Ветви параболы направлены вверх если: Квадратичная функция, парабола, график, свойства: нули, вершина, ось симметрии, промежутки возрастания, убывания. Тесты

Квадратичная функция: ее график и свойства 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Тема 1: Функции и их свойства

• Видео
• Тренажер
• Теория

Заметили ошибку?

Тема 4.

Всем привет! Сегодня мы поговорим об одной из самых важных функций, о квадратичной функции.

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать y = ax² + bx + c, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Изучение квадратичной функции мы начнем с частного случая, а именно с функции y = ax². Мы уже встречались с функцией y = x², когда a = 1. Ее графиком является парабола.

Построим в одной системе координат

y = x²; y = 2x²; y = 3x².

y = x²

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	9	4	1	0	1	4	9

y = 2x²

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	18	8	2	0	2	8	18

При любом x ≠ 0 значение функции y =

x² в 2 раза больше соответствующих значений функции y = x². То есть график функции y = x² можно получить из параболы y = x² растяжением от оси x в 2 раза.

Аналогично, график функции y = 3x² можно получить из графика функции y = x² растяжением от оси x в 3 раза.

Построим теперь в одной системе координат графики функции y = x², y=12×2, y=13×2.

y=12×2

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	4,5	2	0,5	0	0,5	2	4,5

Заметим, что при любом x ≠ 0 значения функции y=12×2меньше соответствующих значений функции y = x² в 2 раза.

Таким образом, график функции y=12×2 можно получить из параболы y = x² сжатием к оси x в 2 раза.

y=13×2

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	3	43	13	0	13	43	3

Аналогично график функции y=13×2 можно получить из графика функции = x² сжатием к оси x в 3 раза.

Давай сделаем вывод:

График функции y = ax² можно получить из параболы

y = x² растяжением от оси x в a раз, если a > 1, и сжатием к оси x в 1a раз, если 0 a

Рассмотрим теперь случай, когда a y=-13×2. Составим таблицу значений:

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	-3	-43	-13	0	-13	-43	-3

Сравним графики функций y=13×2 и y=-13×2. При любом

x ≠ 0 значения этих функций являются противоположными числами. Значит, соответствующие точки графиков симметричны относительно оси x.

То есть графики функций y = ax² и y = —ax² при a ≠ 0 симметричны относительно оси x. Графиком функции y = ax², как и графиком функции y = x² является парабола

Сформулируем свойства функции y = ax² при a > 0.

1. Область определения -∞;+∞;
2. Область значений функций 0;+∞
3. Если x
   = 0, то y = 0, т.е. график функции проходит через начало координат.
4. Если x ≠ 0, то y > 0. График функции расположен в верхней полуплоскости.
5. График функции симметричен относительно оси y.
6. Функция убывает в промежутке -∞;0 и возрастает в промежутке 0;+∞.
7. При x = 0 функция принимает наименьшее значение, равное 0. Наибольшего значения функции нет.

Сформулируем свойства функции y = ax

² при a

1. Область определения -∞;+∞;
2. Область значений функций -∞;0
3. Если x = 0, то y = 0, т.е. график функции проходит через начало координат.
4. Если x ≠ 0, то y
5. График функции симметричен относительно оси y.
6. Функция убывает в промежутке 0;+∞ и возрастает в промежутке -∞;0.
7. При x = 0 функция принимает наибольшее значение, равное 0. Наименьшего значения функции нет.

От коэффициента a зависит направление ветвей параболы. Если a > 0, то ветви параболы направлены вверх, если a

Построение графика, симметричного данному относительно оси x, или сжатие к оси x – различные виды преобразований графиков функций. Преобразования графиков функции, рассмотренные нами сегодня для функций y = ax², применимы к любой функции.

График функции y=-fx можно получить из графика функции y=fx с помощью симметрии относительно оси абсцисс.

График функции y=afx можно получить из графика функции y=fx с помощью растяжения от оси x в a раз, если a > 1, и сжатием к оси x в 1a раз, если 0

Заметили ошибку?

Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.

Квадратичная функция и её график

Вершина этой параболы находится в точке (0; 0). И не забудь про то, что ветви параболы бесконечно поднимаются ввысь и не ограничены точками с координатами (3; 9) и (3; -9).

