)
48 Найти точное значение соз(0)
49 Найти точное значение соз(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение сек(60 градусов)
53 Найти точное значение грех(300 градусов)
54 Преобразование градусов в радианы 135
55 Преобразование градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/3
58 Преобразование градусов в радианы 89 градусов
59 Преобразование градусов в радианы 60
60 Найти точное значение грех(135 градусов)
61 Найти точное значение грех(150)
62 Найти точное значение грех(240 градусов)
63 Найти точное значение детская кроватка(45 градусов)
64 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/4
65 Найти точное значение грех(225)
66 Найти точное значение грех(240)
67 Найти точное значение cos(150 градусов)
68 Найти точное значение желтовато-коричневый(45)
69 Оценить грех(30 градусов)
70 Найти точное значение сек(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение КСК(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74 Найти точное значение загар((5pi)/3)
75 Найти точное значение желтовато-коричневый(0)
76 Оценить грех(60 градусов)
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3 пи)/4 
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение угловой синус(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение КСК(45)
83 Упростить арктан(квадратный корень из 3)
84 Найти точное значение грех(135)
85 Найти точное значение грех(105)
86 Найти точное значение грех(150 градусов)
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение загар((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы пи/4
90 Найти точное значение грех(пи/2)
91 Найти точное значение сек(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение угловой синус(0)
95 Найти точное значение грех(120 градусов)
96 Найти точное значение желтовато-коричневый ((7pi)/6)
97 Найти точное значение соз(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100 Преобразование градусов в радианы 88 градусов

Мэтуэй | Популярные задачи

1 Найти точное значение грех(30)
2 Найти точное значение грех(45)
3 Найти точное значение грех(30 градусов)
4 Найти точное значение грех(60 градусов)
5 Найти точное значение загар (30 градусов)
6 Найти точное значение угловой синус(-1)
7 Найти точное значение грех(пи/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение грех(45 градусов)
10 Найти точное значение грех(пи/3)
11 Найти точное значение арктан(-1)
12 Найти точное значение cos(45 градусов)
13 Найти точное значение cos(30 градусов)
14 Найти точное значение желтовато-коричневый(60)
15 Найти точное значение csc(45 градусов)
16 Найти точное значение загар (60 градусов)
17 Найти точное значение сек(30 градусов)
18 Найти точное значение cos(60 градусов)
19 Найти точное значение соз(150)
20 Найти точное значение грех(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение загар (45 градусов)
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень из 3)
24 Найти точное значение csc(60 градусов)
25 Найти точное значение сек(45 градусов)
26 Найти точное значение csc(30 градусов)
27 Найти точное значение грех(0)
28 Найти точное значение грех(120)
29 Найти точное значение соз(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы пи/3
31 Найти точное значение желтовато-коричневый(30)
32 Преобразование градусов в радианы 92
35 Преобразовать из радианов в градусы пи/6
36 Найти точное значение детская кроватка(30 градусов)
37 Найти точное значение арккос(-1)
38 Найти точное значение арктан(0)
39 Найти точное значение детская кроватка(60 градусов)
40 Преобразование градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2 шт.

Related Posts

Leave A Comment