Длина хорды окружности равна 48 а расстояние от центра окружности 45: Длина хорды окружности равна 48, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 45.

« Окружность.

1

Первый слайд презентации: 21.04.2020 Теме: « Окружность. Касательные, хорды, радиусы окружности»

8 класс

Изображение слайда

2

Слайд 2: Правила работы

14:00 – 14:05 вход на урок, проверяете звук и видео (нас должно быть слышно и видно). 14:05 – отключаете звук (знак микрофона). Вопросы задаете в чате или поднимаете руку (прошу слова ). Без аватарок Регистрация реального имени ( можно переименовать имя)

Изображение слайда

3

Слайд 3: Вопросы задавайте в чате

Изображение слайда

4

Слайд 4: Треугольник АВС вписан в окружность с центром в точке О.

АОВ = 48° является центральным углом, значит дуга АС = 48° АСВ вписанный и опирается на дугу АС Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается АСВ = 48:2 = 24° Ответ: 24°

Изображение слайда

Изображение для работы со слайдом

Изображение для работы со слайдом

5

Слайд 5: На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что АОВ = 45°. Длина меньшей дуги АВ равна 57. Найдите длину большей дуги

АОВ = 57° Составим пропорцию 360° — х 45° — 57 х = = 506 360: 45=8 506 длина всей окружности 506-57 = 449 Ответ: 449

Изображение слайда

Изображение для работы со слайдом

Изображение для работы со слайдом

Изображение для работы со слайдом

6

Слайд 6: Центральный угол АОВ опирается на хорду АВ длиной 6.

ОА = ОВ т.к являются радиусами АОВ – равнобедренный, углы при основании равны ОВ =180° -(60° +60°) =60° Значит АОВ равносторонний, следовательно ОА=ВО=АВ Значит r = 6

Изображение слайда

Изображение для работы со слайдом

Изображение для работы со слайдом

7

Слайд 7: Прямая касается окружности в точке К. Точка О- центр окружности. Хорда КМ образует с касательной угол, равный 83 °. Найдите величину угла ОМК. Ответ дайте в градусах

МКА = 83° ОК АК, значит ОКА =90° ОКМ = 90° -83° =7° ОК= ОМ, значит КОМ равнобедренный ОКМ = ОМК =7° Ответ: ОМК =7° А

Изображение слайда

Изображение для работы со слайдом

Изображение для работы со слайдом

8

Слайд 8: В угол С величиной 83° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В.

С = 83° АО и ВО –радиусы, радиус перпендикулярен касательной к точке касания, значит ОАС = ОВС = 90° С + АОВ = 180 ° АОВ = 180 ° — 83°= 97° Ответ: АОВ = 97°

Изображение слайда

Изображение для работы со слайдом

Изображение для работы со слайдом

9

Слайд 9: Прямоугольный треугольник с катетами 5см и 12 см вписан в окружность. Чему равен радиус этой окружности

Обратить внимание АС проходит через центр О Дуга АС = 180°, угол АВС вписанный и опирается на дугу АС, значит угол АВС = 90° АВС – прямоугольный По теореме Пифагора А С² = АВ² + ВС² = 12²+ 5² = 144+ 25 =169 АС = = 13 АС =13 диаметр r = 13: 2 = 6,5 Ответ: 6,5 А В С

Изображение слайда

Изображение для работы со слайдом

Изображение для работы со слайдом

10

Слайд 10: Отрезок АВ =40 касается окружности радиуса 75 с центром О в точке В.

АВ = 40 ОВ=75 ОВ АВ ( т.к радиус перпендикуляр касательной АВ) АОВ – прямоугольный По теореме Пифагора АО² = АВ² + ВО² = 40²+ 75² = 1600+ 5625 = 7225 АО = = 85 ОВ= О D = r А D = АО – О D = 85-75 = 10 Ответ: 10

Изображение слайда

Изображение для работы со слайдом

Изображение для работы со слайдом

11

Слайд 11: Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27. Найдите диаметр окружности

АВ = 72 ОЕ = 27 ОВЕ – прямоугольный По теореме Пифагора ВЕ = АВ: 2= 72: 2= 36 ОВ² = ОЕ² + ВЕ² = 27²+ 36² = 729+ 1296 =2025 ОВ = = 45 d = 2·ВО d = 45· 2 = 90 Ответ: 90 А В О Е

Изображение слайда

Изображение для работы со слайдом

Изображение для работы со слайдом

12

Слайд 12: На отрезке  AB  выбрана точка  C  так, что  AC  =  80 и  BC  =  2.

