ОГЭ. Числовая последовательность. 13 заданий. | Материал по алгебре (9 класс):

Числовые последовательности

1. Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности? 

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

2. Последовательность задана формулой . Какое из следующих чисел не является членом этой последовательности?

 

1) 

2) 

3) 

4) 

3. Какое из указанных чисел не является членом последовательности 

 

1) 

2) 

3) 

4) 

4.  Последовательность задана формулой . Сколько членов в этой последовательности больше 1? 

1) 8

2) 9

3) 10

4) 11

5. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая прогрессия. Укажите ее.

 1) 

2) 

3) 

4) ; ; ; ; …

6. Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

 

1) 

2) 

3) 

4) ; ; ; ; …

7. Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией?

 1) Последовательность натуральных степеней числа 2.

2) Последовательность натуральных чисел, кратных 5.

3) Последовательность кубов натуральных чисел.

4) Последовательность всех правильных дробей, числитель которых на 1 меньше знаменателя.

8. Последовательность задана условиями , . Найдите .

9. Последовательность задана условиями , . Найдите .

10. Последовательность задана формулой . Какое из следующих чисел не является членом этой последовательности?

 

1) −2

2) 

3) 

4) 2

11. Последовательность задана формулой  Сколько членов в этой последовательности больше 6?

12. Сколько натуральных чисел n удовлетворяет неравенству ?

13. Последовательность задана формулой  Сколько членов в этой последовательности больше 3?

Арифметическая и геометрическая прогрессии — КиберПедия

Навигация:

Главная Случайная страница Обратная связь ТОП Интересно знать Избранные

Топ:

Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает. ..

Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного…

Интересное:

Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья…

Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль…

Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов…

Дисциплины:

Автоматизация Антропология Археология Архитектура Аудит Биология Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Журналистика Зоология Иностранные языки Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыкология Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Теология Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Энергетика Юриспруденция

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 5Следующая ⇒

Числовые последовательности

Арифметические прогрессии

Геометрические прогрессии

Числовые последовательности

1. Последовательность за­да­на фор­му­лой . Какое из ука­зан­ных чисел яв­ля­ет­ся чле­ном этой последовательности?

 

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Решение.

Рассмотрим не­сколь­ко пер­вых чле­нов последовательности, на­чи­ная с

 

 

 

Тем самым, число 3 яв­ля­ет­ся чле­ном этой последовательности.

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

Задание 11 № 137295

2.Последовательность за­да­на фор­му­лой . Какое из сле­ду­ю­щих чисел не яв­ля­ет­ся чле­ном этой последовательности?

 

1)
2)		 3) 4)

Решение.

Рассмотрим не­сколь­ко пер­вых чле­нов последовательности, на­чи­ная с

 

 

 

Тем самым, число не яв­ля­ет­ся чле­ном этой последовательности.

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

Задание 11 № 137296

3.Какое из ука­зан­ных чисел не яв­ля­ет­ся чле­ном по­сле­до­ва­тель­но­сти

 

1) 2) 3) 4)

Решение.

Рассмотрим не­сколь­ко пер­вых чле­нов последовательности, на­чи­ная с

 

 

 

Тем самым, не яв­ля­ет­ся чле­ном этой последовательности.

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

Задание 11 № 137297

4.Последовательность за­да­на фор­му­лой . Сколь­ко чле­нов в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти боль­ше 1?

 

1) 8 2) 9 3) 10 4) 11

Решение.

Дробь, чис­ли­тель и зна­ме­на­тель ко­то­рой положительны, боль­ше единицы, если чис­ли­тель боль­ше знаменателя.

Поэтому, имеем: Таким образом, пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

Задание 11 № 137298

5.Последовательности за­да­ны не­сколь­ки­ми пер­вы­ми членами. Одна из них — ариф­ме­ти­че­ская прогрессия. Ука­жи­те ее.

 

1) 2) 3) 4) ; ; ; ; …

Решение.

Арифметической про­грес­си­ей на­зы­ва­ет­ся такая по­сле­до­ва­тель­ность в ко­то­рой раз­ность между по­сле­ду­ю­щим и преды­ду­щим чле­на­ми про­грес­сии оста­ет­ся неизменной. По­это­му ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия яв­ля­ет­ся последовательность: 1; 3; 5; … Таким образом, пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

Задание 11 № 137299

6.Одна из дан­ных по­сле­до­ва­тель­но­стей яв­ля­ет­ся гео­мет­ри­че­ской прогрессией. Ука­жи­те эту последовательность.

 

1) 2) 3) 4) ; ; ; ; …

Решение.

Геометрической про­грес­си­ей на­зы­ва­ют чис­ло­вую последовательность, пер­вый член ко­то­рой от­ли­чен от нуля, а каж­дый последующий, равен предшествующему, умно­жен­но­му на одно и тоже от­лич­ное от нуля число. По­это­му гео­мет­ри­че­ской про­грес­си­ей яв­ля­ет­ся последовательность: Таким образом, пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

Задание 11 № 137300

7.Какая из сле­ду­ю­щих по­сле­до­ва­тель­но­стей яв­ля­ет­ся ариф­ме­ти­че­ской прогрессией?

