В треугольнике авс угол с равен 60 градусов а угол в равен 90 градусов: в треугольнике АВС угол С равен 90 градусов,угол А равен 60 градусов,АВ=8. найдите АС

В треугольнике ABC угол A равен

Не откладывайте! ЗАГОВОРИТЕ на Английском!

ЗАМУЧИЛИ БОЛИ В СПИНЕ?

Александр | 2014-01-24

Продолжаем рассматривать задачи, в которых требуется вычислить углы в треугольнике. В статье «Сумма углов треугольника. Часть 1!» уже было представлено решение некоторых задач, посмотрите обязательно. Треугольники  рассматриваются совершенно различные.

Это целая группа заданий, входящих в ЕГЭ, где требуется знание лишь теоремы о сумме углов треугольника. Правда в некоторых задачах необходимо знание ещё некоторых свойств. Например, при решении одной из рассмотренных в этой статье используется свойство связанное с выпуклым четырёхугольником. Напомню его:

Сумма углов четырёхугольника равна 360 градусам

Следует добавить, что иногда в условии задаётся отношение углов. Что это значит? Вообще, если задано отношение сторон, углов, либо других элементов в любой фигуре, то это по сути говорит нам во сколько раз один элемент больше другого.

Например, стороны параллелограмма относятся как 1:4. Это означает, что одна его сторона больше другой в 4 раза, то есть они могут быть равны 2 и 8, 4 и 16, 10 и 40, 150 и 600, вариантов бесконечное множество.  И получаются они умножением на один и тот же (один и тот) коэффициент:

1х  и  4х

Этот коэффициент называется коэффициентом пропорциональности. Как правило в задачах, где задаются отношения каких-либо элементов, имеются ещё условия. Например, если в нашем параллелограмме будет дана сумма соседних сторон, то мы всегда сможем найти этот коэффициент пропорциональности и далее вычислить сами длины сторон. Пусть сумма соседних сторон будет равна 40, тогда получим

х + 4х = 40

5х = 40

х = 8

Стороны будут равны 8 и 32.

Рассмотрим задачи:

Один из внешних углов треугольника равен 65^о. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 6:7. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Сумма внутреннего угла треугольника и смежного с ним внешнего угла равна , значит

Введём коэффициент пропорциональности х и обозначим один неизвестный угол как 6х, другой 7х. По теореме  о сумме углов треугольника:

Таким образом, больший угол будет равен 7∙5 = 35⁰

Ответ: 35

*Можно было сразу использовать теорему о внешнем угле треугольника.

Один из углов равнобедренного треугольника равен 92⁰. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим данный треугольник AВC. Понятно, что угол 92⁰ это угол при его вершине С. Почему?

Угол такой величины не может лежать в основании,  так как в этом случае оба угла при основании в сумме составят 194 градуса, а это невозможно.

Поэтому обозначим угол А как  x, тогда

Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то

*Конечно, условие немного может запутать, не совсем обычно звучит «дан один угол, найти другой». Было бы понятнее, если бы стояло такое условие «угол при вершине равен 92 градуса, вычислить угол при основании». Но зная теорему о сумме углов треугольника вы всегда сможете проанализировать и понять, что в подобном задании имеется ввиду.

Ответ: 44

Углы треугольника относятся как 3:4:5. Найдите больший из них. Ответ дайте в градусах.

Известно, что о сумма углов треугольника равна 180⁰. Введём коэффициент пропорциональности x. Тогда меньший из его углов равен 3x, другие два угла равны 4x и 5x соответственно.  Получаем уравнение

Таким образом, больший из углов треугольника равен 5∙15⁰ = 75⁰

Ответ: 75

Один угол равнобедренного треугольника на 141⁰ больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим равнобедренный треугольник AВC.

По свойству равнобедренного треугольника углы при его основании равны   Сумма всех углов треугольника равна 180⁰.  Понятно, что меньший угол это угол при основании треугольника. Если предположить, что он был бы большим, то в сумма углов при основании была бы больше 180⁰, а это невозможно.

Обозначим угол А через x, тогда

Получаем уравнение:

Меньший угол равен 13 градусам.

Ответ: 13

В треугольнике ABC угол A равен 30⁰, угол B равен 71⁰, CH  — высота. Найдите разность углов ACH и BCH. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. По свойству прямоугольного треугольника сумма его острых углов равна  90⁰, то есть

Значит

Рассмотрим прямоугольный треугольник BCH. Аналогично:

Значит

Найдём разность

Ответ: 31

В треугольнике  ABC угол A равен 63⁰, а углы В и С — острые. BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим четырёхугольник  ADOE.

