Решение неравенств с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»
В этой главе мы разработаем некоторые приемы, помогающие решать задачи, сформулированные словами.
Эти методы включают переписывание задач в виде символов. Например, сформулированная задача
«Найдите число, которое при прибавлении к 3 дает 7»
может быть записана как:
3 + ? = 7, 3 + n = 7, 3 + x = 1
и т. д., где символы ?, n и x представляют число, которое мы хотим найти. Такие сокращенные версии поставленных задач мы называем уравнениями или символическими предложениями. Такие уравнения, как x + 3 = 7, являются уравнениями первой степени, поскольку показатель степени равен 1. Члены слева от знака равенства составляют левый член уравнения; те, что справа, составляют правый член. Таким образом, в уравнении x + 3 = 7 левая часть равна x + 3, а правая часть равна 7.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Уравнения могут быть истинными или ложными, так же как словесные предложения могут быть истинными или ложными. Уравнение:
3 + x = 7
будет ложным, если вместо переменной подставить любое число, кроме 4. Значение переменной, для которой уравнение верно (4 в этом примере), называется решением уравнения.
Мы можем определить, является ли данное число решением данного уравнения, подставив число вместо переменной и определив истинность или ложность результата.
Пример 1 Определить, является ли значение 3 решением уравнения
4x — 2 = 3x + 1
Решение Подставим значение 3 вместо x в уравнение и посмотрим, равен ли левый член правому член.
4(3) — 2 = 3(3) + 1
12 — 2 = 9 + 1
10 = 10
Ответ. 3 это решение.
Уравнения первой степени, которые мы рассматриваем в этой главе, имеют не более одного решения. Решения многих таких уравнений можно определить путем проверки.
Пример 2 Найдите решение каждого уравнения путем проверки.
а. х + 5 = 12
б. 4 · x = -20
Решения а. 7 является решением, так как 7 + 5 = 12,
b. -5 является решением, поскольку 4(-5) = -20.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ
В разделе 3.1 мы решили некоторые простые уравнения первой степени путем проверки.
Однако решения большинства уравнений не сразу очевидны при осмотре. Следовательно, нам нужны некоторые математические «инструменты» для решения уравнений.
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Эквивалентные уравнения – это уравнения, имеющие одинаковые решения. Таким образом,
3x + 3 = x + 13, 3x = x + 10, 2x = 10 и x = 5
эквивалентны уравнениям, поскольку 5 является единственным решением каждого из них. Обратите внимание, что в уравнении 3x + 3 = x + 13 решение 5 не очевидно при проверке, но в уравнении x = 5 решение 5 очевидно при проверке. При решении любого уравнения мы преобразуем данное уравнение, решение которого может быть неочевидным, в эквивалентное уравнение, решение которого легко заметить.
Следующее свойство, иногда называемое свойством сложения-вычитания , является одним из способов генерирования эквивалентных уравнений.
Если к обоим элементам добавляется или вычитается одно и то же количество
уравнения, полученное уравнение эквивалентно исходному
уравнение.
В символах
a — b, a + c = b + c и a — c = b — c
являются эквивалентными уравнениями.
Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное
х + 3 = 7
, вычитая 3 из каждого члена.
Решение Вычитание 3 из каждого члена дает
x + 3 — 3 = 7 — 3
или
x = 4
Обратите внимание, что x + 3 = 7 и x = 4 являются эквивалентными уравнениями, поскольку решение одно и то же. для обоих, а именно 4. Следующий пример показывает, как мы можем сгенерировать эквивалентные уравнения, сначала упростив один или оба члена уравнения.
Пример 2 Напишите уравнение, эквивалентное
4x- 2-3x = 4 + 6
путем объединения одинаковых членов, а затем добавления 2 к каждому члену.
Объединение одинаковых членов дает
x — 2 = 10
Добавление 2 к каждому члену дает
x-2+2 = 10+2
x = 12
Чтобы решить уравнение, мы используем сложение-вычитание свойство преобразовывать данное уравнение в эквивалентное уравнение формы x = a, из которого мы можем найти решение путем проверки.
Пример 3 Решить 2x + 1 = x — 2.
Мы хотим получить эквивалентное уравнение, в котором все члены, содержащие x, находятся в одном члене, а все члены, не содержащие x, — в другом. Если мы сначала прибавим -1 к каждому члену (или вычтем из него 1), мы получим
2x + 1- 1 = x — 2- 1
2x = x — 3
Если теперь мы добавим -x к (или вычтем х от) каждого члена, получаем
2х-х = х — 3 — х
х = -3
где решение -3 очевидно.
Решением исходного уравнения является число -3; однако ответ часто отображается в виде уравнения x = -3.
Поскольку каждое уравнение, полученное в процессе, эквивалентно исходному уравнению, -3 также является решением 2x + 1 = x — 2. В приведенном выше примере мы можем проверить решение, подставив — 3 вместо x в исходном уравнение
2(-3) + 1 = (-3) — 2
-5 = -5
Симметричное свойство равенства также полезно при решении уравнений. Это свойство указывает
Если a = b, то b = a
Это позволяет нам менять местами члены уравнения в любое время, не заботясь о смене знака.
Таким образом,
Если 4 = х + 2, то х + 2 = 4
Если х + 3 = 2х — 5, то 2х — 5 = х + 3
Если d = rt, то rt = d
Может быть несколько разных способов чтобы применить вышеприведенное свойство сложения. Иногда один метод лучше другого, а в некоторых случаях также полезно симметричное свойство равенства.
