Прямоугольник. Его свойства и признаки.

Прямоугольник.

 

    Приступаем к изучению разных видов параллелограмма.  

Определение. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

 

 

        — прямоугольник

 

 

     Поскольку прямоугольник – это параллелограмм, то он обладаем теми же свойствами, что и параллелограмм. Кроме того, у него есть ещё свои, особые свойства.

Рассмотрим эти свойства.

 

ТЕОРЕМА (СВОЙСТВО I). У прямоугольника диагонали равны.

   

                                           Дано:   – прямоугольник,

                                                        и  – диагонали.

                                  Доказать:

  

 

Доказательство.

1. Рассмотрим  и .

     по признаку равенства прямоугольных треугольников (или по I признаку равенства треугольников) все соответствующие стороны и углы у этих треугольников равны, т.е. , ч.т.д.

 

ТЕОРЕМА (СВОЙСТВО II). У прямоугольника каждая диагональ делит его на два равных прямоугольных треугольника.

   

                                           Дано:   – прямоугольник,

                                                        – диагональ.

                                  Доказать:   

 

Доказательство.

Рассмотрим  и .

 по III признаку равенства треугольников.  по определению прямоугольника. Значит, треугольники   и  – равные и прямоугольные, ч.т.д.

 

Итак, прямоугольник обладает следующими свойствами:

 

1.       У прямоугольника противолежащие стороны и углы равны.

2.      У прямоугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

3.      У прямоугольника диагонали равны.

4.      У прямоугольника каждая диагональ делит его на два равных прямоугольных треугольника.

5.      Стороны прямоугольника являются его высотами.

 

Выясним теперь, по каким признакам можно утверждать, что геометрическая фигура является прямоугольником.

 

ТЕОРЕМА (ПРИЗНАК I). Если у четырёхугольника три угла прямые, то такой четырёхугольник является прямоугольником.

 

                             Дано:

 – четырёхугольник,

                                      

                    Доказать:  – прямоугольник.

 

 

Доказательство.

Данный четырёхугольник будет прямоугольником, если мы докажем, что четвёртый угол также равен .

1. Так как , то . Так как , то .

2.     по  признаку параллельности прямых.

3.   по  признаку параллельности прямых.

4. Значит,  – параллелограмм (по определению). По свойству углов параллелограмма,

.

5. Итак,  – параллелограмм, у которого все углы прямые. По определению, такой параллелограмм является прямоугольником, ч.т.д.

 

 ТЕОРЕМА (ПРИЗНАК II). Если у параллелограмма диагонали равны, то такой параллелограмм  является прямоугольником.

                             Дано:  – параллелограмм,

                                         – диагонали.

                    Доказать:  – прямоугольник.

 

 

Доказательство.

Данный параллелограмм будет прямоугольником, если мы докажем, что у него все  углы равны .

1. Рассмотрим  и .

     по III признаку равенства прямоугольных треугольников, следовательно, .

 

2. Так как  – параллелограмм, то у него стороны попарно параллельны, т.е. .  и  – внутренние односторонние при параллельных прямых, значит, по свойству параллельных прямых, . Учитывая доказанное равенство этих углов, получаем, что .

3. По свойству углов параллелограмма,   и .

4. Итак, у параллелограмма  все углы прямые, значит, он является прямоугольником (по определению), ч.т.д.

 

 ТЕОРЕМА (ПРИЗНАК III). Если у параллелограмма один угол прямой, то такой параллелограмм  является прямоугольником.

 

                             Дано:  – параллелограмм,

                                        .

                    Доказать:  – прямоугольник.

 

Доказательство.

Данный параллелограмм будет прямоугольником, если мы докажем, что у него все  углы равны

.

1. Т.к.  – параллелограмм, то по определению, т.е.  и .

По свойству углов параллелограмма, .

2.  и  – внутренние односторонние при параллельных прямых, значит, по свойству параллельных прямых, .

3. Т.к. , то .

4. Итак, , значит, по определению, параллелограмм  является прямоугольником, ч.т.д.

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Периметр прямоугольника равен  см, а одна из его сторон меньше другой на  см. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

2. В прямоугольнике один из углов, образованных диагоналями, равен . Меньшая сторона прямоугольника равна  см. Найдите диагональ прямоугольника.

3. В прямоугольнике перпендикуляры, проведённые из точки пересечения диагоналей к его сторонам, равны соответственно  см и  см. Найдите периметр прямоугольника.

4.


В прямоугольнике  диагональ  составляет со стороной  угол, равный . Найдите больший угол между диагоналями прямоугольника.

5. В прямоугольнике один из углов, образованных диагоналями, равен . Диагонали прямоугольника равны  см. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

6. В прямоугольнике  диагонали пересекаются в точке . Точка  – середина стороны . Найдите .

7. В прямоугольнике  диагонали пересекаются в точке .

Отрезок  является высотой треугольника . Найдите .

