Олимпиада по математике 9 класс, задания, уравнения, задачи с ответами

Курс математики в 9 классе посвящен достаточно серьезным темам. Ученики знакомятся с решением квадратных неравенств, понятиями множества и подмножества, числовыми функциями и прогрессиями. Участие в олимпиадах по математике для учеников 9 класса является хорошей возможностью подготовки к предстоящей ГИА.

На этой странице предложены реальные примеры олимпиадных заданий по математике. Ученикам предложены уравнения и задачи с решениями и ответами.

Данный материал может использоваться на занятиях для подготовки к олимпиаде, а также во время проведения контрольных или итоговых работ по математике. Подробные решения задач, расписанные внизу страницы помогут провести работу над ошибками и восполнить пробелы в знаниях учащихся.

Уравнения

1. Решите уравнение: − − 3 = 0

2. Решите уравнение: − + 2 = 0

3. Решите уравнение: − + 4 = 0

4. Решите уравнение: ( + )( + + 2) = 3

5. Решите уравнение: x4 − + 18 = 0

6. Решите уравнение: ( − − 16)( − + 2) = 88

7. Решите уравнение: ( + )( + − 5) = 84

8. Решите уравнение: ( − 1)( + 1) − 4( − 11) = 0

9. Решите уравнение: + − − + + 5 = 0

10. При каких с не имеет корней уравнение: − + с = 0

Задачи

Задача №1
Можно ли представить дробь 2/7 в виде суммы двух дробей, числители которых равны 1, а знаменатели — различные целые числа?

Задача №2
Токарь и его ученик, работая одновременно, обычно выполняют задание за 4 часа. При этом производительность труда токаря в 2 раза выше производительности ученика. Получив такое же задание, и, работая по очереди, они справились с заданием за 9 часов работы. Какую часть задания выполнил ученик токаря.

Задача №3
Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?

Задача №4
На столе лежат 2005 монет. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди; за ход первый может взять со стола любое нечетное число монет от 1 до 99, второй – любое четное число монет от 2 до 100. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Задача №5
Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой. Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д., причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде, из которого вода отливается. Сколько воды будет в сосудах после 2007 переливаний?

Ответы к уравнениям

Уравнение№ 1№ 2№ 3№ 4№ 5
Ответ±нет корней±-1; 3±
; ±
Уравнение№ 6№ 7№ 8№ 9№ 10
Ответ-4; 5-3; 4нет корней±1; ±c > 36

Ответы к задачам

Задача 1
Можно. Например, 2/7=1/4+1/28.

Задача 2
Ученик выполнит 1\2 часть задания

Задача 3
Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8 + 9 + 9 = 26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.

Задача 4
Опишем стратегию первого игрока. Первым ходом он должен взять со стола 85 монет.  Каждым следующим, если второй игрок берет х монет, то первый игрок должен взять 101 – x монет (он всегда может это сделать, потому что если х – четное число от 2 до 100, то (101 – x) – нечетное число от 1 до 99). Так как 2005 = 101 × 19 + 85 + 1, то через 19 таких «ответов» после хода первого на столе останется 1 монета, и второй не сможет сделать ход, т. е. проиграет.

Задача 5
«Просчитав» несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить, что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды. Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером. Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в сосудах было по ½ л, то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть, так что в первом сосуде оказывается — 1/2 + (2/2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л). При следующем переливании, имеющем номер 2k + 1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается (k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л). Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет  по ½   л воды.

Другие классы
Обновлено: , автор: Валерия Токарева

ruolimpiada.ru

ГДЗ по математике для 9‐11 класса сборник задач М.И. Сканави

ГДЗ от Путина Найти
    • 1 класс
      • Математика
      • Английский язык
      • Русский язык
      • Немецкий язык
      • Информатика
      • Природоведение
      • Основы здоровья
      • Музыка
      • Литература
      • Окружающий мир
      • Человек и мир
    • 2 класс
      • Математика
      • Английский язык
      • Русский язык
      • Немецкий язык
      • Белорусский язык
      • Украинский язык
      • Информатика
      • Природоведение
      • Основы здоровья
      • Музыка
      • Литература
      • Окружающий мир
      • Человек и мир
      • Технология
    • 3 класс
      • Математика

gdzputina.ru

Олимпиадные задания по алгебре (9 класс) на тему: Олимпиада по математике 9 класс | скачать бесплатно

Всероссийская олимпиада по математике 2013-14 год. Задачи школьного тура

 для 9 класса.

Задача 1.

