Упростите выражение 2 вариант: Домашняя контрольная работа № 1. Вариант 2 6. Упростите выражение. Алгебра Мордкович 8 класс

• 1. cos²а
• 2. sin^-2а
• 3. sin²а
• 4. cos^-2а

• 1. -2/3
• 2. 1/4
• 3. π/4
• 4. -1/4

• 1. I или II
• 2. I или III
• 3. I или IV
• 4. II или IV

• 1. 1/2
• 2. 1/3
• 3. -1/2
• 4. 2/3

• 1. sin2a
• 2. sina
• 3. cosa
• 4. cos2a

• 1. ctg²a
• 2. tg²a
• 3. -tg²a
• 4. 1/tga

• 1. tga
• 2. cos²a
• 3. 1/cosa
• 4. ctg²a

• 1. -1/sin2a
• 2. -1/cos2a
• 3. 1/cos2a
• 4. 1/sin2a

• 1. -ctga
• 2. -tga
• 3. tga
• 4. -2cosa

• 1. ctg⁴a
• 2. 1/2 tg²a
• 3. tg⁴a
• 4. tg²a

• 1. ctga/2
• 2. ctga
• 3. tga/2
• 4. tga

• 1. 2
• 2. 1/cos²а
• 3. 2tg²а
• 4. 2ctg²а

• 1. 3/4
• 2. 1/4
• 3. 1/16
• 4. 3/8

• 1. -1/sin²x
• 2. -1/cos²x
• 3. 1/sin²x
• 4. 1/cos²x

• 1. tg3а
• 2. tga
• 3. 1
• 4. ctgа

• 1. (-1)^k·(π/3) + 2πk, k Є Z
• 2. (-1)^k·(π/6) + πk, k Є Z
• 3. (-1)^k·(π/4) + 2πk, k Є Z
• 4. (-1)^k+1·(π/3) + πk, k Є Z

• 1. π + 2πk, k Є Z
• 2. Ø
• 3. 2πk, k Є Z
• 4. π/4 + πk/2, k Є Z

• 1. 15°
• 2. 45°
• 3. 30°
• 4. 0°

• 1. ±π/3 + 2πk, k Є Z
• 2. π/2 + 2πk, k Є Z
• 3. (-1)^k+1·(π/6) + πk; -π/2 + 2πk, k Є Z
• 4. π/2 + 2πk; (-1)^k·(π/6) + πk, k Є Z

• 1. ±π/6 + πk, k Є Z
• 2. ±π/4 + πk, k Є Z
• 3. ±π/3 + πk, k Є Z
• 4. ±π/4 + 2πk, k Є Z

• 1. 3πk, k Є Z
• 2. π/2 + (π/3)k, k Є Z
• 3. π/4 + (π/2)k, k Є Z
• 4. (π/3)k, k Є Z

• 1. 45°
• 2. 90°
• 3. 30°
• 4. 60°

• 1. 2πk, k Є Z
• 2. (-1)^k (π/6) + πk, k Є Z
• 3. π/2 + 2πk, k Є Z
• 4. π + 2πk, k Є Z

• 1. π/2 + 2πk, k Є Z
• 2. -π/2 + 2πk, k Є Z
• 3. πk, k Є Z
• 4. π + πk, k Є Z

• 1. π/6 + 2πk/3, k Є Z
• 2. ±π/3 + 2πk, k Є Z
• 3. π/4 + πk, k Є Z
• 4. -π/6 + 2πk/3, k Є Z

• 1. πk/2, k Є Z
• 2. πk, k Є Z
• 3. π/2 + πk, k Є Z
• 4. π/4 + (πk)/2, k Є Z

• 1. (π/12 + πk; 5π/12 + πk), k Є Z
• 2. (π/3 + 2πk; 2π/3 + 2πk), k Є Z
• 3. (π/6 + 2πk; 5π/6 + 2πk), k Є Z
• 4. (-7π/12 + πk; π/12 + πk), k Є Z

• 1. πk, k Є Z
• 2. π + 2πk, k Є Z
• 3. 2πk, k Є Z
• 4. π/2 + πk, k Є Z

• 1. 135°
• 2. 120°
• 3. 150°
• 4. 180°

• 1. πk, k Є Z
• 2. πk/5, k Є Z
• 3. πk/2, k Є Z
• 4. πk/4, k Є Z

• 1. Ø
• 2. π/2 + 2πk, k Є Z
• 3. π/2 + πk, k Є Z
• 4. x Є R

• 1. π/6 + 2πk, k Є Z
• 2. ±π/3 + 2πk, k Є Z
• 3. (πk)/2, k Є Z
• 4. ±2π/3 + 2πk, k Є Z

• 1. ±π/6 + πk, k Є Z
• 2. (-1)^k+1·(π/6) + πk, k Є Z
• 3. (-1)^k·(π/6) + πk/2, k Є Z
• 4. ±π/3 + πk, k Є Z

• 1. 2πk, k Є Z
• 2. πk/2, k Є Z
• 3. π/2 + πk, k Є Z
• 4. Ø

• 1. (-1)^k·(π/30) + πk/5, k Є Z
• 2. (-1)^k·(π/20) + πk/5, k Є Z
• 3. πk/30, k Є Z
• 4. πk/4, k Є Z

• 1. -4π/3 + 2πk ≤ x ≤ π/3 + 2πk, k Є Z
• 2. π/4 + 2πk ≤ x
• 3. π/4 + 2πk ≤ x ≤ 3π/4 + 2πk, k Є Z
• 4. π/3 + 2πk ≤ x ≤ 2π/3 + 2πk, k Є Z

• 1. π/2 + πk, k Є Z
• 2. πk, k Є Z
• 3. Ø
• 4. πk/2, k Є Z

• 1. π/4; 7π/4
• 2. 3π/4; 5π/4
• 3. 3π/4; 7π/4
• 4. π/6; 11π/6

• 1. π/4 + πk/2, k Є Z
• 2. π/6 + πk, k Є Z
• 3. ±π/6 + 2πk, k Є Z
• 4. ±π/6 + πk/2, k Є Z

Упрощение выражений, раскрытие скобок. Математика, 6 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Проверь равенство Сложность: лёгкое	1
2.	Коэффициент произведения Сложность: среднее	1
3.	Записать выражение без скобок Сложность: среднее	1
4.	Упростить выражение, раскрыв скобки Сложность: среднее	2
5.	Записать сумму или разность двух выражений и упростить её Сложность: среднее	2
6.	Привести подобные слагаемые (коэффициенты — десятичные дроби) Сложность: среднее	1
7.	Сложи подобные слагаемые (с обыкновенными дробями) Сложность: среднее	2
8.	Найти значение выражения Сложность: сложное	3
9.	Упростить выражение Сложность: сложное	3
10.	Вычислить Сложность: среднее	4
11.	Какая сумма денег была у девочек? Сложность: сложное	1

Тема 6.