8. В параллелограмме  с острым углом  диагонали пересекаются в точке . На отрезках  и  взяты точки  и  соответственно, . Докажите, что четырёхугольник  является прямоугольником.

9. В прямоугольнике    – точка пересечения диагоналей,  и  – высоты треугольников  и  соответственно,  см. Найдите .

10. В четырёхугольнике  диагонали пересекаются в точке . Найдите .

11. В прямоугольнике    – точка пересечения диагоналей,  и  – перпендикуляры, проведённые из вершин  и  к прямой . Известно, что . Найдите .

12. В четырёхугольнике  диагонали пересекаются в точке , . Найдите .

13. В прямоугольнике  точки  и  – середины сторон  и  соответственно. На прямой  взята точка , на прямой  – точка . Известно, что . Найдите отношение сторон .

14. На основании  равнобедренного треугольника  взята точка , а на сторонах  и  – соответственно точки  и , . Найдите .

15. В прямоугольнике    – точка пересечения диагоналей. Точки  и  – середины сторон  и  соответственно. Точка  делит отрезок  в отношении , считая от точки  Найдите отношение .

16. Некая прямая, параллельная основанию  равнобедренного треугольника , пересекает стороны  и  в отношении , считая от точки . Найдите .

17. На диагонали  прямоугольника  взята точка . Известно, что . Докажите, что .

18. Дан параллелограмм  с острым углом . На отрезке , как на диаметре построена окружность, которая пересекает луч  в точке , лежащей вне параллелограмма. . Найдите расстояние между прямыми  и , если  см.

19. На отрезках  и  в прямоугольнике  взяты точки  и  соответственно, . Докажите, что .

20. Дан параллелограмм  с тупым углом . На диагонали , как на диаметре, построена окружность, пересекающая отрезок  в точке  – перпендикуляр к прямой . Найдите , если  см.

21. Биссектриса одного из углов прямоугольника делит пересекаемую ею сторону на отрезки равной длины. Найдите периметр этого прямоугольника, если длина меньшей стороны прямоугольника равна  см.

22. Периметр прямоугольника равен  см. Найдите сумму расстояний от произвольной внутренней точки прямоугольника до его сторон.

23. Постройте прямоугольник:

а)      по двум сторонам, имеющим общую вершину;

б)      по стороне и диагонали;

в)      по диагонали и углу между диагоналями;

г)      по диагонали и сумме прилежащих сторон.

24. Диагональ  прямоугольника  равна  см. Найдите медиану треугольника , проведённую к его большей стороне.

25. Найдите острый угол между диагоналями прямоугольника, если одна из них делит угол при вершине прямоугольника в отношении .

26. Периметр прямоугольника равен  см. Найдите стороны прямоугольника, если одна из них в  раз больше другой.

27. Периметр прямоугольника равен  см. Найдите его стороны, если одна из них на  см меньше другой.

28. Диагонали прямоугольника  пересекаются в точке . Найдите угол между диагоналями, если .

29. В прямоугольнике  проведена диагональ . Известно, что  в 2 раза больше, чем . Чему равны эти углы?

30. Одна из сторон прямоугольника на  см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен  см.

31. Меньшая сторона прямоугольника  см, угол между диагоналями равен . Найдите диагонали прямоугольника.

32. Дан прямоугольник  – точка пересечения его диагоналей. Докажите, что  и  – равные равнобедренные треугольники.

33. Найдите диагонали прямоугольника, если его периметр равен  см, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ разделила прямоугольник, равен  см.

34. Докажите, что отрезок, соединяющий точку пересечения диагоналей прямоугольника с серединой стороны, перпендикулярен этой стороне.

35. В прямоугольнике  диагональ  в  раз больше стороны . Периметр треугольника  равен  см ( – точка пересечения диагоналей). Найдите длину диагонали .

36. Из точки , взятой на стороне  прямоугольника , опущен перпендикуляр  на сторону . Докажите, что четырёхугольник  – прямоугольник.

37. Диагонали прямоугольника  пересекаются в точке , его диагональ  равна  см. Найдите длины отрезков  и .

38. Диагонали прямоугольника  пересекаются в точке . Докажите, что .

39. Диагонали прямоугольника  пересекаются в точке . Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен  см, а периметры треугольников  и  равны  см и  см соответственно.

40. Дан прямоугольник  – точка пересечения его диагоналей. Найдите периметр треугольника , если

41. Диагонали прямоугольника  пересекаются в точке . Найдите периметр треугольника , если .

42. Диагонали прямоугольника  пересекаются в точке . Найдите периметр треугольника , если .

43. Диагонали прямоугольника  пересекаются в точке . Найдите периметр треугольника , если .

44. Диагонали прямоугольника  пересекаются в точке , сторона  равна  см, диагональ   равна  см. Определите вид треугольника  (ответ обоснуйте) и найдите его периметр.