По беговой дорожке одновременно стартовали два спортсмена. Первый, имея большую скорость, добежал до конца дорожки, повернул обратно, встретил второго через 5 мин после начала бега и добежал до старта на 1 мин 20 с позже, чем второй до конца дорожки. Найдите скорость первого спортсмена и  длину дорожки, если второй бежал со скоростью 150 м/мин?

Задача 2.

В треугольнике АВС отмечена точка О- середина стороны АВ и проведены высоты АМ и ВР. Требуется доказать, что треугольник ОМР – равнобедренный. При каком условии треугольник ОМР является равносторонним?

Задача 3.

Доказать, что если х и у – такие целые числа, что выражение х2 + 3ху + у2 делится на 25, то каждое из чисел х и у делится на 5.

Задача 4.

На плоскости отмечены две точки А и В, расстояние между которыми равно 3,14 м. В точке А сидит блоха. Она может совершать прыжки в любом направлении, причём длина каждого прыжка равна 1 м. Может ли блоха за несколько прыжков попасть из точки  А в точку В?

Задача 5.

Существует ли такое число а, чтобы числа:   и   были целыми?

Решение задач и критерии оценки.

Задача 1.

По беговой дорожке одновременно стартовали два спортсмена. Первый, имея большую скорость, добежал до конца дорожки, повернул обратно, встретил второго через 5 мин после начала бега и добежал до старта на 1 мин 20 с позже, чем второй до конца дорожки. Найдите  скорость первого спортсмена и  длину дорожки, если второй бежал со скоростью 150 м/мин?

Решение:

До встречи второй бегун пробежал 750 м. Пусть х м- расстояние от финиша до точки встречи, а у м/мин — скорость 1-го бегуна. 5у = 750+ 2х. = х:150+4:3. Х= 2,5у – 375. У2- 70у-750х60=0. Откуда у=250 м/мин. Длина дистанции-1000м.

Ответ: 250 м/мин,1000 м.

Примечание. Необходима таблица квадратов.

Критерии оценки.

Приведено полное решение, возможно, в виде чертежа, получен верный ответ.

6 баллов.

Составлена  система  уравнений или графическая  схема. Решение не доведено до конца или допущена вычислительная ошибка.

3 балла.

Записан ответ без обоснования и все другие случаи.

0 баллов.

Задача 2.

В треугольнике АВС отмечена середина О стороны АВ и проведены высоты АМ и ВР. Доказать, что треугольник ОМР – равнобедренный. При каком условии треугольник ОМР является равно сторонним?

Решение :

А) Построим на отрезке АВ как на диаметре окружность. Тогда она пройдёт через точки М и Р, т.к. они являются вершинами прямых углов ( ∠АМВ = ∠АРВ = 90°), которые  опираются на диаметр и поэтому являются вписанными углами для построенной окружности. МО и РО – радиусы этой окружности, поэтому МО = РО.

Б) Угол АСВ измеряется полуразностью дуг АВ и МР. Если треугольник МРО – равносторонний, то ∠МОР = 60°; поэтому ∠АСВ = 0.5 (180° — 60°) = 60°.

Критерии оценки.

Приведено полное доказательство в части «А», получен верный обоснованный ответ в части «В».

6 баллов.

В части «А» построен чертёж, но нет ссылки на свойство вписанного угла и в части «В» есть запись формулы для вычисления угла АСВ. Или в части «А» приведено полное доказательство, а к части «В» участник не приступал.

3 балла.

Все другие случаи.

0 баллов.

Задача 3.

Доказать, что если х и у – такие целые числа, что выражение х2 + 3ху + у2 делится на 25, то каждое из чисел х и у делится на 5.

Решение :

Х2 + 3ху + у2 = (х – у)2 + 5ху. Так как всё выражение делится на 25, а 5ху делится на 5, то (х – у)2 делится на 5, а значит, и на 25, так как квадрат целого числа не может делиться на первую степень простого числа. Поэтому 5ху также делится на 25, откуда следует, что х и  у делятся на 5, но  х– у  делится на 5, поэтому оба числа делятся на 5.

Критерии оценки.

Приведено полное доказательство.

6 баллов.

Исходное выражение представлено в виде суммы двух слагаемых, есть указание на свойство разложения квадрата целого числа на простые множители.

3 балла.

Все другие случаи.

0 баллов.

Задача 4.

На плоскости отмечены две точки А и В, расстояние между которыми равно 3.14 м. В точке А сидит блоха. Она может совершать прыжки в любом направлении, причём длина каждого прыжка равна 1 м. Может ли блоха за несколько прыжков из точки  А в точку В?