Еще одна стандартная парабола задается функцией y = —x² (в этом случае а = -1). Для этого графика я тоже напишу табличку:

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	-9	-4	-1	0	-1	-4	-9

 

Начало координат тоже является вершиной этой параболы, как и в предыдущем случае, но ветви уже будут направлены вниз:

Сразу напрашивается вывод: если перед х² стоит положительное число, то ветви параболы направлены вверх, если отрицательное — то вниз.

Если у тебя черный пояс по рисованию стандартных парабол, то следующий раздел пройдет у тебя «на ура».

Параболы со смещенной вершиной.

Зачем я начала статью со стандартной параболы? Ответ прост. Графиком любой квадратичной функции y = ±x² + bx + c (обязательно коэффициент перед х² должен равняться ±1) является стандартной параболой, только вот вершины этих парабол не будут находится в начале координат.

Чтобы начертить подобные параболы нужно сначала узнать, где находится вершина.

Пусть вершиной параболы будет точка О с координатами (x₁; y₁). Тогда найти эти координаты можно по формулам:

Кстати, можно найти координаты вершины и другим способом.

Координату х_О находим по той же формуле, а координату у_О можно найти подстановкой координаты х_О в функцию.

Без примера не обойтись)

Пример 1.

Дана функция y = x² — 4x + 4. Найдите вершину параболы и постройте график.

Найдем сначала вершину параболы двумя способами, чтобы убедится, что оба способа рабочие.

1 способ: по формулам.

2 способ: подстановкой.

Одну координаты мы уже нашли по формуле. Подставляем ее в исходную функцию.

Итак, получили, что О(2; 0) — вершина параболы. Отмечаем ее на координатной плоскости.

Перед х² стоит положительное число, значит ветви параболы направлены вверх. Наша задача: нарисовать стандартную параболу, представив, что точка О — начало координат. Если тебе это сложно сделать, то необходимо начертить таблицу значений и уже по ней рисовать параболу.

Параболы-стройняшки и параболы-пухляшки.

Удивительно, но числовой коэффициент перед х² оказывается влияет на стройность и полноту парабол.

Если числовой коэффициент лежит в промежутке (-1; 0) ∪ (0; 1), то парабола будет более обширно смотреться на координатной плоскости.

А если числовой коэффициент лежит в промежутке (-∞; -1) ∪ (1; +∞), то парабола будет прижиматься к оси Оу и занимать меньше места на плоскости.

Не веришь? Давай проверим! Для примера возьмем две функции:

К сожалению, здесь схитрить не получится: обе параболы нестандартные и для обеих необходимо создать таблицы значений. Но перед эти определимся с их вершинами.

Пусть вершиной первой параболы будет точка А(х_А; у_А), а вершиной второй параболы — точка B(х_B; у_B). Вершины буду находить по второму способу (см. выше).

Переходим к таблицам значений.

Голубая парабола.

x	0	2	4	6	8
y	3	6	7	6	3

 

 Зеленая парабола.

x	-1,5	-1	-0,25	0	1
y	-3	1	4,5	3	-3

 

Чертим обе параболы по получившимся координатам.

Вот о чем я и говорила) Перед тобой парабола-стройняшка и парабола-пухляшка во всей красе.

А ты заметил, что свободный член в уравнении функции — это точка пересечения графика с осью Оу? В обеих функциях свободный член равен 3 и графики пересекают ось Оу в точке с координатами (0; 3).

Практикум по параболам.

Теорию о параболах можно еще писать и дальше, но тебя, скорее всего, интересует практика по графикам.

Поскольку речь идет о параболах, то с параболами мы и будем сейчас возиться.

 

Задание 1. На рисунке изображены графики функций вида y = ax² ​+ bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Решение. Коэффициент а, стоящий перед х², отвечает за направление ветвей параболы, а свободный член с — за пересечение графика с осью Оу.

А) Если коэффициент а положителен, то ветви направлены вверх; если коэффициент с отрицателен, то график пересекает ось Оу ниже нуля. Подходит график 1.

Б) Если коэффициент а отрицателен, то ветви направлены вниз; если коэффициент с положителен, то график пересекает ось Оу выше нуля. Подходит график 3.

В) Если коэффициент а положителен, то ветви направлены вверх; если коэффициент с положителен, то график пересекает ось Оу выше нуля. Подходит график 2.

 

Задание 2 (наоборот). На рисунке изображены графики функций вида y = ax² ​+ bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

А) Ветви направлены вверх, значит а > 0; график пересекает ось Оу выше нуля, значит и с > 0.  Подходит вариант под номером 3.

