2⁡x\), т.е. минус все равно выносится, но так как синуса два и они перемножаются, то в итоге получается плюс.


Примеры из ЕГЭ

Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения \(24\sqrt{2}\,cos⁡(-\frac{π}{3})\,sin⁡(-\frac{π}{4})\).
Решение. \(24\sqrt{2}\,cos⁡(-\frac{π}{3})\,sin⁡(-\frac{π}{4})=-24\sqrt{2}\,cos⁡\frac{π}{3}\,sin⁡\frac{π}{4}\).


Из рисунка видно, что и косинус, и синус положителен. Косинус из трех стандартных значений \(\frac{1}{2}\), \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) принимает наименьшее т.е. \(cos\,⁡\frac{π}{3}=\frac{1}{2}\). Синус из трех стандартных значений будет равен среднему т.е. \(sin⁡\,\frac{π}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Получается:

\(-24\sqrt{2}\,cos⁡\frac{π}{3}\,sin⁡\frac{π}{4}=-24\sqrt{2}\cdot\)\(\frac{1}{2}\)\(\cdot\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(=\)\(\frac{-24\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{4}\)\(=\)\(\frac{-24\cdot 2}{4}\)\(=-6\cdot2=-12\)

Ответ: \(-12\). ° )=-44\sqrt{3}\cdot(-\sqrt{3})=44\cdot 3=132\).
Ответ: \(132\).

Если вам не понятно, как мы нашли значение тангенса, то читайте статью «Как найти тангенс и котангенс без тригонометрической таблицы?».

Доказательства формул с минусом в аргументе:


Знайдіть sin(альфа) і cos(альфа), якщо tg(альфа)=2/3, π

Ответы
23.
02.19

✔Олеся / Математика
Читать ответы

Евгений
Читать ответы

Марина
Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука

Похожие вопросы

1)В воду объемом 1 л ,температура которой 20С°, бросают кусок железа массой 100г, нагретый до 500С°. 2 сколько будет

Решено

Помогите, пожалуйста!!! Очень важно!!! 1)В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с черным и зеленым чаем, одинаковые на вид, причем пакетиков с черным чаем в 9 раз больше, чем с зеленым. Найдите

В соляную кислоту сплав серебра с никелем массой 1,5 г,выделился водород объемом 0,224 л(н.у).Массовая доля никеля(в %)

Пользуйтесь нашим приложением

тригонометрических тождеств. Темы по тригонометрии.

Темы | Дом

 

20

Взаимные тождества

Тождества тангенса и котангенса

Пифагорейские тождества

Формулы суммы и разности

Формулы двойного угла

Формулы половинного угла

Продукты в сумме

Суммы как произведения

ИДЕНТИЧНОСТЬ — ЭТО РАВЕНСТВО, истинное для любого значения переменной.

(Уравнение — это равенство, верное только для определенных значений переменной.)

В алгебре, например, у нас есть такое тождество:

( х + 5)( х — 5) = х 2 — 25.

Значение тождества состоит в том, что в расчетах мы можем заменить один член другим. Мы используем тождество, чтобы придать выражению более удобную форму. В исчислении и всех его приложениях тригонометрические тождества имеют центральное значение.

На этой странице мы представим основные тождества. У студента не будет лучшего способа попрактиковаться в алгебре, чем доказать их. Ссылки на доказательства ниже.

Взаимные тождества

sin θ  =      1  
csc θ		         csc θ  =      1  
sin θ
 
cos θ  =      1  
с θ		         сек θ  =      1  
cos θ
 
тан θ  =      1  
кроватка θ		         детская кроватка θ  =      1  
тан θ

Доказательство

Опять же, в расчетах мы можем заменить любой элемент идентичности другим. Итак, если мы видим «sin θ», то можем, если захотим, заменить его на «»; и, симметрично, если мы видим «», то мы можем заменить его на «sin θ».

Задача 1. Что значит сказать, что csc θ является обратное значение sin θ?

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы снова закрыть ответ, нажмите «Обновить» («Reload»).

Это означает, что их произведение равно 1.

sin θ csc θ = 1.

Урок 5 Алгебры.

Задача 2.   Оценить

загар 30° csc 30° cot 30°.

коричневый 30° csc 30° ctg 30° = загар 30° cot 30° csc 30°
 
  = 1 · csc 30 °
 
  = 2.

Тема 4.

Тангенсные и котангенсные тождества

тангенс θ = sin θ
cos θ		          детская кроватка θ =   cos θ
sin θ

Доказательство здесь.

Пример 1. Покажите: tan θ cos θ = sin θ.