АС = 80, ВС = 2 Проведен радиус АН в точку касания, АН = АС АВ=АС +ВС АВ = 80+2 = 82 АВН – прямоугольный Н В² = АВ² — АН² = 82² — 80² = 6724 — 6400 =324 Н В = = 18 Ответ: 18

Изображение слайда

Изображение для работы со слайдом

Изображение для работы со слайдом

Изображение для работы со слайдом

13

Слайд 13: Касательные в точках  A  и  B  к окружности с центром  O  пересекаются под углом 6 2 °. Найдите угол  ABO. Ответ дайте в градусах

АСВ = 6 2 ° АОВ = 180° -62° = 118° АОВ – равнобедренный, т.к АО= ОВ- радиусы АВО = (180°– 118 ° ): 2= 62° : 2= 31° Ответ: 31° C

Изображение слайда

Изображение для работы со слайдом

Изображение для работы со слайдом

14

Слайд 14: К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО.

АО = 75, ВО = 21 ОВ АВ, т.к радиус перпендикулярен касательной в точке касания АОВ – прямоугольный По теореме Пифагора ВО² = АО² — ВО² = 75²-21² = 5625 -441= 5184 ВО = = 72 Ответ: 72 .

Изображение слайда

Изображение для работы со слайдом

Изображение для работы со слайдом

Изображение для работы со слайдом

15

Слайд 15: Найдите величину (в градусах) вписанного угла  α, опирающегося на хорду   AB, равную радиусу окружности

ОА = ОВ= АВ, значит АОВ равносторонний АОВ = 60° Дуга АВ = 60° АСВ = 30°, т.к вписанный угол равен половине дуги на которую он опирается. Ответ: 30 °

Изображение слайда

Изображение для работы со слайдом

Изображение для работы со слайдом

16

Слайд 16: Радиус  OB  окружности с центром в точке  O  пересекает хорду  AC  в точке  D  и перпендикулярен ей.

ОВ = 5 см, В D = 1 см OD = ОВ – BD OD = 5-1 = 4 см АО D – прямоугольный По теореме Пифагора AD ² = АО² — OD ² = 5² — 4 ² = =25-16=9 AD = = 3 АС = 2 AD = 2· 3 = 6 Ответ: 6 см

Изображение слайда

Изображение для работы со слайдом

Изображение для работы со слайдом

17

Последний слайд презентации: 21.04.2020 Теме: « Окружность. Касательные, хорды, радиусы окружности»: Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как  3:7:8. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 20

Обозначим дугу ВС = 3х, дугу ВА= 7х, АС = 8х Градусная мера окружности 360° Составим уравнение 3х+ 7х+8х =360° 18х = 360° х= 360° : 18 = 20° Дуга ВС = 60° значит А= 30° ВС = 20 = 2 R =2R 40=2R R= 20 Ответ: 20 Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как  3:7:8. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 20.

Изображение слайда

Изображение для работы со слайдом

Изображение для работы со слайдом

Решение задач по геометрии для подготовки к ОГЭ,

Уважаемые гости!

Предлагаю вашему вниманию 19 вариантов заданий для повторения материала по геометрии.

Варианты составлены по заданиям первой части экзаменационной работы.

Вариант распечатывается для каждого ученика, и решение выполняется на этом же листе на свободном месте рядом с заданием. Одну страницу можно использовать в классе, а оборотную сторону задать на дом.

Можно один вариант прорешать в классе, а другой похожий вариант задать на дом.

При решении пишутся только основные моменты, так как в первой части подробное решение не требуется.

Задания второй части прорешиваются в классе в тетрадях с подробным описанием решения.

Все варианты я составляла сама, используя материалы сайтов по подготовке к ОГЭ.

1 вариант.

Два катета прямоугольного треугольника равны 5 и 12. Найдите его площадь.

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 18 и 30.

В треугольнике со сторонами 10 и 5 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

В прямоугольнике одна сторона равна 42, а диагональ равна 70. Найдите площадь прямоугольника.

Периметр квадрата равен 56. Найдите площадь квадрата.

Сторона треугольника равна 18, а высота, проведённая к этой стороне, равна 22. Найдите площадь треугольника.

Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Найдите гипотенузу этого треугольника.

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны соответственно 12 и 20. Найдите другой катет этого треугольника.

Два катета прямоугольного треугольника равны 15 и 4. Найдите его площадь.

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 16 и 20.

В треугольнике со сторонами 8 и 2 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

В прямоугольнике одна сторона равна 52, а диагональ равна 65. Найдите площадь прямоугольника.

Периметр квадрата равен 44. Найдите площадь квадрата.

Сторона треугольника равна 8, а высота, проведённая к этой стороне, равна 31. Найдите площадь треугольника.

Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны соответственно 5 и 13. Найдите другой катет этого треугольника.

2 вариант

3 вариант.

4 вариант.

На прямой  AB взята точка M. Луч MD – биссектриса угла CMB. Известно, что ∠DMC=60° . Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.

От столба к дому натянут провод длиной 10 м, который закреплён на стене дома на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Вычислите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 8 м. Ответ дайте в метрах.

Человек стоит на расстоянии 12,4 м от столба, на котором висит фонарь, расположенный на высоте 8 м. Тень человека равна 3,6 м. Какого роста человек (в метрах)?

Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 21. Найдите гипотенузу этого треугольника.

5 вариант.

