Теория, пособие для подготовки к ЕГЭ по математике

Факт 1.
\(\bullet\) Множество натуральных чисел \(\mathbb{N}\) – это числа \(1, \ 2, \ 3, \ 4 \ \) и т.д.
\(\bullet\) Множество целых чисел \(\mathbb{Z}\) состоит из натуральных чисел, противоположных им (\(-1, \ -2, \ -3 \) и т.д.) и нуля \(0\).
\(\bullet\) Рациональные числа \(\mathbb{Q}\) – числа вида \(\dfrac ab\), где \(a\in \mathbb{Z}\), \(b\in \mathbb{N}\).   Таким образом, существует включение: \(\mathbb{N}\) содержится в \(\mathbb{Z}\), а \(\mathbb{Z}\) содержится в \(\mathbb{Q}\).  

Факт 2.
\(\bullet\) Правила сложения дробей: \[\begin{aligned} &\dfrac ab+\dfrac cb=\dfrac{a+c}b\\[2ex] &\dfrac ab+\dfrac cd=\dfrac{ad+bc}{bd}\end{aligned}\] Пример: \(\dfrac {31}6+\dfrac {67}6=\dfrac{31+67}6=\dfrac{98}6\)   \(\bullet\) Правила умножения дробей: \[\dfrac ab\cdot \dfrac cd=\dfrac{ac}{bd}\] Пример: \(\dfrac 47\cdot \dfrac{14}5=\dfrac{4\cdot 14}{7\cdot 5}\)   \(\bullet\) Правила деления дробей: \[\dfrac ab: \dfrac cd=\dfrac ab\cdot \dfrac dc\] Пример: \(\dfrac 45 :\dfrac 67=\dfrac 45\cdot \dfrac 76\)  

Факт 2.
\(\bullet\) Сокращение дробей – деление числителя и знаменателя на одно и то же число, отличное от нуля.
Пример:   \(\begin{aligned} &\dfrac{98}6=\dfrac{49\cdot 2\llap{/}}{3\cdot 2\llap{/}}=\dfrac{49}3\\[2ex] &\dfrac{4\cdot 14}{7\cdot 5}=\dfrac{4\cdot 2\cdot 7\llap{/}}{7\llap{/}\cdot 5}=\dfrac 85\\[2ex] &\dfrac{4\cdot 7}{5\cdot 6}=\dfrac {2\llap{/}\cdot 2\cdot 7}{5\cdot 3\cdot 2\llap{/}}=\dfrac{14}{15}\end{aligned}\)   \(\bullet\) Если \(\dfrac ab\) – несократимая дробь, то ее можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда знаменатель \(b\) делится только на числа \(2\) и \(5\).

Пример: дробь \(\dfrac2{65}\) нельзя представить в виде конечной десятичной дроби, так как \(65=5\cdot 13\), то есть \(\dfrac2{65}=0,0307…\)
дробь \(\dfrac3{160}\) можно представить в виде конечной десятичной дроби, так как \(160=2^5\cdot 5\), то есть \(\dfrac3{160}=0,01875\).  

Факт 3.
\(\bullet\) Формулы сокращенного умножения:
\(\blacktriangleright\) Квадрат суммы и квадрат разности: \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\] \[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

\(\blacktriangleright\) Куб суммы и куб разности: \[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\quad {\small{\text{или}}}\quad (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\] \[(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\quad {\small{\text{или}}}\quad (a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)\]

Заметим, что применение данных формул справа налево часто помогает упростить вычисления:
\(13^3+3\cdot 13^2\cdot 7+3\cdot 13\cdot 49+7^3=(13+7)^3=20^3=8000\)

 

\(\blacktriangleright\) Разность квадратов: \[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]

\(\blacktriangleright\) Сумма кубов и разность кубов: \[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\] \[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]

Заметим, что не существует формулы суммы квадратов \(a^2+b^2\).
Заметим, что применение данных формул слева направо часто помогает упростить вычисления:

 

\(\dfrac{7^6-2^6}{7^4+14^2+16}= \dfrac{(7^2-2^2)(7^4+7^2\cdot2^2+2^4)} {7^4+(7\cdot2)^2+2^4}=7^2-2^2=45\)  

Факт 4.
\(\bullet\) Квадрат суммы нескольких слагаемых равен сумме квадратов этих слагаемых и удвоенных попарных произведений: \[\begin{aligned} &(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\\[2ex] &(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd\\[2ex] &{\small{\text{и т.д.}}}\end{aligned}\]

shkolkovo.net

Учебно-методический материал по математике (10, 11 класс) на тему: Теория для решения заданий №1 — №12 профильный уровень ЕГЭ | скачать бесплатно