Тема 6. Тригонометрия 1. Определение тригонометрических функций для угла прямоугольного треугольника     В прямоугольном треугольнике один из острых углов обозначим через α. Катет, противолежащий этому углу, назовем а; прилежащий катет – b, а гипотенузу – с.     Существует шесть отношений сторон прямоугольного треугольника относительно фиксированного угла α, каждое из которых, соответственно, назвали:     .     Рассмотрим «тригонометрический ряд»:                                                             .      Нетрудно заметить, что произведения тригонометрических функций равноотстоящих от концов «тригонометрического ряда», равны 1:                                                         .     Из теоремы Пифагора следует:                                                               – основное тригонометрическое тождество или, как ещё его называют, «тригонометрическая единица».     Если тождество   почленно разделить на  или на , то получим ещё два тождества:     .     Полученные шесть наиболее важных тригонометрических тождеств позволяют отыскать любую из тригонометрических функций при условии, что одна из шести будет известна. 2. Значения тригонометрических функций 30, 45 и 60 градусов Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной, равной 1. Высота этого треугольника равна   и делит сторону пополам.     Из левого прямоугольного треугольника найдём:      Из прямоугольного равнобедренного треугольника с гипотенузой, равной 1 и острыми углами по 450 найдём:         .     Сведём все полученные результаты в таблицу:                                                                                      3. Определение тригонометрических функций на единичной окружности     Величина угла α для прямоугольного треугольника находится в пределах от 00 до 900 градусов. Необходимо определить тригонометрические функции для других углов. Для этого рассмотрим окружность с радиусом, равным 1, и центром в начале декартовой системы координат. Зададим подвижный радиус OP, первоначальное, «нулевое» положение которого совпадает с положительным направлением оси OX, и вращение против часовой стрелки увеличивает величину угла, а вращение по часовой стрелке величину угла уменьшает. Если точка P лежит в первой четверти, то, рассматривая прямоугольный треугольник с гипотенузой 1 (т.к. радиус окружности равен 1) и острым углом α, получим: , где х, у – координаты точки Р – конца подвижного радиуса. Этими же соотношениями определяются тригонометрические функции углов меньше 00 и больше 900.     Из определения тригонометрических функций вытекают важные их свойства:     1. Все тригонометрические функции периодические. Причём sinα и cosα имеют наименьший (главный) период Т = 2π и общий период 2πk, где k – любое целое число. У tgα и ctgα наименьший период равен π, а общий πk, где k – целое число.     2. sinα, tgα и ctgα – нечётные функции; т.е.         sin (– α) = – sinα, tg (– α) = – tgα, ctg (– α) = – ctgα;         cosα – чётная функция, т.е. cos (– α ) = cosα;     3. Знаки тригонометрических функций:         I четверть – положительны sinα, cosα, tgα, ctgα;         II четверть – положителен только sinα, отрицательны cosα, tgα, ctgα;         III четверть – положительны tgα, ctgα, отрицательны sinα, cosα;         IX четверть – положителен cosα, а sinα, tgα, ctgα – отрицательны.           Важное значение при вычислении значений тригонометрических функций имеют формулы приведения, позволяющие свести аргумент тригонометрической функции к углу от 00 до 900.      Из рисунка видно, что относительно горизонтального диаметра наименование тригонометрической функции не меняется, а относительно вертикального меняется на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс и обратно).     Для лучшего запоминания формул приведения можно воспользоваться мнемоническим правилом. Пусть  и α- угловые величины дуг единичной окружности, причём . Для того чтобы привести тригонометрическую функцию числа к тригонометрической функции числа α, необходимо:     1) величину  представить в одном из следующих видов:              2) сохранить наименование функции, если дуга величиной α откладывается от горизонтального диаметра  изменить наименование функции на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс и обратно), если дуга величиной  откладывается от вертикального диаметра  (см. «Правило носа» ).     3) установить, в какой четверти расположен конец дуги величиной , и определить знак приводимой тригонометрической функции; этот же знак поставить перед значением приведённой функции.      «Правило носа». Задайте вопрос: «Функция меняет имя?» и носом водите вдоль той оси координат, от которой откладывается острый угол α. по оси ОY носом водите вверх-вниз, что на мнемоническом языке означает «да» – значит, функция меняет своё имя на кофункцию; по оси OX носом водите влево-вправо, что на мнемоническом языке означает «нет» – функция имени не меняет. Для выполнения тождественных преобразований необходимо знать следующие формулы:     1.Формулы сложения     .     2.Формулы двойного аргумента     .     3.Формулы половинного аргумента     .     4.Формулы понижения степени          5.Формулы преобразования суммы в произведения          6.Формулы преобразования произведений в суммы      .     7. Определения обратных тригонометрических функций      .     8. Тригонометрические уравнения      .  Базовый уровень Пример 1. Вычислить .     Решение:              Ответ: 1. Пример 2. Найти значение sinα , если .     Решение:         Так как синус в IV четверти имеет отрицательное значение, то .     Ответ: – 0,6. Пример 3. Найти значение , если .     Решение:         Из формулы  найдём . Так как α лежит в I четверти, то cosα  положителен и .        Из формулы  найдём .        .     Ответ: 7,2.  Пример 4. Решите уравнение .     Решение:         .        Умножим левую и правую части равенства на 5 и, учитывая, что , получаем .    Ответ: .Пример 5. Вычислить .     Решение:         Согласно формулам сложения, имеем .     Ответ: 1. Пример 6. Приведите значение аргумента к I четверти: .     Решение:         По алгоритму формул приведения: .    Ответ: . Повышенный уровень Пример 7. Упростить .     Решение:              Ответ: .Пример 8. Вычислить .     Решение:         Воспользуемся формулами преобразования произведений в сумму и формулами приведения, получим:         .     Ответ: 1. Задания для самостоятельного решения Ответы 1) 2; 2); 3) – 1; 4) 0,5cosx ; 5) 0; 6) – 0,5; 7) 1; 8) ; 9) 1; 10) 1; 11) 2; 12) – 1,5; 13) ; 14) 0; 15) 0,5; 16) 2,25; 17) ; 18) ; 19) – 3; 20) ; 21) ; 22) а) 0, б) 1; 23) 1; 24) 1; 25) 0,4; 26) 2; 27) 2/7; 28) 0,2; 29) 2250;       30) 300+1800•k1, 1800•k2,; 31) ; 2π; 32); 33) ;

Алгебра 10 Никольский Контрольная 8 .

Контрольная работа № 8 по алгебре в 10 классе с ответами в форме итогового теста. Используется при работе по УМК Никольский. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс : базовый и углубленный уровни / Потапов, Шевкин» использованы в учебных целях. Ответы адресованы родителям. Алгебра 10 Никольский Контрольная 8 + ответы.

Алгебра 10 класс (Никольский)

Смотреть задания Варианта 1

К-8. Вариант 1 (транскрипт)

ЧАСТЬ I. К каждому из заданий А1–А13 дано 4 ответа, из которых только один верный. Для каждого задания запишите номер выбранного вами правильного ответа.

• А1. Упростите выражение ⁴√a : а^–1/2.
• А2. Упростите выражение (b^2/5 – 25) / (b^1/5 + 5) – b^1/5.
• А3. Упростите выражение log₃ 18 – log₃ 2 + 5^{log5 2}.
• А4. Решите неравенство (1/2)^x–2 > 1/8.
• А5. Укажите промежуток возрастания функции у = f(x), заданной графиком (рис. 42).
• А6. Упростите выражение 2 cos² a/2 – cos а – 1.
• А7. Решите уравнение log₂ x = 1/2.
• А8. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log₂(x – 2) = 3.
• А9. Найдите область определения функции у = √((x – 1)/(x + 1)).
• А10. Решите неравенство 9^x ≤ 1/3.
• А11. Решите неравенство 2^x+2 + 2^x > 20.
• А12. Найдите произведение корней уравнения lg² х – 3 lg х – 10 = 0.
• А13. Решите уравнение 2 cos² x – 3 sin x = 0.

ЧАСТЬ II. К каждому из заданий В1–В7 укажите полученный вами ответ (только число).

• В1. Найдите сумму корней уравнения 1/(6 • 2^x – 11) = 1/(4^x – 3).
• В2. Найдите наибольшее целое решение неравенства (log_0,3 (x + 1)) / (log_0,3 100 – log_0,3 9) < 1.
• ВЗ. Вычислите (⁶√7 – ⁶√2)(⁶√7 + ⁶√2)((³√7 + ³√2)² – ³√14).
• В4. Сколько корней уравнения sin х + cos х = √2 принадлежит отрезку [–π; 2π]?
• В5. На соревнованиях по кольцевой трассе первый лыжник проходил круг на 2 мин быстрее второго и через час обогнал его на целый круг. За сколько минут первый лыжник проходил один круг?
• В6. Вычислите sin (π/6 + a), если sin а = √3/2 и 0 < а < π/2.
• В7. Найдите значение выражения (1 + cos 2а – sin 2а) / (cos а + cos (π/2 + a)), если cos a = –1/2.

Алгебра 10 класс (Никольский)

Смотреть задания Варианта 2

К-8. Вариант 2 (транскрипт)

ЧАСТЬ I. К каждому из заданий А1–А13 дано 4 ответа, из которых только один верный. Для каждого задания запишите номер выбранного вами правильного ответа.

• А1. Упростите выражение ³√b : b^–1/6.
• A2. Упростите выражение (a^2/3 – 4)/(a^1/3 – 2) – a^1/3.
• АЗ. Упростите выражение log₄ 48 – log₄ 3 + 6^{log6 5}.
• A4. Решите неравенство (1/3)^x–3 < 1/9.
• А5. Укажите промежуток возрастания функции у = f(x), заданной графиком (рис. 43).
• А6. Упростите выражение 2 sin² a/2 + cos а – 1.
• А7. Решите уравнение log₅ х = –1.
• А8. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log₃(x + 1) = 2.
• А9. Найдите область определения функции у = √((x + 1)/(x – 1)).
• А10. Решите неравенство 4^х ≥ 8.
• А11. Решите неравенство 3^х+2 – 3х < 24.
• А12. Найдите произведение корней уравнения lg² x + lg x – 12 = 0.
• А13. Решите уравнение 2 sin² x – 3 cos x = 0.

ЧАСТЬ II. К каждому из заданий В1–В7 укажите полученный вами ответ (только число).

