Сумма цифр трехзначного числа. Решение задачи на Python

Вводится трехзначное число. Написать программу, которая вычисляет сумму его цифр.

(Это задача на линейные алгоритмы, если требуется найти сумму цифр числа произвольной длины с помощью цикла см. задачу «Сумма и произведение цифр числа».)

Например, если было введено 349, программа должна вывести на экран число 16, так как 3 + 4 + 9 = 16.

Как извлечь отдельные цифры из числа? Если число разделить нацело на десять, в остатке будет последняя цифра этого числа. Например, если 349 разделить нацело на 10, то получится частное 34 и остаток 9. Если потом 34 разделить также, получится частное 3 и остаток 4; далее при делении 3 на 10 получим частное 0 и остаток 3.

В языках программирования почти всегда есть две операции:

1) нахождение целого при делении нацело,

2) нахождение остатка при делении нацело.

В языке программирования Python первая операция обозначается

// (двумя знаками деления), а вторая — % (знаком процента). Например:

>>> 34 // 10
3
>>> 34 % 10
4

Примечание. Операции деления нацело и нахождения остатка с точки зрения арифметики применимы только к целым числам. Но в Python их можно использовать и по отношению к дробным числам:

>>> 34.5 % 10
4.5
>>> 34.5 // 10
3.0
>>> 34.5 // 12.9
2.0

Алгоритм нахождения суммы цифр трехзначного числа abc (где a — сотни, b — десятки и c — единицы) можно описать так:

  1. Найти остаток от деления abc на 10, записать его в переменную d1. Это будет цифра
    c
    .
  2. Избавиться от цифры c в числе abc, разделив его нацело на 10.
  3. Найти остаток от деления ab на 10, записать его в переменную d2. Это будет цифра b.
  4. Избавиться от цифры b в числе ab, разделив его нацело на 10.
  5. Число a однозначное. Это еще одна цифра исходного числа.
  6. Сложить оставшееся число a со значениями переменных d1 и d2.
n = input("Введите трехзначное число: ")
n = int(n)
 
d1 = n % 10
n = n // 10
d2 = n % 10
n = n // 10
 
print("Сумма цифр числа:", n + d2 + d3)

Пример выполнения программы:

Введите трехзначное число: 742
Сумма цифр числа: 13

Однако, если нам известно, что число состоит из трех разрядов (цифр), есть немного другой способ извлечения цифр из числа:

  1. Остаток от деления на 10 исходного числа дает последнюю цифру числа.
  2. Если найти остаток от деления на 100 исходного числа, то мы получи последние две цифры числа. Далее следует разделить полученное двухзначное число нацело на 10, и у нас окажется вторая цифра числа.
  3. Если исходное трехзначное число разделить нацело на 100, то получится первая цифра числа.
n = input("Введите трехзначное число: ")
n = int(n)
 
d1 = n % 10
d2 = n % 100 // 10
d3 = n // 100
 
print("Сумма цифр числа:", d1 + d2 + d3)

В Python данную задачу можно решить без использования арифметических действий, а путем извлечения из исходной строки отдельных символов с последующим их преобразованием к целому.

n = input("Введите трехзначное число: ")
 
# Извлекается первый[0] символ строки, 
# преобразуется к целому.
# Аналогично второй[1] и третий[2].
a = int(n[0])
b = int(n[1])
c = int(n[2])
 
print("Сумма цифр числа:", a + b + c)

Задача может быть усложнена тем, что число вводится не пользователем с клавиатуры, а должно быть сгенерировано случайно. Причем обязательно трехзначное число.

В этом случае надо воспользоваться функциями randint(), randrange() или random() из модуля random. Первым двум функциям передаются диапазоны: randint(100, 999), randrange(100, 1000). Получить трехзначное число, используя random() немного сложнее:

# Функция random генерирует
# случайное дробное число от 0 до 1
from random import random
 
# При умножении на 900 получается случайное
# число от 0 до 899.(9).
# Если прибавить 100, то получится
# от 100 до 999.(9).
n = random() * 900 + 100
 
# Отбрасывается дробная часть, 
# число выводится на экран
n = int(n)
print(n)
 
# Извлекается старший разряд числа
# путем деления нацело на 100
a = n // 100
 
# Деление нацело на 10 удаляет 
# последнюю цифру числа.
# Затем нахождение остатка при # делении на 10 извлекает последнюю цифру, # которая в исходном числе была средней. b = (n // 10) % 10   # Младший разряд числа находится # как остаток при делении нацело на 10. c = n % 10   print(a+b+c)

Больше задач в PDF


Таблица разрядов и классов чисел в математике

Научим называть и записывать многозначные числа без ошибок

Начать учиться

345.6K

Хорошо, когда все на своих местах: кастрюли в шкафу, зубная щетка — в ванной. У цифр при записи чисел тоже есть свое место. В этой статье раскроем тему разрядов и классов.

