3.Линейная функция вида y = kx + b

Линейной функцией называется функция вида y = kx + b, заданная на множестве всех действительных чисел. Здесь k – угловой коэффициент (действительное число), b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная.

В частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b).

Если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью.

Геометрический смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.

Свойства линейной функции:

1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;

2) Если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. Если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;

3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.

a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;

b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;

d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.

4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;

5) Точки пересечения с осями координат:

Ox:  y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.

Oy:  y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.

Замечание.Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х.

6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.

a) k > 0;  kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – положительна при x  из (-b/k; +∞),

y = kx + b – отрицательна при

x  из (-∞; -b/k).

b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – положительна при x  из (-∞; -b/k),

y = kx + b – отрицательна при x  из (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,

k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k.

k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,

k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

8) Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов

www.sites.google.com

Линейная функция

Функция называется линейной, если ее можно записать в виде \(y=kx+b\), где \(k\) и \(b\) -некоторые числа.

Примеры:

\(y=\frac{1}{3}x-5\)

  

\(k=\frac{1}{3}\), \(b=-5\)

\(y=2x\)

\(k=2\), \(b=0\)

\(y=8\)

\(k=0\), \(b=8\)

Функция не всегда сразу задана в виде \(y=kx+b\), иногда такой вид получится только после преобразований. Например, \(y=6(x-1)+10x\) — это линейная функция, потому что если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые мы получим \(y=16x-6\).

График линейной функции всегда представляет собой прямую линию – отсюда и название: «линейная функция».

Чтобы в этом убедиться построим графики функций \(y=2x\),     \(y=\frac{1}{3}x-5\),     \(y=8\).

        

Если вы вдруг забыли, как строить графики, можете прочитать об этом здесь.

Как меняется график при разных \(k\)?

Чтобы определить, как влияет на график коэффициент  \(k\), построим несколько функций разными \(k\):  \(\frac{1}{3}\),\(-\frac{1}{3}\),\(2\),\(-2\) и \(0\). При этом во всех функциях сделаем \(b\) одинаковым (равным нулю), чтобы убрать его влияние.
То есть, построим графики для функций: \(y=\frac{1}{3}x\),    \(y=-\frac{1}{3}x\),     \(y=2x\),      \(y=-2x\),      \(y=0\).

Заметьте, что при \(k=2\) и \(\frac{1}{3}\) — функция возрастает, а при \(k=-2\) и \(-\frac{1}{3}\) — убывает. На самом деле:

При любом \(k>0\) функция возрастает и при любом \(k<0\) — убывает. Когда же \(k=0\) — она не возрастает и не убывает, а идет параллельна оси \(x\) (или совпадает с ней).

Так же можно заметить, чем больше модуль \(k\), тем «круче» график.

Как по графику определить коэффициент k?

  1. Сначала определим, возрастает или убывает функция. Если возрастает – знак коэффициента \(k\) плюс, если убывает – минус.
  2. Дальше надо построить на прямой прямоугольный треугольник, так чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Примерно вот так:


Чтобы определить значение \(k\) по модулю (то есть, без учета знака), надо вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную. Можно использовать правило для запоминания: «стоячий бьет лежачего». В данных случаях \(|k|=\frac{AC}{BC}\). То есть на первом графике \(k=2\),а на втором \(k=-\frac{1}{4}\).

Как меняется график при разных значениях \(b\)?

Чтобы определить, как \(b\) влияет на график, построим несколько функций с разными \(b\): \(6\), \(2\), \(0\), \(-3\) и \(-8\). При этом \(k\) пусть во всех функциях будет равен \(2\).

Не сложно заметить, что прямая либо поднимается на \(b\) (если \(b>0\)) либо опускается на \(|b|\) если
(\(b<0\)).

Как по графику функции определить значение \(b\)?

Очень просто — прямая пересекает ось \(y\) всегда в точке \(b\). Вы можете это увидеть на предыдущем графике.