• В1. Найдите сумму корней уравнения 1/(5 • 2^x – 9) = 1/(4^x – 5).
• В2. Найдите наибольшее целое решение неравенства (log_0,2(x + 1,5)) / (log_0,2 100 – log_0,2 4) < 1.
• ВЗ. Вычислите ((³√5 – ³√2)² + 4³√10)((³√5 – ³√2)² + ³√10).
• В4. Сколько корней уравнения sin х – cos х = –√2 принадлежит отрезку [–2π; 2π]?
• В5. На соревнованиях по кольцевой трассе первый велосипедист проходил круг на 5 мин медленнее второго и через час отстал от него на целый круг. За сколько минут второй велосипедист проходил один круг?
• В6. Вычислите cos (π/3 + a), если sin a = 1/2 и 0 < a < π/2.
• В7. Найдите значение выражения (1 – cos 2a + sin 2a) / (cos a – sin (2π – a), если sin a = –1/2.

Ответы на итоговый тест

Вернуться к Списку контрольных работ по алгебре в 10 классе (Никольский)

Вы смотрели: Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Контрольная работа в форме итогового теста с ответами. Используется при работе по УМК Никольский. Цитаты из пособия Потапова и Шевкина использованы в учебных целях. Ответы адресованы родителям.
Алгебра 10 Никольский Контрольная 8 + ответы.

1. Упростить выражение 2. Решить простое уравнение, содержащее одно действие. 3. Выполнить проверку. ( 120 + 180) : х 3 300:х3 х300:3 х100 (120+180): 1003 33.

Приложенные файлы

• 82864724
  Размер файла: 239 kB Загрузок: 0

Математики воскресили 13-ю проблему Гильберта / Хабр

Вопрос Давида Гильберта о многочленах седьмой степени, долгое время считавшийся решённым, открыл исследователям новую сеть математических связей

Успех в математике достигается редко. Спросите хотя бы Бенсона Фарба.

«Проблема математики в том, что в 90% случаев вас ждёт неудача, и вам нужно быть человеком, умеющим это принимать», — сказал однажды Фарб за ужином с друзьями. Когда один из гостей, также математик, удивился тому, что Фарбу удаётся достигать успеха в целых 10% случаев, Фарб признал: «Нет, нет, я сильно преувеличил процент своих успехов».

Фарб, тополог из Чикагского университета, с радостью встретил последнюю свою неудачу – хотя, честно говоря, это не только его заслуга. Вопрос связан с задачей, парадоксальным образом одновременно решённой и нерешённой, открытой и закрытой.

Задача – это 13-я из 23 математических проблем, которые не были решены в начале XX века. Тогда немецкий математик Давид Гильберт составил этот список, который, по его мнению, определял будущее математики. Задача связана с решением полиномиальных уравнений седьмой степени. Полином – это последовательность членом уравнения, каждый из которых состоит из числового коэффициента и переменных, возведённых в степень; между собой члены связываются сложением и вычитанием. Седьмая степень означает самую большую экспоненту у всех переменных.

Математики уже научились ловко и быстро решать уравнения второго, третьего и в некоторых случаях, четвёртого порядка. В эти формулы – в том числе и в знакомую квадратичную формулу для второй степени – входят алгебраические операции, то есть арифметические действия и извлечение корней. Но чем больше экспонента, тем запутаннее уравнение, и решать его становится всё сложнее. 13-я проблема Гильберта – это вопрос, можно ли выразить решение уравнения седьмого порядка через набор сложений, вычитаний, умножений, делений и алгебраических функций от максимум двух переменных.

В 1900 году Дэвид Гильберт составил список из 23 важнейших открытых проблем.

Ответ: вероятно, нет. Однако для Фарба это не просто вопрос решения сложного алгебраического уравнения. Он сказал, что 13-я проблема – одна из самых фундаментальных проблем математики, поскольку она поднимает глубокие вопросы: насколько сложны полиномы, и как это измерить? «Целый слой современной математики был изобретён для того, чтобы лучше понимать корни полиномов», — сказал Фарб.

Эта проблема затянула его и математика Джесси Вольфсона из Калифорнийского университета в Ирвине в математическую кроличью нору, ходы которой они изучают до сих пор. Она также привлекла к их раскопкам Марка Кисина, специалиста по теории чисел из Гарварда и старого друга Фарба.

Фарб признал, что они пока не решили 13-ю проблему Гильберта, и даже не приблизились к решению. Однако они раскопали почти исчезнувшие математические стратегии, и изучили связи проблемы с различными областями знаний, включая комплексный анализ, топологию, теорию чисел, теорию представлений и алгебраическую геометрию. Они применили собственные подходы, в частности, объединив полиномы с геометрией и сузив диапазон возможных ответов на вопрос Гильберта. Также их работа предлагает способ классификации полиномов по метрикам сложности – аналог классов сложности, имеющих отношение к нерешённой задаче равенства классов P и NP.

«Они на самом деле смогли извлечь из интереса более интересную его версию» по сравнению с теми, что изучались ранее, сказал Дэниел Литт, математик из университета Джорджии. «Они показывают математическому сообществу множество естественных и интересных вопросов».

Открыли, закрыли и снова открыли

Владимир Арнольд и его наставник Андрей Колмогоров в 1950-х доказали один из вариантов 13-й проблемы Гильберта – но, возможно, Гильберта интересовал другой её вариант.

Однако пять лет назад Фарб наткнулся на несколько интригующих строчек в эссе за авторством Арнольда, где знаменитый математик размышляет над своей работой и карьерой. Фарб с удивлением узнал, что Арнольд описывает 13-ю проблему как открытую, и сорок лет пытался решить задачу, которую он вроде бы уже решил.

«Существуют научные работы, где просто повторяется тезис о решённости проблемы. Они явно не понимают самой проблемы», — сказал Фарб. В то время он работал вместе с Вольфсоном, бывшим тогда постдоком, над проектом в области топологии. Когда он поделился найденными в работе Арнольда сведениями, Вольфсон подключился к проекту. В 2017 году во время семинара, посвящённого 50-летию Фарба, Кисин услышал доклад Вольсфона и с удивлением понял, что их идеи, касающиеся полиномов, связаны с вопросами его работы по теории чисел. Он присоединился к их команде.

Причина путаницы с этой проблемой вскоре стала ясна: Колмогоров и Арнольд решили только один из её вариантов. В их решении фигурировали непрерывные функции – такие, у которых нет резких разрывов, или точек перегиба. Среди таких функций – знакомые операции вроде синуса, косинуса, экспоненты, а также более экзотические.

Однако не все исследователи согласны с тем, что Гильберта интересовали именно они. «Многие математики считают, что Гильберт имел в виду алгебраические, а не непрерывные функции», — сказал Зиновий Рейхштейн, математик из университета Британской Колумбии. Фарб и Вольфсон работают над проблемой, которую, как они считают, и хотел изучить Гильберт.

Фарб сказал, что 13-я проблема – это калейдоскоп. «Раскрываешь эту штуку – и чем больше изучаешь, тем больше направлений и идей она открывает, — сказал он. – Она приоткрывает дверь к целому массиву задач, показывает всю прекрасную паутину математики».

Корни проблемы

Со временем математики, естественно, заинтересовались вопросом о том, существуют ли такие чёткие и ясные формулы для полиномов высших порядков. «Многотысячелетняя история этой проблемы заключается в том, чтобы прийти к чему-то такому же мощному, простому и эффективному», — сказал Вольфсон.

Чем выше степень полинома, тем более громоздкими они становятся. В книге 1545 года «Ars Magna» [«Великое искусство»] итальянский эрудит Джероламо Кардано опубликовал формулы для поиска корней полиномов третьей и четвёртой степеней.

Корни кубического полинома ax³+bx²+cx+d=0 можно найти по следующей формуле:

Формула для полинома четвёртой степени выглядит ещё хуже.

«С ростом степени растёт и сложность, вырисовывается гора сложностей», сказал Курт Макмаллен из Гарварда. «Как нам покорить эту гору?».

Итальянский математик Паоло Руффини в 1799 году утверждал, что полиномы 5-й и больших степеней нельзя решить при помощи арифметических операций и извлечения корней. В 1824 году это доказал норвежский математик Нильс Хенрик Абель. Иначе говоря, подобной формулы для полинома пятой степени не существует. К счастью, появились другие идеи, предлагавшие способы изучать полиномы высших степеней, которые можно упростить через подстановку. К примеру, в 1786 году шведский юрист Эрланд Бринг показал, что любое уравнение вида ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f=0 можно переписать в виде px⁵+qx+1=0, где p и q – комплексные числа, величину которых определяют a, b, c, d, e и f. Этот факт открыл новые подходы к скрытым свойствам полиномов.

В XIX веке Уильям Роуэн Гамильтон продолжил работы Бринга и других. В числе прочего он показал, что для поиска корней полинома шестой степени понадобятся лишь обычные арифметические операции, квадратные и кубические корни и алгебраическая формула, зависящая только от двух переменных.