45. В прямоугольнике  биссектриса угла  пересекает сторону  в точке . Докажите, что треугольник  – равнобедренный.

46. В прямоугольнике  диагональ  делит угол  в отношении . Найдите углы треугольника  ( – точка пересечения диагоналей).

47. Найдите диагональ прямоугольника, если его периметр равен  см, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ делит прямоугольник, равен  см.

48.


В прямоугольнике  проведена биссектриса угла . Найдите периметр прямоугольника, если  см,  см.

 

49. Расстояния от точки пересечения диагоналей прямоугольника до его сторон равны  см и  см. Найдите большую сторону данного прямоугольника.

50. Диагонали прямоугольника пересекаются под углом . Найдите угол между диагональю прямоугольника и его меньшей стороной.

51. В прямоугольнике  диагональ  в два раза больше стороны . Найдите периметр треугольника , если расстояние от точки  пересечения диагоналей прямоугольника до стороны  равно  см.

52. Диагонали прямоугольника  пересекаются в точке , образуя тупой угол . Определите, какое расстояние больше: от точки  до стороны  или от точки  до стороны .

53.


В прямоугольном треугольнике  ( – прямой) через точку , лежащую на гипотенузе, проведены прямые  и , параллельные катетам  и  соответственно. Периметр треугольника  равен  см, а периметр треугольника  равен  см. Найдите периметр треугольника .

54. На стороне  равностороннего треугольника  взята точка  так, что сумма расстояний от неё до сторон  и  равна  см. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины .

55. Периметр прямоугольника  равен  см, а его диагональ  равна  см. Найдите периметр треугольника .

56.


Найдите периметр прямоугольника , если биссектрисы  и  углов  и  делят сторону  на три отрезка, длина каждого из которых равна  см.

 

57. Точка пересечения диагоналей прямоугольника отстоит от его сторон на расстояниях  см и  см. Найдите меньшую сторону данного прямоугольника.

58. В прямоугольнике  диагональ  в два раза больше стороны . Найдите острый угол между диагоналями прямоугольника.

59. Меньшая сторона прямоугольника равна  см. Угол между его диагоналями равен . Вычислите длину диагонали прямоугольника.

60. Диагонали прямоугольника  пересекаются в точке . Определите, какое расстояние больше: от точки до стороны  или от точки  до стороны , если сторона  больше стороны .

61.


В прямоугольнике  через точку  проведены прямая , параллельная сторонам  и , и прямая , параллельная сторонами  и . Периметр прямоугольника  равен  см, а периметр прямоугольника  равен  см. Найдите периметр прямоугольника .

62. На продолжении стороны  равностороннего треугольника  взята точка  так, что разность расстояний от неё до сторон  и  равна  см. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины .

63. Диагонали прямоугольника  пересекаются в точке . Периметр треугольника  равен  см, а периметр треугольника  равен  см. Найдите периметр треугольника , если диагональ прямоугольника равна  см.

64.


Найдите периметр прямоугольника , если биссектрисы  и  углов  и  делят сторону  на три отрезка, длина каждого из которых равна  см.

65. Сумма расстояний от точки пересечения диагоналей прямоугольника до всех его вершин равна  см. Найдите диагональ данного прямоугольника.

66. Диагональ  прямоугольника  образует угол  с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями прямоугольника.

67. Диагональ прямоугольника равна  см. Угол между его диагоналями равен . Вычислите длину меньшей стороны прямоугольника.

68. Диагонали прямоугольника  пересекаются в точке , образуя острый угол . Определите, какое расстояние больше: от точки  до стороны  или от точки  до стороны .

69.


В прямоугольном равнобедренном треугольнике  ( – прямой) через точки  и , лежащие на гипотенузе, проведены прямые  и , параллельные катету , и прямые  и , параллельные катету . Сравните периметры четырёхугольников  и .

 

70. На основании  равнобедренного треугольника  взята точка  так, что сумма расстояний от неё до сторон  и  равна  см. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины .

71. Диагонали прямоугольника  пересекаются в точке . Периметр треугольника  равен  см, а сторона  равна  см. Найдите периметр треугольника .

72.


Биссектрисы углов  и  прямоугольника  пересекаются на стороне  в точке . Найдите периметр прямоугольника, если длина  равна  см.

 

73. Сумма расстояний от точки пересечения диагоналей прямоугольника до всех его сторон равна  см. Найдите периметр данного прямоугольника.

74. Угол  между диагоналями прямоугольника  равен . Найдите угол .

75. В прямоугольнике  сторона  в два раза меньше диагонали . Найдите расстояние от точки  пересечения диагоналей прямоугольника до стороны , если периметр треугольника  равен  см.

76. Диагонали прямоугольника  пересекаются в точке . Определите, какое расстояние больше: от точки  до стороны  или от точки  до стороны , если сторона  меньше стороны .

77.