Числа и цифры

Числа — это единицы счета. С помощью чисел можно сосчитать количество предметов и определить различные величины.

Для записи чисел используются специальные знаки — цифры. Всего их десять: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Натуральные числа — это числа, которые мы используем при счете. Вот они: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …

  • Единица (1) — самое маленькое число, а самого большого числа не существует.
  • Ноль (0) означает, что предмета нет. Ноль не является натуральным числом.

От количества цифр в числе зависит его название.

Число, которое состоит из одного знака, называется однозначным. Наименьшее однозначное — 1, наибольшее — 9.

Число, которое состоит из двух знаков цифр, называется двузначным. Наименьшее двузначное — 10, наибольшее — 99.

Числа, которые записаны с помощью двух, трех, четырех и более цифр, называются двузначными, трехзначными, четырехзначными

или многозначными. Наименьшее трехзначное — 100, наибольшее — 999.

Каждая цифра в записи многозначного числа занимает определенное место — позицию.

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Классы чисел

Цифры в записи многозначных чисел разбивают справа налево на группы по три цифры в каждой. Эти группы называют классами. В каждом классе цифры справа налево обозначают единицы, десятки и сотни этого класса.

Таблица классов:


Названия классов многозначных чисел справа налево:

  • первый — класс единиц,
  • второй — класс тысяч,
  • третий — класс миллионов,
  • четвертый — класс миллиардов,
  • пятый — класс триллионов,
  • шестой — класс квадриллионов,
  • седьмой — класс квинтиллионов,
  • восьмой — класс секстиллионов.

Чтобы читать запись многозначного числа было удобно, между классами оставляют небольшой пробел. Например, чтобы прочитать число 125911723296, удобно сначала выделить в нем классы:

  • 125 911 723 296.

А теперь прочитаем число единиц каждого класса слева направо:

  • 125 миллиардов 911 миллионов 723 тысячи 296.

Когда читаем класс единиц, добавлять слово «единиц» в конце не нужно.

Разряды чисел

От позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Например:

  • 1 123 содержит в себе: 3 единицы, 2 десятка, 1 сотню, 1 тысячу.

Можно сформулировать иначе и сказать, что в заданном числе 1 123 цифра 3 располагается в разряде единиц, 2 в разряде десятков, 1 в разряде сотен, а 1 служит значением разряда тысяч.

Проясним, что такое разряд в математике. Разряд — это позиция или место расположения цифры в записи натурального числа.

У каждого разряда есть свое название. Слева всегда живут старшие разряды, а справа — младшие. Чтобы быстрее запомнить, можно использовать таблицу.


Количество разрядов всегда соответствует количеству знаков в числе. В этой таблице есть названия всех разрядов для числа, которое состоит из 15 знаков. У следующих разрядов также есть названия, но они используются крайне редко.

Низший (младший) разряд многозначного натурального числа — разряд единиц.

Высший (старший) разряд многозначного натурального числа — разряд, соответствующий крайней левой цифре в заданном числе.

Разрядные единицы обозначают так:

  • Единицы — единицами первого разряда (или простыми единицами) и пишут на первом месте справа.
  • Десятки — единицами второго разряда и записывают в числе на втором месте справа.
  • Сотни — единицами третьего разряда и записывают на третьем месте справа.
  • Единицы тысяч — единицами четвертого разряда и записывают на четвертом месте справа.
  • Десятки тысяч — единицами пятого разряда и записывают на пятом месте справа.
  • Сотни тысяч — единицами шестого разряда и записывают в числе на шестом месте справа и так далее.

Каждые три разряда, следующие друг за другом, составляют класс. Первые три разряда: единицы десятки и сотни — образуют класс единиц (первый класс). Следующие три разряда: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч — образуют класс тысяч (второй класс). Третий класс будут составлять единицы, десятки и тысячи миллионов и так далее.

Чтобы легче понимать математику — записывайтесь на наши курсы по математике!

Потренируемся

Пример 1. Записать цифрами число, в котором содержится:

 

  1. 55 единиц второго класса и 100 единиц первого класса;

  2. 110 единиц второго класса и 5 единиц первого класса;

  3. 7 единиц второго класса и 13 единиц первого класса.

Ответ:

 

  1. 55 100;

  2. 110 005;

  3. 7 013.

Все разрядные единицы, кроме простых единиц, называют составными единицами. Каждые десять единиц любого разряда составляют одну единицу следующего более высокого разряда:

  • 10 единиц равны 1 десятку;
  • 10 десятков равны 1 сотне;
  • 10 сотен равны 1 тысяче;
  • 10 тысяч равны 1 десятку тысяч;
  • 10 десятков тысяч равны 1 сотне тысяч;
  • 10 сотен тысяч равны 1 миллиону.

