Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия
Поиск по сайту:
| Справочник по математике | Геометрия (Планиметрия) | Треугольники |
| Фигура | Рисунок | Формулировка |
| Прямоугольный треугольник | Треугольник, у которого один из углов равен 90°, называют прямоугольным треугольником. Сторону, лежащую против угла в 90°, называют гипотенузой, две другие стороны называют катетами. | |
Катеты прямоугольного треугольника | Длины катетов прямоугольного треугольника меньше длины гипотенузы. | |
| Равнобедренный прямоугольный треугольник | Равнобедренным прямоугольным треугольником называют такой прямоугольный треугольник, у которого равны катеты. | |
| Прямоугольный треугольник с углом в 30° | Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. | |
Катет, равный половине гипотенузы | Если в прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы, то этот катет лежит против угла в 30°. | |
Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника | Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Посмотреть доказательство | |
Медиана треугольника, равная половине стороны, к которой она проведена | Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то такой треугольник является прямоугольным. | |
Центр описанной окружности | Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около него окружности. Посмотреть доказательство | |
Если в треугольнике центр описанной окружности лежит на одной из сторон, то этот треугольник является прямоугольным треугольником, а центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы. | ||
Теорема Пифагора | В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов c2 = a2 + b2 Посмотреть доказательство | |
Обратная теорема Пифагора | Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным |
| Прямоугольный треугольник |
Определение прямоугольного треугольника: Треугольник, у которого один из углов равен 90°, называют прямоугольным треугольником. Сторону, лежащую против угла в 90°, называют гипотенузой, две другие стороны называют катетами. Свойство катетов прямоугольного треугольника: Длины катетов прямоугольного треугольника меньше длины гипотенузы. |
| Равнобедренный прямоугольный треугольник |
Определение равнобедренного прямоугольного треугольника: Равнобедренным прямоугольным треугольником называют такой прямоугольный треугольник, у которого равны катеты. Свойство углов прямоугольного треугольника: Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45°. |
| Прямоугольный треугольник с углом в 30° |
Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30°: Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Признак прямоугольного треугольника с углом в 30°: Если в прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы, то этот катет лежит против угла в 30°. |
| Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника |
Свойство медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника: Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Посмотреть доказательство Признак прямоугольного треугольника: Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то такой треугольник является прямоугольным. |
| Центр описанной окружности |
Свойство окружности, описанной около прямоугольного треугольника: Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около него окружности. Посмотреть доказательство Признак прямоугольного треугольника: Если в треугольнике центр описанной окружности лежит на одной из сторон, то этот треугольник является прямоугольным треугольником, а центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы. |
Теорема Пифагора |
Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов c2 = a2 + b2 Посмотреть доказательство Обратная теорема Пифагора: Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным |
На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
| До ЕГЭ по математике осталось | |||
| дней | часов | минут | секунд |
|
./ris/b1_45.gif»>НАШИ ПАРТНЕРЫОстрый угол прямоугольного треугольника: синус, косинус, тангенс, котангенс
Sign in
Password recovery
Восстановите свой пароль
Ваш адрес электронной почты
MicroExcel.ru Математика Геометрия Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике
В данной публикации мы рассмотрим соотношения катетов и гипотенузы в прямоугольном треугольнике, выраженные в виде тригонометрических функций острого угла, а также, научимся применять полученные знания на практике для решения задач.
- Отношения сторон в прямоугольном треугольнике
- Примеры задач
Отношения сторон в прямоугольном треугольнике
Допустим, у нас есть треугольник (прямоугольный) со сторонами a, b, c и острым углом α.
Для него верно следующее:
- Синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
- Косинус угла α равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
cos α = a/c - Тангенс угла α равняется отношению противолежащего катета к прилежащему:
tg α = b/a - Котангенс угла α равняется отношению прилежащего катета к противолежащему:
ctg α = a/b - Секанс угла α определяется как отношение гипотенузы к прилежащему катету:
sec α = c/a - Косеканс угла α определяется как отношение гипотенузы к противолежащему катету:
cosec α = c/b
Примеры задач
Задание 1
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 3 см, а гипотенуза 5 см. Найдите угол, который расположен напротив заданного катета.
Решение:
Пусть неизвестный угол – это α.
Применяем формулу синуса для его нахождения:
sin α = 3 см / 5 см = 0,6. Следовательно, угол α = aarcsin (0,6) ≈ 36,87°.
Задание 2
В прямоугольном один из острых углов равен 45°, а прилежащий к нему катет – 3 см. Найдите гипотенузу.
Решение:
Так как нам известен угол (α) и прилежащий катет (a), выведем длину гипотенузы из формулу косинуса (c): c = a / cos α = 3 см / cos 45° ≈ 4,24 см.
ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ
Таблица знаков зодиака
Нахождение площади трапеции: формула и примеры
Нахождение длины окружности: формула и задачи
Римские цифры: таблицы
Таблица синусов
Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)
Нахождение площади ромба: формула и примеры
Нахождение объема цилиндра: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)
Геометрическая фигура: треугольник
Нахождение объема шара: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)
Нахождение объема конуса: формула и задачи
Таблица сложения чисел
Нахождение площади квадрата: формула и примеры
Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема
Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
Признаки подобия треугольников
Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи
Формула Герона для треугольника
Что такое средняя линия треугольника
Нахождение площади треугольника: формула и примеры
Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы
Разность кубов: формула и примеры
Степени натуральных чисел
Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg
Нахождение периметра квадрата: формула и задачи
Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи
Сумма кубов: формула и примеры
Нахождение объема куба: формула и задачи
Куб разности: формула и примеры
Нахождение площади шарового сегмента
Что такое окружность: определение, свойства, формулы
Калькулятор теоремы Пифагора.
Этот калькулятор теоремы Пифагора рассчитает длину любой из недостающих сторон прямоугольного треугольника, если вы знаете длины двух других его сторон. Это включает в себя вычисление гипотенузы. Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, противолежащая прямому углу, и самая длинная сторона. Эту сторону можно найти с помощью формулы гипотенузы, другого термина для теоремы Пифагора, когда она решает для гипотенузы. Напомним, что прямоугольный треугольник — это треугольник с углом, равным 90 градусов. Два других угла также должны составлять 90 градусов, так как сумма мер углов любого треугольника равна 180. Читайте дальше, чтобы ответить на вопрос «что такое теорема Пифагора и как она используется?»
Что такое теорема Пифагора?
Теорема Пифагора описывает, как три стороны прямоугольного треугольника связаны в евклидовой геометрии.
Он гласит, что сумма квадратов сторон прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Вы также можете думать об этой теореме как о формуле гипотенузы. Если стороны прямоугольного треугольника равны a и b и гипотенуза c , формула:
a² + b² = c²
Теорема была приписана древнегреческому философу и математику Пифагору, жившему в шестом веке. ДО Н.Э. Хотя ранее она использовалась индийцами и вавилонянами, Пифагору (или его ученикам) приписывают первое доказательство теоремы. Следует отметить, что нет никаких конкретных доказательств того, что сам Пифагор работал над этой теоремой или доказал ее.
Как использовать теорему Пифагора?
Вот как использовать теорему Пифагора:
- Введите две длины, которые у вас есть, в формулу. Например, предположим, что вы знаете один катет
a = 4и гипотенузуc = 8,94. Мы хотим найти длину другой ногиb.
- После подстановки значений в формулу имеем
4²+ b² = 8,94². - Возводим в квадрат каждое слагаемое, чтобы получить
16 + b²= 80². - Объедините одинаковые члены, чтобы получить
b² = 64. - Возьмите квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы получить
b = 8. Проверьте это с помощью онлайн-калькулятора теоремы Пифагора!
Обратите внимание, что если вы решаете для a или b , измените уравнение, чтобы изолировать нужную переменную, прежде чем объединять одинаковые члены и извлекать квадратный корень
Калькулятор теоремы Пифагора решит для сторон в так же, как мы показали выше. Мы включили метод, чтобы показать вам, как вы можете решить свою проблему, если предпочитаете делать это вручную.
Что такое формула гипотенузы?
Формула гипотенузы просто берет теорему Пифагора и решает для гипотенузы, c .
Чтобы найти гипотенузу, мы просто берем квадратный корень из обеих частей уравнения a² + b² = c² и находим c . При этом мы получаем c = √(a² + b²) . Это всего лишь расширение теоремы Пифагора и часто не связанное с названием формула гипотенузы .
Другие соображения при работе с треугольниками
Обратите внимание, что стороны треугольника имеют определенный уклон или наклон. Мы можем использовать калькулятор уклона, чтобы определить наклон каждой стороны. В прямоугольном треугольнике стороны, образующие прямой угол, будут иметь наклоны, произведение которых равно -1. Формула для уклона, если вы хотите рассчитать вручную:
(y₂ — y₁)/(x₂ — x₁)
Итак, если координаты (3,6) и (7,10) , наклон сегмента равен -1 , то линии будут перпендикулярны, поскольку 1 × -1 = -1 .
Следовательно, треугольник прямоугольный.
Вы также можете вычислить недостающие длины сторон и углы прямоугольного треугольника, используя калькулятор прямоугольного треугольника. Если углы, указанные в задаче, выражены в градусах, и вы хотите преобразовать их в радианы или радианы в градусы, воспользуйтесь нашим конвертером углов. Существует простой способ конвертировать градусы в радианы и радианы в градусы.