 

1) По­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных сте­пе­ней числа 2.
2) По­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел, крат­ных 5.
3) По­сле­до­ва­тель­ность кубов на­ту­раль­ных чисел.
4) По­сле­до­ва­тель­ность всех пра­виль­ных дробей, чис­ли­тель ко­то­рых на 1 мень­ше знаменателя.

Решение.

Ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей на­зы­ва­ет­ся такая по­сле­до­ва­тель­ность в ко­то­рой раз­ность между по­сле­ду­ю­щим и преды­ду­щим чле­на­ми про­грес­сии оста­ет­ся не­из­мен­ной. По­это­му ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия яв­ля­ет­ся по­сле­до­ва­тель­ность: 5; 10; 15; … Таким об­ра­зом, пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

Задание 11 № 137306

8.Последовательность за­да­на усло­ви­я­ми , . Най­ди­те .

Решение.

Будем вы­чис­лять последовательно:

Данная по­сле­до­ва­тель­ность об­ра­зу­ет ариф­ме­ти­че­скую прогрессию. Най­дем раз­ность ариф­ме­ти­че­ской прогрессии:

тогда

 

Примечание.

Зная раз­ность и пер­вый член ариф­ме­ти­че­ской прогрессии, можно найти посредственно:

 

 

 

Ответ: −9.

Ответ: -9

-9

Задание 11 № 137307

9. Последовательность за­да­на усло­ви­я­ми , . Най­ди­те .

Решение.

Найдём не­сколь­ко пер­вых чле­нов последовательности:

 

 

Отсюда ясно, что все члены по­сле­до­ва­тель­но­сти с нечётными но­ме­ра­ми равны 4.

 

Ответ: 4.

 

Примечание.

Из ре­кур­рент­ной формулы, за­да­ю­щей n-й член последовательности, можно не­по­сред­ствен­но получить, что

 

 

Отсюда ясно, что все члены по­сле­до­ва­тель­но­сти с нечётными но­ме­ра­ми равны пер­во­му члену последовательности, а все члены по­сле­до­ва­тель­но­сти с чётными равны вто­ро­му члену последовательности.

Ответ: 4

Задание 11 № 341203

10.

Последовательность за­да­на фор­му­лой Сколь­ко чле­нов в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти боль­ше 6?

Решение.

Необходимо ре­шить неравенство:

 

 

Поскольку n — целые числа, не­ра­вен­ство выполняется при n рав­ном 1, 2, 3 и 4. Таким образом, че­ты­ре члена дан­ной последовательности боль­ше 6.

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 11 № 341669

11.Сколько на­ту­раль­ных чисел n удо­вле­тво­ря­ет не­ра­вен­ству ?

Решение.

Дробь, чис­ли­тель и зна­ме­на­тель ко­то­рой положительны, боль­ше двух, если чис­ли­тель боль­ше зна­ме­на­те­ля более чем в два раза. Поэтому, имеем: Таким образом, во­сем­на­дцать на­ту­раль­ных чисел удо­вле­тво­ря­ют дан­но­му неравенству.

 

Ответ: 18.

Ответ: 18

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по математике 29.09.2015 ва­ри­ант МА90103.

Задание 11 № 351753

12.Последовательность за­да­на фор­му­лой . Сколь­ко чле­нов в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти боль­ше 3?

Арифметические прогрессии

1.Дана ариф­ме­ти­че­ская прогрессия: Най­ди­те сумму пер­вых де­ся­ти её членов.

Решение.

Определим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской прогрессии:

 

 

Сумма пер­вых k-ых чле­нов может быть най­де­на по формуле

 

 

Необходимо найти , имеем:

 

 

Ответ: 50.

Ответ: 50

Источник: Демонстрационная вер­сия ГИА—2013 по математике.

Задание 11 № 113

2.Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия Най­ди­те .

Решение.

Определим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской прогрессии:

 

 

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром может быть най­ден по формуле

 

 

Необходимо найти , имеем:

 

 

 

Ответ: 23.

Ответ: 23

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1309.

Задание 11 № 165

3.Дана арифметическая прогрессия Найдите сумму первых десяти её членов.

Решение.

Определим разность арифметической прогрессии :

 

 

Сумма первых k-ых членов может быть найден по формуле

 

 

Нам необходимо найти , поэтому в формулу для нахождения ставим 10 вместо :

 

 

Ответ: 75.

Ответ: 75

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1317.

Задание 11 № 137301

4.Выписаны пер­вые не­сколь­ко чле­нов ариф­ме­ти­че­ской прогрессии: 3; 6; 9; 12;… Какое из сле­ду­ю­щих чисел есть среди чле­нов этой прогрессии?

