Логарифмом числа b по основанию a называется: Понятие логарифма — урок. Алгебра, 11 класс.

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Справочник по математике

Алгебра

Логарифмы

Определение логарифма, основное логарифмическое тождество

Свойства логарифмов

Использование свойств логарифмов при решениии логарифмических уравнений и неравенств

Десятичные логарифмы и натуральные логарифмы

Определение логарифма, основное логарифмическое тождество

      Рассмотрим два произвольных действительных числа   a   и   b,   удовлетворяющих условиям

(1)

      Определение. Логарифмом числа   b   по основанию   a   называют такую степень, в которую надо возвести число   a,   чтобы получить число   b.

      Другими словами, логарифм числа   b   по основанию   a   – это такое число   x,   которое является решением уравнения

a x= b .

(2)

      Доказательство того, что решение уравнения (2) существует и единственно, выходит за рамки школьной программы.

      Для логарифма числа   b   по основанию   a   используется обозначение:

log_a b .

      Таким образом, для всех действительных чисел   a   и   b,   удовлетворяющих условиям (1), справедливо равенство

которое часто называют основным логарифмическим тождеством.

      Замечание. Обратим особое внимание на то, что при решении уравнения (2) мы ищем показатель степени, а при решении уравнения

x ^a = b.

мы ищем основание степени, которое вычисляется по формуле

и в случае, когда   a   – натуральное число, является корнем натуральной степени из числа   b.

      Пример 1. Решить уравнение

x³ = 81 .

      Решение. Воспользовавшись понятием кубического корня и свойствами степеней, получаем

      Ответ: .

      Пример 2. Решить уравнение

3^x= 81 .

      Решение. Воспользовавшись тем, что число   81   является четвертой степенью числа   3 ,   получаем:

      Ответ:   4 .

      Задача. Доказать, что число

log₂ 3

иррационально.

      Решение. Предположим противное, т.е. предположим, что указанное число рационально. Тогда существует несократимая дробь

,

числитель и знаменатель которой являются натуральными числами и такая, что справедливо равенство:

      Из определения логарифма отсюда вытекает равенство:

следствием которого является равенство:

2^m= 3ⁿ .

      Но последнее равенство невозможно, поскольку его левая часть четное число, а правая – нечетное. Полученное противоречие доказывает требуемое в задаче утверждение.

Свойства логарифмов

      Перечисленные ниже свойства логарифмов вытекают из основного логарифмического тождества:

	(основное свойство логарифмов),
	(основное свойство логарифмов),
	(формула перехода к новому основанию логарифмов),

(основное свойство логарифмов),

(основное свойство логарифмов),

(формула перехода к новому основанию логарифмов),

Использование свойств логарифмов при решении логарифмических уравнений и неравенств

      Для того, чтобы не ошибаться при решении логарифмических уравнений и неравенств, свойства логарифмов, перечисленные в предыдущем разделе, следует применять внимательно и аккуратно.

      Например, если при решении уравнения или неравенства требуется преобразовать выражение

log_a ( f (x)² ) ,

то вместо формулы

следует применять формулу

поскольку в противном случае можно потерять корни.

      По той же причине при преобразовании выражений

log_a ( f (x) g (x))    и

следует использовать формулы:

и

      Замечание. Желающим усовершенствовать свои знания и умения при решении уравнений и неравенств с логарифмами мы рекомендуем ознакомиться с нашими учебными пособиями «Решение логарифмических уравнений» и «Решение логарифмических неравенств».

Десятичные логарифмы и натуральные логарифмы

      В математике, физике и во многих других областях естествознания и технологий важное место занимают десятичные логарифмы и натуральные логарифмы.

      Десятичные логарифмы – это логарифмы с основанием   10,   а основанием натуральных логарифмов является иррациональное и трансцендентное число   e,   которое определяется по формуле

доказательство которой выходит за рамки школьной программы.