Пример 4 Решить 2x = 3x — 9. (1)
Решение Если мы сначала прибавим -3x к каждому элементу, мы получим
2x — 3x = 3x — 9 — 3x
-x = -9
, где переменная имеет отрицательный коэффициент. Хотя при проверке мы видим, что решение равно 9, поскольку -(9) = -9, мы можем избежать отрицательного коэффициента, добавляя -2x и +9 к каждому члену уравнения (1). В этом случае получаем
2x-2x + 9 = 3x- 9-2x+ 9
9 = x
откуда решение 9 очевидно. Если мы хотим, мы можем записать последнее уравнение как x = 9 по симметричному свойству равенства.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВА ДЕЛЕНИЯ
Рассмотрим уравнение
3x = 12
.
, решение которых также равно 4. В В общем случае мы имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством деления.
Если оба члена уравнения разделить на одно и то же (отличное от нуля) полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.
В символах
эквивалентны уравнениям.
Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное
-4x = 12
, разделив каждый член на -4.
Решение Деление обоих членов на -4 дает
При решении уравнений мы используем вышеуказанное свойство для получения эквивалентных уравнений, в которых переменная имеет коэффициент 1.
Пример 2. Решите 3y + 2y = 20.
Сначала мы объединяем одинаковые термины, чтобы получить
5y = 20
Затем, разделив каждый член на 5, мы получим
В следующем примере мы используем свойство сложения-вычитания и свойство деления для решения уравнения.
Пример 3 Решить 4x + 7 = x — 2.
Решение Сначала мы добавляем -x и -7 к каждому элементу, чтобы получить
4x + 7 — x — 7 = x — 2 — x — 1
Далее , объединение одинаковых членов дает
3x = -9
Наконец, мы делим каждый член на 3, чтобы получить
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ
Рассмотрим уравнение
Решением этого уравнения является 12. Также обратите внимание, что если мы умножим каждый член уравнения на 4, мы получим уравнения
которых решение также равно 12. В общем случае мы имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством умножения.
Если оба члена уравнения умножить на одну и ту же ненулевую величину, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.
В символах
a = b и a·c = b·c (c ≠ 0)
являются эквивалентными уравнениями.
Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное
, умножив каждый член на 6.
Решение Умножив каждый член на 6, получим
дроби.
Пример 2 Решение
Решение Сначала умножьте каждый элемент на 5, чтобы получить
Теперь разделите каждый элемент на 3,
Пример 3 Решите .
Решение Сначала упростим над дробной чертой, чтобы получить
Затем умножим каждый член на 3, чтобы получить
Наконец, разделив каждый член на 5, получим
все методы, необходимые для решения большинства уравнений первой степени. Нет определенного порядка, в котором следует применять свойства. Любой один или несколько из следующих шагов, перечисленных на странице 102, могут быть подходящими.
Шаги для решения уравнений первой степени:
- Объедините одинаковые члены в каждом члене уравнения.
- Используя свойство сложения или вычитания, напишите уравнение со всеми членами, содержащими неизвестное в одном члене, и всеми членами, не содержащими неизвестное в другом.
- Объедините одинаковые термины в каждом элементе.
- Используйте свойство умножения для удаления дробей.
- Используйте свойство Division, чтобы получить коэффициент 1 для переменной.
Пример 1 Решить 5x — 7 = 2x — 4x + 14.
Решение Сначала мы объединяем одинаковые члены, 2x — 4x, чтобы получить
5x — 7 = -2x + 14
Затем мы добавляем +2x и +7 к каждому члену и объединяем одинаковые члены, чтобы получить
5x — 7 + 2x + 7 = -2x + 14 + 2x + 1
7x = 21
Наконец, мы делим каждый член на 7, чтобы получить
В следующем примере мы упрощаем над дробной чертой, прежде чем применять свойства, которые мы изучали.
Пример 2 Решить
Решение Сначала мы объединяем одинаковые члены, 4x — 2x, чтобы получить
Затем мы добавляем -3 к каждому члену и упрощаем
Затем мы умножаем каждый член на 3, чтобы получить
Наконец, мы делим каждый член на 2, чтобы получить
РЕШЕНИЕ ФОРМУЛ
Уравнения, которые включают переменные для мер двух или более физических величин, называются формулами.
Мы можем найти любую переменную в формуле, если известны значения других переменных. Мы подставляем известные значения в формулу и находим неизвестную переменную методами, которые мы использовали в предыдущих разделах.
Пример 1 В формуле d = rt найдите t, если d = 24 и r = 3.
Решение Мы можем найти t, подставив 24 вместо d и 3 вместо r. То есть
d = rt
(24) = (3)t
8 = t
Часто бывает необходимо решать формулы или уравнения, в которых имеется более одной переменной для одной из переменных в терминах другие. Мы используем те же методы, что и в предыдущих разделах.
Пример 2 В формуле d = rt найдите t через r и d.
Решение Мы можем найти t через r и d, разделив оба члена на r, чтобы получить
, из которых по закону симметрии
В приведенном выше примере мы нашли t, применив свойство деления для создания эквивалентного уравнения. Иногда необходимо применить более одного такого свойства.
Пример 3 В уравнении ax + b = c найдите x через a, b и c.
Leave A Comment