Как подготовиться к решению задач с параметром на ЕГЭ

Задание № 18 варианта КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня


Задача с параметром – для обычного школьника одна из самых сложных задач варианта КИМ ЕГЭ: в программах по математике для общеобразовательных школ (за исключением профильных и специализированных классов, школ и лицеев) таким задачам либо не уделяется должного внимания, либо они не рассматриваются вовсе. Несмотря на это, знание набора методов и подходов к решению таких задач и определенная практика их решения позволяют продвинуться в решении задачи с параметром достаточно далеко и если уж не решить ее полностью, то хотя бы получить за нее некоторое количество баллов на экзамене.

Ранее, до появления единого государственного экзамена, задачи с параметрами входили в варианты вступительных экзаменов по математике в ведущие вузы, а сегодня входят в вариант КИМ ЕГЭ профильного уровня. Дело в том, что эти задачи обладают высокой диагностической ценностью: они позволяют не только определить, насколько хорошо выпускник знает основные разделы школьного курса математики, но и проверить, насколько высок уровень его математического и логического мышления, насколько сильны первоначальные навыки математической исследовательской деятельности, а главное – насколько успешно он сможет овладеть курсом математики в вузе.

«Научите меня решать задачи с параметром», – такую просьбу я часто слышу от своих учеников. Что ж, эта задача потребует от выпускника немало интеллектуальных усилий. С чего начать изучение? С освоения методов решения задач с параметром. Собственно, если вы внимательно читали наши рекомендации, как подготовиться к решению сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, то заметили, что это универсальный совет. Именно так построен наш курс «1С:Репетитор»: изучаем как можно более широкий спектр методов и приемов решения задач и тренируемся в применении этих методов на практике.


Чему нужно научиться, решая задачи с параметром

В первую очередь – правильно применять равносильные преобразования уравнений, неравенств и их систем. То есть понять, при каких ограничениях, накладываемых на параметр, можно выполнять то или иное преобразование.

Лучше всего начать с заданий вида: «Для каждого значения параметра решить…» и рассмотреть по возможности все основные элементарные функции, встречающиеся в школьном курсе математики.

Если с несложными задачами такого вида школьник справляется неплохо, то можно переходить к изучению аналитических методов решения задач, содержательно усложняя и классифицируя задачи с точки зрения применения к ним этих методов исследования. Имеется в виду знакомство с подходами к решению задач, содержащих формулировки типа: «При каких значениях параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно (два, три, бесконечно много и т.д.) решений», «При каких значениях параметра решением уравнения (неравенства, системы) является некоторое подмножество множества действительных чисел» и т.д.

Следующий шаг, который мы рекомендуем, – тщательно изучить схему исследования квадратичной функции. Поскольку квадратичная функция является одной из самых хорошо изученных в школьном курсе математики, на ее основе можно предложить большое количество исследовательских задач, разнообразных по форме и содержанию, чем и пользуются составители вариантов КИМ ЕГЭ.

Мы рекомендуем подойти к рассмотрению данных задач по следующей схеме:

  • задачи, основанные на свойствах дискриминанта и старшего коэффициента квадратного трехчлена;
  • применение теоремы Виета в задачах с параметром;
  • расположение корней квадратного трехчлена относительно заданных точек;
  • более сложные задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена.
  • Следующая тема курса – графические методы решения задач с параметром

    Существует два принципиально различных подхода – построение графиков функций или уравнений в плоскости (x; y) или в плоскости (x; a). Кроме того, для графического метода решения задач с параметром в плоскости (x; y) необходимо рассмотреть различные виды преобразования графиков – обычно это параллельный перенос, поворот прямой и гомотетия. Есть класс задач, решение которых основано на аналитических свойствах функций (области определения, области значений, четности, периодичности и т.

    д.), эти свойства и приемы их использования тоже нужно знать.

    На этом перечень методов решения задач с параметрами, разумеется, не заканчивается, но анализ вариантов КИМ ЕГЭ профильного уровня и практика показывают, что в настоящее время этого достаточно для успешного решения задачи № 18 на экзамене.

    В заключение отметим, что выстроить подобный курс самостоятельно, без преподавателя, обычный школьник не сможет, даже имея под рукой хорошие учебные пособия по методам решения задач с параметром. Здесь необходима помощь опытного наставника, который сможет подобрать нужные задачи и выстроить траекторию движения школьника по ним.

    Заметим, кстати, что весьма эффективным инструментом для изучения именно методов решения задач с параметром являются интерактивные тренажеры с пошаговым разбором решения.

    Работая с таким тренажером, школьник одновременно учится выстраивать логику решения задачи с параметром и контролирует правильность выполнения каждого шага решения. Это очень важное умение, так как одна из основных сложностей в решении задачи с параметром состоит в том, что необходимо на каждом шаге решения понимать, что означают уже полученные результаты и что (в зависимости от этих результатов) еще остается сделать, чтобы довести решение до конца.

    Регулярно тренируйтесь в решении задач

    Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно Зарегистрироваться.
    Вы можете:

    • Начать заниматься бесплатно.
    • Купить доступ к этой задаче в составе экспресс-курса «Алгебра» и научиться решать задачи №13, №15, №17, №18 и №19 на максимальный балл.

    Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.

    Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.

    Здесь ключевые фразы, чтобы поисковые роботы лучше находили наши советы:
    Разбор задач с параметрами из ЕГЭ по математике, по теме задачи с параметром ЕГЭ, как решать задание 18 в экзамене ЕГЭ, задачи с параметром ЕГЭ, задания с параметром ЕГЭ, задача 18 ЕГЭ, модуль и окружности, решение параметров ЕГЭ, решение задачи 18, система уравнений с параметром, научиться решать задачи с параметрами, сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, начертить графики функций, ЕГЭ по математике профильного уровня, методы решения уравнений и неравенств, выпускникам 11 класса в 2018 году, поступающим в технический вуз.

    уравнения и неравенства с параметром

    Существует ровно три генеральных метода решения задач 18:

    • Метод перебора — классический перебор вариантов. Например, когда выражение под модулем больше нуля и когда меньше;
    • Графический метод — привлечение чертежа. Во многих задачах 18 достаточно начертить графики функций — и решение становится очевидным;
    • Метод следствий — нестандартный и, как правило, самый изощренный.
      Если в исходном условии удастся подметить что-нибудь полезное, в дальнейшем можно значительно упростить решение всей задачи.

    Конечно, одну и ту же задачу зачастую можно решить разными способами. Но далеко не все они оптимальны: выбрав неправильный «путь», можно увязнуть в вычислениях, так и не дойдя до ответа.

    Поэтому в данном разделе я рассмотрю все способы, а ваша задача — практиковаться и учиться правильно выбирать.:)

    Глава 1.
    Графический подход
    § 1.
    Вебинар по задачам 18: модуль и окружности
    § 2.
    Как решать задачу 18: графический подход
    § 3.
    Задача 18: две окружности и модуль
    § 4.
    Задача 18: пересечение графиков окружности и модуля
    § 5.
    Новая задача 18 из пробного ЕГЭ — наглядный пример того, как эффективно работает графическое решение задач с параметром.
    Глава 2.
    Аналитический подход
    § 1.
    Задачи 18: Аналитическое решение
    § 2.
    Окружность и модуль: задачи 18 с двумя параметрами
    § 3.
    Аналитическое решение задачи 18 с перебором различных вариантов
    Глава 3.
    Нестандартные приемы
    § 1.
    Задача 18: метод симметричных корней
    § 2.
    Как увидеть симметрию корней в задаче 18?
    § 3.
    Метод мажорант в задаче 18
    § 4.
    Графическое решение сложных задач 18 с модулем
    § 5.
    Задание 18: Симметрия корней в системе уравнений
    § 6.
    Анализ знаков квадратного трёхчлена в сложных задачах 18
    § 7.
    Применение производной для отыскания точек пересечения графиков
    § 8.
    Продвинутый метод симметричных корней
    § 9.
    Новая задача 18 с графическим решением

    ЕГЭ по математике, подготовка к ЕГЭ по математике 2021 в Москве, шкала перевода баллов — Учёба.ру

    Что требуется

    Решить планиметрическую задачу.

    Особенности

    Под этим номером может быть два варианта задания. Первый вариант: в задаче два пункта — а и b. В пункте a требуется что-то доказать, в пункте b — что-то найти. Могу сказать, что чаще всего надо начинать решать эту задачу именно с пункта b, а уже решение этого пункта поможет доказать пункт а. Как правило, абитуриентам проще что-то найти, чем доказать.

    Второй вариант: задача без подпунктов. Здесь чаще всего скрыт подводный камень: задача требует рассмотрения двух случаев и приводит к двум разным ответам. Например, в условии задачи сказано, что окружности касаются в точке A, но не сказано каким образом, внешним или внутренним. Часто бывает так, что выпускник рисует один рисунок и возможно даже находит правильный ответ. А второй случай он не рассматривает, в результате чего получает ровно половину баллов за это задание.

    Советы

    Необходимое условие для решения этой задачи — хорошее владение теоретическим материалом, например, из классического учебника по геометрии для 7-9 классов (Л.С. Атанасян). Необходимо знать формулировки аксиом и определений, уметь формулировать и доказывать теоремы, признаки, свойства и формулы. Изучите дополнительные методы: метод дополнительного построения, метод подобия, метод замены, метод введения вспомогательного неизвестного, метод удвоения медианы, метод вспомогательной окружности, метод площадей.

    Также здесь важен рисунок. 80% успеха геометрической задачи — это правильно нарисованный рисунок. Сделайте большой, хороший, наглядный рисунок, не экономьте на нем место.

    И последнее, лайфхак для абитуриента — для решения задач по планиметрии выучите пять формул площади треугольника: через высоту и основание, через две стороны и угол между ними, через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности и формулу Герона.

    Как решать задания с параметром егэ. Математика, которая мне нравится

    Доклад на ГМО учителя математики МБОУ СОШ №9

    Молчановой Елены Владимировны

    «Подготовка к ЕГЭ по математике: задачи с параметрами ».

    Поскольку в школьных учебниках нет определения параметра, я предлагаю взять за основу следующий его простейший вариант.

    Определение . Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

    Что означает «решить задачу с параметром»?

    Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

    Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

    Более прозрачное понимание того, что означает решить задачу с параметром, у читателя сформируется после ознакомления с примерами решения задач на последующих страницах.

    Какие основные типы задач с параметрами?

    Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

    Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

    Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

    Обращаю внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

    Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

    Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

    Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

    Например, найти значения параметра, при которых:

    1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
    2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

    Комментарий. Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

    Наиболее массовый класс задач с параметром — задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает основные способы решения задач именно этого класса.

    Каковы основные способы (методы) решения задач с параметром?

    Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.

    Комментарий. Аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

    Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a ) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a ).

    Комментарий. Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.

    Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

    Перейду теперь к демонстрации указанных способов решения задач с параметром, так как это мой любимый метод решения заданий данного типа.

    Проанализировав все задания с параметрами, решаемыми графическим методом, я знакомство с параметрами начинаю с заданий ЕГЭ В7 2002 года:

    При каком целом значении к уравнение 45х – 3х 2 – х 3 + 3к = 0 имеет ровно два корня?

    Эти задания позволяют, во первых, вспомнить как строить графики с использованием производной, а во-вторых, объяснить смысл прямой у = к.

    На последующих занятиях я пользуюсь подборкой легких и средних по уровню конкурсных задач с параметрами для подготовки к ЕГЭ, уравнений с модулем. Эти задания можно рекомендовать учителям по математике в качестве стартового комплекта упражнений для обучения работе с параметром, заключенным под знак модуля. Большинство номеров решаются графическим способом и предоставляют учителю готовый план урока (или двух уроков) с сильным учеником. Начальная подготовка к ЕГЭ по математике на упражнениях, близких по сложности к реальным номерам С5. Многие из предложенных заданий взяты из материалов для подготовки к ЕГЭ 2009 года, а некоторые – из интернета из опыта коллег.

    1) Укажите все значения параметра p , при которых уравнение имеет 4 корня?
    Ответ:

    2) При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений?
    Ответ:

    3) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно 3 корня?
    Ответ: а=2

    4) При каких значениях параметра b уравнение имеет единственное решение? Ответ:

    5) Найдите все значения m , при которых уравнение не имеет решений.
    Ответ:

    6) Найдите все значения а, при которых уравнение имеет ровно 3 различных корня. (Если значений а более одного, то в ответе запишите их сумму.)

    Ответ: 3

    7) При каких значениях b уравнение имеет ровно 2 решения?
    Ответ:

    8) Укажите такие параметры k , при которых уравнение имеет не менее двух решений.
    Ответ:

    9) При каких значениях параметра p уравнение имеет только одно решение?
    Ответ:

    10) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение (х + 1) имеет ровно 2 корня? Если значений а окажется несколько, то в ответ запишите их сумму.

    Ответ: — 3

    11) Найдите все значения а, при которых уравнение имеет ровно 3 корня? (Если значений а более одного, то в ответ запишите их сумму).

    Ответ: 4

    12) При каком наменьшем натуральном значении параметра а уравнение – = 11 имеет только положительные корни?

    Ответ: 19

    13) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение = 1 имеет ровно 3 корня? (Если значений а более одного, то в ответе запишите их сумму).

    Ответ:- 3

    14) Укажите такие значения параметра t , при которых уравнение имеет 4 различных решения. Ответ:

    15) Найдите такие параметры m , при которых уравнение имеет два различных решения. Ответ:

    16) При каких значениях параметра p уравнение имеет ровно 3 экстремума? Ответ:

    17) Укажите все возможные параметры n, при которых функция имеет ровно одну точку минимума. Ответ:

    Опубликованный комплект регулярно используется мной для работы со способным, но не самым сильным учеником, претендующим, тем не менее, на высокий балл ЕГЭ за счет решения номера С5. Подготовку такого ученика учитель проводит в несколько этапов, выделяя для тренировки отдельных навыков, необходимых для поиска и реализации длинных решений, отдельные уроки. Эта подборка подходит для стадии формирования представлений о плавающих рисунках в зависимости от параметра. Номера 16 и 17 составлены по образцу реального уравнения с параметром на ЕГЭ 2011г. Задачи выстроены в порядок возрастания их сложности.

    Задание C5 по математике ЕГЭ 2012

    Здесь мы имеем традиционную задачу с параметром, требующую умеренного владения материалом и применения нескольких свойств и теорем. Это задание является одним из самых сложных заданий Единого государственного экзамена по математике. Оно рассчитано, прежде всего, на тех, кто собирается продолжать образование в вузах с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Для успешного решения задачи важно свободно оперировать изученными определениями, свойствами, теоремами, применять их в различных ситуациях, анализировать условие и находить возможные пути решения.

    На сайте подготовки к ЕГЭ Александра Ларина с 11.05.2012 года были предложены тренировочные варианты №1 – 22 с заданиями уровня «С», С5 некоторых из них были аналогичны тем заданиям, которые были на реальном экзамене. Например, найдите все значения параметра а, при каждом из которых графики функций f (х) = и g (х) = а(х + 5) + 2 не имеют общих точек?

    Разберем решение задания С5 из экзамена 2012 года.

    Задание С5 из ЕГЭ-2012

    При каких значениях параметра a уравнение имеет не менее двух корней.

    Решим эту задачу графически. Построим график левой части уравнения: и график правой части: и сформулируем вопрос задачи так: при каких значениях параметра a графики функций и имеют две или более общих точки.

    В левой части исходного уравнения параметр отсутствует, поэтому мы можем построить график функции .