В прямоугольном равнобедренном треугольнике  ( – прямой) через точку , лежащую на гипотенузе, проведены прямые  и , параллельные катетам  и  соответственно. Найдите периметр прямоугольника , если катет треугольника  равен  см.

 

78. На продолжении основания  равнобедренного треугольника  взята точка  так, что разность расстояний от неё до сторон  и  равна  см. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины .

79. В прямоугольнике  проведена диагональ . Перпендикуляр к диагонали  составляет со стороной  угол, равный  и отсекает от диагонали отрезок , равный  см. Найдите периметр прямоугольника, если сторона  см.

 

80. Дан прямоугольник  со стороной . К диагонали  проведён перпендикуляр . Найдите периметр прямоугольника, если диагональ  составляет со стороной  угол, равный .

 

 

81.


В прямоугольнике    – точка пересечения его диагоналей. Из точки  к серединам сторон  и  проведены отрезки   и  соответственно. Найдите периметр прямоугольника.

 

82.


Биссектриса  угла  прямоугольника  отсекает от стороны  отрезки  и . Найдите периметр прямоугольника.

 

83. В прямоугольнике  проведена биссектриса  угла . Найдите .


84. В прямоугольнике  диагональ  составляет с его меньшей стороной угол . Найдите углы  и .

85. В прямоугольнике  диагонали пересекаются в точке . Найдите  и меньший угол между диагоналями, если известно, что .

86.


Диагонали прямоугольника  пересекаются в точке . Меньший угол между диагоналями равен . Найдите углы треугольника , если известно, что .

 

87. В прямоугольнике  диагонали пересекаются в точке . Известно, что  . Найдите эти углы.

88.  В прямоугольнике . Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен .

89. В прямоугольнике  из угла  проведён луч, который пересекает сторону  в точке  так, что  и . Найдите стороны прямоугольника, если известно, что периметр его равен .

90. Диагональ  прямоугольника  составляет со стороной  угол, равный . Перпендикуляр, опущенный из вершины  на эту диагональ отсекает от неё отрезок . Периметр данного прямоугольника равен . Найдите стороны


прямоугольника.

 

91.


Из вершины  прямоугольника , с периметром , проведён луч, который пересекает сторону  под углом . Разность отсекаемых отрезков равна . Найдите стороны прямоугольника.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      

 

8 класс.

Геометрия. Четырехугольники. Прямоугольник, ромб и квадрат. — Обзор теории о четырехугольниках. Решение задач.
Комментарии преподавателя

По­вто­ре­ние тео­рии и ре­ше­ние задач

Ранее мы уже по­зна­ко­ми­лись с та­ки­ми ви­да­ми че­ты­рех­уголь­ни­ков, как па­рал­ле­ло­грамм и тра­пе­ция, и их част­ны­ми слу­ча­я­ми – пря­мо­уголь­ни­ком, ром­бом и квад­ра­том. Мы изу­чи­ли их ос­нов­ные свой­ства и при­зна­ки. Се­год­ня мы по­вто­рим и обоб­щим все по­лу­чен­ные нами зна­ния по этой теме.

По­вто­рим ос­нов­ной тео­ре­ти­че­ский ма­те­ри­ал.

Тра­пе­ция – это че­ты­рех­уголь­ник, у ко­то­ро­го две про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­лель­ны, а две дру­гие не па­рал­лель­ны (см. Рис. 1).

 

Рис. 1. Тра­пе­ция

Вы­де­ля­ют два от­дель­ных типа тра­пе­ций: рав­но­бед­рен­ную и пря­мо­уголь­ную.

Рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция – это тра­пе­ция, в ко­то­рой бо­ко­вые сто­ро­ны равны (см. Рис. 2).

 

Рис. 2. Рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция

Пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция – это тра­пе­ция, в ко­то­рой одна из бо­ко­вых сто­рон пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию (см. Рис. 3).

Рис. 3. Пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция

От­дель­но стоит вспом­нить такой важ­ный эле­мент тра­пе­ции, как ее сред­няя линия.

Сред­няя линия тра­пе­ции – это от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны бо­ко­вых сто­рон тра­пе­ции (см. Рис. 4).

Рис. 4. Сред­няя линия тра­пе­ции

Ос­нов­ные свой­ства сред­ней линии тра­пе­ции:

1.  – па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям тра­пе­ции;

2.  – равна их по­лу­сум­ме.

Па­рал­ле­ло­грамм – че­ты­рех­уголь­ник, у ко­то­ро­го каж­дые две про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­лель­ны (см. Рис. 5).

 

Рис. 5. Па­рал­ле­ло­грамм

Ос­нов­ные свой­ства па­рал­ле­ло­грам­ма:

Чтобы иметь воз­мож­ность при ре­ше­нии задач поль­зо­вать­ся ука­зан­ны­ми свой­ства­ми, нам необ­хо­ди­мо по­ни­мать, яв­ля­ет­ся ли ука­зан­ный че­ты­рех­уголь­ник па­рал­ле­ло­грам­мом или нет. Для этого необ­хо­ди­мо знать при­зна­ки па­рал­ле­ло­грам­ма.