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Обществознание. ЕГЭ. Вводная контрольная работа для учащихся 11 класса (профильный уровень)

Вводная контрольная работа составлена с целью проверки знаний, полученных в 10 классе. Проверяются знания по следующим темам: Общество и общественные отношения, Человек и его деятельность, Познание, П…

Рабочая программа по обществознанию для 10-11 класса (профильный уровень)

Рабочая программа составлена по учебнику «Обществознание» Л.Н. Боголюбова (профильный уровень), включает разделы «Экономика» (учебник И.В. Липсица), «Право» (учебники 10-11 класса Л.Н. Боголюбова). Ра…

Рабочая программа по информатике и ИКТ для 10-11 классов (профильный уровень) автора И. Г. Семакина

Рабочая программа по информатике и ИКТ для 10-11 классов (профильный уровень) автора И. Г. Семакина…

ЕГЭ – 2017. №1 — 5. Профильный уровень. Задания для проведения зачетов и ответы.

Зачеты  определяют  готовность выпускников к сдаче ЕГЭ профильного уровня в заданиях тестовой части.Зачеты составлены по всем возможным прототипам с использованием заданий сайта Дмитрия Гущи…

ЕГЭ – 2017. №11,12. Профильный уровень. Задания для проведения зачетов и ответы.

Зачеты определяют готовность выпускников к сдаче ЕГЭ профильного уровня в заданиях тестовой части. Зачеты составлены по всем возможным прототипам с использованием заданий сайта Дмитрия Гущина «Решу ЕГ…

Внутришкольный мониторинг по химии. 10 класс. 1 полугодие. Профильный уровень Демонстрационный вариант.

Время проведения работы – 180 минут. При выполнении работы можно использовать калькулятор и справочные таблицы (периодическую систему химических элементов Д.И.Менделеева, таблицу растворимости и…

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по праву уровень обучения – среднее общее образование для 10,11 класса (профильный уровень)

Правовое профильное обучение в старшей школе более полно учитывает интересы, склонности и способности учащихся, создавая условия для образования старшеклассников в соответствии с их интересами к будущ…

nsportal.ru

Справочник по математике для успешной сдачи егэ по математике

Краткий справочный материал по темам
Алгебра

Логарифмы
Модуль, определение, уравнения. Неравенства с модулем
Метод интервалов
Обобщенный метод интервалов
Метод рационализации
Показательные неравенства
Прогрессия арифметическая
Прогрессия геометрическая
Пропорция
Разложение на множители
Системы уравнений. Методы решения
Степень числа. Корень –> Квадратный корень из большого числа
Уравнения квадратные  –> Дискриминант 
Уравнения рациональные
Уравнения иррациональные
Неравенства рациональные
Неравенства иррациональные
Числовые множества
Элементарные функции, их графики. Линейная функция
Элементарные функции, их графики. Квадратичная функция
Элементарные функции, их графики. Обратная пропорциональность
Элементарные функции, их графики. Показательная функция
Элементарные функции, их графики. Логарифмическая функция
Преобразования графиков

Тригонометрия

Обратные тригонометрические функции
Простейшие тригонометрические уравнения
Простейшие тригонометрические неравенства
Тригонометрический круг
Тригонометрические формулы
Формулы приведения
Функции тригонометрические. Синусоида
Функции тригонометрические. Тангенс, котангенс

Анализ

Производная функции I  и II
Таблица производных. Правила дифференцирования
Первообразная. Интеграл
Таблица первообразных

Планиметрия

Биссектрисы треугольника
Вписанные, центральны углы
Высоты треугольника
Касательная, хорда, секущая
Медианы треугольника
Подобные треугольники
Площади основных фигур. Набор формул
Синус, косинус, тангенс в прямоугольном треугольнике
Треугольник (равнобедренный, равносторонний, прямоугольный)
Теорема Менелая
Четырехугольники (трапеция, параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат)

Стереометрия

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Конус
Наклонная. Теорема о трех перпендикулярах
Параллельность прямых и плоскостей
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Пирамида
Призма
Призма, пирамида. Формулы объема и площади поверхности
Скрещивающиеся прямые
Тела вращения. Формулы объема и площади поверхности
Углы в пространстве
Формула площади ортогональной проекции
Цилиндр

Теория вероятностей

Теория вероятностей часть 1
Теория вероятностей часть 2

Вектора

Вектора часть 1
Вектора. Часть 2

egemaximum.ru

Теория для подготовки к ЕГЭ по математике. Виртуальный репетитор задачи B8

Для успешного выполнения задания B8 на ЕГЭ потребуются отдельные (элементарные) знания из курса математического анализа, связанные с производной, экстремумами, наибольшими и наименьшими значениями функций, а также навыки чтения графиков. Если с Вами сотрудничает репетитор по математике сравнительно недавно или подготовка к ЕГЭ проходит самостоятельно – прочтите материалы этой страницы. Она содержит ценные теоретические факты за 10 — 11 класс и советы репетитора, необходимые для решения самой распространенной задачи B8: поиск значения производной в указанной точке по изображенной на рисунке касательной.