      Для десятичных и натуральных логарифмов используются соответственно обозначения:

lg b       и       ln b,

причем

lg e = 0,43429…,

ln 10 = 2,30259…

      Графики логарифмических функций представлены в разделе «Графики степенных, показательных и логарифмических функций» нашего справочника.

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество

Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество

Навигация по странице:

• Определение
• Калькулятор логарифмов
• График логарифма
• Основное логарифмическое тождество
• Вычисление логарифмов

Определение. Логарифмом числа b по основанию a, где a > 0, a ≠ 1, b > 0, называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтоб получить число b.

Обозначение. log_a b — произносится: «логарифм b по основанию a».

Калькулятор логарифмов

log -2

График

y = log₂ x

Записи log_a b = c и b = a^c равносильны.

Подставив во вторую формулу значение степени через логарифм, получим основное логарифмичесое тождество.

Основное логарифмическое тождество

При условии, что a > 0, a ≠ 1, b > 0 можно записать основное логарифмическое тождество

a^log_ab = b

Примеры:

3^log₃ 7 = 7

3^-log₃ 7 = 13^log₃ 7 = 17

4^log₂ 7 =2^{2 log₂ 7} = (2^log₂ 7)² = 7² = 49

2^{1 + log₂ 7} = 2 · 2^log₂ 7 = 2 · 7 = 14

Вычисление логарифма равносильно решению показательного уравнения

Показательное уравнение:

a^x = b,

при условии a > 0, a ≠ 1; b > 0, где

x — показатель степени, a — основа степени, b — степень числа a.

Логарифмическое уравнение:

log_a b = x,

при условии a > 0, a ≠ 1; b > 0, где

x — логарифм числа b с основой a, a — основа логарифма, b — число, которое стоит под знаком логарифма.

Примеры:

2⁵ = 32    ⇔    5 = log₂ 32;

3⁴ = 81    ⇔    4 = log₃ 81;

log_1/5 125 = -3    ⇔    (1/5)^-3 = 125;

log₂116 = -4

    ⇔    2^-4 = 116.

Пример 1

Найти логарифм: log ₄ 8

Обозначим log₄ 8 через x:

log₄ 8 = x

Перейдем к показательному уравнению:

4^x = 8

Сведем показательное уравнение к основе 2 и решим его:

2^2x = 2³

2x = 3

x = 32

Ответ:

log₄ 8 = 32

Пример 2

Найти x если : log_x 125 = 32

За определением логарифма имеем:

x^3/2 = 125

Возведем обе части в степень 23, и воспользуемся свойствами степеней:

(x^3/2)^2/3 = 125

2/3

x = (5³)^2/3 = 5^3·2/3 = 5² = 25

Ответ:

x = 25

Логарифмы Логарифм числа, основное логарифмическое тождество Формулы и свойства логарифмов Логарифм произведения. Сумма логарифмов Логарифм частного. Разность логарифмов Логарифм степени Логарифм корня Логарифмирование Потенцирование Десятичный логарифм Натуральный логарифм Число е Логарифмическая функция Логарифмические уравнения Логарифмические неравенства

Логарифм | Правила, примеры и формулы

Ключевые люди:

Джон Напье Генри Бриггс Йоост Бюрги

Похожие темы:

натуральный логарифм мантисса десятичный логарифм власть

Просмотреть весь связанный контент →

Резюме

Прочтите краткий обзор этой темы

логарифм , показатель или степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число. Выражаясь математически, x — это логарифм N до базы B IF B ^x = N , в котором один случай = log _{B924923 .}

Например, 2 ³  = 8; следовательно, 3 — это логарифм 8 по основанию 2, или 3 = log ₂  8. Таким же образом, поскольку 10 ²  = 100, то 2 = log ₁₀  100. Логарифмы последнего вида (что логарифмы с основанием 10) называются обычными или бриггсовскими логарифмами и записываются просто log п .

