Вектор а найти а: Что такое вектор, как найти длину? Координаты? Формулы

Что такое вектор, как найти длину? Координаты? Формулы

Определение и обозначение вектора

Вектор в геометрии — это отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая — концом. В некоторых учебниках вектор могут называть направленным отрезком.

Вектор обозначается одной строчной буквой латинского алфавита или двумя заглавными со стрелкой (в некоторых случаях — прямой линией) сверху.

Интересно, что порядок букв в названии вектора имеет значение! Первая буква отвечает за начало вектора, а последняя — за его конец. Поэтому и — абсолютно разные векторы.

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Виды векторов

Во-первых, векторы бывают коллинеарными и неколлинеарными.

Коллинеарными называют те векторы, которые лежат на одной прямой или параллельных прямых. На рисунке и и являются коллинеарными, а и относительно друг друга — нет.

Векторы различаются и по направлению. Если векторы уже являются коллинеарными, они могут быть сонаправленными или противоположно направленными. Сонаправленные векторы обозначаются так: Если же они противоположно направлены, мы можем записать это следующим образом:

Равными являются те векторы, которые одновременно и коллинеарны, и сонаправлены, а также имеют одинаковую длину.

Нулевой вектор — вектор, длина которого равна нулю. Чаще всего его обозначают так: Он считается коллинеарным любому вектору.

Иногда в геометрии вводят дополнительные понятия, рассмотрим и их:

• Закреплённый вектор — отрезок с упорядоченными концами: если С — точка начала вектора, а Е — точка конца, тогда (это то, что мы понимаем под обычным вектором в школьной геометрии).

• Свободный вектор — вектор, начало и конец которого не закреплены. Его можно перемещать как вдоль прямой, на которой он находится, так и параллельно этой прямой. По сути под свободным вектором понимают множество закреплённых векторов.

Сложение и вычитание векторов

Действия с векторами описываются и в алгебре, и в геометрии. Сегодня мы рассмотрим способы, благодаря которым можно сложить и вычесть векторы, не зная их координат.

Сложение: метод треугольника

Представим, что в пространстве заданы векторы и которые нам необходимо сложить. Эта задача особенно актуальна для физиков, поскольку такие векторные величины, как сила, часто приложены к одному и тому же телу. В таком случае возникает вопрос: а как же рассчитать результирующее действие всех этих сил?

В этом на помощь физикам приходит математика — царица наук! Чтобы сложить два вектора, необходимо:

1. Отложить начало одного вектора от конца другого.

2. Вектор их суммы будет совпадать с вектором , который соединяет начало вектора с концом вектора

Сложение: метод параллелограмма

Сложить векторы можно и по-другому, используя метод параллелограмма:

1. Совместим между собой концы и

2. Отложим от конца вектор, равный

3. Отложим от конца вектор, равный

4. Благодаря пунктам 2 и 3 мы получили параллелограмм (четырёхугольник, противоположные стороны которого параллельны и равны).

5. Проведём диагональ параллелограмма между и на которой будет лежать вектор, равный сумме и

Задача решена, вы великолепны!

Обратите внимание

Как метод параллелограмма, так и метод треугольника подразумевает перемещение векторов в пространстве: мы или совмещаем их концы, или откладываем от конца одного вектора начало другого.

Получить сумму векторов, не имеющих общей точки, с этими методами не представляется возможным.

Сложение: метод многоугольника

А что если векторов больше, чем два? На эту проблему математика уже подготовила решение: воспользуемся расширенным методом треугольника, который получил название «метод многоугольника».

Согласно этому методу мы последовательно совмещаем конец и начало векторов, а после изображаем суммирующий вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего. Лучше всего рассмотреть это на чертеже:

Вычитание векторов

Продолжаем проделывать с векторами всевозможные действия, на этот раз вычитание. Математики знают, что вычитание — это по своей сути то же сложение, но с обратным числом.

С векторами работает та же штука: вместо вычитания попробуем прибавить вектор, противоположно направленный исходному:

Изобразим разность векторов с помощью уже знакомого нам правила треугольника:

Боитесь запутаться в векторах сонаправленных и противоположно направленных? Существует отдельное правило для их вычитания:

1. Отложим один вектор от начала другого.