 

1) 83 2) 95 3) 100 4) 102

Решение.

Найдем раз­ность ариф­ме­ти­че­ской прогрессии: Зная раз­ность и член ариф­ме­ти­че­ской прогрессии, решим урав­не­ние от­но­си­тель­но n , под­ста­вив дан­ные в фор­му­лу для на­хож­де­ния n-го члена:

 

 

Членом про­грес­сии яв­ля­ет­ся число 102. Таким образом, пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

 

Ответ: 4.

 

Примечание.

Заданная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия со­сто­ит из чисел, крат­ных трём. Числа 83, 95 и 100 не крат­ны 3, они не яв­ля­ют­ся чле­на­ми прогрессии; а число 102 крат­но 3, оно яв­ля­ет­ся её членом.

Ответ: 4

Задание 11 № 137302

5.Арифметические про­грес­сии , и за­да­ны фор­му­ла­ми n-го члена: , ,

Укажите те из них, у ко­то­рых раз­ность равна 4.

 

1) и 2) и 3) , и 4)

Решение.

Найдем

 

 

Для каж­дой из про­грес­сий , и най­дем разность:

 

 

Разность про­грес­сии равна 4 для про­грес­сии и . Таким образом, вер­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

Задание 11 № 137303

6. В пер­вом ряду ки­но­за­ла 30 мест, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколь­ко мест в ряду с но­ме­ром n?

 

1) 2) 3) 4)

Решение.

Количество мест в рядах ки­но­за­ла об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую прогрессию. По фор­му­ле для на­хож­де­ния n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии имеем:

 

 

Таким образом, пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

Задание 11 № 137304

7.Дана ариф­ме­ти­че­ская прогрессия: 33; 25; 17; … Най­ди­те пер­вый от­ри­ца­тель­ный член этой прогрессии.

 

1) 2) 3) 4)

Решение.

Для члена имеем: По фор­му­ле на­хож­де­ния n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии имеем:

 

 

Первое число, ко­то­рое удо­вле­тво­ря­ет этому усло­вию, число 6. Следовательно, пер­вым от­ри­ца­тель­ным чле­ном про­грес­сии яв­ля­ет­ся

Таким образом, пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

Задание 11 № 137305

8.Арифметическая про­грес­сия за­да­на условиями: , . Какое из дан­ных чисел яв­ля­ет­ся чле­ном этой прогрессии?

 

1) 80 2) 56 3) 48 4) 32

Решение.

Найдем раз­ность ариф­ме­ти­че­ской прогрессии:

 

Зная раз­ность и пер­вый член ариф­ме­ти­че­ской прогрессии, решим урав­не­ние от­но­си­тель­но , под­ста­вив дан­ные в фор­му­лу для на­хож­де­ния n-го члена:

 

 

Таким образом, число 48 яв­ля­ет­ся чле­ном прогрессии. Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

Задание 11 № 311254

9.Найдите сумму всех от­ри­ца­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской прогрессии: −8,6; −8,4; . ..

Решение.

1. Найдём раз­ность прогрессии: .

2. Найдём число от­ри­ца­тель­ных чле­нов прогрессии.

Составим фор­му­лу -го члена: .

Решим не­ра­вен­ство по­лу­чим < 44. Значит, = 43.

3.

Ответ: −189,2.

Ответ: -189,2

-189,2

Задание 11 № 311330

10.Арифметическая про­грес­сия за­да­на фор­му­лой n-го члена и известно, что . Най­ди­те пятый член этой прогрессии.

Решение.

Найдём раз­ность прогрессии:

Тогда для пя­то­го члена про­грес­сии

 

Ответ: 11.

Ответ: 11

Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 2)

Задание 11 № 311363

11.В ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии известно, что . Най­ди­те четвёртый член этой прогрессии.

Решение.

Имеем:

 

Ответ: 7.

Ответ: 7

Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар.5)

Задание 11 № 311909

12.Арифметическая про­грес­сия за­да­на условиями: . Най­ди­те сумму пер­вых 19 её членов.

Решение.

Сумма n пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии да­ёт­ся формулой

 

 

По условию, от­ку­да получаем

 

 

 

Ответ: 95.

Ответ: 95

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 19.11.2013 ва­ри­ант МА90201.

Задание 11 № 314399

13.Какое наи­боль­шее число по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел, на­чи­ная с 1, можно сло­жить, чтобы по­лу­чив­ша­я­ся сумма была мень­ше 528?

Решение.