Тео­ре­ма. Пер­вый при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма. Если в че­ты­рех­уголь­ни­ке две про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны и па­рал­лель­ны (см. Рис. 6), то этот че­ты­рех­уголь­ник  – па­рал­ле­ло­грамм.  па­рал­ле­ло­грамм.

Рис. 6. Пер­вый при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма

Тео­ре­ма. Вто­рой при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма. Если в че­ты­рех­уголь­ни­ке каж­дые две про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны (см. Рис. 7), то этот че­ты­рех­уголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм.  па­рал­ле­ло­грамм.

Рис. 7. Вто­рой при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма

Тео­ре­ма. Тре­тий при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма. Если в че­ты­рех­уголь­ни­ке диа­го­на­ли точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам (см. Рис. 8), то этот че­ты­рех­уголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм.  па­рал­ле­ло­грамм.

Рис. 8. Тре­тий при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма

Те­перь по­вто­рим част­ные слу­чаи па­рал­ле­ло­грам­ма.

Пря­мо­уголь­ни­ком на­зы­ва­ют па­рал­ле­ло­грамм, у ко­то­ро­го все углы пря­мые (см. Рис. 9).

Рис. 9. Пря­мо­уголь­ник

За­ме­ча­ние. Оче­вид­ным эк­ви­ва­лент­ным опре­де­ле­ни­ем пря­мо­уголь­ни­ка (ино­гда его име­ну­ют при­зна­ком пря­мо­уголь­ни­ка) можно на­звать сле­ду­ю­щее. Пря­мо­уголь­ник – это па­рал­ле­ло­грамм с одним углом . Это утвер­жде­ние прак­ти­че­ски оче­вид­но, и мы оста­вим его без до­ка­за­тель­ства, поль­зу­ясь далее как опре­де­ле­ни­ем.

Т.к. пря­мо­уголь­ник, как это видно из опре­де­ле­ния, яв­ля­ет­ся част­ным слу­ча­ем па­рал­ле­ло­грам­ма, то ему при­су­щи все ранее опи­сан­ные свой­ства па­рал­ле­ло­грам­ма, од­на­ко у него име­ют­ся и свои спе­ци­фи­че­ские свой­ства, ко­то­рые мы сей­час рас­смот­рим.

Тео­ре­ма. Свой­ство пря­мо­уголь­ни­ка. Диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка равны (см. Рис. 10).

.

Рис. 10. Свой­ство пря­мо­уголь­ни­ка

Тео­ре­ма.  При­знак пря­мо­уголь­ни­ка. Если в па­рал­ле­ло­грам­ме диа­го­на­ли равны, то этот па­рал­ле­ло­грамм – пря­мо­уголь­ник (см. Рис. 11).

Рис. 11. При­знак пря­мо­уголь­ни­ка

Ромб – па­рал­ле­ло­грамм, у ко­то­ро­го все сто­ро­ны равны (см. Рис. 12).

Рис. 12. Ромб

За­ме­ча­ние. Для опре­де­ле­ния ромба до­ста­точ­но ука­зы­вать даже более ко­рот­кое утвер­жде­ние, что это па­рал­ле­ло­грамм, у ко­то­ро­го равны две смеж­ные сто­ро­ны .

Ромб об­ла­да­ет всеми свой­ства­ми па­рал­ле­ло­грам­ма, т.к. яв­ля­ет­ся его част­ным слу­ча­ем, но имеет и свое спе­ци­фи­че­ское свой­ство.

Тео­ре­ма. Свой­ство ромба. Диа­го­на­ли ромба пер­пен­ди­ку­ляр­ны и делят углы ромба по­по­лам (см. Рис. 13).

 

Рис. 13. Свой­ство ромба

Квад­рат – 1) пря­мо­уголь­ник, у ко­то­ро­го сто­ро­ны равны; 2) ромб, у ко­то­ро­го углы пря­мые (см. Рис. 14). Ука­зан­ные опре­де­ле­ния эк­ви­ва­лент­ны и при­ме­ня­ют­ся в любой удоб­ной форме.

                                                                                                       

Рис. 14. Квад­рат

Квад­ра­ту при­су­щи свой­ства тех фигур, част­ным слу­ча­ем ко­то­рых он яв­ля­ет­ся (па­рал­ле­ло­грамм, пря­мо­уголь­ник, ромб). Пе­ре­чис­лим их.

Ос­нов­ные свой­ства квад­ра­та (см. Рис. 15):

1. Все углы пря­мые.

2. Диа­го­на­ли равны.

3. Диа­го­на­ли пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

4. Точка пе­ре­се­че­ния делит диа­го­на­ли по­по­лам.

