Как выразить одну переменную через другую? Как выразить переменную из формулы?

        Этот урок — полезное дополнение к предыдущей теме «Тождественные преобразования уравнений».

        Умение делать такие вещи — штука не просто полезная, она — необходимая. Во всех разделах математики, от школьной до высшей. Да и в физике тоже. Именно по этой причине задания подобного рода обязательно присутствуют и в ЕГЭ и в ОГЭ. Во всех уровнях — как базовом, так и профильном.

        Собственно, вся теоретическая часть подобных заданий представляет собой одну единственную фразу. Универсальную и простую до безобразия.

        Удивляемся, но запоминаем:

        Любое равенство с буквами, любая формула — это ТОЖЕ УРАВНЕНИЕ!

        А где уравнение, там автоматически и тождественные преобразования уравнений. Вот и применяем их в удобном нам порядке и — готово дело.) Читали предыдущий урок? Нет? Однако… Тогда эта ссылочка — для вас.

        Ах, вы в курсе? Отлично! Тогда применяем теоретические знания на практике.

        Начнём с простого.

 

Как выразить одну переменную через другую?

        Такая задача постоянно возникает при решении систем уравнений. Например, имеется равенство:

        3x — 2y = 5

        Здесь две переменные — икс и игрек.

        Допустим, нас просят выразить x через y.

        Что означает это задание? Оно означает, что мы должны получить некоторое равенство, где слева стоит чистый икс. В гордом одиночестве, безо всяких соседей и коэффициентов. А справа — что уж получится.

        И как же нам получить такое равенство? Очень просто! С помощью всё тех же старых добрых тождественных преобразований! Вот и применяем их в удобном нам порядке, шаг за шагом добираясь до чистого икса.

        Анализируем левую часть уравнения:

        3x – 2y = 5

        Здесь нам мешаются тройка перед иксом и —2y. Начнём с —, это попроще будет.

        Перекидываем — из левой части в правую. Меняя минус на плюс, разумеется. Т.е. применяем первое тождественное преобразование:

        3x = 5 + 2y

        Полдела сделано. Осталась тройка перед иксом. Как от неё избавиться? Разделить обе части на эту самую тройку! Т.е. задействовать второе тождественное преобразование.

        Вот и делим:

        

        Вот и всё. Мы выразили икс через игрек. Слева — чистый икс, а справа — что уж получилось в результате «очищения» икса.

        Можно было бы сначала поделить обе части на тройку, а затем — переносить. Но это привело бы к появлению дробей в процессе преобразований, что не очень удобно. А так, дробь появилась лишь в самом конце.

        Напоминаю, что порядок преобразований никакой роли не играет. Как нам удобно, так и делаем. Самое главное — не порядок применения тождественных преобразований, а их правильность!

        А можно из этого же равенства

        3x – 2y = 5

        выразить y через x?

        А почему — нет? Можно! Всё то же самое, только на этот раз нас интересует слева чистый игрек. Вот и очищаем игрек от всего лишнего.

        Первым делом избавляемся от выражения . Перебрасываем его в правую часть:

        –2y = 5 — 3x

        Осталась двойка с минусом. Делим обе части на (-2):

        И все дела.) Мы выразили y через х. Переходим к более серьёзным заданиям.

 

Как выразить переменную из формулы?

        Не проблема! Точно так же! Если понимать, что любая формула — тоже уравнение.

 

        Например, такое задание:

        Из формулы

        

        выразить переменную с.

        Формула — тоже уравнение! Задание означает, что через преобразования из предложенной формулы нам надо получить какую-то новую формулу. В которой слева будет стоять чистая с, а справа — что уж получится, то и получится…

        Однако… Как нам эту самую с вытаскивать-то?

        Как-как… По шагам! Ясное дело, что выделить чистую с сразу невозможно: она в дроби сидит. А дробь умножается на r… Значит, первым делом очищаем выражение с буквой с, т.е. всю дробь целиком. Здесь можно поделить обе части формулы на r.

        Получим:

        

        Следующим шагом надо вытащить с из числителя дроби. Как? Легко! Избавимся от дроби. Нету дроби — нету и числителя.) Умножаем обе части формулы на 2:

        

        Осталась элементарщина. Обеспечим справа букве с гордое одиночество. Для этого переменные a и b переносим влево:

        

       Вот и всё, можно сказать. Осталось переписать равенство в привычном виде, слева направо и — ответ готов:

        

      

        Это было несложное задание. А теперь задание на основе реального варианта ЕГЭ:

        Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 749 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле

        

        где с = 1500 м/с — скорость звука в воде,

        f0 — частота испускаемых импульсов (в МГц),

        f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц).

        Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 2 м/с.

       

        «Многа букафф», да… Но буквы — это лирика, а общая суть всё равно та же самая. Первым делом надо выразить эту самую частоту отражённого сигнала (т.е. букву f) из предложенной нам формулы. Вот этим и займёмся. Смотрим на формулу:

        

        Напрямую, естественно, букву f никак не выдернешь, она снова в дробь запрятана. Причём и в числитель и в знаменатель. Поэтому самым логичным шагом будет избавиться от дроби. А там — видно будет. Для этого применяем второе преобразование — умножаем обе части на знаменатель.

        Получим:

        

        А вот тут — очередные грабли. Прошу обратить внимание на скобки обеих частях! Частенько именно в этих самых скобочках и кроются ошибки в подобных заданиях. Точнее, не в самих скобочках, а в их отсутствии.)

        Скобки слева означают, что буква v умножается на весь знаменатель целиком. А не на его отдельные кусочки…

        Справа же, после умножения, дробь исчезла и остался одинокий числитель. Который, опять же, весь целиком умножается на буковку с. Что и выражается скобками в правой части. )

        А вот теперь скобки и раскрыть можно:

        

        Дальше дело нехитрое. Всё что с f собираем слева, а всё что без f — справа. Займёмся переносом:

        

        Отлично. Процесс идёт.) Теперь буковка f слева стала общим множителем. Выносим её за скобки:

        

        Осталось всего ничего. Делим обе части на скобку (vc) и — дело в шляпе!

        

        В принципе, всё готово. Переменная f уже выражена. Но можно дополнительно «причесать» полученное выражение — вынести f0 за скобку в числителе и сократить всю дробь на (-1), тем самым избавившись от лишних минусов:

        

        Вот такое выражение. А вот теперь и числовые данные подставить можно. Получим:

        

        Ответ: 751 МГц

 

        Вот и всё. Надеюсь, общая идея понятна.

        Делаем элементарные тождественные преобразования с целью уединить интересующую нас переменную. Главное здесь — не последовательность действий (она может быть любой), а их правильность.

 

        В этих двух уроках рассматриваются лишь два базовых тождественных преобразования уравнений. Они работают всегда. На то они и базовые. Помимо этой парочки, существует ещё множество других преобразований, которые тоже будут тождественными, но не всегда, а лишь при определённых условиях. 

        Например, возведение обеих частей уравнения (или формулы) в квадрат (или наоборот, извлечение корня из обеих частей) будет тождественным преобразованием, если обе части уравнения заведомо неотрицательны.

        Или, скажем, логарифмирование обеих частей уравнения будет тождественным преобразованием, если обе части заведомо положительны. И так далее…

        Подобные преобразования будут рассматриваться в соответствующих темах.

        А здесь и сейчас — примеры для тренировки по элементарным базовым преобразованиям.

 

        Простенькая задачка:

        Из формулы

        

        выразить переменную а и найти её значение при S=300, V0=20, t=10.

 

        Задачка посложнее:

        Средняя скорость лыжника (в км/ч) на дистанции в два круга рассчитывается по формуле:

        

        где V1 и V2 — средние скорости (в км/ч) на первом и втором кругах соответственно. Какова была средняя скорость лыжника на втором круге, если известно, что первый круг лыжник пробежал со скоростью 15 км/ч, а средняя скорость на всей дистанции оказалась равной 12 км/ч?

 

        Задача на основе реального варианта ОГЭ:

        Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) можно вычислить по формуле a2R, где ω — угловая скорость (в с-1), а R — радиус окружности. Пользуясь этой формулой, найдите радиус R (в метрах), если угловая скорость равна 8,5 с-1, а центростремительное ускорение равно 289 м/с2.

 

        Задача на основе реального варианта профильного ЕГЭ:

        К источнику с ЭДС ε=155 В и внутренним сопротивлением r=0,5 Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даётся формулой:

        

        При каком сопротивлении нагрузки напряжение на ней будет 150 В? Ответ выразите в омах.

 

        Ответы (в беспорядке): 4; 15; 2; 10.

        А уж где числа, километры в час, метры, омы — это как-нибудь сами…)

Есть уравнение. Как выразить одну переменную через другую? №7.23, алгебра, 7 класс, Мордкович – Рамблер/класс

Есть уравнение. Как выразить одну переменную через другую? №7.23, алгебра, 7 класс, Мордкович – Рамблер/класс

Интересные вопросы

Школа

Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?

Новости

Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?

Школа

Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?

Школа

Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?

Новости

Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?

Вузы

Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?