Для от­ве­та на во­прос за­да­чи тре­бу­ет­ся найти такое наи­боль­шее что Рас­смот­рим ариф­ме­ти­че­скую про­грес­си­ю с пер­вым чле­ном и раз­но­стью Cумма пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии вы­чис­ля­ет­ся по формуле:

в нашем слу­чае

 

Найдем наи­боль­шее на­ту­раль­ное ре­ше­ние не­ра­вен­ства . Для этого найдём корни урав­не­ния

 

 

Вы­чис­лим дискриминант:

от­ку­да получаем:

 

Таким образом, при сумма 32 сла­га­е­мых равна 528. Следовательно, наи­боль­шее на­ту­раль­ное число, для ко­то­ро­го сумма будет мень­ше 528, равно 31.

 

Ответ: 31.

 

Примечание.

Можно заметить, что от­ку­да сразу же получаем: или

Ответ: 31

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 11 № 314408

14.Най­ди­те сумму всех по­ло­жи­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии 11,2; 10,8; …

Решение.

Определим раз­ность прогрессии:

 

 

Найдём вы­ра­же­ние для n-го члена прогрессии:

 

 

.

Найдем номер по­след­не­го по­ло­жи­тель­но­го члена прогрессии:

 

 

Следовательно, чтобы найти сумму всех по­ло­жи­тель­ных чле­нов дан­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии не­об­хо­ди­мо сло­жить её пер­вые 28 членов.

Сумма n пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии даётся формулой

 

 

откуда имеем:

 

 

Ответ: 162,4.

Ответ: 162,4

162,4

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 11 № 314423

15.Какое наи­мень­шее число по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел, на­чи­ная с 1, нужно сло­жить, чтобы по­лу­чив­ша­я­ся сумма была боль­ше 465?

Решение.

Для от­ве­та на во­прос за­да­чи тре­бу­ет­ся найти такое наи­мень­шее что Рас­смот­рим ариф­ме­ти­че­скую про­грес­си­ю с пер­вым чле­ном и раз­но­стью Cумма пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии вы­чис­ля­ет­ся по формуле:

в нашем слу­чае

 

Найдем наи­мень­шее на­ту­раль­ное ре­ше­ние не­ра­вен­ства . Для этого найдём корни урав­не­ния

 

 

Вы­чис­лим дискриминант:

от­ку­да получаем:

 

Таким образом, при сумма 30 сла­га­е­мых равна 465. Следовательно, наи­меньшее на­ту­раль­ное число, для ко­то­ро­го сумма будет боль­ше 465, равно 31.

 

Ответ: 31.

 

Примечание.

Можно заметить, что от­ку­да сразу же получаем: или

Ответ: 31

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 11 № 314425

16.Най­ди­те сумму всех от­ри­ца­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии –7,2; –6,9; …

Решение.

Определим раз­ность прогрессии:

 

 

Найдём вы­ра­же­ние для n-го члена прогрессии:

 

 

.

Найдем номер по­след­не­го от­ри­ца­тель­но­го члена прогрессии:

 

 

Следовательно, чтобы найти сумму всех от­ри­ца­тель­ных чле­нов дан­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии не­об­хо­ди­мо сло­жить её пер­вые 24 члена.

Сумма n пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии даётся формулой

 

 

откуда имеем:

 

Ответ: −90.

Ответ: -90

-90

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 11 № 314619

17.Ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (an) за­да­на усло­ви­я­ми: a1 = 3, an + 1 = an + 4. Най­ди­те a10.

Решение.

Опре­де­лим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской прогрессии:

 

 

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром может быть най­ден по формуле

 

 

Не­об­хо­ди­мо найти , имеем:

 

 

 

Ответ: 39.

Ответ: 39

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 11 № 314628

18.Записаны пер­вые три члена ариф­ме­ти­че­ской прогрессии: 20; 17; 14. Какое число стоит в этой ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии на 91-м месте?

Решение.

Опре­де­лим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской прогрессии:

 

 

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром может быть най­ден по формуле

 

 

Не­об­хо­ди­мо найти , имеем:

 

 

 

Ответ: −250.

Ответ: -250

-250

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 11 № 314653

19.Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (аn): −6; −2; 2; … . Най­ди­те a16.

Решение.

Опре­де­лим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской прогрессии:

 

 

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром может быть най­ден по формуле

 

 

Не­об­хо­ди­мо найти , имеем:

 

 

 

Ответ: 54.

Ответ: 54

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 11 № 316343

20.Выписаны пер­вые не­сколь­ко чле­нов ариф­ме­ти­че­ской прогрессии: −87 ; −76; −65; … Най­ди­те пер­вый по­ло­жи­тель­ный член этой прогрессии.

Решение.

Определим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской прогрессии:

 

 

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром может быть най­ден по формуле

 

 

Нам же нужно найти пер­вый по­ло­жи­тель­ный член этой прогрессии, т. е. нужно, чтобы вы­пол­ня­лось усло­вие Решим не­ра­вен­ство :

 

 

Значит — пер­вый по­ло­жи­тель­ный член этой прогрессии.

 

 

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 19.02.2014 ва­ри­ант МА90501.

