Найти значение производной функции в точке: Вычисление производной функции в точке

Вычисление производной функции в точке

Вычисление производной функции в точке

Если вас интересуют общие вопросы и само понятие производной, вы можете посмотреть цикл демонстрационных видеороликов от автора данного сайта Максима Семенихина на тему «Понятие производной».

Понятие о скорости возрастания и убывания функции (6:01)
Вычисление скорости возрастающей функции (2:05)
Вычисление скорости убывающей функции (2:18)
На разных промежутках – разная скорость (4:15)
Средняя и мгновенная скорости (3:38)
Средняя скорость возрастания функции (1:59)
Определение производной как скорости (2:50)
Пример вычисления производной по определению (3:46)
Обозначение производной (1:41)

а также видеоурок

Вычисление производных сложных функций (14:51)

Для нахождения производной функции в общем случае необходимо знать следующее:

Таблицу производных элементарных функций.
Правила дифференцирования.
Как находить производную сложной функции.

Таблица производных элементарных функций представлена ниже:

Для нахождения производной суммы, произведения и частного функций используются три правила дифференцирования:

Для нахождения производной сложной функции используется формула

f(g(x))’ = f ‘(g(x)) · g‘(x)

Нахождение производной сложной функции – вопрос, заслуживающий отдельного рассмотрения. Вы можете просмотреть видеоурок «Вычисление производных сложных функций».

Нахождение производной функции в точке

Для того, чтобы вычислить значение производной функции в точке, необходимо:

— найти производную функции;
— подставить в производную значение х точки, в которой необходимо найти производную.

Пример. Вычислить производную функции y = x² в точке х₀ = 3.
Решение. Производная функции: у‘ = (х²)’ = 2х;
подставляя в производную значение х₀ = 3, получим: у‘(3) = 2 ∙ 3 = 6.

Онлайн калькулятор
для вычисления значения производной функции в точке

Для того, чтобы вычислить значение производной функции в точке, можно воспользоваться калькулятором на данной странице. Просто введите саму функцию и точку, в которой необходимо вычислить производную. Калькулятор всё посчитает сам и выдаст ответ.

Как найти производную функции в точке x0

В задаче B9 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:

Значение производной в некоторой точке x₀,
Точки максимума или минимума (точки экстремума),
Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).

Функции и производные, представленные в этой задаче, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение. Не смотря на то, что задача относится к разделу математического анализа, она вполне по силам даже самым слабым ученикам, поскольку никаких глубоких теоретических познаний здесь не требуется.

Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы — все они будут рассмотрены ниже.

Внимательно читайте условие задачи B9, чтобы не допускать глупых ошибок: иногда попадаются довольно объемные тексты, но важных условий, которые влияют на ход решения, там немного.

Вычисление значения производной. Метод двух точек

Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x₀, и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x₁; y₁) и B (x₂; y₂). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.
Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x₂ − x₁ и приращение функции Δy = y₂ − y₁.
Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.

Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:
Δx = x₂ − x₁ = −1 − (−3) = 2; Δy = y₂ − y₁ = 6 − 2 = 4.

Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
Δx = x₂ − x₁ = 3 − 0 = 3; Δy = y₂ − y₁ = 0 − 3 = −3.

Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
Δx = x₂ − x₁ = 5 − 0 = 5; Δy = y₂ − y₁ = 2 − 2 = 0.

Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график.

Вычисление точек максимума и минимума

Иногда вместо графика функции в задаче B9 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:

Точка x₀ называется функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x₀) ≥ f(x).
Точка x₀ называется функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x₀) ≤ f(x).

Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:

Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.
Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x₀ известно, что f’(x₀) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x₀) ≥ 0 или f’(x₀) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.
Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.

Эта схема работает только для непрерывных функций — других в задаче B9 не встречается.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:

Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:

Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].

Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:

На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.

Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.

Нахождение интервалов возрастания и убывания функции

В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:

Функция f(x) называется [a; b] если для любых двух точек x₁ и x₂ из этого отрезка верно утверждение: x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
Функция f(x) называется [a; b] если для любых двух точек x₁ и x₂ из этого отрезка верно утверждение: x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:

Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке [a; b], достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.
Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке [a; b], достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) ≤ 0.

Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:

Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.
Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.
Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:

Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:

Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины:
l₁ = − 6 − (−8) = 2;
l₂ = 2 − (−3) = 5.

Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l₂ = 5.

07.06.2019

5 июня Что порешать по физике

30 мая Решения вчерашних ЕГЭ по математике

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−3; 3), B (5; 5), C (5; 3). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу BAC. Поэтому

Производная функции в точке

Как найти производную функции в точке? Из формулировки следуют два очевидных пункта этого задания:

1) Необходимо найти производную.

2) Необходимо вычислить значение производной в заданной точке.

Вычислить производную функции в точке

Справка: Следующие способы обозначения функции эквивалентны: В некоторых заданиях бывает удобно обозначить функцию «игреком», а в некоторых через «эф от икс».

Сначала находим производную:

Надеюсь, многие уже приноровились находить такие производные устно.

На втором шаге вычислим значение производной в точке :

Небольшой разминочный пример для самостоятельного решения:

Вычислить производную функции в точке

Полное решение и ответ в конце урока.

Необходимость находить производную в точке возникает в следующих задачах: построение касательной к графику функции (следующий параграф), исследование функции на экстремум, исследование функции на перегиб графика, полное исследование функции и др.

Но рассматриваемое задание встречается в контрольных работах и само по себе. И, как правило, в таких случаях функцию дают достаточно сложную. В этой связи рассмотрим еще два примера.

Вычислить производную функции в точке . Сначала найдем производную:

Производная, в принципе, найдена, и можно подставлять требуемое значение . Но что-то делать это не сильно хочется. Выражение очень длинное, да и значение «икс» у нас дробное. Поэтому стараемся максимально упростить нашу производную. В данном случае попробуем привести к общему знаменателю три последних слагаемых:

Ну вот, совсем другое дело. Вычислим значение производной в точке :

В том случае, если Вам не понятно, как найдена производная, вернитесь к первым двум урокам темы. Если возникли трудности (недопонимание) с арктангенсом и его значениями, обязательно изучите методический материал Графики и свойства элементарных функций – самый последний параграф. Потому-что арктангенсов на студенческий век ещё хватит.

Вычислить производную функции в точке .

Это пример для самостоятельного решения.

Уравнение касательной к графику функции

Чтобы закрепить предыдущий параграф, рассмотрим задачу нахождения касательной кграфику функции в данной точке. Это задание встречалось нам в школе, и оно же встречается в курсе высшей математики.

Рассмотрим «демонстрационный» простейший пример.

Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой . Я сразу приведу готовое графическое решение задачи (на практике этого делать в большинстве случаев не надо):

Строгое определение касательной даётся с помощью определения производной функции, но пока мы освоим техническую часть вопроса. Наверняка практически всем интуитивно понятно, что такое касательная. Если объяснять «на пальцах», то касательная к графику функции – это прямая, которая касается графика функции в единственнойточке. При этом все близлежащие точки прямой расположены максимально близко к графику функции.

Применительно к нашему случаю: при касательная (стандартное обозначение) касается графика функции в единственной точке .

И наша задача состоит в том, чтобы найти уравнение прямой .

Производная функции в точке

Как найти производную функции в точке? Из формулировки следуют два очевидных пункта этого задания:

1) Необходимо найти производную.

2) Необходимо вычислить значение производной в заданной точке.

Вычислить производную функции в точке

Справка: Следующие способы обозначения функции эквивалентны:

В некоторых заданиях бывает удобно обозначить функцию «игреком», а в некоторых через «эф от икс».

Сначала находим производную:

Надеюсь, многие уже приноровились находить такие производные устно.

На втором шаге вычислим значение производной в точке :

Небольшой разминочный пример для самостоятельного решения:

Вычислить производную функции в точке

Полное решение и ответ в конце урока.

Вычислить производную функции в точке .
Сначала найдем производную:

Ну вот, совсем другое дело. Вычислим значение производной в точке :

Вычислить производную функции в точке .

Это пример для самостоятельного решения.

Как найти значение производной функции F(x) в точке Хо? Как вообще это решать?

Sfash

Если формула задана, то найти производную и вместо Х подставить Х-нулевое. Посчитать
Если речь идет о б-8 ЕГЭ, график, то надо найти тангенс угла (острый или тупой) , который образует касательная с осью Х (с помощью мысленного построения прямоугольного треугольника и определения тангенса угла)

Тимур адильходжаев

Во-первых, надо определиться со знаком. Если точка х0 находится в нижней части координатной плоскости, то знак в ответе будет минус, а если выше, то +.
Во-вторых, надо знать что такое тангес в прямоугольном прямоугольнике. А это соотношение противолежащей стороны (катета) к прилежащей стороне (тоже катета) . На картине обычно есть несколько черных отметок. Из эти отметок составляешь прямоугольный треугольник и находишь тангес.

Как найти значение производной функции f x в точке x0?

Bk.Ru

В общем случае, что бы найти значение производной какой-либо функции по некоторой переменной в какой-либо точке, нужно продифференцировать заданную функцию по этой переменной. В вашем случае по переменной Х. В полученное выражение вместо Х поставить значение икса в той точке, для которой надо найти значение производной, т.е. в Вашем случае подставить нулевой Х и вычислить полученное выражение.

Ну а ваше стремление разобраться в этом вопросе, на мой взгляд, бесспорно заслуживает +, который ставлю с чистой совестью.

Lady v

Такая постановка задачи на нахождение производной часто ставится для закрепления материала на геометрический смысл производной. Предлагается график некоей функции, совершенно произвольной и не заданной уравнением и требуется найти значение производной (не саму производную заметьте!) в указанной точке Х0. Для этого строится касательная к заданной функции и находится точки ее пересечения с осями координат. Потом составляется уравнение этой касательной в виде y=кx+b.

В этом уравнении коэффициент к и будет являться значением производной. остается лишь найти значение коэффициента b. Для этого находим значение у при х=о, пусть оно равно 3 – это и есть значение коэффициента b. Подставляем в исходное уравнение значения Х0 и У0 и находим к – нашу значение производной в этой точке.

Задание № 7. Производная функции. ЕГЭ . Математика.

БАЗА ЗАДАНИЙ

Задание № 7. Производная функции.

1. На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

2. На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

3. На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

4. На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

5. На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0..

6. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

7. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

8. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

9. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

10. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

11. На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите значение производной в точке 8.

12. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x), определённой на интервале (− 5; 5). Найдите точку из отрезка [− 2; 4], в которой производная функции f(x) равна 0.

13. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x), определённой на интервале (1; 10). Найдите точку из отрезка [2; 6], в которой производная функции f(x) равна 0.

14. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x), определённой на интервале (− 11; − 2). Найдите точку из отрезка [− 10; − 4], в которой производная функции f(x) равна 0.

15. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x), определённой на интервале (− 11; − 1). Найдите точку из отрезка [− 7; − 2], в которой производная функции f(x) равна 0.

16. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 5; 9). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

17. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 5; 8). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

18. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 3; 8). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

19. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 6; 6). Найдите количество решений уравнения f '(x)=0 на отрезке [− 4,5; 2,5].

20. На рисунке изображён график функции y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (2; 13). Найдите точку максимума функции f(x).

21. На рисунке изображён график функции y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 6; 3). Найдите точку минимума функции f(x).

22. На рисунке изображён график функции y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (1; 10). Найдите точку минимума функции f(x).

23. На рисунке изображён график функции y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 5; 5). Найдите точку максимума функции f(x).

24. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 7; 7). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

25. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 7; 7). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

вычислить значение производной на каждом из участков графика

Вы искали вычислить значение производной на каждом из участков графика? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычислить значение производной функции в точке x0, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «вычислить значение производной на каждом из участков графика».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как вычислить значение производной на каждом из участков графика,вычислить значение производной функции в точке x0,геометрический смысл производной примеры решения задач,значение производной в точке,значение производной в точке как найти,значение производной функции f x в точке x,значение производной функции в точке,значение производной функции в точке как найти,как найти значение производной в точке,как найти значение производной в точке х0,как найти значение производной функции,как найти значение производной функции f x в точке x0,как найти значение производной функции f x в точке x0 по графику,как найти значение производной функции в точке,как найти значение производной функции в точке х0 по графику,как найти производную функции в точке x0,как по графику производной найти значение производной в точке,как по графику функции найти значение производной в точке х0,найдите значение производной,найдите значение производной в точке х0,найдите значение производной функции,найдите значение производной функции f x в точке y x0,найдите значение производной функции в точке,найдите значение производной функции в точке x0,найдите значение производной функции в точке х0,найти значение производной в точке x0,найти значение производной функции в точке,найти значение производной функции в точке х0. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и вычислить значение производной на каждом из участков графика. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, геометрический смысл производной примеры решения задач).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же вычислить значение производной на каждом из участков графика Онлайн?

Решить задачу вычислить значение производной на каждом из участков графика вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Тема Производная функции — Документ

Блок	Функции
Тема	Производная функции

1. Найдите производную функции .

2. Найдите производную функции .

3. Вычислите значение производной функции у=3е^х+cos2x в точке х_о=0.

1) 3; 2) -1; 3) 1; 4) 2.

4. Вычислите значение производной функции .

1) 11,5; 2)10,5; 3) 11; 4) 9,5.

5. Вычислить значение производной функции у=е^хsinx + x² в точке x_o=0.

1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3.

6. Найдите у´(1), если y(х) = + 4e^x^{.^{1) 9;
2) –5 +4е; 3) 5;
4) 5 + 4e.}}

7. Найдите производную функции у = x² + sinx в точке х₀ =p.

1) p² -1; 2) 2p + 1; 3) 2p -1; 4) 2p.

8. Вычислите значение производной функции у = cos2x + 4x в точке х_о=.

1) 2; 2) -2; 3) 4; 4) 0.

9. Вычислите значение производной функции в точке х_о=2.

1) 10; 2) 12; 3) 8; 4) 6.

10. Вычислите значение производной функции у= — ln2x в точке х_о = 2.

1) 3; 2) 4; 3) 2; 4) 1.

11. Найдите производную функции ^.

12. Найдите производную функции .

13. Вычислите значение производной функции у=5^х— х⁵в точке х_о=1.

1) 0; 2)4; 3) ln5 -1; 4) 5(ln5 -1).

14. Вычислите значение производной функции в точке х_о = е.

1) sin e; 2) cos e; 3) ; 4) .

15. Вычислите значение производной функции в точке . 1) 15 2)11 3) 17 4) 9

16. Найдите значение производной функции у в точке _.

1) -14; 2) -7; 3) -9; 4) -2.

17. Найдите производную функции .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

18. Найдите производную функции .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

19. Найдите производную функции .