Дано линейное уравнение с двумя переменными.

Используя его, выразите каждую из переменных через другую:
а) 3а + 8b = 24;                       в) 12т — 3п = 48;
б)    6с + 5d = 30;                    г) 7x — 8y = 56.

ответы

Можно сделать так

ваш ответ

Можно ввести 4000 cимволов

отправить

дежурный

Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия  пользовательского соглашения

похожие темы

ЕГЭ

10 класс

9 класс

11 класс

похожие вопросы 5

Домашняя контрольная работа № 3 Вариант 2 10. При каких значениях р уравнение… Мордкович 8 класс алгебра

10. При каких значениях р уравнение  -х 2 + 6х — 2 = р:
а)    не имеет корней;
б)    имеет один корень; (Подробнее…)

ГДЗМордкович А.Г.Алгебра8 класс

Когда скорость изменения функции будет наибольшей или наименьшей? Алгебра 10-11 класс Колмогоров Упр 308

 Совсем я в точных науках не сильна) Кто поможет?) Найдите значения аргумента из промежутка [-2; 5], при которых скорость изменения (Подробнее. ..)

ГДЗ11 классКолмогоров А.Н.Алгебра

ГДЗ Тема 21 Физика 7-9 класс А.В.Перышкин Задание №476 Изобразите силы, действующие на тело.

Привет всем! Нужен ваш совет, как отвечать…
Изобразите силы, действующие на тело, когда оно плавает на поверхности жидкости. (Подробнее…)

ГДЗФизикаПерышкин А.В.Школа7 класс

11. Выпишите слово, в котором на месте пропуска пишется буква Е. Русский язык ЕГЭ-2017 Цыбулько И. П. ГДЗ. Вариант 12.

11.
Выпишите слово, в котором на месте пропуска пишется буква Е.
произнос., шь (Подробнее…)

ГДЗЕГЭРусский языкЦыбулько И.П.

ЕГЭ-2017 Цыбулько И. П. Русский язык ГДЗ. Вариант 12. 18. Расставьте все знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых)…

18.
Расставьте все знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых)
в предложении должна(-ы) стоять запятая(-ые). (Подробнее…)

ГДЗЕГЭРусский языкЦыбулько И. П.

переменных выражений | Определение, примеры решений, вопросы

 

Содержание

1. Введение в переменные выражения
2. Определение постоянной переменной, члена и коэффициента
3. Переменное выражение (алгебраическое выражение)
4. Типы переменных выражений
5. Нестандартное мышление!
6. Упражнение по вычислению переменных выражений
7. Решенные примеры для переменных выражений
8. Спорные вопросы по выражениям переменных
9. Практические вопросы по выражениям переменных
10. Важные темы
11. Образцы заданий олимпиады по математике
12. Часто задаваемые вопросы (FAQ)


Мы в Cuemath считаем, что математика — это жизненный навык. Наши эксперты по математике сосредотачиваются на «почему», стоящем за «что». Учащиеся могут изучить огромное количество интерактивных рабочих листов, визуальных материалов, симуляций, практических тестов и многого другого, чтобы глубже понять концепцию.

Запишитесь на БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие уже сегодня! и участвуйте в LIVE онлайн-классе Cuemath вместе со своим ребенком.

Введение в переменные выражения

Джеймс и Натали играли со спичками и придумали составлять из них узоры из чисел.

Джеймс взял 4 спички и составил число \(4\)

Натали добавила еще 3 спички, чтобы сформировать узор из двух \(4\)s.

Затем Джеймс снова добавил еще 3 спички, чтобы сформировать узор из трех \(4\)s.

Внезапно Натали засомневалась, сколько нужно спичек, чтобы составить узор из десяти \(4\) s?

Из существующего шаблона они поняли, что им нужно \(4+ 9 (3)\) палочек, чтобы сделать это, так как им нужен шаблон с десятью \(4\)с.

Из этого они сделали вывод, что им нужно \(4+(n-1)3\) палочек, чтобы составить узор из \(n\) числа \(4\) палочек.

Здесь \(4+(n-1)3\) называется алгебраическим выражением.


Определение переменной, константы, члена и коэффициента

  • Символ, который не имеет фиксированного значения, в математике называется переменной. Может принимать любое значение.

В приведенном выше примере \(n\) является переменной, и здесь она может принимать значения \(1,2,3,…\)

Некоторые примеры переменных в математике: \(a,b, х, у, г, м, \) и т. д.

  • Символ, имеющий фиксированное числовое значение, называется константой.

Все числа являются константами.