2. Тогда вектор их разности совпадает с вектором, начало которого совмещено с концом вычитаемого вектора, а начало — с концом уменьшаемого.

Этот метод схож и с методом параллелограмма, но в этом случае мы берём другую диагональ.

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Для выполнения остальных действий с векторами нам необходимо поместить их в такую систему координат, чтобы можно было определить их положение относительно друг друга. Для этого используют декартову систему координат, которой можно пользоваться как на плоскости с осями

X и Y, так и в пространстве с осями X, Y, Z.

Тогда, если находится на плоскости, его координаты можно выразить как если в пространстве —

Базисные векторы — это векторы, каждый из которых направлен вдоль своей оси координат, в трёхмерном пространстве их обозначают

Любой вектор в трёхмерном пространстве можно разложить по трём базисным векторам.

с координатами можно записать так:

Умножение вектора на число

Представьте, что нам необходимо растянуть вектор в два раза или же сжать, но уже в три. За все эти действия отвечает одна простая задача: умножение вектора на число.

Для того чтобы увеличить или уменьшить вектор в некоторое количество раз, необходимо умножить все координаты вектора на это число.

Таким образом, если задан координатами то — Кстати, подобным образом можно перевернуть вектор, направив его в противоположную сторону:

Длина вектора

Длина вектора — одно из основных понятий в этом разделе. И неудивительно, ведь она характеризует его протяженность в пространстве и выражается числом.

Итак, длина вектора — это расстояние между его началом и концом. Её часто называют модулем, что отражается и в обозначении. Если нам необходимо найти длину мы так и запишем:

Длину вектора можно найти разными способами, вот основные:

1. через координаты вектора;

2. через координаты точек начала и конца вектора;

3. через теорему косинусов.

Давайте вместе разберём все методы!

Длина вектора через его координаты

Если задан через координаты то его длину можно найти как

Почему мы можем быть уверены, что эта формула правильная? Рассмотрим вектор в декартовой системе координат.

Отложим вектор от точки с координатами Тогда этот вектор можно назвать , и так как мы строили его из начала координат, координаты вектора могут быть найдены как

Рассчитаем длину через теорему Пифагора:

Задача 1

Посчитайте, чему равен модуль , если его координаты

Решение:

Модуль вектора — это его длина, а значит,

Задача 2

Длина Чему равна координата по оси , если координата по оси

Решение:

Длина вектора через координаты точек начала и конца

Для начала давайте вспомним, как задать координаты вектора через координаты его начала и конца.

Рассмотрим где и Тогда координаты вектора можно выразить так:

Мы уже знаем, как найти длину вектора через его координаты, поэтому подставим полученное выражение в формулу:

Задача 3

Найдите длину если и

Решение:

Задача 4

Рассчитайте координату по точки вектора , если его длина равна а

Решение:

Остановимся здесь и подставим известные числа в формулу:

или

Длина вектора через теорему косинуса

К сожалению, в задачах не всегда даны координаты точек вектора или его самого. В таком случае мы воспользуемся теоремой косинуса. Давайте вспомним её формулировку.

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

Эту теорему можно применить и в векторной форме. Немного изменим рисунок:

Тогда, чтобы найти длину , необходимо знать (или иметь возможность вычислить) длины и , знать угол между ними, а также уметь рассчитать произведение длин этих векторов.

Задача 5

Длины и равны 4 и 6 соответственно, а угол между ними равен Вычислите длину

Решение:

Задача 6

Рассчитайте модуль вектора в треугольнике, если длина = 8, длина = 10, а угол между ними равен

Решение:

Скалярное произведение векторов

Мы практически дошли до финала нашего путешествия по царству векторов. 👑 Нам осталось изучить только скалярное произведение векторов. Что это?

Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.

Скалярным произведением и будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:

Вспомним, что в той же физике величины делятся на скалярные (не имеющие направления, например, масса) и векторные (имеющие направление, например, сила, ускорение, скорость). В математике под вектором подразумевают направленный отрезок, а понятие скаляра хоть и не равно, но очень близко к понятию числа.

Скалярное произведение показывает, насколько синхронизированы, скоординированы направления векторов. Так, чем больше угол между векторами, тем меньше согласованности, а значит, скалярное произведение будет уменьшаться с ростом угла:

• Скалярное произведение вектора на само себя равно квадрату его модуля: В данном случае значение скалярного произведения является наибольшим из возможных.

• Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно, так как

• Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение равно 0, так как

• Если угол между векторами тупой и векторы ненулевые, то скалярное произведение отрицательно, так как

• Cкалярное произведение вектора на противоположно направленный ему вектор равно отрицательному произведению их длин . В данном случае значение скалярного произведения является наименьшим из возможных.

Конечно, вы можете возразить: «Согласованность направлений отлично показывает угол, для чего нам эти сложные вычисления?». А всё дело в том, что в пространстве порой очень сложно измерить угол, а вот посчитать скалярное произведение — просто, особенно если рассмотреть его через координаты.

Если выражен координатами а то скалярное произведение этих векторов описывается формулой: В пространстве скалярное произведение через координаты векторов будет задаваться так:

Где применяется скалярное произведение? Благодаря ему выполняется большое количество математических операций, таких как нахождение угла между векторами и любых расстояний, если они заданы через координаты. Благодаря скалярному произведению можно описать даже характеристику криволинейных поверхностей, но это мы обсудим как-нибудь в другой раз. 🙂

Чтобы закрепить пройденный материал, нужно больше, чем пара заданий. Поэтом приглашаем на онлайн-уроки математики в школу Skysmart. За короткое время благодаря особенной платформе и учителям-профессионалам вы сможете улучшить школьные отметки, подготовиться к экзаменам и олимпиадам, и самое главное — понять и полюбить математику.

Как найти вектор по точкам? Ответ на webmath.ru

Содержание:

• Формула
• Примеры нахождения координат вектора по точкам

Формула

Чтобы найти координаты вектора $\overline{A B}$ на плоскости, если он задан координатами своих начала $A\left(x_{1} ; y_{1}\right)$ и конца $B\left(x_{2} ; y_{2}\right)$, необходимо от координат конца отнять соответствующие координаты начала, то есть

$$\overline{A B}=\left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1}\right)$$

Чтобы найти координаты вектора $\overline{A B}$, заданного в пространстве координатами $A\left(x_{1} ; y_{1} ; z_{1}\right)$ и $B\left(x_{2} ; y_{2} ; z_{2}\right)$, необходимо, по аналогии с плоским случаем, из координат конца вычесть координаты начала:

$$\overline{A B}=\left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1} ; z_{2}-z_{1}\right)$$

Примеры нахождения координат вектора по точкам

Пример

Задание. Даны точки $A(4;-1)$ и $B(2;1)$. Найти координаты векторов $\overline{A B}$ и $\overline{B A}$

Решение. Для вектора $\overline{A B}$ точка $A$ является началом, а точка $B$ — концом. Тогда координаты вектора $\overline{A B}$ равны

$$\overline{A B}=(2-4 ; 1-(-1))=(-2 ; 2)$$

Для вектора точка $B$ является началом, а точка $A$ — концом. Тогда координаты вектора $\overline{B A}$ равны

$$\overline{B A}=(4-2 ;-1-1)=(2 ;-2)$$

Ответ. $\overline{A B}=(-2 ; 2), \overline{B A}=(2 ;-2)$

Пример

Задание. Даны три точки в пространстве точки $A(1;-2;0,5)$, $B(3;2;1,5)$ и $C(0;-1;1)$. Найти координаты векторов $\overline{A B}$, $\overline{A C}$, $\overline{B C}$

Решение. Для искомого вектора $\overline{A B}$ точка $A$ является началом, а точка $B$ — концом. Тогда координаты вектора $\overline{A B}$ соответственно равны:

$$\overline{A B}=(3-1 ; 2-(-2) ; 1,5-0,5)=(2 ; 4 ; 1)$$

Для вектора $\overline{A C}$ точка $A$ является началом, а точка $C$ — концом. Тогда его координаты соответственно равны

$$\overline{A C}=(0-1 ;-1-(-2) ; 1-0,5)=(-1 ; 1 ; 0,5)$$

Для вектора $\overline{B C}$ точка $B$ является началом, а точка $C$ — концом. Его координаты равны

$$\overline{B C}=(0-3 ;-1-2 ; 1-1,5)=(-3 ;-3 ;-0,5)$$

Ответ. $\overline{A B}=(2 ; 4 ; 1), \overline{A C}=(-1 ; 1 ; 0,5), \overline{B C}=(-3 ;-3 ;-0,5)$

Читать дальше: как найти сумму векторов.

