Метод интервалов — Умскул Учебник
На этой странице вы узнаете- Как мы ежедневно расставляем знаки неравенства в жизни?
- Как быстро определить верное обозначение точки на прямой?
- Как правильно чередовать знаки на числовой прямой?
Решая уравнение, мы стремимся к тому, чтобы обе части были равны. Но существуют такие примеры, где мы заведомо знаем, что два выражения не могут быть равны между собой. Они называются неравенствами.
Метод интерваловНеравенство — это алгебраическое выражение, в котором одна сторона имеет отличное от другой значение. В неравенствах обычно одна сторона больше другой.
Для записи неравенств используют знаки > , < , ≥ , ≤ .
При этом “>” и “<” — это строгие знаки неравенства, а “≥” и “≤” — нестрогие знаки неравенства.
Их отличие в том, что нестрогие знаки неравенства включают граничные точки в итоговый промежуток, а строгие — нет.
| Как мы ежедневно расставляем знаки неравенства в жизни? Посмотрим на привычные ситуации с точки зрения строгости знаков неравенства. Например, возьмем известную игру “Камень, ножницы, бумага”. |
Рассмотрим пример неравенства (х — 10)(х + 21) > 0.
Его можно решить несколькими способами. Например, вспомним, что положительным будет произведение двух положительных или двух отрицательных множителей, тогда получается совокупность из двух систем.
Однако этот способ решения очень трудоемкий и требует много времени. А если множителей будет больше, например, три или четыре, то время на решение в разы увеличивается.
Небольшой секрет тайм-менеджмента: как сократить время при решении неравенств? В таких случаях на помощь приходит метод интервалов.
Метод интервалов — специальный алгоритм решения для сложных неравенств вида f(x) > 0. При этом знак неравенства может быть любым.
Интервал — это промежуток на числовой прямой, ограниченный двумя различными числами.
Алгоритм решения неравенств методом интервалов
1 шаг. Перенести все части неравенства в одну сторону так, чтобы с другой остался только 0.
2 шаг.
Найти нули функции, для этого необходимо решить уравнение f(x) = 0.
3 шаг. Начертить числовую прямую и отметить на ней все полученные корни. Таким образом, числовая прямая разобьется на интервалы.
4 шаг. Определить знаки на каждом интервале. Для этого необходимо подставить любое удобное значение в f(x) и определить, какой знак будет иметь функция на данном интервале.
Расставляя полученные корни на прямой, необходимо отмечать их точками. При этом от того, какая отмечена точка (выколотая или закрашенная), будет зависеть ответ.
- Если в неравенстве стоит строгий знак неравенства, то все точки на прямой должны быть выколотыми.
Таким образом, граничные точки не будут включены в итоговый промежуток. Для записи таких точек используют круглые скобочки. Например, в промежуток (2;3) включаются все значения от 2 до 3, но не включаются граничные точки.
- Если в неравенстве стоит нестрогий знак неравенства, то найденные корни должны быть отмечены закрашенными точками.
Это означает, что мы включаем их в итоговый промежуток. Для записи таких точек используют квадратные скобочки. Например, в промежуток [2;3] включаются все значения от 2 до 3, в том числе и граничные точки.
- Если в неравенстве появляются ограничения и некоторые точки нельзя взять в ответ, то такие точки должны быть выколотыми на числовой прямой, при этом знак самого неравенства может быть как строгим, так и нестрогим.
Например, если необходимо решить неравенство с дробью, то нули знаменателя на числовой прямой обязательно должны быть обозначены выколотыми точками.
| Как быстро определить верное обозначение точки на прямой? В случае сомнений мы всегда можем проверить себя по простой схеме. |
Стоит отметить, что непрерывная функция будет менять знак только в точках, в которых она равна 0. Подробнее узнать про смену знака функции можно в статье «Определение и график функции». Именно поэтому в методе интервалов мы ищем и отмечаем нули функции на прямой — только при переходе через них будет меняться знак функции.
При этом существует способ, с помощью которого можно быстро расставить знаки на прямой. Достаточно определить знак на одном из интервалов, а дальше чередовать знаки при переходе через каждую точку на прямой.
Правила чередования знаков:
- Если корень повторяется нечетное количество раз (то есть его степень нечетная), то знак при переходе на следующий интервал меняется.
- Если корень повторяется четное количество раз (его степень четная), то знак при переходе на следующий интервал не меняется.
| Как правильно чередовать знаки на числовой прямой? Всегда будет нелишним перепроверить знак на каждом интервале, подставив значения в функцию, и убедиться в правильности расстановки знаков на прямой. Но при расстановке можно пользоваться следующим алгоритмом, что значительно сократит время расстановки знаков. |
Методом интервалов можно решить практически любое неравенство в задании 14 из ЕГЭ по профильной математике, также он может понадобиться в заданиях 8, 11 и 17 «профиля» или в задании 17 ЕГЭ по базовой математике.
На ОГЭ данным методом можно воспользоваться при решении неравенств из первой и второй частей — №13 и №20.
Так что осваивайте метод и 2 балла ЕГЭ или 3 балла ОГЭ будут у вас в кармане. Обязательно следуйте алгоритму решения неравенств методом интервалов, тогда вы точно решите неравенство верно.
Практика
Рассмотрим несколько примеров, чтобы на практике разобрать применение метода интервалов для решения неравенств.
Пример 1. Решить неравенство x2 + 8x — 33 > 0.
Шаг 1. Первым шагом необходимо найти нули функции, для этого приравниваем выражение слева к 0: x2 + 8x — 33 = 0.