Чтобы узнать, сколько в числе заключается всех единиц какого-либо разряда, нужно отбросить все цифры, обозначающие единицы низших разрядов и прочитать число, которое выражено оставшимися цифрами.

Пример 2. Сколько сотен содержится в числе 6284?

Как рассуждаем:

В числе 6284 на третьем месте в классе единиц стоит цифра 2, значит, в числе есть две сотни.

Следующая цифра слева — 6, означает тысячи. Так как в каждой тысяче содержится 10 сотен то, в 6 тысячах их заключается 60.

Значит, в данном числе содержится 62 сотни.

Цифра 0 в любом разряде означает отсутствие единиц в данном разряде.

Проще говоря, цифра 0 в разряде десятков означает отсутствие десятков, в разряде сотен — отсутствие сотен и т. д. В том разряде, где стоит 0, при чтении числа ничего не произносится:

  • 11 627 — одиннадцать тысяч шестьсот двадцать семь.
  • 31 502 — тридцать одна тысяча пятьсот два.

Чтобы проще освоить эту тему, можно распечатать таблицу классов и разрядов для учащихся 4 класса и обращаться к ней, если возникнут сложности.


 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

Многочлен стандартного вида

К следующей статье

137.8K

Теорема синусов

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

Премиум

На вводном уроке с методистом

  1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

  2. Определим уровень и подберём курс

  3. Расскажем, как 
    проходят занятия

2.

5: Значимые цифры в расчетах
  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    136184
  • Цели обучения
    • Правильно использовать значащие цифры в арифметических операциях.

    Округление

    Прежде чем разбираться с особенностями правил определения значащих цифр в вычисляемом результате, нужно уметь правильно округлять числа. Чтобы округлить число, сначала решите, сколько значащих цифр должно быть в числе. Как только вы это узнаете, округлите до указанного количества цифр, начиная слева. Если число непосредственно справа от последней значащей цифры меньше 5, оно отбрасывается, а значение последней значащей цифры остается прежним. Если число непосредственно справа от последней значащей цифры больше или равно 5, последняя значащая цифра увеличивается на 1.

    Рассмотрим измерение \(207,518 \: \text{m}\). Прямо сейчас измерение содержит шесть значащих цифр. Как бы мы последовательно округляли его до все меньшего и меньшего числа значащих цифр? Следуйте процессу, указанному в таблице \(\PageIndex{1}\).

    Количество значащих цифр Округленное значение Рассуждение
    Таблица \(\PageIndex{1}\): Примеры округления
    6 207,518 Все цифры значащие
    5 207,52 8 раундов от 1 до 2
    4 207,5 2 выпадает
    3 208 5 раундов от 7 до 8
    2 210 8 заменяется на 0 и округляет 0 до 1
    1 200 1 заменяется на 0

    Обратите внимание, что чем больше округление сделано, тем менее надежна цифра. Приблизительного значения может быть достаточно для некоторых целей, но научная работа требует гораздо более высокого уровня детализации.

    При математических операциях с числами важно помнить о значащих цифрах. Например, деление 125 на 307 на калькуляторе дает 0,4071661238… с бесконечным числом цифр. Но имеют ли цифры в этом ответе какое-либо практическое значение, особенно когда вы начинаете с чисел, каждое из которых имеет только три значащих цифры? При выполнении математических операций существует два правила ограничения количества значащих цифр в ответе: одно правило для сложения и вычитания, а другое правило для умножения и деления.

    В операциях со значащими цифрами ответ сообщается таким образом, чтобы он отражал надежность наименее точной операции. Ответ не более точен, чем наименее точное число, использованное для получения ответа.

    Умножение и деление

    Для умножения или деления правило состоит в том, чтобы подсчитать количество значащих цифр в каждом умножаемом или делимом числе, а затем ограничить значащие цифры в ответе до наименьшего количества. Например:

    Окончательный ответ, ограниченный четырьмя значащими цифрами, равен 4094. Первая отброшенная цифра — 1, поэтому мы не округляем.

    Экспертная запись обеспечивает способ передачи значащих цифр без двусмысленности. Вы просто включаете все значащие цифры в начальное число. Например, число 450 имеет две значащие цифры и будет записано в экспоненциальном представлении как 4,5 × 10 2 , тогда как число 450,0 имеет четыре значащих цифры и будет записано как 4,500 × 10 9 .0124 2 . В экспоненциальном представлении все значащие цифры указаны явно.

    Пример \(\PageIndex{1}\)

    Запишите ответ для каждого выражения в экспоненциальном представлении с соответствующим количеством значащих цифр.