В 1975 году американский алгебраист Ричарт Брауэр из Гарварда ввёл идею «степени резольвенты», описывающую минимальное количество членов, необходимых для описания полинома некоторой степени. Менее чем через год после этого Арнольд и японский специалист по теории чисел Горо Шимура в другой работе ввели почти такое же определение.

В модели Брауэра, первой попытке систематизации правил таких подстановок, 13-я проблема Гильберта – это вопрос о том, возможно ли, чтобы у полиномов седьмой степени степень резольвенты была меньше 3. Позднее он выдвинул сходные гипотезы по поводу полиномов шестой и восьмой степеней.

Однако в основе всех этих вопросов лежит более общий: каково наименьшее количество параметров, необходимое для поиска корней любого полинома? До какого нижнего предела можно дойти?

Визуальное мышление

Чем выше степень полинома, тем сложнее его график. Функции третьего порядка с тремя переменными выдают гладкие но перекрученные поверхности в трёх измерениях. Зная, в какие места этих поверхностей смотреть, математики могут многое узнать о лежащей в их основе полиномиальной структуре.

В результате в попытках понять полиномы задействуется множество методов из алгебраической геометрии и топологии – разделов математики, фокусирующихся на том, что происходит с фигурами, когда они деформируются, сжимаются, растягиваются или ещё как-то изменяются без разрывов. «Анри Пуанкаре, по сути, изобрёл топологию, и чётко сказал, что сделал это, чтобы понять алгебраические функции, — сказал Фарб. – В то время люди с трудом изучали эти фундаментальные связи».

Сам Гильберт раскрыл особенно интересную связь, применив геометрию к этой проблеме. К тому времени, как он составил свой список проблем в 1900-м году, у математиков уже был большой набор трюков, позволявших понижать степени полиномов, но они всё равно не могли продвинуться дальше. Однако в 1927 году Гильберт описал новый трюк. Начал он с определения всех возможных способов упростить полиномы девятой степени, и нашёл среди них семейство особых кубических поверхностей.

Гильберт уже знал, что на каждой гладкой кубической поверхности – замысловатой фигуре, описываемой полиномом третьей степени – содержится ровно 27 прямых, вне зависимости от того, насколько перекрученной она выглядит. Эти прямые сдвигаются с изменением коэффициентов полиномов. Он понял, что зная положение одной из них, можно упростить полином девятой степени и найти его корни. Формуле требовалось всего четыре параметра – в современных терминах это значило, что степень резольвенты не превышает 4.

«Потрясающее озарение Гильберта состояло в том, что это чудо геометрии, происходящее из совершенно другого мира, можно было использовать, чтобы уменьшить степень резольвенты до 4», — сказал Фарб.

Движение к паутине связей

Гильберт сконцентрировался на кубических поверхностях для поисков решения полиномов девятой степени, содержавшего всего одну переменную. Но что насчёт полиномов более высоких степеней? Чтобы решить эту задачу сходным образом, подумал Вольфсон, можно заменить кубическую поверхность некоей «гиперповерхностью» высшего порядка, сформированной этими полиномами высших степеней со множеством переменных. Геометрия подобных поверхностей изучена не так хорошо, но за последние несколько десятилетий математики доказали, что в некоторых случаях на них всегда можно найти прямые.

На любой гладкой кубической поверхности, неважно, насколько она перекручена или свёрнута, можно найти ровно 27 прямых линий. Гильберт использовал этот геометрический факт для создания формулы корней полинома девятой степени. Джесси Вольфсон развил эту идею далее, используя прямые на «гиперповерхностях» высших степеней для создания формул для более сложных полиномов.

Идею Гильберта использовать прямые на кубической поверхности можно развить до прямых, находящихся на этих «гиперповерхностях» высших степеней. Вольфсон использовал этот метод для нахождения новых, более простых формул для полиномов определённых степеней. Получается, что даже если представить себе полином 100-й степени у вас не получится, вы можете найти его корни, «просто» найдя плоскость на многомерной кубической гиперповерхности (в данном случае она будет иметь 47 измерений).

При помощи этого нового метода Вольфсон подтвердил найденную Гильбертом величину степени резольвенты для полиномов девятой степени. А для полиномов некоторых других степеней – в особенности, степеней выше 9 – его метод сужает диапазон возможных значений степени резольвенты.

Так что это не прямая атака на 13-ю проблему Гильберта, а подход к полиномам в целом. «Они нашли некие смежные вопросы и смогли достичь прогресса в них, надеясь, что это прольёт свет на оригинальный вопрос», сказал Макмаллен. И их работа указывает новые пути работы с этими математическими конструкциями.

Общая теория степени резольвенты также показывает, что гипотезы Гильберта касательно уравнений шестого, седьмого и восьмого порядка эквивалентны другим задачам, известным в, казалось бы, не связанных с полиномами областях математики. Степень резольвенты, по словам Фарба, предлагает способ выстроить эти проблемы по алгебраической сложности, а не группировать их по классам сложности.

И хотя теорию породила 13-я проблема Гильберта, математики не уверены, что она способна решить открытый вопрос по поводу полиномов седьмой степени. Она касается гигантских неизученных математических масштабов в невообразимых измерениях, но при меньших значениях степеней сталкивается с непреодолимыми препятствиями, и не в состоянии определить для них степени резольвенты.

Для Макмаллена отсутствие продвижения – несмотря на намёки на прогресс – интересно само по себе. Из этого следует, что в задаче таятся секреты, которые современная математика просто неспособна объять. «Мы не смогли подступиться к этой фундаментальной проблеме – это означает, что мы не заходили в какие-то тёмные области», — сказал он.

«Для её решения потребуются совершенно новые идеи», — сказал Рейхштейн, разработавший собственную идею по упрощению полиномов, концепцию, которую он называет «основным измерением». «Предугадать, откуда они появятся, невозможно».

Но троица не отступается. «Я не собираюсь сдаваться, — сказал Фарб. – Эта задача определённо стала моим белым китом. Она заставляет меня не останавливаться в этой паутине связей, и окружающей её математике».

Упрощение выражений с помощью порядка операций

Результаты обучения

• Используйте порядок операций для упрощения математических выражений
• Упростите математические выражения, включая сложение, вычитание, умножение, деление и экспоненты

Упростите выражения, используя порядок операций

Мы ввели большинство символов и обозначений, используемых в алгебре, но теперь нам нужно уточнить порядок операций. В противном случае выражения могут иметь разное значение и приводить к разным значениям.

Например, рассмотрим выражение:

[латекс] 4 + 3 \ cdot 7 [/ латекс]

[latex] \ begin {array} {cccc} \ hfill \ text {Некоторые студенты говорят, что это упрощается до 49.} \ Hfill & & & \ hfill \ text {Некоторые студенты говорят, что это упрощается до 25.} \ hfill \\ \ begin {array} {ccc} & & \ hfill 4 + 3 \ cdot 7 \ hfill \\ \ text {Так как} 4 + 3 \ text {дает 7.} \ hfill & & \ hfill 7 \ cdot 7 \ hfill \\ \ text {And} 7 \ ​​cdot 7 \ text {равно 49.} \ hfill & & \ hfill 49 \ hfill \ end {array} & & & \ begin {array} {ccc} & & \ hfill 4 + 3 \ cdot 7 \ hfill \\ \ text {Since} 3 \ cdot 7 \ text {равно 21.} \ hfill & & \ hfill 4 + 21 \ hfill \\ \ text {And} 21 + 4 \ text {составляет 25.} \ hfill & & \ hfill 25 \ hfill \ end {array} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Представьте себе путаницу, которая могла бы возникнуть, если бы для каждой проблемы было несколько разных правильных ответов. Одно и то же выражение должно дать такой же результат. Поэтому математики установили некоторые правила, называемые порядком операций, которые определяют порядок, в котором части выражения должны быть упрощены.

Порядок действий

При упрощении математических выражений выполняйте операции в следующем порядке:
1. P аренты и другие символы группировки

• Упростите все выражения внутри скобок или других группирующих символов, работая в первую очередь с самыми внутренними скобками.

2. E xponents

• Упростите все выражения с помощью показателей степени.

3. M ultiplication и D ivision

• Выполните все операции умножения и деления слева направо.Эти операции имеют равный приоритет.

4. A ddition и S ubtraction

• Выполняйте все операции сложения и вычитания слева направо. Эти операции имеют равный приоритет.

Студенты часто спрашивают: «Как мне запомнить порядок?» Вот способ помочь вам запомнить: возьмите первую букву каждого ключевого слова и замените ее глупой фразой. P аренда E xcuse M y D ear A Unt S союзник.