Что такое Касательная?
Касательной к графику функции в точке , называется прямая, проходящая через точку и имеющая угловой коэффициент . Ее уравнение выглядит следующим образом:
Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла, который она образует с положительным направлением оси Ох, поэтому . Различные варианты угла наклона касательной показаны репетитором по математике на рисунках 1 и 2:

Замечание репетитора: Не выделения и поиска этого угла совсем не обязательно использовать именно ось Ох. Ее можно заменить на любую горизонтальную прямую. Одна из таких прямых а показана на рисунке синим пунктиром.

Для нахождения числа по данным рисунка (в реальной задачи B8 на ЕГЭ) можно воспользоваться правилом поиска тангенса угла А. Для этого можно построить удобную ступеньку под касательной — прямоугольный треугольник с вершинами в выделенных точках — узлах клеток (эти точки Вам укажут на ЕГЭ маленькими жирными кружочками). Их выделение говорит о том, что касательная проходит через узлы клеток. Проведите через нижнюю точку прямую, параллельно оси Ох (иксу), а через верхнюю – параллельную оси Оy (игреку). Образуется прямоугольный треугольник NPK (рис 3 и 4) с гипотенузой, лежащей на касательной. Один из его углов (а именно угол PNK) имеет тангенс, равный (рис 3) или противоположный (рис 4) искомому тангенсу красного угла наклона касательной (то есть числу ). Выделим 2 вида ступенек. Они показаны репетитором по математике на рисунках 1 и 2:

На рисунке 3 — касательная возрастает. Угол наклона попадает в ступеньку (она выделена болотным цветом).

На рисунке 4 показана убывающая касательная. В этом случае искомый красный угол не попадает в ступеньку и является углом, смежным с углом PNK. Так как тангенсы смежных углов отличаются только знаками, Вам будет достаточно найти и моменять у него знак на «минус».

Для поиска тангенса угла PNK нужно разделить длину вертикального отрезка ступеньки (отрезка KP) на длину горизонтального отрезка ступеньки (отрезка NP).

В случае рисунка 3:
В случае на рисунка 4:

Кроме метода ступенек можно воспользоваться общей формулой поиска тангенса угла прямой NK, заданной координатаме ее точек и .

Cравните результат, полученной по этой формуле с теми ответами, которые Ваш виртуальный репетитор получил в случае с рисункамим 3 и 4. Формулой удобно пользоваться в нетипичных для ЕГЭ случаях, когда выделенные точки касательной даны в виде чисел (дробных или очень больших координат). Тогда задание можетт быть вообще сформулировано через текст, например: найдите значение производной в точке , если NK — касательная в этой точке и N (0,85;0,3) и K (0,45;-0,9).


Спасибо за урок!

Репетиторам

: Я намеренно оформил объяснения так же подробно, как бы они прозвучали на уроке с живым репетитором по математике и средним / слабым учеником. Некоторые аспекты объяснений можно корректировать в зависимости от уровня подгогтовки конкретного учащегося. В случае работы с очень слабым выпускником — нужно отдельно остановиться на переносе угла от оси абсцисс к выделенной синим пунктиром прямой

а.

Страничку с примерами объяснений экстремумы я постараюсь оформить в ближайшее время. Ищите ее на той же странице подготовка к ЕГЭ по математике.

Использование аналогий.:
Слово «ступенька» — отличный ориентир для слабого ученика, которому никак не удается самостоятельно повторить построения репетитора. Если математика у него находится в плачевном состоянии, репетитору можно посоветовать чаще обращаться к ярким образам и точным сравнением изучаемых процессов и объектов с реальными. Расположение треугольника PNK относительно касательной действительно напоминает ступеньку. Если ученик все равно теряется в ее посторениях, репетитор по математике дает отдельные задания на лестницу:

Можно убрать линию графика вместе с осями и, распределив несколько точек (углов степенек) на касательной, попросить эти ступеньки достроить. Практика показывает, чтот простроение всей лестницы проходит быстрее, чем отдельного ее кусочка. Еще можно сравнить этот рисунок с пилой.

график и может даже предложить отдельное задание на изображение ступенек без графика функции даже при сравнении его со ст упнькой помогут ученику вспомнить дополнительные постоения к задаче B8 на реальном ЕГЭ.

Репетитор по математике А.Н. Колпаков. Москва. Строгино

ankolpakov.ru