{n}=\underbrace{b*b*b*…*b}_{n \; раз}=a. $$

Число \(n \in N\) при этом называют показателем корня, а число \(a\) покоренным выражением.

Если \(n=2\), то перед вами корень 2-й степени или обычный арифметический квадратный корень, который все проходили в 8-м классе.

Если \(n=3\), то это корень 3-й степени, \(\sqrt[3]{a}\). Его обычно называют кубическим корнем. Чтобы его вычислить, нужно найти такое число, которое умноженное на само себя три раза, даст подкоренное выражение.

Если \(n=4\), то корень 4-й степени, \(\sqrt[4]{a}\) и т.д.

Операция извлечения корня n-й степени является обратной к операции возведения в n-ю степень. Для того, чтобы вычислить корень n-й степени от \(a\), нужно сообразить какое число в степени \(n\) будет давать \(a\).

Пример 1 $$ \sqrt[3]{27}=3 $$

Кубический корень из числа 27 равняется 3. Действительно, если число 3 возвести в 3-ю степень, то мы получим 27.

Пример 2 $$ \sqrt[4]{16}=2 $$

Корень 4-й степени из 16-и равен 2. Двойка в 4-й степени равна 16.

Пример 3 $$ \sqrt[n]{0}=0 $$

Если извлечь корень n-й степени из 0, всегда будет 0.

Пример 4 $$ \sqrt[n]{1}=1 $$

Если извлечь корень n-й степени из 1, всегда будет 1.

Пример 5 $$ \sqrt[3]{19}= ? $$

Мы не можем в уме подобрать такое число, которое при возведении в 3-ю степень даст 19. Если посчитать на калькуляторе, то получим \(2,668…\) – иррациональное число с бесконечным количеством знаков после запятой.

Обычно, в математике, когда у вас получается иррациональное число, корень не считают и оставляют так как есть \(\sqrt[3]{19}\).

Что же делать, если под рукой нет калькулятора, а нужно оценить, чему равен такой корень. В этом случае нужно подобрать справа и слева ближайшие числа, корень из которых посчитать можно:

$$ \sqrt[3]{8} \le \sqrt[3]{19} \le \sqrt[3]{27} $$ $$ 2 \le \sqrt[3]{19} \le 3 $$

Получается, что наш корень лежит между числами 2 и 3.

Пример 6
Оценить значение \(\sqrt[4]{15}= ?\) $$ \sqrt[4]{1} \le \sqrt[4]{15} \le \sqrt[4]{16}; $$ $$ 1 \le \sqrt[4]{15} \le 2; $$

Корень четной и нечетной степеней

Надо четко различать правила работы c четными и нечетными степенями. Дело в том, что корень четной степени можно взять только из неотрицательного числа. Из отрицательных чисел корень четной степени не существует.

Корень нечетной степени можно посчитать из любых действительных чисел. Иногда в школьной программе встречаются задания, в которых требуется определить имеет ли смысл выражение:

Пример 7 $$ \sqrt[3]{-27}=-3 $$

Данное выражение имеет смысл, так как корень нечетной степени можно посчитать из любого числа, даже отрицательного. Напоминаю, что извлечь корень 3-й степени, значит найти такое число, которое при возведении в 3-ю степень даст покоренное выражение. Если \((-3)\) умножить на само себя три раза, то мы получим покоренное выражение \(-27=(-3)*(-3)*(-3)\).

2}=\sqrt[3]{4};$$

Рассмотрим применение формул корня от произведения и частного, без которых невозможно решить ни один приличный пример.
Корень степени \(n\) от произведения равен произведению корней степени \(n\) от этих множителей. $$ \sqrt[n]{a*b}=\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b} $$

И аналогично корень степени \(n\) от частного равен частному корней n-й степени. $$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, b \neq 0 $$

Пример 13 $$\sqrt[3]{125*8}=\sqrt[3]{125}*\sqrt[3]{8}=5*2=10;$$ $$\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=\frac{-\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{-3}{2};$$

Формулы справедливы не только для двух множителей:

Пример 14 $$\sqrt[3]{125*8*27}=\sqrt[3]{125}*\sqrt[3]{8}*\sqrt{27}=5*2*3=30;$$

Пример 15 $$\sqrt[4]{\frac{16*81}{625}}=\frac{\sqrt[4]{16*81}}{\sqrt[4]{625}}=\frac{\sqrt[4]{16}*\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{625}}=\frac{2*3}{5}=\frac{6}{5};$$

Обратите внимание! Формулы произведения и частного корней справедливы только для корней с одинаковыми показателями.

3}=\sqrt[6]{1728};$$ $$\sqrt[6]{2916}>\sqrt[6]{1728};$$ $$3\sqrt[3]{2}>2\sqrt{3}.$$


Извлечение корня из корня

Что делать если корень вложен в корень? Подобных примеров много и выглядят они страшнее, чем есть на самом деле. Если корень с показателем \(n\) находится под корнем с показателем \(m\), то получается корень с показателем \(m*n\):

$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m*n]{a};$$

Пример 21
$$\sqrt[3]{\sqrt[2]{64}}=\sqrt[3*2]{64}=\sqrt[6]{64}=2;$$

Пример 22
$$\sqrt[3]{27\sqrt[4]{7}}=\sqrt[3]{27}*\sqrt[3]{\sqrt[4]{7}}=3*\sqrt[3*4]{7}=3*\sqrt[12]{7};$$

Пример 23
$$\sqrt[3]{\sqrt[4]{\sqrt[5]{2}}}=\sqrt[3*4*5]{2}=\sqrt[60]{2}.$$

Метод рационализации в неравенствах

Метод рационализации (равносильности) помогает значительно сократить решение показательных и логарифмических неравенств. Рационализация часто встречается в задании 14 ЕГЭ по математике.

Как решать показательные неравенства. Методы и способы решения

Как решать показательные неравенства. Общий алгоритм решения. Замена переменной. Однородные степенные неравенства.

Как решать неравенства с логарифмами. Методы и способы решения

Как решать неравенства с логарифмами. Общий алгоритм решения. Замена переменной. Переменное основание в логарифмических неравенствах. Сужение ОДЗ.

Логарифмические уравнения. Методы и способы решения

Как решать уравнения с логарифмами. Общий алгоритм решения. Замена переменной. Переменное основание в уравнениях. Разбираем основные методы.

Как решать показательные уравнения. Методы и способы решения

Как решать уравнения со степенями. Разбираем основные методы и способы решения простейших показательных уравнений.

Логарифм и его свойства. Как решать логарифмы

Урок по теме логарифмы и их свойства. Разбираемся, что такое логарифм и какие у него свойства. Научимся считать выражения, содержащие логарифмы.