1) 4х – 6+; 2) (2х — 3)²+; 3) 8х – 12 +; 4) 4х – 6 — .

20. Найдите производную функции у = sin e^x – 9x³.

1) cos e^x – 27x²; 2) e^x cos e^x – 27x²; 3) e^x-1 cos x – 27x²; 4) e^x cos x – 9x².

21. Вычислите значение производной функции в точке х_о= 4.

1) 21; 2) 24; 3) 0; 4) 3,5.

22. Вычислите значение производной функции y = ln(2x+11)+ 5x в точке х_о= -5.

1) 7; 2) -25; 3) 6; 4) 1.

23. Вычислите значение производной функции

в точке х_о= . 1) 2; 2) 4; 3) -2; 4) .

24. Вычислите значение производной функции

в точке х_о= . 1) 1; 2) 2; 3) 0; 4) 4.

25. Найдите значение производной функции в точке _.

1) -2 2) 1 3) -1 4) 5

№ вопроса	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Ответ	1	2	1	2	2	2	3	3	2	2	1	2	4	3	2	2

2№ вопроса	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32
Ответ	4	3	3	2	1	1	1	3	3

Как найти производную функцию в точке

Функция может быть дифференцируема при любых значениях аргумента, может иметь производную лишь на определенных интервалах или вовсе не иметь производной. Но если функция имеет производную в некоторой точке — это всегда число, а не математическое выражение.

Если функция Y одного аргумента x задана в виде зависимости Y = F (x),определите ее первую производную Y’ = F'(x)с помощью правил дифференцирования.Чтобы найти производную функции в определенной точке х₀, предварительно рассмотрите область допустимых значений аргумента. Если х₀принадлежит этой области, то подставьте значение х₀в выражение F'(x) и определите искомое значение Y’.

Геометрически производная функции в точке определена как тангенс угла между положительным направлением оси абсцисс и касательной к графику функции в точке касания.Касательная — это прямая, а уравнение прямой в общем виде записывается как y=kx +a. Точка касания х₀общая для двух графиков-функции и касательной. Следовательно,Y(х₀) = y(х₀). Коэффициент k и есть значение производной в заданной точке Y’ (х₀).

Если исследуемая функция задана в графическом виде на координатной плоскости, то для нахождения производной функции в нужной точке проведите через эту точку касательную к графику функции.Касательная— это предельное положение секущей при максимальном сближении точек пересечения секущей с графиком заданной функции. Известно, что касательная перпендикулярна радиусу кривизны графика в точке касания.При отсутствии других исходных данных знания о свойствах касательной помогут начертить ее с большей достоверностью.

Отрезок касательной от точки касания графика до пересечения с осью абсцисс образует гипотенузу прямоугольного треугольника. Один из катетов — ордината заданной точки, другой — отрезок оси ОХ от точки пересечения с касательной до проекции исследуемой точки на ось ОХ. Тангенс угла наклона касательной к оси ОХ определяется как отношение противолежащего катета (ординаты точки касания) к прилежащему. Полученное число является искомым значением производной функции в заданной точке.

Производная. Физический смысл производной. Задание В8

В этой статье мы познакомимся с понятием производной функции, с физическим смыслом производной и решим несколько задач из Задания В9 из Открытого банка задач для подготовки к ЕГЭ по математике на использование физического смысла производной.

Чтобы понять, что такое производная, проведем аналогию с мгновенной скоростью. Рассмотрим материальную точку, которая движется по прямой с переменной скоростью. Поскольку скорость точки все время меняется, мы можем говорить о ее скорости только в данный момент времени . Чтобы найти скорость точки в момент времени , рассмотрим маленький промежуток времени . За этот промежуток времени точка пройдет расстояние . Тогда скорость точки будет примерно равна . Чем меньше промежуток времени мы будем брать, тем точнее значение скорости мы получим. В пределе, при , мы получим точное значение мгновенной скорости в момент времени :

Аналогичным образом введем понятие производной.

Рассмотрим произвольную функцию и зафиксируем точку . Значение функции в этой точке равно . Возьмем приращение аргумента . Значение функции в этой точке равно . Получим приращение функции

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Физический смысл производной.

Итак, мы видим, что по аналогии с мгновенной скоростью, производная функции в точке . показывает скорость изменения функции в этой точке.

Если зависимость расстояния от времени представляет собой функцию , то, чтобы найти скорость тела в момент времени , нужно найти значение производной функции в точке :

Пример 1. Решим задание В9 (№ 119975) из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени .

Решение.

1. Найдем производную функции :

2. Найдем значение производной в точке :

Ответ: 60 м/с.

Пример 2. Решим задание В9 (№ 119978)

Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Решение.

Если нам известна скорость точки в некий момент времени , следовательно нам известно значение производной в точке .

Найдем производную функции

По условию, скорость точки равна 3 м/с, значит, значение производной в момент времени равно 3.

Получаем уравнение:

Отсюда с.

Ответ: 8

Пример 3. Аналогичное задание. Задание В9 (№119979)

Решение.

Найдем производную функции :

По условию, скорость точки равна 2 м/с, значит, значение производной в момент времени равно 2.

Получаем уравнение:

Решим его:

, — не подходит по смыслу задачи: время не может быть отрицательным.

Ответ: 7

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

AC Производная функции в точке

Мгновенная скорость изменения функции — это идея, которая лежит в основе исчисления. Это обобщение понятия мгновенной скорости, которое измеряет, насколько быстро конкретная функция изменяется в данной точке. Если исходная функция представляет положение движущегося объекта, эта мгновенная скорость изменения и есть скорость объекта. В других контекстах мгновенная скорость изменения может измерять количество клеток, добавляемых к культуре бактерий в день, количество дополнительных галлонов бензина, потребляемых за счет увеличения скорости автомобиля на одну милю в час, или количество долларов, добавленных к выплате по ипотеке. за каждый процентный пункт увеличения процентной ставки.Мгновенную скорость изменения также можно интерпретировать геометрически на графике функции, и эта связь является фундаментальной для многих основных идей в исчислении.

Напомним, что для движущегося объекта с функцией положения \ (s \ text {,} \) его средняя скорость на временном интервале от \ (t = a \) до \ (t = a + h \) определяется как частное

\ begin {уравнение *} AV _ {[a, a + h]} = \ frac {s (a + h) -s (a)} {h} \ text {.} \ end {уравнение *}

Аналогичным образом мы даем следующее определение для произвольной функции \ (y = f (x) \ text {.} \)

Определение 1.3.1.

Для функции \ (f \ text {,} \) средняя скорость изменения \ (f \) на интервале \ ([a, a + h] \) задается значением

\ begin {уравнение *} AV _ {[a, a + h]} = \ frac {f (a + h) -f (a)} {h} \ text {.} \ end {уравнение *}

Эквивалентно, если мы хотим рассмотреть среднюю скорость изменения \ (f \) на \ ([a, b] \ text {,} \), мы вычисляем

\ begin {уравнение *} AV _ {[a, b]} = \ frac {f (b) -f (a)} {b-a} \ text {.} \ end {уравнение *}

Важно, чтобы вы понимали, как средняя скорость изменения \ (f \) на интервале связана с его графиком.

Предварительный просмотр 1.3.1.

Предположим, что \ (f \) — функция, заданная приведенным ниже графиком, и что \ (a \) и \ (a + h \) — входные значения, отмеченные на оси \ (x \) -. Используйте график на рисунке 1.3.2, чтобы ответить на следующие вопросы.

Рисунок 1.3.2. График \ (y = f (x) \) для предварительного просмотра 1.3.1.

Найдите и пометьте точки \ ((a, f (a)) \) и \ ((a + h, f (a + h)) \) на графике.
Постройте прямоугольный треугольник, гипотенуза которого представляет собой отрезок прямой от \ ((a, f (a)) \) до \ ((a + h, f (a + h)) \ text {.} \) Каковы длины соответствующих катетов этого треугольника?
Каков наклон линии, соединяющей точки \ ((a, f (a)) \) и \ ((a + h, f (a + h)) \ text {?} \)
Напишите содержательное предложение, объясняющее, как связаны средняя скорость изменения функции на заданном интервале и наклон соответствующей линии.

Подраздел 1.3.1 Производная функции в точке

Так же, как мы определили мгновенную скорость в терминах средней скорости, теперь мы определяем мгновенную скорость изменения функции в точке в терминах средней скорости изменения функции \ (f \) в связанных интервалах.Эта мгновенная скорость изменения \ (f \) в \ (a \) называется «производной \ (f \) в \ (a \ text {,} \)» и обозначается \ (f ‘ (а) \ text {.} \)

Определение 1.3.3.

Пусть \ (f \) будет функцией, а \ (x = a \) значением в области определения функции. Мы определяем производную от \ (f \) относительно \ (x \), вычисленную в \ (x = a \) , обозначенную \ (f ‘(a) \ text {,} \) по формуле

\ begin {уравнение *} f ‘(a) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (a + h) -f (a)} {h} \ text {,} \ end {уравнение *}

при условии, что этот предел существует.

Вслух мы читаем символ \ (f ‘(a) \) как «\ (f \) — простое число в \ (a \)» или «производная от \ (f \), вычисленная в \ (x = a \ text {.} \) »Большая часть следующих нескольких глав будет посвящена пониманию, вычислению, применению и интерпретации производных. А пока отметим следующие важные вещи.

Сначала мы рассматриваем производную при заданном значении как наклон определенной линии.

Когда мы вычисляем мгновенную скорость изменения, мы позволяем интервалу \ ([a, a + h] \) сокращаться как \ (h \ to 0 \ text {.} \) Мы можем рассматривать одну конечную точку интервала как «скользящую по направлению» к другой. В частности, при условии, что \ (f \) имеет производную в \ ((a, f (a)) \ text {,} \), точка \ ((a + h, f (a + h)) \) будет подход \ ((a, f (a)) \) как \ (h \ to 0 \ text {.} \) Поскольку процесс принятия ограничения является динамическим, может быть полезно использовать вычислительные технологии для его визуализации. . Один из вариантов — это Java-апплет, в котором пользователь может управлять движущейся точкой. Чтобы получить полезную коллекцию примеров, рассмотрите работу Дэвида Остина из Государственного университета Гранд-Вэлли и этот особенно важный пример.Для апплетов, созданных в Geogebra ¹, см. Библиотеку Марка Рено через Университет Шиппенсбурга, этот пример особенно подходит для нашей работы в этом разделе.

Вы даже можете подумать о создании своих собственных примеров; фантастическая программа Geogebra доступна для бесплатной загрузки, ее легко изучить и использовать.

На рис. 1.3.5 показана последовательность фигур с несколькими разными линиями, проходящими через точки \ ((a, f (a)) \) и \ ((a + h, f (a + h)) \ text {,} \ ), генерируемые разными значениями \ (h \ text {.} \) Эти линии (показаны на первых трех рисунках пурпурным цветом) часто называют секущими линиями кривой \ (y = f (x) \ text {.} \) Секущая линия кривой — это просто линия, проходящая через две точки на кривой. Для каждой такой линии наклон секущей линии равен \ (m = \ frac {f (a + h) — f (a)} {h} \ text {,} \), где значение \ (h \) зависит от расположения выбранной нами точки. Мы можем видеть на диаграмме, как при \ (h \ to 0 \ text {,} \) секущие линии начинают приближаться к единственной линии, проходящей через точку \ ((a, f (a)) \ text {.} \) Если предел наклона секущих линий существует, мы говорим, что результирующее значение — это наклон касательной линии к кривой. Эта касательная линия (показанная на крайнем правом рисунке зеленым цветом) к графику \ (y = f (x) \) в точке \ ((a, f (a)) \) имеет наклон \ (m = f ‘(а) \ text {.} \)

Рисунок 1.3.5. Последовательность секущих линий, приближающихся к касательной к \ (f \) в \ ((a, f (a)) \ text {.} \)

Если касательная линия в \ (x = a \) существует, график of \ (f \) выглядит как прямая линия, если смотреть с близкого расстояния в \ ((a, f (a)) \ text {.} \) На рис. 1.3.6 мы объединяем четыре графика на рис. 1.3.5 в один слева и увеличиваем масштаб прямоугольника с центром в \ ((a, f (a)) \) справа. Обратите внимание на то, как касательная проходит по отношению к кривой \ (y = f (x) \) в точке \ ((a, f (a)) \) и насколько она похожа на кривую около \ (x = a \ text {. } \)

Рисунок 1.3.6. Последовательность секущих линий, приближающихся к касательной к \ (f \) в \ ((a, f (a)) \ text {. 2 \) в точке \ ((2, -2) \ text {.2 \) в точке \ ((2, -2) \ text {.} \)

Следующие упражнения помогут вам изучить множество ключевых идей, связанных с производными финансовыми инструментами.

Мероприятие 1.3.2.

Рассмотрим функцию \ (f \), формула которой имеет вид \ (\ displaystyle f (x) = 3–2x \ text {.} \)

Какой знакомый тип функции — \ (f \ text {?} \) Что вы можете сказать о наклоне \ (f \) при каждом значении \ (x \ text {?} \)
Вычислить среднюю скорость изменения \ (f \) на интервалах \ ([1,4] \ text {,} \) \ ([3,7] \ text {,} \) и \ ([5, 5 + h] \ text {;} \) максимально упростите каждый результат.Что вы заметили в этих количествах?
Используйте определение предела производной, чтобы вычислить точную мгновенную скорость изменения \ (f \) по отношению к \ (x \) при значении \ (a = 1 \ text {.} \), То есть вычислить \ (f ‘(1) \) с использованием определения предела. Показать свою работу. Ваш результат удивителен?
Без дополнительных вычислений, каковы значения \ (f ‘(2) \ text {,} \) \ (f’ (\ pi) \ text {,} \) и \ (f ‘(- \ sqrt {2}) \ text {?} \) Почему?

Мероприятие 1.3.3.2 + 16t + 32 \ text {.} \) Используйте эту функцию, чтобы ответить на каждый из следующих вопросов.

Нарисуйте точный помеченный график \ (s \) по осям, представленным на рисунке 1.3.10. Вы должны уметь делать это без использования вычислительной техники.
Рисунок 1.3.10. Оси для построения \ (y = s (t) \) в упражнении 1.3.3.
Вычислите среднюю скорость изменения \ (s \) на временном интервале \ ([1,2] \ text {.} \) Включите единицы в свой ответ и напишите одно предложение, чтобы объяснить значение найденного вами значения.
Используйте определение предела, чтобы вычислить мгновенную скорость изменения \ (s \) относительно времени, \ (t \ text {,} \) в момент \ (a = 1 \ text {.} \). Покажите свой используйте правильную нотацию, включите в свой ответ единицы измерения и напишите одно предложение, чтобы объяснить значение найденного вами значения.