В треугольнике два угла равны 58° и 69°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах

В треугольнике ABC известно, что AB=BC,

 ∠ABC=106° . Найдите ∠BCA . Ответ дайте в градусах.

Найдите ∠3, если ∠1=117°, ∠2=24°. Ответ дайте в градусах.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите её площадь.

В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 124°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

От столба к дому натянут провод длиной 17 м, который закреплён на стене дома на высоте 4 м от земли (см. рисунок). Вычислите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 15 м. Ответ дайте в метрах.

Человек стоит на расстоянии 12 м от столба, на котором висит фонарь, расположенный на высоте 9,5 м. Тень человека равна 3 м. Какого роста человек (в метрах)?

Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.

6 вариант.

В треугольнике ABC известно, что ∠BAC=84°, AD — биссектриса. Найдите ∠BAD. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике ABC  известно, что AB=BC , ∠ABC=104° . Найдите ∠BCA . Ответ дайте в градусах.

В треугольнике два угла равны 43° и 88°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C, если ∠A=75∘. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике ABC известно, что AC=BC. Внешний угол при вершине B равен 121°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 33°. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике ABC известно, что ∠BAC=28°, AD — биссектриса. Найдите ∠BAD. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике ABC известно, что AC=BC. Внешний угол при вершине B равен 154°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C, если ∠A=64∘. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике два угла равны 27° и 79°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике ABC  известно, что AB=BC , ∠ABC=142° . Найдите ∠BCA . Ответ дайте в градусах.

Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15°. Ответ дайте в градусах.

Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 45° соответственно. Ответ дайте в градусах.

7 вариант.

В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 130̊. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 67°.

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=69°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Длина хорды окружности равна 140, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 24. Найдите диаметр окружности.

В треугольнике ABC известно, что AC=40, BC=30, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Сторона ромба равна 18, а расстояние от центра ромба до неё равно 5. Найдите площадь ромба.

Площадь ромба равна 27, а периметр равен 36. Найдите высоту ромба.

Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 2,8 м и 5 м?

Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 12 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 9 м. Найдите длину троса. Ответ дайте в метрах.

Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 15. Найдите гипотенузу этого треугольника.

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны соответственно 40 и 41. Найдите другой катет этого треугольника.

На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,6 м, если длина его тени равна 2 м, высота фонаря 4 м?

Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны соответственно 21 км/ч и 28 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через 4 часа?

8 вариант.

Длина хорды окружности равна 66, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 44. Найдите диаметр окружности.

В треугольнике ABC известно, что AC=10, BC=24, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 132̊. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 47°.

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=36°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Сторона ромба равна 19, а расстояние от центра ромба до неё равно 4. Найдите площадь ромба.

Площадь ромба равна 54, а периметр равен 36. Найдите высоту ромба

Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3,4 м и 3,2 м?

Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 12м от земли. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 5 м. Найдите длину троса. Ответ дайте в метрах.

Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16. Найдите гипотенузу этого треугольника.

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны соответственно 7 и 25. Найдите другой катет этого треугольника.

Человек, рост которого равен 2 м, стоит на расстоянии 3,5 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 1 м. Определите высоту фонаря (в метрах).

Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны соответственно 10 км/ч и 24 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через 3 часа?

9 вариант.

Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке.

Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке.

Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

10 вариант.

Из квадрата вырезали прямоугольник. Найдите площадь получившейся фигуры.

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и  BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB=14, DC=42, AC=52.

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 4 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?

Основания трапеции равны 10 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 8 мин?

Колесо имеет 15 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 1,8 м, высота большой опоры 2,8 м. Найдите высоту средней опоры. Ответ дайте в метрах.

Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.

11 вариант.

Из квадрата вырезали прямоугольник. Найдите площадь получившейся фигуры.

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и  BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB=13, DC=65, AC=42.

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м?

Основания трапеции равны 8 и 17. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 13 мин?

Колесо имеет 25 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 1,7 м, высота средней опоры 2,1 м. Найдите высоту большей опоры. Ответ дайте в метрах.

Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.

12 вариант.

Какие из следующих утверждений верны?

1)Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

2)Если диагонали параллелограмма равны, то он является ромбом.

3)Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.

Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной AB углы, равные 17° и 23° соответственно.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 98, а один из острых углов равен 45 ̊. Найдите площадь треугольника.

Длина хорды окружности равна 130, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 72. Найдите диаметр окружности.

Какое из следующих утверждений верно?

1)Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

2)Все углы ромба равны.

3)Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует

с основанием AD и боковой стороной AB углы, равные 11° и 60° соответственно.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 6, а один из острых углов равен 45 ̊. Найдите площадь треугольника.

Длина хорды окружности равна 48, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 70. Найдите диаметр окружности.

В треугольнике ABC известно, что AC=8, BC=15, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

13 вариант.

Длина хорды окружности равна 120, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 32. Найдите диаметр окружности.

В прямоугольнике одна сторона равна 36, а диагональ равна 60. Найдите площадь прямоугольника.