Решение:  Задача означает, что мы должны написать левую часть, а затем показать с помощью подстановок и алгебры, что мы можем преобразовать ее так, чтобы она выглядела как правая.

Начнем:

 =   при применении касательной идентичности,
 
   =   об отмене cos θ s.

Мы подошли к правой стороне.

Пифагорейские тождества

а)   sin 2 θ + cos 2 θ   =   1.
 
б) 1 + желто-коричневый 2 θ   =   сек 2 θ
 
в) 1 + детская кроватка 2 θ   =   csc 2 θ
 
a ‘ ) sin 2 θ   =   1 − cos 2 θ.
 
  cos 2 θ   =   1 − sin 2 θ.

Они называются тождествами Пифагора, потому что, как мы увидим в их доказательстве, они представляют собой тригонометрическую версию теоремы Пифагора.

Два тождества, помеченные как ‘ ) — «а-простое» — это просто разные версии а). Первый показывает, как мы можем выразить sin θ через cos θ; второй показывает, как мы можем выразить cos θ через sin θ.

Примечание:   sin 2 θ — «синус в квадрате тета» — означает (sin θ) 2 .

Задача 3.   Треугольник 3-4-5 прямоугольный.

а) Почему?

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы снова закрыть ответ, нажмите «Обновить» («Reload»).

Он удовлетворяет теореме Пифагора.

б) Оцените следующее:

sin 2 θ = 16
25		   cos 2 θ =  9 
25		   sin 2 θ + cos 2 θ =1.

Пример 2.   Показать:

 
 
Решение.  Снова нужно преобразовать левую часть в правую. Начинаем:
 
Взаимные тождества
 
  при сложении дробей
 
  Пифагорейские тождества
 
   
 
  Взаимные тождества

Именно это мы и хотели показать.

Формулы суммы и разности

грех (α + β)  =  sin α cos β + cos α sin β
sin (α − β)  =  sin α cos β − cos α sin β
соз (α + β)  =  cos α cos β − sin α sin β
соз (α − β)  =  cos α cos β + sin α sin β

Примечание:  В формулах синуса + или — слева также + или — справа. Но в формулах косинуса + слева становится — справа; и наоборот.

Поскольку эти тождества доказываются непосредственно из геометрии, от учащегося обычно не требуется овладевать доказательством. Однако все последующие тождества основаны на этих формулах суммы и разности. Студент обязательно должен их знать.

Вот доказательство формул суммы.

Пример 3.   Вычислите sin 15°.

Раствор. sin 15°  
 
    Формулы
 
    Темы 4 и 5
 
   

Пример 4.    Докажите:

.
   
 
Решение.     Идентификация касательной
 
      Формулы
 
      Теперь мы построим tan α, разделив первый член в числителе на cos α cos β. Но тогда мы должны разделить каждый член по cos α cos β:
       
 
       

Именно это мы и хотели доказать.

Формулы двойного угла

Доказательство

Существует три версии cos 2α. Первый с точки зрения обоих cos α и sin α. Второй только с точки зрения cos α. Третий — только с точки зрения sin α

Пример 5.    Показать:   sin 2α
Раствор. грех 2α = 2 sin α cos α   Формулы
 
      Теперь мы построим tan α путем деления на cos α. Но чтобы сохранить равенство, мы должны также умножить на cos α.
 
      Урок 5 Алгебры
 
       
 
      Взаимные тождества
 
      Пифагорейские тождества

Именно это мы и хотели доказать.

  Пример 6.     Показать:  
   Решение.     грех х

— согласно предыдущему тождеству с α = .

Формулы половинного угла

Следующие формулы половинного угла являются инверсией формул двойного угла, потому что α составляет половину 2α.

Знак плюс или минус зависит от квадранта. Под радикалом косинус имеет знак +; синус, знак -.

Доказательство

Пример 7.   Вычисление cos  №
8		 .
   Решение . С 90 050 №
8		  это половина   №
4		, то по
  формула половины угла:
 
 
    Тема 4
 
    Урок 23 алгебры
 
     
 
    Урок 27 алгебры
Пример 8.    Получение идентификатора для загара α
2		 .
   Решение .   желтовато-коричневый α
2		  =  Идентификация касательной
 
          = Формулы половинного угла
 
          =   
 
          =  Урок 19 алгебры
 
          =  Пифагорейское тождество ‘
 
          =   
 
          =   

при делении числителя и знаменателя на cos α.