На вашем графике в (a) нарисуйте две линии: одна, наклон которой представляет собой среднюю скорость изменения \ (s \) на \ ([1,2] \ text {,} \), другая, наклон которой представляет мгновенное скорость изменения \ (s \) в момент \ (a = 1 \ text {.{t / 5} \ text {.} \) Используйте эту функцию, чтобы ответить на следующие вопросы.

Нарисуйте точный график \ (P \) для значений от \ (t = 0 \) до \ (t = 5 \) по осям, представленным на рисунке 1.3.11. Тщательно промаркируйте шкалу на осях.
Рисунок 1.3.11. Оси для построения \ (y = P (t) \) в упражнении 1.3.4.
Вычислите среднюю скорость изменения \ (P \) между 2030 и 2050 годами. Включите единицы в свой ответ и напишите одно предложение, чтобы объяснить значение (на повседневном языке) найденного вами значения.
Используйте определение предела, чтобы написать выражение для мгновенной скорости изменения \ (P \) относительно времени, \ (t \ text {,} \) в момент \ (a = 2 \ text {.} \ ) Объясните, почему этот предел трудно точно оценить.
Оцените предел в (c) для мгновенной скорости изменения \ (P \) в момент \ (a = 2 \), используя несколько небольших значений \ (h \). Как только вы определили точную оценку \ (P ‘(2) \ text {,} \), включите единицы в свой ответ и напишите одно предложение (используя повседневный язык), чтобы объяснить значение найденного вами значения.
На приведенном выше графике нарисуйте две линии: одна, наклон которой представляет собой среднюю скорость изменения \ (P \) на \ ([2,4] \ text {,} \), другая, наклон которой представляет мгновенную скорость изменения. \ (P \) в момент \ (a = 2 \ text {.} \)
В тщательно сформулированном предложении опишите поведение \ (P ‘(a) \) при увеличении значения \ (a \). Что это отражается на поведении данной функции \ (P \ text {?} \)

Модуль 10 — Производная функции

В этом уроке вы будете использовать несколько различных функций TI-83 для поиска и понимания производных.

В модуле 9 вы видели, что скорости соответствуют наклонам на графике положения во времени. Средняя скорость соответствует наклону

Секущая линия — это линия, проходящая через две точки на кривой.

секущая линия, соединяющая две точки, а мгновенная скорость соответствует наклону касательной к кривой.

Средняя скорость определяется как , который представляет собой наклон секущей линии через точки
( a , f ( a )) и ( a + h , f ( a + h )) .

Мгновенная скорость определяется выражением , который представляет собой наклон касательной к кривой в точке ( a , f ( a )).

Наклон касательной к графику функции в точке называется производной функции в этой точке. Формальное определение производной приведено ниже.

Формальное определение производной

Производная функции f при x = a равна

при условии, что лимит существует.

Иллюстрация схождения секущей линии

Для функций, имеющих касательную, если точка ( a , f ( a )) на кривой зафиксирована, поскольку h приближается к нулю, вторая точка ( a + h , f ( a + h )) приближается к фиксированной точке, и соответствующие секущие линии сходятся к касательной в этой точке.

В описанной ниже процедуре будет найдено значение производной функции f ( x ) = 2 x — x ² в точке (0,5, 0,75) с использованием метода, аналогичного тому, который вы использовали для найти мгновенные скорости.

Найдите наклоны нескольких секущих линий и используйте их, чтобы оценить наклон касательной как x = 0,5.
Затем определите предел наклона секущих линий, чтобы найти производную.

На приведенном ниже графике показано f ( x ) = 2 x — x ² в окне [-1, 3, 1] x [-1, 2, 1] с тремя секущими линиями через фиксированные точка (0,5, 0,75), которая приближается к касательной в точке (0,5, 0,75).

Нахождение наклонов секущих линий

Первый шаг в описанной выше процедуре — найти наклон секущих линий, которые будут использоваться для оценки производной.Чтобы найти уклоны, вам нужно ввести функцию f ( x ) = 2 x — x ² в редакторе Y =.

Наклон секущей линии через точки (0,5, f (0,5)) и (0,5 + h , f (0,5 + h )) можно найти, оценив коэффициент разности

Нас интересуют значения h , которые малы, так что две точки находятся близко друг к другу.Результирующая секущая линия будет приближаться к касательной.

Вы можете оценить коэффициент разницы для h = 0,1 на TI-83, используя команду, состоящую из двух частей. Первая часть команды сохранит 0,1 в h , а вторая часть команды будет оценивать коэффициент разницы. Две команды будут объединены вместе с символом двоеточия.

Наклон секущей линии, содержащей (0.5, f (0,5)) и (0,6, f (0,6)) равно 0,9.

Использование меньших значений h

Когда точка (0,5 + h , f (0,5 + h )) приближается к точке (0,5, f (0,5)), h приближается к 0, и секущие линии сходятся к касательной.

Чтобы оценить коэффициент разницы для меньших значений h , измените значение H в последнем выражении на главном экране с 0.От 1 до 0,01 и оцените коэффициент разницы.

Наклон соответствующей секущей линии равен 0,99.

Оцените коэффициент разницы с h = 0,001 и с h = 0,0001.

Наклон секущих линий равен 0,999 и 0,9999 соответственно.

10.1.1 Предскажите производную в (0,5, f (0,5)). Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

Коэффициенты левой разности

В описанной выше процедуре использовались правые разностные коэффициенты. Коэффициенты левой разности могут быть найдены, если положить h отрицательным числом.

Оцените коэффициент разницы: h = -0,01 и h = -0.001.
Вставьте отрицательный знак, а затем используйте чтобы удалить нули в предыдущем выражении.

Коэффициенты левой разности

Наклон соответствующих секущих линий равен 1,01 и 1,001. С фиксированной точкой (0,5, 0,75) одна секущая проходит через (0,49, f (0,49)), а другая через (0,499, f (0,499)).

Нахождение производной в точке

Как указывалось ранее, производная при x = 0.5 определяется как предел

Прежде чем этот предел можно будет оценить, выражение должны быть расширены и упрощены. Напомним, что интересующая функция: f ( x ) = 2 x — x ².

Следовательно, и производная от f ( x ) = 2 x — x ² при x = 0.5 равно 1.

Использование числовой производной команды

Вы также можете аппроксимировать производную функции в точке с помощью числовой производной команды nDeriv (, которая находится в меню Math. Синтаксис для поиска производной в точке: nDeriv (выражение, переменная, значение ).

Перейдите на главный экран, нажав [ПОКИДАТЬ].
Откройте меню Math, нажав . nDeriv ( — восьмой пункт в меню.

Вставьте nDeriv ( на главный экран, нажав .
Завершите команду nDeriv (Y ₁, X, 0.5).
Выполните команду, нажав .

Команда nDeriv

nDeriv ( фактически вычисляет коэффициент симметричной разности и приближает производную.Вы можете добавить необязательный четвертый параметр, чтобы изменить значение по умолчанию h , которое установлено на 0,001. Например, чтобы оценить коэффициент симметричной разности при x = 0,5 при h = 0,01, введите команду

nDeriv (Y ₁, X, 0,5, 0,01)

Рисование касательной линии

Поскольку точка на кривой и производная в этой точке известны, уравнение для касательной можно найти с помощью

Уравнение для прямой, проходящей через точку (x1, y1) с уклоном м : y — y 1 = m ( x — x 1).

точечно-наклонная форма линии. Если наклон касательной в точке (0,5, 0,75) равен 1, то уравнение для касательной линии будет y — 0,75 = 1 ( x — 0,5).

График f ( x ) = 2 x — x ² и его касательная линия в точке (0.5, 0,75).

Установить Y ₁ = 2 X — X ².
Установите Y ₂ = (X-0,5) + 0,75.
Постройте график функции и касательной в окне [-1, 3, 1] x [-1, 2, 1].

Линия кажется касательной к кривой при x = 0,5.

деривативов | Безграничное исчисление

Задача о производной и касательной

Использование дифференцирования позволяет решить задачу касательной линии путем нахождения наклона [латекс] f ‘(a) [/ латекс].

Цели обучения

Определите производную как наклон касательной к точке на кривой

Основные выводы

Ключевые моменты

Касательная линия [латекс] t [/ латекс] (или просто касательная) к плоской кривой в данной точке — это прямая линия, которая «едва касается» кривой в этой точке.
Прямая линия называется касательной к кривой [латекс] y = f (x) [/ latex] в точке [latex] x = c [/ latex] на кривой, если линия проходит через точку [ латекс] (c, f (c)) [/ латекс] на кривой и имеет наклон [латекс] f ‘(c) [/ латекс], где [латекс] f’ [/ латекс] является производным от [латекс] f [/латекс].
Используя производные, уравнение касательной можно сформулировать следующим образом: [латекс] y = f (a) + f {(a)} ‘(x-a) [/ latex].

Ключевые термины

касательная : линия, касающаяся кривой в одной точке, но не пересекающая ее в этой точке
секущая : линия, пересекающая кривую в двух или более точках

Касательная линия [латекс] t [/ латекс] (или просто касательная) к плоской кривой в данной точке — это прямая линия, которая «только касается» кривой в этой точке.Неформально это прямая, проходящая через пару бесконечно близких точек кривой. Точнее, прямая линия называется касательной к кривой [латекс] y = f (x) [/ latex] в точке [latex] x = c [/ latex] на кривой, если линия проходит через точка [латекс] (c, f (c)) [/ latex] на кривой и имеет наклон [латекс] f ‘(c) [/ latex], где f ‘ — производная от [latex] f [/ latex ].

Касательная к кривой : линия показывает касательную к кривой в точке, представленной точкой.Он почти не касается кривой и показывает наклон скорости изменения в точке.

Предположим, что кривая задана как график функции, [латекс] y = f (x) [/ latex]. Чтобы найти касательную в точке [latex] p = (a, f (a)) [/ latex], рассмотрите другую ближайшую точку [latex] q = (a + h, f (a + h)) [/ latex ] на кривой. Наклон секущей линии, проходящей через [латекс] p [/ латекс] и [латекс] q [/ латекс], равен коэффициенту разности

[латекс] \ displaystyle {\ frac {f (a + h) — f (a)} {h}} [/ latex].

Когда точка [латекс] q [/ латекс] приближается к [латексу] p [/ латексу], что соответствует уменьшению и уменьшению [латекса] h [/ латекса], коэффициент разности должен приближаться к определенному предельному значению [латекс] k [/ latex], который представляет собой наклон касательной в точке [latex] p [/ latex]. Если [латекс] k [/ латекс] известен, уравнение касательной можно найти в форме «точка-наклон»:

[латекс] y — f (a) = k (x-a) [/ латекс]

Предположим, что граф не имеет излома или острого края на [латексе] p [/ латексе], и он не вертикален и не слишком изгибается рядом с [латексом] p [/ латексом].Затем существует уникальное значение [latex] k [/ latex], так что по мере приближения [latex] h [/ latex] к [latex] 0 [/ latex] коэффициент разности становится все ближе и ближе к [latex] k [ / latex], и расстояние между ними становится незначительным по сравнению с размером [latex] h [/ latex], если [latex] h [/ latex] достаточно мало. Это приводит к определению наклона касательной к графику как предела коэффициентов разности для функции [latex] f [/ latex]. Этот предел является производной функции [latex] f [/ latex] в [latex] x = a [/ latex], обозначаемой [latex] f ‘(a) [/ latex].Используя производные, уравнение касательной можно записать следующим образом:

[латекс] y = f (a) + f {(a)} ‘(x-a) [/ латекс].

Деривативы и курсы изменения

Дифференциация — это способ вычисления скорости изменения одной переменной по отношению к другой.

Цели обучения

Опишите производную как изменение [латекса] y [/ латекса] по сравнению с изменением [латекса] x [/ латекса] в каждой точке графика.

Основные выводы

Ключевые моменты

Исторически основной мотивацией для изучения дифференцирования была проблема касательной линии, задача которой для данной кривой заключается в нахождении наклона прямой, касательной к этой кривой в данной точке.
Если [латекс] y [/ latex] является линейной функцией [latex] x [/ latex], то [latex] m = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} [/ latex].
Производная измеряет наклон графика в каждой точке.

Ключевые термины

наклон : также называется градиентом; наклон или уклон линии описывает ее крутизну

Исторически основной мотивацией для изучения дифференцирования была проблема касательной линии, задача которой заключается в нахождении для данной кривой наклона прямой, касательной к этой кривой в данной точке.Слово тангенс происходит от латинского слова tangens , что означает прикосновение. Таким образом, чтобы решить проблему касательной, нам нужно найти наклон линии, которая «касается» данной кривой в данной точке, или, говоря современным языком, имеющей такой же наклон. Но что именно мы подразумеваем под «наклоном» кривой?

В простейшем случае [latex] y [/ latex] является линейной функцией от x, что означает, что график [latex] y [/ latex], деленный на [latex] x [/ latex], представляет собой прямую линию. В этом случае [латекс] y = f (x) = m x + b [/ latex] для действительных чисел m и b, а наклон m определяется по формуле:

[латекс] \ displaystyle {m = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} [/ latex]

, где символ [латекс] \ Delta [/ latex] (заглавная форма греческой буквы Delta) означает и произносится как «изменение в.”Эта формула верна, потому что:

[латекс] y + \ Delta y = f (x + \ Delta x) = m (x + \ Delta x) + b = m x + b + m \ Delta x = y + m \ Delta x [/ latex]

Отсюда следует, что [латекс] \ Delta y = m \ Delta x [/ latex].

Наклон функции : функция с наклоном, показанным для данной точки.

Это дает точное значение наклона прямой. Однако, если функция [latex] f [/ latex] не является линейной (т. Е. Ее график не является прямой линией), то изменение [latex] y [/ latex] делится на изменение [latex] x [ / latex] варьируется: дифференциация — это метод нахождения точного значения для этой скорости изменения при любом заданном значении [латекс] x [/ латекс].Другими словами, дифференциация — это метод вычисления скорости, с которой зависимый выход [latex] y [/ latex] изменяется по отношению к изменению в независимом входе [latex] x [/ latex]. Эта скорость изменения называется производной [латекса] y [/ латекса] по отношению к [латексу] x [/ латексу]. Точнее говоря, зависимость [латекса] y [/ латекса] от [латекса] x [/ латекса] означает, что [латекс] y [/ латекс] является функцией [латекса] x [/ латекса]. Эта функциональная связь часто обозначается [латекс] y = f (x) [/ latex], где [latex] f [/ latex] обозначает функцию.Если [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] являются действительными числами, и если график [latex] y [/ latex] строится против [latex] x [/ latex], производная измеряет наклон этого графика в каждой точке.

