Запишите число 128 в пятеричной системе счисления: Введите ответ в поле ввода

1. Порядковый счет в различных системах счисления.

В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о них, опуская термин «позиционные».

Для того чтобы научиться переводить числа из одной системы в другую, поймем, как происходит последовательная запись чисел на примере десятичной системы.

Поскольку у нас десятичная система счисления, мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел. Начинаем порядковый счет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры закончились. Мы увеличиваем разрядность числа и обнуляем младший разряд: 10. Затем опять увеличиваем младший разряд, пока не закончатся все цифры: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличиваем старший разряд на 1 и обнуляем младший: 20. Когда мы используем все цифры для обоих разрядов (получим число 99), опять увеличиваем разрядность числа и обнуляем имеющиеся разряды: 100. И так далее.

Попробуем сделать то же самое в 2-ной, 3-ной и 5-ной системах (введем обозначение для 2-ной системы, для 3-ной и т.д.):

Если система счисления имеет основание больше 10, то нам придется вводить дополнительные символы, принято вводить буквы латинского алфавита. Например, для 12-ричной системы кроме десяти цифр нам понадобятся две буквы ( и ):

2.Перевод из десятичной системы счисления в любую другую.

Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание, и дальше до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

Пример 1. Переведем десятичное число 46 в двоичную систему счисления.

Пример 2. Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления.

Пример 3. Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления.

3. Перевод из любой системы счисления в десятичную.

Для того, чтобы научиться переводить числа из любой другой системы в десятичную, проанализируем привычную нам запись десятичного числа.
Например, десятичное число 325 – это 5 единиц, 2 десятка и 3 сотни, т.е.

Точно так же обстоит дело и в других системах счисления, только умножать будем не на 10, 100 и пр., а на степени основания системы счисления. Для примера возьмем число 1201 в троичной системе счисления. Пронумеруем разряды справа налево начиная с нуля и представим наше число как сумму произведений цифры на тройку в степени разряда числа:

Это и есть десятичная запись нашего числа, т.е.

Пример 4. Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511.

Пример 5. Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151.

4. Перевод из двоичной системы в систему с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.).

Для преобразования двоичного числа в число с основанием «степень двойки» необходимо двоичную последовательность разбить на группы по количеству цифр равному степени справа налево и каждую группу заменить соответствующей цифрой новой системы счисления.

Например, Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную систему. Для этого разобьем его на группы по 3 символа начиная справа (т.к. ), а затем воспользуемся таблицей соответствия и заменим каждую группу на новую цифру:

Таблицу соответствия мы научились строить в п.1.

Т.е.

Пример 6. Переведем двоичное 1100001111010110 число в шестнадцатеричную систему.

5.Перевод из системы с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.) в двоичную.

Этот перевод аналогичен предыдущему, выполненному в обратную сторону: каждую цифру мы заменяем группой цифр в двоичной системе из таблицы соответствия.

Пример 7. Переведем шестнадцатеричное число С3A6 в двоичную систему счисления.

Для этого каждую цифру числа заменим группой из 4 цифр (т.к. ) из таблицы соответствия, дополнив при необходимости группу нулями вначале:

Задача №16. Разбор различных типов задач.

Перед тем, как приступить к решению задач, нам нужно понять несколько несложных моментов.

Рассмотрим десятичное число 875. Последняя цифра числа (5) – это остаток от деления числа 875 на 10. Последние две цифры образуют число 75 – это остаток от деления числа 875 на 100. Аналогичные утверждения справедливы для любой системы счисления:

Последняя цифра числа – это остаток от деления этого числа на основание системы счисления.

Последние две цифры числа – это остаток от деления числа на основание системы счисления в квадрате.

Например, . Разделим 23 на основание системы 3, получим 7 и 2 в остатке (2 – это последняя цифра числа в троичной системе). Разделим 23 на 9 (основание в квадрате), получим 18 и 5 в остатке (5 = ).

Вернемся опять к привычной десятичной системе. Число = 100000. Т.е. 10 в степени k– это единица и k нулей.

Аналогичное утверждение справедливо для любой системы счисления:

Основание системы счисления в степени k в этой системе счисления записывается как единица и k нулей.

Например, .

1. Поиск основания системы счисления

Пример 1.

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 27 записывается в виде 30. Укажите это основание.

Решение:

Обозначим искомое основание x. Тогда .Т.е. x = 9.

Ответ: 9

Пример 2.

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 13 записывается в виде 111. Укажите это основание.