Логарифмы, изобретенные в 17 веке для ускорения вычислений, значительно сократили время, необходимое для умножения многозначных чисел. Они были основными в численной работе более 300 лет, пока совершенствование механических вычислительных машин в конце 19 века и компьютеров в 20 веке не сделало их устаревшими для крупномасштабных вычислений. Натуральный логарифм (с основанием

e ≅ 2,71828 и записанный как ln n ), однако, продолжает оставаться одной из самых полезных функций в математике, с приложениями к математическим моделям во всех физических и биологических науках.

Свойства логарифмов

Логарифмы были быстро приняты учеными из-за различных полезных свойств, упрощающих длительные и утомительные вычисления. В частности, ученые могли найти произведение двух чисел m и n , просматривая логарифм каждого числа в специальной таблице, складывая логарифмы вместе, а затем снова обращаясь к таблице, чтобы найти число с этим вычисленным логарифмом (известным как его антилогарифм). Выраженная в виде десятичных логарифмов, эта связь определяется как log m n  = log m  + log  n . Например, 100 × 1000 можно вычислить, найдя логарифмы 100 (2) и 1000 (3), сложив логарифмы (5), а затем найдя антилогарифм (100 000) в таблице. Точно так же задачи деления преобразуются в задачи вычитания с логарифмами: log m / n = log m − log n . Это еще не все; вычисление степеней и корней можно упростить с помощью логарифмов. Логарифмы также можно преобразовывать между любыми положительными основаниями (за исключением того, что 1 нельзя использовать в качестве основания, поскольку все его степени равны 1), как показано в Щелкните здесь, чтобы увидеть полноразмерную таблицу логарифмических законов.

В таблицы логарифмов обычно включались только логарифмы чисел от 0 до 10. Чтобы получить логарифм некоторого числа за пределами этого диапазона, число сначала было записано в научной записи как произведение его значащих цифр и его экспоненциальной степени — например, 358 будет записано как 3,58 × 10 ² , а 0,0046 будет можно записать как 4,6 × 10 ⁻³ . Затем в таблице можно было найти логарифм значащих цифр — десятичную дробь от 0 до 1, известную как мантисса. Например, чтобы найти логарифм числа 358, нужно найти log 3,58 ≅ 0,55388. Следовательно, log 358 = log 3,58 + log 100 = 0,55388 + 2 = 2,55388. В примере числа с отрицательным показателем степени, например 0,0046, можно найти log 4,6 ≅ 0,66276. Следовательно, log 0,0046 = log 4,6 + log 0,001 = 0,66276 — 3 = -2,33724.

История логарифмов

Предвестником изобретения логарифмов стало сравнение арифметических и геометрических последовательностей. В геометрической последовательности каждый член образует постоянное отношение со своим последующим; например, …1/1000, 1/100, 1/10, 1, 10, 100, 1000… имеет обыкновенное отношение 10.

В арифметической последовательности каждый последующий член отличается на константу, известную как общая разность; например, …−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3… имеет общую разность 1. Обратите внимание, что геометрическую последовательность можно записать в терминах ее знаменателя; для приведенного выше примера геометрической последовательности: …10 ⁻³ , 10 ⁻² , 10 ⁻¹ , 10 ⁰ , 10 ¹ , 10 ² , 10 ^{3 …} . Умножение двух чисел в геометрической последовательности, скажем, 1/10 и 100, равносильно сложению соответствующих показателей степени обыкновенного отношения, -1 и 2, чтобы получить 10 ¹  = 10. Таким образом, умножение превращается в сложение. Однако первоначальное сравнение двух серий не было основано на каком-либо явном использовании экспоненциальной записи; это была более поздняя разработка. В 1620 г. швейцарский математик Йост Бюрги опубликовал в Праге первую таблицу, основанную на концепции соотношения геометрических и арифметических последовательностей.

Шотландский математик Джон Нейпир опубликовал свое открытие логарифмов в 1614 году. Его цель состояла в том, чтобы помочь в умножении величин, которые тогда назывались синусами. Весь синус был величиной стороны прямоугольного треугольника с большой гипотенузой. (Первоначальная гипотенуза Непера была 10

7 .) Его определение было дано в терминах относительных скоростей.