    1. 23,096 × 90,300
    2. 125 × 9.000

    Решение

    a

    Таблица с двумя столбцами и 1 строкой. Первый столбец слева помечен как «Объяснение», а под ним в строке находится объяснение. Второй столбец помечен как «Ответ», а под ним в строке находится ответ. 93\)

    b

    Таблица с двумя столбцами и 1 строкой. Первый столбец слева помечен как «Объяснение», а под ним в строке находится объяснение. Второй столбец помечен как «Ответ», а под ним в строке находится ответ.
    Пояснение Ответить
    Калькулятор дает ответ 1125, но мы ограничиваем его тремя значащими цифрами. 93\)

    Сложение и вычитание

    Как обрабатываются значащие числа в вычислениях? Это зависит от того, какой тип расчета выполняется. Если вычисление представляет собой сложение или вычитание, правило следующее: ограничьте сообщаемый ответ крайним правым столбцом, в котором все числа имеют общие значащие цифры. Например, если вы должны сложить 1,2 и 4,71, мы заметим, что первое число останавливает свои значащие цифры в столбце десятых, а второе число останавливает свои значащие цифры в столбце сотых. Поэтому мы ограничиваем наш ответ десятым столбцом.

    Мы опускаем последнюю цифру — 1 — потому что она не имеет значения для окончательного ответа.

    Отбрасывание позиций в суммах и разностях поднимает тему округления. Несмотря на некоторые соглашения, в этом тексте мы примем следующее правило: окончательный ответ следует округлить в большую сторону, если первая пропущенная цифра 5 или больше, и округлить в меньшую сторону, если первая пропущенная цифра меньше 5.

    Пример \(\PageIndex{2}\)
    1. 13,77 + 908.226
    2. 1027 + 611 + 363,06

    Решение

    a
    Таблица с двумя столбцами и 1 строкой. Первый столбец слева помечен как «Объяснение», а под ним в строке находится объяснение. Второй столбец помечен как «Ответ», а под ним в строке находится ответ.
    Пояснение Ответить
    Ответ калькулятора: 92\)

    b

    Таблица с двумя столбцами и 1 строкой. Первый столбец слева помечен как «Объяснение», а под ним в строке находится объяснение. Второй столбец помечен как «Ответ», а под ним в строке находится ответ.
    Пояснение Ответить
    Калькулятор дает ответ 2001,06, но поскольку 611 и 1027 имеют крайнюю правую значащую цифру в разряде единиц, окончательный ответ должен быть ограничен разрядом единиц. 90\)

    Помните, что калькуляторы не понимают значащие цифры. Вы тот, кто должен применить правила значащих цифр к результату вашего калькулятора.

    Вычисления, включающие умножение/деление и сложение/вычитание

    На практике химики обычно работают с калькулятором и переносят все цифры в последующих вычислениях. Однако при работе на бумаге мы часто хотим свести к минимуму количество цифр, которые нам приходится записывать. Поскольку последовательное округление может усугубить неточности, промежуточное округление должно выполняться правильно. При работе на бумаге всегда округляйте промежуточный результат, чтобы сохранить по крайней мере на одну цифру больше, чем можно оправдать, и перенести это число на следующий шаг в расчетах. Затем окончательный ответ округляется до правильного количества значащих цифр в самом конце.

    Видео \(\PageIndex{1}\): Значительные цифры в смешанных операциях (https://www.youtube.com/watch?v=yBntMndXQWA). Видео \(\PageIndex{2}\): https://www.youtube.com/watch?v=__csP0NtlGI

    В рабочих примерах в этом тексте мы часто будем показывать результаты промежуточных шагов расчета. При этом мы покажем результаты только для правильного количества значащих цифр, разрешенных для этого шага, фактически рассматривая каждый шаг как отдельный расчет. Эта процедура предназначена для закрепления правил определения количества значащих цифр, но в некоторых случаях она может давать окончательный ответ, отличающийся последней цифрой от полученного с помощью калькулятора, где все цифры переносятся на последний шаг.

    Пример \(\PageIndex{3}\)
    1. 2(1,008 г) + 15,99 г
    2. 137,3 с + 2(35,45 с)
    3. \( {118,7 г\более 2} — 35,5 г\)

    Раствор

    а.
    Таблица с двумя столбцами и 1 строкой. Первый столбец слева помечен как «Объяснение», а под ним в строке приведено объяснение умножения в первую очередь. Второй столбец помечен как «Ответ», а под ним в строке находится ответ.
    Пояснение Ответить

    2(1,008 г) + 15,99 г =

    Сначала выполнить умножение.

    2 (1,008 г 4 знака инжира ) = 2,01 6 г 4 знака инжира

    Число с наименьшим количеством значащих цифр равно 1,008 г; число 2 является точным числом и поэтому имеет бесконечное количество значащих цифр .

    Затем выполните сложение.

    2,01 6 г разряд тысячных + 15,9 9 г разряд сотых (наименее точный) = 18,006 г

    Округлите окончательный ответ.

    Округлите окончательный ответ до сотых, так как 15.99 имеет крайнюю правую значащую цифру в сотых (наименее точную).