Хорошо, что « M y D ear» идут вместе, поскольку это напоминает нам, что m ultiplication и d ivision имеют равный приоритет. Мы не всегда выполняем умножение перед делением или всегда делаем деление перед умножением. Делаем их слева направо.
Аналогичным образом, « A Unt S союзник» объединяется и таким образом напоминает нам, что a ddition и s ubtraction также имеют равный приоритет, и мы выполняем их в порядке слева направо.

пример

Упростите выражения:

1. [латекс] 4 + 3 \ cdot 7 [/ латекс]
2. [латекс] \ влево (4 + 3 \ вправо) \ cdot 7 [/ латекс]

Раствор:

пример

Упростить:

1. [латекс] \ text {18} \ div \ text {9} \ cdot \ text {2} [/ latex]
2. [латекс] \ text {18} \ cdot \ text {9} \ div \ text {2} [/ latex]

Решение:

пример

Упростить: [латекс] 18 \ div 6 + 4 \ left (5 — 2 \ right) [/ latex].

Решение:

	[латекс] 18 \ div 6 + 4 (5-2) [/ латекс]
Круглые скобки? Да, сначала вычтите.	[латекс] 18 \ div 6 + 4 (\ color {red} {3}) [/ латекс]
Показатели? №
Умножение или деление? Да.
Сначала разделите, потому что мы умножаем и делим слева направо.	[латекс] \ color {красный} {3} +4 (3) [/ латекс]
Любое другое умножение или деление? Да.
Умножить.	[латекс] 3+ \ color {красный} {12} [/ латекс]
Любое другое умножение или деление? №
Любое сложение или вычитание? Да.	[латекс] 15 [/ латекс]

В видео ниже мы показываем еще один пример того, как использовать порядок операций для упрощения математического выражения.

Когда имеется несколько символов группировки, мы сначала упрощаем самые внутренние круглые скобки и работаем наружу.{3}} + 3 [0] [/ латекс] Есть ли умножение или деление? Да. Умножить. [латекс] 5 + 8 + \ color {красный} {3 [0]} [/ латекс] Есть ли сложение или вычитание? Да. Доп. [латекс] \ color {красный} {5 + 8} +0 [/ латекс] Доп. [латекс] \ color {красный} {13 + 0} [/ латекс] [латекс] 13 [/ латекс]

В видео ниже мы показываем еще один пример того, как использовать порядок операций для упрощения выражения, содержащего экспоненты и символы группировки.{2}} [/ латекс] Разделить. [латекс] 8+ \ color {красный} {82 \ div 3} -25 [/ латекс] Доп. [латекс] \ color {красный} {8 + 27} -25 [/ латекс] Вычесть. [латекс] \ color {красный} {35-25} [/ латекс] [латекс] 10 [/ латекс]

Упростите полиномиальные и рациональные члены с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

ПОДПИСАННЫЕ НОМЕРА

Цели

В этом разделе вы будете складывать, вычитать, умножать и делить числа со знаком. Также при решении арифметических выражений вы будете использовать порядок операций, включая показатели.

Интуитивный подход к сложению и вычитанию:

Пример 1. У меня есть 40 долларов, и я должен вам 75 долларов. Какая у меня чистая стоимость?

Чтобы найти ответ:
Наличие 40 долларов эквивалентно + 40.
Должность 75 долларов эквивалентна — 75.
Моя чистая стоимость будет обозначена как 40 — 75.
или
40 — 75 = -35
Мой собственный капитал равен — 35 долларов.

Поскольку я должен больше, чем имею, ответ должен быть отрицательным.

Правило: Интуитивное правило объединения чисел с в отличие от знаков :
Найдите разность (вычитание) двух чисел и используйте знак большего числа.

Способ использования этого правила — скрыть знаки чисел. Найдите разницу между числами с закрытыми знаками. Используйте знак большего числа.

Пример 2. Я в долгу на 50 долларов, и я должен вам на 60 долларов. Какая у меня чистая стоимость?

Чтобы найти ответ:
Долги на 50 долларов эквивалентны -50.
Должность 60 долларов эквивалентна — 60.
Моя чистая стоимость обозначается как -50 — 60.
или
-50-60 = -110
Моя чистая стоимость составляет — 110 долларов.

Поскольку я в долгу, и я должен вам деньги, мой собственный капитал должен быть отрицательным.

Правило: Интуитивное правило для объединения чисел с подобными знаками : сложите два числа и используйте общий знак.

Учебный совет: Сделайте карточку с правилами сложения и вычитания похожих и непохожих чисел со знаком.Просматривайте карточки с заметками не реже двух раз в неделю в рамках вашего распорядка домашнего задания.

Умножение и деление:

Словарь: Произведение — это ответ на задачу умножения.
Частное — это ответ на проблему деления.

Пример 3. Я буду терять 9 долларов в день каждый из следующих 6 дней. Сколько денег я потеряю?

Чтобы найти ответ:
Потеря 9 долларов эквивалентна -9.
Поскольку я теряю 9 долларов каждый день в течение следующих 6 дней, у меня будет на 9 * 6 долларов меньше.
или
-9 * 6 = -54
Я потеряю 54 доллара в следующие 6 дней.

Поскольку я теряю деньги, ответ должен быть отрицательным числом.

В приведенном выше примере -54 — это продукт .

Словарь: Факторы — это умножаемые числа. В приведенном выше примере -9 * 6 = -54, -9 и 6 являются множителями.

Правило: Произведение или частное двух чисел с в отличие от знаков всегда отрицательное.

Пример 4. Я потерял 8 долларов в день за предыдущие 7 дней. Сколько еще денег у меня было 7 дней назад?

Поскольку 7 дней назад у меня было больше денег, ответ должен быть положительным.

Чтобы найти ответ: Потеря 8 долларов эквивалентна -8. Предыдущие 7 дней эквивалентны -7 Так как я терял 8 долларов каждый день в течение последних 7 дней, У меня будет на -8 * -7 долларов меньше. или же -8 * -7 = 56 7 дней назад у меня было еще 56 долларов.

Правило: Произведение или частное двух чисел с подобными знаками всегда положительно.

Пример 5. Разделить
Поскольку числитель и знаменатель отрицательны, частное должно быть положительный.

Учебный совет: Сделайте карточки для всех правил и словарного запаса курса.

Задачи умножения можно выразить несколькими способами:

Проблемы с разделением можно выразить несколькими способами:

Задача с нуля в делении

Деление можно проверить с помощью умножения.Например, потому что 18 = 3 * 6

18 разделить на 6 — это то же самое, что спросить, какое число, умноженное на 6, равно 18?

Как ноль в числителе влияет на проблему деления?

Например, это то же самое, что спросить, какое число, умноженное на 31, равно 0? Итак, = 0, потому что 0 * 31 = 0.

Ноль, деленный на любое число, равняется нулю.

Как ноль в знаменателе влияет на проблему деления?

Например, это то же самое, что спросить, какое число, умноженное на 0, равно 17? Не существует числа, которое при умножении на 0 равно 17.Таким образом, ответ на вопрос не определен.

Любое число, деленное на ноль, не определено.

Как ноль в числителе и знаменателе влияет на проблему деления?

Например, это то же самое, что спросить, какое число, умноженное на 0, равно 0? Пять умножить на ноль равно нулю, так что. Кроме того, 3, умноженное на ноль, равно нулю, так что.

Фактически, каждое число, умноженное на ноль, равняется нулю, поэтому равняется любому числу.

Ноль, деленный на ноль, не может быть однозначно определен и называется неопределенным.

Учебный совет: Деление на ноль (ноль в знаменателе) равно undefined . Ноль в числителе и знаменателе называется , неопределенный . Запишите эти концепции на карточку.

Словарь: 3 и -3 являются противоположностями , потому что они оба находятся на одинаковом расстоянии от нуля на числовой прямой, но в противоположных направлениях. Их также называют аддитивными инверсиями , поскольку их сумма равна нулю.

Противоположность -6 — 6.В математической записи — (-6) = 6. Первый отрицательный знак означает использование противоположного знака; второй знак минус означает, что цифра 6 отрицательна или находится слева от нуля в числовой строке.

В приложении ниже слово «прибыль» используется, даже если число отрицательное, что действительно указывает на убыток.

Пример 6. Приложение: На приведенном ниже графике показаны прибыли и убытки SRH Inc. за период с 2001 по 2006 годы.

а. Какая разница между прибылью 2005 года и убытком 2002 года?

«Разница» означает вычитание.Итак, чтобы ответить на вопрос, вычтите убыток 2002 г. из прибыли 2005 г .:

(прибыль 2005 г.) — (убыток 2002 г.).
7,3 — (-15,8)
Найдите на графике соответствующую прибыль и убыток.
= 7,3 + 15,8
Интерпретируйте — (-15,8) как нахождение противоположности -15,8.
= 23,1
Сложите два числа.