    Будем строить это график с помощью функции :

    1. Сдвинем график функции на 3 единицы вниз вдоль оси OY, получим график функции :

    2. Построим график функции . Для этого часть графика функции , расположенную ниже оси ОХ, отобразим симметрично относительно этой оси:

    Итак, график функции имеет вид:

    График функции

    Почему-то в последнее время задачи с параметрами вызывают у школьников почти священный ужас, иногда тихий, а иногда и не очень Проблема, видимо, опять же в том, что так их учат. В общем, бедные дети… Выучить наизусть кучу задач с одним, двумя и больше параметрами, прорешать их бесчисленное множество раз непонятно зачем, а на том же пресловутом ЕГЭ получить условие такой задачи с параметром, какую еще никогда в глаза не видели и впасть в ступор от невозможности даже начать ее решать, понять, в какую сторону двигаться. Ну как тут не пожалеть выпускников!

    Поскольку я очень люблю описывать свои школьные годы, свою учебу, (что, впрочем, вы уже, наверное, заметили))), то напишу, как это было у нас. Внимание, вы не поверите: нас никто никогда ни разу в жизни не учил решать задачи с параметрами! Вот, написала очередную крамолу))) Нас просто учили решать задачи, и все. Не существовало отдельного класса/вида/группы задач, которые назывались бы задачами с параметрами. И при этом такие задачи никого не удивляли и не заставляли трепетать. Все их просто решали, как и любые другие задачи. Вот так.

    И не было различных учебных пособий, в которых написано, что делать при виде параметров, в какую сторону переносить и куда подставлять… Просто для каждой задачи нужно было понимать, как прийти к ее решению, что, зачем и почему, в какой последовательности делать, чтобы получить ответ. И именно понимание, зачем и почему, было главным. Нет в этих задачах ничего хитрого, поверьте, пожалуйста! Никаких особенных специальных приемов решения их тоже нет. Да, можно показать какие-то методы, которые при полном непонимании происходящего (зачем и почему) помогут справиться с десятью, пятнадцатью, ста одинаковыми задачами, но вот найдется же сто первая, которая таким методом не решится!

    Что отсюда следует? Вот что. Если вы почему-то побаиваитесь задач с параметрами, если у вас начинают дрожать коленки при их упоминании, нужно брать задачи без параметров на ту же тему, которые вы считаете, что умеете решать, и пытаться понять, что к чему, посимвольно разбираясь, что, зачем, почему и как делается. В случае, если вы с этим подробно и обстоятельно разберетесь, четко начнете представлять, что происходит, вам не нужны будут никакие специальные учебные пособия, в которых приводятся такие “полезные” методы решения, и репетиторы, многие из которых научены по тем же самым пособиям. А в качестве бонуса вы сможете, не боясь и не трепеща, приступать к решению любой задачи, в которой есть такие, казалось бы, страшные параметры, а на самом деле – всего лишь буквы, за которыми могут стоять только обыкновенные числа, и больше ничего!

    К сожалению, того, что все будет легко, обещать не могу. Тем более, если вы себе никогда не пытались задавать эти коварные вопросы: почему? зачем? откуда это взялось? и что из этого следует? Тем не менее, если вы хотите научиться решать задачи, хотите понять , вам это следует сделать. Да, думать тяжело, но без этого никак нельзя! Попробуйте, и вы увидите, насколько интереснее стало жить!

    Внимание: мелкие насыщенные графики можно увеличить, щелкнув по ним мышью.

    Исследование и решение уравнений с параметрами считается не самым простым разделом школьной математики. Однако, параметр, как понятие, часто воспринимается школьниками гораздо более сложным, чем есть в действительности. Здесь в первом пункте представлены очень простые вводные примеры использования параметров в уравнениях. Те, для кого это понятие не составляет большой трудности, могут сразу перейти к решению задач, которые представлены ниже.

    Что такое уравнение с параметром?

    Рассмотрим пример.

    Допустим нам нужно решить уравнение 2х + 5 = 2 − x .
    Решение: 2x + x = 2 − 5; 3x = −3; x = −3/3 = −1.

    Теперь нужно решить уравнение 2x + 5 = 3 − x .
    Решение: 2x + x = 3 − 5; 3x = −2; x = −2/3 ~ −0,67.

    Затем нужно решить уравнение 2x + 5 = 0,5 − x .
    Решение: 2x + x = 0,5 − 5; 3x = −4,5; x = −4,5/3 = −1,5.

    А потом может потребоваться решить уравнение 2x + 5 = 10,7 − x или уравнение 2x + 5 = −0,19 − x .
    Понятно, что уравнения похожи, а потому их решение будет сопровождаться теми же действиями, что выше. Возникает естественный вопрос — сколько можно делать одно и то же?

    Уменьшим себе трудозатраты. Заметим, что все эти уравнения отличаются только одним числом в правой части. Обозначим это число символом a .
    Получим уравнение 2х + 5 = a х ,
    где a переменная величина, вместо которой можно подставить нужное числовое значение и получить нужное уравнение. Эта переменная и называется параметром.

    Решим это уравнение так же, как и все предыдущие.
    Решение: 2х + 5 = a x ; 2x + x = a − 5; 3x = a − 5; x = (a − 5)/3.

    Теперь для того, чтобы найти ответы для двух последних примеров, мы можем не повторять полностью всё решение каждого уравнения, а просто подставить в полученную формулу для х числовое значение параметра а :
    x = (10,7 − 5)/3 = 5,7/3 = 1,9;
    x = (−0,19 − 5)/3 = −5,19/3 = −1,73.

    Таким образом, под термином «уравнение с параметром», фактически, скрывается целое семейство «почти одинаковых уравнений» , которые отличаются друг от друга только одним числом (одним слагаемым или одним коэффициентом) и одинаково решаются. Параметр — это число, которое меняется от уравнения к уравнению.
    Полученную формулу для корня уравнения мы можем запрограммировать на компьютере. Достаточно будет только ввести значение параметра a , чтобы получить решение любого такого уравнения.

    Рассмотрим еще один пример.

    Нужно решить несколько уравнений:
    2х + 5 = 2 − x ;
    3х + 5 = 2 − x ;
    −4х + 5 = 2 − x ;
    17х + 5 = 2 − x ;
    0,5х + 5 = 2 − x .

    Замечаем, что они похожи друг на друга и отличаются только первым коэффициентом. Обозначим его, например, символом k .
    Решим уравнение + 5 = 2 − x с параметром k .

    Решение:
    + 5 = 2 − x ;
    + х = 2 − 5;
    (k + 1)x = −3;
    x = −3/(k + 1).

    С помощью этой формулы вычислим все ответы для приведенных уравнений.
    x = −3/(2 + 1) = −1
    x = −3/(3 + 1) = −0,75
    x = −3/(−4 + 1) = 1
    x = −3/(17 + 1) = −1/6 ~ −0,167
    x = −3/(0,5 + 1) = −2

    Можем ли мы теперь запрограммировать эту формулу и сказать, что с её помощью можно решить любое аналогичное уравнение?
    Запрограммировать можем. Компьютер справится как с очень большими значениями коэффициента, так и с очень маленькими.
    Например, если введём k = 945739721, то для уравнения заданного вида будет получен корень примерно равный −0,0000000031721201195353831188, если k = 0,0000004, то получим корень ≈ −2,9999988000004799998080000768.
    Но, если мы введем в программу, казалось бы, более простое значение k = −1, то компьютер зависнет.
    Почему?

    Посмотрим внимательнее на формулу x = −3/(−1 + 1) = −3/0. Деление на ноль?!!
    Посмотрим на соответствующее уравнение −1·х + 5 = 2 − x .
    Преобразуем его −х + x = 2 − 5.
    Оказывается, оно равносильно уравнению 0 = −3 (?!! ) и не может иметь корней.
    Таким образом, из общего подхода к решению «почти одинаковых уравнений» могут существовать исключения, о которых нужно позаботиться отдельно. Т.е. провести предварительное исследование всего семейства уравнений. Именно этому и учатся на уроках математики с помощью так называемых задач с параметрами.

    Графические способы решения уравнений

    Сначала вспомним, что представляет собой графический способ решения обычного уравнения (без параметра).
    Пусть дано уравнение вида f(x) = g(x) . Построим графики функций y = f(x) и y = g(x) и найдём точки пересечения этих графиков. Абсциссы точек пересечения и есть корни уравнения.

    Для быстрого построения эскизов графиков повторите еще раз которые изучаются в школьном курсе математики, и

    Рассмотрим примеры.

    1. Решить уравнение
    2х + 5 = 2 − x

    Ответ: x = −1 .

    2. Решить уравнение
    2х 2 + 4х − 1 = 2х + 3

    Ответ: x 1 = -2; x 2 = 1 .

    3. Решить уравнение
    l og 2 х = −0,5х + 4

    Ответ: x = 2 .

    Первые два из приведенных уравнений вы можете решить и аналитически, так как это обычные линейное и квадратное уравнения. Второе уравнение содержит функции разных классов — степенную (здесь линейную) и трансцендентную (здесь логарифмическую). Для таких случаев выбор способов решения у школьников очень ограничен. Фактически, единственным доступным способом является именно графическое решение.

    Внимание: Для корней, найденных графическим способом, обязательна проверка! Вы уверены, что на третьем рисунке пересечение именно в точке х = 4 , а не в точке 3,9 или 4,1? А если на реальном экзамене у вас нет возможности построить график достаточно точно? На чертеже «от руки» разброс может быть еще больше. Поэтому алгоритм действий должен быть следующим:

    1. Предварительный вывод: х ≈ 4.
    2. Проверка: l og 2 4 = −0,5·4 + 4; 2 = −2 + 4; 2 ≡ 2.
    3. Окончательный вывод х = 4.

    Чтобы графически решать уравнения с параметрами надо строить не отдельные графики, а их семейства.

    Решение уравнений с параметрами с помощью графиков.

    Задача 1.

    q при которых уравнение |x + 1| − |x − 3| − x = q 2 − 8q + 13 имеет ровно 2 корня.

    При каждом значении параметра q можно вычислить значение выражения q 2 − 8q + 13 . Результат обозначим переменной а .
    Т.е. примем q 2 − 8q + 13 = a и решим уравнение с параметром |x + 1| − |x − 3| − x = a

    Строим график функции y = |x + 1| − |x − 3| − x , расположенной в левой части уравнения.
    Для этого разобьём числовую ось на отрезки точками, в которых каждый из встречающихся модулей принимает нулевое значение.

    |x + 1| = 0; x = −1;
    |x − 3| = 0; x = 3.


    Для каждого из этих участков раскроем модули с учётом знаков.
    Вспомним: по определению |x | = x , если х ≥ 0 , и |x | = −x , если х . Чтобы проверить знаки модулей на участке достаточно подставить любое промежуточное значение x из этого отрезка, например, −2, 0 и 4.

    Таким образом на участке I , где −∞ х ≤ −1, имеем −(x + 1) + (x − 3) − x = − x − 4.
    Следовательно, должны построить график функции y = − x − 4 .
    Это линейная функция. Её график прямая линия, которую можно построить по двум точкам, например, x = 0, y = −4 и у = 0, x = −4. Cтроим всю прямую бледной линией, а затем выделяем часть графика, относящуюся только к рассматриваемому участку.

    Аналогично, разбираемся с оставшимися двумя участками.

    На участке II , где −1 х ≤ 3, имеем (x + 1) + (x − 3) − x = x − 2
    y = x − 2 .

    На участке III , где 3 х ≤ ∞ , имеем (x + 1) − (x − 3) − x = − x + 4
    и должны построить соответствующую часть графика функции y = − x + 4 .

    Последовательное построение итогового графика показано ниже. (Чтобы увеличить рисунок, нужно щелкнуть по нему левой кнопкой мыши.)

    Замечание: если вы освоили тему , то с этой частью задачи сможете справиться быстрее, чем показано в примере.

    Итак, построение графика функции, расположенной в левой части уравнения, мы завершили. Посмотрим, что находится в правой части.

    График функции y = a представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс (Ox ), и пересекающую ось ординат (Oy ) в точке а . Так как а — параметр, который может принимать разные значения, то нужно построить целое семейство таких параллельных линий, пересекающих ось ординат на разной высоте. Очевидно, что все графики семейства построить мы не сможем, поскольку их бесконечное множество. Изобразим для примера несколько штук в районе уже построенного графика функции. Ниже прямые семейства y = a показаны красным цветом.


    Из рисунка видно, что количество точек пересечения каждой из красных прямых с ранее построенным (зелёным) графиком зависит от высоты, на которой расположена эта прямая, т.е. от параметра а . Прямые, расположенные ниже y = −3 , пересекают график в одной точке, а значит эти уравнения имеют только одно решение. Прямые, проходящие на уровне −3 y y = 1 , снова имеют только по одной точке пересечения.
    Ровно две точки пересечения с зелёным графиком будут иметь только прямые y = 1 и y = −3 . Соответствующие уравнения будут иметь ровно два корня, что и требовалось определить в задании.

    Однако мы нашли значения введённого нами параметра а , при котором заданное уравнение имеет 2 корня, а вопрос задачи состоял в том, чтобы найти все значения параметра q . Для этого придётся решить следующую совокупность уравнений:

    Это обычные квадратные уравнения, которые решаются через дискриминант или по теореме Виета.


    Таким образом, окончательный ответ: {2;4;6}.

    Задача 2.

    Найти все значения параметра a , при которых уравнение (2 − x )x (x − 4) = a имеет ровно 3 корня.

    Рассмотрим функцию y = (2 − x )x (x − 4) . Видно, что если раскрыть скобки, то старший член будет х 3 . Т.е. графиком функции должна быть кубическая парабола, причем на при x , стремящемcя к +∞, y → −∞, а при x , стремящемся к −∞, y → +∞.
    Поскольку уравнение (2 − x )x (x − 4) = 0 имеет три корня 2, 0 и 4, то график функции будет пересекать ось абсцисс трижды.
    Понятно, что при упомянутых условиях график непрерывной функции должен иметь участок с «волной». Строим от руки эскиз графика.

    Правая часть уравнения y = a такая же, как в предыдущей задаче. Поэтому дальнейшие построения не требуют комментариев. Смотрите рисунки. Чтобы увеличить, используйте щелчок мышью.




    Из рисунков видно, что прямые, отделяющие линии с тремя точками пересечения от других случаев, проходят через экстремумы кубической функции. Поэтому определяем значения y max и y min через производную. (Исследовать функцию полностью не нужно, так как примерное положение точек экстремума мы видим на эскизе графика.) Обратите внимание на то, что при вычислении значений функции используются точные значения x и формулы сокращенного умножения. Приближенные значения в промежуточных вычислениях не используют.

    Ответ:

    Задача для самостоятельного решения

    Задача 3.

    При каком наибольшем отрицательном значении параметра а уравнение имеет один корень?

    Показать решение.

    Чтобы увеличить рисунок, нужно щелкнуть по нему левой кнопкой мыши.
    Переносим 2x в правую часть уравнения, в результате получим две элементарные функции, графики которых изучались в школе.
    По рисунку видим, что условию задачи удовлетворяет линия, которая касается графика. Поэтому для дальнейших вычислений используем условия:
    1) тангенс угла наклона касательной равен производной функции в точке касания;
    2) искомая параметрическая прямая и график имеют общую точку.
    При вычислениях игнорируем модуль, поскольку проводим их для правого участка кривой (x > 0 ).

    Ответ: -1,625

    Задача реального экзамена ЗНО-2013 (http://www.osvita.ua/).

    Есть вопросы? пожелания? замечания?
    Обращайтесь —

    Внимание, ©mathematichka . Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.

    Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных 10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана школы.

    Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с параметрами”.

    Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:

    1. Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решить для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих определенному множеству.
    2. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
    3. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства) имеют заданное число решений.
    4. Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

    Методы решений задач с параметрами.

    1. Аналитический метод.

    Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

    Пример 1. Найдите все значения параметра a , при которых уравнение:

    (2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не более одного корня.

    При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.

    Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.

    Если a ≠ 1/2, то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:

    D = a 2 – 4(2a – 1)(2a – 3) = -15a 2 + 32a – 12;

    Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,

    2. Графический метод.

    В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a ) рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y ) или в плоскости (x;a ).

    Пример 2. Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения .

    Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций и y = a.

    График функции показан на рис.1.

    y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).

    Ответ: при a a = 0 и a = 25/4 – четыре решения; при 0 a a = 6 – семь решений; при

    6 a a > 25/4 – два решения.

    3. Метод решения относительно параметра.

    При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.

    Пример 3. Найти все значения параметра а , при каждом из которых уравнение = —ax +3a +2 имеет единственное решение.

    Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть = t , t ≥ 0 , тогда x = t 2 + 8 и уравнение примет вид at 2 + t + 5a – 2 = 0 . Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а , при которых уравнение at 2 + t + 5a – 2 = 0 имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях.

    1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t = 2.

    Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.

    Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности.

    Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких задач.

    . Линейные уравнения.

    Задача № 1. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней?

    . Степенные уравнения, неравенства и их системы.

    Задача №2. Найти все значения параметра a , при которых множество решений неравенства:

    содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.

    Преобразуем обе части неравенства.

    Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и достаточно выполнение условия:

    Рис.4

    При a > 6 множество решений неравенства: .

    Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в интервале (5; a ).

    . Показательные уравнения, неравенства и системы.

    Задача № 3. В области определения функции взяли все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше 10.

    1) Графиком дробно-линейной функции является гипербола. По условию x > 0. При неограниченном возрастании х дробь монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.

    2) По определению степени область определения D(y) состоит из решений неравенства . При a = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция у нигде не определена.

    3) При 0 a показательная функция с основанием а убывает и неравенство равносильно неравенству . Так как x > 0 , то z (x ) > z (0) = 1 . Значит, каждое положительное значение х является решением неравенства . Поэтому для таких а указанную в условии сумму нельзя найти.

    4) При a > 1 показательная функция с основанием а возрастает и неравенство равносильно неравенству . Если a ≥ 5, то любое положительное число является его решением, и указанную в условии сумму нельзя найти. Если 1 a x 0) , где a = z (x 0) .

    5) Целые числа расположены в этом интервале подряд, начиная с 1. Вычислим суммы последовательно идущих натуральных чисел, начиная с 1: 1; 1+2 = 3; 1+2+3 = 6; 1+2+3+4 = 10;… Поэтому указанная сумма будет больше 5 и меньше 10, только если число 3 лежит в интервале (0;x 0), а число 4 не лежит в этом интервале. Значит, 3 x 0 ≤ 4 . Так как возрастает на , то z (3) z (x 0) ≤ z (4) .

    Решение иррациональных уравнений и неравенств, а также уравнений, неравенств и систем, содержащих модули рассмотрены в Приложении 1.

    Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа.

    По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.

    ОГЭ-ЕГЭ-2021-2022 | Шевкин.Ru — сайт учителя математики

    Шевкин А.В. 1) О решении логарифмического неравенства с неизвестным в основании (задание 15)

    2) Теоремы Чевы и Менелая на ЕГЭ (задание 16)

    3) Ох уж эти банковские задачи из ЕГЭ (№ 17 из подгот. сборн. к ЕГЭ-2016)

    4) Вокруг задач 17 из ЕГЭ-2016 на нахождение наибольшего значения величины

    5) Сердечные задания с параметром. Презентация, первая задача из статьи Сердечные задания с параметром

    6) Задачи 19 из ЕГЭ. На доске написали натуральные числа …

    7) Задачи 19 из ЕГЭ. Задачи про турниры

    8) Задачи 19. Аликвотные дроби

    9) Задача из сборника Л.Д. Лаппо и М.А. Попова, или Сколько месяцев в году имеют 30 дней

    10) Параметры. Досрочный экзамен по математике 30.03.2018

    11) Новые задачи 17 для подготовки к ЕГЭ 25.09.2018

    12)  Задачи на переливания, или Алгоритм перебора всех случаев   (обновление)

    13) Проценты. Задачи 11 из ЕГЭ  05.05.2019 (дополнение 23.06.2019)

    14) Сплавы и смеси. Задачи 11 из ЕГЭ 09.05.2019

    15) Совместная работа. Задачи 11 из ЕГЭ 09.05.2019

    16) Трудные задачи ЕГЭ. Параметры. Метод xOa (обновление 01.10.2019)

    17) Дюжина задач на параметры  (обновление 20.02.2020)

    18) Как мы решали задачу на вероятность.  12.06.2019.

    19)  Рассуждения с числовыми значениями при решении уравнений

    20) Задание 14 из сборника ЕГЭ-2020. Можно иначе   (Word)
    Презентация: Задание 14 из сборника ЕГЭ-2020. Можно иначе

    21) Четыре задачи на площади

    22) Параметры для начинающих (подготовка к ОГЭ). Обновление 27.10.2020.
    Параметры. Урок 1. Графики функций с модулями (8-9 классы)
    Параметры. Урок 2. Графики функций с модулями  (8-9 классы)
    Параметры. Урок 3. Графики функций с модулями  (8-9 классы)
    Параметры. Урок 4. Гиперболы, параболы, модули (8-9 классы)
    Параметры. Урок 5. Задания из ОГЭ (8-9 классы)

    23) Параметры. Множество значений функции (2020.02.25). Три задания из сборников для подготовки к ЕГЭ.

    24) Параметры. Наименьшее значение функции больше данного числа 2020.02.23

    25) Задачи № 26 из ОГЭ. Три задачи из «пробников» 2020 г. и одна шутка про пиццу.

    26) Виноградов О.П. Теория вероятностей и ЕГЭ. Об изучение элементов теории вероятностей в школе и задачах ЕГЭ.

    27) О построении отрезков, заданных формулой

    28) Задания с параметром (Правка 2020.06.29)  (сборник ЕГЭ-2020. 10 вариантов)

    29) Сложные задачи с параметром. Задача 18 из шестого варианта (сборник ЕГЭ-2020. 10 вариантов)

    30)  Красивые тригонометрические неравенства  Обновление от 9. 07.2020

    31) Сложные тригонометрические уравнения 15.07.2020

    32) Необычная задача с логарифмом 2020.08.24

    33) Можно ли решать уравнения и неравенства без ОДЗ. 10.09.2020.

    34) Параметры. Уравнение, система уравнений, неравенство. 10.09.2020.

    35) Теорема ван Обеля про треугольники 21.09.2020.

    36) Наибольшая площадь сечения треугольной пирамиды 22.09.2020.

    37) Головоломки с площадями  07.10.2020.

    38) Неравенства с логарифмами и модулями 05.11.2020. 

    39) Страшное снаружи… иррациональное неравенство 13.12.2020

    40) ЕГЭ 2022 Вероятность и комплексные числа 21.12.2020

    41)  О пользе выделения полного квадрата 25.12.2020

    Лупашевская В.Ю., Пукас Ю.О.
    Такие похожие «неправильные» дроби (№ 18 из подгот. сборн. к ЕГЭ-2016)

    06.06.2016. Простые задачи профильного ЕГЭ по математике глазами журналистов АиФ

    ЕГЭ-Архив сайта

    На этой странице мы помещаем ссылки на демонстрационную версию ЕГЭ по математике Московского института открытого образования (МИОО), варианты диагностической работы 1, состоявшейся 23 октября 2008 г. в Москве, результаты этих работ, на статьи, посвященные обсуждению проблемы ЕГЭ — 2009. А также два варианта диагностической работы 1.10.2009 г. (ссылка внизу страницы). Далее по мере поступления помещаем материалы, связанные с наиболее трудными задачами ЕГЭ. В том числе более поздних годов.

    Дистанционная обучающая система для подготовки к ЕГЭ по математике «РЕШУ ЕГЭ» от Д.Д. Гущина: www.reshuege.ru

    Открытый банк заданий по математике http://www.mathege.ru:8080/or/ege/Main

    Короткое решение задачи С4 из книги Т.А. Корешковой и др.

    Единый государственный экзамен по математике (Демонстрационный вариант МИИО)

    Тест ЕГЭ-2009. Задания А1-А10: http://www.rosbalt.ru/eg/

    Подготовка к ЕГЭ-2010

    Ю.О. Пукас. Решение задачи С18 из диагностической работы (12.2008) МИОО

    А.В. Шевкин, Ю.О. Пукас. О решении задачи С6 из диагностической работы (10.2009) МИОО

    А.В. Шевкин. Задания С6 из ЕГЭ 2010 по математике

    Дополнение. Три решения задач С6 Ю.К.Майорова
    Два решения задач С6 А. Эвнина
    Задачи С6 из контрольной работы 24.04.2010 и решения Эвнина и  Саржевского
    Решение задачи С5 Ю.К.Майорова

    Задачи С6 из ЕГЭ 2010 (варианты Дальнего Востока и Москвы)

    Оформление решений задания №13 (С1) по математике

    Задание №13 (С1) ЕГЭ профильного уровня по математике – это тригонометрическое, логарифмическое, иррациональное или показательное уравнение. Каждое задание состоит из пунктов а и б. При отсутствии в решении уравнения ответа на вопрос пункта а задание С1 оценивается 0 баллов.

    Пункт а предполагает решение предложенного уравнения.

    Пункт б предполагает отбор корней любым доступным ученику способом: отбор на тригонометрическом круге, аналитическим методом (подбор значений n), решением двойного неравенства, построением графика

    Общие правила заполнения бланков ЕГЭ

    Таблица математических символов и обозначений

    Критерии оценивания

    Задание С1

    Оформление решения задания С1

    Задание С1 – это тригонометрическое, логарифмическое, иррациональное или показательное уравнение. Каждое задание состоит из пунктов а и б. При отсутствии в решении уравнения ответа на вопрос пункта а задание С1 оценивается 0 баллов.

    Основные ошибки при выполнении задания С1 допускаются при нахождении корней простейших тригонометрических уравнений, применении формул, определении знака, отборе корней. Зачастую ошибки связаны с невнимательностью учеников. Многих из них можно избежать, если следовать правилам оформления задания:

    • Писать аккуратно, разборчивым почерком;
    • Записывать исходное уравнение, предложенное для решения;
    • Записывать область допустимых значений;
    • Делать проверку корней в иррациональном уравнении;
    • Соблюдать последовательность решения;
    • Использовать знак равенства при решении уравнения только один раз в каждой строчке;
    • Грамотно использовать математические символы;
    • Не пренебрегать записью формул перед их использованием;
    • Выделять нужную дугу заданного промежутка при отборе корней тригонометрического уравнения с использованием числовой окружности;
    • Указывать точки при отборе корней на числовой окружности в тригонометрическом уравнении;
    • Записывать ответ.

    Логарифмические уравнения

    Иррационнальные уравнения

    Тригонометрические уравнения

    Показательное уравнение

    Задания для самопроверки

    Задача 18 (С5). Уравнения с параметрами. — Математика

    Файл к уроку 21

    Решение уравнений с параметрами.

    Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа. По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2-3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.

    Простейшие задачи с параметрами.

    Пример 1. При каком наибольшем отрицательном значении параметра а функция

    имеет максимум в точке ?

    Пример 2. При всех а решите неравенство: .

    Пример 3. При всех а решите неравенство: .

    Пример 4. При всех а решите неравенство:

    Линейные уравнения с параметрами.

    Уравнение вида

    где a, b из Rx — переменная, называется уравнением первой степени (линейным уравнением).

    Уравнение равносильно уравнению

    ax = – b

    откуда следует следующее утверждение.

    1. Если a ≠ 0, то уравнение имеет единственное решение x = – b/a;

    2. Если a = 0, b ≠ 0, то множество решений уравнения пусто;

    3. Если a = 0, b = 0, то любое действительное число является решением уравнения.

    Решить уравнение с параметром – значит указать решение при всех значениях параметра.

    Пример 5. Решить уравнение: a2x – 1 = x + a.

    Пример 6. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней:

    Пример 7. При каких значениях параметра а неравенство имеет решением все действительные числа:

    Системы линейных уравнений с параметрами.

    – Система имеет единственное решение.

    – Система имеет бесконечное множество решений.

    – Система не имеет решений.

    Пример 8. Для всех значений параметра а решить систему уравнений

    Пример 9. Определить, при каких значениях параметра a уравнения x + ay =1

    и ax + y = 2a имеют хотя бы одно общее решение.

    Квадратичные уравнения с параметрами.

    Уравнения второй степени с параметрами зависят от дискриминанта и направления ветвей параболы, задаваемой квадратным трехчленом.

    Квадратное уравнение может не иметь решений (Da=0 или D=0), два решения (D0) или бесконечное множество решений (когда при каком-то значении параметра получаем 0=0).

    Пример 10. Решить уравнение в зависимости от параметра а:

    Пример 11. При каких значениях корни уравнения положительны?

    Пример 12. Найти значения параметра а, при которых среди корней уравнения имеется ровно один отрицательный:

    Пример 13. При каких значениях параметра уравнение имеет единственный корень?

    Пример 14. При каких значениях m корни уравнения 4x² – (3m + 1) x m – 2 = 0 лежат в промежутке между –1 и 2?

    Пример 15: Найти все значения параметра а, при которых меньший корень уравнения x² + (a + 1) x + 3 = 0 лежал в интервале (–1; 3)

    Пример 16. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет два различных отрицательных корня:

    Пример 17. При каких целых а неравенство верно для любого значения х:

    Пример 18. Найти все значения а, при каждом из которых система имеет ровно два различных решения:

    Пример 19. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств не имеет решений.

    Построение математической модели для калибровки параметров тестовых заданий и шкалы уровня знаний студентов вузов средствами тестирования

    Ванкувер

    Нургабыл Д., Калжанова Г., Уалиев Н., Абдолдинова Г. Построение математической модели для калибровки параметров тестовых заданий и шкалы уровня знаний студентов вузов с помощью тестирования. ЕВРАЗИЯ J Math Sci Tech Ed. 2017; 13 (11): 7421-9. https://doi.org/10.12973 / ejmste / 79796

    APA

    Нургабыл, Д., Калжанова, Г., Уалиев, Н., и Абдолдинова, Г. (2017). Построение математической модели для калибровки параметров тестового задания и шкалы уровня знаний студентов вузов с помощью тестирования. Евразийский журнал математики, науки и технического образования, 13 (11), 7421-7429. https://doi.org/10.12973/ejmste/79796

    AMA

    Нургабыл Д, Калжанова Г, Уалиев Н, Абдолдинова Г.Построение математической модели для калибровки параметров тестового задания и шкалы уровня знаний студентов вузов с помощью тестирования. EURASIA J Math Sci Tech Ed . 2017; 13 (11), 7421-7429. https://doi.org/10.12973/ejmste/79796

    Чикаго

    Нургабыл, Дуйсебек, Гульмира Калжанова, Нуржан Уалиев и Гульсим Абдолдинова. «Построение математической модели для калибровки параметров тестового задания и шкалы уровня знаний студентов вузов с помощью тестирования». Евразийский журнал математики, науки и технологий Образование 2017 13 вып. 11 (2017): 7421-7429. https://doi.org/10.12973/ejmste/79796

    Гарвард

    Нургабыл, Д., Калжанова, Г., Уалиев, Н., Абдолдинова, Г. (2017). Построение математической модели для калибровки параметров тестового задания и шкалы уровня знаний студентов вузов с помощью тестирования. Евразийский журнал математики, науки и технологий образования , 13 (11), стр.7421-7429. https://doi.org/10.12973/ejmste/79796

    MLA

    Нургабыл, Дуйсебек и др. «Построение математической модели для калибровки параметров тестового задания и шкалы уровня знаний студентов вузов с помощью тестирования». Евразийский журнал математики, науки и технологий образования , vol. 13, нет. 11, 2017, с. 7421-7429. https://doi.org/10.12973/ejmste/79796

    1.1: Четыре способа представления функции

    Цели обучения

    • Определите, представляет ли отношение функцию.
    • Найдите значение функции.
    • Определите, является ли функция взаимно однозначной.
    • Используйте тест вертикальной линии для определения функций.
    • Изобразите функции, перечисленные в библиотеке функций.

