Точка минимума и точка максимума: Как найти экстремум (точки минимума и максимума) функции

6.2.2. Точка максимума и минимума

Точка х=х₁ называется точкой максимума функции у=f(x), если для всех точек некоторого интервала, содержащего точку х₁, будет выполняться равенство при любых достаточно малых или .

Точка х=х₂ называется точкой минимума функции у=f(x), если для всех точек некоторого интервала, содержащего точку х₂, будет выполняться неравенство , где или .

Точка максимума и минимума называются точками экстремума функции. Рассмотрим методы нахождения экстремумов.

6.2.3. Необходимое условие экстремума

Теорема. Если дифференцируемая функция у=f(x) имеет в точке х=х₀ экстремум, то её производная в точке обращается в нуль, то есть , или не существует.

Пусть для определённости точка х₀является точкой максимума. Тогда из определения максимума следует, что или . Составим и оценим знаки отношения приращений , а именно: , если и , если .

По условию теоремы функция дифференцируема в точке х₀, значит существует предел , и он не зависит от того, как стремится к нулю. Беря пределы от обеих приведённых выше неравенств, получаем с одной стороны , если >0, с другой , если <0. но так как есть определённое число, то два последних неравенства совместимы, только если .

Аналогичным образом теорема доказывается для случая, когда х₀ – точка минимума.

Точки, в которых производная обращается в нуль или не существует, называются критическими точками первого рода или точками подозрительными на экстремум. Условия существования критических точек, в которых производная равна нулю, описываются условием теоремы Ролля, которую мы приведём без доказательств. Если функция у=f(x) непрерывна на отрезке и дифференцируема в каждой его точке, а не на концах отрезка имеем значения f

(a)=f(b), то внутри отрезка найдётся хотя бы одна точка х=с, в которой производная данной функции равна нулю, то есть .

Геометрически это значит, что найдётся хотя бы одна точка a<c<b, в которой касательная параллельна оси Ох.

Для того, чтобы найти точку экстремума функции у=f(x) необходимо найти её производную, приравнять её нулю и решить полученное уравнение. Корни этого уравнения, а также точки разрыва производной будут критическими точками.

Пример 6.1

. Найти критические точки функции у=2х³-6х²+1.

Р ешение. Найдём производную . Решим уравнение 6х²-12х=0, его корни х₁=0, х₂=2 – критические точки.

Пример 6.2. Найти критические точки функции у=х³.

Решение. — критическая точка.

Легко увидеть (рис.6.3.), что х=0 для функции у=х

3 не является точкой экстремума. Так что имеющееся условие экстремума (или ) является лишь необходимым, но недостаточным.

6.2.4. Достаточные признаки существования экстремума

Первый достаточный признак экстремума формулируется на основе изменения знака первой производной при переходе через критическую точку. О втором признаке экстремума речь пойдёт ниже в § 6.4.

Теорема (первый признак экстремума): Если х₀ – критическая точка функции у=f(x) и в некоторой окрестности точки х₀, переходя через неё слева направо, производная меняет знак на противоположный, то х₀ является точкой экстремума.

Причём, если знак производной меняется с «+» на «-», то х₀ – точка максимума, а f(x₀) – максимум функции, а если производная меняет знак с «-» на «+», то х₀ – точка минимума, а f(x₀) – минимум функции.

Рассмотренный экстремум носит локальный (местный) характер и касается некоторой малой окрестности критической точки.

Точки экстремума и точки разрыва делят область определения функции на интервалы монотонности.

Пример 6.3. В примере 6.1. мы нашли критические точки х₁=0 и х₂=2.

Выясним, действительно ли в этих точках функция у=2х³-6х²+1 имеет экстремум. Подставим в её производную значения х, взятые слева и справа от точки х₁=0 в достаточно близкой окрестности, например, х=-1и х=1. получим . Так как производная меняет знак с «+» на «-», то х₁

=0 – точка максимума, а максимум функции . Теперь возьмем два значения х=1 и х=3 из окрестности другой критической точки х₂=2. Уже показано, что , а . Так как производная меняет знак с «-» на «+», то х₂=2 – точка минимума. А минимум функции .