Б) Ветви направлены вверх, значит а > 0; график пересекает ось Оу ниже нуля, значит и с < 0.  Подходит вариант под номером 1.

В) Ветви направлены вниз, значит а < 0; график пересекает ось Оу выше нуля, значит и с > 0.  Подходит вариант под номером 2.

 

Задание 3. Установите соответствие между графиками и их функциями.

График В отличается от остальных тем, что его ветви направлены вниз. За направление ветвей отвечает коэффициент перед х² — он отрицательный. Отрицательный коэффициент только в функции под номером 3. Значит В-3.

Дальше рекомендую отработанную годами технику. Она минимизирует твои ошибки, если ты, конечно, умеешь считать)

Итак, рассматриваем график А и выбираем на нем точку с красивыми координатами (красивые значит не дробные). Мне нравится тут вершина. Ее координаты (4; -3). Даже не спрашивайте почему не прорисованы оси; эти задания взяты с сайта ФИПИ)

Теперь эти координаты подставляем в оставшиеся функции: вместо у подставляем -3, а вместо х подставляем 4. 

Подставляем в первую функцию: -3 = 2 · 4² — 16 · 4 + 29; -3 = -3 — верно. Значит, А-1.

И остается Б-2.

 

Задание 4 (наоборот, но принципе тот же). Установите соответствие между функциями и их графиками.

Очевидно, что В-2.

На графике 1 выбираем точку. Вершина снова четкая, но для разнообразия давайте возьмем другую точку, например, точку с координатами (-4; 1). Будь внимателен и смотри, чтобы точно такой же точки не было на третьем графике!

Подставляем в функцию А: 1 = (-4)² + 4 · (-4) + 1; 1 = 1 — верно. Значит, А-1.

Соответственно, Б-3.

 

Если ты считаешь, что чего-то не хватает или у тебя есть ещё задания из первой части, связанные с параболами, — напиши мне в VK)

Как построить параболу

Что такое парабола? Как нарисовать его график? Это вопросы для этого раздела. Наброски парабол обычно задают в домашних заданиях по алгебре, поэтому некоторые советы будут полезны. Мы обсудим основные понятия и покажем на простых примерах, как работать с параболами.

Начнем. Проще говоря, парабола — это U-образная кривая с некоторыми специфическими свойствами. Однако обратите внимание, что не всякую U-образную кривую можно назвать параболой. Общеизвестно, что математика любит все описывать формулами. Здесь нет ничего удивительного, мы также можем написать формулу для параболы. В принципе, любая парабола описывается некоторым квадратным уравнением. 92

Сначала нарисуем. Для этого нам нужно заполнить таблицу значений x,y. Мы просто берем каждое значение x и подставляем его в уравнение, чтобы получить соответствующее значение y:

\begin{matrix} x&y\\ \\ {-3}&9\\-2&4 \\-1&1 \\0&0 \\ 1&1\\2&4\\3&9\end{matrix}

Теперь мы можем отметить все точки на координатной плоскости:

Наконец, мы нарисуем нашу параболу, соединяя точки. 2\\ у=к+2ат \end{случаи} $$ 92,k+2at)$ на второй параболе. Заметить, что $$ P'(t)=P(t)+\mathbf{v}\qquad\forall t\in\mathbb{R}$$

Устранение ваших сомнений

Значения $x$ и $y$ равны координаты в $xy$-плоскости. Помещаете ли вы их в уравнение параболы или получаете из параметрических уравнений, $(x,y)$ являются координатами.

Уравнение параболы дает прямую связь между $x$ и $y$. Каждая точка параболы должна удовлетворять этому соотношению (кривая — это геометрическое место, определяемое ее уравнением).

С другой стороны, параметрические уравнения представляют каждую точку параболы как функцию параметра $t$. Думайте о $t$ как о времени, тогда $P(t)$ — это ваша траектория на плоскости. Конечно, изменение параметрических уравнений изменит начальную точку и скорость вашей траектории, но путь останется прежним.

При переносе вектором $\mathbf{v}=(h,k)$ все сдвигается на $h$ в направлении $x$ и на $k$ в направлении $y$ . Вот почему $P’=(x_{P’},y_{P’})=(x_P+h,y_P+k)=P+\mathbf{v}$.