    Реактивный лайнер меняет высоту по мере увеличения расстояния от точки старта полета. Вес подрастающего ребенка со временем увеличивается. В каждом случае одно количество зависит от другого. Между двумя величинами существует взаимосвязь, которую мы можем описывать, анализировать и использовать для прогнозирования.В этом разделе мы проанализируем такие отношения.

    Определение того, представляет ли отношение функцию

    Отношение — это набор упорядоченных пар. Набор первых компонентов каждой упорядоченной пары называется областью, а набор вторых компонентов каждой упорядоченной пары называется диапазоном. Рассмотрим следующий набор упорядоченных пар. Первые числа в каждой паре — это первые пять натуральных чисел. Второе число в каждой паре вдвое больше первого.

    \ [\ {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10) \} \ tag {1.1.1} \]

    Домен \ (\ {1, 2, 3, 4, 5 \} \). Диапазон равен \ (\ {2, 4, 6, 8, 10 \} \).

    Обратите внимание, что каждое значение в домене также известно как входное значение или независимая переменная и часто обозначается строчной буквой \ (x \). Каждое значение в диапазоне также известно как выходное значение или зависимая переменная и часто обозначается строчной буквой \ (y \).

    Функция \ (f \) — это отношение, которое присваивает одно значение в диапазоне каждому значению в домене.Другими словами, никакие \ (x \) — значения не повторяются. В нашем примере, который связывает первые пять натуральных чисел с числами, удваивающими их значения, это отношение является функцией, потому что каждый элемент в домене, {1, 2, 3, 4, 5}, связан ровно с одним элементом в диапазон, \ (\ {2, 4, 6, 8, 10 \} \).

    Теперь давайте рассмотрим набор упорядоченных пар, который связывает термины «четный» и «нечетный» с первыми пятью натуральными числами. Это будет

    \ [\ mathrm {\ {(нечетное, 1), (четное, 2), (нечетное, 3), (четное, 4), (нечетное, 5) \}} \ tag {1.1.2} \]

    Обратите внимание, что каждый элемент в домене {четный, нечетный} не связан ровно с одним элементом в диапазоне \ (\ {1, 2, 3, 4, 5 \} \). Например, термин «нечетный» соответствует трем значениям из области \ (\ {1, 3, 5 \} \), а термин «четный» соответствует двум значениям из диапазона \ (\ {2, 4 \} \). Это нарушает определение функции, поэтому это отношение не является функцией.

    На рисунке \ (\ PageIndex {1} \) сравниваются отношения, которые являются функциями, а не функциями.

    Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): (a) Это отношение является функцией, потому что каждый вход связан с одним выходом.Обратите внимание, что входные \ (q \) и \ (r \) оба дают выход \ (n \). (б) Эта связь также является функцией. В этом случае каждый вход связан с одним выходом. (c) Это отношение не является функцией, потому что вход \ (q \) связан с двумя разными выходами.

    Функция

    Функция — это отношение, в котором каждое возможное входное значение приводит ровно к одному выходному значению. Мы говорим: «Выход — это функция входа».

    Входные значения составляют область , а выходные значения составляют диапазон .

    Как сделать: учитывая связь между двумя величинами, определите, является ли связь функцией

    1. Определите входные значения.
    2. Определите выходные значения.
    3. Если каждое входное значение приводит только к одному выходному значению, классифицируйте отношение как функцию. Если какое-либо входное значение приводит к двум или более выходам, не классифицируйте отношение как функцию.

      Пример \ (\ PageIndex {1} \): определение того, являются ли прайс-листы меню функциями

      Меню кофейни, показанное на рисунке \ (\ PageIndex {2} \), состоит из предметов и их цен.

      1. Цена зависит от товара?
      2. Товар зависит от цены?
      Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): меню с ценами на пончики из кафе, где простой пончик стоит 1,49 доллара, а пончик с желе и шоколадный пончик — 1,99 доллара.

      Решение

      1. Давайте начнем с рассмотрения ввода как пунктов меню. Выходные значения — это цены. См. Рисунок \ (\ PageIndex {3} \).
      Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): меню цен на пончики из кафе, где простой пончик стоит 1 доллар.49, пончик с желе и шоколадный пончик — 1,99 доллара.

      У каждого пункта меню есть только одна цена, поэтому цена зависит от позиции.

      1. Два пункта меню имеют одинаковую цену. Если мы рассматриваем цены как входные значения, а товары как выходные, то с одним и тем же входным значением может быть связано несколько выходных данных. См. Рисунок \ (\ PageIndex {4} \).
      Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): Связь цен с пончиками.

      Следовательно, товар не зависит от цены.

      Пример \ (\ PageIndex {2} \): определение того, являются ли правила оценки класса функциями

      В конкретном математическом классе общая процентная оценка соответствует среднему баллу. Является ли средний балл функцией процентной оценки? Является ли процентная оценка функцией среднего балла? В таблице \ (\ PageIndex {1} \) показано возможное правило назначения оценок.

      Таблица \ (\ PageIndex {1} \): баллы класса.
      Процентное содержание 0–56 57–61 62–66 67–71 72–77 78–86 87–91 92–100
      Средний балл 0. 0 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

      Решение

      Для любой процентной оценки существует связанный средний балл, поэтому средний балл является функцией процентной оценки. Другими словами, если мы введем процентную оценку, на выходе получится конкретный средний балл.

      В данной системе оценок существует диапазон процентных оценок, соответствующих одному и тому же среднему баллу. Например, учащиеся, получившие средний балл 3,0, могут иметь различные процентные оценки от 78 до 86. Таким образом, процентная оценка не является функцией среднего балла.

      Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

      Таблица \ (\ PageIndex {2} \) перечисляет пять величайших бейсболистов всех времен в порядке рангов.

      Таблица \ (\ PageIndex {2} \): пять величайших бейсболистов.
      Игрок Рейтинг
      Бэйб Рут 1
      Уилли Мейс 2
      Тай Кобб 3
      Уолтер Джонсон 4
      Хэнк Аарон 5
      1. Является ли ранг функцией имени игрока?
      2. Имя игрока зависит от ранга?
      Ответьте на

      Есть

      Ответ б

      да.(Примечание: если бы два игрока были разделены, скажем, за 4-е место, то имя не зависело бы от ранга. )

      Использование обозначения функций

      Как только мы определим, что отношение является функцией, нам необходимо отобразить и определить функциональные отношения, чтобы мы могли их понять и использовать, а иногда и чтобы мы могли запрограммировать их в компьютеры. Существуют различные способы представления функций. Стандартные обозначения функций — это одно из представлений, облегчающих работу с функциями.

      Чтобы представить «рост является функцией возраста», мы начинаем с определения описательных переменных \ (h \) для роста и \ (a \) для возраста. Буквы \ (f \), \ (g \) и \ (h \) часто используются для обозначения функций точно так же, как мы используем \ (x \), \ (y \) и \ (z \) для обозначения числа и \ (A \), \ (B \) и \ (C \) для представления множеств.

      \ [\ begin {array} {ll} h \ text {is} f \ text {of} a \; \; \; \; \; \; & \ text {Назовем функцию} f \ text {; высота является функцией возраста.} \\ h = f (a) & \ text {Мы используем круглые скобки для обозначения ввода функции. } \\ f (a) & \ text {Мы называем функцию} f \ text {; выражение читается как «} f \ text {of} a \ text {.»} \ end {array} \]

      Помните, мы можем использовать любую букву для названия функции; запись \ (h (a) \) показывает нам, что \ (h \) зависит от \ (a \). Значение \ (a \) необходимо поместить в функцию \ (h \), чтобы получить результат. Скобки указывают, что возраст вводится в функцию; они не указывают на умножение.

      Мы также можем дать алгебраическое выражение в качестве входных данных для функции.Например, \ (f (a + b) \) означает «сначала сложите \ (a \) и \ (b \), и результат будет входом для функции \ (f \)». Для получения правильного результата операции необходимо выполнять именно в таком порядке.

      Обозначение функций

      Обозначение \ (y = f (x) \) определяет функцию с именем \ (f \). Это читается как «\ (y \) является функцией \ (x \)». Буква \ (x \) представляет входное значение или независимую переменную. Буква \ (y \) или \ (f (x) \) представляет выходное значение или зависимую переменную.

      Пример \ (\ PageIndex {3} \): использование обозначения функций для дней в месяце

      Используйте обозначение функции, чтобы представить функцию, вход которой — это название месяца, а выход — количество дней в этом месяце.

      Решение

      Использование обозначения функций для дней в месяце

      Используйте обозначение функции, чтобы представить функцию, вход которой — это название месяца, а выход — количество дней в этом месяце.

      Количество дней в месяце является функцией названия месяца, поэтому, если мы назовем функцию \ (f \), мы напишем \ (\ text {days} = f (\ text {month}) \) или \ (d = f (m) \). Название месяца — это вход в «правило», которое связывает определенное число (выход) с каждым входом.

      Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): функция \ (31 = f (январь) \), где 31 — результат, f — правило, а январь — вход.

      Например, \ (f (\ text {March}) = 31 \), потому что в марте 31 день. Обозначение \ (d = f (m) \) напоминает нам, что количество дней, \ (d \) (выход), зависит от названия месяца, \ (m \) (вход).

      Анализ

      Обратите внимание, что входные данные функции не обязательно должны быть числами; входные данные функции могут быть именами людей, метками геометрических объектов или любым другим элементом, определяющим какой-либо вид вывода.Однако большинство функций, с которыми мы будем работать в этой книге, будут иметь числа в качестве входов и выходов.

      Пример \ (\ PageIndex {3B} \): интерпретация обозначения функции

      Функция \ (N = f (y) \) дает количество полицейских \ (N \) в городе в году \ (y \). Что означает \ (f (2005) = 300 \)?

      Решение

      Когда мы читаем \ (f (2005) = 300 \), мы видим, что входной год — 2005. Выходное значение, количество полицейских \ ((N) \), равно 300.Помните, \ (N = f (y) \). Утверждение \ (f (2005) = 300 \) говорит нам, что в 2005 году в городе было 300 полицейских.

      Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

      Используйте обозначение функции, чтобы выразить вес свиньи в фунтах как функцию ее возраста в днях \ (d \).

      Ответ

      \ (ш = е (г) \)

      Вопросы и ответы

      Вместо обозначения, такого как \ (y = f (x) \), можем ли мы использовать тот же символ для вывода, что и для функции, например, \ (y = y (x) \), означающий «\ (y \) является функцией \ (x \)? »

      Да, это часто делается, особенно по прикладным предметам, использующим высшую математику, например физике и инженерии.Однако, исследуя математику, нам нравится проводить различие между такой функцией, как \ (f \) , которая является правилом или процедурой, и выходом y, который мы получаем, применяя \ (f \) к конкретному ввод \ (x \) . Вот почему мы обычно используем такие обозначения, как \ (y = f (x), P = W (d) \) и т. Д.

      Представление функций с помощью таблиц

      Распространенный метод представления функций — в виде таблицы. Строки или столбцы таблицы отображают соответствующие входные и выходные значения. В некоторых случаях эти значения представляют все, что мы знаем об отношениях; в других случаях таблица предоставляет несколько избранных примеров из более полных отношений.

      Таблица \ (\ PageIndex {3} \) перечисляет входное число каждого месяца (\ (\ text {Январь} = 1 \), \ (\ text {Февраль} = 2 \) и т. Д.) И вывод значение количества дней в этом месяце. Эта информация представляет все, что мы знаем о месяцах и днях для данного года (который не является високосным). Обратите внимание, что в этой таблице мы определяем функцию дней в месяце \ (f \), где \ (D = f (m) \) идентифицирует месяцы целым числом, а не именем.

      Таблица \ (\ PageIndex {3} \): Месяцы и количество дней в месяце.

      Номер месяца, \ (м \) (ввод)

      1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
      Дней в месяце, \ (D \) (вывод) 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31

      Таблица \ (\ PageIndex {4} \) определяет функцию \ (Q = g (n) \) Помните, что это обозначение говорит нам, что \ (g \) — это имя функции, которая принимает входные данные \ (n \) и дает результат \ (Q \).

      Таблица \ (\ PageIndex {4} \): Функция \ (Q = g (n) \)

      \ (п \)

      1 2 3 4 5
      \ (Q \) 8 6 7 6 8

      Таблица \ (\ PageIndex {5} \) отображает возраст детей в годах и соответствующий им рост.В этой таблице отображаются лишь некоторые из имеющихся данных о росте и возрасте детей. Сразу видно, что эта таблица не представляет функцию, потому что одно и то же входное значение, 5 лет, имеет два разных выходных значения, 40 дюймов и 42 дюйма.

      Таблица \ (\ PageIndex {5} \): возраст детей и их рост.

      Возраст в годах, \ (a \) (ввод)

      5 5 6 7 8 9 10
      Высота в дюймах, \ (h \) (выход) 40 42 44 47 50 52 54

      Как: по таблице входных и выходных значений определить, представляет ли таблица функцию

      1. Определите входные и выходные значения.
      2. Убедитесь, что каждое входное значение сопряжено только с одним выходным значением. Если это так, таблица представляет функцию.

        Пример \ (\ PageIndex {5} \): определение таблиц, представляющих функции

        Какая таблица, Таблица \ (\ PageIndex {6} \), Таблица \ (\ PageIndex {7} \) или Таблица \ (\ PageIndex {8} \), представляет функцию (если есть)?

        Таблица \ (\ PageIndex {6} \)
        Ввод

        Выход

        2 1
        5 3
        8 6
        Таблица \ (\ PageIndex {7} \)
        Ввод

        Выход

        -3 5
        0 1
        4 5
        Таблица \ (\ PageIndex {8} \)
        Ввод

        Выход

        1 0
        5 2
        5 4

        Решение

        Таблица \ (\ PageIndex {6} \) и Таблица \ (\ PageIndex {7} \) определяют функции. В обоих случаях каждое входное значение соответствует ровно одному выходному значению. Таблица \ (\ PageIndex {8} \) не определяет функцию, потому что входное значение 5 соответствует двум различным выходным значениям.

        Когда таблица представляет функцию, соответствующие входные и выходные значения также могут быть указаны с использованием обозначения функции.

        Функция, представленная таблицей \ (\ PageIndex {6} \), может быть представлена ​​записью

        \ [f (2) = 1 \ text {,} f (5) = 3 \ text {и} f (8) = 6 \ nonumber \]

        Аналогично выписки

        \ [g (−3) = 5 \ text {,} g (0) = 1 \ text {и} g (4) = 5 \ nonumber \]

        представляют функцию в таблице \ (\ PageIndex {7} \).

        Таблица \ (\ PageIndex {8} \) не может быть выражена аналогичным образом, потому что она не представляет функцию.

        Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)

        Представляет ли таблица \ (\ PageIndex {9} \) функцию?

        Таблица \ (\ PageIndex {9} \)
        Ввод

        Выход

        1 10
        2 100
        3 1000
        Ответ

        да

        Поиск входных и выходных значений функции

        Когда мы знаем входное значение и хотим определить соответствующее выходное значение для функции, мы оцениваем функцию. Оценка всегда дает один результат, потому что каждое входное значение функции соответствует ровно одному выходному значению.