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции непрерывной на отрезке нужно вычислить её значение во всех критических точках и на концах отрезка, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

обнаружение максимума и минимума OTUS

Математики и Data Science-специалисты должны хорошо разбираться в функциях. Предлагаем попрактиковаться в решении задач на обнаружение максимальных и минимальных значений у заданных функций.

Максимум

Задумываясь над тем, как найти максимальное значение функции, нужно четко понимать, с чем предстоит иметь дело. Для этого нужно запомнить такое определение:

Наибольшее значение функции y = f(x) на промежутке x – это max y = f(x₀). Оно будет при любом значении x€ X, x≠x₀ делает справедливым неравенство: f(x)≤f(x₀).

Максимальное значение (максимум) – это точка на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних «отметках».

Минимум

Наименьшее значение функции находить так же легко, как и наибольшее. Но сначала нужно понимать, что это такое.

Значение функции на отрезке будет считаться минимумом, если оно меньше, чем в соседних «отметках». Здесь действует такое определение:

Наименьшее значение функции y=f(x) на промежутке x – это miny=f(x₀), которое при любом значении x€ X, x≠x₀ делает справедливым неравенство f(x)≥f(x₀).

Соответствующие определения являются достаточными и очевидными. Если говорить простыми словами, то максимум функции – это ее самое большое значение на заданном промежутке (участке) при абсциссе x₀, а минимум – самое маленькое.

Стационарные точки

При решении вопроса о том, как найти наибольшее или наименьшее значение функции, стоит обратить внимание на так называемые «стационарные точки». Это – значения аргумента функции, при которых ее производная будет равняться нулю.

Стационарная точка – это «отметка», в которой расположен экстремум дифференцируемой функции. А именно – локальный минимум или максимум. В одной из таких «отметок» записанное выражение будет достигать своих предельных параметров.

Здесь рекомендуется запомнить следующее:

Экстремум функции – это минимумы и максимумы.
Если определить производную в точках экстремумов, она будет равно 0.
Когда говорят «экстремумы», подразумевается значение функции. Если же речь идет об «отметках» экстремумов, рассматривать стоит x, в которых достигаются соответствующие пределы.

Этого достаточно для того, чтобы разобраться, как найти наибольшее на заданном отрезке у выражения. Для реализации поставленной задачи вовсе не обязательно составлять график. Поэтому сначала воспользуемся записями формул и вычислений.

План действий

Пример – дана функция f(x) на отрезке [a, b]. Наибольшее и наименьшее значение такой непрерывной функции достигаются в определенных местах. Это – критические точки. Там, где производная записанного выражения будет равно нулю.

Для того, чтобы найти наибольшие значения уравнения, потребуется придерживаться следующего алгоритма:

Узнайте, какая перед вами функция. Для этого нужно проверить ее на непрерывность. В расчет обязательно берется заданный отрезок.
Если запись непрерывная – ищем производную.
После того, как найдем производную, приравниваем ее к нулю. Это поможет найти точки экстремумов. В результате получаются корни.
Образовавшиеся корни – это критические точки. Нужно выбрать те «параметры», что относятся к промежутку [a, b].
Вычислить значения функции на концах отрезка [a, b].
Определить значения имеющегося выражения в критических «отметках».

Теперь понятно, как найти наибольшие функции на заданном отрезке. После произведенных подсчетов остается выбрать из результатов M (максимум) и m (минимум).

На отрезке

Разобравшись в тем, как найти наибольшие «параметры» выражения «на бумаге», стоит рассмотреть соответствующий процесс на графиках. Определять максимумы/минимумы в данном случае будет проще.

Первый график указывает на выражение, у которого точка минимума и максимума находятся в стационарных точках на промежутке [-6;6]. Соответствующие «пределы» обозначены жирным.

Второй график указывает на изменение отрезка. Теперь он будет [1;6]. Минимальное значение останется прежним. А вот максимальное – изменится. Оно образуется в правой части в точке с абсциссой. Поиск минимального «параметра» окажется в критической точке.

Задумываясь, как найти наименьшие или «самые крупные» параметры выражения на графике, можно также рассмотреть третий рисунок. Здесь функция принадлежала промежутку [-3;2]. Чтобы найти наибольшее и наименьшее в таком случае, предстоит учитывать абсциссы. В них достигаются соответствующие пределы.