• Как найти сумму векторов
• Как найти скалярное произведение векторов
• Как найти векторное произведение векторов
• Как найти смешанное произведение векторов
• Как найти вектор коллинеарный вектору
• Как найти вектор перпендикулярный вектору
• Как найти орт вектора
• Как найти разность векторов
• Как найти проекцию вектора
• Как найти длину вектора
• Как найти модуль вектора
• Как найти координаты вектора
• Как найти направляющие косинусы вектора
• Как найти угол между векторами
• Как найти косинус угла между векторами

Поиск вектора направления по двум точкам

Все ресурсы предварительного исчисления

12 диагностических тестов 380 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 Следующая →

Precalculus Help » Матрицы и векторы » Алгебраические векторы и параметрические уравнения » Найдите вектор направления по двум точкам

Найдите вектор направления  если точки A и B равны  и , соответственно.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти вектор, точка A является конечной точкой, а точка B — начальной точкой.

Вектор направления можно определить путем вычитания начала из конечной точки.

Сообщить об ошибке

Найти вектор через точки

и .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Правильный вектор получается вычитанием двух точек: .

Так как вычитание здесь покомпонентное, то оно дается формулой: .

В результате получается вектор .

Вектор тоже правильный, так как он является скалярным множителем вектора, помеченного как правильный. Он находится путем вычитания двух точек в обратном порядке.

Сообщить об ошибке

Найдите вектор, у которого есть начальная и конечная точки.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти вектор направления, вычтите координаты начальной точки из координат конечной точки.

Сообщить об ошибке

Найдите вектор направления с начальной точкой и конечной точкой.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти вектор направления, вычтите координаты начальной точки из координат конечной точки.

Сообщить об ошибке

Найти  если  и .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти вектор направления, идущий из  в , вычтите координаты x и y из .

Сообщить об ошибке

Найти  если  и .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти вектор направления от  к , вычтите координаты x и y из .

Сообщить об ошибке

Найдите вектор направления, который имеет начальную точку в  и конечную точку .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти вектор направления, вычтите координаты начальной точки из координат конечной точки.

Сообщить об ошибке

Найдите вектор направления, который имеет начальную точку в  и конечную точку в .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти вектор направления, вычтите координаты начальной точки из координат конечной точки.

Сообщить об ошибке

Найдите вектор направления с начальной точкой  и конечной точкой .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти вектор направления, вычтите координаты начальной точки из координат конечной точки.

Сообщить об ошибке

Найдите вектор направления, который имеет начальную точку в  и конечную точку в .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти вектор направления, вычтите координаты начальной точки из координат конечной точки.

Сообщить об ошибке

← Предыдущий 1 2 Следующий →

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы Precalculus

12 Диагностические тесты 380 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции

Векторы

Это вектор:

Вектор имеет величины (размер) и направление :

Длина линии показывает ее величину, а стрелка указывает направление.

Мы можем добавить два вектора, соединив их лоб в лоб:

И неважно в каком порядке мы их складываем, получаем один и тот же результат:

Пример: Самолет летит на север, но ветер дует с северо-запада.

Два вектора (скорость, создаваемая пропеллером, и скорость ветра) приводят к несколько меньшей скорости относительно земли в направлении немного к востоку от севера.

Если смотреть на самолет с земли, то может показаться, что он немного скользит вбок.

Вы когда-нибудь видели такое? Возможно, вы видели птиц, борющихся с сильным ветром, которые, кажется, летят боком. Векторы помогают объяснить это.

Скорость, ускорение, сила и многое другое являются векторами.

Вычитание

Мы также можем вычесть один вектор из другого:

• сначала мы меняем направление вектора, который хотим вычесть,
• , затем добавьте их как обычно:

а − б

Обозначение

Вектор часто записывается жирным шрифтом , например a или b .

Вектор также можно записать в виде букв его головы и хвоста со стрелкой над ними, например:

Расчеты

Теперь… как мы будем производить расчеты?