Производная как функция

Если каждая точка функции имеет производную, существует функция производной, отправляющая точку [latex] a [/ latex] производной от [latex] f [/ latex] в [latex] x = a [/ latex] : [латекс] ф ‘(а) [/ латекс].

Цели обучения

Объясните, как производная действует как «функция функций»

Основные выводы

Ключевые моменты

Производная — это оператор, область определения которого представляет собой набор всех функций, которые имеют производные в каждой точке своей области определения, а диапазон которых является набором функций.
Функция, значение которой в [latex] x = a [/ latex] равно [latex] f ′ (a) [/ latex] всякий раз, когда [latex] f ′ (a) [/ latex] определено, а в другом месте не определено, также называется производной [латекс] ф [/ латекс].
По определению производной функции [latex] D (f) (a) = f ′ (a) [/ latex], где [latex] D [/ latex] — оператор, область определения которого является набором всех функций которые имеют производные в каждой точке их области определения и диапазон которых является набором функций.

Ключевые термины

диапазон : набор значений (точек), которые функция может получить
домен : набор всех возможных математических объектов (точек), в которых определена данная функция

Пусть [latex] f [/ latex] будет функцией, которая имеет производную в каждой точке [latex] a [/ latex] в домене [latex] f [/ latex].Поскольку каждая точка [latex] a [/ latex] имеет производную, существует функция, которая отправляет точку [latex] a [/ latex] производной от [latex] f [/ latex] в [latex] a [/ латекс]. Эта функция записывается [latex] f ‘(x) [/ latex] и называется производной функцией или производной от [latex] f [/ latex]. Производная [латекса] f [/ латекса] собирает все производные [латекса] f [/ латекса] во всех точках домена [латекс] f [/ латекс]. Визуально производная функции [latex] f [/ latex] в [latex] x = a [/ latex] представляет наклон кривой в точке [latex] x = a [/ latex].

Производная как наклон : Показанный наклон касательной представляет значение производной кривой функции в точке [латекс] x [/ латекс].

Иногда [latex] f [/ latex] имеет производную в большинстве, но не во всех точках своей области. Функция, значение которой в [latex] a [/ latex] равно [latex] f ‘(a) [/ latex] всякий раз, когда [latex] f’ (a) [/ latex] определено, а в другом месте не определено, также называется производной [латекс] ф [/ латекс]. Это все еще функция, но ее домен строго меньше, чем домен [latex] f [/ latex].

Разрывная функция : В точке, где функция совершает скачок, производная функции не существует.

Используя эту идею, дифференцирование становится функцией функций: производная — это оператор, область определения которого представляет собой набор всех функций, имеющих производные в каждой точке своей области определения, а диапазон значений — набор функций. Если обозначить этот оператор как [latex] D [/ latex], то [latex] D (f) [/ latex] — это функция [latex] f ‘(x) [/ latex].Поскольку [latex] D (f) [/ latex] является функцией, ее можно оценить в точке [latex] a [/ latex]. По определению производной функции [латекс] D (f) (a) = f ‘(a) [/ latex].

Для сравнения рассмотрим функцию удвоения [латекс] f (x) = 2x [/ latex]; [latex] f [/ latex] является действительной функцией действительного числа, что означает, что он принимает числа в качестве входных данных и имеет числа в качестве выходных:

[латекс] 1 \ стрелка вправо 2 [/ латекс]

[латекс] 2 \ rightarrow 4 [/ латекс]

[латекс] 3 \ rightarrow 6 [/ латекс].2 [/ латекс]

[latex] D [/ latex] выводит функцию удвоения,

[латекс] x \ rightarrow 2x [/ латекс]

, который является f (x) f (x). Затем эта функция вывода может быть вычислена для получения [latex] f (1) = 2f (1) = 2 [/ latex], [latex] f (2) = 4 [/ latex] и так далее.

Правила дифференциации

Правила дифференцирования могут упростить производные, устраняя необходимость в сложных расчетах пределов.

Цели обучения

Практика использования правил дифференцирования для упрощения дифференцирования сложных выражений

Основные выводы

Ключевые моменты

Дифференцирование с помощью полиномиального разложения может быть очень сложным и подверженным ошибкам.2} [/ латекс].

Ключевые термины

коэффициент разности : разность функций [латекс] \ Delta F [/ latex], деленная на разность точек [латекс] \ Delta x [/ latex]: [latex] \ Delta F (x) / \ Delta x [ / латекс]
полином : выражение, состоящее из суммы конечного числа членов, каждый член является произведением постоянного коэффициента и одной или нескольких переменных, возведенных в неотрицательную целую степень

Когда мы хотим различать сложные выражения, возможный способ дифференцировать выражение — это развернуть его и получить многочлен, а затем дифференцировать этот многочлен.Этот метод становится очень сложным и особенно подвержен ошибкам при выполнении расчетов вручную. Во многих случаях сложных расчетов пределов путем прямого применения разностного коэффициента Ньютона можно избежать, используя правила дифференцирования. Вот некоторые из самых основных правил.

Постоянное правило

Если [латекс] f (x) [/ latex] является константой, то [latex] f ‘(x) = 0 [/ latex], поскольку скорость изменения константы всегда равна нулю.

Правило суммы

[латекс] (\ alpha f + \ beta g) ‘= \ alpha f’ + \ beta g ‘[/ latex]

для всех функций [latex] f [/ latex] и [latex] g [/ latex] и всех действительных чисел [latex] \ alpha [/ latex] и [latex] \ beta [/ latex].x [/ latex], как и константа 7, также использовались.

Производные тригонометрических функций

Производные тригонометрических функций можно найти с помощью стандартной формулы производной.

Цели обучения

Определение производных наиболее распространенных тригонометрических функций

Основные выводы

Ключевые моменты

Производная синусоидальной функции является косинусоидальной функцией.
Производная функции косинуса является отрицательной величиной функции синуса.
Производная касательной функции — это функция секущей в квадрате.

Ключевые термины

секущая : прямая линия, пересекающая кривую в двух или более точках

Тригонометрические функции (также называемые круговыми функциями) являются функциями угла. Они используются, чтобы связать углы треугольника с длинами сторон треугольника. Тригонометрические функции важны при изучении треугольников и моделирования периодических явлений, среди многих других приложений.

Наиболее известными тригонометрическими функциями являются синус, косинус и тангенс. В контексте стандартной единичной окружности с радиусом 1, где треугольник образован лучом, исходящим из начала координат и составляющим некоторый угол с осью [латекс] x [/ латекс], синус угла дает длину [latex] y [/ latex] -компонент (подъем) треугольника, косинус дает длину [latex] x [/ latex] -компоненты (прогон), а функция тангенса дает наклон ([латекс] y [/ latex] -компонент, разделенный на [latex] x [/ latex] -компонент).

Имея это в виду, мы можем использовать определение производной для вычисления производных различных тригонометрических функций:

[латекс] \ displaystyle {f ‘(x) = \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ frac {f (x + h) — f (x)} {h}} [/ latex]

Например, если [латекс] f (x) = \ sin x [/ latex], то:

[латекс] \ displaystyle {f ‘(x) = \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ frac {\ sin (x + h) — \ sin (x)} {h}} [/ latex]

[латекс] \ displaystyle {\ quad \ quad = \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ frac {\ cos (x) \ cdot \ sin (h) + \ cos (h) \ cdot \ sin (x) — \ sin (x)} {h}} [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle {\ quad \ quad = \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ frac {\ cos (x) \ cdot \ sin (h) + (\ cos (h) — 1) \ cdot \ sin ( x)} {h}} [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle {\ quad \ quad = \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ frac {\ cos (x) \ cdot \ sin (h)} {h} + \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ frac {(\ cos (h) — 1) \ cdot \ sin (x)} {h}} [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle {\ quad \ quad = \ cos (x) (1) + \ sin (x) (0)} [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle {\ quad \ quad = \ cos (x)} [/ латекс]

Синус и косинус : На этом изображении можно увидеть, что там, где касательная к одной кривой имеет нулевой наклон (производная этой кривой равна нулю), значение другой функции равно нулю.2 x} [/ латекс]

Правило цепочки

Цепное правило — это формула для вычисления производной композиции двух или более функций.

Цели обучения

Вычислить производную композиции функций, используя цепное правило

Основные выводы

Ключевые моменты

Если [latex] f [/ latex] является функцией, а [latex] g [/ latex] является функцией, то цепное правило выражает производную сложной функции [latex] f \ circ g [/ latex] в термины производных [латекс] ф [/ латекс] и [латекс] г [/ латекс].
Правило цепочки может применяться последовательно для любого количества функций, вложенных друг в друга.
Цепное правило для [латекса] f \ circ g (x) [/ latex]: [latex] \ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ frac {dg} {dx} [/ латекс].

Ключевые термины

композит : функция от функции

Цепное правило — это формула для вычисления производной композиции двух или более функций. То есть, если [latex] f [/ latex] является функцией, а [latex] g [/ latex] является функцией, то цепное правило выражает производную сложной функции [latex] f \ circ g [/ latex] в терминах производных [латекса] ф [/ латекса] и [латекса] г [/ латекса].

Например, следуя правилу цепочки для [латекс] f \ circ g (x) = f [g (x)] [/ latex], получаем:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}} [/ латекс]

Метод называется «цепным правилом», потому что его можно применять последовательно к любому количеству функций, вложенных друг в друга. Например, если [latex] f [/ latex] является функцией [latex] g [/ latex], которая, в свою очередь, является функцией [latex] h [/ latex], которая, в свою очередь, является функцией [latex ] x [/ latex] — то есть [латекс] f (g (h (x))) [/ latex] — затем производная от [latex] f [/ latex] по отношению к [latex] x [/ latex ] составляет:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dh} \ cdot \ frac {dh} {dx}} [/ латекс]

Цепное правило имеет широкое применение в физике, химии и инженерии, а также для изучения связанных скоростей во многих других дисциплинах.2 [/ латекс]

Неявная дифференциация

Неявное дифференцирование использует цепное правило для дифференцирования неявно определенных функций.

Цели обучения

Используйте неявное дифференцирование, чтобы найти производные функций, которые не являются явно функциями [latex] x [/ latex]

Основные выводы

Ключевые моменты

Поскольку y может быть задано как функция [latex] x [/ latex] неявно, а не явно, когда у нас есть уравнение [latex] R (x, y) = 0 [/ latex], мы можем решите это для [latex] y [/ latex], а затем дифференцируйте.
Неявная функция — это функция, которая неявно определяется отношением между ее аргументом и его значением.
Теорема неявной функции утверждает, что если левая часть уравнения [латекс] R (x, y) = 0 [/ latex] дифференцируема и удовлетворяет некоторому мягкому условию на свои частные производные в некоторой точке [латекс] (a , b) [/ latex] такой, что [latex] R (a, b) = 0 [/ latex], тогда он определяет функцию [latex] y = f (x) [/ latex] на некотором интервале, содержащем [latex] а [/ латекс].

Ключевые термины

неявно : подразумевается косвенно, без прямого выражения

Неявная функция — это функция, которая неявно определяется отношением между ее аргументом и его значением.

Если левая часть уравнения [латекс] R (x, y) = 0 [/ latex] дифференцируема и удовлетворяет некоторому мягкому условию на свои частные производные в некоторой точке [latex] (a, b) [/ latex] такой, что [latex] R (a, b) = 0 [/ latex], тогда он определяет функцию [latex] y = f (x) [/ latex] на некотором интервале, содержащем [latex] a [/ latex]. Геометрически граф, определенный как [latex] R (x, y) = 0 [/ latex], будет локально перекрываться с графиком некоторого уравнения [latex] y = f (x) [/ latex].

Для большинства неявных функций не существует формулы, определяющей их явно.2 + y = \ sin (x) [/ latex] — неявная функция, потому что очень сложно получить формулу для [latex] y [/ latex] в терминах только [latex] x [/ latex]. Однако мы все еще можем найти производную от [latex] y [/ latex] по отношению к [latex] x [/ latex], используя неявное дифференцирование.

[латекс] \ displaystyle {2y \ cdot \ frac {dy} {dx} + \ frac {dy} {dx} = \ cos (x) = (2y + 1) \ frac {dy} {dx}} [/ латекс]

Следовательно:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {dy} {dx} = \ frac {\ cos (x)} {2y + 1}} [/ latex]

Поскольку [латекс] y [/ latex] может быть задан как функция [latex] x [/ latex] неявно, а не явно, когда у нас есть уравнение [latex] R (x, y) = 0 [/ latex] , мы можем решить его для [latex] y [/ latex], а затем дифференцировать.Однако иногда проще дифференцировать [латекс] R (x, y) [/ латекс] относительно [латекса] x [/ латекса] и [латекса] y [/ латекса], а затем решать для [латекса] \ frac {dy} {dx} [/ латекс].

Например, учитывая выражение [латекс] y + x + 5 = 0 [/ latex], дифференциация урожайности:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {dy} {dx} + \ frac {dx} {dx} + \ frac {d} {dx} 5 = \ frac {dy} {x} + 1 = 0} [/ латекс]. 2 [/ latex], где [latex] r [/ latex] — радиус круга.Вы можете использовать неявное дифференцирование, чтобы найти наклон касательной к окружности в точке [latex] (x, y) [/ latex]. Поскольку наклон касательной является производной в этой точке, мы находим производную неявно:

[латекс] \ displaystyle {2y \ frac {dy} {dx} + 2x \ frac {dx} {dx} = \ frac {dr} {dx} = 0} [/ латекс]

где [latex] \ frac {dr} {dx} [/ latex] равно [latex] 0 [/ latex], поскольку радиус постоянен. Затем вы можете найти формулу для [латекс] \ frac {dy} {dx} [/ latex]:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {dy} {dx} = \ frac {-2x} {2y} = \ frac {-x} {y}} [/ latex]

, и теперь вы можете найти наклон в любой точке [latex] (x, y) [/ latex].

Путь точки на окружности : Путь точки на окружности может быть выражен только как неявная функция.

Дифференциация и скорость изменений в естественных и социальных науках

Дифференциация, по сути, вычисление скорости изменения важна во всех количественных науках.

Цели обучения

Приведите примеры дифференциации или скорости изменений, используемых в различных академических дисциплинах

Основные выводы

Ключевые моменты

Дифференциация применима почти ко всем количественным дисциплинам, будь то естественные или социальные науки.
Ученые-физики используют дифференциацию и скорость изменения для изучения того, как физическая концепция изменяется с течением времени или на расстоянии.
Социологи используют дифференциацию и коэффициент, чтобы определить, как люди, товары и процессы меняются из-за изменения независимой переменной.