5. Диа­го­на­ли делят углы квад­ра­та по­по­лам.

Рис. 15. Свой­ства квад­ра­та

Те­перь, когда мы пе­ре­чис­ли­ли и вспом­ни­ли ос­нов­ные свой­ства ос­нов­ных изу­чен­ных че­ты­рех­уголь­ни­ков, мы можем за­кре­пить эти зна­ния на при­ме­ре ре­ше­ния задач.

При­мер 1. (Обоб­щен­ная за­да­ча на тра­пе­цию и па­рал­ле­ло­грамм). Дана тра­пе­ция  или па­рал­ле­ло­грамм  (см. Рис. 16).  бис­сек­три­сы углов при бо­ко­вой сто­роне тра­пе­ции (па­рал­ле­ло­грам­ма). Найти угол между бис­сек­три­са­ми .

Ре­ше­ние. Это при­мер за­да­чи, де­мон­стри­ру­ю­щий схо­жесть неко­то­рых свойств па­рал­ле­ло­грам­ма и тра­пе­ции, в нем не важно, какая кон­крет­но из этих двух фигур за­да­на. Изоб­ра­зим ри­су­нок.

Рис. 16

 – бис­сек­три­сы, они делят со­от­вет­ству­ю­щие углы по­по­лам, обо­зна­чим их  и .

По свой­ству тра­пе­ции (па­рал­ле­ло­грам­ма) .

Рас­смот­рим : .

Ответ: .

Вспом­ним фор­му­ли­ров­ку тео­ре­мы Фа­ле­са.

Тео­ре­ма Фа­ле­са. Если па­рал­лель­ные пря­мые, ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют сто­ро­ны угла, от­се­ка­ют на одной его сто­роне рав­ные от­рез­ки, то они от­се­ка­ют рав­ные от­рез­ки и на дру­гой его сто­роне (см. Рис. 17).

Рис. 17. Тео­ре­ма Фа­ле­са

Рас­смот­рим за­да­чу на тра­пе­цию с при­ме­не­ни­ем тео­ре­мы Фа­ле­са.

При­мер 2. Бо­ко­вая сто­ро­на тра­пе­ции раз­де­ле­на на три рав­ные части, и из точек де­ле­ния про­ве­де­ны к дру­гой сто­роне от­рез­ки, па­рал­лель­ные ос­но­ва­ни­ям. Най­ди­те длину этих от­рез­ков, если ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 2 м и 5 м.

Ре­ше­ние. Изоб­ра­зим Рис. 18 со всеми эле­мен­та­ми, ко­то­рые при­го­дят­ся нам в про­цес­се ре­ше­ния. Из­вест­но, что . Найти длины .

Рис. 18

Для того, чтобы вос­поль­зо­вать­ся тео­ре­мой Фа­ле­са от­но­си­тель­но угла , про­ве­дем пря­мые .

Сна­ча­ла рас­смот­рим па­рал­ле­ло­грамм , в нем по свой­ству .

Вер­нем­ся к про­ве­ден­ным па­рал­лель­ным пря­мым, по тео­ре­ме Фа­ле­са: . . По­сколь­ку от­ре­зок  раз­де­лен на три рав­ные части, то .

Те­перь, если вни­ма­тель­но по­смот­реть на па­рал­ле­ло­грам­мы, об­ра­зо­ван­ные пе­ре­се­че­ни­я­ми линий  с про­ве­ден­ны­ми нами пря­мы­ми , можно легко опре­де­лить длины от­рез­ков : , .

Ответ. .

При­мер 3. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции от­но­сят­ся как 2:3. Сред­няя линия равна 5 м. Най­ди­те ос­но­ва­ния.

Ре­ше­ние. Изоб­ра­зим Рис. 19 и ука­жем, что нам дано: . Найти  и .

Рис. 19

По­сколь­ку из­вест­но, что , то вы­ра­зим ос­но­ва­ния тра­пе­ции через услов­ные части : . За­пи­шем свой­ство сред­ней линии тра­пе­ции:

.

Ответ. .

При­мер 4. Через дан­ную точку внут­ри угла про­ве­ди­те пря­мую, от­ре­зок ко­то­рой, за­клю­чен­ный внут­ри этого угла, де­лил­ся бы дан­ной точ­кой по­по­лам.

Ре­ше­ние. Внут­ри угла с вер­ши­ной  дана точка . Изоб­ра­зим это на Рис. 20 со всеми эле­мен­та­ми, ко­то­рые по­на­до­бят­ся нам для ре­ше­ния за­да­чи.

Рис. 20

От­ло­жим от­ре­зок  из точки  через точку  так, чтобы , затем про­ве­дем от­рез­ки , по­лу­чим точки пе­ре­се­че­ния со сто­ро­на­ми угла  и  со­от­вет­ствен­но. Со­еди­ним эти точки пря­мой, она и будет ис­ко­мой. До­ка­жем это.