        Когда мы знаем выходное значение и хотим определить входные значения, которые будут производить это выходное значение, мы устанавливаем выход равным формуле функции и решаем вход. Решение может дать более одного решения, потому что разные входные значения могут дать одно и то же выходное значение.

        Вычисление функций в алгебраических формах

        Когда у нас есть функция в форме формулы, вычислить ее обычно несложно.2 + 2p − 3 = 0 & \ text {Вычтите по 3 с каждой стороны.} \\ (p + 3) (p − 1) = 0 & \ text {Factor.} \ End {array} \ nonumber \]

        Если \ ((p + 3) (p − 1) = 0 \), либо \ ((p + 3) = 0 \), либо \ ((p − 1) = 0 \) (или оба они равны \ (0 \)). Мы установим каждый множитель равным \ (0 \) и решим относительно \ (p \) в каждом случае.

        \ [(p + 3) = 0, \; р = −3 \ nonumber \]

        \ [(p − 1) = 0, \, p = 1 \ nonumber \]

        Это дает нам два решения. Выход \ (h (p) = 3 \), когда вход либо \ (p = 1 \), либо \ (p = −3 \). Мы также можем проверить, построив график, как на рисунке \ (\ PageIndex {6} \).2 + 2п \)

        Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

        Учитывая функцию \ (g (m) = \ sqrt {m − 4} \), решить \ (g (m) = 2 \).

        Ответ

        \ (м = 8 \)

        Вычисление функций, выраженных в формулах

        Некоторые функции определяются математическими правилами или процедурами, выраженными в форме уравнения . Если можно выразить выход функции с помощью формулы, включающей входную величину, то мы можем определить функцию в алгебраической форме.Например, уравнение \ (2n + 6p = 12 \) выражает функциональную связь между \ (n \) и \ (p \). Мы можем переписать его, чтобы решить, является ли \ (p \) функцией \ (n \).

        Как: Для данной функции в форме уравнения напишите ее алгебраическую формулу.

        1. Решите уравнение, чтобы изолировать выходную переменную с одной стороны от знака равенства, а другую сторону как выражение, которое включает только входную переменную.
        2. Используйте все обычные алгебраические методы для решения уравнений, такие как сложение или вычитание одной и той же величины с обеих сторон или с обеих сторон, или умножение или деление обеих сторон уравнения на одну и ту же величину.

        Пример \ (\ PageIndex {8A} \): поиск уравнения функции

        По возможности выразите отношение \ (2n + 6p = 12 \) как функцию \ (p = f (n) \).

        Решение

        Чтобы выразить отношение в этой форме, нам нужно иметь возможность записать отношение, где \ (p \) является функцией \ (n \), что означает запись его как \ (p = [\ text {выражение с участием} п] \).

        \ [\ begin {align *} 2n + 6p & = 12 \\ 6p & = 12−2n && \ text {Вычтите 2n с обеих сторон.} \\ p & = \ dfrac {12−2n} {6} & & \ text {Разделите обе стороны на 6 и упростите.} \\ p & = \ frac {12} {6} — \ frac {2n} {6} \\ p & = 2− \ frac {1} {3} n \ end {align *} \]

        Следовательно, \ (p \) как функция от \ (n \) записывается как

        \ [p = f (n) = 2− \ frac {1} {3} n \ nonumber \]

        Анализ

        Важно отметить, что не все отношения, выраженные уравнением, можно также выразить как функцию с формулой. 2 = 1 \) функцию с \ (x \) на входе и \ (y \) на выходе? Если это так, представьте взаимосвязь как функцию \ (y = f (x) \).y \), если мы хотим выразить y как функцию от x, не существует простой алгебраической формулы, включающей только \ (x \), которая равна \ (y \). Однако каждый \ (x \) определяет уникальное значение для \ (y \), и существуют математические процедуры, с помощью которых \ (y \) может быть найден с любой желаемой точностью. В этом случае мы говорим, что уравнение дает неявное (подразумеваемое) правило для \ (y \) как функции \ (x \), даже если формула не может быть записана явно.

        Оценка функции, заданной в табличной форме

        Как мы видели выше, мы можем представлять функции в виде таблиц.И наоборот, мы можем использовать информацию в таблицах для написания функций, и мы можем оценивать функции с помощью таблиц. Например, насколько хорошо наши питомцы помнят теплые воспоминания, которыми мы с ними делимся? Есть городская легенда, что у золотой рыбки память 3 секунды, но это всего лишь миф. Золотая рыбка может помнить до 3 месяцев, в то время как бета-рыба имеет память до 5 месяцев. И хотя продолжительность памяти щенка не превышает 30 секунд, взрослая собака может запоминать 5 минут. Это скудно по сравнению с кошкой, у которой объем памяти составляет 16 часов.

        Функция, которая связывает тип питомца с продолжительностью его памяти, легче визуализировать с помощью таблицы (Table \ (\ PageIndex {10} \)).

        Таблица \ (\ PageIndex {10} \)

        Память питомца

        пролёт в часах

        Щенок 0,008
        Взрослая собака 0.083
        Кот 3
        Золотая рыбка 2160
        Бета-рыба 3600

        Иногда оценка функции в табличной форме может быть более полезной, чем использование уравнений. Здесь вызовем функцию \ (P \). Область функции — это тип домашнего животного, а диапазон — это действительное число, представляющее количество часов, в течение которых хранится память питомца.Мы можем оценить функцию \ (P \) при входном значении «золотая рыбка». Мы бы написали \ (P (золотая рыбка) = 2160 \). Обратите внимание, что для оценки функции в форме таблицы мы идентифицируем входное значение и соответствующее выходное значение из соответствующей строки таблицы. Табличная форма для функции P кажется идеально подходящей для этой функции, больше, чем запись ее в форме абзаца или функции.

        Как сделать: для данной функции, представленной в виде таблицы, определить конкретные выходные и входные значения

        1.Найдите данный вход в строке (или столбце) входных значений.
        2. Определите соответствующее выходное значение в паре с этим входным значением.
        3. Найдите заданные выходные значения в строке (или столбце) выходных значений, отмечая каждый раз, когда это выходное значение появляется.
        4. Определите входные значения, соответствующие заданному выходному значению.

        Пример \ (\ PageIndex {9} \): Вычисление и решение табличной функции

        Использование таблицы \ (\ PageIndex {11} \),

        а. Оцените \ (g (3) \).
        г. Решите \ (g (n) = 6 \).

        Таблица \ (\ PageIndex {11} \)

        \ (п \)

        1 2 3 4 5
        \ (г (п) \) 8 6 7 6 8

        Решение

        а.Вычисление \ (g (3) \) означает определение выходного значения функции \ (g \) для входного значения \ (n = 3 \). Выходное значение таблицы, соответствующее \ (n = 3 \), равно 7, поэтому \ (g (3) = 7 \).
        г. Решение \ (g (n) = 6 \) означает определение входных значений n, которые производят выходное значение 6. Таблица \ (\ PageIndex {12} \) показывает два решения: 2 и 4.

        Таблица \ (\ PageIndex {12} \)

        \ (п \)

        1 2 3 4 5
        \ (г (п) \) 8 6 7 6 8

        Когда мы вводим 2 в функцию \ (g \), на выходе получаем 6.Когда мы вводим 4 в функцию \ (g \), наш результат также равен 6.

        Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

        Используя Table \ (\ PageIndex {12} \), вычислите \ (g (1) \).

        Ответ

        \ (г (1) = 8 \)

        Поиск значений функции из графика

        Оценка функции с помощью графика также требует нахождения соответствующего выходного значения для данного входного значения, только в этом случае мы находим выходное значение, глядя на график.Решение функционального уравнения с использованием графика требует нахождения всех экземпляров данного выходного значения на графике и наблюдения за соответствующими входными значениями.

        Пример \ (\ PageIndex {10} \): чтение значений функций из графика

        Учитывая график на рисунке \ (\ PageIndex {7} \),

        1. Вычислить \ (f (2) \).
        2. Решите \ (f (x) = 4 \).
        Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): График положительной параболы с центром в \ ((1, 0) \).

        Решение

        Чтобы оценить \ (f (2) \), найдите точку на кривой, где \ (x = 2 \), затем прочтите координату y этой точки.Точка имеет координаты \ ((2,1) \), поэтому \ (f (2) = 1 \). См. Рисунок \ (\ PageIndex {8} \).

        \ (\ PageIndex {8} \): график положительной параболы с центром в \ ((1, 0) \) с отмеченной точкой \ ((2, 1) \), где \ (f (2) = 1 \) .

        Чтобы решить \ (f (x) = 4 \), мы находим выходное значение 4 на вертикальной оси. Двигаясь горизонтально по прямой \ (y = 4 \), мы обнаруживаем две точки кривой с выходным значением 4: \ ((- 1,4) \) и \ ((3,4) \). Эти точки представляют два решения \ (f (x) = 4 \): −1 или 3. Это означает \ (f (−1) = 4 \) и \ (f (3) = 4 \), или когда вход — -1 или 3, выход — 4.См. Рисунок \ (\ PageIndex {9} \).

        Рисунок \ (\ PageIndex {9} \): График обращенной вверх параболы с вершиной в \ ((0,1) \) и помеченными точками в \ ((- 1, 4) \) и \ ((3 , 4) \). Прямая в точке \ (y = 4 \) пересекает параболу в отмеченных точках.

        Упражнение \ (\ PageIndex {10} \)

        Учитывая график на рисунке \ (\ PageIndex {7} \), решите \ (f (x) = 1 \).

        Ответ

        \ (x = 0 \) или \ (x = 2 \)

        Определение того, является ли функция однозначной

        Некоторые функции имеют заданное выходное значение, соответствующее двум или более входным значениям.Например, на биржевой диаграмме, показанной на рисунке в начале этой главы, цена акции составляла 1000 долларов в пять разных дат, что означает, что было пять разных входных значений, которые все привели к одному и тому же выходному значению в 1000 долларов.

        Однако некоторые функции имеют только одно входное значение для каждого выходного значения, а также имеют только один выход для каждого входа. Мы называем эти функции взаимно однозначными функциями. В качестве примера рассмотрим школу, в которой используются только буквенные оценки и десятичные эквиваленты, как указано в Таблице \ (\ PageIndex {13} \).

        Таблица \ (\ PageIndex {13} \): буквенные оценки и десятичные эквиваленты.
        Letter Grade Средний балл
        A 4,0
        B 3,0
        С 2,0
        D 1,0

        Эта система оценок представляет собой функцию «один-к-одному», поскольку каждая вводимая буква дает один конкретный выходной средний балл, а каждый средний балл соответствует одной вводимой букве.

        Чтобы визуализировать эту концепцию, давайте еще раз посмотрим на две простые функции, схематически изображенные на рисунках \ (\ PageIndex {1a} \) и \ (\ PageIndex {1b} \). Функция в части (a) показывает взаимосвязь, которая не является взаимно-однозначной, потому что входы \ (q \) и \ (r \) оба дают выход \ (n \). Функция в части (b) показывает взаимосвязь, которая является функцией один-к-одному, потому что каждый вход связан с одним выходом.

        Индивидуальные функции

        Функция «один к одному» — это функция, в которой каждое выходное значение соответствует ровно одному входному значению.2 \). Поскольку площадь и радиус являются положительными числами, существует ровно одно решение: \ (\ sqrt {\ frac {A} {\ pi}} \). Таким образом, площадь круга взаимно однозначно зависит от радиуса круга.

        Упражнение \ (\ PageIndex {11A} \)

        1. Является ли остаток функцией номера банковского счета?
        2. Является ли номер банковского счета функцией баланса?
        3. Является ли баланс однозначной функцией номера банковского счета?
        Ответ

        а.да, потому что на каждом банковском счете в любой момент времени имеется единый баланс;

        г. нет, потому что несколько номеров банковских счетов могут иметь одинаковый баланс;

        г. нет, потому что один и тот же выход может соответствовать более чем одному входу.

        Упражнение \ (\ PageIndex {11B} \)

        Оцените следующее:

        1. Если каждая процентная оценка, полученная на курсе, соответствует одной буквенной оценке, является ли буквенная оценка функцией процентной оценки?
        2. Если да, то функция взаимно однозначная?
        Ответ

        а.Да, буквенная оценка является функцией процентной оценки;
        г. Нет, не один на один. Мы могли бы получить 100 различных процентных чисел, но только около пяти возможных буквенных оценок, поэтому не может быть только одного процентного числа, соответствующего каждой буквенной оценке.

        Использование теста вертикальной линии

        Как мы видели в некоторых примерах выше, мы можем представить функцию с помощью графика. Графики отображают огромное количество пар ввода-вывода на небольшом пространстве. Предоставляемая ими визуальная информация часто упрощает понимание взаимоотношений.Обычно графики строятся с входными значениями по горизонтальной оси и выходными значениями по вертикальной оси.

        Наиболее распространенные графики называют входное значение \ (x \) и выходное значение \ (y \), и мы говорим, что \ (y \) является функцией \ (x \) или \ (y = f (x) \), когда функция названа \ (f \). График функции — это множество всех точек \ ((x, y) \) на плоскости, удовлетворяющих уравнению \ (y = f (x) \). Если функция определена только для нескольких входных значений, то график функции представляет собой только несколько точек, где координата x каждой точки является входным значением, а координата y каждой точки является соответствующим выходным значением.Например, черные точки на графике на рисунке \ (\ PageIndex {10} \) говорят нам, что \ (f (0) = 2 \) и \ (f (6) = 1 \). Однако множество всех точек \ ((x, y) \), удовлетворяющих \ (y = f (x) \), является кривой. Показанная кривая включает \ ((0,2) \) и \ ((6,1) \), потому что кривая проходит через эти точки

        Рисунок \ (\ PageIndex {10} \): График многочлена.

        Тест вертикальной линии можно использовать для определения того, представляет ли график функцию. Если мы можем нарисовать любую вертикальную линию, которая пересекает график более одного раза, то график не определяет функцию, потому что функция имеет только одно выходное значение для каждого входного значения.См. Рисунок \ (\ PageIndex {11} \) .

        Рисунок \ (\ PageIndex {11} \): три графика, наглядно демонстрирующие, что является функцией, а что нет.

        Практическое руководство. Имея график, используйте тест вертикальной линии, чтобы определить, представляет ли график функцию

        1. Проверьте график, чтобы убедиться, что какая-либо вертикальная линия пересекает кривую более одного раза.
        2. Если такая линия есть, определите, что график не представляет функцию.

          Пример \ (\ PageIndex {12} \): Применение теста вертикальной линии

          Какой из графиков на рисунке \ (\ PageIndex {12} \) представляет (ы) функцию \ (y = f (x) \)?

          Рисунок \ (\ PageIndex {12} \): график полинома (a), наклонной вниз прямой (b) и круга (c).

          Решение

          Если какая-либо вертикальная линия пересекает график более одного раза, отношение, представленное графиком, не является функцией. Обратите внимание, что любая вертикальная линия будет проходить только через одну точку двух графиков, показанных в частях (a) и (b) рисунка \ (\ PageIndex {12} \). Из этого можно сделать вывод, что эти два графика представляют функции. Третий график не представляет функцию, потому что не более чем значений x вертикальная линия пересекает график более чем в одной точке, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {13} \).

          Рисунок \ (\ PageIndex {13} \): График круга.

          Упражнение \ (\ PageIndex {12} \)

          Представляет ли график на рисунке \ (\ PageIndex {14} \) функцию?