    18,01 г (округление)
    б.
    Таблица с двумя столбцами и 1 строкой. Первый столбец слева помечен как «Объяснение», а под ним в строке приведено объяснение умножения в первую очередь. Второй столбец помечен как «Ответ», а под ним в строке находится ответ.
    Пояснение Ответить

    137,3 с + 2(35,45 с) =

    Сначала выполните умножение.

    2(35,45 с 4 знака инжира ) = 70,90 с 4 знака инжира

    Число с наименьшим количеством значащих цифр равно 35,45; число 2 является точным числом и поэтому имеет бесконечное количество значащих цифр.

    Затем выполните сложение.

    137,3 с десятые доли (наименее точные) + 70,90 с сотые доли = 208,20 с

    Округлить окончательный ответ.

    Округлите окончательный ответ до десятого места из расчета 137,3 с.

    208,2 с
    в.
    Таблица с двумя столбцами и 1 строкой. Первый столбец слева помечен как «Объяснение», а под ним в строке находится объяснение первого деления. Второй столбец помечен как «Ответ», а под ним в строке находится ответ.
    Пояснение Ответить

    \( {118,7 г \свыше 2} — 35,5 г\) =

    Сначала выполнить деление.

    \( {118,7 г \более 2} \) 4 знака инжира = 59,35 г 4 знака инжира

    Число с наименьшим количеством значащих цифр равно 118,7 г; число 2 является точным числом и поэтому имеет бесконечное количество значащих цифр.

    Далее выполнить вычитание.

    59,35 г сотые доли − 35,5 г десятые доли (наименее точные) = 23,85 г

    Округлите окончательный ответ.

    Округлите окончательный ответ до десятого места из расчета 35,5 г.

    23,9 г (округление)
    Упражнение \(\PageIndex{3}\)

    Выполните вычисления и запишите свои ответы, используя правильное количество значащих цифр.

    1. 5(1,008 с) — 10,66 с
    2. 99,0 см+ 2(5,56 см)
    Ответить на
    -5,62 с
    Ответ б
    110,2 см

    Сводка

    • Округление
      • Если отбрасываемое число больше или равно 5, увеличьте число слева от него на 1 (например, 2,9699, округленное до трех значащих цифр, равно 2,97).
      • Если отбрасываемое число меньше 5, изменений нет (например, 4,00443, округленное до четырех значащих цифр, равно 4,004).
    • Правило умножения и деления состоит в том, что в окончательном ответе должно быть столько же значащих цифр, сколько в числе с наименьшим количеством значащих цифр.
    • Правило сложения и вычитания состоит в том, что ответу дается то же количество десятичных знаков, что и члену с наименьшим числом десятичных знаков.

    1. Наверх
      • Была ли эта статья полезной?
      1. Тип изделия
        Раздел или страница
        Лицензия
        CC BY-NC-SA
        Версия лицензии
        4,0
        Показать страницу TOC
        № на стр.
        Включено
        да
      2. Теги
        1. значащие цифры

      Копаем глубже — The Math Doctors

      Мы рассмотрели основную концепцию значащих цифр, а затем то, как они взаимодействуют с операциями, что является одной из причин их определения. На этот раз я хочу более подробно рассмотреть, почему они определены такими, какие они есть, что потребует рассмотрения некоторых особых случаев.

      Когда считать нули и

      почему ?

      Начну с обсуждения, которое я бы поместил в первый пост серии, если бы оно поместилось, потому что это будет хорошим мостом к новым проблемам. Вот вопрос, от 2005:94. Почему в моем учебнике указано, что значащих цифр 3, а не 5 (из 23400 — я предполагаю, что последние два нуля также значащие)?

      Ранее я упоминал, что значащие цифры более уместны в экспоненциальном представлении, где мы пишем только значащие цифры. Джеффри переворачивает это, думая, что преобразование в обычные обозначения раскрывает больше. Я ответил:

       Вы просто делаете неверное предположение: весь смысл значащих цифр в том, что  нули вы пишете только для того, чтобы остальные цифры в нужных местах НЕ были значащими  . Когда мы записываем число в экспоненциальном представлении, мы пишем ТОЛЬКО те цифры, значения которых нам действительно известны, так что все записанные цифры на самом деле являются значащими, и никакие другие.  4, мы понимаем, что это означает, что даже если вы запишете это как 23400, 9(-3) = 0,006643, а затем округлить до требуемых двух значащих цифр, что даст число «0,0». Что здесь не так? 

      Здесь он посчитал нули слева значимыми. Сославшись на одну из страниц, которые я разместил ранее, я указал на конкретную ошибку:

       Вы используете неправильные цифры. Значимыми цифрами являются цифры  от первой до последней НЕНУЛЕВОЙ цифры  , за исключением того, что в некоторых случаях нули СПРАВА могут быть значащими, если они получены в результате фактического измерения и равны нулю.
      В числе 0,0026643, 9-3 = 0,0027. 