Некоторые примеры констант: \(3, 6, \dfrac{-1}{2}, \sqrt{5}\) и т. д.

  • Терм представляет собой переменную отдельно (или) отдельно константу (или) он может быть комбинацией переменных и констант посредством операции умножения или деления.
    2, \dfrac{-2}{3}y, \sqrt{5m},\) и т. д.

    Здесь числа, умножающие переменные, равны \(3, \dfrac{-2}{3} \) и \(5\), которые называются коэффициентами .

    CLUEless по математике? Узнайте, как CUEMATH Учителя объяснят вашему ребенку Variable Expressions с помощью интерактивных симуляций и рабочих листов, чтобы им больше никогда не приходилось запоминать что-либо по математике!

    Исследуйте живые, интерактивные и персонализированные онлайн-классы Cuemath, чтобы ваш ребенок стал экспертом по математике.

    Запишитесь на БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня!


    Переменное выражение (алгебраическое выражение)

    Переменное выражение (или) алгебраическое выражение представляет собой комбинацию терминов с помощью таких операций, как сложение, вычитание, умножение, деление и т. д.

    Пример переменного выражения

    Пример переменного выражения (или) алгебраическое выражение равно \(5x + 7\)

    92+2(-2)+7 &= 5(4)-4+7 \\&= 20-4+7\\&= 23\end{align}\]

    Итак, ответ \(23\ )


    Типы переменных выражений

    Существует \(5\) типов переменных выражений (или) алгебраических выражений.

    9{-1} +2г+3г\)
    Типы Значение Примеры

    Одночлен

     

    Think Tank

    1. Всякий ли многочлен является многочленом?
    2. Является ли каждый многочлен многочленом?

    Действия по вычислению переменных выражений

    Вот упражнение с переменными выражениями.

    Здесь вы можете выбрать одно из заданных выражений переменных и указать значение(я) для его переменной(й).

    Затем вы можете оценить и ввести значение решения переменного выражения в соответствии с введенными вами значениями.

    Не беспокойтесь, если вы введете неверный ответ на выражение.

    Он покажет вам пошаговое объяснение правильного ответа.

    Помогите своему ребенку получить более высокие баллы с помощью собственного БЕСПЛАТНОГО диагностического теста Cuemath. Получите доступ к подробным отчетам, индивидуальным планам обучения и БЕСПЛАТНОЙ консультации. Проведите тест сейчас.


    Решенные примеры

    Пример 1

     

     

    В мешке \(25\) апельсинов. Напишите переменное выражение (алгебраическое выражение) для количества апельсинов в \(x\) количестве мешков.

    Решение:

    Количество апельсинов в одном мешке = \(25\)

    Количество мешков = \(x\)

    Таким образом, количество апельсинов в \(x\) мешках = \( 25x\)

    Требуемое выражение переменной \(= 25x \)
    Пример 2

     

     

    Вычислите данное выражение переменной для \(a = 7; b = -3\) и \(c = 2\)

    \[6ab + 7bc + 9ca\]

    Решение

    Данное алгебраическое выражение равно \(6ab + 7bc + 9ca\)

    Подставьте следующие значения в приведенное выше выражение:

    \(a = 7; \;b = -3; \; c = 2\)

    \[\begin{align}6ab \!+\! 7bc \!+\! 9ca&\!=\! 6(7)(-3) \!+\! 7(-3)(2) \!+\! 9(2)(7)\\[0,3см]&\!=\!\!-\!126\!-\!42\!+\!126\\[0,3см]&\!=\!\ !-\!42\end{align}\]

    \[6ab + 7bc + 9ca = — 42 \]
    Пример 3

     

     

    Укажите правильный вариант(ы).

    \(4x+5\) является …

    (a) Одночлен

    (b) Двучлен

    (c) Трехчлен 92-3x+2\) в \(x=2\)

  • Практические вопросы


    Важные темы

    Ниже приведены список тем, которые тесно связаны с переменными выражениями. Эти темы также дадут вам представление о том, как такие понятия рассматриваются в Cuemath.

    • Сложение и вычитание
    • Факторизация

    Образцы заданий олимпиады по математике

    IMO (Международная олимпиада по математике) — это конкурсный экзамен по математике, ежегодно проводимый для школьников. Это побуждает детей развивать свои навыки решения математических задач с точки зрения конкуренции.