          Рисунок \ (\ PageIndex {14} \): График функции абсолютного значения.
          Ответ

          да

          Использование теста горизонтальной линии

          После того, как мы определили, что график определяет функцию, простой способ определить, является ли функция взаимно однозначной, — это использовать тест горизонтальной линии .Проведите через график горизонтальные линии. Если какая-либо горизонтальная линия пересекает график более одного раза, то график не представляет собой взаимно однозначную функцию.

          Практическое руководство. Имея график функции, используйте тест горизонтальной линии, чтобы определить, представляет ли график функцию «один к одному»

          1. Проверьте график, чтобы увидеть, пересекает ли нарисованная горизонтальная линия кривую более одного раза.
          2. Если такая строка есть, определите, что функция не взаимно однозначна.

          Пример \ (\ PageIndex {13} \): применение теста горизонтальной линии

          Рассмотрим функции, показанные на рисунке \ (\ PageIndex {12a} \) и рисунке \ (\ PageIndex {12b} \). Являются ли какие-либо функции взаимно однозначными?

          Решение

          Функция на рисунке \ (\ PageIndex {12a} \) не является взаимно однозначной. Горизонтальная линия, показанная на рисунке \ (\ PageIndex {15} \), пересекает график функции в двух точках (и мы даже можем найти горизонтальные линии, которые пересекают его в трех точках.)

          Рисунок \ (\ PageIndex {15} \): График полинома с горизонтальной линией, пересекающей 2 точки

          Функция на рисунке \ (\ PageIndex {12b} \) взаимно однозначна. Любая горизонтальная линия будет пересекать диагональную линию не более одного раза.

          Упражнение \ (\ PageIndex {13} \)

          Является ли график, показанный на рисунке \ (\ PageIndex {13} \), взаимно однозначным?

          Ответ

          Нет, потому что он не проходит тест горизонтальной линии.

          В этом тексте мы будем исследовать функции — формы их графиков, их уникальные характеристики, их алгебраические формулы и способы решения с ними проблем.Учимся читать, начинаем с алфавита. Изучая арифметику, мы начинаем с чисел. При работе с функциями также полезно иметь базовый набор стандартных элементов. Мы называем их «функциями набора инструментов», которые образуют набор основных именованных функций, для которых нам известны график, формула и специальные свойства. 2} \)

        1. Функция квадратного корня \ (f (x) = \ sqrt {x} \)
        2. Корневая функция куба \ (f (x) = 3 \ sqrt {x} \)
        3. Ключевые понятия

          • Отношение — это набор упорядоченных пар.Функция — это особый тип отношения, в котором каждое значение домена или вход приводит к ровно одному значению диапазона или выходу.
          • Функциональная нотация — это сокращенный метод соотнесения ввода и вывода в форме \ (y = f (x) \).
          • В табличной форме функция может быть представлена ​​строками или столбцами, которые относятся к входным и выходным значениям.
          • Чтобы оценить функцию, мы определяем выходное значение для соответствующего входного значения. Алгебраические формы функции можно оценить, заменив входную переменную заданным значением.
          • Чтобы найти конкретное значение функции, мы определяем входные значения, которые дают конкретное выходное значение.
          • Алгебраическая форма функции может быть записана из уравнения.
          • Входные и выходные значения функции можно определить по таблице.
          • Связь входных значений с выходными значениями на графике — еще один способ оценить функцию.
          • Функция взаимно однозначна, если каждое выходное значение соответствует только одному входному значению.
          • График представляет функцию, если любая вертикальная линия, проведенная на графике, пересекает график не более чем в одной точке.
          • График функции «один к одному» проходит проверку горизонтальной линии.

          Глоссарий

          зависимая переменная
          выходная переменная

          домен
          набор всех возможных входных значений для отношения

          функция
          отношение, в котором каждое входное значение дает уникальное выходное значение

          проверка горизонтальной линии
          метод проверки взаимно однозначности функции путем определения того, пересекает ли какая-либо горизонтальная линия график более одного раза

          независимая переменная
          входная переменная

          ввод
          каждый объект или значение в домене, который относится к другому объекту или значению посредством отношения, известного как функция

          взаимно однозначная функция
          функция, для которой каждое значение вывода связано с уникальным значением ввода

          вывод
          каждый объект или значение в диапазоне, который создается, когда входное значение вводится в функцию

          диапазон
          набор выходных значений, которые являются результатом входных значений в отношении

          связь
          набор заказанных пар

          проверка вертикальной линии
          метод проверки того, представляет ли график функцию путем определения того, пересекает ли вертикальная линия график не более одного раза

          Авторы и авторство

          Проверка гипотез — математика — LibGuides в университете Ла Троб

          Величина вероятности и виды ошибок

          Значение вероятности или значение p — это вероятность результата или результата исследования с учетом гипотезы.Обычно значение вероятности устанавливается равным 0,05: нулевая гипотеза будет отклонена, если значение вероятности статистического теста меньше 0,05. Есть два типа ошибок, связанных с проверкой гипотез:

          • Что делать, если мы наблюдаем разницу — но ее нет в популяции?
          • Что, если мы не найдем разницы — но она есть в популяции?

          Эти ситуации известны как Тип I и Тип II ошибки :

          • Ошибка I типа: это тип ошибки, который включает в себя отклонение нулевой гипотезы, которая на самом деле верна (т.е.е. ложное срабатывание).
          • Ошибка типа II: это тип ошибки, который возникает, когда мы не отклоняем нулевую гипотезу, которая является ложной (т. Е. Ложноотрицательной).

          Эти ошибки не могут быть устранены; их можно свести к минимуму, но сведение к минимуму одного типа ошибок увеличит вероятность совершения другого типа.

          Вероятность совершения ошибки типа I зависит от критерия, который используется для принятия или отклонения нулевой гипотезы: значение p или альфа-уровень .Альфа устанавливается исследователем, обычно на уровне 0,05, и это шанс, которым исследователь готов воспользоваться и при этом заявить о значимости статистического теста.) Выбор меньшего альфа-уровня снизит вероятность совершения ошибки типа I.

          Например, p <0,05 указывает на то, что существует 5 шансов из 100, что наблюдаемая разница действительно связана с ошибкой выборки - что в 5% случаев произойдет ошибка типа I или что существует вероятность 5%, что противоположное нулевая гипотеза действительно верна.

          При p <0,01 будет 1 шанс из 100, что наблюдаемая разница действительно вызвана ошибкой выборки - 1% случаев, когда возникает ошибка типа I.

          Уровень p указывается перед анализом данных. Если анализ данных приводит к значению вероятности ниже уровня α (альфа), то нулевая гипотеза отклоняется; в противном случае нулевая гипотеза не отклоняется.

          Как дистанционно оценить математические навыки учащихся (Мнение)

          (Это второй пост в серии из четырех частей.Вы можете увидеть часть 1 здесь.)

          Новый вопрос:

          Как выглядят инструкции по математике в эпоху коронавируса?

          Первый и второй посты этой серии будут содержать комментарии учителей математики средней школы Нью-Йорка Бобсона Вонга и Ларисы Букаловой. Они являются авторами The Math Teacher’s Toolbox (Jossey-Bass, 2020) и получателями стипендии Math for America Master Teacher Fellowship.

          Вот вторая часть их комментария:

          Оценка студентов

          Оценки и оценки являются необходимыми частями нашего обучения. Хорошо продуманные тесты заставляют учащихся отвечать за обучение и измерять их навыки. Эффективные оценки четко сообщают об успеваемости учащихся родителям, учащимся, учителям и администраторам.

          Оценка учащихся

          В нормальных условиях мы не ограничиваемся традиционными оценками с использованием бумаги и карандаша.Попытки предотвратить мошенничество, когда учащиеся работают в сети из дома — например, давая несколько версий тестов или заставляя всех учащихся проходить тест одновременно, — повышает уровень стресса у всех, дает неточное представление об обучении учащихся и не может устраните причину их обмана. Вот несколько стратегий, которые мы используем, чтобы сделать онлайн-оценки более значимыми.

          Сначала мы говорим со студентами об этике. Мы обсуждаем вред, который может нанести обман, и ценности, которые поощряются нашими семьями.Мы заверяем их, что мы сосредоточены на улучшении их обучения. Эти разговоры особенно важны, когда учащиеся могут использовать мобильные приложения, такие как Photomath, для ответов на математические вопросы.

          В настоящее время мы используем традиционные тестовые вопросы в основном для определения предшествующих знаний учащихся или для изменения наших инструкций. Суммативные онлайн-оценки должны делать упор на синтез и саморефлексию, а не на отзыв и расчет. Открытые вопросы с меньшей вероятностью, чем повторяющиеся рабочие листы, будут способствовать мошенничеству.Студенты могут составить портфолио, которое показывает их рост с течением времени. Проекты позволяют учащимся продемонстрировать таланты, которые они не часто используют в классе.

          Оценить мышление учеников стало труднее, поскольку мы преподаем дистанционно. Многие из наших обычных техник, такие как совместная деятельность или чтение языка тела учащихся, сложно применить в Интернете. Вместо этого мы позволяем учащимся периодически размышлять о своем обучении, отвечая на такие вопросы, как:


          • Как бы вы оценили свое обучение на этой неделе? Объясни.
          • Подведите итоги любимого урока этой недели. Объясните, почему он вам понравился больше всего.
          • Как я могу улучшить ваше онлайн-обучение?

          Мы задаем эти вопросы как домашние задания или викторины. Однако мы подчеркиваем, что оцениваем их на основе честности и вдумчивости их ответа, а не на том, что, по их мнению, мы хотим услышать.

          Оценка учащихся

          Количественная оценка оценок при нормальных обстоятельствах достаточно сложна, но пытаться сделать это в чрезвычайно стрессовых обстоятельствах жестоко.

          В такие времена мы считаем, что выставление удовлетворительных / неполных оценок более справедливо, чем числовые или буквенные оценки. Мы не знаем, не завершают ли ученики работу, потому что они не понимают урок, им не хватает тихого места дома или у них ограниченный доступ в Интернет. По возможности мы предпочитаем давать учащимся возможность не сомневаться. Конечно, если просто дать учащимся больше времени, это не решит проблему неравенства, с которой они сталкиваются, но это позволит нам обратиться к семьям и посмотреть, что мы можем сделать, чтобы помочь им.

          Мы обнаружили, что онлайн-оценка обычно требует больше времени, чем оценка работ. Для загрузки файлов на наши компьютеры требуется время, и чтение их на маленьком экране означает больше прокрутки и увеличения. Таким образом, мы выделяем больше времени на оценку, что вынуждает нас сокращать наши рабочие нагрузки в других областях.

          Чтобы упростить выставление оценок, мы делаем упор на выставление оценок, которые побуждают учащихся исправлять ошибки и размышлять над своей работой. Мы рассматриваем вопросы классных работ на наших онлайн-собраниях, чтобы учащиеся могли увидеть, что они сделали неправильно.Мы оцениваем работу, используя следующие правила выставления оценок:

          В такие времена выставление правильной оценки менее важно, чем предоставление содержательной обратной связи. Положительные отзывы, в которых хвалят усилия студентов («Это умное решение»), могут укрепить у студентов установку на рост, предполагая, что упорный труд поможет им стать лучше.

          Независимо от того, какую систему оценок мы используем, мы обращаем внимание учащихся на то, что их оценки не полностью отражают то, что мы думаем о них или что они узнали.Мы признаем их человечность всякий раз, когда можем, хваля их, когда они добиваются прогресса, или поощряя их, когда они сталкиваются с неудачами. В такие времена такие встречи производят на учащихся более запоминающееся впечатление, чем наша оценка.

          Забота о других и себе

          В нормальных условиях многие учителя работают в одиночку, отделенные от своих сверстников по классам.Во время кризиса учителя часто могут чувствовать себя еще более изолированными. Особенно сложно поддерживать чувство равновесия и общаться с окружающими нас людьми.

          Помощь студентам

          Во время этого кризиса мы слышали бесчисленные истории горя от наших студентов. Они рассказали нам о членах семьи, которые потеряли работу или жизнь, а также о своих собственных чувствах депрессии. Изучающие английский язык и учащиеся с разницей в обучении сталкиваются с еще более серьезными проблемами, поскольку многим из них не хватает социально-эмоциональной и академической поддержки, которую они получали в школе.

          Чтобы помочь, мы стараемся каждый день уделять время отдельным студентам. При необходимости мы даем студентам больше времени или предлагаем альтернативы. При необходимости мы организуем онлайн-встречи со студентами, чтобы мы могли поговорить. Эти виртуальные соединения могут оказать ценную поддержку каждому.

          Помощь семьям

          Родители и другие опекуны могут быть так же перегружены, как и студенты. Как и мы, им приходится работать из дома, одновременно управляя онлайн-обучением своих детей, эффективно превращая их в учителей домашней школы.

          В такие времена мы стараемся обратиться к как можно большему количеству родителей, используя любые доступные нам методы. Мы обнаруживаем, что многие из них с облегчением разговаривают с другим взрослым! Для родителей, которые не понимают английского, мы стараемся привлечь переводчиков. Инструмент онлайн-перевода, такой как Google Translate, может быть последним средством.

          Мы прилагаем особые усилия, чтобы общаться с родителями студентов, которые не подают работы. Мы избегаем использования конфронтационных формулировок, которые могут быть неверно истолкованы как обвинительные или осуждающие.Вместо этого мы выражаем беспокойство за ученика, предлагаем положительные комментарии, высказываем свои опасения и предлагаем конкретные действия.

          Связь с другими преподавателями

          Обычно мы часто сотрудничаем с учителями и другим школьным персоналом. Это сотрудничество может включать обмен планами уроков, наблюдение друг за другом или совместное написание оценок или других заданий. Во время кризиса большинство из нас отрезано от повседневного взаимодействия с коллегами, что значительно затрудняет сотрудничество.

          Чтобы оставаться на связи с другими преподавателями, мы регулярно общаемся с ними с помощью электронной почты, телефонных звонков, текстовых сообщений или онлайн-встреч. Поддержание связи может помочь снять стресс и дать нам ценные идеи для обучения. Фактически, большинство идей, которые мы здесь обсуждаем, возникли в результате разговоров с другими учителями!

          Мы также используем социальные сети для общения с другими преподавателями. Интернет-сообщества, такие как Math Twitter Blogosphere (#mtbos) и I Teach Math (#iteachmath) в Twitter, включают учителей, администраторов и профессоров со всего мира.

          Кроме того, многие академические конференции, которые были отменены из-за пандемии, экспериментируют с онлайн-сессиями. Например, Национальный совет учителей математики проводит бесплатные вебинары, которые можно было бы провести на ежегодной встрече столетия в Чикаго (http://nctm.org/100). Другие местные, государственные и национальные организации имеют аналогичные предложения в Интернете.

          Забота о себе

          Самое главное, мы постоянно говорим себе и другим во время кризиса, что учителям не нужно делать все, чтобы добиться успеха.Установление эмоциональных и физических границ особенно важно при работе из дома, поскольку там мы буквально не можем уйти от обучения.

          Чтобы наша работа не поглощала нас, мы устанавливаем ограничения на нашу работу. Мы отвечаем на звонки и сообщения, связанные с работой, только в определенные часы, оставляя ночи и выходные для семейных и других личных дел. В рабочие дни мы составляем расписание, выделяя не менее 10 минут в час на перерывы. После обеда мы отдыхаем от экранов компьютеров.Если есть возможность, мы прогуляемся, чтобы заняться спортом. Если у нас дома есть семья, мы также планируем время в течение дня, чтобы проводить с ними время.

          Иногда, несмотря на все наши усилия, мы оказываемся подавленными из-за потери учебного времени, личной свободы, общественных встреч и здоровья близких. В такие моменты мы напоминаем себе, что переживаемое нами горе может сделать нас истощенными и менее сосредоточенными. Осознание того, что мы не можем делать все, и время, необходимое для того, чтобы остановиться и поразмышлять, часто может быть источником силы.