В треугольнике со сторонами 5 и 10 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 2. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=1 и HD=28. Диагональ параллелограмма BD равна 53. Найдите площадь параллелограмма.

Площадь ромба равна 72, а периметр равен 36. Найдите высоту ромба.

В треугольнике ABC AB=BC=25, AC=14. Найдите длину медианы BM.

Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны соответственно 18 км/ч и 24 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через 5 часов?

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и  BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB=10, DC=25, AC=56.

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=17, AC=51, NC=32.

14 вариант.

Длина хорды окружности равна 112, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 33. Найдите диаметр окружности.

В треугольнике ABC известно, что AC=7, BC=24, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 22, а один из острых углов равен 45 ̊. Найдите площадь треугольника.

Периметр квадрата равен 32. Найдите площадь квадрата.

Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 94.

В прямоугольнике одна сторона равна 16, а диагональ равна 65. Найдите площадь прямоугольника.

Два катета прямоугольного треугольника равны 5 и 18. Найдите его площадь.

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 24 и 40.

В треугольнике со сторонами 15 и 3 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

Площадь ромба равна 63, а периметр равен 36. Найдите высоту ромба.

Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3 м и 4,4 м?

Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 28 мин?

Колесо имеет 18 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

В треугольнике ABC AB=BC=85, AC=102. Найдите длину медианы BM.

Точки M  и N  являются серединами сторон AB  и BC  треугольника ABC , AC=22 . Найдите MN.

В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 136̊. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Основания трапеции равны 17 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

15 вариант.

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=43°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Сторона ромба равна 10, а расстояние от центра ромба до неё равно 3. Найдите площадь ромба.

Какое из следующих утверждений верно?

1)Все диаметры окружности равны между собой.

2)Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

3)Площадь любого параллелограмма равна произведению длин его сторон.

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=13, AC=65, NC=28.

Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны соответственно 24 км/ч и 18 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через 2 часа?

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и  BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB=11, DC=22, AC=27

Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота средней опоры 2,2 м, высота большей опоры 2,5 м.  Найдите высоту меньшей опоры. Ответ дайте в метрах.

От столба высотой 9 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 4 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 12 м. Вычислите длину провода. Ответ дайте в метрах.

Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 3,6 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 1,5 м. Найдите длину троса. Ответ дайте в метрах.

16 вариант.

Лестницу длиной 3,7 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,2 м?

Человек стоит на расстоянии 12,4 м от столба, на котором висит фонарь, расположенный на высоте 8,5 м. Тень человека равна 3,1 м. Какого роста человек (в метрах)?

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м?

Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке.

17 вариант.

18 вариант.

ABCDEFGH — правильный восьмиугольник. Найдите угол ADF. Ответ дайте в градусах.

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK:KA=3:4, KM=18.

Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 22 минуты?

Колесо имеет 20 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

В треугольнике ABC AB=BC=61, AC=22. Найдите длину медианы BM.

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=7, CK=12.

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?

Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной AB углы, равные 33° и 13° соответственно. Ответ дайте в градусах.

Найдите ∠3, если ∠1=65°, ∠2=18°. Ответ дайте в градусах.

19 вариант.

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?

Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной AB углы, равные 36∘ и 19∘ соответственно Ответ дайте в градусах.

Какие из следующих утверждений верны?

1)В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.

2)Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то такой ромб — квадрат.

3)Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=11, AC=44, NC=18.

Найдите ∠3, если ∠1=88°,  ∠2=16°. Ответ дайте в градусах.

Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 15:00?

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны соответственно 20 и 25. Найдите другой катет этого треугольника.

Готовимся к ГИА по математике

7 класс геометрия

1.  Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

2.  Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна  другой, называются смежными.

3.  Сумма смежных углов равна 1800.

4. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

5. Вертикальные углы равны.

6. 1 признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

7.  2 признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

8.  3 признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

9. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

10. Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой.

11.  Луч, исходящий из вершины угла, и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.

12. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

13. Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

14. Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.

15. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

16. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

17. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

18. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

19. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

20. Любые две точки окружности делят ее на две части, каждая из этих частей называется дугой окружности.

21.  Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются.

22. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

23. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

24.  Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 1800, то прямые параллельны.

25. Сумма углов треугольника равна 1800.

26.  Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким – либо углом этого треугольника.

27. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

28. Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным.

29. Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным.

30. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны называются катетами.

31. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, обратно, против большего угла лежит большая сторона.

32. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

33. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

34. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

35. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 900.

36. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300, равен половине гипотенузы.

37. 1 признак равенства прямоугольных треугольников. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

38. 2  признак равенства прямоугольных треугольников. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

39.  3  признак равенства прямоугольных треугольников. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

40.  4   признак равенства прямоугольных треугольников. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

8 класс Геометрия

1. Сумма углов выпуклого многоугольника равна 1800•(п – 2).

2. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 3600.

3. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

4. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

5. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

6. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм.

7. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то это параллелограмм.

8. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.

9. Трапеция это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

10. Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

11. Трапеция, один из углов которой прямой называется прямоугольной.

12. Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

13. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

14. Диагонали прямоугольника равны.

15. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм прямоугольник.

16. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

17. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

18. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

19. Все углы квадрата прямые.

20. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы пополам.

21. Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.

22. Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА1.

23. Sквадрата = а2    (а – сторона квадрата).

24. Sпрямоугольника = а•в   (а, в стороны прямоугольника).

25. Sпараллелограмма = а•h   (площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту).

26. Sромба = а•h   (площадь ромба равна произведению его основания на высоту).

27. Sтреугольника =   (площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту).

28.  Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

29.  Sтрапеции =  (а + в)•h. ( площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту).

30. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

31. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого.

32. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

33. 1 признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

34. 2 признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

35. 3 признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

36. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

37. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

38. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

39. Высота прямоугольного треугольника проведенная, из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой СД = .

40. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезками гипотенузы, заключенными между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла АС =

41. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

42. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

43. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

44. Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к

противолежащему катету.

45. Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной к окружности.

46. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

47. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

48. Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом.

49. Угол вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным.

50. Вписанный угол измеряется половиной дуги на которую опирается.

51. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

52. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.

53. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

54. Центральный угол измеряется дугой, на которую опирается.

55. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

56. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

57.  Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

58. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

59. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

60. Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

61. Четыре замечательные точки треугольника: точка пересечения медиан, биссектрис, серединных перпендикуляров, высот.

62. В любой треугольник можно вписать окружность. Около любого треугольника можно описать окружность.

63. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

64. В любом вписанном четырехугольнике суммы противоположных углов равны 1800.

65. Площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружностиpr

9 класс геометрия

1. Направленный отрезок называется вектором.

2. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых.

3. Векторы называются равными, если они сонаправлены (одинаково направлены) и их длины равны.

4. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

5. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

6. Каждая координата середины отрезка равна полусумме координат его концов.  х =   , у =

7. Длина вектора равна  =.

8. Расстояние между двумя точками   = .  А(х1; у1) ;  В(х2; у2)

9. Уравнение окружности  (х –х0)2 + (у – у0)2 = R2    центр окружности  С(х0; у0)  R – радиус.

10. Уравнение окружности проходящей через начало координат  х2 + у2 = R2

11. Основное тригонометрическое тождество  sin2a + cos2a = 1.

12. Формулы приведения sin(900 – a) = cos a; 

 cos(900 – a) = sina; 

sin(1800 – a) = sin a; 

cos(1800 – a) =-cos a           

sin(900 + a) = cos a;

cos(900+ a) =- sina; 

sin(1800 + a) = -sin a; 

cos(1800+ a) =-cos a

13.  tga =          ctga =   

14. sтреугольника =   ab sina          

15. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов     = =          

16. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними a2 = b2 + c2 – 2bcsina

17. Длина окружности  C = 2r.

18. Площадь круга   S = r2

19. Площадь кругового сектора  S =  ∙ a

20. Значение синуса, косинуса и тангенса углов 300, 450, 600

Карточки по теме ‘Окружность’ ОГЭ

Окружность

Карточка 1

1)Центральный угол AOB, равный 60°, опирается на хорду АВ длиной 3. Найдите радиус окружности.

2)Центральный угол AOB опирается на хорду АВ длиной 5. При этом угол ОАВ равен 60°. Найдите радиус окружности.

3)Центральный угол AOB равен 60°. Найдите длину хорды AB, на которую он опирается, если радиус окружности равен 7.

4)Центральный угол AOB опирается на хорду АВ так, что угол ОАВ равен 60°. Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 8.

5)Центральный угол AOB равен 60°. Найдите длину хорды AB, на которую он опирается, если радиус окружности равен 5.

6)Центральный угол AOB опирается на хорду АВ так, что угол ОАВ равен 60°. Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 7.

7)Центральный угол AOB, равный 60°, опирается на хорду АВ длиной 4. Найдите радиус окружности.

8)Центральный угол AOB опирается на хорду АВ длиной 6. При этом угол ОАВ равен 60°. Найдите радиус окружности.

Карточка 2

1)В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 75°. Найдите величину угла OAB.

2)В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен 30°. Найдите величину угла ODC.

3)В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 55°. Найдите величину угла OAB.

4)В окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 70°. Найдите величину угла OCD.

5)В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 25°. Найдите величину угла OCD.

6)В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен 80°. Найдите величину угла ODC.

7)В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен 55°. Найдите величину угла ODC.

8)В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.

9)В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 80° . Найдите величину угла OAB.

10) В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 65° . Найдите величину угла OCD.

Окружность

Карточка 3

• 1)Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C, если ∠A=81°. Ответ дайте в градусах.

2)Сторона AB треугольника ABC проходит через центр окружности радиуса 25, описанной около него. Найдите AC , если BC=48 .

3)Сторона AB треугольника ABC проходит через центр окружности радиуса 8,5, описанной около него. Найдите AC , если BC=8 .