Известно, что сумма всех углов выпуклого четырёхугольника равна 360⁰, то есть

Так как СЕ и BD высоты, то

Таким образом, в четырёхугольнике известны три угла, можем найти четвёртый:

Ответ: 117

Два угла треугольника равны  75⁰ и 50⁰. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, исходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольник ABC. Построим высоты выходящие из этих вершин А и В. Пусть они пересекаются в точке О. Нам известно два угла в треугольнике, найдём третий:

Рассмотрим четырёхугольник  CDOE. Сумма всех углов четырёхугольника равна 360⁰, значит

Таким образом, искомый угол равен 125 градусам.

Ответ: 125

27749. Один из внешних углов треугольника равен 85^о. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

27750. Один из углов равнобедренного треугольника равен 98⁰. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

27752. Углы треугольника относятся как 2:3:4. Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

27754. Один угол равнобедренного треугольника на 90⁰  больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

27756. В треугольнике ABC угол A равен 60⁰, угол B равен 70⁰, CH  — высота. Найдите разность углов ACH  и BCH. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

27762. В треугольнике  ABC угол A равен 72⁰, а углы В и С — острые. BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

27763. Два угла треугольника равны 58⁰  и  72⁰. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

На этом всё! В будущем рассмотрим ещё задания, связанные с вычислением углов в треугольнике, не пропустите!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Категория: Решение треугольников | ЕГЭ-№1Углы

НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!

ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!

Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!

Замучили боль и скованность в мышцах спины?

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.

Особые свойства треугольника с углом 60 градусов — NovaInfo 32

1. Баталаев А.В.

   Калмыцкий государственный университет

NovaInfo 32, скачать PDF
Опубликовано 13 марта 2015
Раздел: Физико-математические науки
Язык: Русский
Просмотров за месяц: 632
CC BY-NC

Аннотация

Треугольник с углом 60 градусов обладает необычными свойствами. Если этот треугольник не является правильным, то все три угла всегда образуют арифметическую прогрессию. Выполняется и обратное утверждение: Если сумма углов треугольника образует арифметическую прогрессию, то один из углов равен 60 градусам. Кроме того, между треугольниками с углами 45, 60, 75 и 30, 60, 90 градусов существует сложная взаимность.

Ключевые слова

ГЕОМЕТРИЯ, УГЛЫ, СВОЙСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА, АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ, АЛГЕБРЫ, УГОЛ 60 ГРАДУСОВ, ВЗАИМНОСТЬ

Аудиоверсия

Текст научной работы

Докажем свойство треугольника с углом 60 градусов.

Теорема. Если треугольник с углом 60 градусов не является правильным, то его углы составляют арифметическую прогрессию.

Рисунок 1.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC угол B равен 60^о, а угол A=α (рис.1). Так как сумма углов треугольника равна 180^о, то ÐA+ÐC=120^o. Тогда, ÐС=120^o−α.

Таким образом, ÐA=α, ÐB=60^o=α+(60^o−α), ÐC=120^o−α=α+2(60^o−α) (1)

Из соотношения (1) видно, что углы треугольника составляют арифметическую прогрессию с разностью 60^o−α. Теорема доказана.

Справедливо и обратное утверждение.

Теорема. Если углы треугольника составляют арифметическую прогрессию, то один из углов равен 60^о.

Рисунок 2.

Доказательство:

Пусть ÐA=α, ÐB=α+d, ÐC=α+2d (рис.2). Сумма углов треугольника равна 180^о, поэтому α+α+d+α+2d=180^o=>3α+3d=180^o=>α+d=60^o=>d=60^o−α.

Отсюда ÐB=α+60^o−α=60^o. Теорема доказана.

Существуют и другие необычные свойства треугольников с углами 60^о.

Для треугольника 45^о, 60^о, 75^о ортоцентрическим является треугольник с углами 30^о, 60^о, 90^о. Если продолжить высоты треугольника до их пересечения с описанной окружностью, то получим треугольник подобный высотному (рис.3).

Рисунок 3. Высотный треугольник и ему подобный

Назовём инцентрическим треугольник, образованный основаниями перпендикуляров опущенных из центра вписанной окружности на стороны. Для треугольника с углами 30^о, 60^о, 90^о инцентрическим будет треугольник с углами 45^о, 60^о, 75^о (рис.4).

Рисунок 4. Инцентрический треугольник

Читайте также

Список литературы

1. Алгебра. 9 класс : учеб. для общеобразоват. организаций [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова] ; под ред. С. А. Теляковского. – 21-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 271 с.: ил.
2. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк. /Л. С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1990. – 336 с.

Цитировать

Баталаев, А.В. Особые свойства треугольника с углом 60 градусов / А.В. Баталаев. — Текст : электронный // NovaInfo, 2015. — № 32. — URL: https://novainfo.ru/article/3266 (дата обращения: 21.03.2023).

Поделиться

Q8 Построить треугольник ABC, если AB 54 см A 30 и B 90 Измерить C и сторону BC…

Вопрос 8 Упражнение 26(B)

Q8) Построить треугольник ABC, если:

AB = 5,4 см, ∠A = 30° и ∠B = 90°. Измерьте ∠C и сторону BC.

Ответ:

Решение:

1. Проведите отрезок AB = 5,4 см
2. В точке А постройте угол А = 30
3. В точке B постройте угол B = 90
4. AD и BE пересекаются друг с другом в точке C.
5. ABC искомый треугольник
6. При мерке С = 60 сторона ВС = 31 см.

Стенограмма видео

Здравствуйте, добро пожаловать в вести. Меня зовут Нельсон ап Рэй. Я собираюсь увидеть, что мы увидим, что построить треугольник ABC, когда b равно 5 точкам 4 сантиметра, угол равен 30 °, угол B равен синусоидальной жидкости, измеряющей угол C и сторону BC. Давай на машине, чтобы вынуть линейку. Мы должны смазать линию стимула 5,4. Если мы нарисуем линию пять целых четыре пять целых четыре года пять точка B RX. Ага. Это пройдет на 0,4 Пи примерно F и перейдет к следующему.

Хорошо. Другое дело, что Анжела должна быть в том, что чтение этого ребенка около 40. Может быть, вы не едите так щекотливо 80k, что будет Нет, я думаю, что сайт так защитил меня Трактор, и это прекрасно раньше. Было бы ровно 30 градусов активности секунды. Да, несмотря. Так и должно быть сейчас. 30 минут, если они придут именно сюда. Я собираюсь дать вам один балл там, а затем, может быть, немного смазать здесь, что я должен быть 90, вы знаете, как наслаждаться выходными тета-ковид-19, хотя, если повернуть сюда, и это будет команда 99, определенно будет эта. Сейчас. Это будет угол. Итак, как нарисовать треугольник, используя эти точки. Давайте посмотрим. Итак, то, что я делаю здесь, является простой вещью. я иду Боюсь, эта штука выросла здесь. Ладно, подожди, подожди, дай мне повернуть отсюда. Да, оставайся здесь. Да, возьмите немного отсюда. Думаю, я собираюсь провести здесь одну линию. Вот так, это нормально. Абсолютно. И что я собираюсь сделать, так это соединить эту линию с этой. Хорошо.

Теперь пусть значит треугольной будет одета фигура, верно? Мы знаем, что это сделает тебя больным. Хорошо, мне нужно сделать это таким, каким оно должно быть. Извини. Я собираюсь вращаться вот так, и это должно быть перекрестно, вот так. Все короткие, вот в чем дело. Место класса IV в этом ответе. Ваш вопрос смешной. Собираюсь сделать онлайн-заказ. Так. Да. Сейчас пытаемся определить, что я искал. Итак, он стал треугольным, и мы знаем, по крайней мере, все. Итак, мы знаем, что это 90 градусов. Мы знаем, что это будет наивно, а потом будет сколько 30 градусов, понимаете. На самом деле, мы масштабируем градусы близко. Есть некоторые, чтобы измерить угол C пришел. Позвольте мне измерить этот угол C, и тогда да, это угол a, это угол D. Ay B — это 5 баллов, потому что это до мажор. Мы должны измерить это, мы можем измерить это, используя это, но если мы используем это, и мы должны измерить эту точку, давайте. Это очень легко сделать, это можно измерить, и я храню так. Да, вы можете проверить. Это примерно 35 градусов, верно? Да, сначала 34 градуса, но ударил так, что получил ответ: 30, найдите угол скорости C. Хорошо. Итак, угол С. Вам бы либо мышцы 35 недель. 90 это вроде укрепрайон. Все нормально. Что такое 90 плюс 30, то 120 снова станет сертификатом на резку 60. Проверьте еще раз свой диск. Хорошо, когда вы смотрите на типичное, речь идет не о телефоне, просто здесь, и мы никогда не получаем его на испанском языке. Заявитель сейчас сидит с пациентом. Надеюсь вы поняли этот вопрос подпишитесь на этот канал для регулярных обновлений ссылка на это видео.

Связанные вопросы

Q1) Постройте треугольник ABC, если: AB = 6 см, BC = 8 см и AC = 4 см.

Q2) Постройте треугольник ABC, если: AB = 3,5 см, AC = 4,8 см и BC = 5,2 см.

Q3) Постройте треугольник ABC, если: AB = BC = 5 см и AC = 3 см. Измерьте углы A и C.

Является ли ∠A = ∠C…

Q4) Постройте треугольник ABC, если: AB = BC = CA = 4,5 см. Измерьте все углы треугольника. Ар…

Q5) Постройте треугольник ABC, если: AB = 3 см, BC = 7 см и ∠B = 90°.

Q6) Постройте треугольник ABC, если: AC = 4,5 см, BC = 6 см и ∠C = 60°.

Фейсбук WhatsApp

Копировать ссылку

Было ли это полезно?

Углы треугольника — Бесплатная помощь по математике

Углы можно складывать

Как и обычные числа, углы можно складывать для получения суммы, например, для определения меры неизвестного угла. Иногда мы можем определить недостающий угол, потому что знаем, что сумма должна быть определенной величиной. Помните: сумма градусных мер углов любого треугольника равна 180 градусам. Ниже приведено изображение треугольника ABC, где угол A = 60 градусов, угол B = 50 градусов и угол С = 70 градусов.

Если сложить все три угла любого треугольника, получится 180 градусов. Итак, градусная мера угла А + угол В + угол С = 180 градусов. Это верно для любого треугольника в мире геометрии. Мы можем использовать эту идею, чтобы найти меру углов, где градусная мера отсутствует или не задана.

Нахождение недостающего угла

В треугольнике ABC ниже угол A = 40 градусов, а угол B = 60 градусов. Чему равен угол С?

Мы знаем, что сумма мер любого треугольника равна 180 градусам. Используя тот факт, что угол A + угол B + угол C = 180 градусов, мы можем найти меру угла C.

угол А = 40

угол В = 60
угол C = мы не знаем.

Чтобы найти угол C, мы просто подставляем в приведенную выше формулу и находим C.

A + B + C = 180
С = 180 — А — В
С = 180 — 40 — 60
C = 80

Чтобы проверить правильность 80 градусов, добавим все три меры угла. Если мы получим 180 градусов, то наш ответ для угла C правильный.

Итак:

40 + 60 + 80 = 180
180 = 180… Проверяет!

Вам не всегда нужно подставлять эти значения в уравнение и решать. Как только вы освоитесь с такой задачей, вы сможете сказать: «Хорошо, 40 + 60 = 100, значит, другой угол должен быть равен 80!» и это намного быстрее.

Равносторонние треугольники

Если треугольник равносторонний, какова градусная мера каждого из его углов?

Помните, все стороны равностороннего треугольника имеют равная мера . Они также, как вы узнаете, имеют равные углы! Пусть x = градусная мера каждого угла. У треугольников три угла, поэтому мы прибавим х ТРИ раза.

У нас есть это:

х + х + х = 180
3x = 180
x = 60

Имеет смысл, верно? Если все углы равны и в сумме дают 180, то должно быть 60 градусов!

A Отношение углов

Градусы углов треугольника находятся в соотношении 4 : 5 : 9.

Какова градусная мера наименьшего угла треугольника?

Обратите внимание, что наименьший угол представлен наименьшим числом в заданном отношении. Наименьшее данное число равно 4, верно? Поскольку это отношение, мы должны умножить все эти значения (4,5,9) на некоторый общий коэффициент, чтобы получить фактические углы. (Например, 60 и 80 находятся в соотношении 3:4 с коэффициентом 20)

Пусть 4x = мера наименьшего угла треугольника. Теперь мы можем сказать, что 5x и 9x = градусные меры остальных углов треугольника. Мы просто складываем 4x + 5x + 9x, приравниваем сумму к 180 градусам и находим x. Найдя x, мы подставляем значение x в 4x и упрощаем, чтобы найти меру наименьшего угла треугольника под рукой.

4х + 5х + 9х = 180
9х + 9х = 180
18х = 180
х = 180/18
x = 10

Мы нашли значение x, но это НЕ означает, что мы закончили.
Чтобы найти величину наименьшего угла треугольника, умножаем 4 на 10.