Пример (ОГЭ): На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида  \(y=kx+b\). Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов \(k\) и \(b\).

A. B.

C.

Коэффициенты

1) \(k>0\),\(b>0\) 2) \(k<0\), \(b>0\) 3) \(k<0\), \(b<0\) 4) \(k>0\), \(b<0\)

Решение:
А. – функция убывает, поэтому \(k<0\). Точка пересечения оси \(y\) и прямой находится выше нуля, значит \(b>0\). Подходит вариант под цифрой 2).

B. — функция возрастает — \(k>0\). Точка пересечения оси \(y\) и прямой находится выше нуля, значит \(b>0\). Подходит вариант под цифрой 1).

C. – функция убывает — \(k<0\). Точка пересечения оси \(y\) и прямой находится ниже нуля, значит \(b<0\). Подходит вариант под цифрой 3).
Ответ: 213.

«Читерский» способ строить график линейной функции

Можно конечно строить график линейной функции по точкам, как описано здесь, но можно и быстрее, буквально в три шага:

  1. Отмечаем точку \(b\) на оси игреков.

  2. От неё идем вправо на количество клеточек равное знаменателю \(k\), и вверх на количество клеточек равное числителю \(k\) (если \(k>0\)) или вниз на тоже количество (если \(k<0\)).

  3. Проводим через эти две точки прямую.

Пример: Построить график функции \(y=3x+1\).

 

Шаг 1.

\(b=1\), поэтому отмечаем точку с этим значением на оси \(y\)

 

Шаг 2.

\(k=3\), а тройка это тоже самое, что \(\frac{3}{1}\). При этом \(k>0\). Поэтому идем вправо на единицу и вверх на \(3\). Ставим точку.

Шаг 3.

Проводим через эти две точки прямую.

                    

Пример: Построить график функции \(y=-\frac{1}{4} x-3\).

Шаг 1.

\(b=-3\) отмечаем точку с этим значением на оси \(y\).

 

Шаг 2.

\(k=-\frac{1}{4}\), \(k<0\),  числитель \(1\), знаменатель \(4\). Значит, идем вправо на \(4\) и вниз на единицу.

Шаг 3.

Проводим через эти две точки прямую.

                           

Немного потренируйтесь и вы сами поймете, какой это классный способ строить линейную функцию.

Скачать статью

cos-cos.ru

Линейная функция | Алгебра

Определение.

Линейная функция — это функция вида y=kx+b, где k и b — числа.

Графиком линейной функции является прямая.

Для построения прямой достаточно взять две точки.

Если x=0, то y=b.

Если y=0, x= -b/x.

Таким образом, график линейной функции проходит через точки (0;b) и (-b/k;0).

Свойства линейной функции

1) Область определения линейной функции состоит из всех чисел:

D: x∈(-∞;∞).

2) Область значений линейной функции состоит из всех чисел:

E: y∈(-∞;∞).

3) Нуль функции (y=0) x= -b/x.

4) При k>0 линейная функция возрастает.

При k<0  — убывает.

5) При k>0

Функция принимает положительные значения при x> -b/k, или

   

Функция принимает отрицательные значения при x< -b/k, или

   

При k<0

Функция принимает положительные значения при x< -b/k, или

   

Функция принимает отрицательные значения при x> -b/k, или

   

Число k называется угловым коэффициентом прямой. По значению k можно определить угол α, который прямая y=kx+b образует с положительным направлением оси Ox.

При k>0 угол α острый, при k<0 угол α — тупой.

   

Если k=0, линейная функции принимает вид y=b. График этой функции — прямая, параллельная оси Ox.

Например, на рисунке изображены графики линейных функций y=2  и y= -4.