Разница между прибылью 2005 года и убытком 2002 года составила 23,1 миллиона долларов. Ответ положительный, потому что прибыль SRH увеличилась с 2002 по 2005 год.

б .. Какая разница между прибылью 2006 года и прибылью 2005 года? Какое значение имеет отрицательный знак в вашем ответе?

(прибыль 2006 г.) — (прибыль 2005 г.)
5,2-7,3 = -2,1
Разница в прибыли составила -2,1 млн долларов.

Ответ отрицательный, потому что прибыль SRH снизилась с 2005 по 2006 год.

г. Какова средняя (средняя) прибыль за шесть лет?

Чтобы найти среднее значение, сложите прибыли и убытки; затем разделите на количество лет.

Средняя прибыль за шесть лет составила убыток в размере 5,317 миллиона долларов или -5,317 миллиона долларов прибыли.

Использование калькулятора для сложения, вычитания, умножения или деления:

(Для этого курса рекомендуется использовать калькулятор TI-30X II S. См. Страницу электронных ресурсов MAT 011, чтобы узнать, как пользоваться калькулятором.)

Клавиши умножения, сложения и деления стандартные. Обратите внимание, что ключ для умножения на калькуляторе — x, но на экране калькулятора он отображается как *.Для деления клавиша деления — +, но на экране отображается как /.

Пример 7. — 7,4 — 8,6 = -16
— 7,4 указывает, что 7,4 отрицательно. Чтобы ввести отрицательное число в калькулятор, вы должны использовать клавишу, которая отличается от клавиши вычитания

Учебный совет: Перед использованием калькулятора вы должны потратить пару секунд, чтобы мысленно оценить ответ.

Словарь: Показатели: b ⁿ означает, что число b используется как множитель n раз.

Пример 8. (-7) ² = (-7) (- 7) = 49

Порядок операций:

Когда задача числовой алгебры состоит из более чем одной операции, порядок следующий:

Первый: Внутри P скобок, ().
Второй: E xponents
Третий: M ultiplication или D ivision (слева направо)
Четвертый: A ddition или S ubtraction (слева направо)

Учебный совет: P lease E xcuse M y D ear A Unt S ally — мнемоника, используемая для изучения порядка операций.P (круглые скобки), E (показатели), M (умножение), D (деление), A (сложение) и S (вычитание).

Пример 9. -6 (8–13) = -6 (-5) = 30
Сложите числа со знаком в круглых скобках. Произведение чисел с одинаковыми знаками положительное.

Вычислить количество (-3) 2.
Вычислить противоположность +9.
Вычесть по правилам чисел со знаком.

Оценка: важно оценить результат перед использованием калькулятора. Это поможет вам определить, разумен ли ваш ответ.Оценка должна быть быстрой и производиться мысленно. Ключ к оценке — округление.

Резюме:

Числа со знаком — ключевое понятие в Начальной алгебре. Поначалу они могут сбивать с толку, но как только правила выучены и отработаны на практике, эти числа работают очень предсказуемо. Наряду с числами со знаком, порядок действий необходимо освоить в начале семестра. Ответы будут сильно отличаться, если не соблюдать правильный порядок действий.

1. Интуитивные правила для сложения и вычитания чисел со знаком:
a. В отличие от знаков: найдите разность (вычитание) двух чисел и используйте знак большего числа.

г. Как знаки: сложите два числа и используйте общий знак.

2. Правила для умножения и деления двух чисел со знаком:
a. В отличие от знаков: результат всегда отрицательный.

г.Знаки вроде: результат всегда положительный.

3. Порядок операций:
Первый: Внутри скобок, ()
Второй: Показатели
Третий: Умножение и деление (слева направо)
Четвертый: Сложение и вычитание (слева направо)

ВВЕДЕНИЕ В ПЕРЕМЕННЫЕ

Целей:

Выполнив аналогичные арифметические действия, вы обнаружите необходимость в переменных.

Пример 1. Вам необходимо арендовать фургон для перевозки грузов. Class Movers взимает базовую ставку в размере 24,95 долларов США плюс 32 цента за милю.

а. Рассчитайте стоимость аренды микроавтобуса, если вы проехали следующие мили:

Словарь: Переменная в алгебре — это буква, которая представляет величину, которая может изменяться. В приведенном выше примере m представляет количество миль, а c — стоимость. И мили, и стоимость могут отличаться или меняться. Переменный член содержит букву и умножающее ее число; 0.32 м — переменный член. Константа — это число, которое никогда не меняет значения; 24,95 — постоянная величина.

г. Какое уравнение связывает стоимость и количество пройденных миль? Последняя строка в приведенной выше таблице содержит ответ c = 0,32m + 24,95

.

г. Другая компания по аренде, Zippo Movers, взимает фиксированную ставку в размере 42,95 доллара. Сколько миль вам нужно проехать, чтобы Zippo и Class заряжались одинаково?

Уравнение затрат для Zippo: c = 42,95

Чтобы рассчитать, когда расходы двух компаний одинаковы, приравняйте уравнения затрат друг к другу.

Стоимость Zippo = Стоимость класса
42,95 = 0,32 млн + 24,95

Поскольку мы только начали изучать алгебру, мы будем угадывать решение. Подставьте предположение о количестве миль в уравнение для Class Movers,

c = 0,32 м + 24,95.

Если вы проедете 55 миль, то обе компании будут брать примерно одинаковую плату. Гадать очень утомительно и неточно. Позже в этой главе мы будем использовать алгебру для решения проблемы. Алгебра прямая и точнее, чем догадки.

Пример 2. По оценкам, Минивэн Toyota Sienna 2011 года теряет в стоимости 1800 долларов в год. Первоначально минивэн стоил 42 тысячи долларов.

а. Рассчитайте стоимость минивэна на последующие годы.

г. Какое уравнение связывает стоимость фургона и количество лет, прошедших с 2011 года?

Последняя строка в приведенной выше таблице содержит ответ, v = 42,000 — 1,800t

г. Когда фургон будет стоить 20 400 долларов?

Чтобы ответить на вопрос, вы должны найти значение y, которое составит v = 20 400 или

20 400 = 42 000 — 1800 т.

Поскольку мы еще не знаем, как решить задачу с помощью алгебры, мы будем угадывать решение. Подставляем предположение вместо t, количества лет, прошедших с 2007 года, в уравнение

В = 42,000 — 1,800т.

При повторении этого будет создана следующая таблица.

Минивэн будет стоить 20 400 долларов через двенадцать лет после 2011 года. В 2023 году минивэн будет стоить $ 20 400

.

Резюме:

Обучение составлению таблицы — еще один ключевой шаг в изучении алгебры.Убедитесь, что ваша таблица содержит правильное количество столбцов для необходимой информации. Нарисуйте таблицы с помощью линейки, чтобы информация не сбивала с толку.

По каждой проблеме в этом разделе вы должны уметь:

1. Создайте таблицу.

Пояснение: Столбец расчета является самым важным. Он показывает, как вы получаете свое уравнение.

2. Когда вы определили уравнение, вы должны понять, что представляет каждый член уравнения.

Например: с = 0,32 м + 24,95 * c — стоимость аренды фургона. * 0,32 — это сумма, которую взимают Class Movers за милю, m — это количество миль, которое вы проедете на фургоне. * * 24,95 — это базовая ставка или фиксированная стоимость.

Учебный совет: Используйте описательные буквы для переменных в прикладных задачах, c — для стоимости и m — для количества пройденных миль.

УПРОЩЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Цели

В этом разделе начинается процесс решения уравнений.Вы поймете, как объединить одинаковые термины и как использовать распределительное свойство .

Словарь: Термины: частей алгебраического выражения, разделенных знаками сложения или вычитания.

Пример 1. Для 3 + 5 = 8, 3 и 5 являются членами.
Пример 2. Для 3x — 5y, 3x и -5y являются терминами.

Коэффициент: число, умножающее переменную.

Пример 3. Для выражения 7x — 2y + z,
7 — это коэффициент x;
-2 — это коэффициент y, а
1 понимается как коэффициент z.

Как термины: терминов с одинаковой переменной и показателем; и термины, которые являются числами без переменных.

Пример 4. Для выражения 4x + 7y — 3x + 4z, 4x и -3x являются подобными членами.

Правило: Чтобы объединить одинаковые термины , сложите их коэффициенты. 4x + (-3x) = x или 1x.

Пример 5. Объедините похожие термины.
3x — 5 — 6x + 7 = -3x + 2
Обозначьте аналогичные термины, 3x и -6x, -5 и 7.
Добавьте коэффициенты подобных терминов.