Задание 11 № 321384

21.В пер­вом ряду ки­но­за­ла 24 места, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 2 боль­ше, чем в преды­ду­щем. Сколь­ко мест в вось­мом ряду?

Решение.

Число мест в ряду пред­став­ля­ет собой ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном и раз­но­стью Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром может быть най­ден по формуле

 

 

Необходимо найти , имеем:

 

Ответ: 38.

Ответ: 38

Задание 11 № 321394

22. Фи­гу­ра со­став­ля­ет­ся из квад­ра­тов так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке: в каж­дой сле­ду­ю­щей стро­ке на 8 квад­ра­тов боль­ше, чем в преды­ду­щей. Сколь­ко квад­ра­тов в 16-й стро­ке?

Решение.

Число квад­ра­тов в стро­ке пред­став­ля­ет собой ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном и раз­но­стью Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром может быть най­ден по формуле

 

 

Необходимо найти , имеем:

 

Ответ: 122.

Ответ: 122

Задание 11 № 321663

23.Вы­пи­са­но не­сколь­ко по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: …; −9; x; −13; −15; … Най­ди­те член про­грес­сии, обо­зна­чен­ный бук­вой x .

Решение.

Найдем раз­ность ариф­ме­ти­че­ской прогрессии: По­это­му

 

Ответ: −11.

Ответ: -11

-11

Задание 11 № 339063

24.Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (an), раз­ность ко­то­рой равна 2,5, a1 = 8,7. Най­ди­те a9.

Решение.

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром можно найти по фор­му­ле Тре­бу­ет­ся найти

 

 

Ответ: 28,7.

Ответ: 28,7

28,7

Задание 11 № 340584

25.Даны пят­на­дцать чисел, пер­вое из ко­то­рых равно 6, а каж­дое сле­ду­ю­щее боль­ше преды­ду­ще­го на 4. Найти пят­на­дца­тое из дан­ных чисел.

Решение.

Последовательность, опи­сан­ная в условии, об­ра­зу­ет ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с пер­вым членом, рав­ным шести, и раз­но­стью 4. Пят­на­дца­тый член дан­ной про­грес­сии равен:

 

Ответ: 62.

Ответ: 62

Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ОГЭ—2018 по математике., Демонстрационная вер­сия ГИА—2015.

Задание 11 № 341190

26.Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (an), раз­ность ко­то­рой равна −8,5, a1 = −6,8. Най­ди­те a11.

Решение.

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром можно найти по фор­му­ле Тре­бу­ет­ся найти

 

 

Ответ: −91,8.

Ответ: -91,8

-91,8

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 11 № 341201

27.Арифметическая про­грес­сия за­да­на условиями: Най­ди­те

Решение.

Воспользовавшись формулой, получаем:

 

 

Ответ: −30,4.

Ответ: -30,4

-30,4

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 11 № 341202

28.Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (an), для ко­то­рой a10 = 19, a15 = 44. Най­ди­те раз­ность прогрессии.

Решение.

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром n вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле Зная, что a10 = 19, b15 = 44, по­лу­ча­ем си­сте­му уравнений. Вы­чтем пер­вое урав­не­ние из вто­ро­го и решим систему:

 

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 11 № 341214

29.Арифметическая про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем an = −0,6 + 8,6n. Най­ди­те сумму пер­вых 10 её членов.

Решение.

Сумма n пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии да­ёт­ся формулой

 

 

Найдем раз­ность и пер­вый член про­грес­сии :

 

 

Подставим най­ден­ные зна­че­ния в формулу:

 

 

Ответ: 467.

Ответ: 467

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 11 № 341221

30.Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (an), раз­ность ко­то­рой равна −2,5, a1 = −9,1. Най­ди­те сумму пер­вых 15 её членов.

Решение.

Сумма n пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии да­ёт­ся формулой

 

 

По условию, от­ку­да получаем

 

 

Ответ: −399.

Ответ: -399

-399

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 11 № 341492

31.Арифметическая про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем an = −11,9 + 7,8n . Най­ди­те a11.

Решение.

Подставим 11 вме­сто ин­дек­са n:

 

 

Ответ: 73,9.

Ответ: 73,9

73,9

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 07.05.2015 ва­ри­ант МА90901.

Задание 11 № 341518

32.Первый член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии равен −11,9, а раз­ность про­грес­сии равна 7,8. Най­ди­те две­на­дца­тый чле


⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться с друзьями:

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой. ..

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим…

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций…

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)…



Последовательности и серии – рабочие примеры

Последовательность $\{ a_{n} \}$ — это бесконечный список чисел $$a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots,$$ где у нас есть одно число $a_{n}$ для каждого положительного целого числа $n$.

Определение последовательностей.

Мы можем задать последовательность различными способами.

Выкройка. Мы можем указать его, перечислив некоторые элементы и подразумевая, что Показанная схема продолжается.

Пример.

Например $$2, 4, 6, 8, \ldots$$ будет последовательность, состоящая из четных положительных целых чисел.