Решение:

Обозначим искомое основание x. Тогда

Решаем квадратное уравнение, получаем корни 3 и -4. Поскольку основание системы счисления не может быть отрицательным, ответ 3.

Ответ: 3

Пример 3

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 29 оканчивается на 5.

Решение:

Если в некоторой системе число 29 оканчивается на 5, то уменьшенное на 5 число (29-5=24) оканчивается на 0. Ранее мы уже говорили, что число оканчивается на 0 в том случае, когда оно без остатка делится на основание системы. Т.е. нам нужно найти все такие числа, которые являются делителями числа 24. Эти числа: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Заметим, что в системах счисления с основанием 2, 3, 4 нет числа 5 (а в формулировке задачи число 29 оканчивается на 5), значит остаются системы с основаниями: 6, 8, 12,

Ответ: 6, 8, 12, 24

Пример 4

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 13.

Решение:

Если в некоторой системе число оканчивается на 13, то основание этой системы не меньше 4 (иначе там нет цифры 3).

Уменьшенное на 3 число (71-3=68) оканчивается на 10. Т.е. 68 нацело делится на искомое основание системы, а частное от этого при делении на основание системы дает в остатке 0.

Выпишем все целые делители числа 68: 2, 4, 17, 34, 68.

2 не подходит, т.к. основание не меньше 4. Остальные делители проверим:

68:4 = 17; 17:4 = 4 (ост 1) – подходит

68:17 = 4; 4:17 = 0 (ост 4) – не подходит

68:34 = 2; 2:17 = 0 (ост 2) – не подходит

68:68 = 1; 1:68 = 0 (ост 1) – подходит

Ответ: 4, 68

2. Поиск чисел по условиям

Пример 5

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?

Решение:

Для начала выясним, как выглядит число 25 в системе счисления с основанием 4.

. Т.е. нам нужно найти все числа, не больше , запись которых оканчивается на 11. По правилу последовательного счета в системе с основанием 4,
получаем числа и . Переводим их в десятичную систему счисления:

Ответ: 5, 21

3. Решение уравнений

Пример 6

Решите уравнение:

Ответ запишите в троичной системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно).

Решение:

Переведем все числа в десятичную систему счисления:

Квадратное уравнение имеет корни -8 и 6. (т.к. основание системы не может быть отрицательным). .

Ответ: 20

4. Подсчет количества единиц (нулей) в двоичной записи значения выражения

Для решения этого типа задач нам нужно вспомнить, как происходит сложение и вычитание «в столбик»:

При сложении происходит поразрядное суммирование записанных друг под другом цифр, начиная с младших разрядов. В случае, если полученная сумма двух цифр больше или равна основанию системы счисления, под суммируемыми цифрами записывается остаток от деления этой суммы на основание системы, а целая часть от деления этой суммы на основание системы прибавляется к сумме следующих разрядов.

При вычитании происходит поразрядное вычитание записанных друг под другом цифр, начиная с младших разрядов. В случае, если первая цифра меньше второй, мы «занимаем» у соседнего (большего) разряда единицу. Занимаемая единица в текущем разряде равна основанию системы счисления. В десятичной системе это 10, в двоичной 2, в троичной 3 и т.д.

Пример 7

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: ?

Решение:

Представим все числа выражения, как степени двойки:

В двоичной записи двойка в степени n выглядит, как 1 и n нулей. Тогда суммируя и , получим число, содержащее 2 единицы:

Теперь вычтем из получившегося числа 10000. По правилам вычитания занимаем у следующего разряда.

Теперь прибавляем к получившемуся числу 1:

Видим, что у результата 2013+1+1=2015 единиц.

Ответ: 2015.

Правила написания чисел

За исключением нескольких основных правил, написание цифр и использование цифр (также называемых цифрами) в значительной степени зависит от предпочтений авторов. Опять же, последовательность является ключом.

Политика и философия варьируются от среднего до среднего. В двух наиболее влиятельных руководствах по стилю и использованию в Америке используются разные подходы: В книге стилей Associated Press рекомендуется записывать цифры от нуля до девяти и использовать цифры после этого, пока не будет достигнут миллион.Вот четыре примера того, как писать числа выше 999 999 в стиле AP: 1 миллион ; 20 миллионов ; 20,040,086 ; 2,7 трлн .

Чикагское руководство по стилю рекомендует записывать числа от нуля до ста и использовать цифры после них — за исключением целых чисел, используемых в сочетании с сотками , сотнями тысяч , сотнями тысяч , миллионами , миллиардов и не тольког., двести ; двадцать восемь тысяч ; триста тысяч ; миллионов (). В стиле Чикаго, в отличие от стиля AP, мы бы написали четыреста , восемь тысяч и двадцать миллионов без цифр, но, как и AP, в стиле Чикаго для цифр 401 потребуются цифры; 8,012 ; и 20,040,086 .