Решение:

Существует много вариантов решения. Пусть OP-серединный перпендикуляр отрезка AB. АО= 1,57 м, поэтому, по свойству перпендикуляра и наклонной, на прямой ОР существуют точки, удалённые от А и В на любое целое расстояние, большее АО.  Например, точка С, т.ч. АС = СВ = 2. Блоха прыгнет по маршруту А → С → В. Здесь АС=СВ = 2. Понадобится 4 прыжка.

Критерии оценки.

Приведено обоснованное  решение, возможно, не совпадающее с предложенным, опирающееся на построение треугольника по трём сторонам, применение неравенства треугольника и т.п.

6 баллов.

Решение приведено в виде рисунка без пояснений.

3 балла.

Все другие случаи.

0 баллов.

Задача 5.

Существует ли такое число а, чтобы числа    и   были целыми?

Решение :

Пусть    ,  ,где m и n-целые числа, тогда , ; . Поэтому  — целое число. Это возможно только тогда, когда m=n, следовательно,  и . Т.о.  удовлетворяют условию задачи.

Критерии оценки.

Приведено полное доказательство, возможно, не совпадающее с предложенным

6 баллов.

Введены обозначения целых чисел, использовано свойство произведения целого и иррационального числа.

3 балла.

Все другие случаи.

0 баллов.

Литература.

  1. Грицаенко Н.П. Ну-ка, реши!: Кн. для учащихся. М.: Просвещение, 1998.
  2. КагановЭ.Д. 400 самых интересных задач с решениями по школьному курсу математики для 6-11 классов. -М. ЮНВЕС.-1997.

nsportal.ru

Решебник к выпускному экзамену по математике 9 класс

  • ГДЗ
  • 1 Класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Информатика
    • Природоведение
    • Основы здоровья
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Человек и мир
  • 2 Класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Белорусский язык
    • Украинский язык
    • Информатика
    • Природоведение
    • Основы здоровья
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Человек и мир
    • Технология
  • 3 Класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Белорусский язык
    • Украинский язык
    • Информатика
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Человек и мир
    • Испанский язык
  • 4 Класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Белорусский язык
    • Украинский язык
    • Информатика
    • Основы здоровья
    • Музыка

resheba.me

Тесты по Математике для 9 класса

Тесты по «Математике» для 9 класса

Выбери верный ответ

Математика 9 класс  |  Дата: 23.3.2019

Тест состоит из 6 вопросов базового уровня. Внимательно читайте задание и отвечайте на поставленный вопрос. Желаю удачи!

Математика 9 класс  |  Дата: 8.3.2019

Тест состоит из 6 вопросов базового уровня. Внимательно читайте задание и отвечайте на поставленный вопрос. Желаю удачи!

Математика 9 класс  |  Дата: 7.3.2019

Выбери верный ответ

Математика 9 класс  |  Дата: 7.3.2019

Тест состоит из 6 вопросов базового уровня. Внимательно читайте задание и отвечайте на поставленный вопрос. Желаю удачи!

Математика 9 класс  |  Дата: 13.2.2019

Выбери верный ответ

Математика 9 класс  |  Дата: 8.2.2019

Проверочный тест по теме «Арифметическая прогрессия»

Математика 9 класс  |  Дата: 7.2.2019

Выбери верный ответ

Математика 9 класс  |  Дата: 6.1.2019

Тест состоит из 6 вопросов базового уровня. Внимательно читайте задание и отвечайте на поставленный вопрос. Желаю удачи!

Математика 9 класс  |  Дата: 6.1.2019

Выберите правильный вариант ответа из предложенных ниже. Желаю удачи!

Математика 9 класс  |  Дата: 28.11.2018

Страница 1 из 10

testedu.ru

Олимпиадные задания по алгебре (9 класс) на тему: Задания для подготовки учащихся к муниципальному туру олимпиады по математике 9 класс | скачать бесплатно

Задания для подготовки к олимпиадам

9 класс

Вариант №1

Все трехзначные числа записаны в ряд: 100  101  102 … 998  999. Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль?

По определению, n ! = 1 · 2 · 3 · … · n . Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! · 2! · 3! · … · 20!, чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа?

С помощью циркуля и линейки разделите пополам угол, вершина которого недоступна.

Сколько существует треугольников со сторонами 5 см и 6 см, один из углов которого равен 20°?