      Опять же, научное обозначение делает вещи более ясными; он должен был просто оставить номер как есть. (Я полагаю, что он еще не освоился с научными обозначениями, которые объясняли бы стремление преобразовать все, прежде чем подумать об этом.)

      Он снова написал, прося разъяснений:

       Я не понимаю, когда вы говорите, "нули НЕ значимы, потому что они существуют только для того, чтобы ненулевые цифры находились в нужном месте». 
      Если я не ошибаюсь, значащие цифры в числе это  цифры, которые были точно измерены  , поэтому я бы сказал, что два нуля в 0,024 также являются значащими цифрами. (?) 

      Ага! У нас есть противоречие между простым определением значащих цифр, которое я дал, и правилом. Нули слева точны как , так почему бы их не посчитать? (Не обращайте внимания на то, что мы могли бы добавить бесконечно много нулей слева…) Здесь мы должны начать копать немного глубже:

       Может быть трудно четко объяснить точное определение значащих цифр, а также понять концепцию в первый раз! Я надеюсь, что если вы прочитаете больше наших объяснений, вы найдете то, что работает для вас.
        Нули слева не имеют значения, поскольку они не записываются по той же причине, что и нули справа.  Я решаю отрезать число после определенной цифры, потому что  любые цифры справа неизвестны точно  : 0,0120 отличается от 0,012 тем, что для первого я знаю, что ноль справа правильный, а последний, я не делаю.   Нули слева , я полагаю, говорят вам, что эти цифры не что иное, как ноль, но  вы не изменили бы их, если бы сделали более точное измерение  . Изменение с 0,012 на 0,112 — это не просто повышение точности, а полное изменение значения. 

      Точность или аккуратность — это крайние правые цифры. Нули слева должны быть записаны как «леса», как я объяснял ранее, а не для точности. Но это еще не все:

       Но, в конечном счете, вы должны признать, что мы определяем значащие цифры так же, как , не потому, что слово «значащие» заставляет нас определять их именно так  , а просто потому, что, как следует из некоторых объяснений, которые мы дали. Объясните, это определение дает нам эмпирическое правило для определения точности результата умножения. Крайняя левая ненулевая цифра указывает на  размер числа  , а самый правый указывает на  мельчайшую деталь, измеренную  . Расстояние между этими цифрами указывает относительную точность   , и это то, что нам нужно использовать. 
      Таким образом, значащие цифры — это все цифры, начинающиеся с  первой ненулевой цифры  и заканчивающиеся  последней цифрой, которая будет записана в экспоненциальном представлении  — последней ненулевой цифрой или, возможно, последним нулем, который написано, потому что оно представляет собой точное измерение. 

      Вот настоящая причина: значащие цифры дают нам приблизительную меру относительной точности , отношение возможной ошибки к величине числа.

      Это то, что мы будем изучать в следующих нескольких разделах.

      Что делать, если

      все цифры равны нулю??

      Вынести детали на всеобщее обозрение, нет ничего лучше, чем крайний случай! Этот вопрос от 2001 года сделал это:

       значащие ненулевые цифры
      Сегодня мы изучали значащие цифры на моем уроке алгебры II, и наш учитель задал этот вопрос:
      Сколько значащих цифр в числе, в котором нет цифр, отличных от нуля?
      Пример: 00.000 Есть ли?
      У нас была довольно хорошая дискуссия по этому поводу, но не пришли к определенному ответу.  Спасибо за вашу помощь. 

      Мне нравится слушать обсуждения в классе; но вы не можете найти ответ без четкого определения, на котором можно его основывать. Поэтому нам нужно было настоящее определение, а не просто правила. Я ответил:

       Мое первое впечатление, что значащих цифр нет, и я думаю, что рассмотрение значения значащих цифр подтвердит это. 

      Первые впечатления, как и обсуждения в классе, могут быть опасными. Как мы увидим, я подошел близко…

      Сначала мне нужно было придумать определение. То, что я говорю здесь, потребует небольшой поправки дальше по странице, но это хорошее начало. Я начал с определения относительной точности, которое, как я сказал выше, является основой концепции:

       Понятие значащих цифр на самом деле представляет собой простое практическое представление  относительной точности  . Число, скажем, с тремя значащими цифрами, например 1,23, представляет диапазон от 1,225 до 1,235 с относительной ошибкой 0,005/1,23 = 0,004.  Число с четырьмя значащими цифрами будет иметь примерно одну десятую этой относительной ошибки. Мы можем более точно определить «количество значащих цифр» как отрицательный десятичный логарифм этой относительной ошибки, в данном случае 2,39:
         9{2.39}}\) значения числа; округление результата в большую сторону дает нам 3 значащих цифры, что согласуется с тем, как записывается 1,23. Тот факт, что нам приходится округлять, отражает тот факт, что это лишь приблизительная оценка. При подсчете значащих цифр мы делаем быструю оценку относительной ошибки, которая хороша с практической точки зрения, но недостаточна, если вам нужно быть очень осторожным с точностью. 