Словарь: Распределительное свойство: Определение a (b + c) = a * b + a * c

Пример 6. Эти две арифметические задачи демонстрируют свойство распределенности.

Explanation: Всегда работайте сначала в скобках. Используйте свойство distributive только в том случае, если вы не можете упростить то, что заключено в круглые скобки.

Учебный совет: 1. Вы можете просмотреть порядок операций на стр. 5.2. Напишите эти важные определения и правила на карточках для заметок и используйте их в своей домашней работе.

Пример 7. Используйте свойство распределения.
3 (6x — 5) = Невозможно объединить термины в круглых скобках, потому что они не похожи на термины.
3 (6x) — 3 (5) = Используя свойство распределения, умножьте 6x и -5 на 3.
8x — 15 Нельзя объединить эти разные термины.

Пример 8. Используйте свойство распределения. -5 (4x + 2) = Невозможно объединить термины в круглых скобках, потому что они не похожи на термины.
(-5) (4x) + (-5) (2) = Используя свойство распределения, умножьте 4x и 2 на -5. -20x -10 Невозможно объединить эти непохожие термины.

Упрощение алгебраических выражений:

Пример 10. Упростите выражение.

4- (2x-3) =
Точно так же, как -x означает -1 * x, — (2x-3) означает -1 (2x-3)
4-2x + 3 =
Использование свойства распределения; умножьте 2x и -3 на -1
-2x + 72
Объедините похожие термины.

Пример 11. Упростите выражение.

11x-14x-3 (4x-2) =
Используя свойство распределения, умножьте 4x и -2 на -3.
11x-14-12x + 6 =
Объедините похожие термины, 11x и -12x, а также -14 и 6.
-1x-8 =
-1x означает то же самое, что и -x
-x-8
Нельзя объединить эти непохожие термины.

Резюме:

Упрощение алгебраических выражений
Теперь мы готовы к реальной работе по алгебре. Ключевые определения включают:
1. Распределительное свойство .
a (b + c) = a * b + a * c
Множитель «a» умножает «b» и «c» в скобках.
2. Термины разделяются знаками сложения или вычитания.
3. Подобные термины имеют одинаковую переменную и показатель степени.
4. Коэффициент — это число при умножении переменной.
5. Факторы — это умножаемые элементы.

Важный последний вопрос:
Словарь: Что такое алгебраическое выражение? Алгебраическое выражение состоит из терминов, некоторые из которых содержат переменные.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Целей:

В разделе «Введение в переменные» мы решали уравнения методом предположений.В этом разделе вы узнаете, как решать уравнения с помощью алгебры. Алгебра проще и точнее, чем догадки.

Пример 1. Вам необходимо арендовать фургон. Class Movers взимает базовую ставку в размере 24,95 долларов США плюс 32 цента за милю.

а. Рассчитайте стоимость аренды микроавтобуса, если вы проедете следующие мили.

Уравнение затрат: c = 0,32 млн + 24,95.

г. Используйте уравнение, чтобы рассчитать, сколько миль вы проехали, если стоимость проезда составляет 42 доллара.87.

Логическое решение. Стоимость 42,87 доллара содержит базовую ставку 24,95 доллара. Если вычесть 24,95 доллара из 42,87 доллара, получим 17,92 доллара. Вот какая часть стоимости связана с количеством пройденных миль. Так как он стоит 32 цента за милю, деление 17,92 на 0,32 определяет количество пройденных миль или 56 миль. Та же самая логика — алгебра.

Алгебраическое решение: найти m, когда c = 42,87.

42,87 = 0,32 м +24,95
Заменить 42,87 на c.
42,87 — 24,95 = 0,32 м
Вычтите 24.95 из 42,87 из-за стоимости, 42,87 содержит базовую ставку 24,95
17,92 = 0,32 м
Объедините аналогичные термины, 42,87 и 24,95

Стоимость пройденных миль составляет 17,92. Так как это стоит 32 цента за милю, разделите 17,92 на 0,32
56 = m
Ответ.

Вы можете проехать 56 миль за 42,87 доллара.

г. Проверьте свой ответ. Подставляем m = 56 в уравнение c = 0,32m + 24,95; Стоимость должна быть 42,87 $.

Учебный совет: Вы должны ответить на проблему предложением, как в примере 1 выше: (Вы можете проехать 56 миль за 42 доллара.87.), который относится к обеим переменным в проблеме.

Правило: Как решить уравнение:
1. Упростите каждую часть уравнения, используя свойство распределения и , объединяя одинаковые члены .
2. Следующая цель — записать уравнение в форме:
Переменный член = константа
Это делается с помощью свойств сложения или вычитания уравнений.
3. Разделите обе части на коэффициент (число, умножающее переменную) переменной.

Объяснение: член переменной содержит букву, которая может представлять разные значения. Константа — это число, которое никогда не меняет значения.

Пример 2. Решить.

Вычтем 24,95 из обеих частей уравнения.
Объедините одинаковые термины, 42,87 и — 24,95, 24,95 и — 24,95.
Это наша первая цель в решении проблемы.
Разделите на обе стороны на коэффициент m, 0,32
Выполните деление.

Пример 3. Решить.

7x — 4 = 5 (2x + 9) + 3x
Используйте свойство распределения; умножьте 2x и 9 на 5.
7x — 4 = 10x + 45 + 3x
Объедините похожие члены; сложить 10x и 3x
Необходим переменный член, равный постоянному члену. Поскольку в обеих частях уравнения есть постоянный член, добавьте 4 к обеим сторонам уравнения.
7x-4 = 13x + 45
7x — 4 + 4 = 13x + 45 + 4
Объедините похожие члены, -4 и 4, 45 и 4
7x = 13x + 49
Нужен переменный член, равный постоянному члену.Поскольку в обеих частях уравнения есть переменный член, вычтите 13x из обеих частей уравнения.
7x — 13x = 13x — 13x + 49
Объедините похожие термины, 7x и -13x, 13x и -13x.
-6x = 49
Теперь есть переменный член, равный постоянному члену,
, поэтому разделите обе стороны на -6, коэффициент при x.

Разделить.
x = -8,167
Ответ округляется до 3 знаков после запятой.

Пример 4. Решить.

Использовать распределительное свойство; умножьте
6x и -7 на -2.
Объедините одинаковые члены, 4 и 14.
Требуется переменный член, равный постоянному члену. Поскольку в обеих частях уравнения есть переменный член, добавьте 12x к обеим сторонам уравнения.
Объедините похожие термины.
18 никогда не может быть равно 10, поэтому вывод такой: проблема не имеет решения.

Объяснение: Посмотрите на -12×4-18 = -12×4-10 Обратите внимание, что -12x находится с обеих сторон уравнения, но одна сторона имеет 18, а другая 10. Вы понимаете, почему вы не можете найти решение?

Пример 5. Решить.

Воспользуйтесь распределительным свойством. Объедините похожие термины. Требуется переменный член, равный постоянному члену. Поскольку в обеих частях уравнения есть переменный член, вычтите 31 x из обеих частей.
Объедините похожие термины.
-10 всегда равно -10, поэтому вывод состоит в том, что каждое число является решением.

Объяснение: Посмотрите на -31x -10 = -31x- 10 Обратите внимание, что одни и те же алгебраические выражения находятся по обе стороны от знака равенства. Вы понимаете, почему любое число делает уравнение истинным?

Словарь: Условное уравнение имеет конечное число решений.В этом разделе условное уравнение будет иметь одно решение. Примеры 1,2 и 3 являются условными уравнениями.
г. Когда уравнение не имеет решения, оно называется противоречием .
Пример 4 противоречит тому, что, когда все переменные исключены, возникает ложное арифметическое утверждение.
г. Когда все числа являются решениями уравнения, тогда оно называется тождеством .
Пример 5 идентичен, потому что, когда все переменные исключены, получается истинное арифметическое выражение.

Пояснение: Решение уравнений основано на принципе равенства . Принцип равенства гласит: чтобы сохранить равенство, все, что вы делаете с одной стороной уравнения, вы должны делать с другой. В этом примере к обеим сторонам добавлено 5; 2x было вычтено с обеих сторон, и обе стороны были разделены на 4.

Резюме:

Алгебра и арифметика разные. Арифметика включает операции с числами.В алгебре есть переменные, которые могут представлять множество различных чисел. Если вы вспомните раздел «Введение в переменные» в последней строке созданных нами таблиц, мы использовали переменные для представления всей арифметики в предыдущих строках. Алгебра — это обобщение повторяющихся арифметических операций. Уравнения из Введение в переменные содержат две переменные. Если вам известно значение одной из переменных, вы можете использовать процедуры в этом разделе, чтобы найти значение другой.Решение уравнений — основная функция алгебры.