На столе лежат 2005 монет. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди; за ход первый может взять со стола любое нечетное число монет от 1 до 99, второй – любое четное число монет от 2 до 100. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Ответы и решения задач варианта №1

Так как трехзначное число не может начинаться с нуля, то двойка, после которой идет нуль, не может стоять в разряде единиц одного из трехзначных чисел ряда. Пусть двойка стоит в разряде десятков трехзначного числа. Тогда идущий за ней нуль стоит в разряде единиц того же числа, т.е. это число оканчивается на 20.  Таких чисел 9: 120, 220, …, 920. Наконец, если двойка, после которой идет нуль, стоит в разряде сотен, то соответствующее трехзначное число начинается на 20. Таких чисел 10: 200, 201, …, 209. Таким образом, всего после двойки нуль будет встречаться 19 раз.

Заметим, что1! · 2! · 3! · 4! ·…· 20! = (1! · 2!) · (3! · 4!) ·…· (19! · 20!) =
= (1! · 1! · 2) · (3! · 3! · 4) · (5! · 5! · 6) ·…· (17! · 17! · 18) · (19! · 19! · 20) = 
= (1!)2 · (3!)2 · (5!)2 ·…· (19!)2  ·  (2 · 4 · 6 · 8 ·…· 18 · 20) =
= (1!)2 · (3!)2 · (5!)2 ·…· (19!)2 · (2 · (2 · 2) · (3 · 2) ·…· (10 · 2)) =
= (1! · 3! ·…· 19!)2 · 210 · (1 · 2 · 3 ·…· 2 · 10) = (1! · 3! ·…· 19!)2 (25)2 · 10!

Мы видим, что первые два множителя – квадраты, поэтому, если вычеркнуть 10!, то останется квадрат. Легко видеть, что вычеркивание других множителей, указанных в ответах, не дает желаемого результата.

Ответ: 10!

Задача имеет множество решений. Рассмотрим один из них. Выберем на сторонах угла произвольно по 2 точки: A, N, B, M и рассмотрим треугольники АВС и NМС. Проведем в каждом из этих треугольников биссектрисы углов. Точка пересечения биссектрис углов треугольника АВС принадлежит и биссектрисе угла С. Аналогично, точка пересечения 2 биссектрис углов треугольника NМС также лежит на биссектрисе угла С. Проводим через эти 2 точки прямую, которая будет и биссектрисой ﮮС. 


Есть только один треугольник, в котором угол 20° лежит между сторонами 5 см и 6 см. Попробуем построить треугольник, в котором сторона 6 см прилегает к углу 20°, а сторона 5 см лежит против него. Для этого от вершины угла отложим отрезок длиной 6 см, и проведем окружность радиуса 5 см с центром этого отрезка, не совпадающем с вершиной. Расстояние от центра этой окружность до второй стороны угла меньше 5 см (это расстояние равно катету угла в 20°). Отсюда следует, что окружность пересечет прямую, содержащую вторую сторону угла, в двух точках, причем из-за того что радиус меньше 6 см, обе эти точки будут лежать на стороне угла, и мы получим два разных треугольника.

Если же попробовать поменять ролями отрезки в 5 см и 6 см, то вершина угла окажется внутри построенной окружности, и мы получим только одну точку пересечения, а следовательно, и один треугольник.

Итак, мы получили всего 4 треугольника.

Опишем стратегию первого игрока. Первым ходом он должен взять со стола 85 монет.  Каждым следующим, если второй игрок берет х монет, то первый игрок должен взять 101 – х монет (он всегда может это сделать, потому что если х – четное число от 2 до 100, то (101 – х) – нечетное число от 1 до 99). Так как 2005=101· 19 + 85 + 1, то через 19 таких «ответов» после хода первого на столе останется 1 монета, и второй не сможет сделать ход, т. е. проиграет.

 

Вариант №2

В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°. Докажите, что трапеция – равнобедренная.

Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой. Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д., причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде, из которого вода отливается. Сколько воды будет в сосудах после 2007 переливаний?

Решите неравенство .

Решите уравнение x2 + 2005x – 2006 = 0.

Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?

Ответы и решения задач варианта №2

Пусть AD = a, BC = b, AC = a + b. Продолжим AD за точку D на расстояние DM = BC. Тогда очевидно, что ∆АСМ — равносторонний. Но это значит, что ∆АОD и ∆ВОС — тоже равносторонние. Отсюда непосредственно следует, что ∆АОВ = ∆СОD, откуда имеем, что AB = CD.