Если угол выражен в радианах:
- Умножить на
180/π.
Если угол в градусах:
- Умножить на
π/180.
Иногда вы можете столкнуться с проблемой отсутствия длины двух или всех трех сторон. В таких случаях калькулятор теоремы Пифагора не поможет — вы будете использовать тригонометрические функции для решения этих недостающих частей. Не волнуйся! У нас есть отличный калькулятор тригонометрических функций.
Часто задаваемые вопросы
Чему равна гипотенуза по катетам 7 и 9?
Гипотенуза равна 11,40 .
- Вспомним формулу
a²+ b² = c², гдеa,bкатеты, аcгипотенуза. - Подставьте длину катетов в формулу:
7²+ 9² = c². - Возведение в квадрат дает
49 + 81= c². То естьс² = 150. - Извлекая квадратный корень, получаем
c = 11,40. Вы можете проверить результат с помощью онлайн-калькулятора теоремы Пифагора.
Piotr Małek and Mateusz Mucha
a² + b² = c²
Perimeter
Check out 18 similar triangle calculators 🔺
30 60 90 triangle45 45 90 triangleArea of a right triangle… 15 more
1.10: 45- 45-90 прямоугольных треугольников — K12 LibreTexts
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 14088
Времена шагов \(\sqrt{2}\) равно гипотенузе.
45-45-90 Прямоугольные треугольники
Прямоугольный треугольник с конгруэнтными катетами и острыми углами является равнобедренным прямоугольным треугольником . Этот треугольник также называют 9{\circ}\).
45-45-90 Теорема : Если прямоугольный треугольник равнобедренный, то его стороны находятся в отношении \(x:x:x\sqrt{2}\). Для любого равнобедренного прямоугольного треугольника катет равен \(x\), а гипотенуза всегда \(x\sqrt{2}\).
Что если вам дан равнобедренный прямоугольный треугольник и длина одной из его сторон? Как узнать длины других его сторон?
Пример \(\PageIndex{1}\)
Найдите длину \(x\).
Решение
Используйте соотношение \(x:x:x\sqrt{2}\).
Здесь нам дана гипотенуза. Найдите \(x\) в соотношении.
\(\begin{align} x\sqrt{2} =16\\ x=16\sqrt{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{16 \sqrt{2}}{2}=8\sqrt{2} \end{aligned}\)
Пример \(\PageIndex{2}\)
Найдите длину \(x\), где \( x\) является гипотенузой треугольника 45-45-90 с длиной катета \(5\sqrt{3}\).
Раствор
Использовать соотношение \(x:x:x\sqrt{2}\).
\(x=5\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=5\sqrt{6}\)
Пример \(\PageIndex{3}\)
Найдите длину недостающей стороны.
Рисунок \(\PageIndex{2}\)Решение
Используйте соотношение \(x:x:x\sqrt{2}\). \(TV=6\), потому что оно равно \(ST\). Итак, \(SV=6\cdot\sqrt{2}=6\sqrt{2}\).
Пример \(\PageIndex{4}\)
Найдите длину недостающей стороны.
Рисунок \(\PageIndex{3}\)Решение
Используйте соотношение \(x:x:x\sqrt{2}\). \(AB=9\sqrt{2}\), поскольку он равен \(AC\). Итак, \(BC=9\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=9\cdot 2=18\).
Пример \(\PageIndex{5}\)
Диагональ квадрата равна 10, каковы длины сторон?
Решение
Нарисуй картинку.
Мы знаем, что половина квадрата представляет собой треугольник 45-45-90, поэтому \(10=s\sqrt{2}\).
\(\begin{align} s\sqrt{2}&=10 \\ s&=10\sqrt{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{ 10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2} \end{выровнено}\)
Обзор
- В равнобедренном прямоугольном треугольнике катет равен 4, тогда гипотенуза __________.
- Если катет равнобедренного прямоугольного треугольника равен х, то гипотенуза равна __________.
- Длина стороны квадрата равна 15. Какова длина диагонали?
- Диагональ квадрата равна 22. Какова длина каждой стороны?
В вопросах 5-11 найдите длины недостающих сторон. Упростите все радикалы.
-
Рисунок \(\PageIndex{5}\) - Рисунок \(\PageIndex{6}\)
- Рисунок \(\PageIndex{7}\)
-
Рисунок \(\PageIndex{8}\) - Рисунок \(\PageIndex{9}\)
- Рисунок \(\PageIndex{10}\)
- Рисунок \(\PageIndex{11}\)
Обзор (ответы)
Чтобы просмотреть ответы на обзор, откройте этот PDF-файл и найдите раздел 8.
5.