4)Сторона AB треугольника ABC проходит через центр окружности радиуса 6,5, описанной около него. Найдите AC , если BC=12 .

5)Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C, если ∠A=83°. Ответ дайте в градусах.

6)Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C, если ∠A=63°. Ответ дайте в градусах.

7)Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C, если ∠A=75°. Ответ дайте в градусах.

8)Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C, если ∠A=85°. Ответ дайте в градусах.

Окружность

Карточка 4

1) Точка О — центр окружности, ∠AOB=72° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB(в градусах).

2) Точка О — центр окружности, ∠ACB=25° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB(в градусах).

3) Точка О — центр окружности, ∠BOC=70° (см. рисунок). Найдите величину угла BAC (в градусах).

4) Точка О — центр окружности, ∠AOB=70° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB(в градусах).

5) На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=48°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

6) Точка О — центр окружности, ∠BAC=40° (см. рисунок). Найдите величину угла BOC (в градусах).

7) Точка О — центр окружности, ∠ACB=24° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB(в градусах).

Окружность

Карточка 5

1) Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=22°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.

2) Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=94°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.

3) Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=177°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах

4) Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=25°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.

5) Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=123°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах

6) Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=79°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.

7) Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=157°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах

8) Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=66°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.

9) Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=107°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.

10) Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=88°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.

Окружность

Карточка 6

1)В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 136°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

2) Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 55°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

3) В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 124°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

4) В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 38°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

5) Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 36°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

6) В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 130°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

7) В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 132°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

8) В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 100°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

9) В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 138°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Окружность

Карточка 7

1)Длина хорды окружности равна 112, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 33. Найдите диаметр окружности.

2)Радиус окружности с центром в точке O равен 90, длина хорды AB равна 144 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.

3)Длина хорды окружности равна 48, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 45. Найдите диаметр окружности.

4)Длина хорды окружности равна 140, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 24. Найдите диаметр окружности.

5)Длина хорды окружности равна 64, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 24. Найдите диаметр окружности.

6)Радиус окружности с центром в точке O равен 10, длина хорды AB равна 16 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.

7)Длина хорды окружности равна 48, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 70. Найдите диаметр окружности.

8)Длина хорды окружности равна 120, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 32. Найдите диаметр окружности.

9)Длина хорды окружности равна 66, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 44. Найдите диаметр окружности.

10)Радиус окружности с центром в точке O равен 50, длина хорды AB равна 96 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.

11)Длина хорды окружности равна 88, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 33. Найдите диаметр окружности.

12)Радиус окружности с центром в точке O равен 26, длина хорды AB равна 48 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.

13)Длина хорды окружности равна 64, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 60. Найдите диаметр окружности.

4)Радиус окружности с центром в точке O равен 85, длина хорды AB равна 80 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.

Окружность

Карточка 8

1)На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=6 и BC=4. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

2)К окружности с центром в точке O проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB=32, AO=40.

3)Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 7°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

4)К окружности с центром в точке O проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB=51, AO=85.

5)В угол C величиной 71° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

6)Отрезок AB=72 касается окружности радиуса 54 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

7)Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 40°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

8)Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=112° и ∠OAB=59°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

9)Отрезок AB=33 касается окружности радиуса 56 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

10)Отрезок AB=11 касается окружности радиуса 60 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

11)Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 63°.

12)Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=78° и ∠OAB=69°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

11)Точка О — центр окружности, ∠BOC=160° (см. рисунок). Найдите величину угла BAC (в градусах).

12)Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=15° и ∠OAB=8°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

13)Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 53°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

14)Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 83°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

15)Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=71° и ∠OAB=39°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

16)Отрезок AB=48 касается окружности радиуса 14 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

17)Отрезок AB=20 касается окружности радиуса 21 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

18)На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=56 и BC=9. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

19)Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 39°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

20)Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 84°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

21)На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=60 и BC=15. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

22)Точка О — центр окружности, ∠AOB=128° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB(в градусах).

23)Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 79°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

24)Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

25)Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 19°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

26)Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 8.

27)Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите расстояние от точки А до точки О, если угол между касательными равен 60°, а радиус окружности равен 6.

28)На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=10 и BC=16. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

29)Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=56° и ∠OAB=15°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

30)Точка О — центр окружности, ∠AOB=130° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB(в градусах).

31)Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 62°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

32)Отрезок AB=32 касается окружности радиуса 24 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