Как решать уравнения:
1. Упростите обе части уравнения, используя свойство распределения,
a (b + c) = ab + ac, и комбинируя похожие члены.
2. Первая цель — записать уравнение в форме:
Переменный член = константа
Это делается с помощью принципов сложения и вычитания.
3. Разделите обе части уравнения на коэффициент, полученный при умножении переменной.
4. Решение уравнения этого типа имеет три возможных результата:
a.Одно решение, условное уравнение.
г. Нет решения, противоречие.
г. Все числа — это решения, или проблема имеет бесконечное количество решений, идентичность.

Учебный совет: Вы должны записать шаги на карточке для заметок вместе с примером.

ПРИЛОЖЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цель:

Этот раздел представляет собой обзор курса на сегодняшний день. Вы создадите таблицы для поиска уравнений, а затем решите их с помощью алгебры.

Учебный совет: Если у вас возникли проблемы с этим разделом, просмотрите Раздел «Введение в переменные» и Раздел «Решение уравнений».

Пример 1. Студент покупает новую машину в 2010 году за 36 000 долларов, и автомобиль обесценивается на 3 100 долларов в год.
а. Напишите уравнение, которое связывает стоимость автомобиля с возрастом.

Уравнение v = 36,000 — 3,1 OOt. t — количество лет, прошедших с 2010 года.

г. Когда машина будет стоить 20000 долларов?
Найдите y, когда v = 20,000.
20,000 = 36,000 — 3,100т
Заменено 20,000 вместо v.
-16,000 = — 3,100t
Вычтено 36,000 с обеих сторон.
5,161 = t
Делим с обеих сторон на -3,100.

Автомобиль будет стоить примерно 20 000 долларов через 5 лет, а именно 2015 (2010 + 5).

г. Когда машина станет бесполезной?

Автомобиль бесполезен, если его стоимость равна нулю. Найдите y, когда v = 0.
0 = 36,000 — 3,100t
Заменено 0 вместо v.
3,1 OOt = 36,000
Добавлен 3,1 OOt с обеих сторон,
t = 11,61
Разделим обе стороны на 3,100.

Машина придет в негодность лет через 12, а именно 2022 (2010 + 12).

Учебный совет: В последней задаче мы записали меньше шагов. Вы должны потратить пару минут на то, чтобы детально разобраться в проблеме. Вы должны знать, как был сделан каждый шаг. Используйте свой домашний блокнот. Оставьте достаточно места, чтобы не запутаться.

Пример 2. Компания по аренде грузовиков класса взимает базовый тариф в размере 34,99 доллара плюс 0,20 доллара за милю после первых 15 миль.

а. Напишите уравнение стоимости аренды в Class.

Пояснение: Они берут 20 центов за 15 миль, поэтому, если вы едете 25 миль, с вас взимается только 20 центов за 10 миль, 25-15. Поскольку перед умножением на 0,20 вы вычли 25-15, вам нужны скобки.

Уравнение затрат: c = 0,20 (m — 15) + 34,99.

г. Упростите уравнение.

Б / у в распределительной собственности; умноженное m и -15 на
0,20, 0,20m и 0,20 (-15) = -3
Объединенные одинаковые члены, -3 и 34,99.

г. Сколько миль вы можете пройти, если стоимость билета составляет 85 долларов? Найдите m, когда C = 85.
85 = 0,20m + 31,99
Заменено 85 вместо C.
53,01 = 0,20 м
Вычтено 31.99 с обеих сторон.
265,05 = м
Делим с обеих сторон на 0,20.

Округляя до ближайшей мили, вы можете проехать около 265 миль за 85 долларов.

Резюме:

В этом разделе дается обзор большей части материала, представленного на данный момент в курсе, и поэтому чрезвычайно важен. Вы должны уметь:

1. Прочтите задачу и создайте таблицу, чтобы найти уравнение.

2. Решите алгебраические уравнения, чтобы получить желаемое решение. Мы дошли до уровня сложности, когда «угадывание» — это трудоемкий метод определения алгебраических решений; использовать алгебру.

Советы по обучению: 1. Если какой-либо из вышеперечисленных шагов вам непонятен, задайте вопросы на следующем занятии, обратитесь к своему инструктору в рабочее время, перейдите в учебный центр или воспользуйтесь онлайн-преподавателями.
2. Не продолжайте, пока не освоите этот раздел.

ЛИТЕРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Целей:

В этом разделе вы узнаете, как решать уравнения с двумя переменными.Алгебра такая же, как и в предыдущих разделах. Разница в том, что решением будет уравнение, а не число.

Словарь: Литеральное уравнение — это уравнение, которое включает более одной переменной.

Пример 1. Компания сотовой связи взимает базовый тариф в размере 1,25 доллара плюс 0,15 доллара за минуту после первых 10 минут.

а. Заполните таблицу, чтобы узнать стоимость телефонных звонков продолжительностью более десяти минут.

Пояснение: Круглые скобки необходимы, потому что плата составляет 15 центов за минуту только через 10 минут.

г. Какое уравнение связывает стоимость и минуты? Упростите уравнение.

Распределительная собственность: умножить m и -10 на 0,15 Комбинированные одинаковые условия, -1,50 + 1,25

г. Если звонок стоит 2,90 доллара, как долго вы разговаривали по телефону? Найдите m, когда c = 2,90.

Sub 2.90 для c.
2,15 = 0,15 м
Добавил по 0,25 с обеих сторон.
21 = м.
Делится с обеих сторон на 0,15

г. Решите относительно m в уравнении из части b.

(Это единственная новая информация в этом разделе.)

Зачем вам это нужно? Представьте себе ситуацию, когда вы знаете стоимость десяти разных звонков. Вместо того, чтобы решать для C десять раз подряд, вы можете решить для C один раз, а затем использовать арифметику, чтобы найти десять различных значений m.

c = 0,15 м — 0,25
c + 0,25 = 0,15 м
Добавлен по 0,25 с обеих сторон.

Разделены на 0,15 с обеих сторон

Пояснение: Алгебраические шаги такие же, как в Части c. Разница в том, что решение — это не число.Обычный формат для буквальных уравнений — записать результирующую переменную в левой части уравнения.

Резюме:

1. Буквальное уравнение — это уравнение, которое включает более одной переменной.
2. Чтобы решить буквальное уравнение, алгебраические шаги такие же, как задачи из предыдущих двух разделов. Единственная разница в том, что решение — это не число, а алгебраическая формула.

Пример 2. Решите относительно y.

Приведенное выше объяснение не работает для второго уравнения — зачем его включать?

3.8 — Справочник — Упрощение выражений

3.8 — Справочник — Упрощение выражений

3.8 — Справочная информация — Упрощение выражений

До вы начинаете работать над выражением (скажем, разложите его на множители, распределите, или комбинируя его с другим выражением) это выражение должно быть в самая простая возможная форма . В противном случае вы сделаете свою жизнь тяжелее, чем она должна быть. Точно так же после вы закончили работу над выражением, которое вы всегда следует оставлять его в простейшем виде.Тот, кто должен посмотреть на ваши результаты, это оценит!

В этом разделе мы сначала объясним два возможных типа упрощений которые могут быть применены к выражению: точных упрощений и с плавающей запятой упрощения .

Затем мы даем исчерпывающий список возможных упрощений , начиная от самых базовый, который вы будете постоянно применять к самому сложному, что вы никогда не сможете сталкиваться.

Как и вы, программа Algebra Coach всегда возвращает свои результаты в простейшей форме.Вы можете ввести неупрощенное выражение в список тренера по алгебре и получить его можно преобразовать в простейшую форму, нажав кнопку «Упростить».

---

Сравнение точных упрощений и упрощений с плавающей запятой

Рассмотрим эти числа: дробь 2/3, радикал и специальные номера e и π. Каждое из этих чисел имеет точное значение и когда они записаны в только что показанной форме, они считаются равными точным .С другой стороны, написать их так: 0,667, 1,73, 2,7 и 3,14 — это просто приближение . Эта форма называется формой чисел с плавающей запятой. ( с плавающей точкой означает, что число записано с десятичной точкой и перед десятичной точкой и после нее может быть любое количество цифр.)

Как правило, все целые числа, дроби, радикалы и числа e и π считаются равными быть точными числами и все числа, записанные в форме с плавающей запятой (т.е. с десятичной точкой) Считаются приблизительными числами .

Выражение, содержащее только точные числа, можно упростить двумя способами:

• к результату, также выраженному в точной форме, или
• округлено до результата, выраженного в форме с плавающей запятой.

С другой стороны, если выражение содержит хотя бы одно приближенное число, то все выражение является приблизительным, и результат упрощения должен быть выражается в форме с плавающей запятой.