    Вы можете БЕСПЛАТНО скачать образцы бумаг по классам ниже:

    • Образец бумаги IMO Class 1
    • Образец бумаги IMO Class 2
    • Образец бумаги IMO, класс 3
    • Образец бумаги IMO класса 4
    • Образец бумаги IMO Class 5
    • Образец бумаги IMO класса 6
    • Образец бумаги IMO класса 7
    • Образец бумаги IMO Class 8
    • Образец бумаги IMO класса 9
    • Образец бумаги IMO Class 10

    Чтобы узнать больше об олимпиаде по математике, нажмите здесь


    Часто задаваемые вопросы (FAQ)

    1.

    Как написать переменное выражение?

    Переменное выражение зависит от условия.

    Например, «\(3\) больше, чем \(x\)» можно записать как выражение переменной \(x+3\)

    «\(7\) меньше, чем сумма \(a\) ) и \(b\)» можно записать как выражение переменной \(a+b-7\)

    2. Что такое пример переменной?

    Символ, который не имеет фиксированного значения, в математике называется переменной. Может принимать любое значение.

    Некоторые примеры переменных в математике: \(a,b,x,y,z,m,\) и т.д.

    Дополнительную информацию можно найти в разделе «Определение переменной, константы, термина и коэффициента» на этой странице.

    3. Какие существуют 3 типа переменных?

    3 типа переменных:

    1. Независимые переменные
    2. Зависимые переменные
    3. Контролируемые переменные

    4. Всегда ли выражения должны иметь переменную?

    Нет, выражение не обязательно должно иметь переменную.

    Например, такие константы, как \(2, -3, \dfrac{-3}{4}\), также называются выражениями.

    5. Как определить переменную?

    Символ, который не имеет фиксированного значения, в математике называется переменной. Может принимать любое значение.

    Некоторые примеры переменных в математике: \(a,b,x,y,z,m,\) и т. д.

    6. Что такое переменная? Приведите пример.

    Символ, который не имеет фиксированного значения, в математике называется переменной. Может принимать любое значение.

    Некоторые примеры переменных в математике: \(a,b,x,y,z,m,\) и т.д.

    Части выражения

    Алгебраические выражения представляют собой комбинации переменные , числа и хотя бы одно арифметическое действие.

    Например, 2 Икс + 4 у − 9 является алгебраическим выражением.

    Срок: Каждое выражение состоит из терминов. Терм может быть числом со знаком, переменной или константой, умноженной на переменную или переменные.

    Фактор: Что-то, что умножается на что-то другое. Фактор может быть числом, переменной, термином или более длинным выражением. Например, выражение 7 Икс ( у + 3 ) имеет три фактора: 7 , Икс , и ( у + 3 ) .

    Коэффициент: Числовой коэффициент выражения умножения, содержащего переменную. Рассмотрим выражение на рисунке выше, 2 Икс + 4 у − 9. В первый срок, 2 Икс , коэффициент 2 : во второй срок, 4 у , коэффициент 4 .

    Постоянный: Число, которое не может изменить свое значение. В выражении 2 Икс + 4 у − 9 , термин 9 является константой.

    Нравятся условия: Термины, содержащие одни и те же переменные, такие как 2 м , 6 м или 3 Икс у и 7 Икс у . Если выражение имеет более одного постоянного члена, они также похожи на термы.

    Выражение

    Словосочетания

    н + 5

    Сумма числа и 5

    м − 7

    Разница числа и 7

    6 Икс

    Продукт 6 и номер

    у ÷ 9

    Частное числа и 9

    Пример:

    Определите термины, такие как термины, коэффициенты и константы в выражении.

    9 м − 5 н + 2 + м − 7

    Во-первых, мы можем переписать вычитания как сложения.

    9 м − 5 н + 2 + м − 7 «=» 9 м + ( − 5 н ) + 2 + м + ( − 7 )

    Итак условия являются 9 м , ( − 5 н ) , м , 2 , и ( − 7 ) .

    Нравятся условия являются терминами, которые содержат одни и те же переменные.

    9 м и 9м являются парой как термины . Постоянные условия 2 и − 7 также как термины.

    Коэффициенты числовые части термина, содержащего переменную.

    Итак, вот коэффициенты являются 9 , ( − 5 ) , и 1 . ( 1 коэффициент члена м .)

    постоянный термины — это термины без переменных, в этом случае 2 и − 7 .

    Алгебраические выражения должны быть тщательно написаны и интерпретированы. Алгебраическое выражение 5 ( Икс + 9 ) является нет эквивалентно алгебраическому выражению, 5 Икс + 9.

    См. разницу между двумя выражениями в таблице ниже.

    Словосочетания Алгебраическое выражение
    Пятикратная сумма числа и девяти

    5 ( Икс + 9 )

    Девять более пяти раз число

    5 Икс + 9

    При записи выражений для неизвестных величин часто пользуются стандартными формулами.