      Теперь, когда у нас есть точное определение (вроде), мы можем применить его к рассматриваемому вопросу:

        Если само число равно нулю  , то об относительной погрешности вообще нельзя говорить, так как на ноль делить нельзя. Поэтому  понятие значащих цифр не имеет смысла  в данном случае.  Если мы применим мое определение, то получим -log(0,0005/0) = -бесконечность, а не 0. Так что я рад, что сказал "без значащих цифр", а не "ноль", потому что правильный ответ таков:  количество значащих цифр в этом случае НЕОПРЕДЕЛЕНО  ! 

      На следующее утро, проведя некоторые исследования и дальнейшие размышления, я понял, что то, что я определил, на самом деле было не количеством значащих цифр, а чем-то другим, называемым LRE, поэтому я написал в ответ, чтобы сделать различие более ясным:

       Я хочу прояснить кое-что на случай, если это вас смутит, хотя это не главное в том, что я сказал, и может быть больше для интереса вашего учителя.
      Логарифм относительной ошибки   (LRE), который я обсуждал, на самом деле не является определением значащих цифр, а  является более точной мерой точности , для которой количество значащих цифр используется в качестве оценки. На самом деле вы можете определить количество значащих цифр следующим образом:
          SD = пол(лог(значение/следующая_цифра))  

      Здесь, если вы не знакомы с этим, функция пола сводится к округлению в меньшую сторону до ближайшего целого числа. Дальнейшее похоже на то, что я сказал в своих примерах, но теперь я округляю в меньшую сторону:

       Под этим я подразумеваю, что если вы разделите число (скажем, 1,23) на число, образованное путем помещения  1 в первую после запятой НЕ пишется  в числе (в данном случае 0,001), возьмем десятичный логарифм, а потом возьмем "пол" этого лога (наибольшее целое, которое его не превосходит), получится количество значащих цифр:
        SD = пол (логарифм (1,23/0,001))
           = пол (журнал (1230))
           = пол(3,0899)
           = 3
      Это связано с LRE следующей формулой:
        SD = пол (LRE + журнал (5))
      Это верно, потому что мы можем переписать определение LRE как
        LRE = -log(ошибка/значение)
            = лог(значение/(5*следующая_цифра))
      Это исправляет указанный мной факт, что LRE низок для чисел, первая цифра которых меньше 5. Это не влияет на мой вывод о нуле. 

      Когда число равно нулю, LRE является логарифмом нуля (не определено), поэтому SD по новому определению все еще не определено.

      Ниже мы увидим больше о том, как первая цифра влияет на действительность SD.

      Так есть ли разница между 0.0 и 0.000?

      Вопрос 2013 г. продвинул этот вопрос об нуле на шаг дальше:

       Нулевая значимость
      Нули после запятой все еще имеют значение в этом случае?
         0,000
      Является ли целая часть (ноль) значимой в этом случае?
      Я нахожу 0,000 запутанным примером, потому что мне кажется, что прецизионная «подпись» будет потеряна, если отбросить постдесятичные нули. Рассмотрим пример сложения двух десятичных знаков:
          0,000
        + 0,31
          -----
          0,310
          
      Это показало бы, что вычисление было  с точностью до ближайшего .001  .
      Если 0,000 рассматривать как одиночный ноль, не будет ли результат иметь на одну цифру меньше, чем должен? Не приведет ли следующая операция к 0,31 к возможному нежелательному усечению или округлению числа больше, чем ожидалось ранее?
      Кроме того, в примере с 0,000, что происходит с ведущим нулем перед десятичной точкой? Случайно ли это частный случай, когда он существенен? 

      Если вы следили за этой серией, вы должны увидеть проблему: Бен спрашивает о значащих цифрах, но пример касается сложения, где значащие цифры не являются релевантной мерой точности.

      Я начал с основного вопроса, ссылаясь на предыдущий ответ:

        нет значащих цифр  в 0,000 или в любом представлении нуля. Технически количество «sigfigs» в этом случае не определено, как объяснено здесь:
        Значимые ненулевые цифры
        http://mathforum.org/library/drmath/view/55525.html
      Но  число десятичных разрядов, отображаемое как , ЯВЛЯЕТСЯ «значимым», то есть это представление действительно подразумевает, что оно равно  с точностью до ближайшей тысячной 9.0033 . (Я никогда не задумывался об этом раньше: этот пример показывает, что эти два понятия настолько различны, что  одно может существовать, когда другое   .) 

      Это одна из тех вещей, о которых вы никогда не задумываетесь, пока кто-нибудь не спросит у правильный вопрос, и это часть удовольствия быть доктором математики!

       Имейте в виду, что  при добавлении  имеет значение не количество значащих цифр, а  десятичных разряда  .  Если бы вы  умножили  на 0,000, результат был бы 0,00000, который по-прежнему будет иметь неопределенное количество значащих цифр, так что все согласовано. 