Продукты в сумме

а) sin α cos β   =   ½[sin (α + β) + sin (α − β)]
 
б) cos α sin β   =   ½[sin (α + β) − sin (α − β)]
 
в) cos α cos β   =   ½[cos (α + β) + cos (α − β)]
 
г) грех α грех β   =   −½[cos (α + β) − cos (α − β)]

Доказательство

Суммы как произведения

д) грех А + грех В  =  2 sin ½ ( A + B ) cos ½ ( A − B )
 
е) грех А − грех В  =  2 sin ½ ( A − B ) cos ½ ( A + B )
 
г) cos A + cos B  =  2 cos ½ ( A + B ) cos ½ ( A − B )
 
ч) соз А − соз В  =  −2 sin ½ ( A + B ) sin ½ ( A − B )

В доказательствах учащийся увидит, что тождества с е) по з) являются инверсиями а) по d) соответственно, которые доказываются первыми. Тождество f) используется для доказательства одной из основных теорем исчисления, а именно производной sin x .

Учащийся не должен пытаться запомнить эти личности. Достаточно попрактиковаться в их доказательствах и увидеть, что они исходят из формул суммы и разности.

Темы | Дом

Copyright © 2022 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Электронная почта:  [email protected]


Тригонометрические тождества | Purplemath

Purplemath

В математике «тождество» — это уравнение, которое всегда верно. Они могут быть «тривиально» истинными, например, « x = x », или полезными, такими как теорема Пифагора «9».1284 a 2 + b 2 = c 2 » для прямоугольных треугольников. Существует множество тригонометрических тождеств, но ниже приведены те, которые вы, скорее всего, увидите и используете.

Базовый и пифагорейский, сумма углов и разность, двойной угол, полуугол, сумма, произведение

Содержание продолжается ниже

MathHelp.com

Нужен специальный курс по математике? Основные и пифагорейские тождества

Обратите внимание, что триггерный коэффициент «со-(что-то)» всегда является обратным коэффициенту «не-со». Вы можете использовать этот факт, чтобы понять, что косеканс идет с синусом, а секанс идет с косинусом.

Следующие (в частности, первая из трех ниже) называются «пифагорейскими» тождествами.

SIN 2 ( T ) + COS 2 ( T ) = 1

TAN 2 ( T ) + 1 = SEC 2 ( T ) + 1 = SEC 2 ( T ) + 1 = SEC 2 ( T ) + 1 = Sec 2 ( T ) + 1 = SEC 2 ( T ) + 1 = SEC 2 ( T ).0003

1 + кроватка 2 ( t ) = csc 2 ( t )

Обратите внимание, что три тождества прежде всего включают в себя квадрат и число 1. Вы можете ясно увидеть пифагорейскую связь, если вы рассмотрим единичный круг, где угол равен t , «противоположная» сторона равна sin( t ) = y , «прилегающая» сторона равна cos( t ) = x , а гипотенуза равно 1.

У нас есть дополнительные тождества, связанные с функциональным состоянием триггерных соотношений:

SIN ( -T ) = — SIN ( T )

COS ( -T ) = COS ( T )

TAN ( –T ) = 9128) =

= ) = 9128) = 9128). t )

Обратите внимание, что синус и тангенс являются нечетными функциями, симметричными относительно начала координат, а косинус является четной функцией, симметричной относительно оси y . Тот факт, что вы можете вынести знак «минус» аргумента за пределы (для синуса и тангенса) или полностью исключить его (для косинуса), может быть полезен при работе со сложными выражениями.

Тождества суммы углов и разностей

sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)

sin(α − β) = sin(α ) cos(β) − cos(α) sin(β)

cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β)

cos(α − β) = cos (α) cos(β) + sin(α) sin(β)

Кстати, в приведенных тождествах углы обозначены греческими буквами. Буква а-типа «α» называется «альфа», что произносится как «AL-fuh». Буква b-типа, «β», называется «бета», что произносится как «БАЙ-тух».

Двойной угла идентификации

SIN (2 x ) = 2 SIN ( x ) COS ( X )

COS (2 X ) = COS 2 2

(2 X ) = COS 2

2

(2 X ) = COS 2

2

(2 X ) = COS 2

(2 X ) = COS ) ) − sin 2 ( x ) = 1 − 2 sin 2 ( x ) = 2 cos 2 ( x ) − 1

Half-Angle Identities

Приведенные выше тождества можно переформулировать, возведя каждую сторону в квадрат и удвоив все меры углов. Результаты следующие:

sin 2 ( x ) = ½[1 − cos(2 x )]

cos 2 ( x ) = ½[1 + cos(2 x )]

Идентичности суммы

Идентичности произведения

Вы будете использовать все эти тождества или почти все для доказательства других триггерных уравнений и для решения триггерных уравнений.