Формула. Мы также можем указать последовательность, дав формулу для термина, который соответствует целому числу $n$.

Пример.

Например, последовательность $$2, 4, 6, 8, \ldots$$ можно также задать явной формулой $$a_{n} = 2n.$$ Рекурсивно. Наконец, мы также можем предоставить правило для получения следующего члена последовательности из предыдущих. Это называется рекурсивно определенной последовательностью.

Пример.

Например, последовательность $$2, 4, 6, 8, \ldots$$ можно указать по правилу $$a_{1} = 2 \quad \text{ и } \quad a_{n} = a_{n-1} +2 \text{ для } n\geq 2.$$ Это правило гласит, что мы получаем следующий член, беря предыдущий член и добавляя $2$. Поскольку мы начинаем с числа 2, мы получаем все четные положительные целые числа.

Давайте обсудим эти способы определения последовательностей более подробно и рассмотрим несколько примеров.

Часть 1. Арифметические последовательности

Последовательность, которую мы видели в предыдущем абзаце, является примером того, что называется арифметической последовательностью : каждый член получается добавление фиксированного числа к предыдущему термину.

Альтернативно, разница между последовательными сроками всегда равна такой же.

Общая формула.

Если последовательность $a_{n}$ арифметическая, то существует фиксированное число $d$, такое что $a_{n+1} -a_{n} =d$ для любого $n.$ Число $d$ обычно называют 9.0009 шаг или разница . Попробуем найти формулу члена $a_{n}$ арифметической прогрессии через $d$ и $a_{1}$.

Начнем с $a_{n} = a_{n-1} + d$. Применяя это снова, мы видим, что поскольку $a_{n-1} = a_{n-2} + d$, мы получаем, что $a_{n} = a_{n-2} + d +d = a_{n- 2} + 2d$. Мы можем продолжить этот путь и получить: \начать{выравнивать*} а_{п} &= а_{п} = а_{п-1} + д \\ &= a_{n-2} + d +d = a_{n-2} + 2d \\ &= a_{n-3} + d + d = a_{n-3} + 3d \\ &\vточки\\ &= а_{2} + (n-2)d \\ &= а_{1} + (n-1)d \\ \конец{выравнивание*} Таким образом, мы получаем, что в арифметической последовательности $a_{n}$ с шагом размером $d$ формула для $a_{n}$ задается следующим образом: $$a_{n} = a_{1} + (n-1)d$$

Пример. Рассмотрим последовательность $3, 8, 13, 18, 23, 28, \ldots$. Это арифметика? Если это так, найдите формулу для $a_{n}$ и используйте ее, чтобы найти $a_{101}$, 101-й член последовательности.

Раствор. Эта последовательность является арифметической, так как разница между каждым членом составляет 5$
(8-3 = 13-8 = 18-13 = \cdots = 5$). с шагом $d=5$ и первым членом $a_{1} = 3$.
Наша формула выше дает $a_{n} = a_{1} + (n-1)d = 3 + (n-1)5$.
Для $a_{101}$ мы подставляем $n=101$ в эту формулу, чтобы получить $a_{101} = 3 + (100)5 = 503$.

Часть 2. Геометрические последовательности

Рассмотрим последовательность $2, 4, 8, 16, 32, 64, \ldots$. Эта последовательность не является арифметической, так как разница между терминами не всегда одинакова. Если мы посмотрим внимательно, то увидим, что мы получаем следующий член последовательности как , умножая предыдущий член на то же число . Соответственно, соотношение последовательных терминов всегда одинаково (а именно $2$).

Последовательность $a_{n}$, где существует фиксированное $r$, так что $\frac{a_{n}}{a_{n-1}} = r$ для всех $n$ называется геометрическим последовательность. Число $r$ обычно называют отношением .

Общая формула.

Попробуем найти формулу члена $a_{n}$ геометрической прогрессии через $r$ и первый член.

Начнем с соотношения $\frac{a_{n}}{a_{n-1}} = r$. Это дает $a_{n} = r a_{n-1}$. Используя это снова, мы получаем $a_{n} = r (ra_{n-2}) = r^{2} a_{n-2}$. {n-1} a_{1}$$ 9{n-1} a$ или правило, что $a_{n} = r a_{n-1}$.
Последнее правило является примером рекурсивного правила . Рекурсивно определенная последовательность представляет собой последовательность, в которой правило для создания следующего члена в последовательности записано явно в терминах предыдущих членов.

Рассмотрим следующий (довольно известный) пример.

Пример.

Определим последовательность $a_{n}$ следующим образом: Пусть $$a_{1} = 1 \quad , \quad a_{2} = 1 \quad \text{ и} \quad a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2} \text{ для } n\geq 2.$$ Это правило гласит, что для получения следующего члена последовательности необходимо сложить два предыдущих члена. Поскольку это правило требует двух предыдущих членов, нам нужно указать первые два члена последовательности $a_{1}, a_{2}$, чтобы начать работу. Используя это, мы можем начать перечислять термины в последовательности и получить $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,\ldots$. (Это хорошо известное последовательность Фибоначчи .)