Ключевые термины

дифференциальная геометрия : изучение геометрии с помощью дифференциального исчисления
импульс : (тела в движении) произведение его массы и скорости
валовой внутренний продукт : мера экономического производства на определенной территории с точки зрения финансового капитала за определенный период времени

Для данной функции [latex] y = f (x) [/ latex] дифференцирование — это метод вычисления скорости, с которой зависимый выход [latex] y [/ latex] изменяется по отношению к изменению в независимом входе [ латекс] х [/ латекс].Эта скорость изменения называется производной [латекса] y [/ латекса] по отношению к [латексу] x [/ латексу].

Скорость изменения — важное понятие во многих количественных исследованиях, и неудивительно, что дифференциация (представляющая скорость изменения) применима почти ко всем количественным дисциплинам. Например, в физике производная смещения движущегося тела по времени — это скорость тела, а производная скорости по времени — это ускорение.Второй закон движения Ньютона гласит, что производная количества движения тела равна силе, приложенной к телу. Скорость химической реакции является производной. При исследовании операций производные инструменты определяют наиболее эффективные способы транспортировки материалов и проектирования предприятий.

Производные часто используются для нахождения максимумов и минимумов функции. Уравнения, включающие производные, называются дифференциальными уравнениями и являются фундаментальными для описания природных явлений.Производные и их обобщения появляются во многих областях математики, таких как комплексный анализ, функциональный анализ, дифференциальная геометрия, теория меры и абстрактная алгебра.

Темпы изменений происходят во всех науках и во всех дисциплинах. Экономисты изучают скорость изменения валового внутреннего продукта, а социологи — скорость, с которой население голосует в определенной области. Геологи изучают скорость сдвига Земли и температурный градиент горных пород возле вулкана. Бухгалтеры изучают скорость изменения производства и поставок, а также то, как любое изменение может повлиять на затраты и прибыль.Городские инженеры изучают движение транспорта, чтобы спроектировать и построить более эффективные дороги и автострады.

В каждом аспекте жизни, в котором что-то меняется, дифференциация и скорость изменений являются важным аспектом в понимании мира и поиске способов его улучшить.

Связанные ставки

Проблемы связанных ставок связаны с нахождением скорости путем соотнесения этого количества с другими величинами, скорости изменения которых известны.

Цели обучения

Решение проблем с использованием связанных ставок (с использованием количества, скорость которого, как известно, позволяет найти скорость, с которой изменяется связанное количество)

Основные выводы

Ключевые моменты

Поскольку наука и техника часто связывают величины друг с другом, методы связанных скоростей имеют широкое применение в этих областях.
Поскольку задачи включают несколько переменных, дифференцирование по времени или по одной из других переменных требует применения правила цепочки.
Процесс решения проблем связанных ставок: запишите все соответствующие формулы и информацию, возьмите производную от первичного уравнения по времени, решите для желаемой переменной, вставьте известную информацию и упростите.

Ключевые термины

переменная : величина, которая может принимать любое из набора значений

Одно из полезных применений деривативов — это помощь в вычислении соответствующих ставок.Что такое родственная ставка? В дифференциальном исчислении проблемы связанных скоростей включают нахождение скорости, с которой величина изменяется, путем соотнесения этой величины с другими величинами, скорости изменения которых известны. В большинстве случаев рассчитываемая соответствующая ставка является производной по некоторому значению. Мы вычисляем эту производную по скорости, с которой изменяется какая-то другая известная величина. Учитывая скорость, с которой что-то меняется, нас просят найти скорость, с которой изменяется значение, связанное с данной скоростью.

Скорость изменения обычно зависит от времени. Поскольку наука и техника часто связывают количества друг с другом, методы связанных скоростей имеют широкое применение в этих областях. Поскольку проблемы включают несколько переменных, дифференцирование по времени или по одной из других переменных требует применения цепного правила.

Процесс решения проблем связанных ставок:

1. Запишите все соответствующие формулы и информацию.

2. Возьмем производную первичного уравнения по времени.

3. Найдите нужную переменную.

4. Вставьте известную информацию и упростите ее.

См. Блок-схему решения проблем связанных ставок.

Блок-схема решения проблем, связанных с расходами : Проблемы со связанными расходами можно решать с помощью методического подхода.

Предположим, вам дана следующая ситуация.

Сферический воздушный шар наполняется воздухом. Объем изменяется со скоростью 2 кубических фута в минуту.2} V ‘} [/ латекс]

Вставьте известную информацию:

[латекс] \ displaystyle {r ‘= \ frac {1} {16 \ pi} 2 = \ frac {1} {8 \ pi}} [/ latex] фут / мин

Высшие производные

Производная уже дифференцированного выражения называется производной более высокого порядка.

Цели обучения

Вычисление высших (вторых, третьих и т. Д.) Производных функций

Основные выводы

Ключевые моменты

Вторая производная или производная второго порядка — это производная производной функции.
Поскольку производная функции определяется как функция, представляющая наклон исходной функции, двойная производная — это функция, представляющая наклон функции первой производной.
Если [latex] x (t) [/ latex] представляет положение объекта в момент времени [latex] t [/ latex], то производные [latex] x [/ latex] более высокого порядка имеют физические интерпретации, например как скорость и ускорение.

Ключевые термины

производная : мера того, как функция изменяется при изменении ее входных данных

Вторая производная или производная второго порядка — это производная производной функции.Производная функции может обозначаться как [латекс] f ‘(x) [/ latex], а ее двойная (или «вторая») производная обозначается как [латекс] f’ ‘(x) [/ latex]. Это читается как «[латекс] f [/ латекс] двойное простое число от [латекс] x [/ латекс]» или «вторая производная от [латекс] f (x) [/ латекс]. «Поскольку производная функции определяется как функция, представляющая наклон функции, двойная производная — это функция, представляющая наклон функции первой производной.

Кроме того, третья производная является производной производной производной функции, которая может быть представлена как [латекс] f » ‘(x) [/ latex].Это читается как «[латекс] f [/ латекс] тройное простое число [латекс] x [/ латекс]» или «третья производная от [латекса] f (x) [/ latex].»). Это может продолжаться до тех пор, пока полученная производная сама является дифференцируемой, с четвертой производной, пятой производной и так далее. Любая производная за пределами первой производной может называться производной более высокого порядка.

Если [latex] x (t) [/ latex] представляет положение объекта в момент времени [latex] t [/ latex], то производные [latex] x [/ latex] более высокого порядка имеют физические интерпретации.Вторая производная от [latex] x [/ latex] — это производная от [latex] x ‘(t) [/ latex], скорости и, по определению, ускорения объекта. Третья производная от [латекс] x [/ латекс] определяется как толчок, а четвертая производная определяется как толчок. Функция [latex] f [/ latex] не обязательно должна иметь производную — например, если она не является непрерывной. Точно так же, даже если [латекс] f [/ латекс] имеет производную, у него может не быть второй производной. См. Графическую иллюстрацию высших производных в физике.2 + 6x — 1 [/ латекс]

[латекс] f » (x) = 30x + 6 [/ латекс]
[латекс] f » ‘(x) = 30 [/ латекс]

Исчисление — Производная функция — Math Open Reference

1. Парабола

Апплет изначально показывает параболу слева и производную функция параболы справа. Внизу апплета находится ползунок, который управляет координатой x , которая отображается в поле ввода рядом с ползунком.На левом графике красная линия, представляет касательную линию в координате x . Переместите ползунок и обратите внимание, что касательные линии перемещаются так, что они всегда касаются парабола в координате x , заданной ползунком. На нижний левый угол графика функции — это поле, в котором значение функции f ( x ).

Теперь посмотрите на правый график, который показывает функцию производной, f ‘ ( x ).Сначала посмотрите на красную касательную линию; что это склон? Его наклон должен быть производной по текущей координате x , так что это также должно быть значение производной функции для координата x . Этот уклон показан в рамке внизу. левый угол производного графика. Точка на графике производная функция также отмечена красным перекрестием.

Щелкните поле «x =» и замените его содержимое на 0. Теперь перетащите ползунок вправо.Обратите внимание на то, что наклон красной касательной увеличивается, функция производной также увеличивается. Перетащите ползунок на слева за 0. Обратите внимание, что по мере того, как наклон красной касательной становится больше отрицательная, так же как и производная функция. Производная функция сообщает вы скорость изменения f для любого данного x , что составляет эквивалентно описанию наклона графика f для любого учитывая x .

Когда производная положительна, функция возрастает.Когда производная отрицательна, функция убывает. Следовательно, производная сообщает вам кое-что об исходной функции. Что происходит, когда производная равна 0? Где это происходит в этом примере? Почему производная 0 в этой точке?

Также обратите внимание, что производная функция выглядит как прямая линия. Делать вы думаете, что так будет всегда, или это из-за каких-то особых свойство парабол?

2. Синусоидальная функция

В раскрывающемся меню выберите второй пример, показывающий синус функция.Как выглядит производная функция? Перетащите ползунок, понаблюдайте за наклоном красной касательной и посмотрите, сможете ли вы связать наклон касательной к значению производной функции. Это производная 0 в любых точках? Что характеризует эти точки?

3. Показательная функция

Выберите третий пример, показывающий экспоненциальную функцию. Что значит как выглядит производная функция? Перетащите ползунок, посмотрите наклон красную касательную и посмотрите, сможете ли вы связать наклон касательной линии к значению производной функции.Обратите внимание, что для экспоненциальная функция, ее производная функция никогда не бывает отрицательной (т. е. правый график никогда не опускается ниже оси x ). Почему? Что это о графике экспоненциальной функции, что означает, что производная никогда не отрицательный?

4. Гипербола

Выберите четвертый пример, показывающий гиперболу. Что это производная функция похожа? Перетащите ползунок, посмотрите наклон красная касательная линия, и посмотрите, сможете ли вы связать наклон касательной к значению производной функции.Обратите внимание, что для этой гиперболы его производная функция никогда не бывает положительной (т. е. правый график никогда не поднимается выше оси x ). Почему? Что это за график гиперболы, который означает, что производная никогда не бывает положительной?

Что происходит при x = 0 для гиперболы? Почему производная неопределенный? Каков наклон касательной (есть ли касательная линия)?

Исследуйте

Вы также можете ввести собственное определение функции в поле «f (x) =», чтобы посмотреть, как выглядят производные от других функций.

Другие особенности дифференциации

Взятие производных и дифференциация | Ресурсы Wyzant

Дифференцирование — это алгебраический метод нахождения производной функции в любой точке. Производная это концепция, лежащая в основе исчисление. Есть два способа представить это понятие: геометрический путь (как наклон кривой) и физический путь (как скорость изменения).Склон кривой соответствует скорости изменения при просмотре реальных приложений. В любом случае наклон и мгновенная скорость изменения эквивалентны, и функция для нахождения обоих из них в любой точке называется производной.

Геометрическая концепция производной

Если вы когда-либо находили наклон линии на графике, это производная.Когда мы смотрим на кривые, а не на линейные графики, становится трудно найти наклон в каждой точке, потому что наклон постоянно меняется. Чтобы найти уклон, можно увеличить масштаб график в точке и найдите наклон в этой точке.

Чтобы найти уклон, можно использовать метод подъема над пробегом или формулу уклона:

Чтобы получить более приближенный наклон или производную, нужно сделать два x значения как можно ближе.Это утомительный процесс, когда вы хотите найти наклон для многих точек на графике. Вот где вступает в игру дифференциация. определение производной происходит от взятия предел формулы наклона по мере приближения двух точек функции и ближе.

Например, скажем, у нас есть точка P (x, f (x)) на кривой, и мы хотим найти наклон (или производная) в этой точке.Мы можем взять точку где-нибудь рядом с P на кривая, скажем, Q (x + h, f (x + h)) , где h — небольшое значение. Теперь мы можем подставить эти значения в формулу наклона:

Решение этой проблемы даст нам приблизительное значение наклона, но все равно не будет. получите точное значение. Мы хотим, чтобы h было как можно меньше, чтобы можно было получить наклон в точке P, поэтому мы позволяем h стремиться к 0.

Определение предела для производной

Это наклон касательной или производной в точке P. Это дает нам мгновенная скорость изменения y по отношению к x.

Приведем пример. Рассмотрим функцию:

Затем мы заменяем x + h на x

Взяв лимит, получим

Теперь упрощаем

Выносим за скобки h

Мы видим, что когда h переходит в 0, у нас остается 6x + 2.

Это линейное выражение 6x + 2 является производной функции, и мы можем найти наклон касательной в любой точке кривой, подставив значение x координата.

На приведенном ниже графике исходная функция показана красным цветом, а производная — зеленым.

Обратите внимание, что когда наклон параболы отрицательный, функция производной ниже нуля, а когда наклон параболы положительный, функция производной.Когда парабола падает и наклон меняется с отрицательного на положительный, функция производной переходит от отрицательной к положительной. Мы можем видите, что при f (-1), f ‘(- 1) = -4, поэтому наклон при -1 равен -4. Аналогично, при f (0), f ‘(0) = 2, поэтому наклон при 0 равен 2.

Хотя мы видели форму производной с использованием предела, ее также можно обозначить как dy / dx, f ‘(x) или y’

Различные обозначения производной

d / dx означает, что мы берем производную по x.

f ‘(x) обозначает производную от f (x), а y’ обозначает производную из г.

Получение производной от многочленов

Найти производную для некоторых функций сложнее, чем для других, и может быть утомительно. процесс при использовании формулы наклона. К счастью, есть более простой способ получить производная от многочлены без использования пределов.Ньютон и Лейбниц открыли простой способ найти производную от более сложных функций, который занимает всего несколько шагов. Давайте посмотрите на пример:

Первый шаг к нахождению производной — взять любой показатель в функции и опустите его, умножив на коэффициент.

Мы опускаем 2 сверху и умножаем на 2 перед x.Потом, мы уменьшаем показатель степени на 1. Конечная производная этого члена равна 2 * (2) x ¹, или 4x .

Предполагается, что для второго члена показатель степени равен 1, поэтому мы уменьшаем его и умножаем это на коэффициент перед x. Затем мы уменьшаем показатель степени на 1, делая it 0. Конечная производная этого члена равна 1 * (- 5) x ⁰ . Обратите внимание, что любое число поднято в 0-й степени равно 1, поэтому наш упрощенный ответ: 1 * (- 5) * 1, или -5 .

Третий член исключен, потому что у него нет x, что означает, что это постоянный. Причина этого в том, что число 3 можно записать как 3x ⁰ и когда опускается 0, весь член становится 0 . Теперь у нас осталось упрощенное производная:

Обратите внимание, что производная линейна, а исходная функция квадратична.В производная всегда будет на один градус меньше исходной функции. Вот общее правило взятия производной всех членов многочлена, где c является константа:

Это обычно называется правилом силы (см. Доказательство правила силы).