По­стро­ен­ная фи­гу­ра  яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грам­мом, т.к. по по­стро­е­нию имеет па­рал­лель­ные про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны, от­рез­ки  яв­ля­ют­ся диа­го­на­ля­ми па­рал­ле­ло­грам­ма, сле­до­ва­тель­но, по его свой­ству точ­кой пе­ре­се­че­ния () де­лят­ся по­по­лам и , что и тре­бо­ва­лось по усло­вию за­да­чи.

Ответ. Ис­ко­мая пря­мая – .

При­мер 5. В пря­мо­уголь­ни­ке точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей от­сто­ит от мень­шей сто­ро­ны на 4 см даль­ше, чем от боль­шей сто­ро­ны. Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен 56 см. Най­ди­те сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние. Изоб­ра­зим Рис. 21.

Рис. 21

Опу­стим из точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей пер­пен­ди­ку­ля­ры на сто­ро­ны, длины ко­то­рых и будут рас­сто­я­ни­я­ми от точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей до сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка. Обо­зна­чим от­ре­зок , тогда по усло­вию . По­сколь­ку  по­лу­ча­ем, что . Под­ста­вим это в фор­му­лу пе­ри­мет­ра пря­мо­уголь­ни­ка:

.

Ответ: .

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/povtorenie-teorii-i-reshenie-zadach

http://www.youtube.com/watch?v=axMe7L_01j0

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/83-test-po-geometrii-8-klass-tema-pryamougolnik-romb-kvadrat-variant-1. html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/84-test-po-geometrii-8-klass-tema-pryamougolnik-romb-kvadrat-variant-2.html

http://festival.1september.ru/articles/416997/

Как найти длину диагонали прямоугольника

Все ресурсы по базовой геометрии

9 Диагностические тесты 164 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 4 Следующая →

Справка по основам геометрии » Плоская геометрия » Четырехугольники » Прямоугольники » Как найти длину диагонали прямоугольника

Длина прямоугольника 12 дюймов, а ширина 5 дюймов. Чему равна диагональ прямоугольника?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Чтобы найти диагональ, воспользуемся теоремой Пифагора:

где = гипотенуза

или

Сообщить об ошибке

Одна сторона прямоугольника равна 7 дюймам, а другая — 9 дюймам. Сколько сантиметров длина диагонали прямоугольника?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Вы можете найти диагональ прямоугольника, если у вас есть ширина и высота. Диагональ равна квадратному корню из квадрата ширины плюс квадрат высоты.

Сообщить об ошибке

Найдите длину диагонали.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Прямоугольник можно разрезать на два равных прямоугольных треугольника, гипотенуза которых является диагональю прямоугольника.

Используйте теорему Пифагора, чтобы найти гипотенузу:

, где A и B — ноги, а C — гипотенуза

. Сообщение о ошибке

А. Стандартный баскетбольный двор. 84 фута в длину и 50 футов в ширину. Во время тренировки тренер К. заставляет Кайри бежать из одного правого угла на одном конце площадки в левый угол на другом конце площадки. С точностью до фута, сколько пробежал Кирие?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Рисунок очень помогает решить эту задачу, поэтому мы начнем с прямоугольной баскетбольной площадки.

Заметим, что расстояние, пройденное Кирие (отмечено красным), является диагональю нашего прямоугольника, который мы назовем . Нам также не следует, что эта диагональ делит наш прямоугольник на два конгруэнтных прямоугольных треугольника. Поэтому мы можем найти длину нашей диагонали, сосредоточившись на одном из этих треугольников и определив гипотенузу. Это можно сделать с помощью теоремы Пифагора, которая дает нам:

Извлечение квадратного корня дает

Округление до ближайшего фута дает ответ 98.

Сообщить об ошибке

Прямоугольник имеет высоту . Какова длина его диагонали, округленная до десятых?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

1. Используйте теорему Пифагора с  и .

 

2. Решите для , длина диагонали:

Это округляется до сотни.

Сообщить об ошибке

Стороны прямоугольника ABCD равны 4 дюймам и 13 дюймам. 

Какова длина диагонали прямоугольника ABCD?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Диагональ прямоугольника делит прямоугольник на 2 прямоугольных треугольника со сторонами, равными сторонам прямоугольника, и с гипотенузой, являющейся диагональю. Все, что вам нужно сделать, это использовать теорему Пифагора:

 где a и b — стороны прямоугольника, а c — длина диагонали.

Сообщить об ошибке

Найдите длину диагонали прямоугольника, имеющего длину  и ширину  .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Диагональ прямоугольника также является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются длина и ширина прямоугольника.

Затем мы можем использовать теорему Пифгора, чтобы найти диагональ.

Для заданного прямоугольника

Сообщить об ошибке

Найдите длину диагонали прямоугольника, имеющего длину  и ширину  .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Диагональ прямоугольника также является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются длина и ширина прямоугольника.