      Опять же, это делает еще более ясным, что эти два понятия совершенно разные, и их не следует путать.

      Нестабильность значащих цифр

      Мы закончим вопросом, который ведет к тому, что я уже говорил о влиянии старшей цифры. Это из 2016 года:

       Округление круглых чисел
      Какова нижняя граница  100, округленная до 1 значащей цифры  ?
      Я думаю, что ответ должен быть 95, так как 95 — это наименьшее число, которое дает 100 при округлении до 1 значащей цифры.
      Но мой коллега-учитель утверждает, что нижняя граница — 50, поскольку с точки зрения измерения наименьшая единица измерения — 100; и любое измерение от 0 до 100 и выше средней точки (50) будет округлено до 100. 

      Вопрос Дэвида не совсем ясен, но предположительно означает: «Если вы считаете, что 100 округлены до одной значащей цифры, каково наименьшее возможное значение до округления?» Сложность заключается в том, что если вы округлите до одной значащей цифры, могут произойти некоторые странные вещи, как показано здесь:

       Десятичные числа и значащие цифры 

      Я начал с некоторых общих предостережений:

       Мне нужно спросить о некотором контексте и далее информацию, потому что формулировка вопроса кажется неправильной в первую очередь.  Можете ли вы привести какие-то похожие вопросы, в ответах на которые вы уверены, и рассказать мне о контексте? Были ли вам даны какие-либо определения или правила, которым вы должны следовать?
      Значащие цифры  просто эмпирическое правило  , а числа, близкие к десятичной степени, во многих ситуациях проблематичны. Так что  здесь может не быть «правильного» ответа  . Но если вопрос перефразировать, его можно изменить на менее двусмысленный. Я думаю, что именно это вы и ваш коллега-учитель в конечном счете сделали: каждый из вас ответил по-своему, переформулировав вопрос. 

      Затем я переформулировал вопрос так же, как и выше, указав на странность:

       Если вопрос заключается в том, какое наименьшее число округляется до 100 при округлении до 1 сигфига, то вы правы, что это 95;  50 будет округлять до самого себя  , а не до 100. Но это немного хлопотно, потому что первый знак в 95 - это разряд десятков, а округление до ближайших десятков дает 100, что -- если разряд десятков считается значащим -- имеет ДВЕ цифры! 

      Мы смотрим на количество значащих цифр, как показано в ответе, или по желанию? Это сложно, когда округление дает число лишнюю цифру.

      Пример становится более понятным в экспоненциальном представлении. Если округлить \(92\), в котором значащим является 0, но, следовательно, результат явно содержит две, а не одну значащую цифру.

       Возможно, это связано с мнением вашего коллеги. Если мы сосредоточимся на самой значащей цифре в 100, то наименьшее число, которое будет округлено до 100 при округлении *до ближайшей сотни*, равно 50!
        Вы можете думать о 100 и других степенях десяти как о точках разрыва в значащих цифрах  , где правила не соответствуют цели концепции, а именно, представлять  относительная ошибка  . По этой причине некоторые источники рекомендуют изменить правила для чисел, близких к десятичной степени, сохранив лишнюю цифру. 

      Это явление связано с округлением (полом) LRE, которое мы видели в формальном определении. Мы пересекаем порог от округления в меньшую сторону к округлению в большую сторону, что приводит к увеличению SD на 1.

       Таким образом, возникает вопрос: ПОЧЕМУ вы спрашиваете?  Что бы вы сделали по-другому , если бы ответ был 95 по сравнению с 50? Это действительно имеет значение, или  вы просто спрашиваете, что предписывает произвольное правило  , независимо от смысла или полезности?
      . .. потому что, в конечном счете, детали правил sigfig произвольны и являются лишь грубым приближением правильных соображений распространения ошибок. 

      Дэвид ответил на мой вопрос, приведя пример проблемы, которую он имел в виду:

       Большое спасибо за ваш вклад в это. Я согласен, что здесь важен контекст, учитывая двусмысленность вопроса.
      В учебной программе по математике Кембриджского международного общего сертификата о школьном образовании (IGCSE) учащиеся должны узнать о нижних и верхних границах чисел, округленных до числа десятичных знаков и значащих цифр.
      Вопросы IGCSE обычно имеют такую ​​форму: «Длина прямоугольника 14 см (с точностью до ближайшего целого числа), а его ширина 15,8 см (с точностью до 3 значащих цифр)».  Найдите нижнюю границу его площади  ."
      В этом случае нижняя граница площади будет произведением нижней границы  длины  (13,5 см) и нижней границы  ширины  (15,75 см).
      Спасибо за указание на произвол в округлении чисел до значащих цифр; и что полезность и смысл процесса важнее, чем простое следование тому, что утверждает произвольное правило.

      Leave A Comment