Самый распространенный способ — сначала разбить вектор на части x и y, например:

Вектор a разбит на
два вектора a _x и a _y

(Позже мы увидим, как это сделать.)

Добавление векторов

Затем мы можем сложить векторы с помощью , добавив части x и , добавив части y :

.

Вектор (8, 13) и вектор (26, 7) в сумме дают вектор (34, 20)

Пример: добавить векторы

а = (8, 13) и б = (26, 7)

в = а + б

в = (8) + 13 (8+26, 13+7) = (34, 20)

Когда мы разбиваем такой вектор, каждая часть называется компонентом :

.

Вычитание векторов

Чтобы вычесть, сначала инвертируйте вектор, который мы хотим вычесть, затем сложите.

Пример: вычесть

k = (4, 5) из v = (12, 2)

a = v + − k

a = (12, 2) + −(4, 5) = (12, 2) + (−4, −5) = (12− 4, 2−5) = (8, −3)

Величина вектора

Величина вектора показана двумя вертикальными полосами по обе стороны от вектора:

| и |

ИЛИ можно написать двойными вертикальными черточками (чтобы не путать с абсолютным значением):

|| и ||

Для расчета используем теорему Пифагора:

| и | = √( х ² + у ² )

Пример: какова величина вектора

b = (6, 8) ?

| б | = √( 6 ² + 8 ² ) = √( 36+64) = √100 = 10

Вектор с величиной 1 называется единичным вектором.

Вектор против скаляра

Скаляр имеет величину (размер) только .

Скаляр: просто число (например, 7 или −0,32) … определенно не вектор.

Вектор имеет величину и направление и часто пишется жирным шрифтом , поэтому мы знаем, что это не скаляр:

• , поэтому c — это вектор, он имеет величину и направление
• , но c — это просто значение, например 3 или 12,4

Пример: k

b на самом деле скаляр, умноженный на k вектор b .

Умножение вектора на скаляр

Когда мы умножаем вектор на скаляр, это называется «масштабированием» вектора, потому что мы изменяем размер вектора.

Пример: умножить вектор

m = (7, 3) на скаляр 3

a = 3 м = (3×7, 3×3) = (21, 9)

Он по-прежнему указывает в том же направлении, но в 3 раза длиннее

(И теперь вы знаете, почему числа называются «скалярами», потому что они «масштабируют» вектор вверх или вниз.)

 

Умножение вектора на вектор (скалярное произведение и векторное произведение)

Как нам умножить два вектора вместе? Существует более чем один способ! Скаляр или скалярное произведение (результатом является скаляр). Вектор или векторное произведение (результатом является вектор). (Дополнительную информацию см. на этих страницах.)

 

Более двух измерений

Векторы также отлично работают в трех и более измерениях:

Вектор (1, 4, 5)

Пример: сложите векторы

a = (3, 7, 4) и b = (2, 9, 11)

c = a + b

8 9 , 7, 4) + (2, 9, 11) = (3+2, 7+9, 4+11) = (5, 16, 15)

Пример: какова величина вектора

w = (1, −2, 3) ?

| с | = √( 1 ² + (−2) ² + 3 ² ) = √( 1+4+9) = √14

Вот пример с 4-мя измерениями (но рисовать сложно!):

Пример: вычесть (1, 2, 3, 4) из (3, 3, 3, 3)

(3, 3, 3, 3) + −(1, 2, 3, 4)
= (3, 3, 3, 3) + (−1,−2,−3,−4)
= (3−1, 3−2, 3−3, 3−4)
= (2, 1, 0, −1 )

 

Величина и направление

Мы можем знать величину и направление вектора, но нам нужны его длины x и y (или наоборот):

	<=>
Вектор a в полярных координатах		Вектор a в декартовых координатах Координаты

Вы можете прочитать, как преобразовать их в полярные и декартовы координаты, но вот краткий обзор:

Из полярных координат (r, θ ) в декартовы координаты (x,y)		Из декартовых координат (x,y) в полярные координаты (r, θ)
x = r × cos( θ ) y = r × sin( θ )		г = √ ( х 2 + у 2 ) θ = тангенс -1 (г/х)

 

 

Пример

Сэм и Алекс тянут ящик.