Затем мы можем использовать теорему Пифгора, чтобы найти диагональ.

Для заданного прямоугольника

Сообщить об ошибке

Найдите длину диагонали прямоугольника, имеющего длину  и ширину  .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Диагональ прямоугольника также является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются длина и ширина прямоугольника.

Затем мы можем использовать теорему Пифгора, чтобы найти диагональ.

Для заданного прямоугольника

Сообщить об ошибке

Найдите длину диагонали прямоугольника, имеющего длину  и ширину  .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Диагональ прямоугольника также является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются длина и ширина прямоугольника.

Затем мы можем использовать теорему Пифгора, чтобы найти диагональ.

Для заданного прямоугольника

Сообщить об ошибке

← Предыдущий 1 2 3 4 Далее →

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы по базовой геометрии

9 Диагностические тесты 164 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept

геометрия — Деление прямоугольника на 4 части в соотношении 1:2:3:4, всего 2 линиями

Существует однопараметрическое бесконечное семейство решений. Ниже приведен алгоритм, чтобы найти их все. В качестве спойлера сразу укажу, что этот алгоритм одинаково хорошо работает и для 92$ — не только конкретный рассматриваемый прямоугольник 5 на 6.

Для начала обозначим области в рассеченном прямоугольнике цифрами 1,2,3,4 в соответствии с их долей площади. Если мы посмотрим на порядок четырех областей, когда мы движемся по часовой стрелке вокруг точки пересечения двух линий, начиная с области 1, есть 6 возможностей: (1,2,3,4), (1,2,4, 3), (1,3,2,4), (1,3,4,2), (1,4,2,3), (1,4,3,2). На рисунке ниже показан пример, где n,p,q — любая перестановка 2,3,4.

Шаг 1 алгоритма: Выберите расположение регионов из 6 возможных.

Давайте теперь посмотрим, что произойдет, если мы выберем конкретную ориентацию для линии $l$ (как указано, например, единичным вектором или углом относительно некоторой опорной линии), которая проходит вдоль против часовой стрелки стороны области 1, как показано на рисунке выше. Пусть $n$ будет номером области, которая является соседней по часовой стрелке области 1. Затем мы хотим, чтобы $l$ разделил прямоугольник на две области, одна с долей $\frac{1+n}{10}$ Общая площадь. Если представить, что $l$ заметают по прямоугольнику, мы видим, что вся площадь перемещается от одной стороны линии к другой монотонным образом. По теореме о промежуточном значении существует единственная линия $l$, выполняющая эту работу.

Шаг 2 алгоритма: Выберите ориентацию для линии $l$. Согласно приведенным выше замечаниям, это полностью определяет строку.

Теперь я утверждаю, что положение второй строки $l’$ однозначно определяется уже сделанным нами выбором. Это следует из трех наблюдений:

  1. Для любой точки пересечения двух прямых существует уникальная ориентация второй прямой $l’$, при которой соотношение площадей 1 и $n$ становится правильным. Это снова следует из теоремы о промежуточном значении.
  2. Найденная в точке (1) ориентация монотонно меняется в зависимости от положения точки пересечения вдоль прямой $l$.
  3. Если точка пересечения находится в конце прямой $l$, то выбор $l’$, как указано выше, приведет к тому, что одна из областей $m$, $q$ на другой стороне будет иметь нулевую площадь. Итак, снова по теореме о промежуточном значении существует единственное положение точки пересечения вдоль $l$, при котором отношение оставшихся двух областей оказывается правильным.

Резюме: Разделение прямоугольника может быть задано двумя способами: расположением (1,n,p,q) и ориентацией линии $l$. 92$, этот алгоритм отлично работает и для соотношений, отличных от 1:2:3:4.

  • Этот алгоритм можно усовершенствовать до явной формулы для прямых $l$ и $l’$ в зависимости от расположения областей и ориентации $l$. Причина, по которой я этого не сделал, состоит в том, что формула имеет раздражающее кусочное определение. Корень проблемы в том, что когда вы проводите линию с фиксированной ориентацией по прямоугольнику, площадь по обе стороны меняется негладким образом каждый раз, когда вы попадаете в угол.
  • Чтобы использовать этот алгоритм с пользой, ниже приведено новое решение проблемы. Я ограничился частным случаем, когда области 1 и 4 являются смежными, потому что в этом случае линия, отделяющая их от областей 2 и 3, должна разделить прямоугольник на две области одинаковой площади. Единственный способ сделать это — провести соответствующую линию через центр прямоугольника, что упрощает алгоритм.

    • Уравнения для линий в этом случае имеют вид $y = \frac{5}{6} x$ для $l’$ (диагональ прямоугольника) и $x = \frac{6(\sqrt{ 2}+1)}{5} — \frac{12(\sqrt{2}-1)}{25} y$ для $l$.