Функция в этом случае постоянная (ни возрастает, ни убывает).

www.algebraclass.ru

Функции и Графики — сайт по математике и не только!!! ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Всё о Математических функциях и их графиках…

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

y = kx + b, где k,b — действительные числа
График линейной функции — прямая. k — угловой коэффициент k = tg a, b — ордината точки пересечения с осью y

Частные случаи линейной функции:

Прямая пропорциональность:Постоянная функция:

Взаимное расположение графиков линейных функций:

Если k1k2, графики функций y = k1 + b1 и y = k2x + b2 пересекаються в одной точке:Если k1 = k2,b1b2 графики функций y = k1 + b1 и y = k2x + b2 являются параллельными прямыми:

СВОЙСТВА ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ y = kx + b

  • ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ: R

  • ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ: при k 0 R при k = 0 {b}
  • ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ: если k 0, b 0, то функция ни четная и ни нечетная если k 0, b = 0, то функция нечетная если k = 0, b = 0, то функция четная если k = 0, b = 0, то функция равна нулю
  • НУЛИ: если k 0, то y = 0 при x = -b/k если k = 0, b 0, то нулей нет если k = 0, b = 0, то y = 0 при x R
  • ПРОМЕЖУТКИ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА:

    если k = 0, b > 0, то y > 0 при x R
    если k = 0, b y x R
    если k = 0, b = 0, то y = 0 при x R
  • ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ: если k = 0, b > 0, то функция возрастает при x R если k = 0, b x R если k = 0, b = 0, то функция постоянна при x R
  • ЭКСТРЕМУМОВ НЕТ
    • СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ:ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ ПО ДВУМ ТОЧКАМ

    Рассмотрим построение графика линейной функции по двум точкам: Функция y = 3x + 2 строиться по двум точкам (x1;b) и (x2;b+k), при x1=0, а x2=1. Теперь проведем через данные точки прямую: Если k 0, b 0, можно выбрать точки (0;b) и (-b/k;0) на осях координат: Например: y = 2x + 2 Если x1 = 0, то y1 = 2; Через точки (0,2) и (-1;0) проведем прямую: Если коэффициент перед х дробный, удобно выбирать х1 и х2 так, чтобы у1 и у2 были целыми. y = — 1/3x + 2 Если x1 = 3, то y1 = 1; Если x1 = -3, то y2 = 3; Через точки (3;1) и (-3;3) провести прямую.

    ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ y = kx + b С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГРАФИКА ФУНКЦИИ y = x

    График функции y = kx + b можно получить из графика y = x в три этапа:

    1.Построить график функции y = x 2.Произвести растяжение (при |k| > 1) или сжатие (при |k| у (если k 3.Произвести параллельный перенос графика вдоль оси у на |b| (вверх при b>0, вниз при b
    Примеры: 1: y = 2x — 1 2: y = —x/3 + 2

    fgraphiks.narod.ru

    Ответы@Mail.Ru: Что такое угловой коэффициент?

    коэффициент k в &#8203;уравнении у = kx+b прямой на координатной плоскости, численно равен &#8203;тангенсу угла (составляющего наименьший поворот от оси Ox к оси Оу) &#8203;между положительным направлением оси… Рациональное число — число, представляемое обыкновенной дробью, где m&#8203;— целое число, n — натуральное число. При этом число m называется &#8203;числителем, а число n — знаменателем дроби

    угловой коэффициент — это производная. рациональное число — это обыкновенная дробь.

    Если речь идет об уравнении прямой, то угловым коэффициентом называют тангенс угла наклона прямой к оси OX. Уравнение прямой это y = kx+b, k- угловой коэффициент. Рациональное число это такое число, которое можно представить в виде несократимой дроби a/b или бесконечной периодической дроби, например 1,3(3) = 1,33333333333333333333333333333333333…

    Найти угловые коэффициенты? <img data-big=»1″ data-lsrc=»//otvet.imgsmail.ru/download/74901404_71dfecfa1e8d154c258cfc22e60682c3_120x120.jpg» alt=»» src=»//otvet.imgsmail.ru/download/74901404_71dfecfa1e8d154c258cfc22e60682c3_800.jpg»>

    а) 0,6, б) -4,5; в) -15, г) -2/5

    touch.otvet.mail.ru