Пример.

Рассмотрим рекурсивно определенную последовательность $$a_{1} = 1 \quad , \quad a_{2} = 1 \quad , \quad a_{3} = 1 \quad \text{, и} \quad a_{n} = \frac{a_{n-3}}{a_{n-1} + a_{n-2}} \text{ for } n\geq 3.$$ Назовите первые 7 членов этой последовательности.

Раствор. \начать{выравнивать*} а_{1} &= 1 \\ а_{2} &= 1 \\ а_{3} &= 1 \\ a_{4} &= \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} \\ a_{5} &=\frac{1}{1+\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \\ a_{6} &= \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{7}{6}} = \frac{ 6}{7} \\ a_{7} &= \frac{ \frac{1}{2}}{\frac{2}{3} + \frac{6}{7}} = \frac{ \frac{1}{2}} {\ гидроразрыва {32} {21}} = \ гидроразрыва {21} {64} \конец{выравнивание*}

Часть 4: Последовательности через списки

Метод использования списка для указания последовательности, пожалуй, самый сложно, так как это требует от нас просмотра короткого фрагмента последовательности, и угадать шаблон или правило, которое используется для создания термины в последовательности.
Теперь, когда мы рассмотрели еще несколько примеров последовательностей, мы можем обсудить, как искать закономерности и вычислять по заданному списку, как найти рассматриваемую последовательность.

Пример.

Когда дается список, например, $1, 3, 9, 27, 81, \ldots$ мы можем попробовать ищите закономерность несколькими способами.
Теперь, когда мы увидели арифметические, геометрические и рекурсивные последовательности, одна вещь, которую мы можем сделать, это попытаться проверить, является ли данная последовательность является одним из этих типов.

Арифметика? Чтобы проверить, является ли последовательность арифметической, мы проверяем, является ли разница последовательных терминов всегда одинакова. В этом случае изменения разницы: $$a_2- a_1 = 3-1 =2 \neq 6 = 9-3 = a_3-a_2.$$ Геометрический? Чтобы проверить, является ли последовательность геометрической, мы проверяем, всегда ли соотношение последовательных членов одинаково. В случае, если это так, мы заключаем, что последовательность является геометрической: $$\frac{3}{1}= \frac{9{\text{th}}$ термин в последовательность.

Раствор. Мы быстро видим, что этот ряд не является геометрическим, поскольку $\frac{1}{-3} \neq \frac{-3}{-7}$.

Теперь мы можем проверить, является ли последовательность арифметической. Если мы посмотрим на различия последовательных членов, мы получим: $-3 — 1 = -4 = -7 — (-3) = -11 — (-7)$, поэтому мы видим, что это арифметическая последовательность с разностью $d=-4$. Итак, общий термин $$a_{n} = a_{1} + (n-1) d = 1 + (n-1) (-4) = — 4n + 5.$$
(Мы также можем попытаться найти рекурсивное определение этой последовательности.)

Формула арифметической последовательности. Что такое формула арифметической последовательности? Примеры

Формула арифметической последовательности используется для вычисления члена n th и суммы арифметической прогрессии. Арифметическая последовательность — это последовательность, в которой общая разность между любыми двумя последовательными членами остается постоянной. Если мы хотим найти какой-либо термин/сумму терминов в арифметической последовательности, мы можем использовать формулу арифметической последовательности. Давайте разберемся с формулой арифметической прогрессии на решенных примерах.

Что такое формула арифметической последовательности?

Арифметическая последовательность имеет вид: а, а + d, а + 2d, а + 3d, …… до n членов. Первый член — это а, общая разница — d, n = количество терминов. Для расчета с использованием формул арифметической последовательности сначала определите первый член, количество членов и общую разность последовательности. Существуют различные формулы, связанные с арифметическим рядом, используемым для вычисления члена n th , суммы или общей разности данной арифметической последовательности.

  • n й срок есть, а n = а 1 + (n — 1) d
  • Сумма n членов равна S n = (n/2) [2a 1 + (n — 1) d] (или) (n/2) [a 1 + a n ]
  • Общая разность, d = a n — a n — 1

В этих формулах a 1 = первый член, d = общая разность и n = количество членов.