Шаг 2. Находим корни уравнения, получаем х = 3 и х = -11.
Шаг 3. Расставляем полученные корни на числовой прямой. Поскольку знак неравенства строгий, то точки должны быть выколотыми:
Шаг 4. Дальше необходимо определить знаки на каждом интервале. Для этого подставим х = -12 в x2 + 8x — 33. Получаем:
(-12)2 + 8*(-12) — 33 = 144 — 96 — 33 = 15.
Получается положительное число, следовательно, интервал от минус бесконечности до -11 положительный. Поскольку все корни в неравенстве повторяются нечетное количество раз (по одному разу), то знаки чередуются.
В ответ необходимо записать промежутки с положительным знаком, следовательно, ответом будет х ∈ (-∞; -11) U (3; +∞).
Пример 2. Решить неравенство \(\frac{2х^2 + 22х — 204}{(х-3)(х+5)} ≤ 0\).
2 ((-3) + 2)} = \frac{9 + 3 — 2}{9 * (-1)} = \frac{10}{-9}\)
Промежуток отрицательный.
4. Дальше расставляем знаки, чередуя их. При этом следует заметить, что х = 0 — корень, повторяющийся четное количество раз (поскольку у х2 четная степень). Следовательно, при переходе через эту точку знак функции меняться не будет.
В ответ необходимо включить отрицательные промежутки, следовательно: х ∈ (-∞; -2) U [-1; 0) U (0; 2].
Давайте подведем итог. Для чего мы это изучили?
Конечно же, эти знания пригодятся на экзаменах, а также в решении школьных примеров с 8 класса по 11 класс.
Советуем после прочтения этой статьи попрактиковаться в рубрике «Проверь себя», чтобы закрепить полученные знания. После чего можете приступить к решению заданий посложнее, чтобы на экзамене у вас точно получилось решить подобные задания и набрать за них максимум баллов.
Фактчек- Метод интервалов позволяет упростить решение любого неравенства, а также экономит время, которое ограничено на экзамене.
- Чтобы решить неравенство с помощью метода интервалов необходимо найти нули функции, расставить их на числовой прямой, а после определить знак каждого полученного интервала.
- Нули функции на прямой обозначаются точками, при этом закрашенные точки включают граничные значения в итоговый промежуток, а незакрашенные, напротив, исключают их из промежутка.
- Для определения знака на каждом интервале необходимо подставить любое значение из этого интервала в функцию.
- Для упрощения расстановки знаков можно пользоваться правилами чередования, определив знак только на одном интервале, а дальше менять знаки на каждом следующем. При этом если корень встречается в функции нечетное количество раз, то знак при переходе через эту точку на следующий интервал меняется, а если корень встречается четное количество раз, то знак на следующем интервале не меняется.
Задание 1.
Какие знаки неравенства существуют?
- Строгие
- Нестрогие
- Строгие и нестрогие
- Больше и меньше
Задание 2.
Какой знак неравенства может встретиться в методе интервалов?
- Только больше или меньше.
- Только “больше или равно” или “меньше или равно”.
- Только “больше” и “больше или равно” или только “меньше” и “меньше или равно”.
- Любой.
Задание 3.
Какое утверждение верное?
- Если в неравенстве строгий знак неравенства, то точки на числовой прямой закрашены.
- Если в неравенстве строгий знак неравенства, то точки на числовой прямой выколоты.
- Если в неравенстве нестрогий знак неравенства, то все точки на числовой прямой закрашены, даже если в неравенстве есть ограничения.
- Если в неравенстве нестрогий знак неравенства, то все точки на числовой прямой выколоты.
Задание 4.
Какое утверждение верное?
- При переходе на числовой прямой на следующий интервал, знак на интервале всегда будет меняться.
- Если корень встречается в неравенстве четное количество раз, то при переходе через него на следующий интервал знак не меняется.
- Если корень встречается в неравенстве нечетное количество раз, то при переходе через него на следующий интервал знак не меняется.
- Невозможно определить правильное чередование знаков на прямой, не подставляя значение из каждого интервала в функцию.
Задание 5.
Если в неравенстве строгий знак неравенства, то какие скобочки могут встретиться в ответе?
- Круглые
- Квадратные
- И круглые, и квадратные
- Ни один из перечисленных вариантов
Ответы: 1. — 3 2. — 4 3. — 2 4. — 2 5. — 1
— что это, определение и ответ
Второе задание в цепочке функций и графиков. Необходимо уметь строить графики, а также работать с параметром, анализировать возможные исходы построения, применять методы преобразования выражений, использовать графики функций для решения уравнений и систем.
Чтобы полностью выполнить задание нужно сначала построить правильно график, затем поработать с параметром. Один балл можно получить уже за первый этап, но нужно быть внимательным. Если в ходе преобразования функции записали ОДЗ, то на графике обязательно отмечаем выколотые точки, иначе вторая часть задания будет нерешаема и, соответственно, за все задание поставят ноль баллов.
В данном задании может потребоваться построение следующих функций:
Решение задания разбивается на два этапа.
Первый – построение заданной функции. За данный график можно уже получить один балл, главное – отметить на рисунке все необходимые точки и масштаб.
Второй этап – найти значение параметра. Требуется проанализировать, какие значения может принимать переменная, для получения необходимого исхода. Ответом может являться одно или несколько чисел, и даже интервалы значений.
{2} + х — 6 = 0 \\ D = 1 + 24 = 25 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{- 1 + 5}{2} = 2 \\ x = \frac{- 1 — 5}{2} = — 3 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix}\)
(=нажать, нажать) 
n-count 
..)
Leave A Comment