13 вопрос ОГЭ | Олимпиадный Центр МатРИЦА

1. Любые три прямые имеют не менее одной общей точки

верно

неверно

2. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны

верно

неверно

3. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб

неверно

верно

4. Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей

верно

неверно

5. Все хорды одной окружности равны между собой

верно

неверно

6. Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности

неверно

верно

7. Если диагонали ромба равны 3 и 4, то его площадь равна 6

верно

неверно

8. Существует квадрат, который не является ромбом

неверно

верно

9. Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек

верно

неверно

10. Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов

неверно

верно

11. Если в ромбе один из углов равен 90 градусов, то такой ромб -квадрат

неверно

верно

12. Треугольник АВС, у которого АВ=5, ВС=6, АС=7, является остроугольным

неверно

верно

13. Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения его диагоналей

неверно

верно

14. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними

верно

неверно

15. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то треугольники подобны

верно

неверно

16. Если угол равен 120 градусов, то смежный с ним равен 120 градусов

неверно

верно

17. Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей

неверно

верно

18. Через любые три точки проходит более одной прямой

верно

неверно

19. Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности

неверно

верно

20. Прямая не имеет осей симметрии

верно

неверно

21. Если угол равный 47 градусов, то смежный с ним равен 153 градусов

неверно

верно

22. Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии

верно

неверно

23. Любой прямоугольник можно вписать в окружность

неверно

верно

24. Сумма смежных углов равна 180 градусов

верно

неверно

25. Если угол равен 108 градусов, то вертикальный с ним равен 108 градусов

неверно

верно

26. Если в ромбе один из углов равен 90 градусов, то такой ромб — квадрат

верно

неверно

27. Вертикальные углы равны

верно

неверно

28. Через любую точку проходит более одной прямой

верно

неверно

29. Все углы ромба равны

неверно

верно

30. Биссектриса, равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части

верно

неверно

31. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны

верно

неверно

32. Сумма вертикальных углов равна 180 градусов

неверно

верно

33. Если вписанный угол равен 30, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60 градусам

верно

неверно

34. Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым

верно

неверно

35. Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис

верно

неверно

36. Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту

верно

неверно

37. Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек

неверно

верно

38. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше сумм длин его катетов

верно

неверно

39. Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам

верно

неверно

40. В параллелограмме есть два равных угла

верно

неверно

41. Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8

верно

неверно

42. Диагональ параллелограмма делит его угол пополам

неверно

верно

43. Квадрат не имеет центра симметрии

неверно

верно

44. Диагонали квадрата делят его углы пополам

неверно

верно

45. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник — параллелограмм

неверно

верно

46. Любые два равнобедренных треугольника подобны

верно

неверно

47. Все диаметры окружности равны между собой

неверно

верно

48. Диагонали прямоугольника равны

верно

неверно

49. Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения его диагоналей

верно

неверно

50. Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности

неверно

верно

51. Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65 градусов, то эти две прямые параллельны

неверно

верно

52. У любой трапеции боковые стороны равны

неверно

верно

53. Через любые три точки проходит ровно одна прямая

верно

неверно

54. Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50 градусов, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 50 градусов

верно

неверно

55. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

неверно

верно

56. Если угол равен 60 градусов, то смежный с ним равен 120 градусов

неверно

верно

57. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой

неверно

верно

58. В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны

неверно

верно

59. Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны

верно

неверно

60. Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований

неверно

верно

61. Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу

верно

неверно

62. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180 градусов

неверно

верно

63. Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы равны 70 градусов и 110 градусов, то две прямые параллельны

неверно

верно

64. Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30 градусов, то площадь этого треугольника равна 10

неверно

верно

65. В плоскости все точки, равноудаленные от заданной точки, лежат на одной окружности

неверно

верно

66. Смежные углы равны

неверно

верно

67. Равнобедренный треугольник имеет три оси симметрии

верно

неверно

68. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой

неверно

верно

69. Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника

верно

неверно

70. Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны

неверно

верно

71. Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат

неверно

верно

72. Через любые две точки можно провести прямую

верно

неверно

73. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов

верно

неверно

74. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной прямой

неверно

верно

75. Любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой

неверно

верно

76. Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 37 градусов, то эти две прямые параллельны

верно

неверно

77. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

верно

неверно

78. Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружности пересекаются

неверно

верно

79. Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне

верно

неверно

80. Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90 градусов, то эти две прямые параллельны

неверно

верно

81. Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей

верно

неверно

82. Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности пересекаются

верно

неверно

83. Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны

неверно

верно

84. Треугольник АВС, у которого АВ=3, ВС=4, АС=5, является тупоугольным

верно

неверно

85. Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30 градусов, то площадь этого параллелограмма равна 10

верно

неверно

86. Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям

верно

неверно

87. Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов

верно

неверно

88. Любые три прямые имеют не более одной общей точки

верно

неверно

89. Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон

неверно

верно

90. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов

неверно

верно

91. Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту

верно

неверно

92. В тупоугольном треугольнике все углы тупые

неверно

верно

93. Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей

неверно

верно

94. Через любые три точки проходит не более одной окружности

верно

неверно

95. Если стороны одного четырехугольника соответственно равны сторонам другого четырехугольника, то такие четырехугольники равны

неверно

верно

96. Вокруг любого треугольника можно описать окружность

верно

неверно

97. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник

неверно

верно

98. Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны

неверно

верно

99. Существует квадрат, который не является прямоугольником

неверно

верно

100. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны

верно

неверно

101. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой

неверно

верно

102. Диагонали параллелограмма равны

неверно

верно

103. Площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на разность оснований

верно

неверно

104. Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200 градусов, то его четвертый угол равен 160 градусов