Арифметическая последовательность Формула

Формулы арифметической последовательности имеют вид 1) d

где,

  • a n = n th срок,
  • a 1 = первый член и
  • d общая разница

Формула 2: Сумма первых n членов арифметической последовательности вычисляется по одной из следующих формул:

  • S n = (n/2) [2a 1 + (n — 1) d] (когда мы знаем первый член и общую разность)
  • S n =(n/2) [a 1 + a n ] (когда первый и последний члены)

где,

  • S n = сумма n слагаемых,
  • a 1 = первый срок,
  • a n = n th срок и
  • d — общая разность между последовательными терминами

Формула 3: Формула для вычисления общей разности арифметической прогрессии имеет вид -й триместр,

  • a n — 1 = (n — 1) й срок и
  • d — общая разница между последовательными терминами

    • Применение формулы 9 арифметической последовательности0158

    Мы используем формулу арифметической прогрессии каждый день или даже каждую минуту, даже не осознавая этого. Ниже приведены несколько примеров практического применения формулы арифметической прогрессии

    • Складывание чашек, стульев, мисок или карточного домика.
    • Места на стадионе или в зрительном зале располагаются в арифметической последовательности.
    • Секундная стрелка на часах движется в арифметической последовательности, так же как и минутная и часовая стрелки.
    • Недели в месяце следуют арифметической последовательности, как и годы. Каждый високосный год можно определить, прибавив 4 к предыдущему високосному году.
    • Количество свечей, задуваемых в день рождения, с каждым годом увеличивается как арифметическая прогрессия.

    Cuemath — одна из ведущих мировых обучающих платформ по математике, которая предлагает онлайн-уроки по математике в режиме реального времени один на один для классов K-12. Наша миссия — изменить то, как дети изучают математику, чтобы помочь им преуспеть в школе и на конкурсных экзаменах. Наши опытные преподаватели проводят 2 или более живых занятий в неделю в темпе, соответствующем потребностям ребенка в обучении.

    Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

    Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

    Заказать бесплатный пробный урок

     

    Примеры с использованием формулы арифметической последовательности

    Пример 1: Используя формулу арифметической последовательности, найти 13 th член в последовательности 1, 3, 9, 00 103

    Решение:

    Найти: 13 й член данной последовательности.

    Поскольку разница между последовательными терминами одинакова, данная последовательность образует арифметическую последовательность.

    A = 1, D = 4

    с использованием формулы арифметической последовательности,

    A N = A 1 + (N — 1) D

    для 13 Т. n = 1 + (13 — 1)4

    a n = 1 + (12)4

    a n = 1 + 48

    A N = 49

    ☛ Также Проверка: Калькулятор арифметической последовательности

    Ответ: 13 TH Термин в последовательности — 49.

    Пример 2: Найти первое термин в ARTITITENTIENT. где 35 член равен 687, а общая разность 14 14

    Используя формулу арифметической последовательности,

    a n = a 1 + (n − 1)d

    687 = a 1 + (35 — 1)14

    8

    6 0 34) 14

    687 = A 1 + 476

    A 1 = 211

    Ответ: Первый термин в последовательности составляет 211.

    Пример 3: Найдите сумма следующего. ряд: 3 + 7 + 11 + ……. (до 25 слагаемых).

    Решение:

    Найти сумму первых 25 членов арифметической прогрессии 3, 7, 11, …….

    Дано: a 1 = 3, d = 4, n = 25

    данная арифметическая последовательность равна 3, 7, 11,….

    Используя формулу арифметического ряда:

    S n = (n/2) [2a + (n — 1) d]

    Сумма первых 25 членов

    S 25 =(25/2 ) [2 x 3 + (25 — 1) 4]

    = (25/2) [6 + 24 x 4]

    = 25/2 × 102

    = 1275

    Ответ: Сумма данного арифметического ряда равна 1275.

    Часто задаваемые вопросы о формуле арифметической последовательности

    Что такое формула арифметической последовательности в алгебре?

    Формула арифметической последовательности относится к формуле для вычисления общего члена арифметической последовательности и суммы n членов арифметической последовательности.

    • Общий член арифметической последовательности: a n = a 1 + (n — 1) d
    • Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна n = (n/2) [2a 1 + (n — 1) d]

    где a 1 = первый член и d = общая разность последовательности.

    Что такое n в формуле арифметической последовательности?

    В формуле арифметической последовательности для нахождения общего термина a n = a 1 + (n — 1) d, ‘n’ относится к номеру термина в данной арифметической последовательности. Например, 2 представляет собой 2 -й -й член последовательности.

    Что такое формула арифметической последовательности для суммы n членов?

    Сумма первых n членов арифметической последовательности определяется как S n = (n/2) [2a 1 + (n — 1) d], где S n = сумма n членов , a 1 = первый член, а d — общая разность.

    Что такое формула арифметического ряда?

    Арифметический ряд есть не что иное, как сумма нескольких или всех членов арифметической прогрессии. Таким образом, формула арифметического ряда:

    • S n = (n/2) [2a 1 + (n — 1) d] [ИЛИ]
    • S n = (n/2) [a 1 + a n ]

    Здесь a 1 — первый член арифметического ряда, а d — его общая разность.

    Как использовать формулу арифметической последовательности?

    Чтобы использовать формулу арифметической последовательности, сначала определите первый член (a 1 ) и общую разность (d) последовательности.