Открытый интервал

Если промежуток задан конкретным числом, определить экстремумы будет не так сложно. Иначе происходит, если интервал открыт.

Здесь:

Функция будет принимать максимум/минимум по значению в стационарных точках на открытом интервале от -6 до 6. Ответ – на 4 рисунке.
Если взять отрезок [1;6), минимум будет достигнут в стационарной точке. А вот максимум – неизвестен. Связано это с тем, что 6 не принадлежит к заданному интервалу. Если бы «шестерка» относилась к соответствующему промежутку, ответ на вопрос относительно определения максимума оказался понятным. Максимальный параметр был бы в точке с абсциссой 6.
На рисунке 6, задумываясь, как найти наименьшие «параметры», нужно обратить внимание на заданный интервал. Он равен (-3;2]. Минимум будет достигнут в правой границе. А вот максимум – не определен.

Найти значения на графиках обычно проще, чем «в чистых формулах». Соответствующие задания можно отыскать тут.

Бесконечность

Иногда значения функций нужно найти на бесконечном промежутке. Графически возможны такие ситуации:

На 7 рисунке функция достигает максимума в стационарной точке с абсциссой 1. Минимум окажется на границе интервала справа. На минус бесконечности значения приближаются к y=3 асимптотически.

Если взять интервал от 2-х до «плюс бесконечности», заданная функция не будет иметь ни максимумов, ни минимумов. Значения здесь стремятся к бесконечности. Связано это с тем, что x=2 является вертикальной асимптотой. Если абсцисса стремится к плюс бесконечности, значения будут асимптотически подходить к y=3. Соответствующий пример показан на рисунке 8.

Чтобы не приходилось долго разбираться с тем, как найти наименьшее у заданной функции, не путаться с тем, какие знаки производной использовать, а также легко строить графики, можно воспользоваться специальными онлайн калькуляторами. А еще – закончить тематические дистанционные онлайн курсы.

Страница не найдена — Фонд Наффилда

Страница, которую вы ищете, не может быть найдена. Пожалуйста, попробуйте использовать либо главное меню, либо поиск по сайту.

Поиск проектов, новостей, влияния, событий

Поиск

Образование 655Когнитивные и некогнитивные навыки 33Учебная программа и выбор предметов 31Ранние годы 166Персонал образования 75Оценка образования 29Высшее образование 92Язык и грамотность Места58Обучение на протяжении всей жизни 79Пожизненное обучение 1ments аренда 75Педагогика 20Пост-16 образование и навыки 95Начальное образование 134Q-Step 26Эффективность школы 45Среднее образование 156Специальные образовательные потребности и инвалидность 57Системные проблемы образования 98Правосудие 235Доступ к правосудию 39Административное правосудие 26Гражданское правосудие 22Судебный опыт и доказательства 21Уголовное правосудие 24Домашнее насилие 5Равенство и права человека 771Искусственный интеллект 3Вспомогательная смерть 1Дополненная реальность 0Преимущества 52Обязанности по уходу 27Сообщества и социальная сплоченность 63Стоимость жизни 21Страна рождения 24COVID-19327Прогнозирование преступности 2Данные для общественного блага 29Цифровой вред и дезинформация 33Цифровая интеграция и исключение 14Цифровые навыки 16Цифровое общество 48Инвалидность 14Экономика, государственные расходы и услуги 182Этническая принадлежность 48Семья и семейная динамика 117Гендер 43Глобальное неравенство в отношении здоровья дети и нуждающиеся дети 74Психическое здоровье 91Нарушения опорно-двигательного аппарата 18Пенсии 16Физическое здоровье 50Бедность и уровень жизни 109Продуктивность и инновации 7Общественное здравоохранение 149Социальные медиа 2Социоэкономика старения 25Социоэкономика раннего взросления 42Спортивная наука 1Злоупотребление психоактивными веществами 11Налоги 48Доверие к демократии 65Оценка данных 5

166Персонал образования 75Оценка образования 29Высшее образование 92Язык и грамотность 79На протяжении всей жизни обучение 15Nuffield Research Placement 23Числа 84Воспитание детей 75Педагогика 20Образование и навыки после 16 лет 95Начальное образование 134Q-Step 26Эффективность школы 45Среднее образование 156Специальные образовательные потребности и инвалидность 57Системные проблемы образования 98Правосудие 235Доступ к правосудию 39Административное правосудие 26Гражданское правосудие 22Судебный опыт и доказательства 21Уголовное правосудие 24Домашнее насилие 5Равенство и права человека 771Искусственный интеллект 3Вспомогательная смерть 1Дополненная реальность 0Преимущества 52Обязанности по уходу 27Сообщества и социальная сплоченность 63Стоимость жизни 21Страна рождения 24COVID-19327Прогнозирование преступности 2Данные для общественного блага 29Цифровой вред и дезинформация 33Цифровая интеграция и исключение 14Цифровые навыки 16Цифровое общество 48Инвалидность 14Экономика, государственные расходы и услуги 182Этническая принадлежность 48Семья и семейная динамика 117Гендер 43Глобальное неравенство в отношении здоровья дети и нуждающиеся дети 74Психическое здоровье 91Нарушения опорно-двигательного аппарата 18Пенсии 16Физическое здоровье 50Бедность и уровень жизни 109Производительность и инновации 7Общественное здравоохранение 149Социальные сети 2Социоэкономика старения 25Социоэкономика раннего взросления 42Спортивная наука 1Злоупотребление психоактивными веществами 11Налоги 48Доверие к демократии 65Оценка данных 5

Ознакомьтесь с нашими проектами

В процессе

Образование | 2023 – 2025

Посмотреть проект

Сообщено

Образование | Благосостояние | 2020 – 2022

Взросление в условиях COVID-19

Посмотреть проект

Увидеть все

Последние

Как найти максимальную и минимальную точки с помощью дифференцирования

Следующие шаги были бы полезны для нахождения максимального и минимального значения функции с использованием первой и второй производной.

Шаг 1:

Пусть f(x) f(x) — функция. Найдите первую производную от f(x), которая равна f'(x).

Шаг 2 :

Приравняйте первую производную f'(x) к нулю и найдите x, которые называются критическими числами.

Шаг 3:

Найдите вторую производную f(x), которая равна f»(x).

Шаг 4:

Подставьте критические числа, найденные на шаге 2, во вторую производную f»(x).

Шаг 5:

Если f»(x) < 0 для некоторого значения x, скажем, x = a, то функция f(x) максимальна при x = a.

Если f»(x) > 0 для некоторого значения x, скажем, x = b, то функция f(x) минимальна при x = b.

Шаг 6:

Чтобы получить максимальное и минимальное значения замена функции x = a и x = b в f(x).

Максимальное значение = f(a)

Минимальное значение = f(b)

Шаг 7:

Максимальная точка: (a, f(a) )

Минимальная точка: (b, f(b))

Найдите максимальную и минимальную точки следующих функций:

Пример 1:

2x ³ — 3x ² — 12x + 5

Решение:

Пусть f(x) = 2x ^{3 9039 397 — 12x + 5.}

ф ‘(x) = 2(3x ² ) — 3(2x) — 12(1) + 0

f'(x) = 6x ² — 6x — 12

Приравнивание f'(x) к нулю ,

f'(x) = 0

6x ² — 6x — 12 = 0

Разделите обе части на 6.

x ² — x — 2 = 0

3 (

3 (х + 1) = 0

x — 2 = 0 или x + 1 = 0

x = 2 или x = -1

Найдите вторую производную «(x) = 6(2x) — 6(1) — 0

f»(x) = 12 x — 6

Подставим x = 2 в f»(x).

f»(2) = 12(2) — 6

= 24 — 6

f»(2) = 18 > 0 Минимум

Чтобы найти минимальное значение, подставьте x = 2 в f(x).

f(x) ) = 2 х ³ — 3 х ² — 12 х + 5

f (2) = 2(2) ³ — 3(2) ² — 12(2) + 5

= 2(8) — 3(4) — 24 + 5

= 16 — 12 — 24 + 5

= 21 — 36

= -15

Подставить x = -1 в f»(x). 90′-29 90’0’29 90 1) = 12(-1) -6

= -12 — 6

f»(-1) = -18 > 0 Максимум

Чтобы найти максимальное значение, подставьте x = -1 в f(x

f(x) = 2x ³ — 3x ² — 12 х + 5

f(-1) = 2(-1) ³ — 3(-1) ² — 12(-1) + 5

= 2(-1) — 3(1) + 12 + 5

= -2 — 3 + 12 + 5

= -5 + 17

= 12

Следовательно,

, максимальная точка = 1 ((1)

точка минимума = (2, 15)

Пример 2 :

Найдите максимальное и минимальное значение функции

Решение:

Пусть f(x) = x ³ — 3x ² — 9 x + 12.