«Просчитав» несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить, что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды. Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером. Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в сосудах было по ½ л, то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть, так что в первом сосуде оказывается — 1/2 + (2/ 2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л). При следующем переливании, имеющем номер 2k+1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается (k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л). Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет  по ½   л воды. 

Заметим, что все решения исходного неравенства  существуют, если подкоренные выражения неотрицательны. Одновременно эти неравенства выполняются лишь при условии x2 – 4x + 3 = 0. Это уравнение имеет два корня 1 и 3. Проверка показывает, что исходное неравенство имеет единственное решение 3.

Исходное уравнение имеет очевидный корень 1. Второй корень найдем по формулам Виета. Так как x1x2 = -2006 и x1 = 1, то x2 = 2006.

Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8+9+9=26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.

Вариант №3

В параллелограмме АВС биссектриса угла С пересекает сторону А в точке М и прямую АВ  в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если АК = 12, СМ = 24, МК = 18.

Постройте график функции y = |x — 1| — |2 — x| + 2.

Вычислите  .

Решите уравнение x4 + 2006×2 – 2007 = 0.

Токарь и его ученик, работая одновременно, обычно выполняют задание за 4 часа. При этом производительность труда токаря в 2 раза выше производительности ученика. Получив такое же задание, и, работая по очереди, они справились с заданием за 9 часов работы. Какую часть задания выполнил ученик токаря.

Ответы и решения задач варианта №3

Ответ: 88.1) Из подобия треугольников ∆ AMK и ∆ DMC:
MK/MC = AK/DC ⇒ 18/24 = 12/CD, т. е. CD = (24 · 12)/18 = (24 · 2) /3 = 16.
2)ﮮ BCM = ﮮ MCD (CM – биссектриса ﮮ BCD), ﮮ BKM = ﮮ DCM как накрест лежащие при параллельных прямых BK и DC, и секущей KC. Следовательно, ∆ BKC – равнобедренный.
3)Таким образом, PABCD= 2 ∙ (16 + 28) = 88.

Ответ:

Ответ: 4 016 011. Пусть n = 2004, тогда . Преобразовав, получим

Ответ: 1, -1.

Ответ: ½ часть задания выполнит ученик.

Вариант №4

Докажите, что число  20082 + 20082 ×  20092 + 20092  является ли квадратом целого числа.

Рассматриваются функции вида y = x2 + ax + b, где  а + b = 2008. Докажите, что графики всех таких функций имеют общую точку.

На острове рыцарей и лжецов (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду) каждый болеет ровно за одну футбольную команду. В опросе приняли участие все жители острова. На вопрос «Болеете ли Вы за «Спартак»?» ответили «Да» 40% жителей. На аналогичный вопрос про «Зенит» утвердительно ответили 30%, про «Локомотив» — 50%, а про ЦСКА – 0%. Какой процент жителей острова действительно болеет за «Спартак»?

В выпуклом пятиугольнике ABCDE  ﮮА = ﮮB =ﮮD = 90°. Найдите ﮮADB, если известно, что в данный пятиугольник можно вписать окружность.

Кольцевая дорога поделена столбами на километровые участки, и известно, что количество столбов четно. Один из столбов покрашен в желтый цвет, другой — в синий, а остальные – в белый. Назовем расстояние между столбами длину кратчайшей из двух соединяющих их дуг. Найдите расстояние от синего столба до желтого, если сумма расстояний от синего столба до белых равна 2008 км. 

Ответы и решения задач варианта №4

Рассмотрим выражение n2 + n2 (n + 1)2  + (n + 1)2 = n4+ 2n3 + 2n2 + (n + 1)2 = n4+ 2n2 (n + 1) + (n + 1)2 = (n2 + n + 1)2. Данное число есть значение этого выражения при n = 2008. Значит, 20082 + 20082∙20092 + 20092 = (20082 + 2009)2 – квадрат целого числа.

y(1) = 1 + a + b = 2009. Следовательно, каждый из данных графиков проходит через точку с координатами (1; 2009).

Пусть x% жителей острова составляют лжецы. Тогда (100 – х)% составляют рыцари. Так как каждый рыцарь утвердительно ответил ровно на один из вопросов, а каждый лжец – на три, то (100 – х) + 3х = 40 + 30 + 50, откуда х = 10. Так как ни один из жителей острова не сказал, что болеет за ЦСКА, то все лжецы болеют за ЦСКА. Каждый из них заявил, что болеет за «Спартак», поэтому действительно болеют за «Спартак» 40% — 10% = 30% жителей.