Давайте сделаем еще один графический пример

Дифференцируемый и недифференцируемый

Теперь вы должны быть осторожны при поиске производной, потому что не каждая функция есть один.Большинство функций дифференцируемы, что означает, что существует производная. в каждой точке функции. Однако некоторые функции нельзя полностью дифференцировать.

Найдем производную следующей функции при x = 0.

Предел, когда h приближается к 0 слева, отличается от того, когда h приближается к 0 справа.Это эквивалентно произнесению производной (или наклона) слева равно -1, тогда как производная правой части равна 1. Каков наклон, где они встретиться у истока?

Глядя на график, мы видим, что в начале координат нет определенного наклона потому что есть несколько касательных, поэтому в этой точке нет производной. Следовательно, функция не имеет производной при x = 0, поэтому она дифференцируема. везде, кроме x = 0.

Следует отметить, что для того, чтобы функция была дифференцируемой, она должна быть непрерывной.

Нахождение касательной

Ранее мы находили наклон касательной в точке с помощью предельное определение производной. Давайте сделаем пример нахождения касательной в заданной точке, используя мощность правило для многочленов.

Найдите уравнение касательной к график f (x) = x ² + 3x в точке (1,4).

Находим производную, используя степенное правило дифференцирования

Подставьте нашу координату x в производную, чтобы получить наклон

Теперь мы можем использовать форму наклона точки, чтобы найти уравнение касательной. (1,4) — это наша точка, а 5 — это наклон

Физическая концепция производной

Исаак Ньютон сосредоточился на физической концепции дифференциации применительно к механика и мгновенная скорость изменения.Что касается механики, то ставка изменения определяется как скорость или скорость, когда мы говорим о расстоянии, превышающем Период времени. Как и в случае с геометрическим подходом, визуализируйте, что вы путешествуете. из точки А в точку Б. Воспользуемся формулой наклона, чтобы найти среднюю скорость:

Теперь, если мы хотим найти мгновенную скорость, нам нужно, чтобы изменение во времени было становиться все меньше и меньше.Введем понятие предела как изменение во времени приближается к нулю. В итоге получается

Обратите внимание, что это то же самое, что и геометрическое определение производной, но с разными переменными. Физическое определение основано на геометрическом определение, и все правила деривативов применимы к обоим. Пока ты можешь найти скорости, взяв производную, вы также можете найти ускорение, взяв вторая производная, т.е.е. взяв производную от производной.

Сделаем пример.

Найдите скорость и ускорение частицы с заданными положение s (t) = t ³ — 2t ² — 4t + 5 при t = 2 где t измеряется в секундах, а s измеряется в футах.

Скорость определяется как производная от положения.

В 2 секунды скорость составляет 0 футов в секунду.

Ускорение определяется путем взятия производной функции скорости или второй производной положения.

За 2 секунды ускорение составляет 8 футов в секунду в квадрате.

Давайте проанализируем график с физической точки зрения. Черная кривая позиция объекта. Обратите внимание, что когда кривая имеет горб, функция скорости достигает 0. Представьте объект, который проходит определенное расстояние в прямая линия, а затем возвращается — объект не может развернуться без скорости, равной 0. То же самое и для ускорения. поскольку это относится к функции скорости.Также, когда ускорение 0 график функции положения выглядит как прямая линия вокруг этот момент. Это потому, что, когда ускорение равно 0, скорость объект остается прежним, поэтому уклон будет постоянный.

Сводка дифференциации

Мы должны понять

Определение производной как предела, когда две точки функции становятся бесконечно близкими
взаимосвязь между дифференцируемостью и непрерывностью
как производные финансовые инструменты представлены графически, численно и аналитически
, как они интерпретируются как мгновенная скорость изменения.

Таким образом, производная — это в основном наклон или мгновенная скорость изменения касательной линии. в любой точке кривой. Когда вы берете производную функции, вы получаете с другой функцией, которая обеспечивает наклон исходной функции. Производная функции должна иметь одинаковый предел слева направо, чтобы она была дифференцируемой. в таком случае. Производная также может сказать нам скорость изменения одной величины по сравнению с другим, если смотреть на ситуации в реальном мире.Если мы знаем, на каком расстоянии автомобиль путешествовал во времени, производная может сказать нам его скорость и ускорение в любой момент времени.

4.6 Производные по направлению и градиент — том 3 исчисления

Цели обучения

4.6.1 Определите производную по направлению в заданном направлении для функции двух переменных.
4.6.2 Определите вектор градиента заданной действительной функции.
4.6.3. Объясните значение вектора градиента по отношению к направлению изменения поверхности.
4.6.4 Используйте градиент, чтобы найти касательную к кривой уровня заданной функции.
4.6.5 Вычисление производных по направлению и градиентов в трех измерениях.

В частных производных мы ввели частную производную. Функция z = f (x, y) z = f (x, y) имеет две частные производные: ∂z / ∂x∂z / ∂x и ∂z / ∂y.∂z / ∂y. Эти производные соответствуют каждой из независимых переменных и могут интерпретироваться как мгновенные скорости изменения (то есть как наклон касательной линии).Например, ∂z / ∂x∂z / ∂x представляет собой наклон касательной, проходящей через заданную точку на поверхности, определяемую формулами z = f (x, y), z = f (x, y), при условии, что касательная параллельна оси x . Точно так же ∂z / ∂y∂z / ∂y представляет собой наклон касательной, параллельной оси y. Оси y. Теперь мы рассматриваем возможность касательной, параллельной ни одной оси.

Направленные производные

Начнем с графика поверхности, определяемой уравнением z = f (x, y) .z = f (x, y).Учитывая точку (a, b) (a, b) в области определения f, f, мы выбираем направление движения от этой точки. Мы измеряем направление, используя угол θ, θ, который измеряется против часовой стрелки в плоскости x , y , начиная с нуля от положительной оси x (рисунок 4.39). Расстояние, которое мы проходим, равно hh, а направление, в котором мы движемся, задается единичным вектором u = (cosθ) i + (sinθ) j.u = (cosθ) i + (sinθ) j. Следовательно, координата z второй точки на графике задается формулой z = f (a + hcosθ, b + hsinθ).z = f (a + hcosθ, b + hsinθ).

Мы можем вычислить наклон секущей линии, разделив разницу в z-значениях z-значений на длину отрезка, соединяющего две точки в домене. Длина отрезка h.h. Следовательно, наклон секущей

Чтобы найти наклон касательной в том же направлении, мы берем предел, когда hh приближается к нулю.

Определение

Предположим, что z = f (x, y) z = f (x, y) является функцией двух переменных с областью определения D.D. Пусть (a, b) ∈D (a, b) ∈D и положим u = cosθi + sinθj.u = cosθi + sinθj. Тогда производная ff по направлению в направлении uu равна

4,36

при наличии ограничения.

Уравнение 4.36 дает формальное определение производной по направлению, которое может использоваться во многих случаях для вычисления производной по направлению.

Пример 4.31

Нахождение производной по направлению от определения

Пусть θ = arccos (3/5) .θ = arccos (3/5). Найти производную по направлению Duf (x, y) Duf (x, y) функции f (x, y) = x2 − xy + 3y2f (x, y) = x2 − xy + 3y2 в направлении u = (cosθ) i + (sinθ) ju = (cosθ) i + (sinθ) j. Что такое Duf (−1,2)? Duf (−1,2)?

Решение

Прежде всего, поскольку cosθ = 3/5 cosθ = 3/5 и θθ является острым, это означает

Используя f (x, y) = x2 − xy + 3y2, f (x, y) = x2 − xy + 3y2, мы сначала вычисляем f (x + hcosθ, y + hsinθ): f (x + hcosθ, y + hsinθ):

Подставляем это выражение в уравнение 4.36:

Чтобы вычислить Duf (−1,2), Duf (−1,2), мы подставляем x = −1x = −1 и y = 2y = 2 в этот ответ:

(См. Следующий рисунок.)

Другой подход к вычислению производной по направлению включает частные производные, как указано в следующей теореме.

Теорема 4.12

Направленная производная функции двух переменных

Пусть z = f (x, y) z = f (x, y) — функция двух переменных xandy, xandy, и предположим, что fxfx и fyfy существуют.Тогда производная ff по направлению u = cosθi + sinθju = cosθi + sinθj равна

4,37

Проба

Уравнение 4.36 утверждает, что производная по направлению f в направлении u = cosθi + sinθju = cosθi + sinθj равна

Пусть x = a + tcosθx = a + tcosθ и y = b + tsinθ, y = b + tsinθ, и определим g (t) = f (x, y).g (t) = f (x, y). Так как fxfx и fyfy существуют и, следовательно, ff дифференцируема, мы можем использовать цепное правило для функций двух переменных для вычисления g ′ (t): g ′ (t):

Если t = 0, t = 0, то x = x0 (= a) x = x0 (= a) и y = y0 (= b), y = y0 (= b), поэтому

По определению g ′ (t), g ′ (t) также верно, что

Следовательно, Duf (x0, y0) = fx (x, y) cosθ + fy (x, y) sinθ. Duf (x0, y0) = fx (x, y) cosθ + fy (x, y) sinθ.

□

Пример 4.32

Нахождение производной по направлению: альтернативный метод

Решение

Сначала мы должны вычислить частные производные от f: f:

Затем мы используем уравнение 4.37 с θ = arccos (3/5): θ = arccos (3/5):

Чтобы вычислить Duf (−1,2), Duf (−1,2), пусть x = −1x = −1 и y = 2: y = 2:

Это тот же ответ, что и в примере 4.31.

КПП 4.28

Найти производную по направлению Duf (x, y) Duf (x, y) функции f (x, y) = 3x2y − 4xy3 + 3y2−4xf (x, y) = 3x2y − 4xy3 + 3y2−4x в направлении u. = (cosπ3) i + (sinπ3) ju = (cosπ3) i + (sinπ3) j с использованием уравнения 4.37. Что такое Дюф (3,4)? Дюф (3,4)?

Если вектор, заданный для направления производной, не является единичным вектором, то необходимо только разделить его на норму вектора. Например, если мы хотим найти производную по направлению функции из примера 4.32 в направлении вектора 〈−5,12〉, 〈- 5,12〉, мы сначала разделим его на величину, чтобы получить u.u. Это дает нам u = 〈- (5/13), 12/13〉 .u = 〈- (5/13), 12/13〉. Тогда

Градиент

Правая часть уравнения 4.37 равна fx (x, y) cosθ + fy (x, y) sinθ, fx (x, y) cosθ + fy (x, y) sinθ, что можно записать как скалярное произведение двух векторов. Определим первый вектор как ∇f (x, y) = fx (x, y) i + fy (x, y) j∇f (x, y) = fx (x, y) i + fy (x, y) j, а второй вектор как u = (cosθ) i + (sinθ) ju = (cosθ) i + (sinθ) j. Тогда правую часть уравнения можно записать как скалярное произведение этих двух векторов:

4.38

Первый вектор в уравнении 4.38 имеет особое имя: градиент функции f.f. Символ ∇∇ называется набла , а вектор ∇f∇f читается как «delf». «Delf».

Определение

Пусть z = f (x, y) z = f (x, y) — функция от xandyxandy такая, что существуют fxfx и fyfy. Вектор ∇f (x, y) ∇f (x, y) называется градиентом ff и определяется как

4,39

Вектор ∇f (x, y) ∇f (x, y) также записывается как «gradf.«Градф.»

Пример 4.33

Поиск градиентов

Найдите градиент ∇f (x, y) ∇f (x, y) каждой из следующих функций:

f (x, y) = x2 − xy + 3y2f (x, y) = x2 − xy + 3y2
f (x, y) = sin3xcos3yf (x, y) = sin3xcos3y

Решение

Для обеих частей а. и b., мы сначала вычисляем частные производные fxfx и fy, fy, а затем используем уравнение 4.39.

fx (x, y) = 2x − yandfy (x, y) = — x + 6y, поэтому f (x, y) = fx (x, y) i + fy (x, y) j = ( 2x − y) i + (- x + 6y) j.fx (x, y) = 2x − yandfy (x, y) = — x + 6y, поэтому f (x, y) = fx (x, y) i + fy (x, y) j = (2x − y ) я + (- х + 6у) j.
fx (x, y) = 3cos3xcos3yandfy (x, y) = — 3sin3xsin3y, поэтому ∇f (x, y) = fx (x, y) i + fy (x, y) j = (3cos3xcos3y) i− ( 3sin3xsin3y) j.fx (x, y) = 3cos3xcos3yandfy (x, y) = — 3sin3xsin3y, поэтому ∇f (x, y) = fx (x, y) i + fy (x, y) j = (3cos3xcos3y) i — (3sin3xsin3y) j.

Контрольно-пропускной пункт 4.29

Найдите градиент ∇f (x, y) ∇f (x, y) функции f (x, y) = (x2−3y2) / (2x + y). F (x, y) = (x2−3y2) / (2х + у).

У градиента есть несколько важных свойств. Мы уже видели одну формулу, в которой используется градиент: формулу производной по направлению.Напомним из «Точечного произведения», что если угол между двумя векторами aa и bb равен φ, φ, то a · b = ‖a‖‖b‖cosφ.a · b = ‖a‖‖b‖cosφ. Следовательно, если угол между ∇f (x0, y0) ∇f (x0, y0) и u = (cosθ) i + (sinθ) ju = (cosθ) i + (sinθ) j равен φ, φ, то имеем

u‖‖u‖ исчезает, потому что uu — единичный вектор. Следовательно, производная по направлению равна величине градиента, вычисленной в (x0, y0) (x0, y0), умноженной на cosφ.cosφ. Напомним, что cosφcosφ находится в диапазоне от −1−1 до 1,1. Если φ = 0, φ = 0, то cosφ = 1 cosφ = 1 и ∇f (x0, y0) ∇f (x0, y0) и uu оба указывают в одном направлении. Если φ = π, φ = π, то cosφ = −1 cosφ = −1 и ∇f (x0, y0) ∇f (x0, y0) и uu направлены в противоположные стороны. В первом случае значение Duf (x0, y0) Duf (x0, y0) максимизируется; во втором случае значение Duf (x0, y0) Duf (x0, y0) минимизируется. Если ∇f (x0, y0) = 0, ∇f (x0, y0) = 0, то Duf (x0, y0) = ∇f (x0, y0) · u = 0 Duf (x0, y0) = ∇f (x0 , y0) · u = 0 для любого вектора uu Эти три случая описаны в следующей теореме.

Теорема 4.13

Свойства градиента

Предположим, что функция z = f (x, y) z = f (x, y) дифференцируема в точке (x0, y0) (x0, y0) (рисунок 4.41).