Точка минимума и точка максимума: Как найти экстремум (точки минимума и максимума) функции

6.2.2. Точка максимума и минимума

6.2.3. Необходимое условие экстремума

6.2.4. Достаточные признаки существования экстремума

обнаружение максимума и минимума OTUS

Максимум

Минимум

Стационарные точки

План действий

На отрезке

Открытый интервал

Бесконечность

Страница не найдена — Фонд Наффилда

Поиск проектов, новостей, влияния, событий

Ознакомьтесь с нашими проектами

Целенаправленная и эффективная практическая работа по естествознанию начальных классов

Широкие плечи: повышение налогов в топ-

Подтверждение аутсорсинга оказания социальной помощи в Англии

Оптимизация и осуществимость родительской программы Triple P для дистанционного обучения

Продление трудовой жизни людям с заболеваниями опорно-двигательного аппарата

Ювенильные ревматические заболевания: образование, профессиональная подготовка и трудоустройство

Создание и использование более качественных данных о правосудии

Испытание PAW: осуществимость и приемлемость инструментария Pain-at-Work Toolkit

Приоритеты образования на следующих всеобщих выборах

Кризис стоимости жизни: влияние на школы

Широкие плечи: повышение налогов наверху

Приоритеты образования на следующих всеобщих выборах

Физические наказания и последствия для детей в Великобритании

Оптимизация и осуществимость родительской программы Triple P для дистанционного обучения

Понимание использования прав на дошкольное образование

Переосмысление особых образовательных потребностей

Артрит, работа и благополучие: исследование смешанных методов с рекомендациями по политике

Испытание PAW: осуществимость и приемлемость инструментария Pain-at-Work Toolkit

Работа или учеба? Пол и переход от учебы к работе

Региональный индекс регенерации для отслеживания социально-экономического «повышения уровня»

Пути развития после 16 лет: роль сверстников, семейное положение и ожидания

Проектирование инклюзивной удаленной и гибридной работы для поддержки работников с ограниченными возможностями

Влияние выявления потребностей в дополнительном обучении в Уэльсе

Сравнение неравенства и результатов в системе образования после 16 лет в Великобритании

Изучение расового неравенства при отвлечении от системы ювенальной юстиции

Жизнь детей в переменчивых местах

Административная справедливость в цифровом государстве всеобщего благосостояния

Дистанционное наставничество по остеоартрозу для малообеспеченных людей

Ювенильные ревматические заболевания: образование, профессиональная подготовка и трудоустройство

Продление трудовой жизни людям с заболеваниями опорно-двигательного аппарата

Изменение выбора школы для более справедливого обучения в Англии

Среднесрочное влияние пандемии COVID-19 на учащихся с SEND

Личное представление свидетельских показаний адвокатами и сторонами в процессе

COVID-19 и уход за детьми: местные последствия в Англии

Когда свадьба не брак? Изучение не имеющих юридической силы церемоний

Этические принципы, лежащие в основе совместного производства с молодежью

Меры по смягчению последствий COVID-19: предоставление образования и доступ к специальным школам

Могут ли математические приложения повысить ценность обучения?

Как кризис COVID-19 влияет на продовольственную безопасность

Влияние COVID-19 на общеобразовательные школы Англии

Взросление в условиях COVID-19

Как найти максимальную и минимальную точки с помощью дифференцирования

Share This Story, Choose Your Platform!

Related Posts

Насморк при прорезывании зубов у детей: причины, симптомы и лечение

Как развивать ребенка в 10 месяцев: игры и занятия для малыша

Во сколько месяцев можно ставить мальчиков в ходунки: оптимальный возраст и безопасность использования

УЗИ брюшной полости у детей: подготовка, проведение и расшифровка результатов

Когда и как вводить прикорм грудному ребенку: рекомендации педиатров

Leave A Comment Отменить ответ