Это сложная тема, за многими исключениями, и мы не можем полагаться на последовательность между блогами, книгами, газетами и журналами.Эта глава ограничится правилами, с которыми, похоже, согласны все СМИ.

Правило 1. Укажите все числа, начинающиеся с предложения.

Примеры:
Двадцать триста шестьдесят одна жертва были госпитализированы.
Девятнадцать пятьдесят шесть был довольно год.

Примечание : Ассошиэйтед Пресс делает исключение в течение многих лет.

Пример: 1956 год был годом.

Правило 2а. Перенести все составные числа с двадцать первого на девяносто девять.

Примеры:
Сорок три человека пострадали в результате крушения поезда.
Двадцать семь из них были госпитализированы.

Правило 2b. Перенести все выписанные дроби.

Примеры:
Мы вернули около двух третей украденных денег.
Половина чуть меньше пяти восьмых.

Однако не переносите такие термины, как , третий или , половина .

Правило 3а. С цифрами из четырех или более цифр используйте запятые.Посчитайте три пробела слева, чтобы поставить первую запятую. Продолжайте ставить запятые после каждых трех цифр. Важно : не включайте десятичные точки при подсчете.

Примеры:
1 054 человека
2 417 592,21

Примечание: Некоторые предпочитают не использовать запятые с четырехзначными числами, но эта практика не рекомендуется.

Правило 3b. Нет необходимости использовать десятичную точку или знак доллара при записи сумм менее доллара.

Не рекомендуется: У него было всего 0,60 долл. США.

Лучше:
У него было только шестьдесят центов.
ИЛИ
У него было всего 60 центов.

Правило 3c. Не добавляйте слово «доллары» к цифрам, которым предшествует знак доллара.

Неправильно: У меня на расчетном счете 1250 долларов.
Правильно: У меня есть 1250 долларов на моем текущем счете.

Правило 4а. Для ясности используйте в полдень и в полночь вместо 12:00 PM и 12:00 AM .

ПРИМЕЧАНИЕ

AM и PM также записаны A.M. и вечера , утра, и вечера. и утра и вечера . Некоторые помещают промежуток между временем и утра или вечера .

Примеры:
8 утра
3:09 П.М.
11:20 вечера

Другие пишут времена без пробелов до или .

Пример:
8 утра
3:09 p.m.
11:20 p.m.

Для начала часа некоторые пишут 9:00 PM , тогда как другие отбрасывают : 00 и пишут 9 PM (или 9 p.м., 9 вечера и т. д.).

Правило 4b. Использование цифр для времени суток стало широко распространенным.

Примеры:
Рейс отправляется в 6:22 утра
Пожалуйста, приезжайте ровно в 12:30.

Однако некоторые авторы предпочитают указывать время, особенно при использовании часов.

Примеры:
Она садится в четыре тридцать пять поездов.
Ребенок просыпается в пять часов утра.

Правило 5. Смешанные дроби часто выражаются цифрами, если они не начинают предложение.

Примеры:
Мы ожидаем повышения заработной платы на 5 1/2 процента.
Пять с половиной процентов было ожидаемое повышение заработной платы.

Правило 6. Самый простой способ выразить большие числа обычно лучше.

Пример: двадцать триста (проще, чем две тысячи триста )

Большие круглые числа часто пишутся, но должны быть согласованы в предложении.

Последовательный: Вы можете заработать от одного миллиона до пяти миллионов долларов.
Непоследовательный: Вы можете заработать от одного миллиона до 5 миллионов долларов.
Непоследовательный: Вы можете заработать от 1 до 5 миллионов долларов.

Правило 7. Пишите десятичные дроби, используя цифры. В качестве любезности читателям многие авторы ставят ноль перед десятичной точкой.

Примеры:
Завод вырос 0.79 дюймов в прошлом году.
В этом году растение выросло всего на 0,07 дюйма.

Правило 8а. При записи числа из трех или более цифр слова и не нужны. Однако используйте слова и , чтобы выразить любые десятичные точки, которые могут сопровождать эти числа.

Примеры:
одна тысяча сто пятьдесят четыре доллара
одна тысяча сто пятьдесят четыре доллара шестьдесят один цент за

Проще: одиннадцатьсот пятьдесят четыре доллара и шестьдесят один цент

Правило 8b. При написании чисел выше 999 не используйте запятые.

Неправильно: одна тысяча сто пятьдесят четыре доллара и шестьдесят один цент
Исправить: одна тысяча сто пятьдесят четыре доллара и шестьдесят один цент

Правило 9. Следующие примеры типичны при использовании цифр для выражения дат.

Примеры:
30 июня 1934 г.
30 июня 1934 г. (№ -й необходимо)

Правило 10. Когда вы пишете десятилетия, не пишите их с большой буквы.

Пример: В течение восьмидесятых и девяностых годов экономика США росла.

Правило 11. При выражении десятилетий с помощью цифр проще поставить апостроф перед неполной цифрой и не ставить апостроф между числом и с .

Пример: В течение 80-х и 90-х годов, U.С. экономика росла.

Некоторые авторы ставят апостроф после числа:

Пример: В течение 80-х и 90-х годов экономика США росла.

Неудобное: В 80-х и 90-х годах экономика США росла.

Правило 12. Вы также можете выразить десятилетия полными цифрами.Опять же, лучше избегать апострофов между годом и с .

Пример: В течение 1980-х и 1990-х годов экономика США росла.

Двоично-десятичный преобразователь

Для того, чтобы использовать этот новый двоичный десятичный преобразователь инструмент, введите любое двоичное значение, например 1010, в левое поле ниже, а затем нажмите кнопку «Преобразовать». Вы можете увидеть результат в правом поле ниже. Можно преобразовать до 63 двоичных символов в десятичные.

Результат преобразования двоичного числа в десятичное в базовых числах

Двоичная система использует число 2 в качестве своей основы (основание).Как система счисления base-2, она состоит только из двух чисел: 0 и 1.

Несмотря на то, что она применялась в древнем Египте, Китае и Индии для различных целей, двоичная система стала языком электроники и компьютеров в современный мир. Это наиболее эффективная система для обнаружения выключенного (0) и включенного (1) электрического сигнала. Это также основа для двоичного кода, который используется для составления данных на компьютерах. Даже цифровой текст, который вы сейчас читаете, состоит из двоичных чисел.

Читать двоичное число легче, чем кажется: это позиционная система; поэтому каждая цифра в двоичном числе возводится в степень 2, начиная с крайней правой, с 2 ⁰ . В двоичной системе каждая двоичная цифра относится к 1 биту.

Десятичная система

Десятичная система счисления является наиболее часто используемой и стандартной системой в повседневной жизни. Он использует число 10 в качестве своей базы (основание). Поэтому в нем 10 символов: цифры от 0 до 9; а именно 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.

Как одна из старейших известных систем счисления, система десятичных чисел использовалась многими древними цивилизациями. Трудность представления очень больших чисел в десятичной системе была преодолена индуистско-арабской системой счисления. Индусско-арабская система счисления дает позиции цифрам в числе, и этот метод работает с использованием степеней основания 10; цифры поднимаются до ^{-й степени} , в соответствии с их положением.

Например, взять число 2345.67 в десятичной системе:

• Цифра 5 находится в позиции единиц (10 ⁰ , что равно 1),
• 4 находится в положении десятки (10 ¹ )
• 3 в положении сотен (10 ² )
• 2 в положении тысяч (10 ³ )
• Между тем, цифра 6 после десятичной точки находится в десятых долях (1/10, что составляет 10 ^-1 ), а 7 в сотых долях (1/100, что составляет 10 ^-2 ) в позиции
.
• Таким образом, число 2345.67 также может быть представлен следующим образом: (2 * 10 ³ ) + (3 * 10 ² ) + (4 * 10 ¹ ) + (5 * 10 ⁰ ) + (6 * 10 ^-1 ) + (7 * 10 ^-2 )

Как читать двоичный номер

Чтобы преобразовать двоичное в десятичное, могут помочь базовые знания о том, как читать двоичное число. Как упомянуто выше, в позиционной системе двоичных файлов каждый бит (двоичная цифра) является степенью 2. Это означает, что каждое двоичное число может быть представлено в виде степеней 2, причем самое правое число находится в позиции 2 ⁰ . ,

Пример : двоичное число (1010) ₂ также можно записать следующим образом: (1 * 2 ³ ) + (0 * 2 ² ) + (1 * 2 ¹ ) + (0 * 2 ⁰ )

Как преобразовать двоичные числа в десятичные

Существует два метода применения двоичного к десятичному преобразованию. Первый использует позиционное представление двоичного файла, которое описано выше. Второй метод называется double dabble и используется для более быстрого преобразования более длинных двоичных строк.Он не использует позиции.