Если ∇f (x0, y0) = 0, ∇f (x0, y0) = 0, то Duf (x0, y0) = 0Duf (x0, y0) = 0 для любого единичного вектора u.u.
Если ∇f (x0, y0) ≠ 0, ∇f (x0, y0) ≠ 0, то Duf (x0, y0) Duf (x0, y0) максимизируется, когда uu указывает в том же направлении, что и ∇f (x0, y0) .∇f (x0, y0). Максимальное значение Duf (x0, y0) Duf (x0, y0) равно ‖∇f (x0, y0) ‖.‖∇f (x0, y0) ‖.
Если ∇f (x0, y0) ≠ 0, ∇f (x0, y0) ≠ 0, то Duf (x0, y0) Duf (x0, y0) минимизируется, когда uu указывает в направлении, противоположном ∇f (x0, y0).∇f (x0, y0). Минимальное значение Duf (x0, y0) Duf (x0, y0) равно −‖∇f (x0, y0) ‖. − ‖∇f (x0, y0) ‖.

Рис. 4.41. Градиент показывает максимальное и минимальное значения производной по направлению в точке.

Пример 4.34

Нахождение максимальной производной по направлению

Найдите направление, для которого производная по направлению f (x, y) = 3×2−4xy + 2y2f (x, y) = 3×2−4xy + 2y2 в точке (−2,3) (- 2,3) является максимальной. Какое максимальное значение?

Решение

Максимальное значение производной по направлению происходит, когда ∇f∇f и единичный вектор указывают в одном направлении.Поэтому начнем с вычисления ∇f (x, y): ∇f (x, y):

Затем мы оцениваем градиент в (−2,3): (- 2,3):

Нам нужно найти единичный вектор, который указывает в том же направлении, что и ∇f (−2,3), ∇f (−2,3), поэтому следующий шаг — разделить ∇f (−2,3) ∇f (−2,3) по своей величине, которая равна (−24) 2+ (20) 2 = 976 = 461.(−24) 2+ (20) 2 = 976 = 461. Следовательно,

Это единичный вектор, который указывает в том же направлении, что и ∇f (−2,3) .∇f (−2,3). Чтобы найти угол, соответствующий этому единичному вектору, мы решаем уравнения

для θ.θ. Поскольку косинус отрицательный, а синус положительный, угол должен находиться во втором квадранте. Следовательно, θ = π − arcsin ((561) / 61) ≈2,45рад.θ = π − arcsin ((561) / 61) ≈2,45рад.

Максимальное значение производной по направлению в точке (−2,3) (- 2,3) равно ‖∇f (−2,3) ‖ = 461‖∇f (−2,3) ‖ = 461 (см. Следующий фигура).

КПП 4.30

Найдите направление, для которого производная по направлению функции g (x, y) = 4x − xy + 2y2g (x, y) = 4x − xy + 2y2 в точке (−2,3) (- 2,3) является максимальной. Какое максимальное значение?

Рисунок 4.43 показывает часть графика функции f (x, y) = 3 + sinxsiny.f (x, y) = 3 + sinxsiny. Для данной точки (a, b) (a, b) в области определения f, f максимальное значение градиента в этой точке определяется выражением ‖∇f (a, b) ‖.‖∇f (a, b ) ‖. Это равняется скорости наибольшего подъема, если поверхность представляет собой топографическую карту. Если мы пойдем в обратном направлении, это будет самая большая скорость спуска.

При использовании топографической карты самый крутой уклон всегда находится в том направлении, где горизонтальные линии наиболее близки друг к другу (см. Рисунок 4.44). Это аналогично контурной карте функции, если предполагается, что кривые уровня получены для равноотстоящих значений во всем диапазоне этой функции.

Градиенты и кривые уровня

Напомним, что если кривая определяется параметрически парой функций (x (t), y (t)), (x (t), y (t)), то вектор x ′ (t) i + y ′ ( t) jx ′ (t) i + y ′ (t) j касается кривой для любого значения tt в области.Теперь предположим, что z = f (x, y) z = f (x, y) — дифференцируемая функция от xandy, xandy, и (x0, y0) (x0, y0) находится в ее области определения. Предположим далее, что x0 = x (t0) x0 = x (t0) и y0 = y (t0) y0 = y (t0) для некоторого значения t, t, и рассмотрим линию уровня f (x, y) = kf (х, у) = к. Определим g (t) = f (x (t), y (t)) g (t) = f (x (t), y (t)) и вычислим g ′ (t) g ′ (t) на уровне изгиб. По Правилу цепи,

Но g ′ (t) = 0g ′ (t) = 0, поскольку g (t) = kg (t) = k для всех t.т. Следовательно, с одной стороны,

с другой стороны,

Следовательно,

Таким образом, скалярное произведение этих векторов равно нулю, что означает, что они ортогональны. Однако второй вектор касается кривой уровня, что означает, что градиент должен быть нормальным к кривой уровня, что приводит к следующей теореме.

Теорема 4.14

Градиент нормален кривой уровня

Предположим, что функция z = f (x, y) z = f (x, y) имеет непрерывные частные производные первого порядка в открытом круге с центром в точке (x0 , y0). (x0, y0). Если ∇f (x0, y0) ≠ 0, ∇f (x0, y0) ≠ 0, то ∇f (x0, y0) ∇f (x0, y0) нормально к кривой уровня ff в точке (x0, y0) . (x0, y0).

Мы можем использовать эту теорему, чтобы найти касательные и нормальные векторы к линиям уровня функции.

Пример 4.35

Поиск касательных к кривым уровня

Для функции f (x, y) = 2×2−3xy + 8y2 + 2x − 4y + 4, f (x, y) = 2×2−3xy + 8y2 + 2x − 4y + 4 найти касательный вектор к кривой уровня в точке (−2,1).(−2,1). Постройте линию уровня, соответствующую f (x, y) = 18f (x, y) = 18, и нарисуйте ∇f (−2,1) ∇f (−2,1) и касательный вектор.

Решение

Сначала мы должны вычислить ∇f (x, y): ∇f (x, y):

Затем мы вычисляем ∇f (x, y) ∇f (x, y) в (−2,1): (- 2,1):

Этот вектор ортогонален кривой в точке (−2,1). (- 2,1). Мы можем получить касательный вектор, перевернув компоненты и умножив любую из них на −1. − 1. Таким образом, например, −18i − 9j − 18i − 9j — касательный вектор (см. Следующий график).

Рис. 4.45. Повернутый эллипс с уравнением f (x, y) = 18. В точке (–2, 1) на эллипсе нарисованы две стрелки, один касательный вектор и один нормальный вектор. Вектор нормали обозначен как ∇f (–2, 1) и перпендикулярен касательному вектору.

КПП 4.31

Для функции f (x, y) = x2−2xy + 5y2 + 3x − 2y + 4, f (x, y) = x2−2xy + 5y2 + 3x − 2y + 4 найти касательную к кривой уровня в точке точка (1,1). (1,1). Нарисуйте график линии уровня, соответствующий f (x, y) = 8f (x, y) = 8, и нарисуйте ∇f (1,1) ∇f (1,1) и касательный вектор.

Трехмерные градиенты и производные по направлениям

Определение градиента может быть расширено до функций более чем двух переменных.

Определение

Пусть w = f (x, y, z) w = f (x, y, z) — функция трех переменных, такая что существуют fx, fy и fzfx, fy и fz.Вектор ∇f (x, y, z) ∇f (x, y, z) называется градиентом ff и определяется как

4,40

∇f (x, y, z) ∇f (x, y, z) можно также записать как gradf (x, y, z) .gradf (x, y, z).

Вычисление градиента функции от трех переменных очень похоже на вычисление градиента функции от двух переменных. Сначала мы вычисляем частные производные fx, fy, fx, fy и fz, fz, а затем используем уравнение 4.40.

Пример 4.36

Поиск градиентов в трех измерениях

Найдите градиент ∇f (x, y, z) ∇f (x, y, z) каждой из следующих функций:

f (x, y, z) = 5×2−2xy + y2−4yz + z2 + 3xzf (x, y, z) = 5×2−2xy + y2−4yz + z2 + 3xz
f (x, y, z) = e − 2zsin2xcos2yf (x, y, z) = e − 2zsin2xcos2y

Решение

Для обеих частей а. и b., мы сначала вычисляем частные производные fx, fy, fx, fy и fz, fz, а затем используем уравнение 4.40.

fx (x, y, z) = 10x − 2y + 3z, fy (x, y, z) = — 2x + 2y − 4zandfz (x, y, z) = 3x − 4y + 2z, поэтому ∇f (x, y, z) = fx (x, y, z) i + fy (x, y, z) j + fz (x, y, z) k = (10x − 2y + 3z) i + (- 2x + 2y − 4z) j + (- 4x + 3y + 2z) k.fx (x, y, z) = 10x − 2y + 3z, fy (x, y, z) = — 2x + 2y − 4zandfz (x, y, z) = 3x − 4y + 2z, поэтому f (x, y, z) = fx (x, y, z) i + fy (x, y, z) j + fz (x, y, z) k = (10x − 2y + 3z) i + (- 2x + 2y − 4z ) j + (- 4x + 3y + 2z) к.
fx (x, y, z) = — 2e − 2zcos2xcos2y, fy (x, y, z) = — 2e − 2zsin2xsin2yandfz (x, y, z) = — 2e − 2zsin2xcos2y, so∇f (x, y, z) = fx (x, y, z) i + fy (x, y, z) j + fz (x, y, z) k = (2e − 2zcos2xcos2y) i + (- 2e − 2z) j + (- 2e− 2z) = 2e − 2z (cos2xcos2yi − sin2xsin2yj − sin2xcos2yk) .fx (x, y, z) = — 2e − 2zcos2xcos2y, fy (x, y, z) = — 2e − 2zsin2xsin2yandfz (x, y, z) = — 2e − 2zsin2xcos2y, так что f (x, y, z) = fx (x, y, z) i + fy (x, y, z) j + fz (x, y, z) k = (2e − 2zcos2xcos2y) i + (- 2e − 2z) j + (- 2e − 2z) = 2e − 2z (cos2xcos2yi − sin2xsin2yj − sin2xcos2yk).

КПП 4.32

Найдите градиент ∇f (x, y, z) ∇f (x, y, z) функции f (x, y, z) = x2−3y2 + z22x + y − 4z.f (x, y, z). = x2−3y2 + z22x + y − 4z.

Производная по направлению также может быть обобщена на функции трех переменных. Чтобы определить направление в трех измерениях, необходим вектор с тремя компонентами. Этот вектор является единичным вектором, и компоненты единичного вектора называются направленными косинусами . Учитывая трехмерный единичный вектор uu в стандартной форме (т.е., начальная точка находится в начале координат), этот вектор образует три разных угла с положительными осями x−, y−, x−, y− и z- . Назовем эти углы α, β, α, β и γ.γ. Тогда направленные косинусы задаются как cosα, cosβ, cosα, cosβ и cosγ.cosγ. Это компоненты единичного вектора u; u; поскольку uu — единичный вектор, верно, что cos2α + cos2β + cos2γ = 1. cos2α + cos2β + cos2γ = 1.

Определение

Предположим, что w = f (x, y, z) w = f (x, y, z) является функцией трех переменных с областью определения D.D. Пусть (x0, y0, z0) ∈D (x0, y0, z0) ∈D и u = cosαi + cosβj + cosγku = cosαi + cosβj + cosγk — единичный вектор. Тогда производная ff по направлению в направлении uu равна

4.41

при условии, что предел существует.

Мы можем вычислить производную по направлению функции трех переменных с помощью градиента, что приведет к формуле, аналогичной уравнению 4.38.

Теорема 4.15

Направленная производная функции трех переменных

Пусть f (x, y, z) f (x, y, z) — дифференцируемая функция трех переменных, и пусть u = cosαi + cosβj + cosγku = cosαi + cosβj + cosγk — единичный вектор. Тогда производная ff по направлению в направлении uu равна

4,42

Три угла α, β и γα, β и γ определяют единичный вектор u.u. На практике мы можем использовать произвольный (неединичный) вектор, а затем разделить его на его величину, чтобы получить единичный вектор в желаемом направлении.

Пример 4.37

Нахождение производной по направлению в трех измерениях

Вычислить Duf (1, −2,3) Duf (1, −2,3) в направлении v = −i + 2j + 2kv = −i + 2j + 2k для функции

Решение

Сначала мы находим величину v: v:

Следовательно, v‖v‖ = −i + 2j + 2k3 = −13i + 23j + 23kv‖v‖ = −i + 2j + 2k3 = −13i + 23j + 23k — единичный вектор в направлении v, v, поэтому cosα = −13, cosβ = 23 и cosγ = 23. cosα = −13, cosβ = 23 и cosγ = 23. Затем мы вычисляем частные производные от f: f:

, затем подставьте их в уравнение 4.42:

Наконец, чтобы найти Duf (1, −2,3), Duf (1, −2,3), мы подставляем x = 1, y = −2 и z = 3: x = 1, y = −2 и z = 3:

КПП 4.33

Вычислить Duf (x, y, z) Duf (x, y, z) и Duf (0, −2,5) Duf (0, −2,5) в направлении v = −3i + 12j − 4kv = −3i + 12j − 4k для функции f (x, y, z) = 3×2 + xy − 2y2 + 4yz − z2 + 2xz.f (x, y, z) = 3×2 + xy − 2y2 + 4yz − z2 + 2xz.

Раздел 4.6. Упражнения

Для следующих упражнений найдите производную по направлению, используя только определение предела.

f (x, y) = 5−2×2−12y2f (x, y) = 5−2×2−12y2 в точке P (3,4) P (3,4) в направлении u = (cosπ4) i + (sinπ4 ) ju = (cosπ4) i + (sinπ4) j

f (x, y) = y2cos (2x) f (x, y) = y2cos (2x) в точке P (π3,2) P (π3,2) в направлении u = (cosπ4) i + (sinπ4) ju = (cosπ4) i + (sinπ4) j

Найдите производную по направлению функции f (x, y) = y2sin (2x) f (x, y) = y2sin (2x) в точке P (π4,2) P (π4,2) в направлении u = 5i +. 12j.и = 5i + 12j.