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подписаться сейчас

Таким образом, логарифм любого синуса представляет собой число, очень точно выражающее линию, которая одинаково увеличивалась в течение определенного времени, в то время как линия всего синуса пропорционально уменьшалась в этом синусе, причем оба движения были равновременны и начало смещалось одинаково.

В сотрудничестве с английским математиком Генри Бриггсом Нейпир привел свой логарифм в его современную форму. Для логарифма Напера сравнение будет между точками, движущимися по градуированной прямой линии,

L точка (для логарифма) движется равномерно от минус бесконечности до плюс бесконечности, X точка (для синуса) движется от нуля до бесконечности со скоростью, пропорциональной ее расстоянию от нуля. Кроме того, L равно нулю, когда X равно единице, и их скорости в этой точке равны. Суть открытия Непера состоит в том, что оно представляет собой обобщение отношения между арифметическим и геометрическим рядами; т. е. умножение и возведение в степень значений 9Точка 0023 X

соответствует сложению и умножению значений точки L соответственно. На практике удобно ограничить движение L и X требованием, чтобы L  = 1 при X  = 10 в дополнение к условию, что X  = 1 при L  = 0. Это изменение привело к бриггсовскому или десятичному логарифму.

Нейпир умер в 1617 году, и Бриггс продолжил работу в одиночку, опубликовав в 1624 году таблицу логарифмов, рассчитанных до 14 знаков после запятой для чисел от 1 до 20 000 и от 9.от 0 000 до 100 000. В 1628 году голландский издатель Адриан Влак опубликовал 10-местную таблицу для значений от 1 до 100 000, добавив недостающие 70 000 значений. И Бриггс, и Влак занимались созданием логарифмических тригонометрических таблиц.

Такие ранние таблицы были либо с точностью до одной сотой градуса, либо с точностью до одной угловой минуты. В 18 веке таблицы были опубликованы для 10-секундных интервалов, которые были удобны для таблиц с семью десятичными знаками. В общем случае требуются более тонкие интервалы для вычисления логарифмических функций меньших чисел, например, при вычислении функций log sin x и логарифмический тангенс x .

Наличие логарифмов сильно повлияло на форму плоской и сферической тригонометрии. Процедуры тригонометрии были переработаны для получения формул, в которых операции, зависящие от логарифмов, выполняются одновременно. Тогда обращение к таблицам состояло всего из двух шагов: получения логарифмов и, после выполнения вычислений с логарифмами, получения антилогарифмов.

Фрэнсис Дж. Мюррей

Натуральный логарифм | Определение, правила и факты

• Развлечения и поп-культура
• География и путешествия
• Здоровье и медицина
• Образ жизни и социальные вопросы
• Литература
• Философия и религия
• Политика, право и правительство
• Наука
• Спорт и отдых
• Технология
• Изобразительное искусство
• Всемирная история

• В этот день в истории
• Викторины
• Подкасты
• Словарь
• Биографии
• Резюме
• Самые популярные вопросы
• Обзор недели
• Инфографика
• Демистификация
• Списки
• #WTFact
• Товарищи
• Галереи изображений
• Прожектор
• Форум
• Один хороший факт

• Развлечения и поп-культура
• География и путешествия
• Здоровье и медицина
• Образ жизни и социальные вопросы
• Литература
• Философия и религия
• Политика, право и правительство
• Наука
• Спорт и отдых
• Технология
• Изобразительное искусство
• Всемирная история

• Britannica объясняет
  В этих видеороликах Britannica объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы.
• Britannica Classics
  Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica.
• #WTFact Видео
  В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти.
• На этот раз в истории
  В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории.
• Demystified Videos
  В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы.

• Студенческий портал
  Britannica — это главный ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, государственное управление, литература и т. д.
• Портал COVID-19
  Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня.
• 100 женщин
  Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю.