Свойства высоты равностороннего (правильного) треугольника abc

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Геометрия Свойства высоты равностороннего треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты в равностороннем (правильном) треугольнике. Также разберем пример решения задачи по этой теме.

Примечание: треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.

  • Свойства высоты в равностороннем треугольнике
    • Свойство 1
    • Свойство 2
    • Свойство 3
    • Свойство 4
    • Свойство 5
    • Свойство 6
  • Пример задачи

Свойства высоты в равностороннем треугольнике

Свойство 1

Любая высота в равностороннем треугольнике одновременно является и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром.

  • BD – высота, опущенная на сторону AC;
  • BD – медиана, которая делит сторону AC пополам, т.е. AD = DC;
  • BD – биссектриса угла ABC, т.е. ∠ABD = ∠CBD;
  • BD – серединный перпендикуляр, проведенный к AC.

Свойство 2

Все три высоты в равностороннем треугольнике имеют одинаковую длину.

AE = BD = CF

Свойство 3

Высоты в равностороннем треугольнике в ортоцентре (точке пересечения) делятся в отношении 2:1, считая от вершины, из которой они проведены.

  • AO = 2OE
  • BO = 2OD
  • CO = 2OF

Свойство 4

Ортоцентр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружностей.

  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности;
  • R = 2r (следует из Свойства 3).

Свойство 5

Высота в равностороннем треугольнике делит его на два равных по площади (равновеликих) прямоугольных треугольника.

S1 = S2

Три высоты в равностороннем треугольнике делят его на 6 равных по площади прямоугольных треугольников.

Свойство 6

Зная длину стороны равностороннего треугольника его высоту можно вычислить по формуле:

a – сторона треугольника.

Пример задачи

Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, равняется 7 см. Найдите сторону этого треугольника.

Решение
Как мы знаем из Свойств 3 и 4, радиус описанной окружности составляет 2/3 от высоты равностороннего треугольника (h). Следовательно, h = 7 ∶ 2 ⋅ 3 = 10,5 см.

Теперь остается вычислить длину стороны треугольника (выражение выведено из формулы в

Свойстве 6):

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Медиана равностороннего треугольника – формула

4. 6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 134.

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 134.

Равносторонний треугольник стоит особняком среди всех фигур: в нем легко можно найти значение всех сторон и углов, так как все углы известны заранее, а найдя одну сторону, можно найти сразу все три. Но именно из-за этих свойств, составители задач любят писать каверзные условия, в которых не всегда можно разобраться с первого раза, например, не всегда можно понять, что такое медиана, потому что человеку проще воспринимать понятие высоты, нежели медианы. Рассмотрим же понятие медианы в равностороннем треугольнике подробно.

Определения

Равносторонний треугольник – это треугольник, все стороны которого равны, а углы по 60 градусов.

Равносторонний треугольник это частный случай равнобедренного, но в равностороннем любую сторону можно считать основанием.

Рис. 1. Равносторонний треугольник.

Из этого следует, что любая высота равностороннего треугольника является медианой и биссектрисой, так как любая высота проводится к стороне, которую можно считать основанием. 2\over4}}$$

Это и есть формула медианы равностороннего треугольника. С другой стороны, можно воспользоваться тригонометрическими тождествами и вывести еще одну формулу:

$$sin(ACH)={AH\over AC}$$

При этом угол АСН равен 60 градусам. Значит, можно определить синус угла: $$sin(ACH)={\sqrt{3}\over 2}$$

Выразим значение медианы АН

$$АН=sin(ACH)*AC={\sqrt{3}\over2}*AC={\sqrt{3}\over2}*a$$

Вот еще одна формула, характерная для равностороннего треугольника.

Задача

Для закрепления темы решим простую задачу на обратное использование формулы медианы.

В равностороннем треугольнике медиана равна $$20\over{\sqrt{3}}$$. Найти площадь треугольника.

Для нахождения площади воспользуемся классической формулой.

Классическую формулу можно использовать для нахождения площади любого треугольника.

Для нее нам нужно значение стороны и высоты. Высота в равностороннем треугольнике совпадает с медианой, поэтому нужно найти только сторону. Выразим ее через формулу медианы равностороннего треугольника.

Рис. 3. Рисунок к задаче.

$$m={\sqrt{3}\over2}*a$$

$$a={m\over{\sqrt{3}\over2}}=m*{2\over\sqrt{3}}$$

Подставим в формулу значение медианы:

$$a={20\over\sqrt{3}}*{2\over\sqrt{3}}={40\over3}$$

Посчитаем площадь:

$$S={1\over2}*a*m={1\over2}*{40\over3}*{20 \over\sqrt{3}}={400\over{3\sqrt{3}}}$$

Что мы узнали?

Мы вывели две формулы медианы равностороннего треугольника, дали определения, необходимые для решения задач и решили небольшую задачу для закрепления знаний.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

  • Александр Рудаков

    5/5

Оценка статьи

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 134.

А какая ваша оценка?

геометрия — Могут ли медиана, биссектриса угла и высота треугольника пересекаться, образуя равносторонний треугольник?

Я нашел $4$ ситуаций, когда медиана, биссектриса и высота образуют равносторонний треугольник. Я считаю, что этот список является исчерпывающим. Обратите внимание, что половина из них использует внешних биссектрисы углов, и большинство из них имеют по крайней мере часть красного треугольника за пределами синего, а не просто разложение синего. Все они повторно используют одну исходную вершину. Я оставлю вам решать, какие из них вы считаете решениями. Нажмите на цифры, чтобы увеличить их.

  • Отношение длины кромки $1:\sqrt{13}:4$
    Углы ок. $13,9°, 60°, 106,1°$

  • Отношение длин ребер $\sqrt3-1:\sqrt2:2 = 1:\sqrt{\sqrt3+2}:\sqrt3+1$
    Углы $15°, 30°, 135°$

  • Отношение длин ребер $\sqrt2:2:\sqrt3+1 = 1:\sqrt2:\sqrt{\sqrt3+2}$
    Углы $30°, 45°, 105°$

  • Отношение длины кромки $1:2:\sqrt7$
    Углы ок. $19.1°, 40.9°, 120°$

Я нашел это с помощью значительных вычислений Sage. Основная идея заключается в использовании однородных координат и параметризации треугольника как набора трех касательных к единичной окружности. Таким образом, угловую биссектрису можно легко выразить, соединив одну вершину с центром окружности, которая является либо вписанной, либо некой вписанной окружностью. Две касательные к единичной окружности параметризуются с помощью формулы касательной половины угла, а третья фиксируется к одной касательной, которую формула не охватывает. Если вас интересуют подробности, вот они: 92]) АС = АВ(t=u) ВС = вектор ([-1, 0, 1]) А = ф(АВ, АС) В = ф(АВ, ВС) С = ср (АС, ВС) О = вектор ([0, 0, 1]) орто = диагональная_матрица ([1, 1, 0]) ABC = матрица ([A, B, C]).det() медианы = [cp(A, mp(B, C)), cp(B, mp(C, A)), cp(C, mp(A, B))] биссектрисы = [cp(A, O), cp(B, O), cp(C, O)] высоты = [cp(A, орто*BC), cp(B, орто*AC), cp(C, орто*AB)] триплеты = [_ для _ в itertools.product(медианы, биссектрисы, высоты), если матрица(_).det()] определение дехом (v): вернуть v[:-1]/v[-1] def distsq(a, b): д = а — б вернуть д*д равноправное определение (ab, bc, ac): а = ср (аб, ас) б = ср (аб, бс) с = ср (ас, ВС) abc = матрица ([a, b, c]).
det() да = dehom (а) дб = dehom (б) dc = dehom(c) dab = distsq(da, db) dbc = distsq(db, dc) dac = distsq(da, dc) eq1 = (dab — dbc).числитель() eq2 = (dab — dac).числитель() eq3 = (dac — dbc).числитель() g = НОД([уравнение1, уравнение2, уравнение3]) если г == 0: возвращаться если г != 1: для f, p в g.factor(False): i = PR.идеал([f]) assert abc in i # Равносторонний треугольник станет вырожденным i = PR.ideal([eq1 // g, eq2 // g, eq3 // g]) тусклый = i.dimension () assert dim == 0 # Конечное множество решений для s в i.variety(AA): если не abc(t=s[t], u=s[u]): # Равносторонний треугольник был бы вырожденным продолжать если не ABC(t=s[t], u=s[u]): # Исходный треугольник был бы вырожденным продолжать имена = dict((str(k), v) для k, v в s.items()) pts1 = [А, В, С, а, б, в] pts2 = [_(**имя) для _ в pts1] если не все (_[-1] вместо _ в pts2): # Исключить точки на бесконечности продолжать pts3 = [dehom(_) для _ в pts2] утверждать dab(**names) == dbc(**names) == dac(**names) A3, B3, C3 = очки3[:3] очки4 = очки3[3:] dAB = (A3 — B3). норма() dAC = (A3 — C3).норма() дБС = (B3 — C3).норма() если dAB >= dAC >= dBC: выходное преобразование (A3, B3, C3, pts4) если dAC >= dAB >= dBC: выходное преобразование (A3, C3, B3, pts4) если dAB >= dBC >= dAC: выходное преобразование (B3, A3, C3, pts4) если dBC >= dAC >= dAB: выходное преобразование (C3, B3, A3, pts4) если dBC >= dAB >= dAC: выходное преобразование (B3, C3, A3, pts4) если dAC >= dBC >= dAB: выходное преобразование (C3, A3, B3, pts4) преобразование по определению (A, B, C, abc): B2x, B2y = (B — A).список() M1 = матрица ([[B2x, -B2y], [B2y, B2x]]) M2 = M1.обратная() R = А.родитель().базовое_кольцо() утверждать M2 * (B — A) == вектор ([1, 0]) С2 = М2 * (С — А) если C2[1] < 0: M2 = диагональная_матрица ([1, -1]) * M2 С2 = М2 * (С - А) abc2 = отсортировано (M2 * (_ - A) для _ в abc) pts = [вектор (R, [0,0]), вектор (R, [1,0]), C2] + abc2 для р в очках: p. set_immutable() вернуть кортеж (pts) уникальный = отсортированный (набор (j для i в тройках для j в эквиваленте (* i))) def svg(f, A, B, C, a, b, c): f.write(«»» «»») dAB = (A — B).норма() dAC = (A — C).норма() дБС = (В — С).норма() l1 = dAC / дБн l2 = дБ/дБЧ f.write(«»»<описание> Ответ на https://math.stackexchange.com/q/3028611/35416 с отношением длины ребра 1 : {} : {} «»».format(l1.radical_expression(), l2.radical_expression())) f.write(‘\n’) для p1, p2 в [(A, B), (B, C), (C, A)]: p3 = список (карта (с плавающей запятой, p1 + 10 * (p1 — p2))) p4 = список (карта (плавающая, p2 + 10 * (p2 — p1))) f.write(‘\n’. format(*(p3+p4))) f.write(‘\n’) f.write(‘\n’) для p1, p2 в [(a, b), (b, c), (c, a)]: p3 = список (карта (с плавающей запятой, p1 + 10 * (p1 — p2))) p4 = список (карта (плавающая, p2 + 10 * (p2 — p1))) f.write(‘\n’.format(*(p3+p4))) f.write(‘\n’) f.write(‘\n’) для p1 в [A, B, C]: p2 = список (карта (с плавающей запятой, p1)) f.write(‘\n’.format(*(p2))) f.write(‘\n’) f.write(‘\n’) для p1 в [a, b, c]: p2 = список (карта (с плавающей запятой, p1)) f.write(‘\n’.format(*(p2))) f.write(‘\n’) f.write(‘\n’) флип = диагональная_матрица ([1, -1]) для i, s в перечислении (уникальном): с open(‘MX3028611{}.svg’.format(string.letters[i]), ‘w’) как f: svg (f, * (перевернуть * _ для _ в s))

Вы также можете рассмотреть немного другой вопрос: Нарисуйте все медианы, внутренние и внешние биссектрисы и высоты, всего 12 красных линий. Сможете ли вы теперь найти равносторонний треугольник только с красными сторонами? Это дает семейство ситуаций, когда у вас есть угол $ 60 ° $ с биссектрисой угла, делящей его, и высотами через противоположные вершины.

Это семейство также включает ситуации, когда биссектриса становится внешней биссектрисой вершины $120°$, тем самым делит угол $60°$. Вы можете получить одно из другого, перемещая ребро, противоположное углу $60°$, любым удобным для вас способом.

Помимо этого однопараметрического семейства есть еще шесть спорадических решений:

  • Отношение длин ребер $1:1:1$
    Углы $60°, 60°, 60°$

  • Отношение длины ребра $1:2:\sqrt7$ (которое мы уже видели выше)
    Углы ок. $19.1°, 40.9°, 120°$

    и

  • Отношение длины ребра $2 : \sqrt5 + 3 : 2\sqrt5 + 2$
    Углы ок. $15,5°, 44,5°, 120°$

  • Отношение длины ребра $1:\sqrt7:\sqrt7$
    Углы ок. $21,8°, 79,1°, 79,1°$

  • Отношение длин ребер $1 : \sqrt[3]{\frac19\sqrt{57} + 1} + \frac{2}{3\sqrt[3]{\frac19\sqrt{57} + 1}} + 1 : \frac{\sqrt[3]{6\sqrt{57} + 46}}3 + \frac4{3\sqrt[3]{6\sqrt{57} + 46}} + \frac43$
    (интересно придумает ли @Blue и здесь что-нибудь покрасивее…)
    Углы ок. $18,2°, 60°, 101,8°$

Медианы, биссектрисы углов и высоты — CetKing

Начнем с их определения: медиана, биссектриса угла и высота.
Медиана – Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса угла – Отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной, так что угол при вершине делится на две равные части.

Высота – Отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной так, что этот отрезок перпендикулярен противоположной стороне.

Обычно медианы, биссектрисы и высоты, проведенные из одной и той же вершины треугольника, являются разными отрезками. Но в особых треугольниках, таких как равнобедренный и равносторонний, они могут перекрываться. Теперь мы дадим вам некоторые свойства, которые могут быть очень полезными.

I.

В равнобедренном треугольнике (основание – сторона, не равная ни одной другой стороне):

– высота, проведенная к основанию, – медиана и биссектриса угла;

– медиана, проведенная к основанию, есть высота и биссектриса угла;

– биссектриса угла, противоположного основанию, является высотой и медианой.

II.

Верно и обратное. Рассмотрим треугольник ABC:

– Если биссектриса угла вершины A также является медианой, то треугольник равнобедренный, так что AB = AC и BC является основанием. Следовательно, эта биссектриса угла также является высотой.

– Если высота, проведенная из вершины A, также является медианой, треугольник равнобедренный, так что AB = AC и BC является основанием. Следовательно, эта высота также является биссектрисой угла.

– Если медиана, проведенная из вершины A, также является биссектрисой угла, треугольник равнобедренный, так что AB = AC и BC является основанием. Следовательно, эта медиана также является высотой.

и так далее…

III.

В равностороннем треугольнике каждая высота, медиана и биссектриса угла, проведенные из одной вершины, перекрываются.

Попробуйте доказать все эти свойства самостоятельно. Так вы их не забудете.

Из этого следует несколько вещей:

–          Должна ли биссектриса угла в треугольнике, который также является медианой, быть перпендикулярной противоположной стороне? Да.

–          Можем ли мы иметь биссектрису угла, которая также является медианой и не перпендикулярна? Нет. Биссектриса угла, которая также является медианой, подразумевает равнобедренный треугольник, который подразумевает, что это также высота.

–          Можем ли мы провести медиану из вершины A, которая перпендикулярна BC, но не делит пополам угол A? Нет. Медиана, являющаяся высотой, означает, что треугольник равнобедренный, что означает, что он также является биссектрисой угла.

и так далее…

Давайте зададим быстрый вопрос по этим понятиям:

Вопрос : Что такое ?A в треугольнике ABC?

Утверждение 1: Биссектриса ?A является медианой в треугольнике ABC.
Утверждение 2: высота от B до AC является медианой в треугольнике ABC.

Решение : Нам дан треугольник ABC, но мы не знаем, что это за треугольник.

Сразу переходите к утверждениям.

Утверждение 1: Биссектриса ?A является медианой в треугольнике ABC.