Для следующих упражнений найдите производную функции по направлению в точке PP в направлении uu или vv, в зависимости от ситуации.

f (x, y) = xy, f (x, y) = xy, P (0, −2), P (0, −2), v = 12i + 32jv = 12i + 32j

h (x, y) = exsiny, P (1, π2), v = −ih (x, y) = exsiny, P (1, π2), v = −i

h (x, y, z) = xyz, P (2,1,1), v = 2i + j − kh (x, y, z) = xyz, P (2,1,1), v = 2i + j − k

f (x, y) = xy, P (1,1), u = 〈22,22〉 f (x, y) = xy, P (1,1), u = 〈22,22〉

f (x, y) = x2 − y2, u = 〈32,12〉, P (1,0) f (x, y) = x2 − y2, u = 〈32,12〉, P (1,0 )

f (x, y) = 3x + 4y + 7, u = 〈35,45〉, P (0, π2) f (x, y) = 3x + 4y + 7, u = 〈35,45〉, P (0, π2)

f (x, y) = excosy, u = 〈0,1〉, P = (0, π2) f (x, y) = excosy, u = 〈0,1〉, P = (0, π2)

f (x, y) = y10, u = 〈0, −1〉, P = (1, −1) f (x, y) = y10, u = 〈0, −1〉, P = (1, −1)

f (x, y) = ln (x2 + y2), u = 〈35,45〉, P (1,2) f (x, y) = ln (x2 + y2), u = 〈35,45〉. , П (1,2)

f (x, y) = x2y, P (−5,5), v = 3i − 4jf (x, y) = x2y, P (−5,5), v = 3i − 4j

f (x, y, z) = y2 + xz, P (1,2,2), v = 〈2, −1,2〉 f (x, y, z) = y2 + xz, P (1, 2,2), v = 〈2, −1,2〉

Для следующих упражнений найдите производную функции по направлению единичного вектора u = cosθi + sinθj.u = cosθi + sinθj.

f (x, y) = x2 + 2y2, θ = π6f (x, y) = x2 + 2y2, θ = π6

f (x, y) = yx + 2y, θ = −π4f (x, y) = yx + 2y, θ = −π4

f (x, y) = cos (3x + y), θ = π4f (x, y) = cos (3x + y), θ = π4

w (x, y) = yex, θ = π3w (x, y) = yex, θ = π3

f (x, y) = xarctan (y), θ = π2f (x, y) = xarctan (y), θ = π2

f (x, y) = ln (x + 2y), θ = π3f (x, y) = ln (x + 2y), θ = π3

Найдите градиент для следующих упражнений.

Найдите градиент f (x, y) = 14 − x2 − y23.е (х, у) = 14-х2-у23. Затем найдите градиент в точке P (1,2) .P (1,2).

Найдите градиент f (x, y, z) = xy + yz + xzf (x, y, z) = xy + yz + xz в точке P (1,2,3) .P (1,2,3 ).

Найдите градиент f (x, y, z) f (x, y, z) в точке PP и в направлении u: u: f (x, y, z) = ln (x2 + 2y2 + 3z2), P (2,1,4), u = −313i − 413j − 1213k.f (x, y, z) = ln (x2 + 2y2 + 3z2), P (2,1,4), u = −313i− 413j − 1213k.

f (x, y, z) = 4x5y2z3, P (2, −1,1), u = 13i + 23j − 23kf (x, y, z) = 4x5y2z3, P (2, −1,1), u = 13i + 23j − 23k

Для следующих упражнений найдите производную функции по направлению в точке PP в направлении Q.Q.

f (x, y) = x2 + 3y2, P (1,1), Q (4,5) f (x, y) = x2 + 3y2, P (1,1), Q (4,5)

f (x, y, z) = yx + z, P (2,1, −1), Q (−1,2,0) f (x, y, z) = yx + z, P (2, 1, −1), Q (−1,2,0)

Для следующих упражнений найдите производную функции в точке PP в направлении u.u.

f (x, y) = — 7x + 2y, P (2, −4), u = 4i − 3jf (x, y) = — 7x + 2y, P (2, −4), u = 4i − 3j

f (x, y) = ln (5x + 4y), P (3,9), u = 6i + 8jf (x, y) = ln (5x + 4y), P (3,9), u = 6i + 8j

[T] Используйте технологию для построения кривой уровня f (x, y) = 4x − 2y + 3f (x, y) = 4x − 2y + 3, которая проходит через P (1,2) P (1, 2) и нарисуйте вектор градиента в точке P.С.

[T] Используйте технологию для построения кривой уровня f (x, y) = x2 + 4y2f (x, y) = x2 + 4y2, которая проходит через P (−2,0) P (−2,0) и нарисуйте вектор градиента в точке PP

Для следующих упражнений найдите вектор градиента в указанной точке.

f (x, y) = xy2 − yx2, P (−1,1) f (x, y) = xy2 − yx2, P (−1,1)

f (x, y) = xey − ln (x), P (−3,0) f (x, y) = xey − ln (x), P (−3,0)

f (x, y, z) = xy − ln (z), P (2, −2,2) f (x, y, z) = xy − ln (z), P (2, −2,2). )

f (x, y, z) = xy2 + z2, P (−2, −1, −1) f (x, y, z) = xy2 + z2, P (−2, −1, −1)

Для следующих упражнений найдите производную функции.

f (x, y) = x2 + xy + y2f (x, y) = x2 + xy + y2 в точке (−5, −4) (- 5, −4) в направлении наиболее быстрого роста функции

f (x, y) = exyf (x, y) = exy в точке (6,7) (6,7) в направлении наиболее быстрого роста функции

f (x, y) = arctan (yx) f (x, y) = arctan (yx) в точке (−9,9) (- 9,9) в направлении, в котором функция растет наиболее быстро

f (x, y, z) = ln (xy + yz + zx) f (x, y, z) = ln (xy + yz + zx) в точке (−9, −18, −27) (- 9 , −18, −27) в направлении наиболее быстрого роста функции

f (x, y, z) = xy + yz + zxf (x, y, z) = xy + yz + zx в точке (5, −5,5) (5, −5,5) в направлении функция увеличивается наиболее быстро

Для следующих упражнений найдите максимальную скорость изменения ff в данной точке и направление, в котором это происходит.

f (x, y) = xe − y, f (x, y) = xe − y, (1,0) (1,0)

е (х, у) = х2 + 2у, е (х, у) = х2 + 2у, (4,10) (4,10)

f (x, y) = cos (3x + 2y), (π6, −π8) f (x, y) = cos (3x + 2y), (π6, −π8)

Для следующих упражнений найдите уравнения

касательная плоскость и
нормальная линия к данной поверхности в данной точке.

Поверхность уровня f (x, y, z) = 12f (x, y, z) = 12 для f (x, y, z) = 4×2−2y2 + z2f (x, y, z) = 4×2−2y2 + z2 в точке (2,2,2). (2,2,2).

f (x, y, z) = xy + yz + xz = 3f (x, y, z) = xy + yz + xz = 3 в точке (1,1,1) (1,1,1)

f (x, y, z) = xyz = 6f (x, y, z) = xyz = 6 в точке (1,2,3) (1,2,3)

f (x, y, z) = xeycosz − z = 1f (x, y, z) = xeycosz − z = 1 в точке (1,0,0) (1,0,0)

Для решения проблемы выполните следующие упражнения.

Температура TT в металлической сфере обратно пропорциональна расстоянию от центра сферы (начало координат: (0,0,0)). (0,0,0)). Температура в точке (1,2,2) (1,2,2) составляет 120 ° C 120 ° C.

Найдите скорость изменения температуры в точке (1,2,2) (1,2,2) по направлению к точке (2,1,3). (2,1,3).
Покажите, что в любой точке сферы направление наибольшего повышения температуры задается вектором, указывающим на начало координат.

Электрический потенциал (напряжение) в определенной области пространства задается функцией V (x, y, z) = 5×2−3xy + xyz.V (x, y, z) = 5×2−3xy + xyz.

Найдите скорость изменения напряжения в точке (3,4,5) (3,4,5) в направлении вектора 〈1,1, −1〉. 〈1,1, −1〉.
В каком направлении напряжение изменяется наиболее быстро в точке (3,4,5)? (3,4,5)?
Какова максимальная скорость изменения напряжения в точке (3,4,5)? (3,4,5)?

Если электрический потенциал в точке (x, y) (x, y) на плоскости xy равен V (x, y) = e − 2xcos (2y), V (x, y) = e − 2xcos (2y), то вектор электрической напряженности в точке (x, y) (x, y) равен E = −∇V (x, y) .E = −∇V (x, y).

Найдите вектор напряженности электрического поля в точке (π4,0). (Π4,0).
Покажите, что в каждой точке плоскости электрический потенциал уменьшается наиболее быстро в направлении вектора E.E.

В двух измерениях движение идеальной жидкости определяется потенциалом скорости φ.φ. Компоненты скорости жидкости uu в направлении x- и vv в направлении y задаются выражением 〈u, v〉 = ∇φ. 〈U, v〉 = ∇φ. Найдите компоненты скорости, связанные с потенциалом скорости φ (x, y) = sinπxsin2πy.φ (x, y) = sinπxsin2πy.

Исчисление I — Определение производной

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-1: Определение производного инструмента

В первом разделе главы «Пределы» мы увидели, что вычисление наклона касательной, мгновенной скорости изменения функции и мгновенной скорости объекта в \ (x = a \) требует от нас вычислить следующий предел.

Мы также видели, что с небольшим изменением обозначений этот предел можно также записать как,

Это такой важный предел, и он возникает во многих местах, поэтому мы даем ему название. Мы называем это производной . Вот официальное определение производной.

Определение производного инструмента

Производная от \ (f \ left (x \ right) \) относительно x является функцией \ (f ‘\ left (x \ right) \) и определяется как, \ [\ begin {уравнение} f ‘\ left (x \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) — f \ left (x \ right)}} {h} \ label {eq: eq2} \ end {уравнение} \]

Обратите внимание, что мы заменили все a в \ (\ eqref {eq: eq1} \) на x , чтобы признать тот факт, что производная на самом деле также является функцией. 2} — 16x + 35} \ right)}} {h} \ end {align *} \]

Будьте осторожны и убедитесь, что вы правильно используете скобки при вычитании.2} — 16h}} {h} \ end {align *} \]

Обратите внимание, что каждый член в числителе, в котором не было h , был сокращен, и теперь мы можем вынести h из числителя, которое сократится против h в знаменателе. После этого мы можем вычислить предел.

Итак, производная:

Этот будет немного запутаннее в плане алгебры. Однако в остальном он будет работать точно так же, как и в предыдущих примерах. Сначала мы подставляем функцию в определение производной,

Обратите внимание, что мы изменили все буквы в определении, чтобы они соответствовали данной функции.Также обратите внимание, что мы написали дробь гораздо более компактно, чтобы помочь нам в работе.

Как и в случае с первой проблемой, мы не можем просто подключить \ (h = 0 \). Итак, нам нужно будет немного упростить. В этом случае нам нужно будет объединить два члена числителя в одно рациональное выражение следующим образом.

Прежде чем закончить, отметим пару вещей. 2}}} \] Пример 3 Найдите производную следующей функции, используя определение производной.\ [R \ left (z \ right) = \ sqrt {5z — 8} \] Показать решение

Сначала подключитесь к определению производной, как мы делали с предыдущими двумя примерами.

В этой задаче нам нужно рационализировать числитель.Вы ведь помните рационализацию из класса алгебры? На уроках алгебры вы, вероятно, только рационализировали знаменатель, но вы также можете рационализировать числители. Помните, что при рационализации числителя (в данном случае) мы умножаем числитель и знаменатель на числитель, за исключением того, что мы меняем знак между двумя членами. Вот рационализация этой проблемы,

Опять же, после упрощения в числителе осталось только h .Итак, отмените h и оцените лимит.

Итак, мы получаем производную от

Давайте поработаем еще один пример.Этот будет немного другим, но нужно сказать о нем.

Поскольку эта проблема запрашивает производную в определенный момент, мы продолжим и будем использовать ее в своей работе. Это сделает нашу жизнь проще, и это всегда хорошо.

Итак, включите определение и упростите.

Мы видели подобную ситуацию, когда смотрели на пределы бесконечности.+}} 1 \\ & = 1 \ end {выровнять *} \]

Два односторонних ограничения различны, поэтому

не существует. Однако это предел, который дает нам производную, которую мы ищем.

Если предела не существует, значит, не существует и производной.

В этом примере мы наконец увидели функцию, для которой не существует производной в точке.Это жизненный факт, о котором мы должны знать. Деривативы будут существовать не всегда. Также обратите внимание, что это ничего не говорит о том, существует ли производная где-либо еще. Фактически, производная функции абсолютного значения существует в каждой точке, кроме той, которую мы только что рассмотрели, \ (x = 0 \).

Предыдущее обсуждение приводит к следующему определению.

Определение

Функция \ (f \ left (x \ right) \) называется дифференцируемой в точке \ (x = a \), если существует \ (f ‘\ left (a \ right) \) и \ (f \ left ( x \ right) \) называется дифференцируемой на интервале, если производная существует для каждой точки этого интервала.

Следующая теорема показывает нам очень хорошее соотношение между непрерывными и дифференцируемыми функциями.

Теорема

Если \ (f \ left (x \ right) \) дифференцируем в \ (x = a \), то \ (f \ left (x \ right) \) непрерывно в \ (x = a \).

Обратите внимание, что эта теорема не работает в обратном направлении. Рассмотрим \ (f \ left (x \ right) = \ left | x \ right | \) и взглянем на,

Итак, \ (f \ left (x \ right) = \ left | x \ right | \) непрерывно в \ (x = 0 \), но мы только что показали выше в примере 4, что \ (f \ left ( x \ right) = \ left | x \ right | \) не дифференцируем в \ (x = 0 \).

Альтернативное обозначение

Далее нам нужно обсудить некоторые альтернативные обозначения производной. Типичное обозначение производной — это «простое» обозначение. Однако иногда используются и другие обозначения, поэтому давайте остановимся на этом.

Для функции \ (y = f \ left (x \ right) \) все нижеследующие эквивалентны и представляют собой производную от \ (f \ left (x \ right) \) по отношению к x .

Поскольку нам также необходимо иногда оценивать производные, нам также нужна запись для оценки производных при использовании дробной записи.Итак, если мы хотим оценить производную в \ (x = a \), все следующие утверждения эквивалентны.

Также обратите внимание, что иногда мы опускаем часть \ (\ left (x \ right) \) в функции, чтобы несколько упростить обозначения. В этих случаях следующие варианты эквивалентны.

В заключение в этом разделе мы признаем, что вычисление большинства производных прямо из определения — довольно сложный (а иногда и болезненный) процесс, полный возможностей для ошибок.В нескольких разделах мы начнем разрабатывать формулы и / или свойства, которые помогут нам взять производную от многих общих функций, чтобы нам не приходилось слишком часто прибегать к определению производной.

Однако это не означает, что не важно знать определение производной! Это важное определение, которое мы всегда должны знать и помнить. Это просто то, с чем мы не собираемся так много работать.