          Спасибо Бобсону и Ларисе за их вклад!

          Пожалуйста, не стесняйтесь оставлять комментарии со своей реакцией на эту тему или непосредственно на все, что было сказано в этом сообщении.

          Вы можете задать вопрос, ответ на который будет опубликован в следующей публикации. Вы можете прислать мне один на [email protected] Когда вы пришлете его, дайте мне знать, могу ли я использовать ваше настоящее имя, если оно выбрано, или если вы предпочитаете оставаться анонимным и иметь в виду псевдоним.

          Вы также можете связаться со мной в Twitter по адресу @Larryferlazzo.

          Education Week опубликовала коллекцию сообщений из этого блога вместе с новыми материалами в форме электронной книги. Он называется «Вопросы и ответы по управлению классом: экспертные стратегии преподавания».

          Напоминаем, что вы можете подписаться и получать обновления этого блога по электронной почте или через RSS Reader. И если вы пропустили какие-либо основные моменты первых восьми лет ведения этого блога, вы можете увидеть список по категориям ниже. В списке нет ответов за текущий год, но вы можете найти их, щелкнув категорию «ответы» на боковой панели.

          Самые популярные вопросы и ответы в этом году

          Проблемы расы и пола

          Советы по управлению классом

          Лучшие способы начать учебный год

          Лучшие способы завершить учебный год

          Внедрение общего ядра

          Мотивация учащихся и Социально-эмоциональное обучение

          Преподавание обществознания

          Кооперативное и совместное обучение

          Использование технологий в классе

          Вовлечение родителей в школы

          Обучение учеников, изучающих английский язык

          Инструкция по чтению

          Инструкция по письменной форме

          Оценка

          Дифференцирующая инструкция

          Математика

          Естественная наука

          Советы для новых учителей

          Интервью с авторами

          Начало преподавательской профессии

          Инклюзивный класс

          Лидеры по обучению и мозгам

          p

          Руководство учителя

          Взаимоотношения в школах

          Профессиональное развитие

          Стратегии обучения

          Лучшее в классе: вопросы и ответы

          Профессиональное сотрудничество

          Организация работы в классе

          Ошибки в образовании

          Я также создаю

          на основе проекта обучения Список Twitter, включая всех участников этого столбца.

          Различий между параметрами и статистикой

          В нескольких дисциплинах цель состоит в изучении большой группы людей. Эти группы могут быть самыми разнообразными, как виды птиц, первокурсники колледжа в США или автомобили, путешествующие по всему миру. Статистика используется во всех этих исследованиях, когда невозможно или даже невозможно изучить каждого члена интересующей группы. Вместо того, чтобы измерять размах крыльев каждой птицы вида, задавать вопросы каждому первокурснику колледжа или измерять экономию топлива каждой машиной в мире, мы вместо этого изучаем и измеряем подмножество группы.

          Совокупность всех или всего, что должно быть проанализировано в исследовании, называется популяцией. Как мы видели в приведенных выше примерах, население может быть огромным. Население может составлять миллионы или даже миллиарды людей. Но не надо думать, что население должно быть большим. Если наша изучаемая группа — это четвероклассники определенной школы, то население состоит только из этих учеников. В зависимости от размера школы в нашем населении может быть менее сотни учеников.

          Чтобы сделать наше исследование менее затратным с точки зрения времени и ресурсов, мы изучаем только часть населения. Это подмножество называется образцом. Образцы могут быть довольно большими или совсем маленькими. Теоретически выборку составляет один человек из популяции. Многие приложения статистики требуют, чтобы в выборке было не менее 30 человек.

          Параметры и статистика

          То, что мы обычно ищем в исследовании, — это параметр. Параметр — это числовое значение, которое говорит что-то обо всей исследуемой популяции.Например, мы можем узнать средний размах крыльев американского белоголового орлана. Это параметр, потому что он описывает все население.

          Параметры трудно, если не невозможно получить точно. С другой стороны, каждому параметру соответствует статистика, которую можно точно измерить. Статистика — это числовое значение, которое что-то говорит об образце. Чтобы расширить приведенный выше пример, мы могли бы поймать 100 лысых орлов и затем измерить размах крыльев каждого из них. Средний размах крыльев 100 пойманных нами орлов является статистическим.

          Значение параметра — фиксированное число. В отличие от этого, поскольку статистика зависит от выборки, значение статистики может варьироваться от выборки к выборке. Предположим, что наш параметр совокупности имеет неизвестное нам значение 10. Одна выборка размером 50 имеет соответствующую статистику со значением 9,5. Другая выборка размером 50 из той же генеральной совокупности имеет соответствующую статистику со значением 11,1.

          Конечная цель области статистики — оценить параметр совокупности с использованием выборочной статистики.

          Мнемоническое устройство

          Есть простой и понятный способ запомнить, что измеряет параметр и статистика. Все, что нам нужно сделать, это посмотреть на первую букву каждого слова. Параметр измеряет что-то в генеральной совокупности, а статистика измеряет что-то в выборке.

          Примеры параметров и статистики

          Ниже приведены еще несколько примеров параметров и статистики:

          • Предположим, мы изучаем популяцию собак в Канзас-Сити.Параметром этой популяции будет средний рост всех собак в городе. Статистическим значением будет средний рост 50 из этих собак.
          • Мы рассмотрим исследование старшеклассников в США. Параметр этой совокупности — стандартное отклонение средних баллов всех старшеклассников. Статистика — это стандартное отклонение средних баллов по выборке из 1000 старшеклассников.
          • Мы учитываем всех вероятных избирателей на предстоящих выборах.Будет предложено голосование по изменению конституции штата. Мы хотим определить уровень поддержки этой избирательной инициативы. Параметром в данном случае является доля вероятных избирателей, которые поддерживают инициативу голосования. Связанная статистика — это соответствующая доля выборки вероятных избирателей.

          Обзор, примеры и использование в статистике

          Что такое параметр?

          Параметр — полезный компонент статистического анализа Основные понятия статистики для финансов Твердое понимание статистики имеет решающее значение для того, чтобы помочь нам лучше понять финансы.Более того, концепции статистики могут помочь инвесторам в мониторинге. Это относится к характеристикам, которые используются для определения данной популяции. Он используется для описания определенной характеристики всего населения. При выводе о популяции параметр неизвестен, поскольку невозможно собрать информацию от каждого члена популяции. Скорее, мы используем статистику выборки, выбранной из совокупности, чтобы сделать вывод о параметре.

          Например, параметр может использоваться для описания средней суммы ссуд, выдаваемых студентам ABC University.Предполагая, что население университета составляет 3000 человек, исследователь может начать с расчета финансовой помощи нескольких избранных выборок населения или примерно 10 студентов. С тремя выборками по 10 студентов в каждой исследователь может получить в среднем 2000, 1200 и 800 долларов. Исследователь может использовать это выборочное среднее, чтобы сделать вывод о параметре генеральной совокупности.

          Наиболее распространенные параметры

          Наиболее часто используемые параметры — это меры центральной тенденции Центральная тенденция Центральная тенденция — это описательная сводка набора данных с помощью одного значения, которое отражает центр распределения данных.Наряду с изменчивостью. Эти меры включают среднее значение, медианное значение и режим, и они используются для описания поведения данных в распределении. Они обсуждаются ниже:

          1. Среднее

          Среднее значение также называют средним, и оно является наиболее часто используемым среди трех показателей центральной тенденции. Исследователи используют этот параметр для описания распределения данных коэффициентов Финансовые коэффициенты Финансовые коэффициенты создаются с использованием числовых значений, взятых из финансовой отчетности, чтобы получить значимую информацию о компании и интервалах.

          Среднее значение получается путем суммирования и деления значений на количество баллов. Например, в пяти домохозяйствах, состоящих из 5, 2, 1, 3 и 2 детей, среднее значение можно рассчитать следующим образом:

          = (5 + 2 + 1 + 3 + 2) / 5

          = 13/5

          = 2,6

          2. Медиана

          Медиана используется для расчета переменных, которые измеряются с помощью порядковых порядковых данных. В статистике порядковые данные — это тип данных, в которых значения следуют в естественном порядке.Одной из наиболее заметных особенностей порядковых данных является шкала интервалов или отношений. Его можно получить, расположив данные от наименьшего к наибольшему, а затем выбрав число (а) посередине. Если общее количество точек данных — нечетное число, медиана обычно является средним числом. Если числа четные, медиана получается путем суммирования двух чисел в середине и деления их на два, чтобы получить среднее значение.

          Медиана обычно используется, когда есть несколько разных точек данных.Например, при расчете среднего числа студентов, поступающих в колледж, может быть часть студентов старше остальных. Использование среднего может исказить значения, поскольку оно покажет, что средний возраст студентов, поступающих в колледж, будет выше, тогда как использование медианы может дать более верное отражение ситуации.

          Например, давайте найдем средний возраст студентов, впервые поступающих в колледж, учитывая следующие значения десяти студентов:

          17, 17, 18, 19, 19, 20, 21, 25, 28, 32

          Медиана приведенных выше значений (19 + 20) / 2 = 19.5 .

          Режим

          Режим — это наиболее часто встречающееся число в распределении данных. Он показывает, какое число или значение является самым большим или наиболее часто встречающимся в распределении данных. Режим используется для любого типа данных.

          Для примера рассмотрим класс колледжа, в котором обучается около 40 человек. Учащимся сдают тестовый экзамен, выставляют оценки и затем группируют по шкале от 1 до 5, начиная с учащихся с наименьшим количеством оценок.

          Оценки выставляются следующим образом:

          • Кластер 1: 5
          • Кластер 2: 7
          • Кластер 3: 13
          • Кластер 4: 12
          • Кластер 5: 3

          Кластер 3 показывает наибольшее количество студенты и, следовательно, режим 13 .Он показывает, что из 40 студентов большинство студентов были отнесены к кластеру 3.

          Параметры и статистика

          Параметр используется для описания всего изучаемого населения. Например, мы хотим узнать среднюю длину бабочки. Это параметр, потому что он что-то говорит обо всей популяции бабочек.

          Параметры получить сложно, но мы используем соответствующую статистику для оценки ее значения. Статистика описывает выборку совокупности, а параметр описывает всю совокупность.Поскольку поймать и измерить всех бабочек в мире будет невозможно, мы можем поймать 100 бабочек и измерить их длину. Средняя длина 100 бабочек — это статистика, которую мы можем использовать, чтобы сделать вывод о длине всей популяции бабочек.

          Обычно значение статистики может варьироваться от одной выборки к другой, при этом параметр остается фиксированным. Например, одна выборка из 100 бабочек может иметь среднюю длину 6,5 мм, а другая выборка из 100 бабочек из другого региона может иметь среднюю длину 6.8 мм.

          Также меньшая выборка из 50 бабочек может иметь среднюю длину 7,0 мм. Статистические данные, полученные из выборки совокупности, затем можно использовать для оценки параметра всей совокупности.

          Дополнительные ресурсы

          CFI — официальный провайдер сертификации FMVA® по финансовому моделированию и оценке (FMVA) ™. Присоединяйтесь к 350 600+ студентам, которые работают в таких компаниях, как Amazon, JP Morgan и программа сертификации Ferrari, разработанная для того, чтобы превратить любого в финансовый аналитик мирового уровня.

          Чтобы продолжить изучение и развитие ваших знаний в области финансового анализа, мы настоятельно рекомендуем дополнительные ресурсы CFI, указанные ниже:

          • Проверка гипотез Проверка гипотез Проверка гипотез — это метод статистического вывода. Он используется для проверки правильности утверждения относительно параметра совокупности. Проверка гипотез
          • Непараметрические тесты Непараметрические тесты В статистике непараметрические тесты — это методы статистического анализа, которые не требуют распределения для соответствия требуемым допущениям для анализа
          • Количественный анализ Количественный анализ Количественный анализ — это процесс сбора и оценки измеримых и проверяемых данных, таких как доходы , рыночная доля и заработная плата, чтобы понять поведение и эффективность бизнеса.В эпоху технологий обработки данных количественный анализ считается предпочтительным подходом к принятию обоснованных решений.
          • Выборка BiasSample Selection BiasSample selection bias — систематическая ошибка, возникающая в результате неспособности обеспечить надлежащую рандомизацию выборки населения. Недостатки выборки

          Функции в R-программировании (с примером)

          Что такое функция в R?

          Функция в среде программирования представляет собой набор инструкций.Программист создает функцию, чтобы избежать повторения той же задачи или снизить сложность .

          Функция должна быть

          • написана для выполнения определенной задачи.
          • может включать или не включать аргументы.
          • содержать тело.
          • может возвращать или не возвращать одно или несколько значений.

          Общий подход к функции состоит в том, чтобы использовать часть аргумента в качестве входов , подать часть тела и, наконец, вернуть выход .Синтаксис функции следующий:

          function (arglist) {
            # Функция тела
          }
           

          В этом руководстве мы изучим

          Важные встроенные функции R

          В R. есть много встроенных функций. R сопоставляет ваши входные параметры с аргументами своей функции, либо по значению, либо по позиции, а затем выполняет тело функции. Аргументы функции могут иметь значения по умолчанию: если вы не укажете эти аргументы, R примет значение по умолчанию.

          Примечание : можно увидеть исходный код функции, запустив имя самой функции в консоли.

          Мы увидим три группы функций в действии

          • Общая функция
          • Математическая функция
          • Статистическая функция

          Общие функции

          Мы уже знакомы с общими функциями, такими как cbind (), rbind (), range () , функции sort (), order (). Каждая из этих функций имеет определенную задачу, принимает аргументы для возврата вывода.Ниже приведены важные функции, которые необходимо знать:

          diff () функция

          Если вы работаете с временным рядом , вам необходимо зафиксировать ряд, взяв для них значения запаздывания . Стационарный процесс обеспечивает постоянное среднее значение, дисперсию и автокорреляцию во времени. Это в основном улучшает прогнозирование временного ряда. Это легко сделать с помощью функции diff (). Мы можем построить случайные данные временного ряда с трендом, а затем использовать функцию diff () для стабилизации ряда.Функция diff () принимает один аргумент, вектор и возвращает подходящую разность с задержкой и повторением.

          Примечание : Нам часто нужно создавать случайные данные, но для обучения и сравнения мы хотим, чтобы числа на разных машинах были идентичными. Чтобы гарантировать, что мы все генерируем одни и те же данные, мы используем функцию set.seed () с произвольными значениями 123. Функция set.seed () генерируется в процессе генератора псевдослучайных чисел, который заставляет все современные компьютеры иметь одинаковую последовательность. номеров.Если мы не используем функцию set.seed (), у всех будет разная последовательность чисел.

          набор. семян (123)
          ## Создайте данные
          х = rnorm (1000)
          ts <- cumsum (x)
          ## Стационарные серия
          diff_ts <- diff (ts)
          номинал (mfrow = c (1,2))
          ## Постройте серию
          сюжет (ts, type = 'l')
          сюжет (diff (ts), type = 'l')
           

          length () function

          Во многих случаях нам нужно знать length вектора для вычисления или использования в цикле for.Функция length () подсчитывает количество строк в векторе x. Следующие коды импортируют набор данных автомобилей и возвращают количество строк.

          Примечание : length () возвращает количество элементов в векторе. Если функция передается в матрицу или фрейм данных, возвращается количество столбцов.

          dt <- автомобили
          ## числовые столбцы
          длина (dt)
           

          Вывод:

           ## [1] 1 
          ## числовые строки
          длина (dt [, 1])
           

          Вывод:

           ## [1] 50 

          Математические функции

          R имеет массив математических функций.