Пусть О — центр окружности, вписанной в пятиугольник АВСDE. Проведем перпендикуляры ОК, ОL, OM, ON и OT к сторонам AB, BC, CD, DE и EAсоответственно. Поскольку проведенные отрезки являются радиусами окружности, то четырехугольники AKOT, KBLO и OMDN — равные квадраты. Диагонали  OA, OB и OD рассмотренных квадратов равны, поэтому О – центр окружности, описанной около ∆ ADB. Следовательно, ﮮADB = 1/2ﮮAOB = 45°. (Учащиеся могут предложить и другие способы нахождения угла ADB,например, используя свойства отрезков касательных и формулу для нахождения суммы внутренних углов выпуклого пятиугольника).

Пусть на кольцевой дороге – 2n столбов. Вычислим сумму расстояний от синего столба до всех остальных: 2(1 + 2 + …+ (n– 1)) + n = 2((1 + n -1)/2) n + n = n2 (км). Следовательно, n2 > 2008. Учитывая, что n – натуральное число, получим, что n ≥ 45. Так как расстояние от синего столба до желтого не превосходит n, то n2 – n ≤ 2008 n(n – 1) ≤ 2008. Несложно проверить, что n = 45 удовлетворяет этому неравенству, а любое натуральное n, начиная с 46, — не удовлетворяет. Тогда n2 = 2025, следовательно, расстояние от синего столба до желтого равно 2025 – 2008 = 17.
Ответ: 17 км.

nsportal.ru

Недельные домашние задания для подготовки к ОГЭ по математике для 9 класса

Главная / Старшие классы / Алгебра Скачать

34.87 КБ, 430702.docx Автор: Эльснер Мария Владимировна, 21 Мар 2015

Скачать

36.07 КБ, 430704.docx Автор: Эльснер Мария Владимировна, 21 Мар 2015

Скачать

34.82 КБ, 430705.docx Автор: Эльснер Мария Владимировна, 21 Мар 2015

Скачать

35.31 КБ, 430707.docx Автор: Эльснер Мария Владимировна, 21 Мар 2015

Скачать

34.18 КБ, 430708.docx Автор: Эльснер Мария Владимировна, 21 Мар 2015

Скачать

76.41 КБ, 430710.docx Автор: Эльснер Мария Владимировна, 21 Мар 2015

Скачать

76.34 КБ, 430711.docx Автор: Эльснер Мария Владимировна, 21 Мар 2015

Скачать

75.63 КБ, 430713.docx Автор: Эльснер Мария Владимировна, 21 Мар 2015

Скачать

67.64 КБ, 430714.docx Автор: Эльснер Мария Владимировна, 21 Мар 2015

Скачать

79.12 КБ, 430716.docx Автор: Эльснер Мария Владимировна, 21 Мар 2015

Скачать

97.49 КБ, 430718.docx Автор: Эльснер Мария Владимировна, 21 Мар 2015

Скачать

101.84 КБ, 430719.docx Автор: Эльснер Мария Владимировна, 21 Мар 2015

Скачать

78.79 КБ, 430720.docx Автор: Эльснер Мария Владимировна, 21 Мар 2015

Скачать

89.1 КБ, 430722.docx Автор: Эльснер Мария Владимировна, 21 Мар 2015

Скачать

91.75 КБ, 430723.docx Автор: Эльснер Мария Владимировна, 21 Мар 2015

Скачать

52.91 КБ, 430724.docx Автор: Эльснер Мария Владимировна, 21 Мар 2015

Скачать

64.85 КБ, 430726.docx Автор: Эльснер Мария Владимировна, 21 Мар 2015

Скачать

65.17 КБ, 430728.docx Автор: Эльснер Мария Владимировна, 21 Мар 2015

Скачать

39.67 КБ, 430729.docx Автор: Эльснер Мария Владимировна, 21 Мар 2015

Скачать

37.57 КБ, 430730.docx Автор: Эльснер Мария Владимировна, 21 Мар 2015

Скачать

408.74 КБ, 430732.docx Автор: Эльснер Мария Владимировна, 21 Мар 2015

Скачать

170.25 КБ, 430734.docx Автор: Эльснер Мария Владимировна, 21 Мар 2015

Данный материал предназначен для подготовки к ОГЭ по математике для 9 класса. Подобраны прототипы по алгебре и геометрии для успешного выполнения части В


Автор: Эльснер Мария Владимировна

Похожие материалы

pedportal.net