неверно

верно

105. Всегда один из смежных углов острый, а другой тупой

неверно

верно

106. Любые две прямые имеют не менее одной общей точки

неверно

верно

107. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре его описанной окружности

верно

неверно

108. В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета

неверно

верно

109. Диагональ трапеции делит ее на два равных треугольника

неверно

верно

110. Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1

верно

неверно

111. Сумма углов любого треугольника равна 180 градусов

верно

неверно

112. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

неверно

верно

113. Любые два прямоугольных треугольника подобны

верно

неверно

114. Если один из углов параллелограмма равен 60 градусов, то противоположный ему угол равен 120 градусов

неверно

верно

115. В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности

неверно

верно

116. Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии

неверно

верно

117. Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

неверно

верно

118. Треугольника со сторонами 1, 2,4 не существует

неверно

верно

119. Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90 градусов, то эти две прямые параллельны

верно

неверно

120. Через любую точку проходит не менее одной прямой

неверно

верно

121. Сумма углов любого треугольника равна 360 градусов

верно

неверно

122. Если дуга окружности составляет 80 градусов, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 40 градусов

неверно

верно

123. Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует

верно

неверно

124. Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой

верно

неверно

125. Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой больше 3

верно

неверно

126. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними

верно

неверно

127. Диагонали ромба перпендикулярны

неверно

верно

128. Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника

неверно

верно

129. Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают

верно

неверно

130. Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту

верно

неверно

131. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой сумма накрест лежащих углов равна 180 градусов

неверно

верно

132. Смежные углы равны

верно

неверно

133. Если угол равен 45 градусов, то вертикальный с ним угол равен 45 градусов

верно

неверно

134. Около любого ромба можно описать окружность

верно

неверно

135. Прямая не имеет осей симметрии

верно

неверно

136. Любые две прямые имеют ровно одну общую точку

неверно

верно

137. Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам

неверно

верно

138. Если катеты прямоугольного треугольника равны соответственно 5 и 12, то его гипотенуза этого треугольника равна 13

верно

неверно

139. Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности

неверно

верно

140. В любую равнобедренную трапецию можно вписать окружность

верно

неверно

141. Окружность имеет бесконечно много центров симметрии

верно

неверно

142. Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры

неверно

верно

143. Диагональ трапеции делит ее на два равных треугольника

верно

неверно

144. Через любые три точки проходит не более одной прямой

неверно

верно

145. Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую

неверно

верно

146. Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов

неверно

верно

147. Любые две прямые имеют ровно одну общую точку

неверно

верно

Все вопросы и предложения Вы сможете задать в контактной форме:

Варианты ответов и пояснения к заданию №13 ОГЭ по математике здесь >>>

Длины хорды при делении окружности на равные сегменты

Длина хорды — L — при делении окружности на равное количество сегментов может быть вычислена из приведенной ниже таблицы. Длина хорды — L — в таблице дана для «единичной окружности» с радиусом = 1 .

Чтобы вычислить фактическую длину хорды — умножьте длину «единичной окружности» — L — на радиус фактической окружности.

Пример — длина хорды

Окружность радиусом 3 м разделена на 24 сегмента . Из приведенной ниже таблицы: длина — L — одиночной хорды в «единичной окружности» с 24 сегментами составляет 0,2611 единицы .

Длина хорды для окружности радиусом 3 м может быть рассчитана как

0,2611 (3 м) = 0,7833 м

Суммарная длина всех хорд в окружности может быть рассчитана как

(0.7833 м) 24

= 6,2653 (3 м)

= 18,7959 м

Окружность круга может быть рассчитана как

C = 2 π r

= 2 π 3 м)

= 18,8496 м

геометрия — Общая хорда двух окружностей

Обозначим радиус окружности с центром $ A $ как $ r_ {1} $ и окружности с центром $ C $ как $ r_ {2} $, а $ AC = d $ как расстояние между центрами.{\ circ} $.

Таким образом, мы видим, что $ BE $ — высота $ \ треугольника ABC $, а $ DE $ — высота $ \ треугольника ADC $ с основанием $ AC $. Итак,

$$ BD = BE + DE = \ frac {2 (ABC)} {AC} + \ frac {2 (ADC)} {AC} = \ frac {4} {d} (ABC) $$

Где $ (ABC) $ и $ (ADC) $ представляют собой площади соответствующих треугольников, которые мы можем вычислить в терминах $ r_ {1}, r_ {2}, d $, используя формулу Герона. Это общая формула, которая дает длину общей хорды, $ BD $. Я оставляю доказательство приведенной выше формулы в качестве упражнения для вас.2} {r_ {1}} = \ sqrt {3} r_ {1} $$

То, что я, по сути, сделал на втором последнем шаге, заключалось в том, чтобы использовать теорему Пифагора, как и вы, должно быть, сделали, чтобы найти высоту в терминах стороны, $ r_ {1} $, и использовать ее, чтобы найти площадь. треугольника, или мы можем найти $ AD $ напрямую с высоты.

Измерение углов