          Оператор Описание
          abs (x) Принимает абсолютное значение x
          log (x, base = y) Логарифмирует x с основанием y; если основание не указано, возвращает натуральный логарифм
          exp (x) Возвращает экспоненту x
          sqrt (x) Возвращает квадратный корень из x
          факториал (x) Возвращает факториал x (x!)
          # последовательность чисел от 44 до 55, включая увеличенную на 1
          x_vector <- seq (45,55, by = 1)
          #логарифм
          журнал (x_vector)
           

          Выход:

          ## [1] 3.806662 3.828641 3.850148 3.871201 3.8 3.

          3 3.931826 ## [8] 3.951244 3.970292 3.988984 4.007333
          #exponential
          ехр (x_vector)
           
          # квадратный корень
          sqrt (x_vector)
           

          Выход:

           ## [1] 6.708204 6.782330 6.855655 6.928203 7.000000 7.071068 7.141428
          ## [8] 7.211103 7.280110 7.348469 7.416198 
          #факториал
          факториал (x_vector)
           

          Выход:

          ## [1] 1.196222e + 56 5.502622e + 57 2.586232e + 59 1.241392e + 61 6.082819e + 62
          ## [6] 3.041409e + 64 1.551119e + 66 8.065818e + 67 4.274883e + 69 2.308437e + 71
          ## [11] 1.269640e + 73 

          Статистические функции

          Стандартная установка R содержит широкий спектр статистических функций. В этом руководстве мы кратко рассмотрим наиболее важную функцию.

          Основные статистические функции

          Оператор

          Описание

          среднее (x)

          Среднее значение x

          медиана (x)

          Медиана x

          var (x)

          Разница x

          стандартное отклонение

          s x

          шкала (x)

          Стандартные оценки (z-значения) x

          квантиль (x)

          Итоговые квартили x

          (x)

          Краткое изложение x: среднее, минимальное, максимальное и т. д..

          скорость <- dt $ скорость
          скорость
          # Набор данных о средней скорости автомобилей
          среднее (скорость)
           

          Выход:

           ## [1] 15,4 
          # Средняя скорость набора данных автомобилей
          медиана (скорость)
           

          Вывод:

           ## [1] 15 
          # Дисперсия скорости набора данных автомобилей
          var (скорость)
           

          Вывод:

           ## [1] 27.95918 
          # Стандартное отклонение скорости набора данных автомобилей
          sd (скорость)
           

          Вывод:

           ## [1] 5.287644 
          # Стандартизация векторной скорости набора данных автомобилей
          напор (шкала (скорость), 5)
           

          Выход:

          ## [, 1]
          ## [1,] -2.155969
          ## [2,] -2.155969
          ## [3,] -1,588609
          ## [4,] -1,588609
          ## [5,] -1.399489 
          # Квантильная скорость набора данных автомобилей
          квантиль (скорость)
           

          Выход:

          ## 0% 25% 50% 75% 100%
          ## 4 12 15 19 25
           
          # Суммарная скорость набора данных автомобилей
          резюме (скорость)
           

          Выход:

          ## Мин.1st Qu. Среднее значение 3-го кв. Максимум.
          ## 4.0 12.0 15.0 15.4 19.0 25.0 

          К этому моменту мы изучили множество встроенных функций R.

          Примечание : будьте осторожны с классом аргумента, то есть числовым, логическим или строковым. Например, если нам нужно передать строковое значение, нам нужно заключить строку в кавычки: «ABC».

          Функция записи в R

          В некоторых случаях нам нужно написать нашу собственную функцию, потому что мы должны выполнить конкретную задачу, а готовой функции не существует.Пользовательская функция включает имя , аргументы и тело .

          function.name <- функция (аргументы)
          {
              вычисления аргументов
              какой-то другой код
          }
           

          Примечание : Хорошая практика - называть определяемую пользователем функцию отличным от встроенной функции. Это позволяет избежать путаницы.

          Функция с одним аргументом

          В следующем фрагменте мы определяем простую квадратную функцию. Функция принимает значение и возвращает квадрат значения.2 } # вызов функции и передача значения 4 квадратная функция (4)

          Объяснение кода:

          # после создания функции

           rm (square_function)
          square_function 

          На консоли мы видим сообщение об ошибке: Ошибка: объект 'square_function' не найден, что говорит о том, что функция не существует.

          Область действия среды

          В R среда представляет собой набор объектов, таких как функции, переменные, фрейм данных и т. Д.

          R открывает среду при каждом запросе Rstudio.

          Доступная среда верхнего уровня - это глобальная среда , называемая R_GlobalEnv. И у нас есть локальная среда .

          Мы можем перечислить содержимое текущего окружения.

           ls (environment ()) 

          Выход

           ## [1] "diff_ts" "dt" "speed" "square_function"
          ## [5] "ts" "x" "x_vector" 

          Вы можете увидеть все переменные и функции, созданные в R_GlobalEnv.

          Приведенный выше список будет отличаться для вас в зависимости от исторического кода, который вы выполняете в R Studio.

          Обратите внимание, что n, аргумент функции square_function - не в этой глобальной среде .

          Новая среда создается для каждой функции. В приведенном выше примере функция square_function () создает новую среду внутри глобальной среды.

          Чтобы прояснить разницу между глобальной средой и локальной средой , давайте изучим следующий пример

          Эти функции принимают значение x в качестве аргумента и добавляют его к определению y снаружи и внутри функции

          Функция f возвращает значение вывод 15.Это потому, что y определен в глобальной среде. Любая переменная, определенная в глобальной среде, может использоваться локально. Переменная y имеет значение 10 во время всех вызовов функций и доступна в любое время.

          Посмотрим, что произойдет, если переменная y определена внутри функции.

          Нам нужно отбросить `y` перед запуском этого кода с помощью rm r

          Вывод также равен 15, когда мы вызываем f (5), но возвращает ошибку, когда мы пытаемся вывести значение y. Переменная y не находится в глобальной среде.

          Наконец, R использует самое последнее определение переменной для передачи внутри тела функции. Давайте рассмотрим следующий пример:

          R игнорирует значения y, определенные вне функции, потому что мы явно создали переменную y внутри тела функции.

          Функция с несколькими аргументами

          Мы можем написать функцию с более чем одним аргументом. Рассмотрим функцию под названием «раз». Это простая функция умножения двух переменных.

          раз <- функция (х, у) {
            х * у
          }
          раз (2,4)
           

          Вывод:

           ## [1] 8 

          Когда писать функцию?

          Специалисту по обработке данных необходимо выполнять множество повторяющихся задач.В большинстве случаев мы повторяем копирование и вставку фрагментов кода. Например, перед запуском алгоритма машинного обучения настоятельно рекомендуется нормализовать переменную. Формула для нормализации переменной:

          Мы уже знаем, как использовать функции min () и max () в R. Мы используем библиотеку tibble для создания фрейма данных. Tibble пока что является самой удобной функцией для создания набора данных с нуля.

          библиотека (табл.)
          # Создаем фрейм данных
          data_frame <- тиббл (
            c1 = rnorm (50, 5, 1.5),
            c2 = rnorm (50, 5, 1.5),
            c3 = rnorm (50, 5, 1.5),
          )
          
           

          Мы выполним два шага для вычисления функции, описанной выше. На первом этапе мы создадим переменную c1_norm, которая является изменением масштаба c1. На втором шаге мы просто копируем и вставляем код c1_norm и меняем его с помощью c2 и c3.

          Деталь функции со столбцом c1:

          Номинатор:: data_frame $ c1 -min (data_frame $ c1))

          Знаменатель: max (data_frame $ c1) -min (data_frame $ c1))

          Следовательно, мы можно разделить их, чтобы получить нормализованное значение столбца c1:

           (data_frame $ c1 -min (data_frame $ c1)) / (max (data_frame $ c1) -min (data_frame $ c1)) 

          Мы можем создать c1_norm, c2_norm и c3_norm:

          Создать c1_norm: масштабирование c1
          data_frame $ c1_norm <- (data_frame $ c1 -min (data_frame $ c1)) / (max (data_frame $ c1) -min (data_frame $ c1))
          # показать первые пять значений
          голова (data_frame $ c1_norm, 5)
           

          Вывод:

           ## [1] 0.3400113 0,4198788 0,8524394 0,4925860 0,5067991 

          Работает. Мы можем скопировать и вставить

           data_frame $ c1_norm <- (data_frame $ c1 -min (data_frame $ c1)) / (max (data_frame $ c1) -min (data_frame $ c1)) 

          , затем измените c1_norm на c2_norm и c1 на c2. Мы делаем то же самое для создания c3_norm

           data_frame $ c2_norm <- (data_frame $ c2 - min (data_frame $ c2)) / (max (data_frame $ c2) -min (data_frame $ c2))
          data_frame $ c3_norm <- (data_frame $ c3 - min (data_frame $ c3)) / (max (data_frame $ c3) -min (data_frame $ c3)) 

          Мы отлично изменили масштаб переменных c1, c2 и c3.

          Однако этот метод подвержен ошибкам. Мы могли скопировать и забыть изменить имя столбца после вставки. Поэтому рекомендуется писать функцию каждый раз, когда вам нужно вставить один и тот же код более двух раз. Мы можем преобразовать код в формулу и вызывать ее, когда это необходимо. Чтобы написать собственную функцию, нам нужно дать:

          • Имя: normalize.
          • количество аргументов: нам нужен только один аргумент, который является столбцом, который мы используем в наших вычислениях.
          • Тело: это просто формула, которую мы хотим вернуть.

          Мы продолжим шаг за шагом, чтобы создать функцию normalize.

          Шаг 1) Мы создаем номинатор , то есть. В R мы можем сохранить номинатор в переменной следующим образом:

           nominator <- x-min (x) 

          Шаг 2) Мы вычисляем знаменатель : . Мы можем воспроизвести идею шага 1 и сохранить вычисление в переменной:

           знаменатель <- max (x) -min (x) 

          Шаг 3) Мы выполняем деление между знаменателем и знаменателем.

           normalize <- nominator / denominator 

          Шаг 4) Чтобы вернуть значение вызывающей функции, нам нужно передать normalize внутри return (), чтобы получить результат функции.

           return (normalize) 

          Шаг 5) Мы готовы использовать функцию, заключив все в скобки.

          normalize <- function (x) {
            # шаг 1: создайте номинатора
            номинатор <- x-min (x)
            # шаг 2: создайте знаменатель
            знаменатель <- max (x) -min (x)
            # шаг 3: разделите знаменатель на знаменатель
            нормализовать <- знаменатель / знаменатель
            # вернуть значение
            вернуть (нормализовать)
          }
           

          Давайте протестируем нашу функцию с переменной c1:

           normalize (data_frame $ c1) 

          Она отлично работает.Мы создали нашу первую функцию.

          Функции - это более комплексный способ выполнения повторяющейся задачи. Мы можем использовать формулу нормализации для разных столбцов, как показано ниже:

          data_frame $ c1_norm_function <- нормализовать (data_frame $ c1)
          data_frame $ c2_norm_function <- нормализовать (data_frame $ c2)
          data_frame $ c3_norm_function <- нормализовать (data_frame $ c3)
           

          Несмотря на то, что пример прост, мы можем сделать вывод о силе формулы. Приведенный выше код легче читать и особенно избегать ошибок при вставке кодов.

          Функции с условием

          Иногда нам нужно включить условия в функцию, чтобы код мог возвращать разные выходные данные.

          В задачах машинного обучения нам нужно разделить набор данных между набором поездов и набором тестов. Набор поездов позволяет алгоритму учиться на данных. Чтобы проверить производительность нашей модели, мы можем использовать набор тестов, чтобы получить показатель производительности. R не имеет функции для создания двух наборов данных. Для этого мы можем написать нашу собственную функцию.Наша функция принимает два аргумента и называется split_data (). Идея проста: мы умножаем длину набора данных (то есть количество наблюдений) на 0,8. Например, если мы хотим разделить набор данных 80/20, а наш набор данных содержит 100 строк, тогда наша функция умножит 0,8 * 100 = 80. 80 строк будут выбраны, чтобы стать нашими обучающими данными.

          Мы будем использовать набор данных о качестве воздуха для тестирования нашей пользовательской функции. Набор данных о качестве воздуха состоит из 153 строк. Мы можем увидеть это с помощью кода ниже:

           nrow (airquality) 

          Вывод:

           ## [1] 153 

          Мы будем действовать следующим образом:

           split_data <- function (df, train = TRUE)
          Аргументы:
          -df: определить набор данных
          -train: укажите, возвращает ли функция набор поездов или набор тестов.По умолчанию установлено значение ИСТИНА
           

          Наша функция имеет два аргумента. Цепочка аргументов - это логический параметр. Если установлено значение ИСТИНА, наша функция создает набор данных поезда, в противном случае - тестовый набор данных.

          Мы можем продолжить, как мы делали с функцией normalize (). Мы пишем код, как если бы это был одноразовый код, а затем оборачиваем все с условием в тело, чтобы создать функцию.

          Шаг 1:

          Нам нужно вычислить длину набора данных.Это делается с помощью функции nrow (). Nrow возвращает общее количество строк в наборе данных. Мы называем переменную длину.

          длина <- nrow (качество воздуха)
          длина
           

          Вывод:

           ## [1] 153 

          Шаг 2:

          Мы умножаем длину на 0,8. Он вернет количество строк для выбора. Должно быть 153 * 0,8 = 122,4

          total_row <- длина * 0,8
          total_row
           

          Вывод:

           ## [1] 122.4 

          Мы хотим выбрать 122 строки из 153 в наборе данных о качестве воздуха. Создаем список, содержащий значения от 1 до total_row. Мы сохраняем результат в переменной под названием split

           split <- 1: total_row
          split [1: 5] 

          Вывод:

           ## [1] 1 2 3 4 5 

          split выбирает первые 122 строки из набора данных. Например, мы можем видеть, что наша переменная split собирает значения 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. Эти значения будут индексом, когда мы выберем строки для возврата.

          Шаг 3:

          Нам нужно выбрать строки в наборе данных о качестве воздуха на основе значений, хранящихся в переменной разделения. Это делается так:

           train_df <- airquality [split,]
          head (train_df) 

          Вывод:

           ## [1] Ozone Solar.R Wind Temp Месяц День
          ## [2] 51 13 137 10,3 76 6 20
          ## [3] 15 18 65 13,2 58 5 15
          ## [4] 64 32 236 9,2 81 7 3
          ## [5] 27 NA NA 8.0 57 5 27
          ## [6] 58 Нет данных 47 10,3 73 6 27
          ## [7] 44 23 148 8,0 82 6 13 

          Шаг 4:

          Мы можем создать тестовый набор данных, используя оставшиеся строки, 123: 153. Это делается с помощью - перед разделением.

           test_df <- качество воздуха [-split,]
          head (test_df) 

          Вывод:

           ## [1] Ozone Solar.R Wind Temp Месяц День
          ## [2] 123 85 188 6,3 94 8 31
          ## [3] 124 96 167 6.9 91 9 1
          ## [4] 125 78 197 5,1 92 9 2
          ## [5] 126 73 183 2,8 93 9 3
          ## [6] 127 91 189 4,6 93 9 4
          ## [7] 128 47 95 7,4 87 9 5 

          Шаг 5:

          Мы можем создать условие внутри тела функции. Помните, что у нас есть поезд аргументов, который является логическим значением TRUE по умолчанию, чтобы вернуть набор поездов. Для создания условия мы используем синтаксис if:

            if (train == TRUE) {
              train_df <- качество воздуха [сплит,]
                возврат (поезд)
            } else {
              test_df <- качество воздуха [-split,]
                возврат (тест)
            }
           

          Вот и все, мы можем написать функцию.